上海市浦东新区2024-2025学年高二年级数学上册期末教学质量检测卷（解析版）

浦东新区2024学年度高二第一学期期末教学质量检测

数学试卷

注意：

1.答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚.

2.本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟.

一、填空题(本大题共有12题，满分36分)只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否

则一律得零分.

1.两条异面直线所成角的范围是.

【答案】

【解析】

【分析】根据异面直线的定义求解即可.

【详解】根据异面直线的定义，两条异面直线所成角的范围是为[o,].

故答案为：.

1—

2.记事件A的对立事件为A,若尸(A)=§,则P(A)为.

2

【答案】一

3

【解析】

【分析】由对立事件的概率公式计算求解即可.

1_1?

【详解】因为尸(A)=§,所以P(A)=1-

2

故答案为：一.

3

3.表面积为16兀球的体积是(结果保留兀)

r效安】32兀32

L口木：】##兀

33

【解析】

【分析】根据表面积求得球的半径，进而求得球的体积.

【详解】设球的半径为R，则4兀氏2=16兀,尺=2,

zljr327r

所以球的体积为—x23=-----

33

327r

故答案为:

"T

4.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品.现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为

【答案】0.6

【解析】

【详解】试题分析：从这5件产品中任取2件的取法为C；=10,所以基本事件总数为10；设“选的2件产

品中恰有一件次品”为事件A,则A包含的基本事件个数为=6,所以尸（A）=*=0.6.

考点：1、古典概型；2、组合数.

5.某袋子内装有三种颜色的小球，小明每次从袋子中随机摸出一个小球，观察颜色后再放回，重复了90

次，得到的信息如下：观察到红色小球52次，蓝色小球26次.如果从这个袋子内任意摸一个小球，这个小

球既不是红色也不是蓝色的经验概率为.

【答案】4

【解析】

【分析】计算红色球、蓝色球出现的频率，即为概率，由事件的关系可计算既不是红色也不是蓝色的概率.

【详解】记取到红球为事件A,取到蓝球为事件8,取到的球不是红球也不是蓝球为事件C.

所以尸⑷磊.，p⑸嗡*

由题意，C=A+B，且AB互斥,

则P(C)=1—P(A+3)=1一P(A)-P(B)=[J.

故答案为：—

6.已知尸（A）=0.2,P（6）=0.7,若A,B互斥，则B）=.

【答案】09

【解析】

【分析】利用互斥事件的概率求解.

【详解】解：因为P（A）=0.2,P（5）=0.7,且A,8互斥,

所以P（AB）=P（A）+P（B）=0.2+0.7=0.9,

故答案为：0.9

7.若五个数a,0,1,2,3的平均数为1,则这五个数的方差等于.

【答案】2

【解析】

【分析】本题可先依据平均数公式求出。的值，再用方差的公式计算出方差即可.

【详解】a=lx5-l-2-3-0=-l,

方差=J[(-I_I)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=2.

故答案为2.

【点睛】本题考查的是平均数和方差的求法.计算方差的步骤是:①计算数据的平均数;②计算偏差，即每个数

据与平均数的差;③计算偏差的平方和;④偏差的平方和除以数据个数.

8.有一组按从小到大顺序排列的数据：3,5,%,8,9,10,若其极差与平均数相等，则这组数据的中位

数为.

【答案】7.5##—

2

【解析】

【分析】由极差和平均数求出x,即可求出中位数.

【详解】依题意可得极差为10—3=7,平均数为工(3+5+x+8+9+10)=1(35+x),

66

所以工(35+x)=7,解得尤=7,

6

-7!O

所以中位线为——=7.5.

2

故答案为：7.5

9.“石头、剪刀、布”是一种古老的游戏，操作简单，具有极为广泛的群众基础，游戏规则为：石头克剪

刀，剪刀克布，布克石头.两人参加游戏，若两人都随机出手，则出手1次就能分出胜负的概率为.

【答案】|

【解析】

【分析】列出表格结合古典概型概率公式即得.

【详解】

石头剪刀布

石头石头、石头石头、剪刀石头、布

剪刀剪刀、石头剪刀、剪刀剪刀、布

布布、石头布、剪刀布、布

从表中可以看出，两个人每次随机出手，则出手1次就能分出胜负的概率为9=2.

93

故答案为：—.

3

10.若平行四边形AB'CD'是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形ABCD的直观图.已知

48'=4,/。'43'=45，平行四边形A6'。'。'的面积为8,则原平面图形46CD中AD的长度为

【答案】472

【解析】

【分析】由平行四边形的面积求出4。'=2后，再结合斜二测画法分析可得结果.

如图，过点DC作。石，A8于点E，则△A'ED'为等腰直角三角形,

由平行四边形AB'C'D'的面积为8得AB'D'E=8,

AB'=4,：.DE=2，：.AD'=20

•••原平面图形ABC。中，ZDAB^90°,AD=2A'D'=442-

故答案为：472.

11.设地球的半径为R,若A在北纬30°的纬线图上，则此纬线圈构成的小圆面积为,（结果用

R表示）

3兀心

【答案】

4

【解析】

【分析】作出图象，求出小圆半径即可得答案.

【详解】解：如图所示：

所以小圆的面积为5=兀,=岂吧.

4

故答案为：皿

4

12.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南

北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围

成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一

个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体的棱长为

图1图2

【答案】V2-1

【解析】

【分析】从图形中作一个最大的水平截面，它是一个正八边形，八个顶点都在边长为铁正方形边上，由此

可计算出棱长.

【详解】作出该图形的一个最大的水平截面正八边形ABCDEFGH,如图，其八个顶点都在边长为1的正

方形上，设“半正多面体”棱长为则半〃X2+4=1，解得〃=血-1，

故答案为：72-1.

【点睛】本题考查学生的空间想象能力，抽象概括能力，解题关键是从“半正多面体”中作出一个截面为正

八边形且正八边形的八个顶点都在边长为1的正方形上，由此易得棱长.

二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项

是正确的，选对得3分，否则一律得零分.

13.“平面a内有一条直线/,则这条直线上的一点A必在这个平面内”用符号语言表述是（

luaIua

A.>=>Ac^aB.>=4>Aea

Au/AG/

lealea

C.>=>AeaD.>=>Acza

Au/AG/

【答案】B

【解析】

【分析】根据点与线、点与面的关系是元素和集合的关系，线与面的关系是集合与集合的关系判断即可.

【详解】：平面a内有一条直线/,•••/ua,

:点A在直线/上，

Aea.

故选：B.

14.已知为随机事件，A与5互斥，B与C互为对立,且尸（A）=0.1,P（C）=0.4,则

P(A_JB)=()

A.0.06B.0.5C.0.6D.0.7

【答案】D

【解析】

【分析】根据对立事件和互斥事件的概率公式求解即可.

【详解】因为B与C互为对立，P（C）=0.4,

所以尸（3）=1—尸（c）=0.6,

因为A与8互斥，

所以尸（AU5）=/（A）+尸（5）=0.7.

故选：D.

15."中国天眼”为500米口径球面射电望远镜（Five—hundred—meterApertureSphericalradioTelescope,简称

FAST）,是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜.建造“中国天眼”的目的是（）

A.通过调查获取数据B.通过试验获取数据

C.通过观察获取数据D.通过查询获得数据

【答案】C

【解析】

【分析】根据获取数据的途径判断即可.

【详解】“中国天眼”主要是通过观察获取数据.

故选：C.

16.某社区通过公益讲座宣传交通法规.为了解讲座效果，随机抽取10位居民，分别在讲座前、后各回答

一份交通法规知识问卷，满分为100分.他们得分的茎叶图如图所示（“叶”是个位数字），则下列选项叙述

错误的是（）.

讲座前讲座后

505

5006

500

080555

090055

1000

A.讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分

B.讲座前的答卷得分分布较讲座后分散

C.讲座前答卷得分的中位数是70

D.讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差

【答案】C

【解析】

【分析】利用茎叶图分析判断AB；求出中位数判断C；求出极差判断D.

【详解】对于A,由茎叶图知讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分，A正确；

对于B,讲座前的答卷得分分布在5090之间，而讲座后得分分布在80100之间，

因此讲座前的答卷得分分布较讲座后分散，B正确；

对于C,讲座前答卷得分依次为50,55,60,60,65,70,70,75,80,90,其中位数为67.5,C错误；

对于D,讲座前答卷得分的极差为90-50=40,讲座后得分的极差为100-80=20,

因此讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差，D正确.

故选：C

三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤.

17.如图，在VABC中，AB=4,BC=3,ZABC=120,将VABC绕轴旋转一周形成了一个旋

转体.

（1）求这个旋转体的体积；

（2）求这个旋转体的表面积.

【答案】（1）12兀

⑵（8百+2如1卜

【解析】

【分析】（1）旋转体是两个圆锥的组合体，利用圆锥的体积计算旋转体的体积（2）利用圆锥的表面积计算

旋转体的表面积；

【小问1详解】

VA3C绕5c轴旋转一周，形成的几何体（一个大圆锥挖去一个小圆锥余下的部分）

如图所示.在Rt_AO3中，ZABO=60,AB=4,:.OB=^AB=2,OA=2也

OC—OB+BC—5.

设旋转体的底面面积为s,旋转得到同底的两圆锥的侧面积分别为S］和S2,则旋转体的体积

V=%锥C。—%锥加=京℃—京。3=小1。=］义。12.叱=］*12义3=12兀.

~A

【小问2详解】

由（1）得旋转体的表面积

5表=Sj+S2=7rOA-AB+7t-OA-AC=3tx2Gx4+7tx25/^xV^7^=8g7t+2#Hjt=e6+2A/nT)7t.

18.如图，在棱长为2的正方体ABC。—AgGA中，及/分别为线段3。的中点.

（1）求异面直线所与5c所成角的大小;

（2）求点。到平面A即的距离.

【答案】（1）arctan^2

⑵如

3

【解析】

【分析】（1）根据直线口和直线5口平行，得NRBC异面直线所与5c所成角，进而在△2BC中求

解即可；

（2）利用棱锥的体积公式，结合等体积法列方程求解即可.

【小问1详解】

连接DR,D,C,因为瓦歹分别为线段。3。的中点，

所以EF//RB,故异面直线所与6C所成角为N2BC；

又5C，平面DRCG,"Cu平面DDtCq,

所以BCJ.RC,

nC

所以tan/23C=法

故异面直线E尸与6c所成的角为arctan&.

【小问2详解】

在正方体中ABCD-，E,F分别为线段,3D的中点，

所以£DL平面AD产，且ED=g">]=l

因为F是线段的中点，

所以5皿=小的=3：><2><2=1,

故三棱锥石一AD尸的体积丫=工5WFXEDMLXIXIM,；

333

因为瓦歹分别为线段的中点，

所以EF=LBD、—LX26=6，

22

又因为4石=6，AF=-AC=-x2s/2=s/2,

22

所以在ZXA跖中满足所2+.2=.2,故△但'为直角三角形，

则s”，=LAFXEF=LX正义6=区'

AEF222

设点D到平面AEF的距离为d,

则三棱锥石―A£）尸的体积丫=工5AEFxd^-x^-xd=~，解得d=乂5，

3-3233

瓜

因此点。到平面的距离为

19.如图，边长为2的正方形ACDE所在平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M,ACLBC,

且AC=5C

E,D

（1）求证：AM，平面EBC；

（2）求直线EC与平面ABE所成角的大小.

【答案】（1）证明见详解；

⑵-

6

【解析】

【分析】（1）由4。。£是正方形可得闻以，£。，由面面垂直性质定理可得5C上面ACDE,进而得到

BCVAM,由线面垂直的判定定理即可证明；

（2）过C作CFLAB交A5于尸，连接E尸，由面面垂直性质定理可得AE上面ABC,进而得到

AE±CF,由线面垂直的判定定理可得CFL面ABE,故可得NCEF即为直线EC与平面叱所成

角，由已知长度即可求线面角.

【小问1详解】

由ACDE是正方形，则AM，EC,

因为面ACDEJ_面ABC,面面ABC=AC,AC±BC,BCu面ABC,

所以BC上面ACDE,又AMu面ACDE，

所以,

又因为ECBC=C,ECu平面EBC,BCu平面ESC,

所以AM_L平面ESC.

【小问2详解】

过C作CF,A3交AB于尸，连接所,

因为ACDE是正方形，则AELAC,

因为面ACDE上面ABC,面ACDE「面A3C=AC,AEu面AC",

所以4石_1_面A8。，又CEu面ABC,

所以AE_LCE,

又因为CbLAB,AEr>AB=A,AEu面ABE,ABu面ABE，

所以CbJ_面ABE,

所以NCEF即为直线EC与平面ABE所成角，

因为正方形ACDE边长为2,AC=BC,ACLBC,

所以。歹=四，EC=2V2>

CF1

所以sinNCEF=J=—,

CE2

71

因ZCEFe0,-,

2

jrjr

所以NCE/=—,即直线EC与平面ABE所成角的大小为一.

66

20.如图，四棱锥P—ABCD中，，底面ABCZ）,24=40=2,8。=1,AB=石.

C1）若证明：〃平面P6C；

（2）求二面角尸—BC—A的大小.

【答案】（1）证明见详解;

⑵arctan------

3

【解析】

【分析】（1）由题意可证AO_L面R4B,面进而命题即可得证；

（2）由（1）可证得/PBA即为二面角尸—BC—A的平面角，在Rt△上钻中，根据三角函数定义即可求

二面角.

【小问1详解】

因为PAJ_底面ABC。，ADu面ABCD,

所以P4，A£>,

又因为PA\PB=P,QAu面A4B，PBu面B4B，

所以40_1面八45，

因为AC=2,30=1,43=6，

所以人§2+5。2=人。2,故ABLBC,

又因PA_L底面ABC。，BCu面ABC。，

所以K4L5C,

又以AB=A,Q4u面PA5,ABu面八4B,

所以BC,面E45，

所以AD〃BC,又ADa平面P3C,BCu平面P6C,

所以AD〃平面P6C.

【小问2详解】

由(1)可知，3C，面八43,

因为P3u面八1B，

所以5cLp6,

又因为A3L5C,

所以/P3A即为二面角P—5C—A的平面角，

在中，PA=2,AB=j3,

fPA22G

所以tanNPBA==—产=----，

AB63

所以NPBA=arctan冥E,

3

所以二面角P—BC—A的大小为arctan拽.

3

21.2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉

松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名

候选者的面试成绩，并分成五组：第一组［45,55),第二组［55,65),第三组［65,7