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文档简介
浦东新区2024学年度高二第一学期期末教学质量检测
数学试卷
注意:
1.答卷前,考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚.
2.本试卷共有21道试题,满分100分,考试时间90分钟.
一、填空题(本大题共有12题,满分36分)只要求直接填写结果,每个空格填对得3分,否
则一律得零分.
1.两条异面直线所成角的范围是.
【答案】
【解析】
【分析】根据异面直线的定义求解即可.
【详解】根据异面直线的定义,两条异面直线所成角的范围是为[o,].
故答案为:.
1—
2.记事件A的对立事件为A,若尸(A)=§,则P(A)为.
2
【答案】一
3
【解析】
【分析】由对立事件的概率公式计算求解即可.
1_1?
【详解】因为尸(A)=§,所以P(A)=1-
2
故答案为:一.
3
3.表面积为16兀球的体积是(结果保留兀)
r效安】32兀32
L口木:】##兀
33
【解析】
【分析】根据表面积求得球的半径,进而求得球的体积.
【详解】设球的半径为R,则4兀氏2=16兀,尺=2,
zljr327r
所以球的体积为—x23=-----
33
327r
故答案为:
"T
4.已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为
【答案】0.6
【解析】
【详解】试题分析:从这5件产品中任取2件的取法为C;=10,所以基本事件总数为10;设“选的2件产
品中恰有一件次品”为事件A,则A包含的基本事件个数为=6,所以尸(A)=*=0.6.
考点:1、古典概型;2、组合数.
5.某袋子内装有三种颜色的小球,小明每次从袋子中随机摸出一个小球,观察颜色后再放回,重复了90
次,得到的信息如下:观察到红色小球52次,蓝色小球26次.如果从这个袋子内任意摸一个小球,这个小
球既不是红色也不是蓝色的经验概率为.
【答案】4
【解析】
【分析】计算红色球、蓝色球出现的频率,即为概率,由事件的关系可计算既不是红色也不是蓝色的概率.
【详解】记取到红球为事件A,取到蓝球为事件8,取到的球不是红球也不是蓝球为事件C.
所以尸⑷磊.,p⑸嗡*
由题意,C=A+B,且AB互斥,
则P(C)=1—P(A+3)=1一P(A)-P(B)=[J.
故答案为:—
6.已知尸(A)=0.2,P(6)=0.7,若A,B互斥,则B)=.
【答案】09
【解析】
【分析】利用互斥事件的概率求解.
【详解】解:因为P(A)=0.2,P(5)=0.7,且A,8互斥,
所以P(AB)=P(A)+P(B)=0.2+0.7=0.9,
故答案为:0.9
7.若五个数a,0,1,2,3的平均数为1,则这五个数的方差等于.
【答案】2
【解析】
【分析】本题可先依据平均数公式求出。的值,再用方差的公式计算出方差即可.
【详解】a=lx5-l-2-3-0=-l,
方差=J[(-I_I)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=2.
故答案为2.
【点睛】本题考查的是平均数和方差的求法.计算方差的步骤是:①计算数据的平均数;②计算偏差,即每个数
据与平均数的差;③计算偏差的平方和;④偏差的平方和除以数据个数.
8.有一组按从小到大顺序排列的数据:3,5,%,8,9,10,若其极差与平均数相等,则这组数据的中位
数为.
【答案】7.5##—
2
【解析】
【分析】由极差和平均数求出x,即可求出中位数.
【详解】依题意可得极差为10—3=7,平均数为工(3+5+x+8+9+10)=1(35+x),
66
所以工(35+x)=7,解得尤=7,
6
-7!O
所以中位线为——=7.5.
2
故答案为:7.5
9.“石头、剪刀、布”是一种古老的游戏,操作简单,具有极为广泛的群众基础,游戏规则为:石头克剪
刀,剪刀克布,布克石头.两人参加游戏,若两人都随机出手,则出手1次就能分出胜负的概率为.
【答案】|
【解析】
【分析】列出表格结合古典概型概率公式即得.
【详解】
石头剪刀布
石头石头、石头石头、剪刀石头、布
剪刀剪刀、石头剪刀、剪刀剪刀、布
布布、石头布、剪刀布、布
从表中可以看出,两个人每次随机出手,则出手1次就能分出胜负的概率为9=2.
93
故答案为:—.
3
10.若平行四边形AB'CD'是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形ABCD的直观图.已知
48'=4,/。'43'=45,平行四边形A6'。'。'的面积为8,则原平面图形46CD中AD的长度为
【答案】472
【解析】
【分析】由平行四边形的面积求出4。'=2后,再结合斜二测画法分析可得结果.
如图,过点DC作。石,A8于点E,则△A'ED'为等腰直角三角形,
由平行四边形AB'C'D'的面积为8得AB'D'E=8,
AB'=4,:.DE=2,:.AD'=20
•••原平面图形ABC。中,ZDAB^90°,AD=2A'D'=442-
故答案为:472.
11.设地球的半径为R,若A在北纬30°的纬线图上,则此纬线圈构成的小圆面积为,(结果用
R表示)
3兀心
【答案】
4
【解析】
【分析】作出图象,求出小圆半径即可得答案.
【详解】解:如图所示:
所以小圆的面积为5=兀,=岂吧.
4
故答案为:皿
4
12.中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南
北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围
成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一
个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体的棱长为
图1图2
【答案】V2-1
【解析】
【分析】从图形中作一个最大的水平截面,它是一个正八边形,八个顶点都在边长为铁正方形边上,由此
可计算出棱长.
【详解】作出该图形的一个最大的水平截面正八边形ABCDEFGH,如图,其八个顶点都在边长为1的正
方形上,设“半正多面体”棱长为则半〃X2+4=1,解得〃=血-1,
故答案为:72-1.
【点睛】本题考查学生的空间想象能力,抽象概括能力,解题关键是从“半正多面体”中作出一个截面为正
八边形且正八边形的八个顶点都在边长为1的正方形上,由此易得棱长.
二、选择题(本大题共有4题,满分12分)每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项
是正确的,选对得3分,否则一律得零分.
13.“平面a内有一条直线/,则这条直线上的一点A必在这个平面内”用符号语言表述是(
luaIua
A.>=>Ac^aB.>=4>Aea
Au/AG/
lealea
C.>=>AeaD.>=>Acza
Au/AG/
【答案】B
【解析】
【分析】根据点与线、点与面的关系是元素和集合的关系,线与面的关系是集合与集合的关系判断即可.
【详解】:平面a内有一条直线/,•••/ua,
:点A在直线/上,
Aea.
故选:B.
14.已知为随机事件,A与5互斥,B与C互为对立,且尸(A)=0.1,P(C)=0.4,则
P(A_JB)=()
A.0.06B.0.5C.0.6D.0.7
【答案】D
【解析】
【分析】根据对立事件和互斥事件的概率公式求解即可.
【详解】因为B与C互为对立,P(C)=0.4,
所以尸(3)=1—尸(c)=0.6,
因为A与8互斥,
所以尸(AU5)=/(A)+尸(5)=0.7.
故选:D.
15."中国天眼”为500米口径球面射电望远镜(Five—hundred—meterApertureSphericalradioTelescope,简称
FAST),是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜.建造“中国天眼”的目的是()
A.通过调查获取数据B.通过试验获取数据
C.通过观察获取数据D.通过查询获得数据
【答案】C
【解析】
【分析】根据获取数据的途径判断即可.
【详解】“中国天眼”主要是通过观察获取数据.
故选:C.
16.某社区通过公益讲座宣传交通法规.为了解讲座效果,随机抽取10位居民,分别在讲座前、后各回答
一份交通法规知识问卷,满分为100分.他们得分的茎叶图如图所示(“叶”是个位数字),则下列选项叙述
错误的是().
讲座前讲座后
505
5006
500
080555
090055
1000
A.讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分
B.讲座前的答卷得分分布较讲座后分散
C.讲座前答卷得分的中位数是70
D.讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差
【答案】C
【解析】
【分析】利用茎叶图分析判断AB;求出中位数判断C;求出极差判断D.
【详解】对于A,由茎叶图知讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分,A正确;
对于B,讲座前的答卷得分分布在5090之间,而讲座后得分分布在80100之间,
因此讲座前的答卷得分分布较讲座后分散,B正确;
对于C,讲座前答卷得分依次为50,55,60,60,65,70,70,75,80,90,其中位数为67.5,C错误;
对于D,讲座前答卷得分的极差为90-50=40,讲座后得分的极差为100-80=20,
因此讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差,D正确.
故选:C
三、解答题(本大题共有5题,满分52分)解答下列各题必须写出必要的步骤.
17.如图,在VABC中,AB=4,BC=3,ZABC=120,将VABC绕轴旋转一周形成了一个旋
转体.
(1)求这个旋转体的体积;
(2)求这个旋转体的表面积.
【答案】(1)12兀
⑵(8百+2如1卜
【解析】
【分析】(1)旋转体是两个圆锥的组合体,利用圆锥的体积计算旋转体的体积(2)利用圆锥的表面积计算
旋转体的表面积;
【小问1详解】
VA3C绕5c轴旋转一周,形成的几何体(一个大圆锥挖去一个小圆锥余下的部分)
如图所示.在Rt_AO3中,ZABO=60,AB=4,:.OB=^AB=2,OA=2也
OC—OB+BC—5.
设旋转体的底面面积为s,旋转得到同底的两圆锥的侧面积分别为S]和S2,则旋转体的体积
V=%锥C。—%锥加=京℃—京。3=小1。=]义。12.叱=]*12义3=12兀.
~A
【小问2详解】
由(1)得旋转体的表面积
5表=Sj+S2=7rOA-AB+7t-OA-AC=3tx2Gx4+7tx25/^xV^7^=8g7t+2#Hjt=e6+2A/nT)7t.
18.如图,在棱长为2的正方体ABC。—AgGA中,及/分别为线段3。的中点.
(1)求异面直线所与5c所成角的大小;
(2)求点。到平面A即的距离.
【答案】(1)arctan^2
⑵如
3
【解析】
【分析】(1)根据直线口和直线5口平行,得NRBC异面直线所与5c所成角,进而在△2BC中求
解即可;
(2)利用棱锥的体积公式,结合等体积法列方程求解即可.
【小问1详解】
连接DR,D,C,因为瓦歹分别为线段。3。的中点,
所以EF//RB,故异面直线所与6C所成角为N2BC;
又5C,平面DRCG,"Cu平面DDtCq,
所以BCJ.RC,
nC
所以tan/23C=法
故异面直线E尸与6c所成的角为arctan&.
【小问2详解】
在正方体中ABCD-,E,F分别为线段,3D的中点,
所以£DL平面AD产,且ED=g">]=l
因为F是线段的中点,
所以5皿=小的=3:><2><2=1,
故三棱锥石一AD尸的体积丫=工5WFXEDMLXIXIM,;
333
因为瓦歹分别为线段的中点,
所以EF=LBD、—LX26=6,
22
又因为4石=6,AF=-AC=-x2s/2=s/2,
22
所以在ZXA跖中满足所2+.2=.2,故△但'为直角三角形,
则s”,=LAFXEF=LX正义6=区'
AEF222
设点D到平面AEF的距离为d,
则三棱锥石―A£)尸的体积丫=工5AEFxd^-x^-xd=~,解得d=乂5,
3-3233
瓜
因此点。到平面的距离为
19.如图,边长为2的正方形ACDE所在平面与平面ABC垂直,AD与CE的交点为M,ACLBC,
且AC=5C
E,D
(1)求证:AM,平面EBC;
(2)求直线EC与平面ABE所成角的大小.
【答案】(1)证明见详解;
⑵-
6
【解析】
【分析】(1)由4。。£是正方形可得闻以,£。,由面面垂直性质定理可得5C上面ACDE,进而得到
BCVAM,由线面垂直的判定定理即可证明;
(2)过C作CFLAB交A5于尸,连接E尸,由面面垂直性质定理可得AE上面ABC,进而得到
AE±CF,由线面垂直的判定定理可得CFL面ABE,故可得NCEF即为直线EC与平面叱所成
角,由已知长度即可求线面角.
【小问1详解】
由ACDE是正方形,则AM,EC,
因为面ACDEJ_面ABC,面面ABC=AC,AC±BC,BCu面ABC,
所以BC上面ACDE,又AMu面ACDE,
所以,
又因为ECBC=C,ECu平面EBC,BCu平面ESC,
所以AM_L平面ESC.
【小问2详解】
过C作CF,A3交AB于尸,连接所,
因为ACDE是正方形,则AELAC,
因为面ACDE上面ABC,面ACDE「面A3C=AC,AEu面AC",
所以4石_1_面A8。,又CEu面ABC,
所以AE_LCE,
又因为CbLAB,AEr>AB=A,AEu面ABE,ABu面ABE,
所以CbJ_面ABE,
所以NCEF即为直线EC与平面ABE所成角,
因为正方形ACDE边长为2,AC=BC,ACLBC,
所以。歹=四,EC=2V2>
CF1
所以sinNCEF=J=—,
CE2
71
因ZCEFe0,-,
2
jrjr
所以NCE/=—,即直线EC与平面ABE所成角的大小为一.
66
20.如图,四棱锥P—ABCD中,,底面ABCZ),24=40=2,8。=1,AB=石.
C1)若证明:〃平面P6C;
(2)求二面角尸—BC—A的大小.
【答案】(1)证明见详解;
⑵arctan------
3
【解析】
【分析】(1)由题意可证AO_L面R4B,面进而命题即可得证;
(2)由(1)可证得/PBA即为二面角尸—BC—A的平面角,在Rt△上钻中,根据三角函数定义即可求
二面角.
【小问1详解】
因为PAJ_底面ABC。,ADu面ABCD,
所以P4,A£>,
又因为PA\PB=P,QAu面A4B,PBu面B4B,
所以40_1面八45,
因为AC=2,30=1,43=6,
所以人§2+5。2=人。2,故ABLBC,
又因PA_L底面ABC。,BCu面ABC。,
所以K4L5C,
又以AB=A,Q4u面PA5,ABu面八4B,
所以BC,面E45,
所以AD〃BC,又ADa平面P3C,BCu平面P6C,
所以AD〃平面P6C.
【小问2详解】
由(1)可知,3C,面八43,
因为P3u面八1B,
所以5cLp6,
又因为A3L5C,
所以/P3A即为二面角P—5C—A的平面角,
在中,PA=2,AB=j3,
fPA22G
所以tanNPBA==—产=----,
AB63
所以NPBA=arctan冥E,
3
所以二面角P—BC—A的大小为arctan拽.
3
21.2023年10月22日,汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行,志愿者的服务工作是马拉
松成功举办的重要保障,襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名
候选者的面试成绩,并分成五组:第一组[45,55),第二组[55,65),第三组[65,7
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