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文档简介

2024学年第一学期高二年级数学期末

2025.1

一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)

1.直线6x-y-2=0的倾斜角为.

2.平行于同一平面的两直线的位置可能是.

3.已知圆锥的母线与底面所成角为45。,高为1,则该圆锥的母线长为.

4.经过点(2,1)且与圆x2+丁=5相切的直线方程是.

5.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为1,6,3,

则此球表面积为

6.如图,在长方体ABC。-A4G2中,棱AA=5,AB=12,则直线4G到平面

的距离为.

7.已知平行直线4:x-2y—7=0和4:*一期一》=0的

距离为增,贝=.

22

8.已知双曲线工=1,若椭圆c以双曲线r的顶

916

点为焦点,长轴长为46,则椭圆的标准方程为

9.如图,45是底面半径为R的圆柱侧面上两点,它们在底面上的射影分别为⑷,小,若

AA'=a,BB'=b,弧4*=中,则沿圆柱侧面从4到3的最短距离

是.

10.已知直线/是抛物线C:y,=4x的准线,抛物线的顶点为原点

O,焦点为下,若4为C上一点,/与C的对称轴交于点3,在

AABF中,sinZAFB=y/2sinZABF,则\AB\的值为,

11.阅读材料:空间直角坐标系O-xyz中,过点尸(与仇冬)且一个法向量为话=(“,瓦c)

的平面a的方程为“(*-*0)+8(7-%)+《2-之)=0.

阅读上面材料,解决下面问题:已知平面a的方程为x-2y+z-7=0,直线/是两平面

x-y+l=O与y-z+2=0的交线,则直线I与平面a所成角的正弦值为.

12.在三棱锥P-ABC中,AB=2^2,PC=1,PA+PB=4,CA-CB=2,且

则二面角尸-的余弦值的最小值为.

二、选择题(本大题共4题,满分18分.其中第13-14题4分,第15-16题5分).

13.数学家欧拉在1765年发现,任意三角形的外心,重心,垂心位于同一条直线上,这

条直线称为三角形欧拉线.已知AA5C的顶点坐标为4(0,0)/(0,4),C(4,4),则AA/JC欧

拉线的方程为().

A.x+j-4=0B.X—j>+4=0

C.x+y+4=0D.x—j—4=0

14.沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组

成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称

为该沙漏的一个沙时.如图,某沙漏由上下两个圆道组成,圆锥的底面直径和高均为

8cm,细沙全部在上部,其高度为圆锥高度的。(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟

漏下0.02a/的沙,则该沙漏的一个沙时大约是()((兀*3.14).

A.1895秒B.1896秒

C.1985秒D.2528秒t二\一7

2h

3

h

15.如图,在棱长为1正方体ABC。-中,点M为棱万。的中点,则由A,",G

三点所确定的平面截该正方体所得截面的面积为(

A3百2A/3

r\..--------

4

c.,

4

16.已知函数y=f(x)的图象恰为椭圆

22

C:3+%=l(a>>>0)x轴上方的部分,若/(s-f)/(s)](s+f)成等比数列,则平

面上点(s,f)的轨迹是().

A.线段(不包含端点)B.椭圆一部分

C.双曲线一部分D.线段(不包含端点)和双曲线一部分

三、解答题(本大题共有5题,满分78分).

17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分

如图,长方体4国力一4鸟中,AB=AD=l,AAl=2,点P为OR的中点.

(1)求证:直线BO1〃平面Etc;

(2)求异面直线5,与4P所成角的大小.

18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分

已知圆C:(x—l)2+(y—2)2=20,直线I:(2m+1)X+(机+1)y-7帆一4二0.

(1)证明:不论加取什么实数,直线/与圆C恒相交于两点;

(2)直线/能否将圆C分割成弧长的比值为‘的两段圆弧?为什么?

2

19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分

22

已知双曲线「:q-5=1(。>0,》>0)的左,右焦点分别为居/,.

ab

(1)若「的实轴长为2,焦距为4,求「的渐近线方程:

2

(2)已知尸是双曲线「:必―事=1的左支上一点,4(0,6庭).当AAP工周长最小时,

求AAPK的面积.

20.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第

3小题满分8分

如图,在四棱锥尸-4BCD中,底面ABCD是等腰梯形,AB//CD,AD=AB=-CD,平

2

面AZXP_L平面PCD,PD±PC.

(1)求证:AC±AD;

(2)求证:AA”为直角三角形;

(3)PC=AD=1,求四棱棱尸一4BCD的体积.

21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题的①满分6

分,第2小题的②满分8分

已知尸为抛物线£:/=4x的焦点,过点F的直线与抛物线E相交于A(x”%),8(%,%)

(占<*2)两点.

(1)证明:与芍是常数;

(2)过点下作直线的垂线/与抛物线E的准线相交于点尸,与抛物线E相交于C,。

两点(点。的横坐标小于点。的横坐标).

①求西•丽的值;

②俨A|WC+|F叫万。|是否存在最小值?若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明

理由.

2025年

2024学年第一学期高二年级数学期末

2025.1

一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)

1.直线6x-y-2=0的倾斜角为.

【答案】|

2.平行于同一平面的两直线的位置可能是.

【答案】平行或相交或异面

3.已知圆锥的母线与底面所成角为45。,高为1,则该圆锥的母线长为.

【答案】

4.经过点(2,1)且与圆必+/=5相切的直线方程是.

【答案】2x+j-5=0

5.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为1,收,3,

则此球表面积为.

[答案]127t织c,

6.如图,在长方体AMD-4居C],中,棱44]=5,AB=12,即(J.忡

则直线4G到平面ABCR的距离为.C

ACAa

【答案】居

7.已知平彳亍直线[:*一2)-7=0和4:x-ay-5=0的距离为暂,贝=.

【答案】6或8

22

8.已知双曲线r:I-3=i,若椭圆C以双曲线「的顶点为焦点,长轴长为46,则椭圆

916

的标准方程为

2025年

22

【答案】U=i

123

9.如图,4,5是底面半径为R的圆柱侧面上两点,它们在底面上的射

影分别为4'0,若44』a,5*=8,弧4■=竽,则沿圆柱侧面从

A到5的最短距离是.

【答案】(利

10.已知直线/是抛物线C:/=4x的准线,抛物线的顶点为原点。,焦点为产,若4为C

上一点,,与C的对称轴交于点B,在A4BF中,sinZAFB=4IsinZABF,则14用的值

为.

【答案】2及

11.阅读材料:空间直角坐标系。-孙z中,过点尸(》,典,号)且一个法向量为为=(“,,/)的

平面a的方程为。(丫一/)+方3-%)+,6一0)=0.

阅读上面材料,解决下面问题:已知平面a的方程为x-2y+z-7=0,直线/是两平面

x-y+l=0与y-z+2=0的交线,则直线/与平面a所成角的正弦值为.

【答案】0

【解析】平面a的方程为x-2y+z-7=0,可得平面a的法向量为"=。,-2,1),

平面x—y+l=0的法向量为*=(1,-1,0)4-々+2=0的法向量为冠=(0,1,-1),

设直线,的方向向量为成=(x,y,z),贝!]2一°,即

mm,=01y-z=0

令Z=l,则庆=(1,1,1),设直线,与平面a所成角9,0。90。,

则sinQ=\cosm,n\=辱"=噎增=0,所以直线I与平面a所成角的正弦值为0.

同同V3xV6

2025年

12.在三棱锥P—ABC中,AB=2A/2,PC=1,PA+PB=4,CA-CB=2,且PC_L4B,则

二面角尸-48-。的余弦值的最小值为.

【答案】/

又因为C4—CB=2,所以点A的轨迹方程为-―V=l,(双曲线的一支).

过点P作而P?TcPC=P,PF,PCu面R7C,所以„面

PHC,

设。为4B中点,则二面角P-4B-C为NZWC,直角坐标系23内

22

设点4,5为焦点,则点尸的轨迹为椭圆方程为[+J=l,

42

点C的轨迹为双曲线一支方程为x2-/=l(x>0),

过点尸作交于点。,连接CQ,将面ABC沿直线4B折成二面角,

则APQC为二面角P-AB-C的平面角.

2/

设尸点横坐标为X,则1<%<2,尸。=2—彳,贝=-

PQ2+CQ2_pc?

于是可得:cosZPQC=

2PQQC

2025年

由于3©f,得士=《=*2=:=cosZPQCmin=乎.

xJx853

二、选择题(本大题共4题,满分18分.其中第13-14题4分,第15-16题5分).

13.数学家欧拉在1765年发现,任意三角形的外心,重心,垂心位于同一条直线上,这

条直线称为三角形欧拉线.已知A4BC的顶点坐标为4(0,0)/(0,4)1(4,4),则AABC欧

拉线的方程为().

A.x+j-4=0B.X—j+4=0C.x+j+4=0D.x—j—4=0

【答案】A

14.沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组

成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称

为该沙漏的一个沙时.如图,某沙漏由上下两个圆道组

成,圆锥的底面直径和高均为8cm,细沙全部在上部,

其高度为圆锥高度的;(细管长度忽略不计).假设该沙

漏每秒钟漏下0.02c,/的沙,则该沙漏的一个沙时大约

是()(("3.14).

A.1895秒B.1896秒

C.1985秒D.2528秒

【答案】c

15.如图,在棱长为1正方体A3CD-A/JGR中,点”为棱万。的中点,则由A,M,G

三点所确定的平面截该正方体所得截面的面积为().

A3石口2石

%___________311cM

43,10

C.逅D.逅

42

A・

2025年

【答案】D

22

16.已知函数y=/(x)的图象恰为椭圆C:》+%=l(a>》>0)x轴上方的部分,若

/(s-f),〃s)"(s+f)成等比数列,则平面上点(s,f)的轨迹是().

A.线段(不包含端点)B.椭圆一部分

C.双曲线一部分D.线段(不包含端点)和双曲线一部分

【答案】A

22

【解析】因为函数7=/(x)的图象恰为椭圆C:》+}=l(a>B>0)x轴上方的部分,

所以y=f(x)=b[l-*(-a<x<a),因为“s-f)J(s)J(s+f)成等比数列,

所以有/2(s)=-/(s+。,且有—avsva,—avs—£va,—avs+rV。成立,

即—a<s<a,—a<t<a成立,

由r(s)="s—〉/(s+f)n6.Jl一》,

\/

化简得:t4=2a212+2s212^t2(t2-la2-2s2)=0^t2=0,或〃一2a?-Zs?=。,

当d=0时,即r=O,因为-a<s<a,所以平面上点(s,z)的轨迹是线段(不包含端点);

当/-2/_2s2=0时,即r=2/+2s2,因为-"/〈a,所以/</,

而2«2+2S2>/,所以〃=2/+2s?不成立,故选:A

三、解答题(本大题共有5题,满分78分).

17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分

2025年

如图,长方体A3CD-AHCiR中,AB=AD=1,AA1=2,点P为。,的中点.

(1)求证:直线5R//平面Bic;

(2)求异面直线与4尸所成角的大小.

【答案】(1)见解析(2)2

6

【解析】(1)证明:设4c和5。交于点O,则。为即的中

点,连结PO,又rp是OR的中点,.•.尸。//5口,

又•••POU平面PAC,BDt(Z平面PAC,:.直线BDJ1平面

PAC.

(2)由(1)知:P0//5R,,川。为异面直线3,与4尸所成的角(或其补角)

---PA=PC=y/2,AO=-AC=—S.PO±AO,

22

e

/t[IT

sinZAPO=——二3=ZAPO=30。,即异面直线BD1与AP所成角的大小为-.

APyj226

18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分

已知圆C:(x-1)?+(y-2丫=20,直线I:(2m+l)x+(m+l)y-7m-4=0.

(1)证明:不论加取什么实数,直线/与圆C恒相交于两点;

(2)直线/能否将圆。分割成弧长的比值为!的两段圆弧?为什么?

【答案】(1)见解析(2)能,理由见解析

【解析】(1)I-(2m+1)x+(/n+1)y-7/n-4=0,g|Jm(2x+J-7)+X+J-4=0,

由,解得*==1,故直线过定点尸(3,1),

又因为(3-1-+(1-2)2=5<20,故点尸在圆内,则直线,与圆C恒相交两点,

(2)设直线,与圆C相交于4,5,假设直线,能将圆C分割成弧长的比值为1:2的两段

2025年

圆弧,则圆心角NAC3=120。,即点C到直线,的距离为

7s,J~V=V5化简得(4帆+3)2=0,所以m=,所以存在直线

J(2%+1)2+(,”+1)24

2x-j-5=0满足题意.

(或者利用此时|CP|=后,此时即过p垂直于CP的直线,满足题意)

19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分

22

已知双曲线「:0-A=i(a>o,》>o)的左,右焦点分别为K,E.

ab

(1)若「的实轴长为2,焦距为4,求「的渐近线方程:

2

(2)已知尸是双曲线「:必-事=1的左支上一点,4(0,6庭).当AA%周长最小时,

求AAP工的面积.

【答案】(1)7=±石"(2)S3F2=12屈

【解析】(1)令双曲线的半焦距为c,依题意,a=l,c=2,由‘2=/+/,得b=6,

则2=6,所以双曲线T的渐近线方程为y=±Qx.

a

(2)由双曲线的定义可得|P可|=2Q+|P4|,

所以AAPF2的周长为|P4|+\PF2\+\AF2\=|P4+\p\+(2atA(E),

由于2〃+|4叫为定值,要使AAPg的周长最小,则应使忸阂+怛居|最小为以居|,

即点尸在线段A居上居(-3,0),4(0,66),所以直线4月的方程为:

2025年

2

即*=:-3,将其代入了2一4=1,解得)=26或y=-8"(舍去),因此点

2V68

4-2,2后).所以5凶神=S^AFiF?-SAPFF]=l^bA-1l^|-jp=i2^

20.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第

3小题满分8分

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是等腰梯形,AB!ICD,AD=AB=-CD,平

2

面陋产J_平面PCD,PD±PC.

(1)求证:AC±AD;

(2)求证:AAD尸为直角三角形;

(3)若PC=AZ>=1,求四棱棱尸一4BCD的体积.

【答案】(1)见解析(2)见解析(3)叵

4

【解析】(1)证明:作AE_LOC,E为垂足,在等腰梯形

ABCD中,^AD=AB=BC=-CD=a(a>0),

2

所以DE=-(CD-AB)=2a,Z4OE=60。,

22

故AC=J。>+4——2•2a2cos60°=百a,所以

AC2+AD2=DC2,所以4c_LAZ)

(2)因为PC_LPD,平面4。尸_1_平面PCD,平面ADPc平面PCD=PD,PCu平面

PCD,尸C_L平面AZ>尸,ADu平面ADB・.PC_LAD.ACcPC=C,AC,PCu平面

ACP,

••・4D_L平面ACP「・,4Pu平面4cP,/.AD±AP,.\ZDAP=90°,即AAZ>P为直角三角

(3)由(1)知在等腰梯形ABCD中,

AE=^-,SAADC=|xlxV3=^SABCDUABCD3._3

2^P-ADC2

224^AADC

2025年

又产C_L平面为直角三角形,PDA.PC

:.DP==6,AP=《6=亚,

VV

而P-ADC=C-ADP=^X^X1X^X1=^~,Vp_ABCD=^Vp_ADC=中.

J2o24

21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题的①满分6

分,第2小题的②满分8分

2

已知尸为抛物线E:y=4x的焦点,过点F的直线与抛物线E相交于A(X1,J1),B(X2,J2)

(X1<x2)两点.

(1)证明:看马是常数;

(2)过点尸作直线45的垂线/与抛物线E的准线相交于点P,与抛物线E相交于C,O

两点(点。的横坐标小于点。的横坐标).

①求西•丽的值;

②忸刈尸。+忸用忸必是否存在最小值?若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明

理由.

【答案】(1)见解析(2)①万•丽=0②存在,最小值为48.

【解析】(1)由已知,点厂的坐标为(1,0),且可设直线A"的方程为x=7〃y+l,

联立方程组消去x,得_4my-4=0(*),

J=(-4m)2-4x1x(-4)=16m2+16>0,

所以为,%为方程(*)的两个实根,且%%=-4,

因为点4,5在抛物线E上,所以a/=4=°胆=1,为常数•

416

(2)在题设条件下,直线A&CZJ都不与坐标轴平行且机。0,

2025年

由(1)可知直线/的方程为:x=--y+l,

m

①因为抛物线E的准线方程为x=T,代入/的方程可得点P的坐标为,

由(1)可知,+x=2

=-4,XJX2=1,j,+y2=4m,xt2m[yx+j2)+2=4/M+2,

因此,PAPB={xl+Ijj-2/W)-(X2+l,y2-2»i),(7分)

222

=XjX2+(xt+x2)+1+y1y2-2〃?(必+J2)+4/M=l+4m+2+1-4-8,”?+4m=0,

即西•丽=0.

另解:设4/在准线上的射影分别为A,%则N551P=N3尸P=90。

由抛物线定义可知BF=BB1,又BP=BP,则RtABBJSRtABFP则ZBPBl=NBPF,

同理AAPAX=ZAPF,可得ZBPA=巴则西•丽=0

2

②伊川/。|+|F训五q存在最小值,

设点C,D的坐标分别为C(X3,J3),D(X4,J4),

2222

因为点4,&C,O均在抛物线E上,所以占=?*2=**3=",*4=字,

2025年

由AB_LCD,有(*1一1,%>(鼻一1,%)=0,即Y-1+%%=0,

I4八47

变形可得("一4乂y;-4)+16yly3=°»则,汶+16yly3+16=4(y;+y;)(**),

同理,讯+16%%+16=4(行+£),(13分)

根据抛物线的定义可知,

2222

|FA|=X1+1=-^-+1,|FB|=X2+1=^-+1,|FC|=X3+1=^-+1,|FD|=X4+1=^-+1

(2\r2\f2A/2\

所以|FA||FC|+俨/忻必=[字++ij+[字+ij[a+1

=(y;+4)(y;+4)+(4+4)(W+4)=+4(y;+y;)+16++4(£+却+16

一~^616—1616~

丫汶+8月为+16,£只+8%为+16(%%+4丫,(%儿+4)2

-I―十•

8888

由(**)知,y汶+24%%+16=4(%+%)&0,即(%为+12》N128,

当且仅当必+%=。时取"=",同理,(%为+12)22128,当且仅当%+为=。时取"=",

由题设,y2y4<y^j<0,所以%%2-12+8衣%为4一12-8后,

5%+4)2(-12+872+4)2(必必+4(-12-8A/2+4?

所以L>----------------L=24-16&,L>------------------L=24+16A/2

8888

由题意可知,%+%=°,%+,4=0同时成立,

此时,(必%+4)+(为为+4)取得最小值24-160+24+16痣=48,

88

2025年

故伊川|尸。|+忸叫歹£>|存在最小值,最小值为48.

另解:|五4|忸。+因训尸必存在最小值,

假设直线AB的倾斜角为a,根据题意可设0<a(色,

2

如图,设点3在X轴上的射影为点方,

抛物线E的准线与X轴相交于点F',

根据抛物线的

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