上海市2024-2025学年高二年级上册期末考试数学试卷（含答案）

2024学年第一学期高二年级数学期末

2025.1

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1.直线6x-y-2=0的倾斜角为.

2.平行于同一平面的两直线的位置可能是.

3.已知圆锥的母线与底面所成角为45。，高为1,则该圆锥的母线长为.

4.经过点（2,1）且与圆x2+丁=5相切的直线方程是.

5.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,6,3,

则此球表面积为

6.如图，在长方体ABC。-A4G2中，棱AA=5,AB=12,则直线4G到平面

的距离为.

7.已知平行直线4:x-2y—7=0和4：*一期一》=0的

距离为增，贝=.

22

8.已知双曲线工=1,若椭圆c以双曲线r的顶

916

点为焦点，长轴长为46,则椭圆的标准方程为

9.如图，45是底面半径为R的圆柱侧面上两点，它们在底面上的射影分别为⑷,小，若

AA'=a,BB'=b,弧4*=中，则沿圆柱侧面从4到3的最短距离

是.

10.已知直线/是抛物线C:y,=4x的准线，抛物线的顶点为原点

O,焦点为下，若4为C上一点，/与C的对称轴交于点3,在

AABF中，sinZAFB=y/2sinZABF,则\AB\的值为,

11.阅读材料：空间直角坐标系O-xyz中，过点尸（与仇冬）且一个法向量为话=（“,瓦c）

的平面a的方程为“（*-*0）+8（7-%）+《2-之）=0.

阅读上面材料，解决下面问题：已知平面a的方程为x-2y+z-7=0,直线/是两平面

x-y+l=O与y-z+2=0的交线，则直线I与平面a所成角的正弦值为.

12.在三棱锥P-ABC中，AB=2^2,PC=1,PA+PB=4,CA-CB=2,且

则二面角尸-的余弦值的最小值为.

二、选择题（本大题共4题，满分18分.其中第13-14题4分，第15-16题5分）.

13.数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心，重心，垂心位于同一条直线上，这

条直线称为三角形欧拉线.已知AA5C的顶点坐标为4（0,0）/（0,4）,C（4,4）,则AA/JC欧

拉线的方程为（）.

A.x+j-4=0B.X—j>+4=0

C.x+y+4=0D.x—j—4=0

14.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组

成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称

为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆道组成，圆锥的底面直径和高均为

8cm,细沙全部在上部，其高度为圆锥高度的。（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟

漏下0.02a/的沙，则该沙漏的一个沙时大约是（）（（兀*3.14）.

A.1895秒B.1896秒

C.1985秒D.2528秒t二\一7

2h

3

h

15.如图，在棱长为1正方体ABC。-中，点M为棱万。的中点，则由A,"，G

三点所确定的平面截该正方体所得截面的面积为(

A3百2A/3

r\..--------

4

c.，

4

16.已知函数y=f(x)的图象恰为椭圆

22

C：3+%=l(a>>>0)x轴上方的部分，若/(s-f)/(s)](s+f)成等比数列，则平

面上点(s,f)的轨迹是().

A.线段(不包含端点)B.椭圆一部分

C.双曲线一部分D.线段(不包含端点)和双曲线一部分

三、解答题(本大题共有5题，满分78分).

17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

如图，长方体4国力一4鸟中，AB=AD=l,AAl=2,点P为OR的中点.

(1)求证：直线BO1〃平面Etc；

(2)求异面直线5,与4P所成角的大小.

18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

已知圆C:(x—l)2+(y—2)2=20,直线I:(2m+1)X+(机+1)y-7帆一4二0.

(1)证明：不论加取什么实数，直线/与圆C恒相交于两点；

(2)直线/能否将圆C分割成弧长的比值为‘的两段圆弧？为什么？

2

19.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

22

已知双曲线「：q-5=1(。＞0,》＞0)的左，右焦点分别为居/,.

ab

(1)若「的实轴长为2,焦距为4,求「的渐近线方程：

2

(2)已知尸是双曲线「：必―事=1的左支上一点，4(0,6庭).当AAP工周长最小时,

求AAPK的面积.

20.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第

3小题满分8分

如图，在四棱锥尸-4BCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB//CD,AD=AB=-CD,平

2

面AZXP_L平面PCD,PD±PC.

(1)求证：AC±AD；

(2)求证：AA”为直角三角形；

(3)PC=AD=1,求四棱棱尸一4BCD的体积.

21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题的①满分6

分，第2小题的②满分8分

已知尸为抛物线£：/=4x的焦点，过点F的直线与抛物线E相交于A（x”%）,8（%,%）

（占＜*2）两点.

（1）证明：与芍是常数；

（2）过点下作直线的垂线/与抛物线E的准线相交于点尸，与抛物线E相交于C,。

两点（点。的横坐标小于点。的横坐标）.

①求西•丽的值；

②俨A|WC+|F叫万。|是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明

理由.

2025年

2024学年第一学期高二年级数学期末

2025.1

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1.直线6x-y-2=0的倾斜角为.

【答案】|

2.平行于同一平面的两直线的位置可能是.

【答案】平行或相交或异面

3.已知圆锥的母线与底面所成角为45。，高为1,则该圆锥的母线长为.

【答案】

4.经过点（2,1）且与圆必+/=5相切的直线方程是.

【答案】2x+j-5=0

5.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,收,3,

则此球表面积为.

［答案］127t织c,

6.如图，在长方体AMD-4居C］，中，棱44］=5,AB=12,即（J.忡

则直线4G到平面ABCR的距离为.C

ACAa

【答案】居

7.已知平彳亍直线［：*一2）-7=0和4：x-ay-5=0的距离为暂，贝=.

【答案】6或8

22

8.已知双曲线r：I-3=i,若椭圆C以双曲线「的顶点为焦点，长轴长为46,则椭圆

916

的标准方程为

2025年

22

【答案】U=i

123

9.如图，4,5是底面半径为R的圆柱侧面上两点，它们在底面上的射

影分别为4'0,若44』a,5*=8,弧4■=竽，则沿圆柱侧面从

A到5的最短距离是.

【答案】(利

10.已知直线/是抛物线C:/=4x的准线，抛物线的顶点为原点。，焦点为产，若4为C

上一点，，与C的对称轴交于点B,在A4BF中，sinZAFB=4IsinZABF,则14用的值

为.

【答案】2及

11.阅读材料：空间直角坐标系。-孙z中，过点尸(》,典,号)且一个法向量为为=(“,，/)的

平面a的方程为。(丫一/)+方3-%)+，6一0)=0.

阅读上面材料，解决下面问题：已知平面a的方程为x-2y+z-7=0,直线/是两平面

x-y+l=0与y-z+2=0的交线，则直线/与平面a所成角的正弦值为.

【答案】0

【解析】平面a的方程为x-2y+z-7=0,可得平面a的法向量为"=。,-2,1),

平面x—y+l=0的法向量为*=(1,-1,0)4-々+2=0的法向量为冠=(0,1,-1),

设直线，的方向向量为成=(x,y,z),贝！］2一°,即

mm,=01y-z=0

令Z=l,则庆=(1,1,1),设直线，与平面a所成角9,0。90。，

则sinQ=\cosm,n\=辱"=噎增=0,所以直线I与平面a所成角的正弦值为0.

同同V3xV6

2025年

12.在三棱锥P—ABC中，AB=2A/2,PC=1,PA+PB=4,CA-CB=2,且PC_L4B,则

二面角尸-48-。的余弦值的最小值为.

【答案】/

又因为C4—CB=2,所以点A的轨迹方程为-―V=l,(双曲线的一支).

过点P作而P?TcPC=P,PF,PCu面R7C,所以„面

PHC,

设。为4B中点，则二面角P-4B-C为NZWC,直角坐标系23内

22

设点4,5为焦点，则点尸的轨迹为椭圆方程为［+J=l,

42

点C的轨迹为双曲线一支方程为x2-/=l(x>0),

过点尸作交于点。，连接CQ,将面ABC沿直线4B折成二面角,

则APQC为二面角P-AB-C的平面角.

2/

设尸点横坐标为X,则1<%<2,尸。=2—彳，贝=-

PQ2+CQ2_pc?

于是可得:cosZPQC=

2PQQC

2025年

由于3©f，得士=《=*2=:=cosZPQCmin=乎.

xJx853

二、选择题（本大题共4题，满分18分.其中第13-14题4分，第15-16题5分）.

13.数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心，重心，垂心位于同一条直线上，这

条直线称为三角形欧拉线.已知A4BC的顶点坐标为4（0,0）/（0,4）1（4,4）,则AABC欧

拉线的方程为（）.

A.x+j-4=0B.X—j+4=0C.x+j+4=0D.x—j—4=0

【答案】A

14.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组

成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称

为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆道组

成，圆锥的底面直径和高均为8cm,细沙全部在上部，

其高度为圆锥高度的;（细管长度忽略不计）.假设该沙

漏每秒钟漏下0.02c,/的沙，则该沙漏的一个沙时大约

是（）（（"3.14）.

A.1895秒B.1896秒

C.1985秒D.2528秒

【答案】c

15.如图，在棱长为1正方体A3CD-A/JGR中,点”为棱万。的中点，则由A,M，G

三点所确定的平面截该正方体所得截面的面积为（）.

A3石口2石

%___________311cM

43,10

C.逅D.逅

42

A・

2025年

【答案】D

22

16.已知函数y=/(x)的图象恰为椭圆C:》+%=l(a>》>0)x轴上方的部分，若

/(s-f),〃s)"(s+f)成等比数列，则平面上点(s,f)的轨迹是().

A.线段(不包含端点)B.椭圆一部分

C.双曲线一部分D.线段(不包含端点)和双曲线一部分

【答案】A

22

【解析】因为函数7=/(x)的图象恰为椭圆C:》+}=l(a>B>0)x轴上方的部分，

所以y=f(x)=b[l-*(-a<x<a),因为“s-f)J(s)J(s+f)成等比数列，

所以有/2(s)=-/(s+。，且有—avsva,—avs—£va,—avs+rV。成立,

即—a<s<a,—a<t<a成立,

由r(s)="s—〉/(s+f)n6.Jl一》,

\/

化简得：t4=2a212+2s212^t2(t2-la2-2s2)=0^t2=0,或〃一2a?-Zs?=。，

当d=0时，即r=O,因为-a<s<a,所以平面上点(s,z)的轨迹是线段(不包含端点);

当/-2/_2s2=0时，即r=2/+2s2,因为-"/〈a,所以/</,

而2«2+2S2>/,所以〃=2/+2s?不成立，故选：A

三、解答题(本大题共有5题，满分78分).

17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

2025年

如图，长方体A3CD-AHCiR中，AB=AD=1,AA1=2,点P为。，的中点.

（1）求证：直线5R//平面Bic；

（2）求异面直线与4尸所成角的大小.

【答案】（1）见解析（2）2

6

【解析】（1）证明：设4c和5。交于点O,则。为即的中

点，连结PO,又rp是OR的中点，.•.尸。//5口，

又•••POU平面PAC,BDt（Z平面PAC,：.直线BDJ1平面

PAC.

（2）由（1）知：P0//5R,，川。为异面直线3,与4尸所成的角（或其补角）

---PA=PC=y/2,AO=-AC=—S.PO±AO,

22

e

/t[IT

sinZAPO=——二3=ZAPO=30。，即异面直线BD1与AP所成角的大小为-.

APyj226

18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

已知圆C:（x-1）?+（y-2丫=20,直线I:（2m+l）x+（m+l）y-7m-4=0.

（1）证明：不论加取什么实数，直线/与圆C恒相交于两点；

（2）直线/能否将圆。分割成弧长的比值为!的两段圆弧？为什么？

【答案】（1）见解析（2）能，理由见解析

【解析】（1）I-（2m+1）x+（/n+1）y-7/n-4=0,g|Jm（2x+J-7）+X+J-4=0,

由，解得*==1,故直线过定点尸（3,1）,

又因为（3-1-+（1-2）2=5<20,故点尸在圆内，则直线,与圆C恒相交两点,

（2）设直线，与圆C相交于4,5,假设直线，能将圆C分割成弧长的比值为1：2的两段

2025年

圆弧，则圆心角NAC3=120。，即点C到直线，的距离为

7s,J~V=V5化简得（4帆+3）2=0,所以m=,所以存在直线

J（2%+1）2+（,”+1）24

2x-j-5=0满足题意.

（或者利用此时|CP|=后,此时即过p垂直于CP的直线,满足题意）

19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

22

已知双曲线「：0-A=i（a>o,》>o）的左，右焦点分别为K，E.

ab

（1）若「的实轴长为2,焦距为4,求「的渐近线方程：

2

（2）已知尸是双曲线「：必-事=1的左支上一点，4（0,6庭）.当AA%周长最小时，

求AAP工的面积.

【答案】（1）7=±石"（2）S3F2=12屈

【解析】（1）令双曲线的半焦距为c,依题意，a=l,c=2,由‘2=/+/,得b=6,

则2=6，所以双曲线T的渐近线方程为y=±Qx.

a

（2）由双曲线的定义可得|P可|=2Q+|P4|,

所以AAPF2的周长为|P4|+\PF2\+\AF2\=|P4+\p\+（2atA（E）,

由于2〃+|4叫为定值，要使AAPg的周长最小，则应使忸阂+怛居|最小为以居|,

即点尸在线段A居上居（-3,0）,4（0,66），所以直线4月的方程为:

2025年

2

即*=：-3,将其代入了2一4=1,解得）=26或y=-8"（舍去），因此点

2V68

4-2,2后）.所以5凶神=S^AFiF?-SAPFF]=l^bA-1l^|-jp=i2^

20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第

3小题满分8分

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是等腰梯形,AB!ICD,AD=AB=-CD,平

2

面陋产J_平面PCD,PD±PC.

（1）求证：AC±AD；

（2）求证：AAD尸为直角三角形；

（3）若PC=AZ>=1,求四棱棱尸一4BCD的体积.

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）叵

4

【解析】（1）证明：作AE_LOC,E为垂足，在等腰梯形

ABCD中，^AD=AB=BC=-CD=a（a>0）,

2

所以DE=-（CD-AB）=2a,Z4OE=60。，

22

故AC=J。>+4——2•2a2cos60°=百a,所以

AC2+AD2=DC2,所以4c_LAZ)

(2)因为PC_LPD,平面4。尸_1_平面PCD,平面ADPc平面PCD=PD,PCu平面

PCD,尸C_L平面AZ>尸,ADu平面ADB・.PC_LAD.ACcPC=C,AC,PCu平面

ACP,

••・4D_L平面ACP「・,4Pu平面4cP,/.AD±AP,.\ZDAP=90°,即AAZ>P为直角三角

形

（3）由（1）知在等腰梯形ABCD中,

AE=^-,SAADC=|xlxV3=^SABCDUABCD3._3

2^P-ADC2

224^AADC

2025年

又产C_L平面为直角三角形，PDA.PC

：.DP==6,AP=《6=亚，

VV

而P-ADC=C-ADP=^X^X1X^X1=^~,Vp_ABCD=^Vp_ADC=中.

J2o24

21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题的①满分6

分，第2小题的②满分8分

2

已知尸为抛物线E:y=4x的焦点，过点F的直线与抛物线E相交于A（X1,J1）,B（X2,J2）

（X1<x2）两点.

（1）证明:看马是常数；

（2）过点尸作直线45的垂线/与抛物线E的准线相交于点P,与抛物线E相交于C,O

两点（点。的横坐标小于点。的横坐标）.

①求西•丽的值；

②忸刈尸。+忸用忸必是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明

理由.

【答案】（1）见解析（2）①万•丽=0②存在，最小值为48.

【解析】（1）由已知，点厂的坐标为（1,0）,且可设直线A"的方程为x=7〃y+l,

联立方程组消去x,得_4my-4=0（*）,

J=（-4m）2-4x1x（-4）=16m2+16>0,

所以为,％为方程（*）的两个实根，且%％=-4,

因为点4,5在抛物线E上，所以a/=4=°胆=1，为常数•

416

（2）在题设条件下，直线A&CZJ都不与坐标轴平行且机。0,

2025年

由（1）可知直线/的方程为：x=--y+l,

m

①因为抛物线E的准线方程为x=T,代入/的方程可得点P的坐标为，

由(1)可知，+x=2

=-4,XJX2=1,j,+y2=4m,xt2m[yx+j2)+2=4/M+2,

因此，PAPB={xl+Ijj-2/W)-(X2+l,y2-2»i),(7分)

222

=XjX2+(xt+x2)+1+y1y2-2〃?(必+J2)+4/M=l+4m+2+1-4-8，”？+4m=0,

即西•丽=0.

另解：设4/在准线上的射影分别为A，%则N551P=N3尸P=90。

由抛物线定义可知BF=BB1,又BP=BP,则RtABBJSRtABFP则ZBPBl=NBPF,

同理AAPAX=ZAPF,可得ZBPA=巴则西•丽=0

2

②伊川/。|+|F训五q存在最小值，

设点C,D的坐标分别为C（X3,J3）,D（X4,J4）,

2222

因为点4,&C,O均在抛物线E上，所以占=?*2=**3="，*4=字，

2025年

由AB_LCD,有（*1一1,%>（鼻一1,%）=0，即Y-1+%%=0，

I4八47

变形可得（"一4乂y；-4）+16yly3=°»则，汶+16yly3+16=4（y；+y；）（**）,

同理，讯+16%%+16=4（行+£）,（13分）

根据抛物线的定义可知，

2222

|FA|=X1+1=-^-+1,|FB|=X2+1=^-+1,|FC|=X3+1=^-+1,|FD|=X4+1=^-+1

（2\r2\f2A/2\

所以|FA||FC|+俨/忻必=［字++ij+［字+ij［a+1

=（y；+4）（y；+4）+（4+4）（W+4）=+4（y；+y；）+16++4（£+却+16

一~^616—1616~

丫汶+8月为+16,£只+8%为+16（%%+4丫，（％儿+4）2

-I―十•

8888

由（**）知，y汶+24%%+16=4（%+%）&0,即（％为+12》N128,

当且仅当必+%=。时取"="，同理，（%为+12）22128,当且仅当％+为=。时取"="，

由题设，y2y4<y^j<0,所以%%2-12+8衣%为4一12-8后，

5%+4）2（-12+872+4）2（必必+4（-12-8A/2+4?

所以L>----------------L=24-16&,L>------------------L=24+16A/2

8888

由题意可知，%+%=°，%+，4=0同时成立，

此时，（必%+4）+（为为+4）取得最小值24-160+24+16痣=48,

88

2025年

故伊川|尸。|+忸叫歹£>|存在最小值，最小值为48.

另解：|五4|忸。+因训尸必存在最小值，

假设直线AB的倾斜角为a,根据题意可设0<a（色，

2

如图，设点3在X轴上的射影为点方，

抛物线E的准线与X轴相交于点F',

根据抛物线的