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文档简介
2024学年第一学期高二年级数学期末
2025.1
一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)
1.直线6x-y-2=0的倾斜角为.
2.平行于同一平面的两直线的位置可能是.
3.已知圆锥的母线与底面所成角为45。,高为1,则该圆锥的母线长为.
4.经过点(2,1)且与圆x2+丁=5相切的直线方程是.
5.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为1,6,3,
则此球表面积为
6.如图,在长方体ABC。-A4G2中,棱AA=5,AB=12,则直线4G到平面
的距离为.
7.已知平行直线4:x-2y—7=0和4:*一期一》=0的
距离为增,贝=.
22
8.已知双曲线工=1,若椭圆c以双曲线r的顶
916
点为焦点,长轴长为46,则椭圆的标准方程为
9.如图,45是底面半径为R的圆柱侧面上两点,它们在底面上的射影分别为⑷,小,若
AA'=a,BB'=b,弧4*=中,则沿圆柱侧面从4到3的最短距离
是.
10.已知直线/是抛物线C:y,=4x的准线,抛物线的顶点为原点
O,焦点为下,若4为C上一点,/与C的对称轴交于点3,在
AABF中,sinZAFB=y/2sinZABF,则\AB\的值为,
11.阅读材料:空间直角坐标系O-xyz中,过点尸(与仇冬)且一个法向量为话=(“,瓦c)
的平面a的方程为“(*-*0)+8(7-%)+《2-之)=0.
阅读上面材料,解决下面问题:已知平面a的方程为x-2y+z-7=0,直线/是两平面
x-y+l=O与y-z+2=0的交线,则直线I与平面a所成角的正弦值为.
12.在三棱锥P-ABC中,AB=2^2,PC=1,PA+PB=4,CA-CB=2,且
则二面角尸-的余弦值的最小值为.
二、选择题(本大题共4题,满分18分.其中第13-14题4分,第15-16题5分).
13.数学家欧拉在1765年发现,任意三角形的外心,重心,垂心位于同一条直线上,这
条直线称为三角形欧拉线.已知AA5C的顶点坐标为4(0,0)/(0,4),C(4,4),则AA/JC欧
拉线的方程为().
A.x+j-4=0B.X—j>+4=0
C.x+y+4=0D.x—j—4=0
14.沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组
成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称
为该沙漏的一个沙时.如图,某沙漏由上下两个圆道组成,圆锥的底面直径和高均为
8cm,细沙全部在上部,其高度为圆锥高度的。(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟
漏下0.02a/的沙,则该沙漏的一个沙时大约是()((兀*3.14).
A.1895秒B.1896秒
C.1985秒D.2528秒t二\一7
2h
3
h
15.如图,在棱长为1正方体ABC。-中,点M为棱万。的中点,则由A,",G
三点所确定的平面截该正方体所得截面的面积为(
A3百2A/3
r\..--------
4
c.,
4
16.已知函数y=f(x)的图象恰为椭圆
22
C:3+%=l(a>>>0)x轴上方的部分,若/(s-f)/(s)](s+f)成等比数列,则平
面上点(s,f)的轨迹是().
A.线段(不包含端点)B.椭圆一部分
C.双曲线一部分D.线段(不包含端点)和双曲线一部分
三、解答题(本大题共有5题,满分78分).
17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分
如图,长方体4国力一4鸟中,AB=AD=l,AAl=2,点P为OR的中点.
(1)求证:直线BO1〃平面Etc;
(2)求异面直线5,与4P所成角的大小.
18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分
已知圆C:(x—l)2+(y—2)2=20,直线I:(2m+1)X+(机+1)y-7帆一4二0.
(1)证明:不论加取什么实数,直线/与圆C恒相交于两点;
(2)直线/能否将圆C分割成弧长的比值为‘的两段圆弧?为什么?
2
19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分
22
已知双曲线「:q-5=1(。>0,》>0)的左,右焦点分别为居/,.
ab
(1)若「的实轴长为2,焦距为4,求「的渐近线方程:
2
(2)已知尸是双曲线「:必―事=1的左支上一点,4(0,6庭).当AAP工周长最小时,
求AAPK的面积.
20.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第
3小题满分8分
如图,在四棱锥尸-4BCD中,底面ABCD是等腰梯形,AB//CD,AD=AB=-CD,平
2
面AZXP_L平面PCD,PD±PC.
(1)求证:AC±AD;
(2)求证:AA”为直角三角形;
(3)PC=AD=1,求四棱棱尸一4BCD的体积.
21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题的①满分6
分,第2小题的②满分8分
已知尸为抛物线£:/=4x的焦点,过点F的直线与抛物线E相交于A(x”%),8(%,%)
(占<*2)两点.
(1)证明:与芍是常数;
(2)过点下作直线的垂线/与抛物线E的准线相交于点尸,与抛物线E相交于C,。
两点(点。的横坐标小于点。的横坐标).
①求西•丽的值;
②俨A|WC+|F叫万。|是否存在最小值?若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明
理由.
2025年
2024学年第一学期高二年级数学期末
2025.1
一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)
1.直线6x-y-2=0的倾斜角为.
【答案】|
2.平行于同一平面的两直线的位置可能是.
【答案】平行或相交或异面
3.已知圆锥的母线与底面所成角为45。,高为1,则该圆锥的母线长为.
【答案】
4.经过点(2,1)且与圆必+/=5相切的直线方程是.
【答案】2x+j-5=0
5.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为1,收,3,
则此球表面积为.
[答案]127t织c,
6.如图,在长方体AMD-4居C],中,棱44]=5,AB=12,即(J.忡
则直线4G到平面ABCR的距离为.C
ACAa
【答案】居
7.已知平彳亍直线[:*一2)-7=0和4:x-ay-5=0的距离为暂,贝=.
【答案】6或8
22
8.已知双曲线r:I-3=i,若椭圆C以双曲线「的顶点为焦点,长轴长为46,则椭圆
916
的标准方程为
2025年
22
【答案】U=i
123
9.如图,4,5是底面半径为R的圆柱侧面上两点,它们在底面上的射
影分别为4'0,若44』a,5*=8,弧4■=竽,则沿圆柱侧面从
A到5的最短距离是.
【答案】(利
10.已知直线/是抛物线C:/=4x的准线,抛物线的顶点为原点。,焦点为产,若4为C
上一点,,与C的对称轴交于点B,在A4BF中,sinZAFB=4IsinZABF,则14用的值
为.
【答案】2及
11.阅读材料:空间直角坐标系。-孙z中,过点尸(》,典,号)且一个法向量为为=(“,,/)的
平面a的方程为。(丫一/)+方3-%)+,6一0)=0.
阅读上面材料,解决下面问题:已知平面a的方程为x-2y+z-7=0,直线/是两平面
x-y+l=0与y-z+2=0的交线,则直线/与平面a所成角的正弦值为.
【答案】0
【解析】平面a的方程为x-2y+z-7=0,可得平面a的法向量为"=。,-2,1),
平面x—y+l=0的法向量为*=(1,-1,0)4-々+2=0的法向量为冠=(0,1,-1),
设直线,的方向向量为成=(x,y,z),贝!]2一°,即
mm,=01y-z=0
令Z=l,则庆=(1,1,1),设直线,与平面a所成角9,0。90。,
则sinQ=\cosm,n\=辱"=噎增=0,所以直线I与平面a所成角的正弦值为0.
同同V3xV6
2025年
12.在三棱锥P—ABC中,AB=2A/2,PC=1,PA+PB=4,CA-CB=2,且PC_L4B,则
二面角尸-48-。的余弦值的最小值为.
【答案】/
又因为C4—CB=2,所以点A的轨迹方程为-―V=l,(双曲线的一支).
过点P作而P?TcPC=P,PF,PCu面R7C,所以„面
PHC,
设。为4B中点,则二面角P-4B-C为NZWC,直角坐标系23内
22
设点4,5为焦点,则点尸的轨迹为椭圆方程为[+J=l,
42
点C的轨迹为双曲线一支方程为x2-/=l(x>0),
过点尸作交于点。,连接CQ,将面ABC沿直线4B折成二面角,
则APQC为二面角P-AB-C的平面角.
2/
设尸点横坐标为X,则1<%<2,尸。=2—彳,贝=-
PQ2+CQ2_pc?
于是可得:cosZPQC=
2PQQC
2025年
由于3©f,得士=《=*2=:=cosZPQCmin=乎.
xJx853
二、选择题(本大题共4题,满分18分.其中第13-14题4分,第15-16题5分).
13.数学家欧拉在1765年发现,任意三角形的外心,重心,垂心位于同一条直线上,这
条直线称为三角形欧拉线.已知A4BC的顶点坐标为4(0,0)/(0,4)1(4,4),则AABC欧
拉线的方程为().
A.x+j-4=0B.X—j+4=0C.x+j+4=0D.x—j—4=0
【答案】A
14.沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组
成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称
为该沙漏的一个沙时.如图,某沙漏由上下两个圆道组
成,圆锥的底面直径和高均为8cm,细沙全部在上部,
其高度为圆锥高度的;(细管长度忽略不计).假设该沙
漏每秒钟漏下0.02c,/的沙,则该沙漏的一个沙时大约
是()(("3.14).
A.1895秒B.1896秒
C.1985秒D.2528秒
【答案】c
15.如图,在棱长为1正方体A3CD-A/JGR中,点”为棱万。的中点,则由A,M,G
三点所确定的平面截该正方体所得截面的面积为().
A3石口2石
%___________311cM
43,10
C.逅D.逅
42
A・
2025年
【答案】D
22
16.已知函数y=/(x)的图象恰为椭圆C:》+%=l(a>》>0)x轴上方的部分,若
/(s-f),〃s)"(s+f)成等比数列,则平面上点(s,f)的轨迹是().
A.线段(不包含端点)B.椭圆一部分
C.双曲线一部分D.线段(不包含端点)和双曲线一部分
【答案】A
22
【解析】因为函数7=/(x)的图象恰为椭圆C:》+}=l(a>B>0)x轴上方的部分,
所以y=f(x)=b[l-*(-a<x<a),因为“s-f)J(s)J(s+f)成等比数列,
所以有/2(s)=-/(s+。,且有—avsva,—avs—£va,—avs+rV。成立,
即—a<s<a,—a<t<a成立,
由r(s)="s—〉/(s+f)n6.Jl一》,
\/
化简得:t4=2a212+2s212^t2(t2-la2-2s2)=0^t2=0,或〃一2a?-Zs?=。,
当d=0时,即r=O,因为-a<s<a,所以平面上点(s,z)的轨迹是线段(不包含端点);
当/-2/_2s2=0时,即r=2/+2s2,因为-"/〈a,所以/</,
而2«2+2S2>/,所以〃=2/+2s?不成立,故选:A
三、解答题(本大题共有5题,满分78分).
17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分
2025年
如图,长方体A3CD-AHCiR中,AB=AD=1,AA1=2,点P为。,的中点.
(1)求证:直线5R//平面Bic;
(2)求异面直线与4尸所成角的大小.
【答案】(1)见解析(2)2
6
【解析】(1)证明:设4c和5。交于点O,则。为即的中
点,连结PO,又rp是OR的中点,.•.尸。//5口,
又•••POU平面PAC,BDt(Z平面PAC,:.直线BDJ1平面
PAC.
(2)由(1)知:P0//5R,,川。为异面直线3,与4尸所成的角(或其补角)
---PA=PC=y/2,AO=-AC=—S.PO±AO,
22
e
/t[IT
sinZAPO=——二3=ZAPO=30。,即异面直线BD1与AP所成角的大小为-.
APyj226
18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分
已知圆C:(x-1)?+(y-2丫=20,直线I:(2m+l)x+(m+l)y-7m-4=0.
(1)证明:不论加取什么实数,直线/与圆C恒相交于两点;
(2)直线/能否将圆。分割成弧长的比值为!的两段圆弧?为什么?
【答案】(1)见解析(2)能,理由见解析
【解析】(1)I-(2m+1)x+(/n+1)y-7/n-4=0,g|Jm(2x+J-7)+X+J-4=0,
由,解得*==1,故直线过定点尸(3,1),
又因为(3-1-+(1-2)2=5<20,故点尸在圆内,则直线,与圆C恒相交两点,
(2)设直线,与圆C相交于4,5,假设直线,能将圆C分割成弧长的比值为1:2的两段
2025年
圆弧,则圆心角NAC3=120。,即点C到直线,的距离为
7s,J~V=V5化简得(4帆+3)2=0,所以m=,所以存在直线
J(2%+1)2+(,”+1)24
2x-j-5=0满足题意.
(或者利用此时|CP|=后,此时即过p垂直于CP的直线,满足题意)
19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分
22
已知双曲线「:0-A=i(a>o,》>o)的左,右焦点分别为K,E.
ab
(1)若「的实轴长为2,焦距为4,求「的渐近线方程:
2
(2)已知尸是双曲线「:必-事=1的左支上一点,4(0,6庭).当AA%周长最小时,
求AAP工的面积.
【答案】(1)7=±石"(2)S3F2=12屈
【解析】(1)令双曲线的半焦距为c,依题意,a=l,c=2,由‘2=/+/,得b=6,
则2=6,所以双曲线T的渐近线方程为y=±Qx.
a
(2)由双曲线的定义可得|P可|=2Q+|P4|,
所以AAPF2的周长为|P4|+\PF2\+\AF2\=|P4+\p\+(2atA(E),
由于2〃+|4叫为定值,要使AAPg的周长最小,则应使忸阂+怛居|最小为以居|,
即点尸在线段A居上居(-3,0),4(0,66),所以直线4月的方程为:
2025年
2
即*=:-3,将其代入了2一4=1,解得)=26或y=-8"(舍去),因此点
2V68
4-2,2后).所以5凶神=S^AFiF?-SAPFF]=l^bA-1l^|-jp=i2^
20.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第
3小题满分8分
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是等腰梯形,AB!ICD,AD=AB=-CD,平
2
面陋产J_平面PCD,PD±PC.
(1)求证:AC±AD;
(2)求证:AAD尸为直角三角形;
(3)若PC=AZ>=1,求四棱棱尸一4BCD的体积.
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)叵
4
【解析】(1)证明:作AE_LOC,E为垂足,在等腰梯形
ABCD中,^AD=AB=BC=-CD=a(a>0),
2
所以DE=-(CD-AB)=2a,Z4OE=60。,
22
故AC=J。>+4——2•2a2cos60°=百a,所以
AC2+AD2=DC2,所以4c_LAZ)
(2)因为PC_LPD,平面4。尸_1_平面PCD,平面ADPc平面PCD=PD,PCu平面
PCD,尸C_L平面AZ>尸,ADu平面ADB・.PC_LAD.ACcPC=C,AC,PCu平面
ACP,
••・4D_L平面ACP「・,4Pu平面4cP,/.AD±AP,.\ZDAP=90°,即AAZ>P为直角三角
形
(3)由(1)知在等腰梯形ABCD中,
AE=^-,SAADC=|xlxV3=^SABCDUABCD3._3
2^P-ADC2
224^AADC
2025年
又产C_L平面为直角三角形,PDA.PC
:.DP==6,AP=《6=亚,
VV
而P-ADC=C-ADP=^X^X1X^X1=^~,Vp_ABCD=^Vp_ADC=中.
J2o24
21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题的①满分6
分,第2小题的②满分8分
2
已知尸为抛物线E:y=4x的焦点,过点F的直线与抛物线E相交于A(X1,J1),B(X2,J2)
(X1<x2)两点.
(1)证明:看马是常数;
(2)过点尸作直线45的垂线/与抛物线E的准线相交于点P,与抛物线E相交于C,O
两点(点。的横坐标小于点。的横坐标).
①求西•丽的值;
②忸刈尸。+忸用忸必是否存在最小值?若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明
理由.
【答案】(1)见解析(2)①万•丽=0②存在,最小值为48.
【解析】(1)由已知,点厂的坐标为(1,0),且可设直线A"的方程为x=7〃y+l,
联立方程组消去x,得_4my-4=0(*),
J=(-4m)2-4x1x(-4)=16m2+16>0,
所以为,%为方程(*)的两个实根,且%%=-4,
因为点4,5在抛物线E上,所以a/=4=°胆=1,为常数•
416
(2)在题设条件下,直线A&CZJ都不与坐标轴平行且机。0,
2025年
由(1)可知直线/的方程为:x=--y+l,
m
①因为抛物线E的准线方程为x=T,代入/的方程可得点P的坐标为,
由(1)可知,+x=2
=-4,XJX2=1,j,+y2=4m,xt2m[yx+j2)+2=4/M+2,
因此,PAPB={xl+Ijj-2/W)-(X2+l,y2-2»i),(7分)
222
=XjX2+(xt+x2)+1+y1y2-2〃?(必+J2)+4/M=l+4m+2+1-4-8,”?+4m=0,
即西•丽=0.
另解:设4/在准线上的射影分别为A,%则N551P=N3尸P=90。
由抛物线定义可知BF=BB1,又BP=BP,则RtABBJSRtABFP则ZBPBl=NBPF,
同理AAPAX=ZAPF,可得ZBPA=巴则西•丽=0
2
②伊川/。|+|F训五q存在最小值,
设点C,D的坐标分别为C(X3,J3),D(X4,J4),
2222
因为点4,&C,O均在抛物线E上,所以占=?*2=**3=",*4=字,
2025年
由AB_LCD,有(*1一1,%>(鼻一1,%)=0,即Y-1+%%=0,
I4八47
变形可得("一4乂y;-4)+16yly3=°»则,汶+16yly3+16=4(y;+y;)(**),
同理,讯+16%%+16=4(行+£),(13分)
根据抛物线的定义可知,
2222
|FA|=X1+1=-^-+1,|FB|=X2+1=^-+1,|FC|=X3+1=^-+1,|FD|=X4+1=^-+1
(2\r2\f2A/2\
所以|FA||FC|+俨/忻必=[字++ij+[字+ij[a+1
=(y;+4)(y;+4)+(4+4)(W+4)=+4(y;+y;)+16++4(£+却+16
一~^616—1616~
丫汶+8月为+16,£只+8%为+16(%%+4丫,(%儿+4)2
-I―十•
8888
由(**)知,y汶+24%%+16=4(%+%)&0,即(%为+12》N128,
当且仅当必+%=。时取"=",同理,(%为+12)22128,当且仅当%+为=。时取"=",
由题设,y2y4<y^j<0,所以%%2-12+8衣%为4一12-8后,
5%+4)2(-12+872+4)2(必必+4(-12-8A/2+4?
所以L>----------------L=24-16&,L>------------------L=24+16A/2
8888
由题意可知,%+%=°,%+,4=0同时成立,
此时,(必%+4)+(为为+4)取得最小值24-160+24+16痣=48,
88
2025年
故伊川|尸。|+忸叫歹£>|存在最小值,最小值为48.
另解:|五4|忸。+因训尸必存在最小值,
假设直线AB的倾斜角为a,根据题意可设0<a(色,
2
如图,设点3在X轴上的射影为点方,
抛物线E的准线与X轴相交于点F',
根据抛物线的
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