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文档简介

上海市奉贤区2025届高三上学期

学科质量调研数学试题

一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接

写结果,1-6题每个空格填对得4分,7-12题每个空格填对得51分.

1,设全集°={123,4},集合'={2,4},贝|恒=.

【答案】{1,3}

【解析】因为全集。={123,4},集合A={2,4},则五{1,3}.

故答案为:{1,3}.

2.若直线乙:x+ay—2=0与直线4:ox+y—2=0互相垂直,则。=.

【答案】0

【解析】由题意得lxa+axl=O,解得a=0.

故答案为:0

3.已知xeR,则不等式尤2一尤+2>。的解集为.

【答案】R

【解析】因为八=1—8=—7<0,所以不等式式―%+2>0的解集为R.

故答案为:R

,、flnx+l,x>0,,、

4.设/(*)=[乜]若〃九o)=l,贝1]%()=-----

【答案】1

【解析】当%0>0时,/(^)=lnx0+l=l,解得:x0=1,满足;

当天《。时,/(x0)=2^+l=L方程无解,

所以%=1,

故答案为:1

5.若A,5C,£>,E五人站成一排,如果A,3必须相邻,那么排法共种.

【答案】48

【解析】第一步:把A3捆绑当作一个元素与C,。,石进行排列共有A:种;

第二步:A3之间进行排列共有A;种;

根据分步计数原理可知:排法的总数共有A:A;=48种.

故答案为:48

的二项展开式中的常数项为.(用数字作答)

【答案】5

315

3-6r=G(『(x产=c;(x)~

【解析】由题意可知:Tr+X=C;(x)°

430-—r=0^r=4,所以常数项为C;=5.

2

故答案为:5

7.已知抛物线犬=©(。>0)上有一点P到准线的距离为6,点尸到无轴的距离为4,则抛

物线的焦点坐标为.

【答案】(0,2)

【解析】抛物线%2=金(。>0)的准线方程为丁=—幺,

设点尸(龙,丁),则y»0,由于点尸到准线的距离为y+?=6,可得>=6—

因为点尸到无轴的距离为4,则y=4,所以,6-^=4,解得。=8,

故抛物线的方程为f=8y,其焦点坐标为(0,2).

故答案为:(0,2).

8.在复平面内,。为坐标原点,复数4=…3i),z2=12+5i对应的点分别为ZpZ2,

其中i为虚数单位,则%,区的大小为.

【答案】arccos—.

65

【解析】因为z1=i(一4-3i)=3-4i,z2=12+51,

所以西=(3,-4),沟=(12,5),

所以cos(西,西)=焉修3x12-20

^32+(-4)2XA/122+5265

所以(QZ],Ozj=arccos—.

9.甲乙两人下棋,每局两人获胜可能性一样,某一天两人要进行一场三局两胜的比赛,

最终胜者赢得100元奖金,第一局比赛甲获胜,后因为有其他事情而中止比赛,则甲应该

分元奖金才公平?

【答案】75

【解析】乙最后获胜的情况为第二局、第三局必须乙胜,其概率为:

224

即甲最终获胜的概率为之,乙最终获胜的概率为:,

44

3

故甲的奖金为100x:=75元.

故答案为:75.

10.申辉中学高一(8)班设计了一个“水滴状”班徽的平面图(如图),徽章由等腰三角形ABC

及以弦8C和劣弧所围成的弓形所组成,其中A5=AC,劣弧8C所在的圆为三角形的

外接圆,圆心为O.已知NA4c=外接圆的半径是2,则该图形的面积为

_:_____.(用含。的表达式表示)

A

【答案】46»+4sin6>

【解析】连接O5OAOC,则OB=Q4=OC=2,ZBOC=20f

ZAOB=ZAOC=2兀-/1℃=n-0,

2

S-AOB=S.AOC=gX2X2sin(兀-e)=2sin,,

S扇形Boc=gx2ex2x2=4e,

所以该图形的面积为46>+4sine.

故答案为:46>+4sin6>.

A

11.上海市奉贤区奉城镇的古建筑万佛阁(图1)的屋檐下常系挂风铃(图2),风吹铃动,

悦耳清脆,亦称惊鸟铃,一般一个惊鸟铃由铜铸造而成,由铃身和铃舌组成,为了知道一个

惊鸟铃的质量,可以通过计算该惊鸟铃的体积,然后由物理学知识计算出该惊鸟铃的质量,

因此我们需要作出一些合理的假设:

假设1:铃身且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥;

假设2:两圆锥的轴在同一条直线上;

假设3:铃身内部有一个挂铃舌的部位的体积忽略不计.

截面图如下(图3),其中aq=20cm,O2O3=18cm,AB=16cm,则制作100个这样

的惊鸟铃的铃身至少需要千克铜.(铜的密度为8.9g/cm3)(结果精确到个位)

【答案】120

【解析】由题意可知,圆锥。03的底面半径为8cm,高为20cm,

圆锥QQ的底面半径为8cm,高为18cm,

因为100义;x兀义8?x(20—18)义8.9+1000土119.236,

所以,制作100个这样的惊鸟铃的铃身至少需要120千克铜.

故答案为:120.

12.已知集合加={片,6,8,…,《},〃22,〃eN是由函数y=COSX,XC[0,2TI]的图象上

两两不相同的点构成的点集,集合S={a|a=M•所其

中此(0,1)、^(71,-1).若集合S中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为d的等差

数列,当时,则符合条件的点集M的个数为.

【答案】60

【解析】由己知OQ=OF^-OPQ=1,OJ=OP0-OPX=—1,

设4(%,%),则q=画.窈=丫.,显然—

若d=l,则5={—1,0,1},因此有%=0,

jrJT311

由cosXj=0,XjG[0,2兀]得七=万■或--,对应Q1(5,0),。2(~^,°),

同理。3(2兀1)对应此,

集合M中已经含有点用送,

因此产生5={-1,0,1}的集合M中,点&可有也可没有,。,。2至少有一个,

所以M的个数为2x3=6,

若4=5,则s={-I,—],。,]/},

12兀-4兀17i„5K

COSXj=---9Xj=—或—,COSX--—,Xj=_或—,

233233

t.、.—八/兀1、八/5兀1、-/2兀1、-/4兀1、

对应点。1(司,5),。5(可,5),以(丁,一5),°7(二,一不),

产生{—1,一3,0,3/}的集合/中,点&可有也可没有,2,2至少有一个,

。4,。5中至少有一个,。,。7中至少有一个,”的个数为2x3x3x3=54,

综上,集合”的个数为6+54=60.

故答案为:60.

二、选择题(本大题满分18分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在

答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,13-14选对每个得4分,15-16选对每个

得5分,否则一律类分.

71

13.在VABC中,“C=—”是"siEA+siYBul'呃()

2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】一方面:

C=-=>A+B=-sinA=sin|--B|=cosB=>sin2A+sin2B=cos2B+sin2B=1,

22(2J

另一方面:A=—,B=C=-^sin2A+sin2B=f—+W=1,但Cw乌,

36[2)UJ2

jr

所以“C=—”是“sin2A+sin2B=1”的充分不必要条件.

2

故选:A.

14.函数y=log2sirw+log2cosx,则下列命题正确的是()

A.函数是偶函数B.函数定义域是0,]

C.函数最大值-ID.函数的最小正周期为兀

【答案】C

【解析】设/(%)=log2sinx+log2cosx,

sinx>0

由<可得2E;<x<2kn+^keZ),

cosx>0

所以,函数无)的定义域为<%2E<x<2E+],左eZ卜定义域不关于原点对称,

所以,函数/("不是偶函数,A错B错;

当2kli<x<2kit+^keZ)时,

则4E<2x<4E+兀(左eZ)

)=logf|sin2x<log11=-1,

f(x)=log(sinxcosx22

22

当且仅当2x=]+4也伏eZ)时,

即当x=:+2Qi(左eZ)时,函数/(%)取最大值—1,C对;

因为/'(2兀+x)=log2sin(2兀+x)+log2cos(2兀+x)=log2sinx+log2cosx=/(%),

结合函数/(尤)的定义域可知,函数了(元)的最小正周期为2兀,D错.

故选:C.

15.在四棱锥S—ABCO中,若丽=%丽+>宽+Z豆5,则实数组(九,y,z)可能是()

A.(1,-1,1)B.(1,0-1)

C.(1,0,0)D.(1,-1,-1)

【答案】A

【解析】对于选项A,若底面A5CD是平行四边形,设ACD应)=0,则

SA+SC=2SO=SB+SD>

因此豆=豆+而-五,即(%,,2)=(1,-1,1),故A正确;

对于选项B,若(尤,y,z)=(l,O,—l),则X豆+y攵+z^=筋—豆5=丽/豆,故B

错误;

对于选项C,若(x,y,z)=(l,O,O),贝ijMS+y克+z丽=丽小豆,故C错误;

对于选项D,若(x,y,z)=(1,—1,—1),

则x豆+y豆+z^5=宓-克-55=而-而,

但BCa平面m,即丽,丽,丽不共面,因此豆=方—口不可能成立,故D错

误.

故选:A.

16.已知数列{%}不是常数列,前〃项和为S”,«„>0.若对任意正整数〃,存在正整数

m,使得|S“-aJ<4,则称{%}是“可控数列”.现给出两个命题:

①若各项均为正整数的等差数列{%}满足公差4=3,则{4}是“可控数列”;

②若等比数列{4}是“可控数列”,则其公比qe(0,1],

则下列判断正确的是()

A.①与②均为真命题B.①与②均为假命题

C.①为假命题,②为真命题D.①为真命题,②为假命题

【答案】C

【解析】对于①,由于数列%=3〃-2的各项均为正整数,且公差d=3,

但对$2=1+4=5,有|7—3时/0对任意正整数机恒成立(否则根=§,矛盾),

故对〃=2时有6?—々/=卜-(3m—2)]=|7_3〃,21=q.

这表明{4}不是“可控数列",故①错误;

对于②,若等比数列{4,}是“可控数列”,

由于数列{4}不是常数列,>0,故公比qwl.

a^qn-1

所以3=

9—1

从而⑶-叫<qo.伍―1)_《产<4oIzil_产<1,

q-11-q

1n

贝ij—1<<q"-+1,meN*,

1-q

当q>]时,则q"i_]<^^<d"T+l,meN*。,^"<1+(^-1)^1+1),(*),

1—q

令/»1+(4—9伍力+1),则可知当〃2叫巾+(”1乂/1+川时,(*)不成立;

1n1n

当0<夕<1时,显然成立,而对于二^<9时|+1恒成立,

1-q1-q

由于/5)=三二为严格增数列,且小时,/5)==^一义,

1-q1-q1-q

故问题等价于存在加eN*,使得二<q""i+1,

1-4

记g(m)=q"i+l,随m的增大,g(m)减小,故g(m)1mx=g6=2,

1c1

故只需;一W2,解得0<4<大,故②正确.

1-q2

综上,①是假命题,②是真命题.

故选:C.

三、解答题(第17~19题每题14分,第20-21题每题18分,满分78分)

17.已知函数y=/(%),其中/(X)=,(常数a>0且awl).

(1)若函数y=/(x)的图象过点(2,9),求关于x的不等式加2%—1|)>3的解集;

(2)若存在xe(0,1],使得数列/(1)、/(比)、/(犬+2)是等比数列,求实数f的取值

范围.

解:(1)若函数丫=/(切的图象过点(2,9),则/(2)=〃=9,

解得a=3,a=—3舍去,所以/(x)=3、,

Efe/(|2x-l|)=3IM>3#|2x-l|>l,

解得冗>1或x<0,

所以不等式/(|2x—1|)>3的解集为{x|x>l或x<0};

(2)/(I)=a,f(tx)=泮/(尤2+2)=J+2,

若存在使得数列〃1)、/(㈤、f(x.2

2tx

则a=a'*.a,可得2笈=三+3,

由xe(O,l]可得/=三±3=2+<-,

'」2%22%

令g(x):三卜式。』),X2-3

2o

当龙«0,1]时,?G(0,l],所以g,(x)=*■三<0,

可得g(x)=:+呆在xe(O,l]上单调递减,所以g(x)2g⑴=2,

则实数f的取值范围[2,+8).

18.某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片,为了解芯片的某项指标,从这两种芯片中各

抽取100件进行检测,获得该项指标的频率分布直方图,如图所示:

假设数据在组内均匀分布,以样本估计总体,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

(1)求频率分布直方图中X的值并估计乙型芯片该项指标的平均值(同一组中的数据用该

组区间的中点值为代表);

(2)已知甲型芯片指标在[80,100)为航天级芯片,乙型芯片指标在[60,70)为航天为航

天级芯片.现分别采用分层抽样的方式,从甲型芯片指标在[70,90)内取2件,乙型芯片

指标在[50,70)内取4件,再从这6件中任取2件,求至少有一件为航天级芯片的概率.

解:(1)由题意得10x(0.002+0.005+0.023+0.025+0.025+x)=l,解得%=0.020.

由频率分布直方图得乙型芯片该项指标的平均值:

元=(25x0.002+35x0.026+45x0.032+55x0.030+65x0.010)xl0=47.

(2)根据分层抽样得,来自甲型芯片指标在[70,80)和[80,90)的各1件,分别记为A和

B,

来自甲型芯片指标在[50,60)和[60,70)分别为3件和1件,分别记为G,C2,C3和

D,

从中任取2件,样本空间可记为。={(4§),(AG),

(A,C2),(A,C3),(A。),

(B,D),(GC),(6,G),(G,D),(G,G),G。),

(B,C2),(BC),

(。3,。)}共15个,

记事件E:至少有一件为航天级芯片,则石={(A3),(A,D),(B,C2),

(BC),

(B,D),(G,D),(G,。),(G,。)}共9个,

93

所以打号=话=手

19.如图为正四棱锥P—为底面A5CD的中心.

(1)求证:CD〃平面平面平面P3Z);

(2)设E为尸3上的一点,BE=-BP.

3

在下面两问中选一个,

①若A£>=AP=3底,求直线KC与平面BED所成角的大小.

②己知平面ECD与平面A5CD所成锐二面角的大小为arctan#,若AD=3叵,求AP

的长.

(1)证明:因为底面A5CD是正方形,所以AB〃CD,

ABu平面上钻,CD<Z平面B4B,

所以〃平面已钻;

AC±BD,由四棱锥P—ABCD是正四棱锥,

可得P0,平面ABC。,ACu平面A5CD,所以尸AC,

由POn3O=O,2。,6。<=平面。8£),

所以AC,平面P8。,

又因为ACu平面H4C,所以平面B4CJ_平面尸8。;

(2)解:选①,如图,以。点为原点,O&OCOP所在的直线分别为苍%z轴的

正方向建立空间直角坐标系,

由AD=AP=3后,得8(3,0,0),C(0,3,0),尸(0,0,3),A(0,—3,0),

丽=(-3,0,3),AC=(0,6,0),

由屁=§旃=3(-3,0,3)=(-2,0,2)得石(1,0,2),

所以反=(—1,3,—2),

因为ACJ_平面P3D,即ACJ_平面BED,

所以就是平面BED的一个法向量,

设直线EC与平面BED所成角为3,

183^4

sin6>=|cos(AC,£C)|=”产]=—.

।\/I\AC\-\EC\6.#^97414

3^/14

由6»e[00,901,得。=wcsin

14

所以直线EC与平面BED所成角为arcsin之叵;

14

选②,同①以。点为原点,彷,祝,不所在的直线分别为*,y,z轴的

正方向建立空间直角坐标系,设AP=a(a>3),

得3(3,0,0),0(—3,0,0),C(0,3,0),P(0,0,7^?),丽=(—3,0,7^?),

由屈=(而=((_3,0,,02_9)=1_2,0,^^]得石.,0,2'1_9

33、,〔3J13J

所以比=-1,3,-2^--,CD=(-3,-3,0),

设力=(%y,z)为平面ECD的一个法向量,

~3x—3y=0

CDn=0

「得《

则_x+3y.^/1zlz=o

ECh=0

-6

令%=i得y=—i,z=/,,

,2—9

所以五=[1,—1,7彗],因为po,平面ABCD,

、—9,

所以用=(0,0,—1)是平面A5CD的一个法向量,

八2

设平面ECD与平面ABCD所成锐二面角的大小为0,得cos9=忑,

6

由cos8=k°sn,pd\=92

111%-F'

li^i-MI1+1+—,——

a2-9

解得a-30,即AP=3万

20.椭圆F:\+y2=l(a〉l)的左右焦点分别为耳,鸟,设PG。,小)是第一象限内椭圆上的

a

(2)若a=^2,PQ-OR=—,求X。;

⑶若a=2,过点T(Oj)的直线/与椭圆F交于M、N两点,且卜2,则当,20

时,判断符合要求的直线有几条,说明理由?

解:(1)若e=Y2,则叵三1=受,解得:q=JL

2a2

(2)若。=&,则椭圆方程为:]+/=1且c=l,

由P点在第一象限可知尸。的斜率不为0,

设直线PQ的方程为:x=0—1优>0),

直线PQ与椭圆方程联立消去X得:俨+2)y2-2@-1=0,

,2k1

所以%

1=j(%+%)2-4%%=J8r+8

42+2

而用.西=|园|西|cos/P£O=JT7Fx|%_yJxL工一再春返三人丁一乜

F+I-Vr+2ye+r5

解得:k=2^2>把左=20代入(r+2)/—2«y—1=0得:

10y2—40—1=0=%==今'

把y0=也代入椭圆方程得:x0=l.

2

(3)若。=2,则椭圆方程为:—+/=1,且〃=1,

4

当/之0且直线/斜率存在时,设直线/的方程为:y=mx+t,M(x2,y2),^(x„y3),

直线/与椭圆方程联立消去丫得:(4疗+1)炉+8mtx+4?-4=0,

-Smt4产—4

所以%+%3=wTT,%2X3=wTT

II3~(-8mtY.4t2-4,64加2-16『+16

人一止收+七)-钻"后"J-4x而7r———

2

所以|MN|=y/l+m\x2-x3\=Jl+/近皿-二⑹一+16=2,

111231V4m2+1

整理得:(12-4z2)m2-4r+3=0,

当12—4/=0或4=4(4/—3)(12—4产)<0时,即0W/<曰或年百时,

方程无解,所以不存在满足卜2的直线/;

当—4产+3=0即/=正时,方程只有唯一的解机=0,

2

所以,存在一条满足pW|=2的直线/;

当A=4(4/—3)(12—4/)>0,即曰</<石时,方程有两个不相等实数解,

所以存在两条满足|=2的直线/;

当r20且直线/斜率不存在时,直线/即>轴,满足|MN|=2.

综上所述:当0W/〈孝或时,存在一条满足pW|=2的直线/;

当《=暂时,存在两条满足|MN|=2的直线/;

当孝</<百时,存在三条满足|4W|=2的直线/.

21.若函数y=/(x)的图象上存在左个不同点耳、鸟、L、弟(左22,左eN)处的切线重

合,则称该切线为函数y=/(x)的一条左点切线,该函数具有左点切线性质.

(1)判断函数y=*—2忖,xeR的奇偶性并写出它的一条2

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