上海市奉贤区2025届高三年级上册学科质量调研数学试题（解析版）

上海市奉贤区2025届高三上学期

学科质量调研数学试题

一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接

写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得51分.

1,设全集°={123,4},集合'={2,4},贝|恒=.

【答案】{1,3}

【解析】因为全集。={123,4},集合A={2,4},则五{1,3}.

故答案为:{1,3}.

2.若直线乙：x+ay—2=0与直线4：ox+y—2=0互相垂直，则。=.

【答案】0

【解析】由题意得lxa+axl=O,解得a=0.

故答案为：0

3.已知xeR,则不等式尤2一尤+2>。的解集为.

【答案】R

【解析】因为八=1—8=—7<0,所以不等式式―％+2>0的解集为R.

故答案为：R

,、flnx+l,x>0,,、

4.设/(*)=［乜］若〃九o)=l，贝1］%()=-----

【答案】1

【解析】当％0>0时，/(^)=lnx0+l=l,解得：x0=1,满足；

当天《。时，/(x0)=2^+l=L方程无解，

所以%=1,

故答案为：1

5.若A,5C,£>,E五人站成一排，如果A,3必须相邻，那么排法共种.

【答案】48

【解析】第一步：把A3捆绑当作一个元素与C,。,石进行排列共有A：种；

第二步：A3之间进行排列共有A；种；

根据分步计数原理可知：排法的总数共有A：A；=48种.

故答案为：48

的二项展开式中的常数项为.（用数字作答）

【答案】5

315

3-6r=G(『(x产=c；(x)~

【解析】由题意可知：Tr+X=C；（x）°

430-—r=0^r=4,所以常数项为C；=5.

2

故答案为：5

7.已知抛物线犬=©（。＞0）上有一点P到准线的距离为6,点尸到无轴的距离为4,则抛

物线的焦点坐标为.

【答案】（0,2）

【解析】抛物线％2=金（。＞0）的准线方程为丁=—幺，

设点尸（龙,丁），则y»0,由于点尸到准线的距离为y+?=6,可得＞=6—

因为点尸到无轴的距离为4,则y=4,所以，6-^=4,解得。=8,

故抛物线的方程为f=8y，其焦点坐标为（0,2）.

故答案为：（0,2）.

8.在复平面内，。为坐标原点，复数4=…3i）,z2=12+5i对应的点分别为ZpZ2,

其中i为虚数单位，则%，区的大小为.

【答案】arccos—.

65

【解析】因为z1=i（一4-3i）=3-4i,z2=12+51,

所以西=（3,-4）,沟=（12,5）,

所以cos（西，西）=焉修3x12-20

^32+(-4)2XA/122+5265

所以(QZ],Ozj=arccos—.

9.甲乙两人下棋，每局两人获胜可能性一样，某一天两人要进行一场三局两胜的比赛，

最终胜者赢得100元奖金，第一局比赛甲获胜，后因为有其他事情而中止比赛，则甲应该

分元奖金才公平？

【答案】75

【解析】乙最后获胜的情况为第二局、第三局必须乙胜，其概率为：

224

即甲最终获胜的概率为之，乙最终获胜的概率为：，

44

3

故甲的奖金为100x：=75元.

故答案为：75.

10.申辉中学高一（8）班设计了一个“水滴状”班徽的平面图（如图），徽章由等腰三角形ABC

及以弦8C和劣弧所围成的弓形所组成，其中A5=AC,劣弧8C所在的圆为三角形的

外接圆，圆心为O.已知NA4c=外接圆的半径是2,则该图形的面积为

_:_____.（用含。的表达式表示）

A

【答案】46»+4sin6>

【解析】连接O5OAOC,则OB=Q4=OC=2,ZBOC=20f

ZAOB=ZAOC=2兀-/1℃=n-0,

2

S-AOB=S.AOC=gX2X2sin（兀-e）=2sin，,

S扇形Boc=gx2ex2x2=4e,

所以该图形的面积为46>+4sine.

故答案为：46>+4sin6>.

A

11.上海市奉贤区奉城镇的古建筑万佛阁（图1）的屋檐下常系挂风铃（图2）,风吹铃动,

悦耳清脆，亦称惊鸟铃，一般一个惊鸟铃由铜铸造而成，由铃身和铃舌组成，为了知道一个

惊鸟铃的质量，可以通过计算该惊鸟铃的体积，然后由物理学知识计算出该惊鸟铃的质量,

因此我们需要作出一些合理的假设：

假设1:铃身且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥；

假设2：两圆锥的轴在同一条直线上；

假设3：铃身内部有一个挂铃舌的部位的体积忽略不计.

截面图如下（图3）,其中aq=20cm,O2O3=18cm,AB=16cm,则制作100个这样

的惊鸟铃的铃身至少需要千克铜.（铜的密度为8.9g/cm3）（结果精确到个位）

【答案】120

【解析】由题意可知，圆锥。03的底面半径为8cm,高为20cm,

圆锥QQ的底面半径为8cm,高为18cm,

因为100义；x兀义8?x（20—18）义8.9+1000土119.236,

所以，制作100个这样的惊鸟铃的铃身至少需要120千克铜.

故答案为：120.

12.已知集合加=｛片，6,8,…,《｝,〃22,〃eN是由函数y=COSX,XC[0,2TI]的图象上

两两不相同的点构成的点集，集合S=｛a|a=M•所其

中此（0,1）、^（71,-1）.若集合S中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为d的等差

数列，当时，则符合条件的点集M的个数为.

【答案】60

【解析】由己知OQ=OF^-OPQ=1,OJ=OP0-OPX=—1,

设4（%，％）,则q=画.窈=丫.，显然—

若d=l,则5={—1,0,1},因此有％=0,

jrJT311

由cosXj=0,XjG[0,2兀]得七=万■或--,对应Q1（5,0）,。2（~^，°），

同理。3（2兀1）对应此，

集合M中已经含有点用送，

因此产生5={-1,0,1}的集合M中，点&可有也可没有，。,。2至少有一个，

所以M的个数为2x3=6,

若4=5,则s={-I,—],。,]/},

12兀-4兀17i„5K

COSXj=---9Xj=—或—，COSX--—,Xj=_或—，

233233

t.、.—八/兀1、八/5兀1、-/2兀1、-/4兀1、

对应点。1（司，5）,。5（可，5），以（丁，一5），°7（二，一不）,

产生{—1,一3,0,3/}的集合/中，点&可有也可没有，2,2至少有一个，

。4，。5中至少有一个，。，。7中至少有一个，”的个数为2x3x3x3=54,

综上，集合”的个数为6+54=60.

故答案为：60.

二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在

答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14选对每个得4分，15-16选对每个

得5分，否则一律类分.

71

13.在VABC中，“C=—”是"siEA+siYBul'呃（）

2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】一方面：

C=-=>A+B=-sinA=sin|--B|=cosB=>sin2A+sin2B=cos2B+sin2B=1,

22（2J

另一方面：A=—,B=C=-^sin2A+sin2B=f—+W=1,但Cw乌，

36[2）UJ2

jr

所以“C=—”是“sin2A+sin2B=1”的充分不必要条件.

2

故选：A.

14.函数y=log2sirw+log2cosx,则下列命题正确的是（）

A.函数是偶函数B.函数定义域是0,]

C.函数最大值-ID.函数的最小正周期为兀

【答案】C

【解析】设/(%)=log2sinx+log2cosx,

sinx>0

由<可得2E;<x<2kn+^keZ),

cosx>0

所以，函数无）的定义域为<%2E<x<2E+],左eZ卜定义域不关于原点对称,

所以，函数/（"不是偶函数，A错B错;

当2kli<x<2kit+^keZ)时,

则4E<2x<4E+兀(左eZ)

)=logf|sin2x<log11=-1,

f(x)=log(sinxcosx22

22

当且仅当2x=]+4也伏eZ）时，

即当x=：+2Qi（左eZ）时，函数/（%）取最大值—1,C对；

因为/'（2兀+x）=log2sin（2兀+x）+log2cos（2兀+x）=log2sinx+log2cosx=/（%）,

结合函数/（尤）的定义域可知，函数了（元）的最小正周期为2兀，D错.

故选：C.

15.在四棱锥S—ABCO中，若丽=%丽+>宽+Z豆5,则实数组（九,y,z）可能是（）

A.（1,-1,1）B.（1,0-1）

C.（1,0,0）D.（1,-1,-1）

【答案】A

【解析】对于选项A,若底面A5CD是平行四边形，设ACD应）=0,则

SA+SC=2SO=SB+SD>

因此豆=豆+而-五，即(%,，2)=(1,-1,1),故A正确；

对于选项B,若(尤,y,z)=(l,O,—l),则X豆+y攵+z^=筋—豆5=丽/豆，故B

错误；

对于选项C,若(x,y,z)=(l,O,O),贝ijMS+y克+z丽=丽小豆，故C错误；

对于选项D,若(x,y,z)=(1,—1,—1),

则x豆+y豆+z^5=宓-克-55=而-而，

但BCa平面m,即丽，丽，丽不共面，因此豆=方—口不可能成立，故D错

误.

故选：A.

16.已知数列｛%｝不是常数列，前〃项和为S”，«„>0.若对任意正整数〃，存在正整数

m,使得|S“-aJ<4,则称｛%｝是“可控数列”.现给出两个命题：

①若各项均为正整数的等差数列｛%｝满足公差4=3,则｛4｝是“可控数列”；

②若等比数列｛4｝是“可控数列”，则其公比qe(0,1],

则下列判断正确的是()

A.①与②均为真命题B.①与②均为假命题

C.①为假命题，②为真命题D.①为真命题，②为假命题

【答案】C

【解析】对于①，由于数列%=3〃-2的各项均为正整数，且公差d=3,

但对$2=1+4=5,有|7—3时/0对任意正整数机恒成立(否则根=§,矛盾)，

故对〃=2时有6？—々/=卜-(3m—2)]=|7_3〃，21=q.

这表明｛4｝不是“可控数列"，故①错误；

对于②，若等比数列｛4,｝是“可控数列”，

由于数列｛4｝不是常数列，>0,故公比qwl.

a^qn-1

所以3=

9—1

从而⑶-叫<qo.伍―1)_《产<4oIzil_产<1,

q-11-q

1n

贝ij—1<<q"-+1,meN*,

1-q

当q>]时，则q"i_]<^^<d"T+l,meN*。，^"<1+(^-1)^1+1),(*),

1—q

令/»1+(4—9伍力+1),则可知当〃2叫巾+(”1乂/1+川时，(*)不成立；

1n1n

当0<夕<1时，显然成立，而对于二^<9时|+1恒成立，

1-q1-q

由于/5)=三二为严格增数列，且小时，/5)==^一义，

1-q1-q1-q

故问题等价于存在加eN*,使得二<q""i+1,

1-4

记g(m)=q"i+l,随m的增大，g(m)减小，故g(m)1mx=g6=2,

1c1

故只需;一W2,解得0<4<大，故②正确.

1-q2

综上，①是假命题，②是真命题.

故选：C.

三、解答题(第17~19题每题14分，第20-21题每题18分，满分78分)

17.已知函数y=/(%),其中/(X)=，(常数a>0且awl).

(1)若函数y=/(x)的图象过点(2,9),求关于x的不等式加2%—1|)>3的解集；

(2)若存在xe(0,1],使得数列/(1)、/(比)、/(犬+2)是等比数列，求实数f的取值

范围.

解：(1)若函数丫=/(切的图象过点(2,9),则/(2)=〃=9,

解得a=3,a=—3舍去，所以/(x)=3、，

Efe/(|2x-l|)=3IM>3#|2x-l|>l,

解得冗>1或x<0,

所以不等式/(|2x—1|)>3的解集为｛x|x>l或x<0｝；

(2)/(I)=a,f(tx)=泮/(尤2+2)=J+2,

若存在使得数列〃1)、/(㈤、f(x.2

2tx

则a=a'*.a,可得2笈=三+3，

由xe(O,l］可得/=三±3=2+<-,

'」2%22%

令g(x)：三卜式。』)，X2-3

2o

当龙«0,1］时，?G(0,l］,所以g，(x)=*■三<0,

可得g(x)=：+呆在xe(O,l］上单调递减，所以g(x)2g⑴=2,

则实数f的取值范围［2,+8).

18.某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各

抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：

假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

(1)求频率分布直方图中X的值并估计乙型芯片该项指标的平均值(同一组中的数据用该

组区间的中点值为代表)；

(2)已知甲型芯片指标在［80,100)为航天级芯片，乙型芯片指标在［60,70)为航天为航

天级芯片.现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在［70,90)内取2件，乙型芯片

指标在［50,70)内取4件，再从这6件中任取2件，求至少有一件为航天级芯片的概率.

解：(1)由题意得10x(0.002+0.005+0.023+0.025+0.025+x)=l,解得％=0.020.

由频率分布直方图得乙型芯片该项指标的平均值：

元=(25x0.002+35x0.026+45x0.032+55x0.030+65x0.010)xl0=47.

（2）根据分层抽样得，来自甲型芯片指标在［70,80）和［80,90）的各1件，分别记为A和

B,

来自甲型芯片指标在［50,60）和［60,70）分别为3件和1件，分别记为G，C2,C3和

D,

从中任取2件，样本空间可记为。=｛（4§）,（AG）,

（A,C2）,（A,C3）,（A。），

（B,D）,（GC）,（6，G）,（G，D）,（G，G），G。），

（B,C2）,（BC）,

（。3，。）｝共15个，

记事件E：至少有一件为航天级芯片，则石=｛（A3）,（A,D）,（B,C2）,

（BC）,

（B,D）,（G，D）,（G，。），（G，。）｝共9个,

93

所以打号=话=手

19.如图为正四棱锥P—为底面A5CD的中心.

（1）求证：CD〃平面平面平面P3Z）；

（2）设E为尸3上的一点，BE=-BP.

3

在下面两问中选一个，

①若A£>=AP=3底，求直线KC与平面BED所成角的大小.

②己知平面ECD与平面A5CD所成锐二面角的大小为arctan#,若AD=3叵,求AP

的长.

（1）证明：因为底面A5CD是正方形，所以AB〃CD,

ABu平面上钻，CD<Z平面B4B,

所以〃平面已钻；

AC±BD,由四棱锥P—ABCD是正四棱锥，

可得P0,平面ABC。，ACu平面A5CD,所以尸AC,

由POn3O=O，2。,6。<=平面。8£),

所以AC,平面P8。，

又因为ACu平面H4C,所以平面B4CJ_平面尸8。；

(2)解：选①，如图，以。点为原点，O&OCOP所在的直线分别为苍％z轴的

正方向建立空间直角坐标系，

由AD=AP=3后，得8(3,0,0),C(0,3,0),尸(0,0,3),A(0,—3,0),

丽=(-3,0,3),AC=(0,6,0),

由屁=§旃=3(-3,0,3)=(-2,0,2)得石(1,0,2),

所以反=(—1,3,—2),

因为ACJ_平面P3D,即ACJ_平面BED,

所以就是平面BED的一个法向量，

设直线EC与平面BED所成角为3,

183^4

sin6>=|cos(AC,£C)|=”产]=—.

।\/I\AC\-\EC\6.#^97414

3^/14

由6»e[00,901，得。=wcsin

14

所以直线EC与平面BED所成角为arcsin之叵；

14

选②，同①以。点为原点，彷，祝,不所在的直线分别为*，y，z轴的

正方向建立空间直角坐标系，设AP=a(a>3),

得3(3,0,0),0(—3,0,0),C(0,3,0),P(0,0,7^?),丽=(—3,0,7^?),

由屈=(而=((_3,0,，02_9)=1_2,0,^^］得石.,0,2'1_9

33、，〔3J13J

所以比=-1,3,-2^--,CD=(-3,-3,0),

设力=(%y,z)为平面ECD的一个法向量，

~3x—3y=0

CDn=0

「得《

则_x+3y.^/1zlz=o

ECh=0

-6

令％=i得y=—i，z=/,，

,2—9

所以五=[1,—1,7彗],因为po,平面ABCD,

、—9,

所以用=（0,0,—1）是平面A5CD的一个法向量，

八2

设平面ECD与平面ABCD所成锐二面角的大小为0,得cos9=忑,

6

由cos8=k°sn,pd\=92

111%-F'

li^i-MI1+1+—,——

a2-9

解得a-30，即AP=3万

20.椭圆F：\+y2=l（a〉l）的左右焦点分别为耳，鸟，设PG。,小）是第一象限内椭圆上的

a

(2)若a=^2,PQ-OR=—,求X。；

⑶若a=2,过点T(Oj)的直线/与椭圆F交于M、N两点,且卜2,则当，20

时，判断符合要求的直线有几条，说明理由？

解：(1)若e=Y2,则叵三1=受，解得：q=JL

2a2

(2)若。=&,则椭圆方程为：］+/=1且c=l,

由P点在第一象限可知尸。的斜率不为0,

设直线PQ的方程为：x=0—1优＞0),

直线PQ与椭圆方程联立消去X得：俨+2)y2-2@-1=0,

,2k1

所以%

1=j(%+%)2-4%%=J8r+8

42+2

而用.西=|园|西|cos/P£O=JT7Fx|%_yJxL工一再春返三人丁一乜

F+I-Vr+2ye+r5

解得：k=2^2＞把左=20代入(r+2)/—2«y—1=0得:

10y2—40—1=0=%==今'

把y0=也代入椭圆方程得：x0=l.

2

(3)若。=2,则椭圆方程为：—+/=1,且〃=1,

4

当/之0且直线/斜率存在时，设直线/的方程为：y=mx+t,M(x2,y2),^(x„y3),

直线/与椭圆方程联立消去丫得：(4疗+1)炉+8mtx+4?-4=0,

-Smt4产—4

所以％+%3=wTT,%2X3=wTT

II3~(-8mtY.4t2-4，64加2-16『+16

人一止收+七)-钻"后"J-4x而7r———

2

所以|MN|=y/l+m\x2-x3\=Jl+/近皿-二⑹一+16=2,

111231V4m2+1

整理得：(12-4z2)m2-4r+3=0,

当12—4/=0或4=4(4/—3)(12—4产)＜0时，即0W/＜曰或年百时，

方程无解，所以不存在满足卜2的直线/；

当—4产+3=0即/=正时，方程只有唯一的解机=0，

2

所以，存在一条满足pW|=2的直线/；

当A=4(4/—3)(12—4/)＞0,即曰＜/＜石时，方程有两个不相等实数解,

所以存在两条满足|=2的直线/；

当r20且直线/斜率不存在时，直线/即＞轴，满足|MN|=2.

综上所述：当0W/〈孝或时，存在一条满足pW|=2的直线/；

当《=暂时，存在两条满足|MN|=2的直线/；

当孝＜/＜百时，存在三条满足|4W|=2的直线/.

21.若函数y=/(x)的图象上存在左个不同点耳、鸟、L、弟(左22,左eN)处的切线重

合，则称该切线为函数y=/(x)的一条左点切线，该函数具有左点切线性质.

(1)判断函数y=*—2忖，xeR的奇偶性并写出它的一条2