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文档简介
上海市奉贤区2025届高三上学期
学科质量调研数学试题
一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接
写结果,1-6题每个空格填对得4分,7-12题每个空格填对得51分.
1,设全集°={123,4},集合'={2,4},贝|恒=.
【答案】{1,3}
【解析】因为全集。={123,4},集合A={2,4},则五{1,3}.
故答案为:{1,3}.
2.若直线乙:x+ay—2=0与直线4:ox+y—2=0互相垂直,则。=.
【答案】0
【解析】由题意得lxa+axl=O,解得a=0.
故答案为:0
3.已知xeR,则不等式尤2一尤+2>。的解集为.
【答案】R
【解析】因为八=1—8=—7<0,所以不等式式―%+2>0的解集为R.
故答案为:R
,、flnx+l,x>0,,、
4.设/(*)=[乜]若〃九o)=l,贝1]%()=-----
【答案】1
【解析】当%0>0时,/(^)=lnx0+l=l,解得:x0=1,满足;
当天《。时,/(x0)=2^+l=L方程无解,
所以%=1,
故答案为:1
5.若A,5C,£>,E五人站成一排,如果A,3必须相邻,那么排法共种.
【答案】48
【解析】第一步:把A3捆绑当作一个元素与C,。,石进行排列共有A:种;
第二步:A3之间进行排列共有A;种;
根据分步计数原理可知:排法的总数共有A:A;=48种.
故答案为:48
的二项展开式中的常数项为.(用数字作答)
【答案】5
315
3-6r=G(『(x产=c;(x)~
【解析】由题意可知:Tr+X=C;(x)°
430-—r=0^r=4,所以常数项为C;=5.
2
故答案为:5
7.已知抛物线犬=©(。>0)上有一点P到准线的距离为6,点尸到无轴的距离为4,则抛
物线的焦点坐标为.
【答案】(0,2)
【解析】抛物线%2=金(。>0)的准线方程为丁=—幺,
设点尸(龙,丁),则y»0,由于点尸到准线的距离为y+?=6,可得>=6—
因为点尸到无轴的距离为4,则y=4,所以,6-^=4,解得。=8,
故抛物线的方程为f=8y,其焦点坐标为(0,2).
故答案为:(0,2).
8.在复平面内,。为坐标原点,复数4=…3i),z2=12+5i对应的点分别为ZpZ2,
其中i为虚数单位,则%,区的大小为.
【答案】arccos—.
65
【解析】因为z1=i(一4-3i)=3-4i,z2=12+51,
所以西=(3,-4),沟=(12,5),
所以cos(西,西)=焉修3x12-20
^32+(-4)2XA/122+5265
所以(QZ],Ozj=arccos—.
9.甲乙两人下棋,每局两人获胜可能性一样,某一天两人要进行一场三局两胜的比赛,
最终胜者赢得100元奖金,第一局比赛甲获胜,后因为有其他事情而中止比赛,则甲应该
分元奖金才公平?
【答案】75
【解析】乙最后获胜的情况为第二局、第三局必须乙胜,其概率为:
224
即甲最终获胜的概率为之,乙最终获胜的概率为:,
44
3
故甲的奖金为100x:=75元.
故答案为:75.
10.申辉中学高一(8)班设计了一个“水滴状”班徽的平面图(如图),徽章由等腰三角形ABC
及以弦8C和劣弧所围成的弓形所组成,其中A5=AC,劣弧8C所在的圆为三角形的
外接圆,圆心为O.已知NA4c=外接圆的半径是2,则该图形的面积为
_:_____.(用含。的表达式表示)
A
【答案】46»+4sin6>
【解析】连接O5OAOC,则OB=Q4=OC=2,ZBOC=20f
ZAOB=ZAOC=2兀-/1℃=n-0,
2
S-AOB=S.AOC=gX2X2sin(兀-e)=2sin,,
S扇形Boc=gx2ex2x2=4e,
所以该图形的面积为46>+4sine.
故答案为:46>+4sin6>.
A
11.上海市奉贤区奉城镇的古建筑万佛阁(图1)的屋檐下常系挂风铃(图2),风吹铃动,
悦耳清脆,亦称惊鸟铃,一般一个惊鸟铃由铜铸造而成,由铃身和铃舌组成,为了知道一个
惊鸟铃的质量,可以通过计算该惊鸟铃的体积,然后由物理学知识计算出该惊鸟铃的质量,
因此我们需要作出一些合理的假设:
假设1:铃身且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥;
假设2:两圆锥的轴在同一条直线上;
假设3:铃身内部有一个挂铃舌的部位的体积忽略不计.
截面图如下(图3),其中aq=20cm,O2O3=18cm,AB=16cm,则制作100个这样
的惊鸟铃的铃身至少需要千克铜.(铜的密度为8.9g/cm3)(结果精确到个位)
【答案】120
【解析】由题意可知,圆锥。03的底面半径为8cm,高为20cm,
圆锥QQ的底面半径为8cm,高为18cm,
因为100义;x兀义8?x(20—18)义8.9+1000土119.236,
所以,制作100个这样的惊鸟铃的铃身至少需要120千克铜.
故答案为:120.
12.已知集合加={片,6,8,…,《},〃22,〃eN是由函数y=COSX,XC[0,2TI]的图象上
两两不相同的点构成的点集,集合S={a|a=M•所其
中此(0,1)、^(71,-1).若集合S中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为d的等差
数列,当时,则符合条件的点集M的个数为.
【答案】60
【解析】由己知OQ=OF^-OPQ=1,OJ=OP0-OPX=—1,
设4(%,%),则q=画.窈=丫.,显然—
若d=l,则5={—1,0,1},因此有%=0,
jrJT311
由cosXj=0,XjG[0,2兀]得七=万■或--,对应Q1(5,0),。2(~^,°),
同理。3(2兀1)对应此,
集合M中已经含有点用送,
因此产生5={-1,0,1}的集合M中,点&可有也可没有,。,。2至少有一个,
所以M的个数为2x3=6,
若4=5,则s={-I,—],。,]/},
12兀-4兀17i„5K
COSXj=---9Xj=—或—,COSX--—,Xj=_或—,
233233
t.、.—八/兀1、八/5兀1、-/2兀1、-/4兀1、
对应点。1(司,5),。5(可,5),以(丁,一5),°7(二,一不),
产生{—1,一3,0,3/}的集合/中,点&可有也可没有,2,2至少有一个,
。4,。5中至少有一个,。,。7中至少有一个,”的个数为2x3x3x3=54,
综上,集合”的个数为6+54=60.
故答案为:60.
二、选择题(本大题满分18分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在
答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,13-14选对每个得4分,15-16选对每个
得5分,否则一律类分.
71
13.在VABC中,“C=—”是"siEA+siYBul'呃()
2
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】一方面:
C=-=>A+B=-sinA=sin|--B|=cosB=>sin2A+sin2B=cos2B+sin2B=1,
22(2J
另一方面:A=—,B=C=-^sin2A+sin2B=f—+W=1,但Cw乌,
36[2)UJ2
jr
所以“C=—”是“sin2A+sin2B=1”的充分不必要条件.
2
故选:A.
14.函数y=log2sirw+log2cosx,则下列命题正确的是()
A.函数是偶函数B.函数定义域是0,]
C.函数最大值-ID.函数的最小正周期为兀
【答案】C
【解析】设/(%)=log2sinx+log2cosx,
sinx>0
由<可得2E;<x<2kn+^keZ),
cosx>0
所以,函数无)的定义域为<%2E<x<2E+],左eZ卜定义域不关于原点对称,
所以,函数/("不是偶函数,A错B错;
当2kli<x<2kit+^keZ)时,
则4E<2x<4E+兀(左eZ)
)=logf|sin2x<log11=-1,
f(x)=log(sinxcosx22
22
当且仅当2x=]+4也伏eZ)时,
即当x=:+2Qi(左eZ)时,函数/(%)取最大值—1,C对;
因为/'(2兀+x)=log2sin(2兀+x)+log2cos(2兀+x)=log2sinx+log2cosx=/(%),
结合函数/(尤)的定义域可知,函数了(元)的最小正周期为2兀,D错.
故选:C.
15.在四棱锥S—ABCO中,若丽=%丽+>宽+Z豆5,则实数组(九,y,z)可能是()
A.(1,-1,1)B.(1,0-1)
C.(1,0,0)D.(1,-1,-1)
【答案】A
【解析】对于选项A,若底面A5CD是平行四边形,设ACD应)=0,则
SA+SC=2SO=SB+SD>
因此豆=豆+而-五,即(%,,2)=(1,-1,1),故A正确;
对于选项B,若(尤,y,z)=(l,O,—l),则X豆+y攵+z^=筋—豆5=丽/豆,故B
错误;
对于选项C,若(x,y,z)=(l,O,O),贝ijMS+y克+z丽=丽小豆,故C错误;
对于选项D,若(x,y,z)=(1,—1,—1),
则x豆+y豆+z^5=宓-克-55=而-而,
但BCa平面m,即丽,丽,丽不共面,因此豆=方—口不可能成立,故D错
误.
故选:A.
16.已知数列{%}不是常数列,前〃项和为S”,«„>0.若对任意正整数〃,存在正整数
m,使得|S“-aJ<4,则称{%}是“可控数列”.现给出两个命题:
①若各项均为正整数的等差数列{%}满足公差4=3,则{4}是“可控数列”;
②若等比数列{4}是“可控数列”,则其公比qe(0,1],
则下列判断正确的是()
A.①与②均为真命题B.①与②均为假命题
C.①为假命题,②为真命题D.①为真命题,②为假命题
【答案】C
【解析】对于①,由于数列%=3〃-2的各项均为正整数,且公差d=3,
但对$2=1+4=5,有|7—3时/0对任意正整数机恒成立(否则根=§,矛盾),
故对〃=2时有6?—々/=卜-(3m—2)]=|7_3〃,21=q.
这表明{4}不是“可控数列",故①错误;
对于②,若等比数列{4,}是“可控数列”,
由于数列{4}不是常数列,>0,故公比qwl.
a^qn-1
所以3=
9—1
从而⑶-叫<qo.伍―1)_《产<4oIzil_产<1,
q-11-q
1n
贝ij—1<<q"-+1,meN*,
1-q
当q>]时,则q"i_]<^^<d"T+l,meN*。,^"<1+(^-1)^1+1),(*),
1—q
令/»1+(4—9伍力+1),则可知当〃2叫巾+(”1乂/1+川时,(*)不成立;
1n1n
当0<夕<1时,显然成立,而对于二^<9时|+1恒成立,
1-q1-q
由于/5)=三二为严格增数列,且小时,/5)==^一义,
1-q1-q1-q
故问题等价于存在加eN*,使得二<q""i+1,
1-4
记g(m)=q"i+l,随m的增大,g(m)减小,故g(m)1mx=g6=2,
1c1
故只需;一W2,解得0<4<大,故②正确.
1-q2
综上,①是假命题,②是真命题.
故选:C.
三、解答题(第17~19题每题14分,第20-21题每题18分,满分78分)
17.已知函数y=/(%),其中/(X)=,(常数a>0且awl).
(1)若函数y=/(x)的图象过点(2,9),求关于x的不等式加2%—1|)>3的解集;
(2)若存在xe(0,1],使得数列/(1)、/(比)、/(犬+2)是等比数列,求实数f的取值
范围.
解:(1)若函数丫=/(切的图象过点(2,9),则/(2)=〃=9,
解得a=3,a=—3舍去,所以/(x)=3、,
Efe/(|2x-l|)=3IM>3#|2x-l|>l,
解得冗>1或x<0,
所以不等式/(|2x—1|)>3的解集为{x|x>l或x<0};
(2)/(I)=a,f(tx)=泮/(尤2+2)=J+2,
若存在使得数列〃1)、/(㈤、f(x.2
2tx
则a=a'*.a,可得2笈=三+3,
由xe(O,l]可得/=三±3=2+<-,
'」2%22%
令g(x):三卜式。』),X2-3
2o
当龙«0,1]时,?G(0,l],所以g,(x)=*■三<0,
可得g(x)=:+呆在xe(O,l]上单调递减,所以g(x)2g⑴=2,
则实数f的取值范围[2,+8).
18.某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片,为了解芯片的某项指标,从这两种芯片中各
抽取100件进行检测,获得该项指标的频率分布直方图,如图所示:
假设数据在组内均匀分布,以样本估计总体,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)求频率分布直方图中X的值并估计乙型芯片该项指标的平均值(同一组中的数据用该
组区间的中点值为代表);
(2)已知甲型芯片指标在[80,100)为航天级芯片,乙型芯片指标在[60,70)为航天为航
天级芯片.现分别采用分层抽样的方式,从甲型芯片指标在[70,90)内取2件,乙型芯片
指标在[50,70)内取4件,再从这6件中任取2件,求至少有一件为航天级芯片的概率.
解:(1)由题意得10x(0.002+0.005+0.023+0.025+0.025+x)=l,解得%=0.020.
由频率分布直方图得乙型芯片该项指标的平均值:
元=(25x0.002+35x0.026+45x0.032+55x0.030+65x0.010)xl0=47.
(2)根据分层抽样得,来自甲型芯片指标在[70,80)和[80,90)的各1件,分别记为A和
B,
来自甲型芯片指标在[50,60)和[60,70)分别为3件和1件,分别记为G,C2,C3和
D,
从中任取2件,样本空间可记为。={(4§),(AG),
(A,C2),(A,C3),(A。),
(B,D),(GC),(6,G),(G,D),(G,G),G。),
(B,C2),(BC),
(。3,。)}共15个,
记事件E:至少有一件为航天级芯片,则石={(A3),(A,D),(B,C2),
(BC),
(B,D),(G,D),(G,。),(G,。)}共9个,
93
所以打号=话=手
19.如图为正四棱锥P—为底面A5CD的中心.
(1)求证:CD〃平面平面平面P3Z);
(2)设E为尸3上的一点,BE=-BP.
3
在下面两问中选一个,
①若A£>=AP=3底,求直线KC与平面BED所成角的大小.
②己知平面ECD与平面A5CD所成锐二面角的大小为arctan#,若AD=3叵,求AP
的长.
(1)证明:因为底面A5CD是正方形,所以AB〃CD,
ABu平面上钻,CD<Z平面B4B,
所以〃平面已钻;
AC±BD,由四棱锥P—ABCD是正四棱锥,
可得P0,平面ABC。,ACu平面A5CD,所以尸AC,
由POn3O=O,2。,6。<=平面。8£),
所以AC,平面P8。,
又因为ACu平面H4C,所以平面B4CJ_平面尸8。;
(2)解:选①,如图,以。点为原点,O&OCOP所在的直线分别为苍%z轴的
正方向建立空间直角坐标系,
由AD=AP=3后,得8(3,0,0),C(0,3,0),尸(0,0,3),A(0,—3,0),
丽=(-3,0,3),AC=(0,6,0),
由屁=§旃=3(-3,0,3)=(-2,0,2)得石(1,0,2),
所以反=(—1,3,—2),
因为ACJ_平面P3D,即ACJ_平面BED,
所以就是平面BED的一个法向量,
设直线EC与平面BED所成角为3,
183^4
sin6>=|cos(AC,£C)|=”产]=—.
।\/I\AC\-\EC\6.#^97414
3^/14
由6»e[00,901,得。=wcsin
14
所以直线EC与平面BED所成角为arcsin之叵;
14
选②,同①以。点为原点,彷,祝,不所在的直线分别为*,y,z轴的
正方向建立空间直角坐标系,设AP=a(a>3),
得3(3,0,0),0(—3,0,0),C(0,3,0),P(0,0,7^?),丽=(—3,0,7^?),
由屈=(而=((_3,0,,02_9)=1_2,0,^^]得石.,0,2'1_9
33、,〔3J13J
所以比=-1,3,-2^--,CD=(-3,-3,0),
设力=(%y,z)为平面ECD的一个法向量,
~3x—3y=0
CDn=0
「得《
则_x+3y.^/1zlz=o
ECh=0
-6
令%=i得y=—i,z=/,,
,2—9
所以五=[1,—1,7彗],因为po,平面ABCD,
、—9,
所以用=(0,0,—1)是平面A5CD的一个法向量,
八2
设平面ECD与平面ABCD所成锐二面角的大小为0,得cos9=忑,
6
由cos8=k°sn,pd\=92
111%-F'
li^i-MI1+1+—,——
a2-9
解得a-30,即AP=3万
20.椭圆F:\+y2=l(a〉l)的左右焦点分别为耳,鸟,设PG。,小)是第一象限内椭圆上的
a
(2)若a=^2,PQ-OR=—,求X。;
⑶若a=2,过点T(Oj)的直线/与椭圆F交于M、N两点,且卜2,则当,20
时,判断符合要求的直线有几条,说明理由?
解:(1)若e=Y2,则叵三1=受,解得:q=JL
2a2
(2)若。=&,则椭圆方程为:]+/=1且c=l,
由P点在第一象限可知尸。的斜率不为0,
设直线PQ的方程为:x=0—1优>0),
直线PQ与椭圆方程联立消去X得:俨+2)y2-2@-1=0,
,2k1
所以%
1=j(%+%)2-4%%=J8r+8
42+2
而用.西=|园|西|cos/P£O=JT7Fx|%_yJxL工一再春返三人丁一乜
F+I-Vr+2ye+r5
解得:k=2^2>把左=20代入(r+2)/—2«y—1=0得:
10y2—40—1=0=%==今'
把y0=也代入椭圆方程得:x0=l.
2
(3)若。=2,则椭圆方程为:—+/=1,且〃=1,
4
当/之0且直线/斜率存在时,设直线/的方程为:y=mx+t,M(x2,y2),^(x„y3),
直线/与椭圆方程联立消去丫得:(4疗+1)炉+8mtx+4?-4=0,
-Smt4产—4
所以%+%3=wTT,%2X3=wTT
II3~(-8mtY.4t2-4,64加2-16『+16
人一止收+七)-钻"后"J-4x而7r———
2
所以|MN|=y/l+m\x2-x3\=Jl+/近皿-二⑹一+16=2,
111231V4m2+1
整理得:(12-4z2)m2-4r+3=0,
当12—4/=0或4=4(4/—3)(12—4产)<0时,即0W/<曰或年百时,
方程无解,所以不存在满足卜2的直线/;
当—4产+3=0即/=正时,方程只有唯一的解机=0,
2
所以,存在一条满足pW|=2的直线/;
当A=4(4/—3)(12—4/)>0,即曰</<石时,方程有两个不相等实数解,
所以存在两条满足|=2的直线/;
当r20且直线/斜率不存在时,直线/即>轴,满足|MN|=2.
综上所述:当0W/〈孝或时,存在一条满足pW|=2的直线/;
当《=暂时,存在两条满足|MN|=2的直线/;
当孝</<百时,存在三条满足|4W|=2的直线/.
21.若函数y=/(x)的图象上存在左个不同点耳、鸟、L、弟(左22,左eN)处的切线重
合,则称该切线为函数y=/(x)的一条左点切线,该函数具有左点切线性质.
(1)判断函数y=*—2忖,xeR的奇偶性并写出它的一条2
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