人教版九年级数学下册压轴题：解三角形的实际应用（原卷版+解析）

专题10解三角形的实际应用

类型一、仰角、俯角问题

例.为了保护学生视力，要求学生写字时应保持眼睛与书本最佳距离约为35cm.如图，BD

为桌面，嘉琪同学眼睛尸看作业本A的俯角为53。，身体离书桌距离3c=9cm,眼睛到桌面

的距离PC=24cm.

（1）通过计算，请判断嘉琪的眼睛与作业本的距离是否符合最佳要求；

（2）为确保眼睛与作业本的距离符合最佳要求，在身体离书桌的距离3C和眼睛到桌面的距离

PC保持不变的情况下，需将作业本沿54方向移动到点E处，求作业本移动的距离AE.（结

果精确到0.1cm）（参考数据：cos37°«0.8,cos47°«—,tan47°«1.07.）

【变式训练1】.（1）如图：为测量河宽AB（假设河的两岸平行），在点C处测得ZACB=30°,

在点。处测得“出=60。，且CD=60m,则河宽AB为多少m（结果保留根号）.

（2）如图所示，小明同学在学校某建筑物的点C处测得旗杆顶部点A的仰角为30。，旗杆

底部点B的俯角为45。.若旗杆底部点8到建筑物的水平距离3E=9米，旗杆台阶高1米，

则旗杆顶点A离地面的高度为多少米（结果保留根号）.

【变式训练2].如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端8的

仰角为45。，沿斜坡走35米到达斜坡上点。，在此处测得树顶端点8的仰角为31。，且斜

2

坡AF的坡比为1:2,E,A,C在同一水平线上.

⑴求小明从点A到点。的过程中，他上升的高度.

（2）大树的高度约为多少米？（参考数据：sin31°«=0.52,cos31°=0.86,tan31°®0.60）

【变式训练3】.位于河南省登封市嵩山南麓嵩岳寺内的嵩岳寺塔是中国现存最早的砖塔，

也是全国古塔中的孤例.嵩岳寺塔建于北魏正光年间，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹

立，也是中国唯一的一座十二边形塔.某数学小组测量嵩岳寺塔。C的高度，如图，在台阶

A3底端A处用测角仪测得嵩岳寺塔顶端D的仰角为45。，在台阶A3顶端B处用测角仪又

测得嵩岳寺塔顶端。的仰角为40。.已知测角仪的高度为L5m,平台3G的高度为3m,台

阶A3的坡度）=1:1,图中所有点均在同一竖直平面内，点A,»与点C在同一水平线上，

求嵩岳寺塔。C的高度.（结果精确到1m.参考数据：sin40°«0.64,cos40°«0.77,

tan40°a：0.84）

【变式训练4】.小东同学学习了《锐角三角函数》一章后，决定运用所学知识测算教室对

面远处正在施工的塔吊（一种将重物吊到高处的建筑工具）的高度.小东现在所处的位置是

四楼教室的点A处（AD=14m）,小东利用测角仪测得对面远处塔吊正在施工的六层（每层

高3.5m）建筑物的顶部点8的仰角为4。23'55",测得被这幢六层建筑物遮住了一部分的塔吊

的顶端点C的仰角为15。.按照安全规定：此时塔吊的底部点M距建筑物的底部点N是

4m.利用这些数据，小东经过详细的计算，得出塔吊的高度约为32m,但这个高度明显违

反了此种塔吊使用的安全规定（塔吊的最高高度与建筑物的最高高度差必须保持在

15〜20m）,亲爱的同学，你也来利用小东测得的数据，仔细算一算塔吊的高度，并判断该

塔吊是否违规操作.（结果保留一位小数.参考数据：sin4O23'55"=①,tan4°23'55"=1,

17013

sinl5°=,tanl50=2-V3,6=1.732)

类型二、方位角问题

例.如图一艘轮船位于灯塔8的正西方向的A处，且灯塔B到A处的距离为20海里，轮船

沿东北方向匀速航行，速度为10海里/时.

D/

匕

I

I

东

:

南

⑴多长时间后，轮船行驶到达位于灯塔B的西北方向上的C处？（结果保留根号）

⑵轮船不改变航行行驶到达位于灯塔8的北偏东15。方向上的。处，求灯塔A到。处的距离。

（结果保留根号）

【变式训练1】.如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道,

经测量，点C在点A的正东方向，AC=100米，点E在点A的正北方向，点B,。在点C

的正北方向，3D=50米，点B在点A的北偏东30。，点。在点E的北偏东45。.

（1）求步道QE的长度（精确到个位）；

（2）点。处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点8到达点。，也可以经

过点E到达点D请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：应=1.414,6~1,732）

【变式训练2].如图，在一笔直的海岸线/上有A,8两个观测站，A在8的正东方向.有

一艘渔船在点尸处，从A处测得渔船在北偏西60。的方向，从B处测得渔船在其东北方向，

且测得B,P两点之间的距离为30海里.

C

BA'

⑴求观测站A,B之间的距离（结果保留根号）；

⑵渔船从点P处沿射线"的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从8测得渔

船在北偏西15。的方向.在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点8出发，以每小时25海

里的速度前往C处，请问补给船能否在100分钟之内到达C处？（参考数据：6合1.73）

【变式训练3】.在一次海上救援中，两艘专业救助船A、B同时收到某事故渔船尸的求救讯

息，已知此时救助船3在A的正北方向，事故渔船尸在救助船A的北偏西30。方向上，在救

助船B的西南方向上，且事故渔船尸与救助船A相距120海里

（1）求收到求救讯息时事故渔船尸与救助船B之间的距离（结果保留根号）；

⑵求救助船A、B分别以40海里/小时，30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故

渔船尸处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达.

【变式训练4].如图，某渔船在完成捕捞作业后准备返回港口C,途经某海域A处时，港

口C的工作人员监测到点A在南偏东30。方向上，另一港口8的工作人员监测到点A在正西

方向上.已知港口C在港口B的北偏西60。方向，且2、C两地相距120海里.

⑴求出此时点A到港口C的距离（计算结果保留根号）；

⑵若该渔船从A处沿AC方向向港口C驶去，当到达点A时，测得港口2在A的南偏东75。

的方向上，求此时渔船的航行距离（计算结果保留根号）.

课后训练

1.遮阳伞可以遮住灼灼骄阳，站在伞下会凉爽很多，如图①，把遮阳伞（伞体的截面示意

图为AABC）用立柱。尸固定在地面上的点。处，此时0P垂直于地面。。，遮阳伞顶点A

与P重合.需要遮阳时，向上调节遮阳伞立柱。尸上的滑动调节点8,打开支架PZ）,伞面

撑开如图②，其中，AB'=AC=2m,ZC=30°,。为AB'中点，PD=lm,根据生活经验，

当太阳光线与伞口BC垂直时，遮阳效果最佳.（图中的虚线就是太阳光线，同一时刻的太

阳光线是平行的）

C

（1）某天上午10点，太阳光线与地面的夹角为60。，如图③，为使遮阳效果最佳，滑动调节

点B,此时立柱PO与支梁PZ）夹角度.

⑵在（1）的情况下，若为遮阳伞落在地面上的阴影如图④所示，求出这个阴影的长度.

⑶如图⑤，正午时分，太阳光与地面的夹角约为80。，滑动调节点8到耳，使遮阳效果最

佳，此对调节点8滑动的距离约为多少？（sin50°«0.756,cos50、0.643,tan50、1.192,

结果精确到0.01m）

2.某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度

AB=200cm,遮阳棚前端自然下垂边的长度3C=25cm,遮阳棚固定点A距离地面高度

AD=296.8cm,遮阳棚与墙面的夹角/S4D=72。.

(1)如图2,求遮阳棚前端8到墙面的距离；

⑵如图3,某一时刻，太阳光线与地面夹角/CFG=60。，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度D尸

的长(结果精确到1cm).(参考数据：

sin72°«0.951,cos72°»0.309,tan72°®3.078.A/3«1.732)

3.综合与实践

【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m的云梯45,如图，云梯

斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离3c=7m,ZDCE=90°.

⑴【独立思考】这架云梯顶端距地面的距离AC有多高？

(2)【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到A位置上(云梯长度不改变),

A4'=4m,那么它的底部B在水平方向滑动到B'的距离班'也是4m吗？若是,请说明理由;

若不是，请求出BE的长度.

⑶【问题解决】在演练中，高24m的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员.经

验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的g,则云梯和消防员

相对安全.在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24m高的墙头去救援被困人员？

4.如图，甲、乙两队同时从A点出发，相约去河对面的公园。游玩.甲队选择的线路为

AfBfCfD,其中在BC段划船过河；乙队选择的线路为A-尸fEfD,其中在FE

段乘坐游船过河.已知四边形BCEF为矩形，A,B,C三点在同一直线上，长为600米，

ZAFB=37°,CDA.DE,ZCED=30°.(参考数据：sin37°«0.60,cos37°。0.80,tan37°«0.75,

A/3®1.732,V21.414)

D

(1)求。到CE的距离；(结果精确到个位)

(2)甲、乙两队在陆地上都是步行，且步行速度均为50m/min.已知甲队划船的速度为

120m/min,乙队游船的速度为360m/min,若BC长为1800米，请通过计算说明哪一队先

到达公园。.

5.下图是测温员使用测温枪的侧面示意图，其中枪柄与手臂MC始终在同一直线上，

枪身54与额头保持垂直.量得胳膊MN=28cm,MB=42cm,肘关节M与枪身端点A之

间的水平宽度为25.3cm(即MP的长度)，枪身54=8.5cm.

(1)求的度数；

(2)测温时规定枪身端点，A与额头距离范围为3~5cm,若测得=68.6°,小红与测温

员之间距离为50cm.问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理

由.(结果保留小数点后一位)

(参考数据：sin66.4°»0.92,cos66.4°®0.40,sin23.6x0.40,41)

6.如图，一数学项目学习小组要测量某路灯。-尸-M的顶部到地面的距离MN的长，他们

借助卷尺、测角仪进行测量，测量结果如下：

测量项目测量数据

从A处测得路灯顶部M的仰角aa=58°

测角仪到地面的距离AB=1.6米

路灯顶部M正下方N至测量点B的水平距离BNBN=2米

根据以上测量结果，计算路灯顶部到地面的距离为多少米.（参考数据:

sin58°=0.85,cos58°=0.53,tan58°«1.60，结果精确到0.1米.）

M

专题10解三角形的实际应用

类型一、仰角、俯角问题

例.为了保护学生视力，要求学生写字时应保持眼睛与书本最佳距离约为35cm.如图，BD

为桌面，嘉琪同学眼睛P看作业本A的俯角为53。，身体离书桌距离3c=9cm,眼睛到桌面

的距离PC=24cm.

⑴通过计算，请判断嘉琪的眼睛与作业本的距离是否符合最佳要求；

⑵为确保眼睛与作业本的距离符合最佳要求，在身体离书桌的距离8C和眼睛到桌面的距离

PC保持不变的情况下，需将作业本沿出方向移动到点E处，求作业本移动的距离AE.（结

24

果精确到0.1cm）（参考数据：cos37°«0.8,cos47°«—,tan47。。1.07.）

【答案】⑴距离不符合最佳要求

⑵作业本移动的距离AEx7.7cm

【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用一一仰角俯角问题，勾股定理，熟练掌握仰俯

角的概念是解题关键.

（1）根据三角函数的定义列式计算即可；

（2）根据勾股定理求出AC的长，再利用三角函数求出移动后的俯角，再求出EC的长，即

可求出最后结果.

【详解】（1）解：如图，在RtAP4C中，

ZACP=90°,/PAC=53。，

,-.ZAPC=90°-53°=37°,

pc

■：cosNAPC=—,

PA

PC

.-.COS37°=—,

PA

24

PA

AP=30cm<35cm，

二距离不符合最佳要求;

(2)在RtZkPAC中，PC=24cm,AP=30cm,

r.AC=NAP2-PC。=>/302-242=18cm，

为了符合最佳要求，PE=35cm,

pc24

在Rt△石PC中，cos/EPC=——=——，

PE35

0ZEPC«47°,

FC

tan47。=—,

PC

EC

01.07«—,

24

团EC=25.68,

0AE=25.68-18«7.7cm.

【变式训练11(1)如图:为测量河宽AB(假设河的两岸平行)，在点C处测得NACB=30。,

在点。处测得“出=60。，且CD=60m,则河宽A5为多少m(结果保留根号).

（2）如图所示，小明同学在学校某建筑物的点。处测得旗杆顶部点A的仰角为30。，旗杆

底部点5的俯角为45。.若旗杆底部点B到建筑物的水平距离3E=9米，旗杆台阶高1米，

则旗杆顶点A离地面的高度为多少米（结果保留根号）.

【答案】（1）河宽A3为30鬲；（2）旗杆顶点A离地面的高度为10+34米

【分析】（1）根据NACB=30。，/4£>5=60。，则4^。=30。，根据等角对等边，AD=CD=60m,

在RtZXABQ中，根据空=sin/AO3=sin60o=也，得出A3的长即可；

AD2

（2）作CV1AB于点尸，构成两个直角三角形.运用锐角三角函数分别求出AF和即

可解答.

【详解】（1）解：0ZACB=30°,ZADB=60°,

0?ZMC?ADB?ACB30?,

SZACB=ZDAC,

团AD=CD=60m,

在RtzMBD中，—=sinZADB=sin60°=—

AD2

0AB=—AD=—?6030辰.

22

答：河宽AB为30/m；

（2）解：如图，作CE/AB于点尸.

回根据题意可得：在RtAFBC中，有BF=FC窗an45=班窗31145=9,

在RtAAFC中，有A尸=PC窗an30=3若，回48=9+3百，

国旗杆顶点A离地面的高度为42=1+9+3石=（10+3档）米.

答：旗杆顶点A离地面的高度为。0+34）米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数解直角三角形是解题的关

键.

【变式训练21.如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端8的

仰角为45。，沿斜坡走亚米到达斜坡上点。，在此处测得树顶端点6的仰角为31。，且斜

2

坡AF的坡比为1:2,E,A,C在同一水平线上.

EA^^^===rc

⑴求小明从点A到点。的过程中，他上升的高度.

⑵大树BC的高度约为多少米？（参考数据：sin31°=«0.52,cos31o^=0.86,tan31°®0.60）

3

【答案】（1）小明从点A到点。的过程中，他上升的高度为|■米

33

⑵大树BC的高度约为彳米

【分析】（1）作于H，在Rt&4D"中，—=^-,则=由勾股定理得

AH2

川2+。〃2="）2,即可求出答案；

（2）延长BD交AE于点、G.设5。=九米.求出GA=GH+AH=2.5+3=5.5（米）.在Rt45GC

BCBCY5

中,tanZDGH=则CG=«——=—%米•在RQB4C中，NB4C=45。，则

GCtanNDGH0.603

AC=3C=x米.由GC—AC=AG得至ljgx-x=5.5,即可求得答案.

【详解】（1）作于如图所示，

在Rt^ADH中,

PH1

-2)

AH=1DH.

22

■：AH+DH=AD\

(2DHV+DH2

3

：.DH=-^

3

答：小明从点A到点。的过程中，他上升的高度为|■米•

（2）如图，延长BD交AE于点G.设5。=%米.

由题意，得NDGH=31。,

DH彳=2.5米.

GH=

tanZDGH

-.•AH=2DH=3^;,

.•.G4=GH+AH=2.5+3=5.5(米).

在RtABGC中，tanZDGH^—,

GC

:.CG=———b上=L米.

tmZDGH0.603

在RtABAC中，ZBAC=45°,

，AC=3C=x米.

■.■GC-AC^AG,

5匚匚

:.-x-x=5.5,

3

解得》=三33.

4

33

答：大树BC的高度约为一米・

【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握坡角、仰角、三角函数的概念等知识是

解题的关键.

【变式训练3】.位于河南省登封市嵩山南麓嵩岳寺内的嵩岳寺塔是中国现存最早的砖塔，

也是全国古塔中的孤例.嵩岳寺塔建于北魏正光年间，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹

立，也是中国唯一的一座十二边形塔.某数学小组测量嵩岳寺塔。C的高度，如图，在台阶

A2底端A处用测角仪测得嵩岳寺塔顶端。的仰角为45。，在台阶A3顶端B处用测角仪又

测得嵩岳寺塔顶端。的仰角为40。.已知测角仪的高度为L5m,平台8G的高度为3m,台

阶的坡度i=图中所有点均在同一竖直平面内，点A,H与点C在同一水平线上，

求嵩岳寺塔。C的高度.(结果精确到1m.参考数据：sin40°®0.64,cos40°«0.77,

tan40°«0.84)

【答案】36m

【分析】过点石作加,口。于点过点尸作RV_LDC于点N,延长AE交PN于点K,延

长FB交CH于点、L,如图所示，则NDEM=45。，ZDFN=40°.根据题意可得

AE=BF=CM=1.5m,ME=NK.BL=KE=AL=KF=MN=3m,设嵩岳寺塔DC的高

度为xm,贝IjDM=(%_1.5)m,Z>/V=(x-1.5-3)m=(x-4.5)m.

在RtADEM和Rt△。尸N中，利用锐角三角函数，即可求解.

【详解】解：过点E作9,8于点河，过点歹作FNLDC于点N,延长AE交bN于点K,

延长咫交CH于点乙，如图所示，则/DEM=45。，ZDFN=40°.

KE=MN=3m4£=KF,ME=NK.

回台阶AB的坡度i=1:1,

BL1

团=-

AL1

即BL=KE=AL=KF=AW=3m,

设嵩岳寺塔。C的高度为xm,则£>M=(x-L5)m,DN=(xT.5—3)m=(x-4.5)m.

在RUDEM中，ZD£M=45°,

aDM=ME=x—l,5=NK.

r)N

在RtZV)7W中，/DRV=40。，tan/DFN=——

NF

%—4.5x—4.5

团tan40°=«0.84

NK+KF%—1.5+3

解得x«36.

经检验，1。36是分式方程的解，且符合实际意义.

答：嵩岳寺塔。C的高度约为36m.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用一仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的概念，熟

记锐角三角函数的定义是解题的关键.

【变式训练4】.小东同学学习了《锐角三角函数》一章后，决定运用所学知识测算教室对

面远处正在施工的塔吊（一种将重物吊到高处的建筑工具）的高度.小东现在所处的位置是

四楼教室的点A处（AD=14m）,小东利用测角仪测得对面远处塔吊正在施工的六层（每层

高3.5m）建筑物的顶部点B的仰角为4。23'55〃，测得被这幢六层建筑物遮住了一部分的塔吊

的顶端点C的仰角为15。.按照安全规定：此时塔吊的底部点M距建筑物的底部点N是

4m.利用这些数据，小东经过详细的计算，得出塔吊的高度约为32m,但这个高度明显违

反了此种塔吊使用的安全规定（塔吊的最高高度与建筑物的最高高度差必须保持在

15~20m）,亲爱的同学，你也来利用小东测得的数据，仔细算一算塔吊的高度，并判断该

塔吊是否违规操作.（结果保留一位小数.参考数据：sin4O23'55"=@^,tan4O23'55"=],

17013

sinl5°=历史，tanl50=2-V3,6a1.732)

4

【答案】塔吊的高度为：39.5m,塔吊没有违规操作.

【分析】如图，过A作于E,交CM于尸，则AF_LCM,AD=EN=FM=14,

EF=MN=4,AE=DN,N3AE=4023'55",ZCAF=15°,BN=6x35=21,可得

BE=BN-EN=21-14=1,再分别求解AE,AF,CF,从而可得答案.

【详解】解：如图，过A作AEL3N于E,交CM于尸，则AFLCW,

SADLDN,BN1DN,FM±DM,

回四边形AZWE是矩形，四边形ERWN是矩形，

SAD=EN=FM=14,EF=MN=4,AE=DN,ZBAE=4023'55",ZCAF=15°,

BN=6x3.5=21,

SDM=DN+MN=AE+MN=95,

SAF=95,

0CF=AF-tanZCAF=95x(2-73)®25.5,

SCM^CF+FM^39.5,

国塔吊的高度为：39.5m,而39.5-21=18.5(m),

团塔吊没有违规操作.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，作出合适的辅助线，理解仰角的含义是解

本题的关键.

类型二、方位角问题

例.如图一艘轮船位于灯塔B的正西方向的A处，且灯塔8到A处的距离为20海里，轮船

沿东北方向匀速航行，速度为10海里/时.

D

西-一;-1---------东

⑴多长时间后，轮船行驶到达位于灯塔8的西北方向上的C处？（结果保留根号）

（2）轮船不改变航行行驶到达位于灯塔8的北偏东15。方向上的。处，求灯塔A到。处的距离。

（结果保留根号）

【答案】（1）&

（2）1072+10^

【分析】（1）ZC4B=45°,C的位置就是灯塔8的西北方向，在直角△ABD中求得AC,

即可利用速度公式求解；

（2）在ABDC中利用三角函数即可求解.

【详解】（1）解：在AABC中，ZCAB=45°,ZCBA=45°,AB=20海里，

AC=BC=AB-sin45°=20x也=100海里.

2

轮船行驶到灯塔8的西北方向点C所用的时间为10&+10=0（小时）；

（2）解：在ABDC中，ZDBC=45°+15°=60°,/BCD=90。,

tanZDBC=—=-^=tan600=y/3

BC1072

.,.CD=10面海里.

AD=AC+CD=（1（）72+10扃海里

答：灯塔8到。处的距离是（100+10卡）海里.

【点睛】本题主要考查了方向角含义，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键.

【变式训练如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道,

经测量，点C在点A的正东方向，AC=100米，点E在点A的正北方向，点B,。在点C

的正北方向，3£>=50米，点B在点A的北偏东30。，点。在点E的北偏东45。.

北

A

西东

南

（1）求步道OE的长度（精确到个位）；

⑵点。处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点2到达点。，也可以经

过点E到达点。.请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：声=1.414,括=1.732）

【答案】⑴141米

⑵经过点8到达点。较近，理由见解析

【分析】（1）过。作交AE的延长线于R易证四边形ACD尸是矩形，因此

DF

DF=AC=100,在RtADEF中，由于NDEF=45。，通过解直角三角形可得DE=-------------,

sinZDEF

代入即可求解步道OE的长度；

T）F

（2）在RtADEF中，解直角三角形£尸=---------=100,在RtaABC中，根据AC=100,

tanNDEF

22

NABC=30。可得AB=2AC=200,BC=yjAB-AC=10073-因此经过点8到达点。路

程为AB+3D=200+50=250（米），另外4尸=CO=BC+BD=100括+50,

AE=AF-EF=100宕-50，因此经过点E到达点D路程为

AE+DE=100A/3-50+100A/2。265米，由此比较可得到他走哪一条路较近.

【详解】（1）过。作交AE的延长线于凡如图：

EZF=90°,

由题意可知：ZMC=ZC=90°,

回四边形ACDF是矩形,

0DF=AC=1OO,

在RtADEF中，NDEF=45°,

sinZDEFsin45°

团步道的长度约为141米.

(2)在RtZXDEP中，ZDEF=45°,

0EF=———=100=100,

tanZDEFtan45°

团点3在点A的北偏东30。，即NE45=30。，

回CD〃A/，

0ZABC=ZE4B=3O°.

团在RtzXABC中，AC=100,ZABC=30°

回AB=2AC=200,BC=>JAB2-AC2=10073-

BBD=50,

团经过点8到达点。路程为A5+3。=200+50=250(米)，

0CD=BC+BD=1OOA/3+5O,

回”=CD=100君+50,

回4石=A尸一斯=(1006+50)-100=(1006-50)米，

团经过点E到达点。路程为AE+DE=10050+100上々265米，

0265>250,

国经过点B到达点D较近.

【点睛】本题考查通过勾股定理，锐角三角函数解直角三角形，读懂题意，从实际问题从抽

象出几何问题，熟练运用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键.

【变式训练21.如图，在一笔直的海岸线/上有A,B两个观测站，A在2的正东方向.有

一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60。的方向，从B处测得渔船在其东北方向，

且测得3,尸两点之间的距离为30海里.

（1）求观测站A,8之间的距离（结果保留根号）；

（2）渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从2测得渔

船在北偏西15。的方向.在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点8出发，以每小时25海

里的速度前往C处，请问补给船能否在100分钟之内到达C处？（参考数据：百。1.73）

【答案】⑴观测站A,B之间的距离为（150+15"）海里；

⑵补给船能在100分钟之内到达C处，理由见解析

【分析】（1）过点尸作/于。点，可得/瓦）尸=4位）尸=90。，然后在RtZXPBD中，

利用锐角三角函数的定义求出3D，£＞尸的长，再在RtZXW中，利用锐角三角函数的定义

求出AD的长，进行计算即可解答；

（2）过点8作3尸1AC,垂足为R根据题意得：ZABC=105°,ZPAD=30°,从而求出

NC=45。，然后在RbAB/中，利用锐角三角函数的定义求出所的长，再在R33CF中，

利用锐角三角函数的定义求出BC的长，进行计算即可解答.

【详解】（1）解：过点尸作正0，45于0点，

^ABDP=ZADP=90°,

•・•点尸在点&的东北方向上，

:.ZPBD=45°,

在RtAPBD中，BP=30海里，

.­.DP=BF-sin45°=30x—=15^（海里），BD=BP-cos45°=30x—=15A/2（海里）,

22

在RtARW中，Z/^D=90°-60°=30°,

3部写心

(海里),

3

AB=BD+AD=15y/2+15y[6（海里）,

回观测站42之间的距离为(150+15后)海里;

(2)解：补给船能在100分钟之内到达C处，

理由：过点8作3/1AC,垂足为R

:.ZAFB=ZCFB=90°,

由题意得：ZABC=90°+15°=105°,ZR4D=90°-60o=30°,

.•.NC=180°-^4BC-Zft4£>=45°,

在RtAARF中，NBAF=30°,

在RS"牙中,ZC=45°,

=（15+15-）海里,

2

15+15^3

回补给船从B到C处的航行时间=X60=36+36A/3~98.3（分钟），

25

98.3<100,

用卜给船能在100分钟之内到达C处.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添

加适当的辅助线是解题的关键.

【变式训练3】.在一次海上救援中，两艘专业救助船A、8同时收到某事故渔船P的求救讯

息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船尸在救助船A的北偏西30。方向上，在救

助船B的西南方向上，且事故渔船尸与救助船A相距120海里

北

（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船8之间的距离（结果保留根号）；

（2）求救助船A、8分别以40海里/小时，30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故

渔船尸处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达.

【答案】⑴60匹海里

⑵救助船2先到达

【分析】（1）如图，作尸CLAB于C,在△RAC中先求出PC的长，继而在APBC中求出第

的长即可；

⑵根据"时间=路程+速度'分别求出救助船A和救助船B所需的时间，进行比较即可.

【详解】（1）解：作尸CLAS于C.

则NPC4=NPCB=90。，

由题意得：24=120海里，ZA=30°,ZCBP=45°,

在MAACP中，回/CAP=30°,ZPC4=90°,

mPC=gpA=60海里，

在血△3CP中，0ZPCfi=90°,NC3P=45°,sinZCBP=—

PB

PB=---------=,=60。2、一

Elsin450直（海里），

V

答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船2之间的距离为600海里；

（2）EIPA=120海里，尸3=600海里，救助船4,B分别以40海里/小时、30海里/小时的

速度同时出发，

回救助船A所用的时间为120+40=3（小时），救助船2所用的时间为史也=20（小时）

30

回3>2及，

国救助船2先到达.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及了含30度角的直角三角形的性质，等腰直

角三角形的判定，勾股定理的应用等，熟练正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键.

【变式训练4].如图，某渔船在完成捕捞作业后准备返回港口C,途经某海域A处时，港

口C的工作人员监测到点A在南偏东30。方向上，另一港口8的工作人员监测到点A在正西

方向上.已知港口C在港口8的北偏西60。方向，且8、C两地相距120海里.

（1）求出此时点A到港口C的距离（计算结果保留根号）；

（2）若该渔船从A处沿4c方向向港口C驶去，当到达点A时，测得港口B在A的南偏东75。

的方向上，求此时渔船的航行距离（计算结果保留根号）.

【答案】⑴此时点A到港口C的距离为408海里

⑵此时该渔船的航行距离为（60-20石）海里.

CD

【分析】（1）延长B4,过点。作CD,创延长线与点O,利用cos/A8=W，代入数据

计算即可求解；

（2）过点A，作A'NLBC于点N,推出AE=AN,设A4'=x,则AE=^AA',

2

A!N=A!E=4iAE=—x,根据AC+A4,=AC,列式计算即可求解.

2

【详解】（1）解：如图所示：延长54,过点C作CD,84延长线与点。,

由题意可得：ZCBD=30°,3c=120海里，

则以＞=』8。=60海里，

2

•.•cosZACD==cos30°=—，

AC2

即殁=且，

AC2

AC=40^（海里），

即此时点A到港口C的距离为40/海里；

（2）解：过点A作3c于点N,如图：

由（1）得：CZ）=60海里，AC=406海里，

I3A'E〃CD,

EZA4,E=ZACD=30°,

0ZBA,A=45°,

回/BAE=75°,

IBNABA'=15。,

0Z2=15°=ZABAf,

即A3平分/CBA,

0AE=AN,

设A4'=x,则AE=！AA，，A'N=A'E=s/3AE=^-x,

22

EZl=60°-30°=30°,汉NIBC,

EIAC=2AN=&,

EIA'C+A4'=AC,团瓜+X=40A，解得：x=60-204，

回村=（60-203）海里，

答：此时该渔船的航行距离为（60-20后）海里.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义.

课后训练

1.遮阳伞可以遮住灼灼骄阳，站在伞下会凉爽很多，如图①，把遮阳伞（伞体的截面示意

图为AABC）用立柱。尸固定在地面上的点。处，此时0P垂直于地面。。，遮阳伞顶点A

与P重合.需要遮阳时，向上调节遮阳伞立柱。尸上的滑动调节点8,打开支架PZ）,伞面

撑开如图②，其中，AB'=AC=2m,ZC=30°,。为AB'中点，PD=lm,根据生活经验，

当太阳光线与伞口BC垂直时，遮阳效果最佳.（图中的虚线就是太阳光线，同一时刻的太

阳光线是平行的）

C

（1）某天上午10点，太阳光线与地面的夹角为60。，如图③，为使遮阳效果最佳，滑动调节

点、B,此时立柱PO与支梁尸。夹角度.

（2）在（1）的情况下，若为遮阳伞落在地面上的阴影如图④所示，求出这个阴影的长度.

⑶如图⑤，正午时分，太阳光与地面的夹角约为80。，滑动调节点B到g，使遮阳效果最

佳，此对调节点8滑动的距离约为多少？（sin50、0.756,cos50、0.643,tan50、1.192,

结果精确到0.01m）

【答案】（1）30

（2）4m

⑶0.71m

［分析）（1）根据题意可得ZOB'N=30°,ZCB'P=60°,由AE=AC可得ZAB'C=NC=30°,

从而得到NPBZ>=30°,由=即可得到柱与支梁尸。夹角度数；

（2）过点A作AGLB'C交B'C于点G,过点8'作交CM于点尸，可得四边形

B'MWF为平行四边形，根据AB'=AC=2m,/。=30°可得8。=2鬲，再利用

8'尸=二当"可求出夕尸的长度，即可得到阴影的长度；

sin60

(3)过点。作尸。交P0于点E,根据题可求出/尸=50°,由尸E=B[E=/V〉cos50°,

PBt=2PDcos50°,BBl=PB-PB,即可得到调节点B滑动的距离；

【详解】(1)解：团遮阳效果最佳，

^B'N±B'C,

回"'NO=60°,

^ZOB'N=30°,NCB'P=60°,

BlAB'=AC=2m,ZC=30°,

SIZAB'C=ZC=30°,

NPB'D=ZCB'P-ZAB'C=60°-30°=30°,

国。为A9中点，PD=lm,

SB'D=PD=lm,ZPB'D=ZP=30°,

回立柱PO与支梁PD夹角30度;

(2)解：如图，过点A作AGLB'C交B'C于点G,过点"作3'b〃QWr交CM于点尸,

fflAfi,=AC=2m,ZACB'=30°,

mAG=Im,CG=6m,

B'C=2百m,

S\B'F//OM,NB'CF=90°,ZCFB'=60°,

2

QB'N〃CM,BT//OM

回四边形？NMF为平行四边形,

团MV=4m,

团阴影的长度为4m.

(3)如图，过点。作DELPO交P。于点E,

团由四边形内角和知：ZCB10=100°,ZPBjC=80*

团Z.ABXC=30,

团NPB]D=50,

团4。=PD=Im,

团/尸耳。=/尸=50°,

团PE=B]E=PD♦cos50°,

PBX=2PDcos50x1.286m,

BB、=PB—PBi®0.71m.

回调节点8滑动的距离约为0.71m.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形的三角函数值，平行四边形的

判定及性质是解决本题的关键.

2.某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度

钻=200cm,遮阳棚前端自然下垂边的长度3c=25cm遮阳棚固定点A距禺地面高度

AD=296.8cm,遮阳棚与墙面的夹角/区4。=72。.

阳光线

D----------------G

图1图2图3

(1)如图2,求遮阳棚前端8到墙面AD的距离；

⑵如图3,某一时刻，太阳光线与地面夹角NCFG=60。，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度。尸

的长（结果精确到1cm）.（参考数据：

sin72°»0.951,cos72°»0.309,tan72°23.078,6=1.732）

【答案】⑴遮阳棚前端2到墙面AD的距离约为190.2cm

⑵遮阳棚在地面上的遮挡宽度。尸的长约为69cm

RF

【分析】（1）作于E,在RtzMBE中，根据sin/B4E=—列式计算即可；

AB

（2）作BE,24P于£,3,4£）于8,延长86交。6于乂则8^，。6,可得四边形3£//。,

四边形HDKC是矩形，解直角三角形RtA4BE求出AE,可得CK=D"=210cm,然后

及△CFK中，解直角三角形求出FK,进而可得。尸的长.

【详解】（1）解：如图3,作于