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文档简介
第02讲三角形的内角(2大知识点+8大典例+变式训练+随堂检测)
0题型目录
题型一三角形内角和定理的证明
题型二与平行线有关的三角形内角和问题
题型三与角平分线有关的三角形内角和问题
题型四三角形折叠中的角度问题
题型五三角形内角和定理的应用
题型六直角三角形的两个锐角互余
题型七锐角互余的三角形是直角三角形
题型八三角形的外角的定义及性质
q知识梳理
知识点01:三角形内角和定理
(1)三角形内角的概念:三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角,且每个内角均大于
0°且小于180°.
(2)三角形内角和定理:三角形内角和是180°.
(3)三角形内角和定理的证明:证明方法,不唯一,但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起,组
合成一个平角.在转化中借助平行线.
(4)两个角互余的三角形是直角三角形.
(5)三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角;②依据三角形中角的关系,用代数方法
求三个角;③在直角三角形中,已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角.
知识点02:三角形的外角性质
(1)三角形外角的定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.
三角形共有六个外角,其中有公共顶点的两个相等,因此共有三对.
(2)三角形的外角性质:①三角形的外角和为360。.②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的
和.③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.
(3)若研究的角比较多,要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去.
(4)探究角度之间的不等关系,多用外角的性质③,先从最大角开始,观察它是哪个三角形的外角.
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◎典型例题
【典型例题一三角形内角和定理的证明】
1.(22-23八年级下•广西来宾•期中)已知在^ABC中,ZACB=90°,ZA=60°,则NB的度数是()
A.30°B.35°C.40°D.50°
2.(22-23八年级上•湖南永州•期末)三角形的内角和等于
A.100°B.150°C.180°D.360°
3.(22-23七年级上•全国•课前预习)三角形内角和定理:三角形内角和等于.
4.(22-23八年级下•全国•课前预习)小学阶段,通过度量或剪拼的方法,得出任意一个三角形的内角和等
于..度•
5.(22-23七年级上•山东淄博•阶段练习)在AABC中,NB比/A的4倍少10。,NC比/A的4倍多10。,
你知道aABC是什么三角形吗?请你简单说明理由.
6.(22-23七年级下•江苏泰州•阶段练习)证明:“三角形内角和是180。”.
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-51典型例题二与平行线有关的三角形内角和问题】
1.(2023•山东临沂•一模)如图,直线/〃5C,若乙4=70。,Z1=65°,则的度数为()
A.45°B.65°C.70°D.110°
2.(22-23七年级下•陕西咸阳•阶段练习)如图,辽)EF的顶点在“BC的边3c上,EF〃AC,DF//AB,
若乙4=55。,则/尸的度数为()
A.35°B.45°C.55°D.65°
3.(22-23七年级下•江苏盐城•期末)在。中,ZA=35°,ZB=45°,则NC为.
4.(22-23七年级下•广东汕头•期末)将一副三角板如图放置,使点A在DE上,ZD=60°,NB=45。,BC〃DE,
则NACF的度数为
5.(22-23八年级上•广西河池•期中)如图,AB〃CD,NABD、NBDC的平分线交于E,求NBED的度数.
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6.(23-24七年级下•上海崇明・期中)如图,已知=AB=AD,那么40〃3c吗?说明理由.
匕ALr
A【典型例题三与角平分线有关的三角形内角和问题】
1.(22-23八年级上•福建厦门・期中)如图,^BC中,//=42。,NB=56°,CD平分ZACB,则ZACD
度数为()
C
ADB
A.82°B.60°C.45°D.41°
2.(2024•广东惠州・二模)如图,在AABC中,AD1BC,AE平分ZBAC,若N3=44。,ZC=70°,则NDAE
的度数是()
上<
EDC
A.10°B.12°C.13°D.15°
3.(22-23八年级上•山东济南•期末)如图,在中,Z5=40°,ZC=60°,AE,/D分别是角平分线和
高,则/D4E的度数是__________.
BEDC
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4.(22-23七年级下•全国•单元测试)在AASC中,BO平分N4BC,CO平分2/CB,当乙4=50。时,NBOC=
5.(22-23七年级下•吉林长春•期中)如图,在AASC中,/C43的角平分线/。交3c于点E,BD1AB,
/A4c=50。.求的度数(温馨提示:用数字标角).
6.(23-24八年级上•福建南平•阶段练习)如图,4E是"8C的角平分线,4D是“8C的高,已知/3=40。,
ZC=60°,求下列角的大小:
⑴/胡C;
⑵/DAE.
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【典型例题四三角形折叠中的角度问】
1.(23-24八年级上•云南昭通•阶段练习)如图,"BC是直角三角形,4c3=90。,沿C。折叠“8C,
使点8恰好与/C边上的点£重合,若乙4=18。,则/CDE的度数为()
A.63°B.68°C.72°D.78°
2.(22-23七年级下•重庆铜梁•期中)如图,将长方形/8CO沿折叠,得到如图所示的图形,已知F=54。,
则的度数是()
C.68°D.76°
3.(22-23八年级上•四川自贡•期中)如图,把一张直角△ABC纸片沿OE折叠,已知/1=68。,则/2的度
4.(22-23七年级下•江苏苏州•期末)如图,把aABC沿线段DE折叠,使点A落在点F处,BC//DE,若
ZA+ZB=104°,则/FEC=
A
5.(22-23七年级上•陕西西安•期末)如图,把一张长方形的纸按图那样折叠后,反。两点落在"、。'点处,
若NN。夕=50。,求NB'OG的度数.
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6.(23-24七年级下•全国•课后作业)如图,将A48C沿儿W折叠,使点B落在点。处,连接AD.若AD,
Z5=28°,求/AID的度数.
j【典型例题五三角形内角和定理的应用】
1.(23-24七年级下•安徽宿州•阶段练习)若三角形三个内角度数之比为1:3:4,则这个三角形一定是()
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形
2.(2024•广东潮州•一模)如图所示,在“3C中,NC=90°,4=40°,则N8的度数为()
C.50°D.70°
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3.(23-24八年级下•黑龙江绥化•期中)在“BC中,48=40。,ZC=80°,则a1=
4.(2024・湖北孝感•三模)如图,平面镜放置在水平地面。上,墙面即工。于点。,一束光线NO照
射到镜面上,反射光线为03,点B在EZ)上,若Z4OC=40。,则的度数为.
5.(23-24八年级上•安徽合肥・期末)»8。中,/B=3ZA,/C=/8+40。,求的各内角度数.
6.(23-24七年级下•全国•假期作业)如图所示,在中,NACB=90。,/ACD=NB.
求证:△CDB是直角三角形.
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4【典型例题六直角三角形的两个锐角互余】
1.(23-24八年级下•陕西榆林•阶段练习)在直角三角形N8C中,其中一个锐角是55。,则另一个锐角的度
数是()
A.45°B.40°C.35°D.30°
2.(22-23七年级下•四川成都•期末)若直角三角形的一个锐角等于40。,则它的另一个锐角等于()
A.50°B.60°C.70°D.140°
3.(23-24八年级上•甘肃陇南•期中)在Rta/BC中,ZC=90°,Z5=56°,则//的度数为.
4.(23-24八年级下•湖南怀化•期中)如图,44cB=90。,CDVAB,若Nl=30。,则N8='
5.(22-23七年级•全国•假期作业)如图,“8C中,NB=NC,FD工BC,DE上AB,/AFD=152°,求NEDF.
6.(22-23八年级上•云南普洱•期中)如图,OP为的角平分线,PC±OA,PDLOB,垂足分别是C,
D,求证:4CPO=/DPO.
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1典型例题七锐角互余的三角形是直角三角形】
1.(22-23八年级上•山东德州•阶段练习)在下列条件中不能判定“8C为直角三角形的是()
A.ZA=90°-ZCB.ZA=ZB-ZC
C.ZA=2Z5=3ZCD.ZA=ZB=-ZC
2
2.(22-23八年级上•贵州黔西•期末)如图,在RtA4BC中,ZACB=90°,ZA=ZBCD,则)
A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.钝角三角形
3.(22-23八年级上•全国•课后作业)直角三角形的判定定理:有两个角的三角形是直角三角形.
4.(22-23七年级下•山东烟台・期末)由三角形内角和定理得到结论:有两个角的三角形是直
角三角形.
5.(23-24八年级下•全国•课后作业)如图,在中,4D是3C边上的高,£是边上一点,CE交AD
于点^.ZDCM=ZMAE.求证:△/£阳是直角三角形.
6.(22-23七年级下•贵州遵义・期中)如图,“BC中,ZACB=90°,Z1=Z5.
C
(1)试说明是“3C的高;
(2)如果AC=8,BC=6,48=10,求CD的长.
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。【典型例题八三角形的外角的定义及性质】
1.(2024・广东阳江•二模)如图,已知//CD=119。,ZB=19°,则//的度数是()
A.100°B.119°C.90°D.30°
2.(2024•宁夏银川•二模)在我们现代社会中,三角板是学数学、量角度的主要工具之一,每副三角板由两
个特殊的直角三角形组成,一个是等腰直角三角板,另一个是含有30。的直角三角板,一副三角板如图摆放,
其中A、D、B共线,此时N3E尸的度数为()
A.90°B.100°C.110°D.120°
3.(2023•吉林长春•模拟预测)将一副三角板按如图所示放置,则N1的度数为.
4.(23-24七年级下•全国•课后作业)如图,在三角形纸片/3C中,ZC=35°.若按图中虚线将NC剪去,
贝此1+/2=°.
A
5.(23-24八年级上•陕西榆林•期末)如图,AB1BC,NC=20。,4DC=140。,求//的度数.
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6.(23-24八年级上•广东江门・期中)如图,已知乙4=75。,4=25。,ZC=35°,求ZBDC和N1的度数.
©变式训练
W【变式训练1三角形内角和定理的证明】
1.(22-23八年级上•湖北恩施•期中)三角形三个内角的和是()
A.90°B.360°C.180°D.270°
2.(22-23八年级上•海南省直辖县级单位•期中)在AABC中,ZB=45°,ZC=75°,则/A度数为().
A.30°B.40°C.50°D.60°
3.(22-23八年级下•湖南娄底•期中)在用A43C中,ZC=90°,若48=65。,则//的度数是.
4.(22-23七年级下•辽宁锦州•期中)"生活中处处有数学”,请看图,折叠一张三角形纸片,把三角形的三
个角拼在一起,我们就可以得到一个著名的常用的几何结论,这一结论是—.
5.(2024•山东荷泽•一模)已知“3C,小明想证明其内角和为180。,请在图中作出一种辅助线的作法(写
出作法).
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6.(22-23七年级下•山东荷泽・期末)在小学,我们曾经通过动手操作,利用拼图的方法研究了三角形三个
内角的数量关系.如图,把三角形/8C分成三部分,然后以某一顶点(如点5)为集中点,把三个角拼在
一起,观察发现恰好构成了平角,从而得到了“三角形三个内角的和是180。”的结论.但是,通过本学期的
学习我们知道:由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性.
♦【变式训练2与平行线有关的三角形内角和问题】
1.(22-23八年级上•贵州贵阳•期末)如图,在“3C中,/B=85。,ZACD=40°,AB//CD,则//CB的
度数为()
A.90°B.85°C.60°D.55°
2.(2023•湖北襄阳*一模)如图,己知直线直线/C和8。相交于点£,若/48£=75。,ZACD=35°,
则N/E3等于()
A.60°B.70°C.75°D.80°
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3.(22-23七年级下•山东泰安•期中)如图,AB/7CD,ZCED=90°,ZAEC=35°,ZD=
4.(22-23九年级下•湖北武汉•阶段练习)如图,△N3C中,是8C边上的高,AE平分NBAC,ZBAC
则NE4D=
5.(23-24七年级下•上海崇明•期中)如图,DE//BC,BE平分NABC,ZADE=50°,ZC=70°,求NBEC
的度数.
6.(23-24七年级下•山东德州•阶段练习)如图,在四边形/BCD中,AD//BC,Z1=N2,N3=/4,求
证:AB//CD.
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产【变式训练3与角平分线有关的三角形内角和问题】
1.(22-23八年级上•湖北黄石•期中)如图所示,ACLBC,AO,BO分别是NB的平分线,且相交
于点O,则ZAOB等于()
A.135°B.130°C.120°D.90°
2.(23-24八年级上•广西河池・期末)如图,点。是“8C内一点,ZA=80°,BO,C。分别是N48C和/ZC8
的平分线,则/80C等于()
A.140°B.130°C.131°D.无法确定
3.(22-23八年级下•黑龙江大庆・期末)如图,在AABC中,ZSr>C=120°,的平分线和/C的平分线相
交于点。,则44=.
4.(22-23八年级上•河南三门峡•期中)如图,在“3C中,ZBAC=62°,BD、CE分别平分//3C、ZACB,
BD、CE相交于点。,则/3OC的度数是.
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5.(23-24七年级下•江苏苏州•期中)如图,在“8C中,CD平分N4CB交AB于点、D,/E是“BC的高,
CD与AE交于点F.若4cB=62。,ZCDA=80°,求/8/E的度数.
6.(23-24七年级下•吉林长春•期中)如图,在。8C中,乙4=70。,4s=30。,CD平分~NACB,求N8
的度数.
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【变式训练4三角形折叠中的角度问题】
1.(22-23八年级上•湖北武汉•阶段练习)如图,在三角形纸片48c中,48=32。,点。在2C上.沿4D
将该纸片折叠,使点C落在48边上的点£处.若/£/C=76。,则//££»=()
A.64°B.72°C.76°D.78°
2.(22-23八年级上•河南平顶山•期末)如图,ABC中,ZACB=90°,ZA=30°,沿着图中的CD折叠,
点B刚好落在边/C上的点£处,则/CDE的度数是()
A.65°B.70°C.75°D.80°
3.(22-23八年级上•安徽合肥•期中)如图,44=75。,ZB=65°,将纸片的一角折叠,使点C落在AABC内
部,若/1=45。,贝(1/2=.
4.(22-23七年级上•上海•期末)如图,把AABC沿直线。£翻折后得到△力£)£,点A的对应点是点小,如
果/©EC=32。,那么aTED=度.
第17页共27页
5.(23-24八年级上•全国•课后作业)如图,将AASC沿。£,HG,E尸翻折,三个顶点均落在点O处,若
Zl=129°,求N2的度数.
6.(22-23八年级上•辽宁盘锦•阶段练习)(1)如图1,把AASC沿。E折叠,使点/落在点4处,试探索N1+N2
与//的关系(不必证明).
(2)如图2,3/平分//3。,67平分//圆,把小3。折叠,使点/与点/重合,若Zl+/2=130。,求N8/C
的度数;
第18页共27页
F【变式训练5三角形内角和定理的应用】
1.(23-24七年级下•四川成都•期中)如果一个三角形的一个内角等于另外两个内角之和,那么这个三角形
是()
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形
2.(23-24七年级下•江苏常州•期中)如图,分别过的顶点/、B作AD"BE.若NC4D=25。,
/EBC=80°,则//C3的度数是()
3.(23-24七年级下•江苏徐州•期中)在“3C中,44=50。,NB=NC,则/C=°.
4.(23-24八年级上•黑龙江牡丹江•期末)当三角形中的一个内角a是另一个内角用的一半时,我们称此三角
形为“半角三角形”,其中a称为“半角”,如果一个半角三角形的“半角”为18。,那么这个“半角三角形”的最大
内角是.
5.(23-24七年级下•山东德州•期中)已知:如图,ACIBC,DMLBC于M,EFSB于F,且
/1=/2=30。.求的度数.
第19页共27页
6.(23-24八年级上•贵州黔西•阶段练习)如图,N/=50。,/C=60。,点。在边/C上,且ZABD=40。,
求/DBC的度数.
【变式训练6直角三角形的两个锐角互余】
1.(23-24八年级上•全国•期末)直角三角形的一个锐角等于50。,则它的另一个锐角等于()
A.50°B.50°或40°C.60°D.40°
2.(23-24八年级上•广东肇庆•期末)将一副三角板按如图所示摆放,其中N/=30。,Zl=45°,则/2为(
B.45°C.30°D.15°
3.(23-24八年级下•贵州铜仁•期中)在RtZiABC中,ZC=90°,乙4=20°,则NB的度数为
4.(22-23七年级下•重庆沙坪坝•期末)如图,AD1BC,ZB=60°,则的度数为.
5.(23-24八年级上•吉林•阶段练习)如图,在AASC中./A4c=90。,ZB=30°,CE平分//C3,
NEAD=2NCAF.求证:CE//FD.
第20页共27页
6.(23-24八年级上•广东肇庆•期中)如图,/E是“8C的角平分线,是高,Z5=30°,ZC=70°,求
NZME的度数.
—【变式训练7锐角互余的三角形是直角三角形】
1.(23-24八年级上•河南新乡•阶段练习)具备下列条件的“3C中,不是直角三角形的是()
A.NA=2NB=2NCB.ZC-ZA^ZB
C.NN:N8:NC=3:4:7D.
23
2.(22-23八年级上•山东济宁・期中)在下列条件中:@ZA+ZB=ZC;②:48:NC=1:2:3;
③44=90。-/8,能确定是直角三角形的条件有()
A.1个B.2个C.3个D.0个
3.(22-23八年级•全国•假期作业)有两个角互余的三角形是直角三角形.()
4.(22-23八年级上•浙江台州•期中)有两个角的三角形是直角三角形.
5.(22-23八年级上•全国•课后作业)已知:如图,在中,。是上一点,Zl=ZS,ZA=Z2.求
证:“8C是直角三角形.
第21页共27页
6.(22-23八年级上•江西吉安•期中)如图,在AABC中,D为AB上一点,ZA=Z2,Z1=ZB.
⑴判断U8C的形状;
(2)判断是否与48垂直.
【变式训练8三角形的外角的定义及性质】
1.(2024・湖南长沙•二模)如图,直线。〃a/2=108。,/8=45。,则N1的度数为()
A.65°B.63°C.60°D.45°
2.(2024•河北石家庄•二模)如图,直线a,6被直线。所截,直线。和b不平行,根据图中数据可知直线。
和6相交构成的锐角为()
A.+B.Zcr-Z/?C./月一/。D.180。—4—4
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3.(23-24八年级上•内蒙古巴彦淖尔•期中)如图所示,在AA8C中,4=43。,48=55。,外角
ZACD=________
4.(22-23八年级上•浙江温州•期中)如图,//CD是A4BC的一个外角,若N/CD=110°,-8=45。,
则//=.
5.(23-24八年级上・甘肃定西•阶段练习)如图,求证:ZBDC=ZBAC+ZB+ZC.
6.(23-24八年级上・甘肃定西•阶段练习)如图,N1和N2是28C的外角,若乙4=75。,/1=145。,求N2的
度数.
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>随堂检测
1.(22-23七年级下•湖北黄石•期中)三角形的三个内角()
A.至少有两个锐角B.至少有一个直角
C.至多有两个钝角D.至少有一个钝角
2.(22-23七年级下•山东济南•期中)如图,直线N5〃CD,48=40。,ZC=50°,则/£的度数是().
C.80°D.70°
3.(22-23七年级下•山东烟台・单元测试)如图,在。8C中,AABC=60°,AACB=80°,BP平分/ABC,
CP平分//C3,则N2PC的大小是()
A.100°B.110°C.115°D.120°
4.(22-23七年级下•山东济南•期末)如图,把AABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内部时,
如果Nl=40。,Z2=30°,那么NA=()
C.70°D.35°
5.(23-24八年级上•安徽铜陵•阶段练习)如图,在RtZ\48C中,ZACB=90°,ZA=ZBCD,则
第24页共27页
定是()
A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形
6.(22-23七年级上•山东泰安・期末)若=则按角分A43c的形状是
7.
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