三角形的内角（2大知识点+8大典例+变式训练+随堂检测）（原卷版）

第02讲三角形的内角（2大知识点+8大典例+变式训练+随堂检测）

0题型目录

题型一三角形内角和定理的证明

题型二与平行线有关的三角形内角和问题

题型三与角平分线有关的三角形内角和问题

题型四三角形折叠中的角度问题

题型五三角形内角和定理的应用

题型六直角三角形的两个锐角互余

题型七锐角互余的三角形是直角三角形

题型八三角形的外角的定义及性质

q知识梳理

知识点01：三角形内角和定理

（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于

0°且小于180°.

（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°.

（3）三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组

合成一个平角.在转化中借助平行线.

（4）两个角互余的三角形是直角三角形.

（5）三角形内角和定理的应用

主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法

求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角.

知识点02：三角形的外角性质

（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对.

（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360。.②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的

和.③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.

（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去.

（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角.

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◎典型例题

【典型例题一三角形内角和定理的证明】

1.（22-23八年级下•广西来宾•期中）已知在^ABC中，ZACB=90°,ZA=60°,则NB的度数是（）

A.30°B.35°C.40°D.50°

2.（22-23八年级上•湖南永州•期末）三角形的内角和等于

A.100°B.150°C.180°D.360°

3.（22-23七年级上•全国•课前预习）三角形内角和定理：三角形内角和等于.

4.（22-23八年级下•全国•课前预习）小学阶段，通过度量或剪拼的方法，得出任意一个三角形的内角和等

于..度•

5.（22-23七年级上•山东淄博•阶段练习）在AABC中，NB比/A的4倍少10。，NC比/A的4倍多10。,

你知道aABC是什么三角形吗？请你简单说明理由.

6.（22-23七年级下•江苏泰州•阶段练习）证明：“三角形内角和是180。”.

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-51典型例题二与平行线有关的三角形内角和问题】

1.（2023•山东临沂•一模）如图，直线/〃5C,若乙4=70。，Z1=65°,则的度数为（）

A.45°B.65°C.70°D.110°

2.（22-23七年级下•陕西咸阳•阶段练习）如图，辽）EF的顶点在“BC的边3c上，EF〃AC,DF//AB,

若乙4=55。，则/尸的度数为（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

3.（22-23七年级下•江苏盐城•期末）在。中，ZA=35°,ZB=45°,则NC为.

4.（22-23七年级下•广东汕头•期末）将一副三角板如图放置，使点A在DE上，ZD=60°,NB=45。,BC〃DE,

则NACF的度数为

5.（22-23八年级上•广西河池•期中）如图，AB〃CD,NABD、NBDC的平分线交于E,求NBED的度数.

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6.（23-24七年级下•上海崇明・期中）如图，已知=AB=AD,那么40〃3c吗？说明理由.

匕ALr

A【典型例题三与角平分线有关的三角形内角和问题】

1.（22-23八年级上•福建厦门・期中）如图，^BC中，//=42。，NB=56°,CD平分ZACB,则ZACD

度数为（）

C

ADB

A.82°B.60°C.45°D.41°

2.（2024•广东惠州・二模）如图，在AABC中,AD1BC,AE平分ZBAC，若N3=44。，ZC=70°,则NDAE

的度数是（）

上＜

EDC

A.10°B.12°C.13°D.15°

3.（22-23八年级上•山东济南•期末）如图，在中，Z5=40°,ZC=60°,AE,/D分别是角平分线和

高，则/D4E的度数是__________.

BEDC

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4.（22-23七年级下•全国•单元测试）在AASC中，BO平分N4BC,CO平分2/CB,当乙4=50。时，NBOC=

5.（22-23七年级下•吉林长春•期中）如图，在AASC中，/C43的角平分线/。交3c于点E,BD1AB,

/A4c=50。.求的度数（温馨提示：用数字标角）.

6.（23-24八年级上•福建南平•阶段练习）如图，4E是"8C的角平分线，4D是“8C的高，已知/3=40。,

ZC=60°,求下列角的大小：

⑴/胡C；

⑵/DAE.

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【典型例题四三角形折叠中的角度问】

1.（23-24八年级上•云南昭通•阶段练习）如图，"BC是直角三角形，4c3=90。，沿C。折叠“8C,

使点8恰好与/C边上的点£重合，若乙4=18。，则/CDE的度数为（）

A.63°B.68°C.72°D.78°

2.（22-23七年级下•重庆铜梁•期中）如图，将长方形/8CO沿折叠,得到如图所示的图形，已知F=54。,

则的度数是（）

C.68°D.76°

3.（22-23八年级上•四川自贡•期中）如图,把一张直角△ABC纸片沿OE折叠，已知/1=68。，则/2的度

4.（22-23七年级下•江苏苏州•期末）如图,把aABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC//DE,若

ZA+ZB=104°,则/FEC=

A

5.（22-23七年级上•陕西西安•期末）如图,把一张长方形的纸按图那样折叠后，反。两点落在"、。'点处,

若NN。夕=50。，求NB'OG的度数.

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6.（23-24七年级下•全国•课后作业）如图，将A48C沿儿W折叠，使点B落在点。处，连接AD.若AD,

Z5=28°,求/AID的度数.

j【典型例题五三角形内角和定理的应用】

1.（23-24七年级下•安徽宿州•阶段练习）若三角形三个内角度数之比为1:3:4,则这个三角形一定是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形

2.（2024•广东潮州•一模）如图所示，在“3C中，NC=90°,4=40°,则N8的度数为（）

C.50°D.70°

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3.（23-24八年级下•黑龙江绥化•期中）在“BC中，48=40。，ZC=80°,则a1=

4.（2024・湖北孝感•三模）如图，平面镜放置在水平地面。上，墙面即工。于点。，一束光线NO照

射到镜面上，反射光线为03,点B在EZ）上，若Z4OC=40。，则的度数为.

5.（23-24八年级上•安徽合肥・期末）»8。中，/B=3ZA,/C=/8+40。，求的各内角度数.

6.（23-24七年级下•全国•假期作业）如图所示，在中，NACB=90。,/ACD=NB.

求证：△CDB是直角三角形.

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4【典型例题六直角三角形的两个锐角互余】

1.（23-24八年级下•陕西榆林•阶段练习）在直角三角形N8C中，其中一个锐角是55。，则另一个锐角的度

数是（）

A.45°B.40°C.35°D.30°

2.（22-23七年级下•四川成都•期末）若直角三角形的一个锐角等于40。，则它的另一个锐角等于（）

A.50°B.60°C.70°D.140°

3.（23-24八年级上•甘肃陇南•期中）在Rta/BC中，ZC=90°,Z5=56°,则//的度数为.

4.（23-24八年级下•湖南怀化•期中）如图，44cB=90。，CDVAB,若Nl=30。，则N8='

5.（22-23七年级•全国•假期作业）如图，“8C中，NB=NC,FD工BC,DE上AB,/AFD=152°,求NEDF.

6.（22-23八年级上•云南普洱•期中）如图，OP为的角平分线，PC±OA,PDLOB,垂足分别是C,

D,求证：4CPO=/DPO.

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1典型例题七锐角互余的三角形是直角三角形】

1.（22-23八年级上•山东德州•阶段练习）在下列条件中不能判定“8C为直角三角形的是（）

A.ZA=90°-ZCB.ZA=ZB-ZC

C.ZA=2Z5=3ZCD.ZA=ZB=-ZC

2

2.（22-23八年级上•贵州黔西•期末）如图，在RtA4BC中，ZACB=90°,ZA=ZBCD,则）

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.钝角三角形

3.（22-23八年级上•全国•课后作业）直角三角形的判定定理：有两个角的三角形是直角三角形.

4.（22-23七年级下•山东烟台・期末）由三角形内角和定理得到结论：有两个角的三角形是直

角三角形.

5.（23-24八年级下•全国•课后作业）如图，在中，4D是3C边上的高，£是边上一点，CE交AD

于点^.ZDCM=ZMAE.求证：△/£阳是直角三角形.

6.（22-23七年级下•贵州遵义・期中）如图，“BC中,ZACB=90°,Z1=Z5.

C

(1)试说明是“3C的高；

(2)如果AC=8,BC=6,48=10,求CD的长.

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。【典型例题八三角形的外角的定义及性质】

1.（2024・广东阳江•二模）如图，已知//CD=119。，ZB=19°,则//的度数是（）

A.100°B.119°C.90°D.30°

2.（2024•宁夏银川•二模）在我们现代社会中，三角板是学数学、量角度的主要工具之一，每副三角板由两

个特殊的直角三角形组成，一个是等腰直角三角板，另一个是含有30。的直角三角板，一副三角板如图摆放,

其中A、D、B共线，此时N3E尸的度数为（）

A.90°B.100°C.110°D.120°

3.（2023•吉林长春•模拟预测）将一副三角板按如图所示放置，则N1的度数为.

4.（23-24七年级下•全国•课后作业）如图，在三角形纸片/3C中，ZC=35°.若按图中虚线将NC剪去,

贝此1+/2=°.

A

5.（23-24八年级上•陕西榆林•期末）如图，AB1BC,NC=20。，4DC=140。，求//的度数.

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6.（23-24八年级上•广东江门・期中）如图，已知乙4=75。，4=25。，ZC=35°,求ZBDC和N1的度数.

©变式训练

W【变式训练1三角形内角和定理的证明】

1.（22-23八年级上•湖北恩施•期中）三角形三个内角的和是（）

A.90°B.360°C.180°D.270°

2.（22-23八年级上•海南省直辖县级单位•期中）在AABC中，ZB=45°,ZC=75°,则/A度数为（）.

A.30°B.40°C.50°D.60°

3.（22-23八年级下•湖南娄底•期中）在用A43C中，ZC=90°,若48=65。，则//的度数是.

4.（22-23七年级下•辽宁锦州•期中）"生活中处处有数学”，请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三

个角拼在一起，我们就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是—.

5.（2024•山东荷泽•一模）已知“3C,小明想证明其内角和为180。，请在图中作出一种辅助线的作法（写

出作法）.

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6.（22-23七年级下•山东荷泽・期末）在小学，我们曾经通过动手操作，利用拼图的方法研究了三角形三个

内角的数量关系.如图，把三角形/8C分成三部分，然后以某一顶点（如点5）为集中点，把三个角拼在

一起，观察发现恰好构成了平角，从而得到了“三角形三个内角的和是180。”的结论.但是，通过本学期的

学习我们知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性.

♦【变式训练2与平行线有关的三角形内角和问题】

1.（22-23八年级上•贵州贵阳•期末）如图，在“3C中，/B=85。,ZACD=40°,AB//CD,则//CB的

度数为（）

A.90°B.85°C.60°D.55°

2.（2023•湖北襄阳*一模）如图，己知直线直线/C和8。相交于点£,若/48£=75。，ZACD=35°,

则N/E3等于（）

A.60°B.70°C.75°D.80°

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3.（22-23七年级下•山东泰安•期中）如图，AB/7CD,ZCED=90°,ZAEC=35°,ZD=

4.（22-23九年级下•湖北武汉•阶段练习）如图，△N3C中，是8C边上的高，AE平分NBAC,ZBAC

则NE4D=

5.（23-24七年级下•上海崇明•期中）如图，DE//BC,BE平分NABC,ZADE=50°,ZC=70°,求NBEC

的度数.

6.（23-24七年级下•山东德州•阶段练习）如图，在四边形/BCD中，AD//BC,Z1=N2,N3=/4,求

证：AB//CD.

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产【变式训练3与角平分线有关的三角形内角和问题】

1.（22-23八年级上•湖北黄石•期中）如图所示，ACLBC,AO,BO分别是NB的平分线，且相交

于点O,则ZAOB等于（）

A.135°B.130°C.120°D.90°

2.（23-24八年级上•广西河池・期末）如图，点。是“8C内一点，ZA=80°,BO,C。分别是N48C和/ZC8

的平分线，则/80C等于（）

A.140°B.130°C.131°D.无法确定

3.（22-23八年级下•黑龙江大庆・期末）如图，在AABC中，ZSr>C=120°,的平分线和/C的平分线相

交于点。，则44=.

4.（22-23八年级上•河南三门峡•期中）如图，在“3C中，ZBAC=62°,BD、CE分别平分//3C、ZACB,

BD、CE相交于点。，则/3OC的度数是.

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5.（23-24七年级下•江苏苏州•期中）如图，在“8C中，CD平分N4CB交AB于点、D,/E是“BC的高,

CD与AE交于点F.若4cB=62。，ZCDA=80°,求/8/E的度数.

6.（23-24七年级下•吉林长春•期中）如图，在。8C中，乙4=70。，4s=30。，CD平分~NACB,求N8

的度数.

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【变式训练4三角形折叠中的角度问题】

1.（22-23八年级上•湖北武汉•阶段练习）如图，在三角形纸片48c中，48=32。，点。在2C上.沿4D

将该纸片折叠，使点C落在48边上的点£处.若/£/C=76。，则//££»=（）

A.64°B.72°C.76°D.78°

2.（22-23八年级上•河南平顶山•期末）如图，ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,沿着图中的CD折叠,

点B刚好落在边/C上的点£处，则/CDE的度数是（）

A.65°B.70°C.75°D.80°

3.（22-23八年级上•安徽合肥•期中）如图，44=75。，ZB=65°,将纸片的一角折叠，使点C落在AABC内

部，若/1=45。，贝（1/2=.

4.（22-23七年级上•上海•期末）如图，把AABC沿直线。£翻折后得到△力£）£,点A的对应点是点小,如

果/©EC=32。，那么aTED=度.

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5.（23-24八年级上•全国•课后作业）如图，将AASC沿。£,HG,E尸翻折，三个顶点均落在点O处，若

Zl=129°,求N2的度数.

6.（22-23八年级上•辽宁盘锦•阶段练习）（1）如图1,把AASC沿。E折叠,使点/落在点4处,试探索N1+N2

与//的关系（不必证明）.

（2）如图2,3/平分//3。，67平分//圆，把小3。折叠，使点/与点/重合，若Zl+/2=130。，求N8/C

的度数；

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F【变式训练5三角形内角和定理的应用】

1.（23-24七年级下•四川成都•期中）如果一个三角形的一个内角等于另外两个内角之和，那么这个三角形

是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

2.（23-24七年级下•江苏常州•期中）如图，分别过的顶点/、B作AD"BE.若NC4D=25。，

/EBC=80°,则//C3的度数是（）

3.（23-24七年级下•江苏徐州•期中）在“3C中，44=50。，NB=NC,则/C=°.

4.（23-24八年级上•黑龙江牡丹江•期末）当三角形中的一个内角a是另一个内角用的一半时，我们称此三角

形为“半角三角形”，其中a称为“半角”，如果一个半角三角形的“半角”为18。，那么这个“半角三角形”的最大

内角是.

5.（23-24七年级下•山东德州•期中）已知：如图，ACIBC,DMLBC于M,EFSB于F,且

/1=/2=30。.求的度数.

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6.（23-24八年级上•贵州黔西•阶段练习）如图，N/=50。，/C=60。，点。在边/C上，且ZABD=40。,

求/DBC的度数.

【变式训练6直角三角形的两个锐角互余】

1.（23-24八年级上•全国•期末）直角三角形的一个锐角等于50。，则它的另一个锐角等于（）

A.50°B.50°或40°C.60°D.40°

2.（23-24八年级上•广东肇庆•期末）将一副三角板按如图所示摆放，其中N/=30。，Zl=45°,则/2为（

B.45°C.30°D.15°

3.（23-24八年级下•贵州铜仁•期中）在RtZiABC中，ZC=90°,乙4=20°,则NB的度数为

4.（22-23七年级下•重庆沙坪坝•期末）如图，AD1BC,ZB=60°,则的度数为.

5.（23-24八年级上•吉林•阶段练习）如图，在AASC中./A4c=90。，ZB=30°,CE平分//C3,

NEAD=2NCAF.求证：CE//FD.

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6.（23-24八年级上•广东肇庆•期中）如图，/E是“8C的角平分线，是高，Z5=30°,ZC=70°,求

NZME的度数.

—【变式训练7锐角互余的三角形是直角三角形】

1.（23-24八年级上•河南新乡•阶段练习）具备下列条件的“3C中，不是直角三角形的是（）

A.NA=2NB=2NCB.ZC-ZA^ZB

C.NN:N8:NC=3:4:7D.

23

2.（22-23八年级上•山东济宁・期中）在下列条件中：@ZA+ZB=ZC；②:48:NC=1:2:3；

③44=90。-/8,能确定是直角三角形的条件有（）

A.1个B.2个C.3个D.0个

3.（22-23八年级•全国•假期作业）有两个角互余的三角形是直角三角形.（）

4.（22-23八年级上•浙江台州•期中）有两个角的三角形是直角三角形.

5.（22-23八年级上•全国•课后作业）已知：如图，在中，。是上一点，Zl=ZS,ZA=Z2.求

证：“8C是直角三角形.

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6.（22-23八年级上•江西吉安•期中）如图，在AABC中，D为AB上一点,ZA=Z2,Z1=ZB.

⑴判断U8C的形状;

（2）判断是否与48垂直.

【变式训练8三角形的外角的定义及性质】

1.（2024・湖南长沙•二模）如图，直线。〃a/2=108。,/8=45。，则N1的度数为（）

A.65°B.63°C.60°D.45°

2.（2024•河北石家庄•二模）如图，直线a,6被直线。所截,直线。和b不平行，根据图中数据可知直线。

和6相交构成的锐角为（）

A.+B.Zcr-Z/?C./月一/。D.180。—4—4

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3.（23-24八年级上•内蒙古巴彦淖尔•期中）如图所示，在AA8C中，4=43。，48=55。，外角

ZACD=________

4.（22-23八年级上•浙江温州•期中）如图，//CD是A4BC的一个外角,若N/CD=110°,-8=45。,

则//=.

5.（23-24八年级上・甘肃定西•阶段练习）如图，求证：ZBDC=ZBAC+ZB+ZC.

6.（23-24八年级上・甘肃定西•阶段练习）如图，N1和N2是28C的外角，若乙4=75。,/1=145。，求N2的

度数.

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＞随堂检测

1.（22-23七年级下•湖北黄石•期中）三角形的三个内角（）

A.至少有两个锐角B.至少有一个直角

C.至多有两个钝角D.至少有一个钝角

2.（22-23七年级下•山东济南•期中）如图，直线N5〃CD,48=40。，ZC=50°,则/£的度数是（）.

C.80°D.70°

3.（22-23七年级下•山东烟台・单元测试）如图，在。8C中,AABC=60°,AACB=80°,BP平分/ABC,

CP平分//C3,则N2PC的大小是（）

A.100°B.110°C.115°D.120°

4.（22-23七年级下•山东济南•期末）如图,把AABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内部时,

如果Nl=40。，Z2=30°,那么NA=（)

C.70°D.35°

5.（23-24八年级上•安徽铜陵•阶段练习）如图，在RtZ\48C中，ZACB=90°,ZA=ZBCD,则

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定是（）

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

6.（22-23七年级上•山东泰安・期末）若=则按角分A43c的形状是

7.