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文档简介
重难点专题15三角恒等变换八大题型汇总
dan
题型1辅助角公式的运用..........................................................1
题型2辅助角公式与最值..........................................................4
题型3凑角求值(互余互补,拆角和与差,拆角30+-a,)............................................................9
♦类型1诱导公式法........................................................9
♦类型2拆角..............................................................11
题型4分式型凑角求值...........................................................14
题型5正切恒等变形.............................................................17
♦类型1正切化简求值.....................................................18
♦类型2与其他知识结合...................................................24
题型6正切求角.................................................................29
题型1二倍角公式与升幕降幕....................................................33
题型8正余弦和差积问题.........................................................38
题型1辅助角公式的运用
【分析】直接利用辅助角公式化简即可.
【详解】sin;V^cos|=2@s呜一§cos|)=2(sin|cos-cos|sin=2sin修一£).
故答案为:2皿尹?
【变式1-1】1.(2023秋・湖南永州•高三校联考开学考试)已知cosa+gsina=则cos
(T)=()
A.|B.C.D.—
【答案】B
【分析】利用辅助角公式进行求解.
【详解】cosa+V3sina=由辅助角公式得2cos(a-y)=|,故cos(a7)=2,
故选:B.
【变式1-1】2.(2023秋广东揭阳•高三校考阶段练习)已知Xa<手,—且
sina+sin0=v^(cosa+cos£),则下列结论一定不正确的是()
A.cos(ct—/?)=—1B.sin(a-0)=0C.cos(a+0)=——D.sin(a+0)——
【答案】D
【分析】根据辅助角公式化简,再根据角的范围找到和差角的关系判断各个选项即可.
【详解】sina+sin0=V^(cosa+cos。),•••sina-V3cosa+sin^—V3cosj3=0,
2sin(a—9+2sin(°—^)=0,2sin(a—好=-2sin(p—£)=2sin倍—p),
且5<a<乎,f<"0,则X3•,《<10<知,
当"¥卜口,a+S哼时,cos(a+£)=—:,sin(a+0)=孚,C选项正确,D选项不正确;
当a—石+石一S=n,a—S=TU时,cos(a—B)=—1,
sin(a_0)=0,sin(a+/?)=sin(n+2/?)=-sin20,-TT<2/?<0,sin(a+/?)=-sin
2s<0„A,B选项正确,D选项不正确.
故选:D.
【变式1-1】3.(2023秋•内蒙古包头•高三统考开学考试)函数"久)=sin2x+cos2x的一
条对称轴是()
A.x=-fB.x=-7C.%=fD.x=7
【答案】C
【分析】利用辅助角公式,结合代入法、正弦型函数的对称性逐一判断即可.
【详解】/(x)=sin2x+cos2x=V2sin^2x+。
A:因为/"(一Q)=V^sin]x(_+可=0二±
所以本选项不符合题意;
B:因为/ig)=任时2x(_乎+用=_1+±侑
所以本选项不符合题意;
C:因为/'(g)=V2sin^2x£+勺=V2,
所以本选项符合题意;
D:因为f©)=V^sin(2+9=17±也
所以本选项不符合题意,
故选:C
【变式1-1]4.(2023秋•江西南昌•高三南昌二中校考开学考试)已知f(%)=singx+&-
V3cos(^+^),贝疗(1)+f(2)+...+f(2023)的值为()
A.2V3B.V3C.1D.0
【答案】B
【分析】根据三角恒等变换得到/(无)=2sin%,求出最小正周期,并求出f⑴+f(2)+f(3)
+f(4)+f(5)+f(6)=0,利用周期分组求解,得到答案.
【详解】/(x)=sin(£x+欧一V3cos(2x+^=2sin僖久+号_1)=2sinfx,
所以最小正周期为空=6,
3
且f⑴+f(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)
.Tt_.2TC.„,4TT„.5TI„.„
=2osiny+2sin—+2smn+2sin—+2sin—+2sm2n
=V3+V3+0-V3-V3+0=0,
所以f(l)+/(2)+/(3)+…+C(2023)
=[/(I)+f(2)+f⑶+-4)+f⑸+/(6)]
+•••+[f(2017)+f(2018)+f(2019)+f(2020)+/(2021)+/(2022)]+f(2023)
=f⑴=V3.
故选:B.
【变式1-1】5.(2023•全国•高三专题练习)设d为动点P(cos8,sin。)到直线x-y—2=0的
距离,贝呦的最大值为()
A.V2-1B.呼C.1+V2D.3
【答案】C
【分析】由距离公式及辅助角公式计算可得.
【详解】点P(cos,sin8)到直线比一y—2=0的距离d==7cos(竽)T,
V1十1一/V2
因为一1工cos(9+工1,贝!J—V2—2<V^cos(9+-2<y/2—2,
所以当COS(e+?)=一1时dmax==1+鱼.
V4/V2
故选:c
题型2辅助角公式与最值
即F划#<5
辅助角公式满足:
asina+bcosa=^2+b2(尸/sina+尸即cosa)=7a2+b2sin(a+cp),
-Va2+b2<asina+bcosa/Ja2+b2
【例题2](2023•陕西宝鸡•统考二模)已知函数/(x)=2sinx+4cosx在x=0处取得最大值,
则COS0=()
A.等B.gC.普D.一华
【答案】A
【分析】根据题意,由辅助角公式即可得到sin。,cos。的值,然后由诱导公式化简即可得到结
果.
【详解】因为/(%)=2sinx+4cosx=2V5sin(x+0),
其中sme=赤=而cos。=赤=正,
当X=0时,/(X)取得最大值,
即9+0=y+2fcTT,fceZ,所以0=y—9+2fcTT,fcGZ,
所以cos"=cos(]—9+2fcn)=sin。=京=等
故选:A
【变式2-1]1.(2023•河南•校联考模拟预测)若关于x的方程sin2x+2cos2x=—2在[0,TT)
内有两个不同的解a/,贝1|cos(a—0)的值为()
A.-^B.,C.-竽D.竽
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简已知方程,求得a-£,进而求得cos(a-0).
【详解】关于久的方程sin2x+2cos2x=-2在[0,TT)内有两个不同的解a,Q,
即苧sin(2x+8)=-1(cos。=苧,sin。=竿,取。为锐角)
在[0,m内有两个不同的解a,S,
即方程Sin(2x+。)=—等在[0,IT)内有两个不同的解a,
不妨令0<a</?<Tl,由%E[0,Tl),则2%+eE[42TI+。),
所以sin(2a+。)=—^^sin(2/7+。)=—
所以sin。=—sin(2a+O')=—sin(2/7+O').则2a+6=TC+32s+9=2TT—3,
即2a—2/?——TT+26,
所以a—=—y+0,cos(a—£)=cos(8—5)=sin0=半.
故选:D.
【变式2-1】2.(2023秋•江西吉安•高三吉安一中校考开学考试)已知Se(oq),且sin
(a—20)+3sina=0,则tana的最大值为()
A.—冬4B.乎44C.—在4D.叵
【答案】B
【分析】利用两角差的正弦公式展开,并利用同角三角函数的商数关系化为关于tana的方
程,根据已知角的范围和三角函数的性质得到tana>0,利用三角函数的辅助角公式和三角
函数的有界性得到关于tana的不等式,求得其最大值.
【详解】\sin(a—2£)+3sina=0,/.sinacos2/3—cosasin2s+3sina=0,
/.tanacos2s—sin2s+3tana=0,/.tana(3+cos20)=sin2(i,
‘SE(°',•NS€(O,TT),•.§!!2/?>0,
又「3+cos2^?>3—1=2,/.tana>0,
由tanacos2s—sin2s+3tana=0得tanacos2s—sin2s=—3tana,
存在96R使得,tan2a+lcos(2£+g)=-3tana,「.cos(2S+g)=—jta^a+i
22
.——3tanal/.9tana<tana+1,/.tana<—z
JtaMa+14
由于20e(0,n),2B+彷勺取值范围达到余弦函数的半个周期,|cos(2£+租)|的值必能取到
1,因此这里能够取到等号,所以tana的最大值为4,
故选:B
【变式2-1]3.(2023秋•陕西汉中•高三统考阶段练习)已知函数f(久)=sin%+3cosx,当
/(%)取得最大值时,tame=.
【答案】|
【分析】利用辅助角公式及正弦函数性质易得/⑺取得最大值有”+0E+2kTl,keZ,进
而求tanx.
【详解】由/'(x)=sinx+3cosx=V10sin(x+9)且tan</?=3,
所以f(X)max=此时X+9=3+2kTT,keZ,
所以%=f+2fcn-(p,keZ,故tan(5+2kn-(p)=壶=
故答案为:!
【变式2-1】4.(2023秋福建厦门•高三厦门一中校考阶段练习)已知函数-x)=sinwx-
KCOS3X®>0),若/(*)的图像在区间(Oji)上有且只有1个最低点,则实数3的取值范围
为.
【答案】曰1
【分析】根据题意,由辅助角公式化简,然后由条件列出不等式,代入计算,即可得到结
果.
【详解】由题意得/'(X)=sintox-v^coscox=2sin(3x-前,因为xe(0,n),
所以3久—f,3口—,
因为/㈤有且只有1个最低点,所以孚<3TI—女手,解得?<«)<y.
故答案为:曰<3<年.
【变式2-1】4.(2021秋・广西南宁•高三统考阶段练习)已知函数f(x)=百
(sin2x+4cosx)+2sinxf则f(x)的最大值为()
A.B.-y-
C.6D.5V3+2
【答案】B
【分析】先将sin2%展开,提公因式并结合拼凑法可得/(%)=2(V3cosx+l)(sinx+2)-4,
结合防工(与9放缩,联立辅助角公式化简,即可求解.
【详解】/(x)=V3(sin2x+4cosx)+2sinx=V3(2sinxcosx+4cos久)+2sin%
=2V3cosx(sinx+2)+2(sinx+2)—4=2(V3cosx+l)(sinx+2)—4,由sin%+2>。可知,
怨)2可得
要求/(%)最大值,只需/COS%+1>0即可,结合基本不等式ab<
/(x)=2(V3cosx+1)(sin%+2)—4<2•
VScosx+1=sinx+2
当且仅当,即%=?+2々兀上€2时等号成立,因此当x=?
,-17
+2kn,kGZ时f(%)的最大值为彳.
故选:B
【变式2-1】5.(2023秋•四川成都•高三四川省成都市新都一中校联考开学考试)若函数
/(x)=sinx—V3cosxr%E|m用的值域为[—1,2],贝!]几一m的取值范围为
【答案】职期
【分析】由辅助角公式得到f(x)=2sin(x—当,结合函数图象得到爪=段+2m,keZ,同
时nC怦+2所1,—5+(2k+2泡,k&Z,从而得到九—m€怦,期.
【详解】由辅助角公式得/'(%)=2sin(x-1),
—5)=—1,角牟彳寻%=—万=W+2/CTT,kGZ,
■^,2sin(x—石)=2,角星彳导%=-^+2/^71,kGZ,
画出函数图象如下,
所以n—me黑里
故答案为:仁寿]
【例题3-1](2023•河南开封•统考三模)已知Sin(a+Q—cosa=2,则cos(a+/)=
()
34
D.
A.|B.IC.55
【答案】D
【分析】根据三角恒等变换得到sin(a-再利用诱导公式求出答案.
1
【详解】因为sin(a+Q—coscr=—V3si.na+,-cosa—cosa=—V3si.na--1cosa=4
故选:D
【变式3-1】1.(2023秋•江苏南通•高三统考开学考试)已知sin(a+乎=苧,贝人也仁-2a
)
2y/2n2y/2r1K1
A.—B.-C.--D.-
【答案】C
【分析】利用换元法,结合诱导公式及二倍角公式,即可求得本题答案.
【详解】设a+台t,贝!|a=sint=半,
•••sin(£—2a)=sin?-2(〜5=sin©—2t)=cos2t=1—2sin2t=1—2x
i
3,
故选:c
【变式3-1]2.(2023秋・山东•高三沂源县第一中学校联考开学考试)已知Sin(x+^)=-
则COS(*2K)=()
【答案】C
【分析】利用诱导公式、二倍角公式化简可得答案.
【详解】因为sin(x+3)=—;,所以
(萼-2x)=cos(n-f-2x管+
COS=cos2x1—2sin
故选:C.
【变式3-1】3.(2022秋•新疆巴音郭楞•高三八一中学校考阶段练习)设a为锐角,若cos
(a+£)=9,贝人由卜一工)=()
AV2^nV2厂V2cV2
•10,-IF。~5,~~5
【答案】B
【分析】利用角的变换表示sin(a-昌)=sin(a+襄前,再利用两角差的正弦公式,即可
求解.
【详解】因为ae(o,?),a+段eg竿),且cos(a+£)=(,
所以sin(a+^)=|,
sin(aT)=sin(a+H),
=¥sin(a+f)-cos(a+即=?(|一0=—系
故选:B
【变式3-1】4.(2023秋•河北•高三校联考阶段练习)已知sin停—a)=—且ae
(。吟),则sin僖+2a)=()
A.—当B.当C.gD.-4
9999
【答案】A
【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式求得正确答案.
【详解】依题意,ae(o,2)=-ae(_nE),
而sin停_戊)=_孝<0,所以je(Y,o),
所以cosa_a)=Jl—sin2停一a)=Jl-1=孝,
所以sin(]+2a)=sin,—(]+2a)]=sin(半—2a)
=2sin(2-a)cos停一a)=2x(一十x孝=一苧.
故选:A
♦类型2拆角
【例题3-2](2023秋•河南洛阳•高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习)已知a,S均为锐
角,且tana=3,sin(a+)§)=-,贝(jcos。=()
A13VIOB逗C见迈D西心逗
【答案】B
【分析】由条件结合三角函数同角关系式求sina,cosa,再由三角函数的性质求出a+。的范
围,再利用两角差的余弦公式,由cosS=cos[(a+0)-a]求出结果.
【详解】因为a为锐角,且tana=3,所以sina=3cosa,又si/a+cos2a=1,
所以sina=cosa=^・
因为sina>sin(a+0),且0<a<a+£<n,所以a+£为钝角.
因为sin(a+0)=/所以cos(a+0)=—之,
则cos0=cos[(a+S)—a]=cos(a+0)cosa+sin(a+£)sina=_gx噂+|x=噂.
故选:B.
【变式3-2】1.(2022秋•陕西渭南•高三渭南市瑞泉中学校考阶段练习)若a,0都是锐角,
日cosa=乎,sin(a+0)=',则cos/3=
A2V52V52V5^2V5口三成立
■25B,5c-255'5525
【答案】A
【分析】先计算出cos(a+0),再利用余弦的和与差公式,即可.
【详解】因为都是锐角,且COSa=R<g,所以Ha4,又
sin(a+F)='|<日,所%<a+S<%所以cos(a+£)=-—siM(a+£)=一N
sina=71-cos2a=cos/?=cos(a+3-a)=cos(a+S)cosa+sin(a+8)sina=
禁,故选A-
【点睛】本道题考查了同名三角函数关系和余弦的和与差公式,难度较大.
【变式3-2】2.(2022・云南・云南民族大学附属中学校考模拟预测)已知sina=孚,cos
(a-,)=半,且0<a(生,0<”等,则sin”()
A9危0nViornVio
•35*35•-35~•-35~
【答案】A
【解析】易知sin0=sin(a—(a—0)),利用角的范围和同角三角函数关系可求得cosa和sin
(a-£),分别在sin(a-£)=平和-半两种情况下,利用两角和差正弦公式求得sin0,结
合S的氾围可确定最终结果.
【详解】sina=尊<乎且0<a<^,0<a<^,cosa=71—sin2a=
又°<6(生,:一手<戊一£<21sin(a—口)=±—cos2(a—£)=土平.
当sin(a-S)=平时,
sin£=sin(a—(a—0))=sinacos(a—£)—cosasin(a—£)=竽x驾-|x平=—票,
•••0<£(手,.•.sin£〉0,「.sin”一票不合题意,舍去;
当sin(a—£)=-半,同理可求得sin0=禁,符合题意.
综上所述:5也£=察.
故选:A.
【点睛】易错点睛:本题中求解cosa时,易忽略sina的值所确定的a的更小的范围,从而误
认为cosa的取值也有两种不同的可能性,造成求解错误.
【变式3-2]3.(2022秋•山东日照•高三校考阶段练习)已知a,Be(O,TT),tan(a+5=
争cos(S+*孚,贝!]cos(2a—£)=()
A―旭B——C-D—
''93,9*3
【答案】D
【分析】根据待求式的结构,2a—0=2(a+勺—(£+,)一融解即可.
[详解]解:因为cos(2a_/?)=cos[2(a+g)_(S+£)_T=sin|2(a+升(S+矶
=sin2(a+.cos(3+»cos2(a+^)sin(/?+1).
\1TITi2sin(a+—)cos(a+—)
a+—)\—2sin(a+石)cos(a+可)=.,口J~~?/:八=-
(3/J3,3,sm2(a+^)+cos2(a+^-)
、、t
22
cosr[2(/a+则\1=cos(a+5-TT)—Sin2(a+5jr=c.os+(a以+-)—峥sin(+a+-))
3(0+介乎,("既(呜),
所以sin(6+/=坐,
故35(2戊一/?)=¥.
故选:D.
题型4分式型凑角求值
分式型最终目标是分别把分子分母化为积的形式,便于约分来化简.
【例题4】(2021•湖北黄冈•黄冈中学校考一模)求值:有簿募需=
A.-2—B.y/3—2C.2—y/3D.2+V3
【答案】B
【解析】利用三角函数诱导公式将cos65。、sin65。转化为sin25。、cos25°,利用两角和与差
的正弦、余弦公式进一步化简分式,最后利用两角差的正切公式可求得-tanl5。.
sinl00cosl50-sin25°_sinl00cosl50-sinl00cosl50-cosl00sinl5°
sinl00sinl5°+cos25°sinl00sinl504-cosl00cosl50—sinl00sinl5°
tan45°—tan30°
-cosl00sinl5°=—tanl5°=—=V3-2.
cosl00cosl5°l+tan45°-tan30°
故选:B
【点睛】本题考查三角函数诱导公式,两角和与差的正弦、余弦、正切公式,属于基础题.
【变式4-1】1.(2023•吉林长春•东北师大附中校考模拟预测)求值
【答案】竽/沔
【分析】先用同角三角函数基本关系切化弦,同角正余弦平方和化为1,再利用倍角公式,
化为可以求值的角的三角函数.
tan27.5°+lsin27.5°+cos27.5°
tan27.5°-8sin27.5°+lsin27.50-8sin27.5°cos27.50+cos27.5°
【详解】_1_1_2V3
l-2sin215°cos3003
故答案为:竽.
【变式4-1】2.(2022・全国•高三专题练习)计算求值:
0
⑴计算2cosl0-2V3cos(-100°)的值;
Vl-sinl0°
(2)已知a、£均为锐角,sina=:,cos(a+/?)=等,求sin/?的值.
【答案】⑴2四
⑵誓
【分析】(1)利用诱导公式、辅助角公式、二倍角的正弦公式化简可得结果;
(2)利用同角三角函数的基本关系可求得cosa、sin(a+S)的值,再利用两角差的正弦公
式可求得sinS的值.
怎限00
【详解】⑴解:2cosl0°-2os(-100°)_2cosl00-2osl00°_2cosl0-2V3cos(90+10°)
Vl-sinl0°>/l-sinl00Vl-sinl0°
1V3\
2cosl0°+2V3sinlO°_4\2cosl0°+Tsinl0J_4cos(60°-10°)
Vl—sinl0°Vl—2sin5°cos5°cos5°—sin5°
4cos50°4cos50°「
--------------------------=---------=2V2
V2(cos45°cos5°—sin45°cos50)V2cos500,
(2)解:••・a0都为锐角,则0<a+夕<町
sin(a+。)=Jl_cos2(a+£)=Jl—(普/=IJ-cosa=Jl-(9=竽,
sin0-sin[(a+fi)—a]-sin(a+£)cosa—sinacos(a+0)=余x竽一:x誓=
【变式4-1】3.(2022秋•黑龙江哈尔滨•高三黑龙江实验中学校考阶段练习)化简求值:
、sin200-sin40°
(^cos200-cos40°
C、cos4(r+sin5O0g+gtan1O。)
('sin70°Vlcos40°
【答案】⑴-V5
⑵我
【分析】(1)将20。,40。看作是30。,10。的和差,再利用正余弦的和差公式化简分子分母,从
而求得结果;
(2)先利用三角函数的商数关系、辅助角公式、倍角公式、诱导公式化简sin50。
(1+V3tan10°)-^sin70oVl+cos40°,再代入化简,即可求得结果•
【详解】(1)@7^sin20o-sin40o=sin(30o-10o)-s'n(30o+10o)=sin30℃os10°-cos30°sin10
°-(sin30°cos10°+cos30°sin10°)=-2cos30°sin100=-gsin10°,
COS20°-COS40°=COS(3O°-10°)-COS(30O+10°)=cos30℃os10°+sin30°sin10°-
(cos30°cos10°-sin30°sin10°)=2sin30°sin10°=sin10°,
EG”sin20°-sin40°_-V5sin10°_0
所以cos200-cos40°—sin10°一^3,
o=ocos1in10
(2)S^)sin50(i+V3tan10°)sin500(i+V3|^)=sin50x°^°
二Gin50cx2sin(100+30°)=2sin50°sin40°二2sin50°cos50°=sin100°=sin(90°+(0°)=cos10。二]
cos10°cos10°cos10°cos10°cos10°cos10°'
sin7007i+cos40o=sin700Vl+2cos220°-1=sin(90°-20°)xV2cos200=cos20°x应
COS20°=V2COS220°,
砺I、jcos40°+sin50°q+0tan10°)_cos40°+l_2cos220°-1+1_厂
所以sin70°Vlcos40°-V2cos220°-V2cos220°
【变式4-1】4.(2023・全国•高三专题练习)化简:
1+sinct1—sina
V1+cosa—v1—cosaVl+cosa+v1—cosa卜<”要);
Vl—cosa
【答案】(1)—衣COS5
(2)—2V2cosf
【分析】(1)先求出的范围,再利用二倍角公式和同角三角函数间的关系化简计算即可,
(2)利用半角公式,诱导公式和二倍角公式化简即可.
【详解】(1)因为TT<a(手,所以三<f(?
a.•a,2a
sin2^+2sin-cos--Feos,,2«sin25-2sin^cos--Fcosz-
222'22222
所以原式~+
2cos2畀
(aa\2aa\2
(sin2+cos刃sin2—cos刃
五十
—V2cos多—V2sin—V2cos多+V2sin.
2
yj2/aa\V2/cca\
=—2"(sin2+cos2)+~2~\s^n2—cos2)
=—V2cos^-.
.ao.aa
asin-2sin-cos-
2sina
()因为tan5=£328s2?-1+cosa,
2
所以(14-cosa)tan-=sina.
又因为cos伸_仇)=2
—sina,且1—cosa=2sin^z
一sina-sina-2sina2V2sin-cos-
22
所以原式=J2s叫==-lsinil
因为0<a<%所以0<f<£,所以s尾>0.
所以原式=-2V2cos^.
题型5正切恒等变形
tana+tanB
④tan6rtanJ3=1-------------.
tanDa+加
tana+tanB
@1-tanntan0=------------;
tanna+加
T(a-/:
①tanaltan£=tan(a1后(1+tanotan自;
②tana-tan£-tanatan夕tan(W£)=tan(?£);
tana-tanp
@tanatan£=tan(a邛)-1
_tana-tanp
@1+tanatanp=tan(a-p);
♦类型1正切化简求值
【例题5-1](2023秋•湖北武汉•高三武汉市第四十九中学校考阶段练习)若ae(-9-£),
且cos2a+cos(1+2a)=—&则tan(a—1)=.
【答案】2
【分析】由已知可得cos2a+sin2a=分母"1"化平方关系、弦化切得tan2a+4tan
a+3=0,结合范围求得tana=-3,最后应用差角正切公式求值.
【详解】由cos2a+cos(狰+2a)=cos2a+sin2a=W,则噜薨黑黄=黑黑=-3,
所以tan2a+4tana+3=(tana+3)(tana+1)=0,则tana=—3或tana=—1,
又a€(一曰,_,),故tanae(—8,—1),贝!]tana=-3,
由tan(a_1)=詈黑=2=2.
故答案为:2
【变式5-1】1.侈选)(2023•河南信阳信阳高中校考模拟预测)已知86(0,20,。为
坐标原点,。终边上有一点M(sin答-cos泮si得+cos衿则()
A.6=空B.\0M\=V2
1
C.tan0<1D.cos0>-
【答案】AB
【分析】对于A,利用任意角的三角函数的定义结合已知条件分析判断,对于B,利用距离
公式求解判断,对于CD,利用三角函数的单调性分析判断即可
ta=sin[+cos4=tanJ+l=_tan>_+tan、
【详解】—ta*=ta喏,故"空+kn
sin普一cos,tan普一11-tan普tan卜
oooo4
(kez),
又si得一cos书>0,si得+cos普〉o,故。是第一象限角,
又06(0,2汨,故。=空,故A正确;
对于B,|0M『=(sin普一cos剽+(sin.+cos.)=2,故|。陷=方,故B正确;
对于C,因为y=tan比在(og)上单调递增,且黑点所以tane=tanQtan?=l,故C
错误;
对于D,因为y=cosx在(o,乎上单调递减,羊>热所以cose=cos知<cos?号,故D错
误.
故选:AB.
【变式5-1]2.(2023•全国•高三专题练习)当》=4时,函数/⑴=sinx-2cos比取得最
大值,则tan(xo+空)=.
【答案】-3
【分析】利用辅助角公式得出f(x)=V^sin(x—0),分析可得出Xo=0+]+2/OT(kCZ),利
用诱导公式及两角和的正切公式可求解.
【详解】利用辅助角公式f(%)=sinx-2cosx=V^sin(x—R),其中tan^=2
当x=xo时,函娄好(无)取得最大值,则久0-9=5+2/OT(keZ),
所以%0=3+]+2kn(keZ),
所以tanQo+空)=tan(0+升2/OT+亨卜tan(s+牛+?=R号?)=一
1
tan(0+书
又tan(a+苧)==W=4,
所以tan(久0+^)=-3
故答案为:—3.
【变式5-1]3.(2023春•江西赣州•高三校联考阶段练习)已知角a/e(0,n),且sin(a+0)
+2cos(a-0)=0,sinasin£+2cosacos£=0,贝!]tan(a+£)=()
A.iB.|C.|D.-2
【答案】C
【分析】根据正余弦的和差角公式化简,由sin(a+.)+2cos(a—/=0可得黑*芸=-2,
再根据sinasinS+2cosacos£=。可得tanatan£=-2,进而求解即可.
【详解】由sin(a+B)+2C0S(a—0)=0可得sinacos/?+cosasin-+2cosacos£+2sinasin
_Sinacosf+cosasin/7_,,_tana+tan£__
P-,艮IQOSacosp+sinasinp-'直乂l+tanatan0-,
又sinasin/?+2cosacosp=0,故sinasinp=-2coscrcos/?z即tanatan^=-2,代入
tana+tanj?
=—2可得tana+tan6=2.
1+tancrtanjS
tana+tan0
故tan(a+s)=2
1—tanatan/53
故选:c
【变式5-1】4.(2023•四川成都•校联考二模)在锐角△力BC中,角A,B,C的对边分别
为a,b,c,tan71sinX(tanBtanC-1)=2tanBtanC,sinB>sinC,S.bsinB+csinC=masin
A,则实数机的取值范围为.
【答案】(1,V2)
【分析】由两角和的正切公式化简可得sin2A=2sinBsinC,再根据三角形形状以及正弦、余
弦定理可限定出!e(1,1+V2),将参数巾表示成巾=|(1+。再利用函数单调性即可求得其
范围.
【详解】在△ABC中,由4+8+C=TT可得tanA=-tan(F+C)=器::含,
又因为tarL4sin4(tanBtanC_1)=2tanBtanC,
所以sin力(tanB+tanC)=2tanBtanC,艮喘黑=高
r-,.1211cosBcosCsinCcosB+cosCsinBsin(C+B)sinN
111I-----=-----------------=-----------------=--------------------------=--------------------------,
八'sin/tanBtanCsinBsinCsinBsinCsinBsinCsinBsinC
所以可得sin?/=2sinBsinC,由正弦定理得小=2bc.
又sinB>sinC可知B>C.又△48C为锐角三角形,所以cos8>0,
由余弦定理得cosB=之铲>0.所以迦萨>0,
即26c+c2-b2>0,所以色)2<i+2@),
解得1—V2<g<1+V2.
又^>1,所以:£(1,1+鱼).
又因为bsinB+csinC=masinA,所以/+c2=ma2,
即血=号=雪=42+今.
z
a2bc2\c"
令5=%,贝(]%6(1,1+烟,则771=^^=f(x)=2(%+£).
因为f。)在(1,1+或)上单调递增,又f(l)=1,/(I+V2)=V2,
所以实数小的取值范围为(1,鱼).
故答案为:(1,近)
【点睛】方法点睛:求解解三角形综合问题时一般会综合考虑三角恒等变换、正弦定理、余
弦定理等公式的灵活运用,再结合基本不等式或者通过构造函数利用导数和函数的单调性等
求出参数取值范围.
【变式5-1】5.(2023•全国•高三专题练习)在锐角a/lBC中,三内角4B,C的对边分别为
a,b,c,且a=2bsinC,则tanA+tanB+tanC的最小值为()
A.2B.4C.6D.8
【答案】D
【分析】首先由正弦定理和三角恒等变形得到tanB+tanC=2tanBtanC,再根据正切公式得
到tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC='竽/咚•tanBtanC,最后再换元,利用基本不等
tan/jtanc—1
式求最小值.
【详解】由正弦定理可知2Rsin4=2X2/?xsinBsinC^sinA=2sinBsinC,
又因为sin/=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,
所以sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,
因为△是锐角三角形,所以cosBcosC>0,
上式两边同时除以cosBcosC,可得tanB+tanC=2tan8tanC,①
r-n.一八、tanB+tanC八
又因为tan”=—tan(B+C)=tanBtanC_1>0,
・•・tanB+tanC=tanA(tanBtanC-1),
tanA.+tanB「+tanCc=tanZ”tanBctanCc=-tan-B~+~ta—nC—-•tanB—tanC一,
tanBtanC-1'
令tanBtanC—1=m>0,由①可知tanB+tanC=2(m+1)
所有tanZ+tanB+tanC=2T。•(m4-1)=2空比,
=4+2m+—>4+212mx—=8,
当且仅当2ni=5时,即m=l时,取等号,此时tanBtanC=2,
所以tan4+tanB+tanC的最小值是8.
故选:D
【点睛】本题考查解三角形,三角恒等变换,基本不等式求最值,重点考查转化,变形,计
算能力,逻辑推理能力,属于中档题型.
【变式5-1】6.(2023春・上海闵行•高三上海市七宝中学校考阶段练习)已知△ABC的三个
内角分别为A,B,C,则下列判断正确的是()
命题p:对任何锐角A,都存在△4BC,使得cosA+cosB=cosC;
命题q:对任何锐角A,都存在△ABC,使得tanA+tanS=tanC.
A.p是真命题,q是真命题B.p是真命题,q是假命题
C.p是假命题,q是真命题D.p是假命题,q是假命题
【答案】A
【分析】利用和差角的余弦公式变形c。s4+cosB=cosC推理判断p,利用和角的正切结合
已知推理判断q作答.
【详解】命题p,cosX+cosB=cosC,
在△48c中,cosC=cos(-^-++cos(-^--=2cos-^-cos-^-
=2cosg—5)cos=2sir15cos二贝!Jl—2sin2f=2sin5cos
v,sin|=m,cos^^=n,贝惰2血2+2〃m—1=0,即n=与丰,
于是。又加>0,因此竽<血<孚,而正弦函数y=sin%在(0/上递增,
则arcsin耳匚Wg</,BPZarcsin^-1<C<-,亦即2arcsin41iWTt—(4+B)</,
所以对任何锐角A,都存在△力BC,使得cos4+cosB=cosC,p是真命题;
命题q,tan71+tanB=tanC,
在斜△ABC中,tan4+tanB=tan(X+B)(l—tan力tanB)=—tanC(l—tanXtanS),
于是tanA+tanB+tanC=tan/ltanBtanC,将tan4+tanB=tanC代入得:2tanC=tanAtanB
tanC,即有tandtanB=2,则对任何锐角A,都存在△ABC,q是真命题,
所以选项A正确,BCD错误.
故选:A
【点睛】思路点睛:三角函数是以角为自变量的函数,因此解三角函数题,首先从角进行分
析,善于用已知角表示所求角,即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基
本关系、两角和与差的公式、二倍角公式、配角公式等,选用恰当的公式是解决三角问题的
关键,明确角的范围,对开方时正负取舍是解题正确的保证.
♦类型2与其他知识结合
【例题5-2](2022•全国•高三专题练习)已知等差数列{叫中的=d=1,bn=tanan-tan
0n+i(neN*),则数列{砥}的前n项和%=
tan(n+l)
【答案】—n
tanl-l(ne^*)
【解析】利用两角差的正切公式可得到tana.tanQ=詈公繁-1,从而可得至擞列也}的通
项公式以=tana;;;ana“一1,再代入求和化简即可得到结果。
tana—tani5八tana—tan^
【详解】『tan(a—=诬'tana.tan£=诉而一1
tanan+i—tana九
•••=tana„•tanan+i=---;---------;-1
+tan(an+1-an)
又等差数列{a九}中=d=1,an+i—an=1,dn+i=n+1
tana九+i—tana九
*',b=-1
ntanl
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