三角恒等变换八大题型-2024年高考数学重难点题型突破

重难点专题15三角恒等变换八大题型汇总

dan

题型1辅助角公式的运用..........................................................1

题型2辅助角公式与最值..........................................................4

题型3凑角求值（互余互补，拆角和与差，拆角30+-a,）............................................................9

♦类型1诱导公式法........................................................9

♦类型2拆角..............................................................11

题型4分式型凑角求值...........................................................14

题型5正切恒等变形.............................................................17

♦类型1正切化简求值.....................................................18

♦类型2与其他知识结合...................................................24

题型6正切求角.................................................................29

题型1二倍角公式与升幕降幕....................................................33

题型8正余弦和差积问题.........................................................38

题型1辅助角公式的运用

【分析】直接利用辅助角公式化简即可.

【详解】sin；V^cos|=2@s呜一§cos|)=2(sin|cos-cos|sin=2sin修一£).

故答案为：2皿尹?

【变式1-1】1.(2023秋・湖南永州•高三校联考开学考试)已知cosa+gsina=则cos

(T)=()

A.|B.C.D.—

【答案】B

【分析】利用辅助角公式进行求解.

【详解】cosa+V3sina=由辅助角公式得2cos(a-y)=|,故cos(a7)=2,

故选：B.

【变式1-1】2.(2023秋广东揭阳•高三校考阶段练习)已知Xa<手，—且

sina+sin0=v^(cosa+cos£),则下列结论一定不正确的是()

A.cos(ct—/?)=—1B.sin(a-0)=0C.cos(a+0)=——D.sin(a+0)——

【答案】D

【分析】根据辅助角公式化简，再根据角的范围找到和差角的关系判断各个选项即可.

【详解】sina+sin0=V^(cosa+cos。),•••sina-V3cosa+sin^—V3cosj3=0,

2sin(a—9+2sin(°—^)=0,2sin(a—好=-2sin(p—£)=2sin倍—p),

且5<a<乎，f<"0,则X3•,《<10<知，

当"¥卜口，a+S哼时,cos(a+£)=—：,sin(a+0)=孚,C选项正确，D选项不正确；

当a—石+石一S=n,a—S=TU时,cos(a—B)=—1,

sin(a_0)=0,sin(a+/?)=sin(n+2/?)=-sin20,-TT<2/?<0,sin(a+/?)=-sin

2s<0„A,B选项正确，D选项不正确.

故选:D.

【变式1-1】3.(2023秋•内蒙古包头•高三统考开学考试)函数"久)=sin2x+cos2x的一

条对称轴是()

A.x=-fB.x=-7C.%=fD.x=7

【答案】C

【分析】利用辅助角公式，结合代入法、正弦型函数的对称性逐一判断即可.

【详解】/(x)=sin2x+cos2x=V2sin^2x+。

A:因为/"(一Q)=V^sin]x(_+可=0二±

所以本选项不符合题意；

B：因为/ig)=任时2x(_乎+用=_1+±侑

所以本选项不符合题意；

C：因为/'(g)=V2sin^2x£+勺=V2,

所以本选项符合题意；

D:因为f©)=V^sin(2+9=17±也

所以本选项不符合题意，

故选：C

【变式1-1]4.(2023秋•江西南昌•高三南昌二中校考开学考试)已知f(%)=singx+&-

V3cos(^+^),贝疗(1)+f(2)+...+f(2023)的值为()

A.2V3B.V3C.1D.0

【答案】B

【分析】根据三角恒等变换得到/(无)=2sin%,求出最小正周期，并求出f⑴+f(2)+f(3)

+f(4)+f(5)+f(6)=0,利用周期分组求解，得到答案.

【详解】/(x)=sin(£x+欧一V3cos(2x+^=2sin僖久+号_1)=2sinfx,

所以最小正周期为空=6,

3

且f⑴+f(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)

.Tt_.2TC.„,4TT„.5TI„.„

=2osiny+2sin—+2smn+2sin—+2sin—+2sm2n

=V3+V3+0-V3-V3+0=0,

所以f(l)+/(2)+/(3)+…+C(2023)

=[/(I)+f(2)+f⑶+-4)+f⑸+/(6)]

+•••+[f(2017)+f(2018)+f(2019)+f(2020)+/(2021)+/(2022)]+f(2023)

=f⑴=V3.

故选：B.

【变式1-1】5.(2023•全国•高三专题练习)设d为动点P(cos8,sin。)到直线x-y—2=0的

距离，贝呦的最大值为()

A.V2-1B.呼C.1+V2D.3

【答案】C

【分析】由距离公式及辅助角公式计算可得.

【详解】点P(cos，sin8)到直线比一y—2=0的距离d==7cos(竽)T,

V1十1一/V2

因为一1工cos(9+工1,贝！J—V2—2<V^cos(9+-2<y/2—2,

所以当COS(e+?)=一1时dmax==1+鱼.

V4/V2

故选：c

题型2辅助角公式与最值

即F划#<5

辅助角公式满足：

asina+bcosa=^2+b2(尸/sina+尸即cosa)=7a2+b2sin(a+cp),

-Va2+b2<asina+bcosa/Ja2+b2

【例题2](2023•陕西宝鸡•统考二模)已知函数/(x)=2sinx+4cosx在x=0处取得最大值，

则COS0=()

A.等B.gC.普D.一华

【答案】A

【分析】根据题意，由辅助角公式即可得到sin。,cos。的值，然后由诱导公式化简即可得到结

果.

【详解】因为/(%)=2sinx+4cosx=2V5sin(x+0),

其中sme=赤=而cos。=赤=正，

当X=0时，/(X)取得最大值，

即9+0=y+2fcTT,fceZ,所以0=y—9+2fcTT,fcGZ,

所以cos"=cos(]—9+2fcn)=sin。=京=等

故选：A

【变式2-1]1.(2023•河南•校联考模拟预测)若关于x的方程sin2x+2cos2x=—2在[0,TT)

内有两个不同的解a/,贝1|cos(a—0)的值为()

A.-^B.,C.-竽D.竽

【答案】D

【分析】利用辅助角公式化简已知方程，求得a-£,进而求得cos(a-0).

【详解】关于久的方程sin2x+2cos2x=-2在[0,TT)内有两个不同的解a,Q,

即苧sin(2x+8)=-1(cos。=苧,sin。=竿,取。为锐角)

在[0，m内有两个不同的解a，S,

即方程Sin（2x+。）=—等在[0,IT）内有两个不同的解a,

不妨令0<a</?<Tl,由％E[0,Tl）,则2%+eE[42TI+。），

所以sin（2a+。）=—^^sin（2/7+。）=—

所以sin。=—sin（2a+O'）=—sin（2/7+O'）.则2a+6=TC+32s+9=2TT—3,

即2a—2/?——TT+26,

所以a—=—y+0,cos（a—£）=cos（8—5）=sin0=半.

故选：D.

【变式2-1】2.（2023秋•江西吉安•高三吉安一中校考开学考试）已知Se（oq）,且sin

（a—20）+3sina=0,则tana的最大值为（）

A.—冬4B.乎44C.—在4D.叵

【答案】B

【分析】利用两角差的正弦公式展开，并利用同角三角函数的商数关系化为关于tana的方

程，根据已知角的范围和三角函数的性质得到tana>0,利用三角函数的辅助角公式和三角

函数的有界性得到关于tana的不等式，求得其最大值.

【详解】\sin(a—2£)+3sina=0,/.sinacos2/3—cosasin2s+3sina=0,

/.tanacos2s—sin2s+3tana=0,/.tana(3+cos20)=sin2(i,

‘SE(°'，•NS€(O,TT),•.§!!2/?>0,

又「3+cos2^?>3—1=2,/.tana>0,

由tanacos2s—sin2s+3tana=0得tanacos2s—sin2s=—3tana,

存在96R使得，tan2a+lcos(2£+g)=-3tana,「.cos(2S+g)=—jta^a+i

22

.——3tanal/.9tana<tana+1,/.tana<—z

JtaMa+14

由于20e(0,n),2B+彷勺取值范围达到余弦函数的半个周期，|cos(2£+租)|的值必能取到

1,因此这里能够取到等号，所以tana的最大值为4，

故选：B

【变式2-1]3.(2023秋•陕西汉中•高三统考阶段练习)已知函数f(久)=sin%+3cosx,当

/(%)取得最大值时，tame=.

【答案】|

【分析】利用辅助角公式及正弦函数性质易得/⑺取得最大值有”+0E+2kTl,keZ,进

而求tanx.

【详解】由/'(x)=sinx+3cosx=V10sin(x+9)且tan</?=3,

所以f(X)max=此时X+9=3+2kTT,keZ,

所以%=f+2fcn-(p,keZ,故tan(5+2kn-(p)=壶=

故答案为：!

【变式2-1】4.(2023秋福建厦门•高三厦门一中校考阶段练习)已知函数-x)=sinwx-

KCOS3X®>0),若/(*)的图像在区间(Oji)上有且只有1个最低点，则实数3的取值范围

为.

【答案】曰1

【分析】根据题意，由辅助角公式化简，然后由条件列出不等式，代入计算，即可得到结

果.

【详解】由题意得/'(X)=sintox-v^coscox=2sin(3x-前，因为xe(0,n),

所以3久—f,3口—，

因为/㈤有且只有1个最低点，所以孚<3TI—女手，解得？<«)<y.

故答案为：曰<3<年.

【变式2-1】4.(2021秋・广西南宁•高三统考阶段练习)已知函数f(x)=百

(sin2x+4cosx)+2sinxf则f(x)的最大值为()

A.B.-y-

C.6D.5V3+2

【答案】B

【分析】先将sin2%展开，提公因式并结合拼凑法可得/(%)=2(V3cosx+l)(sinx+2)-4,

结合防工(与9放缩，联立辅助角公式化简，即可求解.

【详解】/(x)=V3(sin2x+4cosx)+2sinx=V3(2sinxcosx+4cos久)+2sin%

=2V3cosx(sinx+2)+2(sinx+2)—4=2(V3cosx+l)(sinx+2)—4,由sin%+2>。可知，

怨)2可得

要求/(%)最大值，只需/COS%+1>0即可，结合基本不等式ab<

/(x)=2(V3cosx+1)(sin%+2)—4<2•

VScosx+1=sinx+2

当且仅当,即％=?+2々兀上€2时等号成立，因此当x=?

,-17

+2kn,kGZ时f(%)的最大值为彳.

故选：B

【变式2-1】5.(2023秋•四川成都•高三四川省成都市新都一中校联考开学考试)若函数

/(x)=sinx—V3cosxr%E|m用的值域为［—1,2］,贝!］几一m的取值范围为

【答案】职期

【分析】由辅助角公式得到f(x)=2sin(x—当，结合函数图象得到爪=段+2m，keZ,同

时nC怦+2所1,—5+(2k+2泡，k&Z,从而得到九—m€怦，期.

【详解】由辅助角公式得/'(%)=2sin(x-1),

—5)=—1,角牟彳寻%=—万=W+2/CTT,kGZ,

■^,2sin(x—石)=2,角星彳导％=-^+2/^71,kGZ,

画出函数图象如下，

所以n—me黑里

故答案为:仁寿]

【例题3-1](2023•河南开封•统考三模)已知Sin(a+Q—cosa=2，则cos(a+/)=

()

34

D.

A.|B.IC.55

【答案】D

【分析】根据三角恒等变换得到sin(a-再利用诱导公式求出答案.

1

【详解】因为sin(a+Q—coscr=—V3si.na+,-cosa—cosa=—V3si.na--1cosa=4

故选：D

【变式3-1】1.(2023秋•江苏南通•高三统考开学考试)已知sin(a+乎=苧，贝人也仁-2a

)

2y/2n2y/2r1K1

A.—B.-C.--D.-

【答案】C

【分析】利用换元法，结合诱导公式及二倍角公式，即可求得本题答案.

【详解】设a+台t,贝!|a=sint=半，

•••sin(£—2a)=sin?-2(〜5=sin©—2t)=cos2t=1—2sin2t=1—2x

i

3,

故选：c

【变式3-1]2.(2023秋・山东•高三沂源县第一中学校联考开学考试)已知Sin(x+^)=-

则COS(*2K)=()

【答案】C

【分析】利用诱导公式、二倍角公式化简可得答案.

【详解】因为sin(x+3)=—；，所以

(萼-2x)=cos(n-f-2x管+

COS=­cos2x1—2sin

故选：C.

【变式3-1】3.(2022秋•新疆巴音郭楞•高三八一中学校考阶段练习)设a为锐角，若cos

(a+£)=9，贝人由卜一工)=()

AV2^nV2厂V2cV2

•10,-IF。~5,~~5

【答案】B

【分析】利用角的变换表示sin(a-昌)=sin(a+襄前，再利用两角差的正弦公式，即可

求解.

【详解】因为ae(o,?),a+段eg竿)，且cos(a+£)=(,

所以sin(a+^)=|,

sin(aT)=sin(a+H),

=¥sin(a+f)-cos(a+即=?(|一0=—系

故选：B

【变式3-1】4.(2023秋•河北•高三校联考阶段练习)已知sin停—a)=—且ae

(。吟)，则sin僖+2a)=()

A.—当B.当C.gD.-4

9999

【答案】A

【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式求得正确答案.

【详解】依题意，ae(o,2)=-ae(_nE),

而sin停_戊)=_孝＜0,所以je(Y，o),

所以cosa_a)=Jl—sin2停一a)=Jl-1=孝，

所以sin(]+2a)=sin,—(]+2a)]=sin(半—2a)

=2sin(2-a)cos停一a)=2x(一十x孝=一苧.

故选：A

♦类型2拆角

【例题3-2](2023秋•河南洛阳•高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习)已知a,S均为锐

角，且tana=3,sin(a+)§)=-,贝(jcos。=()

A13VIOB逗C见迈D西心逗

【答案】B

【分析】由条件结合三角函数同角关系式求sina,cosa,再由三角函数的性质求出a+。的范

围，再利用两角差的余弦公式，由cosS=cos[(a+0)-a]求出结果.

【详解】因为a为锐角，且tana=3,所以sina=3cosa,又si/a+cos2a=1,

所以sina=cosa=^・

因为sina>sin(a+0),且0<a<a+£<n,所以a+£为钝角.

因为sin(a+0)=/所以cos(a+0)=—之，

则cos0=cos[(a+S)—a]=cos(a+0)cosa+sin(a+£)sina=_gx噂+|x=噂.

故选：B.

【变式3-2】1.(2022秋•陕西渭南•高三渭南市瑞泉中学校考阶段练习)若a,0都是锐角,

日cosa=乎,sin(a+0)=',则cos/3=

A2V52V52V5^2V5口三成立

■25B,5c-255'5525

【答案】A

【分析】先计算出cos(a+0),再利用余弦的和与差公式，即可.

【详解】因为都是锐角，且COSa=R<g,所以Ha4,又

sin(a+F)='|<日，所％<a+S<%所以cos(a+£)=-—siM(a+£)=一N

sina=71-cos2a=cos/?=cos(a+3-a)=cos(a+S)cosa+sin(a+8)sina=

禁，故选A-

【点睛】本道题考查了同名三角函数关系和余弦的和与差公式，难度较大.

【变式3-2】2.(2022・云南・云南民族大学附属中学校考模拟预测)已知sina=孚，cos

(a-，)=半,且0<a(生,0<”等，则sin”()

A9危0nViornVio

•35*35•-35~•-35~

【答案】A

【解析】易知sin0=sin(a—(a—0)),利用角的范围和同角三角函数关系可求得cosa和sin

(a-£),分别在sin(a-£)=平和-半两种情况下，利用两角和差正弦公式求得sin0,结

合S的氾围可确定最终结果.

【详解】sina=尊<乎且0<a<^，0<a<^,cosa=71—sin2a=

又°<6(生，:一手<戊一£<21sin(a—口)=±—cos2(a—£)=土平.

当sin(a-S)=平时，

sin£=sin(a—(a—0))=sinacos(a—£)—cosasin(a—£)=竽x驾-|x平=—票,

•••0<£(手，.•.sin£〉0,「.sin”一票不合题意，舍去；

当sin(a—£)=-半，同理可求得sin0=禁，符合题意.

综上所述：5也£=察.

故选：A.

【点睛】易错点睛：本题中求解cosa时，易忽略sina的值所确定的a的更小的范围，从而误

认为cosa的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.

【变式3-2]3.(2022秋•山东日照•高三校考阶段练习)已知a,Be(O,TT),tan(a+5=

争cos(S+*孚,贝!]cos(2a—£)=()

A―旭B——C-D—

''93,9*3

【答案】D

【分析】根据待求式的结构，2a—0=2（a+勺—（£+，）一融解即可.

［详解］解：因为cos（2a_/?）=cos［2（a+g）_（S+£）_T=sin|2（a+升（S+矶

=sin2(a+.cos(3+»cos2(a+^)sin(/?+1).

\1TITi2sin(a+—)cos(a+—)

a+—)\—2sin(a+石)cos(a+可)=.,口J~~?/:八=-

(3/J3，3，sm2(a+^)+cos2(a+^-)

、、t

22

cosr[2(/a+则\1=cos(a+5-TT)—Sin2(a+5jr=c.os+(a以+-)—峥sin(+a+-))

3(0+介乎,("既(呜)，

所以sin(6+/=坐,

故35(2戊一/?)=¥.

故选：D.

题型4分式型凑角求值

分式型最终目标是分别把分子分母化为积的形式，便于约分来化简.

【例题4】（2021•湖北黄冈•黄冈中学校考一模）求值：有簿募需=

A.-2—B.y/3—2C.2—y/3D.2+V3

【答案】B

【解析】利用三角函数诱导公式将cos65。、sin65。转化为sin25。、cos25°,利用两角和与差

的正弦、余弦公式进一步化简分式，最后利用两角差的正切公式可求得-tanl5。.

sinl00cosl50-sin25°_sinl00cosl50-sinl00cosl50-cosl00sinl5°

sinl00sinl5°+cos25°sinl00sinl504-cosl00cosl50—sinl00sinl5°

tan45°—tan30°

-cosl00sinl5°=—tanl5°=—=V3-2.

cosl00cosl5°l+tan45°-tan30°

故选：B

【点睛】本题考查三角函数诱导公式，两角和与差的正弦、余弦、正切公式，属于基础题.

【变式4-1】1.(2023•吉林长春•东北师大附中校考模拟预测)求值

【答案】竽/沔

【分析】先用同角三角函数基本关系切化弦，同角正余弦平方和化为1,再利用倍角公式,

化为可以求值的角的三角函数.

tan27.5°+lsin27.5°+cos27.5°

tan27.5°-8sin27.5°+lsin27.50-8sin27.5°cos27.50+cos27.5°

【详解】_1_1_2V3

l-2sin215°cos3003

故答案为：竽.

【变式4-1】2.(2022・全国•高三专题练习)计算求值:

0

⑴计算2cosl0-2V3cos(-100°)的值;

Vl-sinl0°

(2)已知a、£均为锐角，sina=：,cos(a+/?)=等，求sin/?的值.

【答案】⑴2四

⑵誓

【分析】(1)利用诱导公式、辅助角公式、二倍角的正弦公式化简可得结果;

(2)利用同角三角函数的基本关系可求得cosa、sin(a+S)的值，再利用两角差的正弦公

式可求得sinS的值.

怎限00

【详解】⑴解:2cosl0°-2os(-100°)_2cosl00-2osl00°_2cosl0-2V3cos(90+10°)

Vl-sinl0°>/l-sinl00Vl-sinl0°

1V3\

2cosl0°+2V3sinlO°_4\2cosl0°+Tsinl0J_4cos(60°-10°)

Vl—sinl0°Vl—2sin5°cos5°cos5°—sin5°

4cos50°4cos50°「

--------------------------=---------=2V2

V2(cos45°cos5°—sin45°cos50)V2cos500,

(2)解：••・a0都为锐角，则0<a+夕<町

sin(a+。)=Jl_cos2(a+£)=Jl—(普/=IJ-cosa=Jl-(9=竽，

sin0-sin[(a+fi)—a]-sin(a+£)cosa—sinacos(a+0)=余x竽一：x誓=

【变式4-1】3.(2022秋•黑龙江哈尔滨•高三黑龙江实验中学校考阶段练习)化简求值：

、sin200-sin40°

(^cos200-cos40°

C、cos4(r+sin5O0g+gtan1O。)

('sin70°Vlcos40°

【答案】⑴-V5

⑵我

【分析】(1)将20。,40。看作是30。,10。的和差，再利用正余弦的和差公式化简分子分母，从

而求得结果；

(2)先利用三角函数的商数关系、辅助角公式、倍角公式、诱导公式化简sin50。

(1+V3tan10°)-^sin70oVl+cos40°，再代入化简，即可求得结果•

【详解】(1)@7^sin20o-sin40o=sin(30o-10o)-s'n(30o+10o)=sin30℃os10°-cos30°sin10

°-(sin30°cos10°+cos30°sin10°)=-2cos30°sin100=-gsin10°,

COS20°-COS40°=COS(3O°-10°)-COS(30O+10°)=cos30℃os10°+sin30°sin10°-

(cos30°cos10°-sin30°sin10°)=2sin30°sin10°=sin10°,

EG”sin20°-sin40°_-V5sin10°_0

所以cos200-cos40°—sin10°一^3，

o=ocos1in10

(2)S^)sin50(i+V3tan10°)sin500(i+V3|^)=sin50x°^°

二Gin50cx2sin(100+30°)=2sin50°sin40°二2sin50°cos50°=sin100°=sin(90°+(0°)=cos10。二］

cos10°cos10°cos10°cos10°cos10°cos10°'

sin7007i+cos40o=sin700Vl+2cos220°-1=sin(90°-20°)xV2cos200=cos20°x应

COS20°=V2COS220°,

砺I、jcos40°+sin50°q+0tan10°)_cos40°+l_2cos220°-1+1_厂

所以sin70°Vlcos40°-V2cos220°-V2cos220°

【变式4-1】4.(2023・全国•高三专题练习)化简：

1+sinct1—sina

V1+cosa—v1—cosaVl+cosa+v1—cosa卜＜”要）;

Vl—cosa

【答案】(1)—衣COS5

(2)—2V2cosf

【分析】(1)先求出的范围，再利用二倍角公式和同角三角函数间的关系化简计算即可,

(2)利用半角公式，诱导公式和二倍角公式化简即可.

【详解】(1)因为TT<a(手，所以三<f(?

a.•a,2a

sin2^+2sin-cos--Feos,,2«sin25-2sin^cos--Fcosz-

222'22222

所以原式~+

2cos2畀

(aa\2aa\2

(sin2+cos刃sin2—cos刃

五十

—V2cos多—V2sin—V2cos多+V2sin.

2

yj2/aa\V2/cca\

=—2"(sin2+cos2)+~2~\s^n2—cos2)

=—V2cos^-.

.ao.aa

asin-2sin-cos-

2sina

()因为tan5=£328s2?-1+cosa，

2

所以(14-cosa)tan-=sina.

又因为cos伸_仇)=2

—sina,且1—cosa=2sin^z

一sina-sina-2sina2V2sin-cos-

22

所以原式=J2s叫==-lsinil

因为0<a<%所以0<f<£,所以s尾>0.

所以原式=-2V2cos^.

题型5正切恒等变形

tana+tanB

④tan6rtanJ3=1-------------.

tanDa+加

tana+tanB

@1-tanntan0=------------;

tanna+加

T(a-/：

①tanaltan£=tan(a1后(1+tanotan自;

②tana-tan£-tanatan夕tan(W£)=tan(?£);

tana-tanp

@tanatan£=tan(a邛)-1

_tana-tanp

@1+tanatanp=tan(a-p)；

♦类型1正切化简求值

【例题5-1](2023秋•湖北武汉•高三武汉市第四十九中学校考阶段练习)若ae(-9-£),

且cos2a+cos(1+2a)=—&则tan(a—1)=.

【答案】2

【分析】由已知可得cos2a+sin2a=分母"1"化平方关系、弦化切得tan2a+4tan

a+3=0,结合范围求得tana=-3,最后应用差角正切公式求值.

【详解】由cos2a+cos(狰+2a)=cos2a+sin2a=W，则噜薨黑黄=黑黑=-3,

所以tan2a+4tana+3=(tana+3)(tana+1)=0,则tana=—3或tana=—1,

又a€(一曰,_，)，故tanae(—8,—1),贝！]tana=-3,

由tan(a_1)=詈黑=2=2.

故答案为：2

【变式5-1】1.侈选)(2023•河南信阳信阳高中校考模拟预测)已知86(0,20,。为

坐标原点，。终边上有一点M(sin答-cos泮si得+cos衿则()

A.6=空B.\0M\=V2

1

C.tan0<1D.cos0>-

【答案】AB

【分析】对于A,利用任意角的三角函数的定义结合已知条件分析判断，对于B,利用距离

公式求解判断，对于CD,利用三角函数的单调性分析判断即可

ta=sin[+cos4=tanJ+l=_tan>_+tan、

【详解】—ta*=ta喏,故"空+kn

sin普一cos,tan普一11-tan普tan卜

oooo4

(kez)，

又si得一cos书＞0,si得+cos普〉o,故。是第一象限角，

又06(0,2汨,故。=空，故A正确；

对于B,|0M『=(sin普一cos剽+(sin.+cos.)=2,故|。陷=方,故B正确;

对于C,因为y=tan比在(og)上单调递增，且黑点所以tane=tanQtan?=l,故C

错误；

对于D,因为y=cosx在(o,乎上单调递减，羊＞热所以cose=cos知＜cos?号，故D错

误.

故选：AB.

【变式5-1]2.(2023•全国•高三专题练习)当》=4时，函数/⑴=sinx-2cos比取得最

大值，则tan(xo+空)=.

【答案】-3

【分析】利用辅助角公式得出f(x)=V^sin(x—0),分析可得出Xo=0+]+2/OT(kCZ),利

用诱导公式及两角和的正切公式可求解.

【详解】利用辅助角公式f(%)=sinx-2cosx=V^sin(x—R),其中tan^=2

当x=xo时，函娄好(无)取得最大值，则久0-9=5+2/OT(keZ),

所以%0=3+]+2kn(keZ),

所以tanQo+空)=tan(0+升2/OT+亨卜tan(s+牛+?=R号?)=一

1

tan（0+书

又tan（a+苧）==W=4,

所以tan（久0+^）=-3

故答案为：—3.

【变式5-1]3.(2023春•江西赣州•高三校联考阶段练习)已知角a/e(0,n),且sin(a+0)

+2cos(a-0)=0,sinasin£+2cosacos£=0,贝！]tan(a+£)=()

A.iB.|C.|D.-2

【答案】C

【分析】根据正余弦的和差角公式化简，由sin(a+.)+2cos(a—/=0可得黑*芸=-2,

再根据sinasinS+2cosacos£=。可得tanatan£=-2,进而求解即可.

【详解】由sin（a+B）+2C0S（a—0）=0可得sinacos/?+cosasin-+2cosacos£+2sinasin

_Sinacosf+cosasin/7_,,_tana+tan£__

P-，艮IQOSacosp+sinasinp-'直乂l+tanatan0-,

又sinasin/?+2cosacosp=0,故sinasinp=-2coscrcos/?z即tanatan^=-2,代入

tana+tanj?

=—2可得tana+tan6=2.

1+tancrtanjS

tana+tan0

故tan（a+s）=2

1—tanatan/53

故选：c

【变式5-1】4.(2023•四川成都•校联考二模)在锐角△力BC中,角A,B,C的对边分别

为a,b,c,tan71sinX(tanBtanC-1)=2tanBtanC,sinB>sinC,S.bsinB+csinC=masin

A,则实数机的取值范围为.

【答案】(1,V2)

【分析】由两角和的正切公式化简可得sin2A=2sinBsinC,再根据三角形形状以及正弦、余

弦定理可限定出!e(1,1+V2),将参数巾表示成巾=|(1+。再利用函数单调性即可求得其

范围.

【详解】在△ABC中，由4+8+C=TT可得tanA=-tan(F+C)=器::含,

又因为tarL4sin4(tanBtanC_1)=2tanBtanC,

所以sin力(tanB+tanC)=2tanBtanC,艮喘黑=高

r-,.1211cosBcosCsinCcosB+cosCsinBsin(C+B)sinN

111I-----=-----------------=-----------------=--------------------------=--------------------------,

八'sin/tanBtanCsinBsinCsinBsinCsinBsinCsinBsinC

所以可得sin?/=2sinBsinC,由正弦定理得小=2bc.

又sinB>sinC可知B>C.又△48C为锐角三角形，所以cos8>0,

由余弦定理得cosB=之铲>0.所以迦萨>0,

即26c+c2-b2>0,所以色）2<i+2@）,

解得1—V2<g<1+V2.

又^>1,所以:£（1,1+鱼）.

又因为bsinB+csinC=masinA,所以/+c2=ma2,

即血=号=雪=42+今.

z

a2bc2\c"

令5=%,贝（］%6（1,1+烟，则771=^^=f（x）=2（%+£）.

因为f。）在（1,1+或）上单调递增，又f（l）=1,/（I+V2）=V2,

所以实数小的取值范围为（1,鱼）.

故答案为：（1,近）

【点睛】方法点睛：求解解三角形综合问题时一般会综合考虑三角恒等变换、正弦定理、余

弦定理等公式的灵活运用,再结合基本不等式或者通过构造函数利用导数和函数的单调性等

求出参数取值范围.

【变式5-1】5.（2023•全国•高三专题练习）在锐角a/lBC中，三内角4B,C的对边分别为

a,b,c,且a=2bsinC,则tanA+tanB+tanC的最小值为()

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】首先由正弦定理和三角恒等变形得到tanB+tanC=2tanBtanC,再根据正切公式得

到tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC='竽/咚•tanBtanC,最后再换元，利用基本不等

tan/jtanc—1

式求最小值.

【详解】由正弦定理可知2Rsin4=2X2/?xsinBsinC^sinA=2sinBsinC,

又因为sin/=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,

因为△是锐角三角形，所以cosBcosC>0,

上式两边同时除以cosBcosC,可得tanB+tanC=2tan8tanC,①

r-n.一八、tanB+tanC八

又因为tan”=—tan(B+C)=tanBtanC_1>0,

・•・tanB+tanC=tanA(tanBtanC-1),

tanA.+tanB「+tanCc=tanZ”tanBctanCc=-tan-B~+~ta—nC—-•tanB—tanC一,

tanBtanC-1'

令tanBtanC—1=m>0,由①可知tanB+tanC=2(m+1)

所有tanZ+tanB+tanC=2T。•(m4-1)=2空比,

=4+2m+—>4+212mx—=8,

当且仅当2ni=5时，即m=l时，取等号，此时tanBtanC=2,

所以tan4+tanB+tanC的最小值是8.

故选：D

【点睛】本题考查解三角形，三角恒等变换，基本不等式求最值，重点考查转化，变形，计

算能力，逻辑推理能力，属于中档题型.

【变式5-1】6.（2023春・上海闵行•高三上海市七宝中学校考阶段练习）已知△ABC的三个

内角分别为A,B,C,则下列判断正确的是()

命题p：对任何锐角A,都存在△4BC,使得cosA+cosB=cosC;

命题q：对任何锐角A,都存在△ABC,使得tanA+tanS=tanC.

A.p是真命题，q是真命题B.p是真命题，q是假命题

C.p是假命题，q是真命题D.p是假命题，q是假命题

【答案】A

【分析】利用和差角的余弦公式变形c。s4+cosB=cosC推理判断p,利用和角的正切结合

已知推理判断q作答.

【详解】命题p,cosX+cosB=cosC,

在△48c中，cosC=cos(-^-++cos(-^--=2cos-^-cos-^-

=2cosg—5)cos=2sir15cos二贝!Jl—2sin2f=2sin5cos

v,sin|=m,cos^^=n,贝惰2血2+2〃m—1=0,即n=与丰，

于是。又加>0,因此竽<血<孚，而正弦函数y=sin%在(0/上递增，

则arcsin耳匚Wg</，BPZarcsin^-1<C<-,亦即2arcsin41iWTt—(4+B)</，

所以对任何锐角A,都存在△力BC,使得cos4+cosB=cosC,p是真命题；

命题q,tan71+tanB=tanC,

在斜△ABC中，tan4+tanB=tan(X+B)(l—tan力tanB)=—tanC(l—tanXtanS),

于是tanA+tanB+tanC=tan/ltanBtanC,将tan4+tanB=tanC代入得：2tanC=tanAtanB

tanC,即有tandtanB=2,则对任何锐角A,都存在△ABC,q是真命题，

所以选项A正确，BCD错误.

故选：A

【点睛】思路点睛：三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分

析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基

本关系、两角和与差的公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的

关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.

♦类型2与其他知识结合

【例题5-2］（2022•全国•高三专题练习）已知等差数列｛叫中的=d=1,bn=tanan-tan

0n+i（neN*）,则数列｛砥｝的前n项和％=

tan(n+l)

【答案】—n

tanl-l(ne^*)

【解析】利用两角差的正切公式可得到tana.tanQ=詈公繁-1,从而可得至擞列也｝的通

项公式以=tana；；；ana“一1，再代入求和化简即可得到结果。

tana—tani5八tana—tan^

【详解】『tan(a—=诬'tana.tan£=诉而一1

tanan+i—tana九

•••=tana„•tanan+i=---；---------；-1

+tan(an+1-an)

又等差数列｛a九｝中=d=1,an+i—an=1,dn+i=n+1

tana九+i—tana九

*',b=-1

ntanl