三角函数与解三角形【练】-2025年高考数学大题（题型破局）附答案解析

专题1三角函数与解三角形【大题精做*精做】

大题精做U-LI最新模拟

（考向：边角计算问题）（24-25高三上・江苏•阶段练习）

1.记VABC的内角A、B、C的对边分别为。、b、c,且2c=>+2acos3.

⑴求A；

⑵若2C边上的高为1,且c-b=l,求a.

（考向：周长问题）（24-25高三上•河北保定•期末）

2.在VABC中，内角A,5,C的对边分别为a,女c,已知asinB=6cos（A-0.

⑴求角A；

（2）若。=有,sinBsinC=',求VABC的周长.

4

（考向：面积问题）（24-25高三上・江苏•期末）

3.在VA2C中，AB=6,BC=5.

（1）若C=2A,求sinA的值；

9

（2）若VABC为锐角三角形，cosA=—,求VABC的面积.

16

（考向：最值范围问题）（24-25高三上•河北承德•期中）

4.在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ZABC=150°,就>，8c交AC于点

D,且3£>=1.

（1）若AZ）=S，求△ABD的面积；

（2）求2a+若c的最小值.

（考向：探索性问题）（2024•湖南长沙•一模）

5.在VABC中，角A,3,C所对的边长分别为a,b,c,且满足sin8+sinC=2sinAcosB.

⑵如图，点O在线段48的延长线上，且|AB|=3,忸。=1,当点C运动时，探究

是否为定值？

大题精做I」最新模拟

（考向：边角计算问题）（24-25高三上•江苏盐城•期中）

TT

6.在VABC中，AB=6,AC=3,/A4C=g,点。在边2C上，AD为NR4c的平分线.

⑴求A£）的长；

（2）若点尸为线段AD上一点，且△PCD为等腰三角形，求tan/ABP的值.

（考向：周长问题）（24-25高三上•河北沧州•阶段练习）

7.已知VABC的内角A,5,C的对边分别为a,6,c,若病inA+cosA=百.

⑴求A；

⑵若csinB+06sinCcos（A+C）=0,sinA<sinB,b=20,求VABC的周长.

（考向：最值范围问题）（24-25高三上•山东烟台•期末）

8.在锐角V43c中，角A,8,C所对的边分别为a,b,c,且包"二型£="1.

sinCc2

⑴求8;

（2）若》=2,求VA3C周长的取值范围.

（考向：面积问题）（24-25高三上•浙江•开学考试）

9.设VABC中的内角A,B,C的对边分别为。，瓦c,且2asin[c+：j=b+c'.

⑴求A；

⑵若a=2#,Z\ABC的周长为6+2"，求VABC的面积.

（考向：探索性问题）（2024.四川自贡•一模）

7171

10.如图，在平面四边形A2CZ）中，角/BA。=1,4M>B=5，JBC=2,C。=3.设/BCD=a

⑴用。表示四边形ABC。对角线AC的长；

⑵是否存在。使四边形ABCD对角线AC最长，若存在求出cos夕及四边形对角线AC最长的

试卷第2页，共4页

值，若不存在请说明理由.

（押题点：三角形面积、正弦定理、余弦定理的应用，边角计算的基本问题）

11.已知VA5C的内角A,B,C的对边分别为且siYA+sin*<sin2c.

（1）证明：VABC为钝角三角形.

（2）若VABC的面积为各女,sinC=c=3,求。,尻

48

（押题点：边角计算问题，与图形几何特征、平面向量的应用结合，体现新课标要求）（2024・新

疆•模拟预测）

12.在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,4c,是—BAC的平分线，AE是边BC的中

线，6=8,c=4,cos2=冬夕.

7

（1）求。；

（2）求AD,AE的长.

（押题点：综合考查正弦定理求外接圆半径、正弦定理边角互化、三角形面积公式、余弦定

理的应用）（2024・四川眉山•一模）

13.己知VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA:sinB:sinC=3:5石:J国.

⑴求C的大小；

（2）若VABC的面积为15g,求VABC外接圆的直径.

（押题点：周长、面积、最值问题，突出正弦定理、余弦定理的综合应用）（24-25高三上•江

苏•阶段练习）

14.在面积为S的VABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且

2s坐+3=—

Isin5sinC）'7

（1）若c=0,求VABC周长的最大值；

⑵若VABC为锐角三角形，且边上的高//为2,求VABC面积的取值范围.

（押题点：探索性问题，三角形特征、最值、三角恒等变换、正弦定理应用，体现综合性）

（24-25高三上・江苏扬州•期中）

15.在VABC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,sinA+sin（C-B）=sin2B.

⑴判断VABC的形状;

(2)已知6wc,a=2>/3,A=1,点p、。是边AC上的两个动点(尸、。不重合，且点尸靠

近A,点。靠近C).记NPBQ=9,ZCBQ=a,ZABP=/3.

①当。=9时，求线段尸。长的最小值；

O

②是否存在常数。和左，对于所有满足题意的a、B,都有sin2a-sin2/?+k=6ksinacos/?

成立？若存在，求出cos。和％的值；若不存在，请说明理由.

a+f3a-pa+/3.a-p

参考公式：sina+sin/3=2sin,sin6T-sin/?=2cos

试卷第4页，共4页

《专题1三角函数与解三角形【练】一大题精做（题型破局）》参考答案：

1.d）A=p

⑵a=6.

【分析】（1）解法一：由已知条件结合正弦定理、两角和的正弦公式化简得出cosA的值，

结合角A的取值范围可得出角A的值；

解法二：由已知条件结合余弦定理可得出cosA的值，结合角A的取值范围可得出角A的值；

（2）由三角形的面积公式可得出°=在A，利用余弦定理结合已知条件可得出关于。的方

2

程，即可解得。的值.

【详解】（1）解法一：由2。=人+2。85吕及正弦定理得25111。=5111^+251114855,

所以2sin（A+B）=sinB+2sinAcosB,

即2sinAcosB+2cosAsinB=sinB+2sinAcosB,即2cosAsinB=sinB,

因为A、BG（O.H）,则sinB>0,

1兀

所以cosA=],所以A=g；

〃24*_方2

解法二：由2。=〃+2]85吕及余弦定理得2。=/?+2。----------，

lac

所以。2=历+4—凡即〃+。2一，2=历，所以COSA=2十。二^二）,

2bc2

又A«（U）,所以A=,

（2）记边上的高为无，贝！JS^c=gbcsinA=gQ/z,

由（1）得^~be=工a,所以

422

所以由余弦定理可得。2=b2+c2-2bccosA=b2+c2—be=（b—c）2+bc=l+bc,

所以片=1+寺°,所以卜一孝]=|,所以q=6或。=-g（舍），故a=6.

2.（呜

⑵遥+g

【分析】（1）由正弦定理结合两角差的余弦展开式化简后再利用特殊角的正切值求出即可;

（2）由正弦定理和余弦定理结合题意求解即可；

答案第1页，共15页

【详解】(1)在VASC中，由正弦定理旦=上-得asinB=》sinA,

sinAsinB

又因为〃sin5=/?cos|A--^-j,所以加inA=bcos[A--^-j,

所以sinA=cos(A-C)=^^cosA+^sinA,

\6)22

化简得tanA=G，又因为A«0,7i),所以A=g.

(2)在VA2C中，由正弦定理旦=上=工得，b=2sinB,c=2sinC,

sinAsinBsmC

因为sinBsinC=！，所以6c=1,

4

在VABC中，由余弦定理得/=》2+c?-26ccosA,即3=8?+c?-2xlxL

2

所以〃=4,所以S+c)2=〃+/+26c=4+2=6,

所以b+c=后，所以VABC周长为n+6.

⑵

【分析】(1)利用二倍角公式以及正弦定理即可求得结果.

(2)利用同角三角函数的平方关系先求出sinA的值，再正弦定理即可求得sinC,

进而求得cosC,sin8,利用三角形的面积公式即可求的结果.

【详解】(1)因为C=2A,所以sinC=sin2A=2sinAcosA,

sinC,在VABC中，由正弦定理得任CAB

所以cosA=

2sinAsinABC

.…sinC3

而AB=6,BC=5,所以cosA4=--------=一

2sinA5

因为A«O,71),所以sinA=J?-cos2A4

5

9

(2)在VABC中，因为cosA=一

16

由正弦定理得当AB所以sinC=~^sinA=9x9近=>不,

sinABCBC5168

因为VABC为锐角三角形，所以cosC=Jl-side

8

答案第2页，共15页

所以sinb=sin[兀一(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC

所以VABC的面积SM”=-xABxBCxsinB=-x6x5x^=—77.

△ABC2244

4.

(2)8A/3

【分析】（1）在△他）中利用余弦定理得到AB,然后利用三角形面积公式计算;

（2）利用面积相等的思路得到1=3+2,然后利用基本不等式求最值即可.

ac

【详解】（1）

B

ADC

由NABC=150°,BD±BC,可得NAFD=60°.

在△ABD中，由余弦定理得Ab2+3r>2—2A8-BDcosNASD=AC>2,gpAB2+1-AB=1,可

得AB=3.

^S..Kn=-BD-ABsinZABD=-xlx3x^-=^~.

Bo2224

ABC

(2)S«=S4Ag0+S4CD,

—acsinB=-c-BDsinZABD+—a-BDsinZCBD,：,—acx—=-cxlx—+—axlxl,

22222222

:.ac=y/3c+2a，

2a+^c=(2a+V3c)[—+-^=2>/3+—+—+2^>4^+2.^^=873,

acJcaVca

当且仅当出=主，即c=4,0=26时，等号成立.

ca

故2a+&的最小值为8省.

5.（1）证明见解析

⑵2为定值.

【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理的边角变换即可得证;

答案第3页，共15页

(2)利用诱导公式与余弦定理，结合(1)中结论化得|CD|=b+2,从而得解.

【详解】(1)因为si」3+sinC=2sinAcos3,

由正弦定理可得b+c=2〃cosB,

再由余弦定得得b+c=2。•"'一",整理得a』=bc.

lac

(2)因为ZABCNCBD互补，所以cosZABC+cosNC5D=0,

n24-r2-h2,a2+\BD2-\CD^

结合余弦定理可得.=0，

2a-BD\

因为c=|AB|=3,忸£>|=1,则/+9—犷+〃+]一|叫=。,

31

整理得4〃_〃+i2_3|8「=0,又4=k+儿=廿+36，

贝I]|C£>『=|a2+4=|(Z?2+3b)-^b2+4=b2+46+4=(6+2?,

从而1cqs+2,故|CD|-|/=2为定值.

6.(1)AZ>=2A/3

⑵£

【分析】(1)由工WC=£A即+其48,结合面积公式即可得出答案；

(2)由余弦定理和角平分线定理可得BD=26,Z>C=g,即可求出NC=],△PCD为等

边三角形，再由余弦定理和同角三角函数的基本关系即可得答案.

【详解】(1)因为AD为ZA4C的平分线，所以/B4D=NC4D=30。，

所以SAABC=SAABD+S^ACD,

所以LAB-ACsin/BAC」皿AC-sin/CW+LAB.AD-sin/R4。，

222

所以工x6x3x^^=LA»3XL+L6•?1£)-L即9A/^=2A£),

2222222

可得：AD=2日

(2)由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2-2AB-AC-cos60°,

所以BC2=36+9-2x6x3x^=27,所以BC=3g,

2

由角平分线定理可得：黑=器*=2,又因为BC=3A/L

答案第4页，共15页

所以BD=25DC=m,又因为AC=3,AD=2^3,

TTTT

所以。。2+4。2=4。2,所以NC=5，/ADC=§,

TT

又因为△PCD为等腰三角形，ZADC=-,所以△PCD为等边三角形，

所以=则尸为4。的中点，在△3。尸中，

由余弦定理可得2尸=2。2+尸。2-28»尸》85120。=12+3-2-2道―61-3

=15+6=21,所以旅=回

所以，在44B尸中，

BP、AB2-AP221+36-3549>/21

由余弦定理可得cosZABP=

2ABBP2-V21-6-12亚42

因为NABPe所以sinZABP=V1-COS2ZABP=—,

14

sin/ABP

所以tan/ABP=

cosNABP9

7.(1)A=?或A=B；

o2

(2)2+后+30.

【分析】⑴应用辅助角公式得出5中+野=曰再结合角的范围求角；

（2）根据正弦定理和三角形内角和化简得出1_&COSB=0即可求角，最后应用正弦定理角

化边得出周长即可.

【详解】（1）依题意，6sinA+cosA=2sin（A+:|=6,

所以sin〔A+胃=手，

因为4«0,兀），所以4+3=冷或4+?==,所以4或A=g.

''636362

答案第5页，共15页

(2)由csinB+A/^bsinCcos(A+C)=0,

根据正弦定理和三角形内角和定理可得sinCsinB-V2sinBsinCcosB=0，

又sinCsinBwO,所以1一J5cos5=0，即cosB='，

又5£（0,兀），所以3=巳，

71

在VABC中，因为sinAvsinB,则A<3,所以A=,，

77t.e.7兀.(兀兀)V2+V6

所以c*冷=——,sine=sin——=sin—+—=

1212143J4

a_2\/2_c

根据正弦定理可得三=占c

即.兀.71.7兀,

sinAsmBsinCsin-sm—sin——

6412

所以a=2,c=A/6+5/2，

所以VABC的周长为2+指+3后.

【分析】（1）利用给定条件结合余弦定理求解角度即可.

（2）利用正弦定理边化角，再结合三角形周长公式将目标式用三角函数表示，利用三角函

数的性质求解取值范围即可.

【详解】（1）在锐角VABC中，因为sinAfinC=^^,

sinCc2

所以由正弦定理得@三=匚故c2（a-c）=c（4-b2）,

CC

得到c（a-。）=/一〃，化为加一c1=a2-b29

n24-r2-h2

故得比=〃+，—廿，化简得q+.一"=i,

ac

〃2q2_序i

+c-b

即0n----------由余弦定理得cos2==-

lac22ac2

TTTT

因为Be(0,5),所以B=

a_c_2_46

(2)因为b=2,由正弦定理得sinA-sinC一,一万~

2

答案第6页，共15页

所以Q=t8sinA,c=g8sinC,且设VABC周长为/,

33

而卜[7cc4^/3.4A/3.c4-\/3.45/3.2JI

Bn以/=2+〃+C=2H-------sinAH-------sinC=2H-------sinAH--------sin(------A),

33333

c卷.人41・八c46.人c人26.人

=2H-------sinAd-------(——cosA+—sinA)=2+------sinA+2cosAH-------sinA，

332233

=2+2A/3sinA+2COSA=2+4sin(A+—),

6

因为在锐角VABC中，所以Ae(0，m),Ce(0,]),

所以今一Ae(0,g),解得Ae([§),

32o3

综上可得Ae吟,1),所以A+JeG，§),

62633

71

故sin(A+?e,1,贝|4sin(A+*e(2万,4],

得至lj4sin(A+^)+2e(273+2,6],即/e(2出+2,61，

故VABC周长的取值范围为(26+2,6]

9.呜

⑵出

【分析】(1)根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，求得道sinA-cosA=l,进而

得到sin(Aj)=:，即可求得A的值；

o2

(2)根据题意，得到6+c=6,再由(1)和余弦定理，求得税=4,结合三角形的面积公

式，即可求解.

【详解】(1)解：因为2〃sin[c+j=Z?+c,可得G〃sinC+〃cosC=Z?+c,

由正弦定理得\/3sinAsinC+sinAcosC=sinB+sinC，

又因为3=TI-(A+C),可得sin5=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以百sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinC，

BP6sinAsinC=cosAsinC+sinC，

因为CE(0,兀)，可得sinC>0,所以0sinA=cosA+l,即^^sinA-cosA=1,

答案第7页，共15页

可得百sinA-cosA=2sin(A-工)=1,即sin(A--)=—,

662

因为A£(0,7i),所以A—£=解得A=?.

oo3

(2)解：因为〃=2斯,△ABC的周长为6+2",可得。+c=6,

TT

由(1)知A=§,由余弦定理得/=/+C2—20CCOSA,

可得(246)2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=62-3bc,解得bc=4,

所以VABC的面积为S=—/?csinA=—x4xsin—=A/3.

223

10.wAC=)8sin^6»-^+y

⑵存在，cos0=-1,AC的最大值为空

23

【分析】(l)根据余弦定理求得AC关于。的表达式.

(2)根据三角函数的最值等知识求得正确答案.

【详解】(1)设=在三角形88中,

2BD.2sin0

由正弦定理得,sma=-----

sinasin6BD

由余弦定理得B£>2=4+9—2x2x3xcos6=13-12cose,

在中，ZBAD=-,所以AD=@8。,

33

在三角形ACD中,

、2昱

由余弦定理得ACBD-2x3xBDxcos—+a

3(2

AC=J9+；BO?+2抬•BDxsina

'9+^BD2+2s/3-BD2sin。

x--------

BD

'4V3sin6>+9+1BZ)2=J4>/3sin6>+9+1(13-12cos6>)

百sin。-4cos6+.=We」71+竺.

63

(2)存在，理由如下:

由(1)Issinp-^j+y

答案第8页，共15页

所以当。-弓0=1时，AC取得最大值为,8+9=手,

此时cos。二一

2

11.(1)证明见解析；

(2)a=b=2.

【分析】(1)由正弦定理可得"+〃<，，再由余弦定理即可证明；

(2)由三角形的面积公式可得次;=4，再由余弦定理可得9=/+〃+i,解方程即可求出a,b.

【详解】(1)证明:因为siYA+si/^vsir?。，+b2<c2,

〃2工人22

所以cosC=^—-——<0,所以C为钝角，故VA3C为钝角三角形.

lab

(2)解：因为VA6C的面积S=，〃/?sinC=!次?=土夕，

2284

所以必=4.

由(1)矢口cosC<0,所以cosC=—

8

由余弦定理/=a2+b2-2abcosC,得9=4+02+1,

结合"=4,角军得a=6=2.

12.(1)〃=4不

Q

(2)AD=-,AE=2^[3

【分析】(1)根据余弦定理即可求解,

27r2

(2)根据余弦定理可得A=与~,进而根据等面积法即可求解AO=1，利用向量的模长公

式即可求解AE=20.

【详解】(1)由余弦定理可得/=4+/—2〃ccosB=>64="+16—，

7

进而可得/-坦立a-48=0,解得a=4夕或a=-"立(舍去)，

77

(2)由余弦定理可得+--片_16+64-(4近)-1,

2bc2x4x82

27r

由于Ae(O,兀)，4=可

由题意知，设/BAD=NC4D=cr,则NBAC=2c=4，贝!Isin2a=sina=,

32

如图所示，

答案第9页，共15页

x

由S&ABD+5必加-S/Be—4x8sin2cif=­x4xADsin6r+—x8xADsintr,

Q

所以4x8=4xAD+8xAD,解得AZ)=§,

由4E是BC边上的中线，得荏=；(通+/)

AE2=1(AB+AC)2

=：(AB+AC+2AB.AC1)=；仅*+c，+26ccos2a)=；(/+c?—

=1(82+42-8X4)=12.

所以，中线长A石=20.

13.(1泮

o

(2)4A/129

【分析】（1）由正弦定理得a:b:c=3:5』：Vi前，设a=3x,b=s+x,c=J129x,x>0,进

而结合余弦定理即可求解；

（2）结合题意，由三角形的面积公式可得岫=606，进而（1）所设，求出c=2同，进

而结合正弦定理求解即可.

【详解】（1）因为5111A:sin8:sinC=3:5石:,

由正弦定理得，a:b:c=3;5^：s/l29,

不妨设a=3x,b=5至ix,c=J129x,尤>0,

2h2-r19r2+75r2-129x2拒

则由余弦定理得，cosC="a+"=",尸=*,

2ab23x502

S7T

又C«0,7T),贝lJC==.

(2)设VABC外接圆的半径为R,

答案第10页，共15页

由题意，SVABC=5。从111。=5。/?・5=15BPab=60A/3,

由(1)知，设〃=3x,4=5指羽c=J129x,x>0,

则ah=3x・5百%=606，解得％=2,

皿1.r—r：27?=—^―==4A/129

则c=2，129,所S以r(sinC1，

2

则VABC外接圆的直径为47129.

14.(1)3夜

⑵呼,2百)

7T

【分析】(I)由正弦定理边角互换，代入已知条件，可以求得c=q,再结合余弦定理和基

本不等式即可求得最值；

(2)通过等面积法，用两种方法表示三角形的面积即可求得三边之间的关系，用正弦定理

将边化为角，用辅助角公式化简，借助角的范围来求得最值.

【详解】(1)由2s[/+黑]=(/+〃卜inA和正弦定理，三角形面积公式得，

ftcsinA(—4—)=(4+/?2卜inA,因sinA>0,故得，c2+ab=a2+b29

由余弦定理，COSC=H¥Y=处=1,因Ce(0,7t),则C=W；♦

lablab23

由余弦定理，a2+b2-2abcosC=c2，a2+b2-ab=2,

整理得，(。+力2=2+3岫42+3(*)2,当且仅当a=6时等号成立，即(a+力2<8,

于是，O<a+b420，即当a=6=亚时，VABC周长的最大值为30;

(2)由S.MC=gc"=；"sinC可得，4c=43ab

a_b_c_y/3ab_ab??

由正弦TH理'sinAsin8sinCJ3即得，b=--,a=~~,•

4xJsinAsmB

2

c_1-「_1____2_______2____百__________G

则"一22一2%屋sinC2%村吟-A)

_______________________________________________4g

sin4(^cosA+gsinA)/sin2A+：(1—cos2A)2sin(2A—6)+1'

答案第11页，共15页

C4兀

0<A<—

由VABC为锐角三角形可得，.2,解得1<A<~

八2兀，兀62

0<------A<—

［32

则［。人-夫笠由正弦函数的图象知，1<sin(2A-J)<l,故得生叵小谢“百，

即VABC面积的取值范围为［半,2道).

15.(1)直角三角形或等腰三角形

⑵①46一6;②成立，cos(9=1,左=勺2

【分析】(1)利用三角形的内角和定理和诱导公式将sinA化为sin(C+B),再利用两角和差

公式和二倍角公式进行化简可得cos3(sinC-sinB)=0,进而可得结果；

TT

(2)①设NC8Q=e,ae0,—,

方法一：在△CBQ中利用正弦定理求出8Q,P。，再利用三角形的面积公式和三角函数的性

质进行求解；

方法二:在AABP中,利用正弦定理求出8。,PQ,再利用三角形的面积公式和三角函数的

性质进行求解；

方法三:在△C3Q中,利用正弦定理求出8Q,P。，再利用三角形的面积公式和三角函数的

性质进行求解；

2cos(a+4)-3左=0

②假设存在常数。和％,利用三角恒等变形得到恒等式，将其转化为卜［i〕3sin(；+q)］=0

进行求解.

【详解】(1)在VABC中，因为A+B+C=TI,且sinA+sin(C-3)=sin23,

所以sin(C+3)+sin(C-3)=sin23,

即2sinCeosB=2sinBcosB,cossinC-sinB)=0,

所以cos3=0或者sinC=sin8.

当cos3=0时，所以3=90。，VABC为直角三角形；

当sinC=sin3时，所以VABC为等腰三角形.

综上所述，VABC为直角三角形或等腰三角形.

答案第12页，共15页

(2)①因为cw〃，所以5=3，又A=g，a=2g,所以。=2,b=4.

八兀

如图，设NC5Q=a,a£0,—,

BQ_BC

•兀.兀

sin—sin一+a

66

所以叱6

sina+工

I6

BQ

在V8PQ中，由正弦定理,得.(71

sina+—

I3

BQ73

所以吟

71

2sin[a+g2sina+—sina+—

63

.11.

sina+—cos。-sina+——cosa

222

7

_6_2小

c.y/32sin2cr+^3•

2smacosad-----

2

TT9jr

因为a©0,j,所以2aw0,丁，

故当2a=],即&=:时，Pemin=2^3(2-V3)=4V3-6.

BP_AB73

方法二：在中，由正弦定理，得二777^斗，所以■。二