三角函数压轴小题十五大题型（学生版）-2024年高考数学重难点题型突破

重难点专题21三角函数压轴小题十五大题型汇总

题型1新文化问题....................................................................1

题型2新定义问题....................................................................3

题型3黄金分割相关问题.............................................................4

题型4扇形相关问题.................................................................6

题型5三角函数公式相关问题........................................................9

题型6三角函数性质问题............................................................10

题型7识图问题.....................................................................11

题型8凑角求值问题................................................................14

题型9最值相关问题................................................................15

题型103相关问题.................................................................16

题型11⑴相关问题..................................................................17

题型12实际应用问题...............................................................18

题型13恒成立问题.................................................................20

题型14零点相关问题...............................................................22

题型15与数列相关问题.............................................................23

题型1新文化问题

【例题1】（2023秋•江苏苏州•高三统考开学考试）我国人脸识别技术处于世界领先地位.所

谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.

假设二维空间中有两个点4（肛％）,BQ2,及），O为坐标原点，余弦相似度为向量雨，而夹

角的余弦值,记作cos（4B）,余弦距离为1-cos（A,B）.已知P（cosa,sina）,Q（cos/7,si呼）,R

（cosa,-sina）,若P,Q的余弦距离为tana♦tan”,则Q,R的余弦距离为（）

A.-2RD--3CJ-4D-7

【变式1-1]1.（2023•全国•高三专题练习）法国著名军事家拿破仑•波拿巴最早提出的一

个几何定理："以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形

的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”.如图，在AABC中，内角A,B,C的对边分别为

a,b,c,且10（sin等）=7-COS2A以4B,BC/C为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心

依次为。1,。2，。3.则角4=

【变式1-1】2.（2023•全国•镇海中学校联考模拟预测）天文学家、数学家梅文鼎，为清代

"历算第一名家"和"开山之祖"，在其著作《平三角举要》中给出了利用三角形的外接圆

证明正弦定理的方法.如图所示，在梅文鼎证明正弦定理时的构图中，。为锐角三角形4BC外

接圆的圆心.若sinzB4C=孚，则COS2NOBC=（）

A.乎B.一举C.|D.

【变式1-1】3.（2023春•河北石家庄•高三校联考阶段练习）古希腊毕达哥拉斯学派在公元

前6世纪研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618,这一数值也可

以表示为a=2cos72°,则弋詈'=.

【变式1-1】4.（2023•浙江•校联考二模）数学里有一种证明方法叫做

Proofwithoutwords,也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的

数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条

理.如下图，点c为半圆。上一点，CHLAB,垂足为记=贝由tan乙=器可

以直接证明的三角函数公式是（）

c

AOHB

A.tan|=-^-B.tan|=-f^-

21-cos^21+cos^

+“61-COS。cl+cos。

rUtan二高厂D.tan-=-^

【变式1-1]5.（2023•江苏南京・南京航空航天大学附属高级中学校考模拟预测）我国古代

数学家僧一行应用"九服号影算法”在《大衍历》中建立了暑影长I与太阳天顶距。

（0。<8<90。）的对应数表，这是世界数学史上最早的一整正切函数表.根据三角学知识可

知，暑影长度I等于表高h与太阳天顶距。正切值的乘积，即1=htan8,对同一"表高"两

次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为a、S,若第一次的"号影长"是"表高"的3

倍，且tan（a—0）=2则第二次"号影长"是"表高"的（）倍.

A.1B.|C.|D.\

【变式1-1】6.（2022秋•安徽合肥・高三校考期中）数学必修二101页介绍了海伦-秦九韶

公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边

长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高

的数学水平，其求法是："以小斜幕并大斜幕减中斜幕，余半之，自乘于上.以小斜幕乘大

斜幕减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积若把以上这段文字写成公式，即5=

J强2c2_（七）],其中口、b、c分别为△48C内角4B、C的对边.若嘿詈=熹,

b=2,则△ABC面积S的最大值为（）

A.V3B.V5C.2D.V2

题型2新定义问题

【例题2】（2023•湖南长沙•长沙市实验中学校考二模）正割（Secant）及余割

（Cosecant）这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔・威发首先引入，sec,esc这两

个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行.在三角中，

定义正割seca=熹，余割csca=^.则函娄好(x)=去++的值域为()

A.[—1,1]B.[—

C.[-2,2]D.[-V2,-1)U(-1,1)U(1,V2]

【变式2-1】1.(多选)(2023・安徽安庆・安庆一中校考模拟预测)正割(Secant)及余割

(Cosecant)这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔•威发首先引入，sec,esc这两个

符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行.在三角中，定

1111

义正割seca=z羲，余割csca=/G已知函数f(w=超+去，给出下列说法正确的是

()

A.f(x)的定义域为｛x|x丰knkeZ｝；

B./(x)的最小正周期为2n；

C.f(x)的值域为[-V2,-1)U(-1,1)U(1,V2]；

D./(x)图象的对称轴为直线x=-£+kir(kez).

【变式2-1】2.(2023・全国•高三专题练习)一般地，存在一个几次多项式〃(久)，使得cos九久=

Tn(cosx),这些多项式Tn(X)称为切比雪夫多项式.由cos2久=2cos2久一1,知RO)=2久2

-1,通过运算，可以得到cos3x的切比雪夫多项式三(久)=—,结合上述知识计算cos

36°=.

题型3黄金分割相关问题

【例题3】(2022・贵州安顺•统考模拟预测)黄金分割点是指将一条线段分为两部分，使得

较长部分与整体线段的长的比值为亨的点.利用线段上的两个黄金分割点可以作出正五角

星，如图所示，已知C,D为AB的两个黄金分割点，研究发现如下规律：器=笔=穿=

亨.若等腰ACDE的顶角=则cose=()

E

A店TB无+1C3yD3+标

,4488

【变式3-1】1.（2023•江西•校联考二模）被誉为"中国现代数学之父”的著名数学家华罗

庚先生于1946年9月应普林斯顿大学邀请去美国讲学,之后又被美国伊利诺依大学聘为终

身教授.新中国成立的消息使华罗庚兴奋不已，他放弃了在美国的优厚待遇，克服重重困难,

终于回到祖国怀抱，投身到我国数学科学研究事业中去.这种赤子情怀，使许多年轻人受到

感染、受到激励，其中他倡导的"0618优选法"在生产和科研实践中得到了非常广泛的应

用，0.618就是黄金分割比匕=亨的近似值，黄金分割比还可以表示成2sinl8。，则

A.-4B.4C.-2D.2

【变式3-1】2.（2023・全国•高三专题练习）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研

究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割均为0.618,这一数值也可以表示为

4=2sinl8。，则-siL+z=（）

7

‘人」cosl2°'

A.1B.1C.辛D.苧

【变式3-1】3.（2023・全国•高三专题练习）黄金分割比例广泛存在于许多艺术作品中.在

三角形中，底与腰之比为黄金分割比的三角形被称作黄金三角形，被认为是最美的三角形,

它是两底角为72。的等腰三角形.达・芬奇的名作《蒙娜丽莎》中，在整个画面里形成了一

个黄金三角形.如图，在黄金三角形力BC中，第=亨，根据这些信息，可得sin540=

A2V5-lg逐+1

•4°4

Cy^+4DV5+3

88

【变式3-1】4.（2023・辽宁・大连二十四中校联考三模）随着智能手机的普及，手机摄影越

来越得到人们的喜爰，要得到美观的照片，构图是很重要的，用"黄金分割构图法”可以让

照片感觉更自然.更舒适，"黄金九宫格"是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横竖各

分三部分，以比例1：0.618:1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点.如图，分别用4BCD

表示黄金分割点.若照片长、宽比例为4:3,设NC4B=a,贝篱—tana=（）

sin4vt

DC

AB

题型4扇形相关问题

【例题4】（2023秋・贵州•高三统考开学考试）已知"水滴"的表面是一个由圆锥的侧面和

部分球面（常称为"球冠"）所围成的几何体.如图所示，将"水滴"的轴截面看成由线段

AB,AC和优弧BC所围成的平面图形，其中点B,C所在直线与水平面平行，AB和AC与

圆弧相切.已知"水滴"的"竖直高度"与"水平宽度"（"水平宽度”指的是平行于水平

面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为£则sinNBAC=（）

【变式4-1】1.（多选）（2023•全国•高三专题练习）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，

其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰："开合清风纸半张,

随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为图2的扇形COD,

其中NCOD=誓，OC=3OA=3,动点P在而上（含端点），连接。P交扇形04B的弧而于点

Q,且丽=久玩+y而，则下列说法正确的是（）

C.PA-~PB>^D.AB-PQ>-2

【变式4-1]2.（2023春•广东深圳•高三校考阶段练习）以乙4cB的顶点C为圆心作圆交角

的两边于A,B两点；取线段4B三等分点O,D;以B为焦点，A,D为顶点作双曲线，与

圆弧4B交于点E,连接CE,则“CB=3NBCE若图中CE交4B于点P,SAP=6PB,贝t|cos

^ACP=

【变式4-1】3.（2023•河南焦作•统考模拟预测）如图，已知P,Q分别为乙4OB两边上的点,

乙4OB=*PQ=3,过点P,Q作圆弧，R为所的中点，且NPQR=飘］线段OR长度的最大

【变式4-1】4.（2022・全国•高三专题练习）为创建全国文明城市，上饶市政府决定对某小

区内一个近似半圆形场地进行改造，场地如图，以。为圆心，半径为一个单位，现规划出

以下三块场地，在扇形AOC区域铺设草坪，△OCD区域种花，△OBD区域养殖观赏鱼，

若乙4OC=NCOD,且使这三块场地面积之和最大，则cos乙40C=.

【变式4-1】5.（2022・湖北・恩施市第一中学校联考模拟预测）共和国勋章，是中华人民共

和国最高荣誉勋章，授予在中国特色社会主义建设和保卫国家中作出巨大贡献、建立卓越功

勋的杰出人士.2020年8月11日，国家主席习近平签署主席令，授予钟南山"共和国勋章”.

某市为表彰在抗疫中表现突出的个人，制作的荣誉勋章的挂坠结构示意图如图，O为图中

两个同心圆的圆心，三角形ABC中，AB=AC,大圆半径。力=2,小圆半径。B=OC=1,

记S为三角形OAB与三角形OAC的面积之和股阴影部分的面积为S,当S，-S取得最大值

时cosNBOC=

挂电结构示意图

题型5三角函数公式相关问题

【例题5】（2023秋•江苏南京•高三统考阶段练习）已知aG（o,n）,且3tana=10cos2a,则

cosa可能为（）

A_VwR_V5rVwnV5

A.10D.5J105

【变式5-1】1.（2023・全国•高三专题练习）已知0<a<S<2肛函数f（久）=5sin（x―2,

若f（a）=f（S）=1,贝!|cos（S一a）=（）

A.||B.-||C.|D.

【变式5-1】2.（2023・全国•高三专题练习）已知锐角三角形ABC的内角A,B,C所对的

7—

边分别是a,b,c,S,A>B,若sinC=2cos4sinB+元，则tanB的取值范围为.

【变式5-1】3.（2023秋•黑龙江七台河・高三勃利县高级中学校考阶段练习）在“BC中,

已知sin4sinBsin（C-。）=Asin2C,其中tan。=|（0<6<%若高+熹+黑为定值，则实

数2=-

【变式5-1】4.（2023•全国•高三专题练习）在直角坐标系中，△ABC的顶点4（cosa,sin

a）,B（cos£,sin0）,C（竽,2鱼），且△ABC的重心G的坐标为（竽，伪，cos（a—0）=

【变式5-1】5.（2022・全国•高三专题练习）已知点G是△ABC的重心,S.GA1GC,若

高+高=1，则tanB的值为

【变式5-1】6.（2021秋•四川成都•高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）在

△4BC中，已知sin4sinBsin(C-8)=asi/C,其中tane="|(其中若益+]

tanB

+高为定值，则实数4的值是（）

A.嚼B.普C.国D.奈

题型6三角函数性质问题

【例题6】（多选）（2023•全国•高三专题练习）（多选题）设函数f（x）=cos（（3“一,）+学

3>0）,若f（x）的图象与直线y=-1在［0,2汨上有且仅有1个交点，则下列说法正确的是

（）

A.3的取值范围是黑第

B.人久）在［0,2汨上有且仅有2个零点

C.若f（x）的图象向右平移打单位长度后关于y轴对称，则3，

D.若将/⑶图象上各点的横坐标变为原来的，得到函数g㈤的图象，则9（久）在［o用上单

调递增

【变式6-1】1.（多选）（2023秋河南郑州•高三郑州外国语学校校考阶段练习）设函数”久）

的定义域为R,f（x一3为奇函数，f（x+当为偶函数,当久e［—瑞］时，f（x）=cosx,则下

列结论正确的是（）

A./（争=4B./（X）在（3TT,4TT）上为减函数

C.点（手,0）是函数f（x）的一个对称中心D.方程/⑶-lgx=o仅有3个实数解

【变式6-1】2.（多选）（2023•全国•高三专题练习）关于函数f（x）=2sin2%-3sin|x|

+1,以下说法正确的有（）

A.f（x）是偶函数

B./（X）在区间（―?0）上单调递增

C.f（X）在［—Bn］上有4个零点

D.久久）的值域是［―5,6］

【变式6-1］3.（2023秋•黑龙江鹤岗•高三鹤岗一中校考开学考试）已知函数/⑶=爪2cos

X—爪-2，+1的图象和函数9（吗=泰—3的图象有唯一交点，则实数m的值为（）

A.1B.3C.—1或3D.1或3

【变式6-1】4.（2023秋・河南信阳•高三信阳高中校考阶段练习）已知函数了（久）=sin（cos

x）+cos（sinx）,则下列结论错误的是（）

A.VxeR,/（x—2TT）=f（x）

B.V%G[0,n],/（x+n）>0

C.”久）是奇函数

D./（久）的最大值大于迎

【变式6-1】5.（2023秋・河南•高三校联考开学考试）已知函数fO）=cos（3x+s）,36

N+,（pe[o,n],在xe（一等，乎内恰有两个极值点，目/（-书+/停）=o,则租的所有可

能取值构成的集合是.

【变式6-1】6.（2023秋•北京•高三北京市陈经纶中学校考开学考试）已知函数f（久）=2sin

（3X+9）+1（3>0,|租|<勺，满足/'（久）+/（-羡一%）=2,且对任意都有/

（-/，当3取最小值时，则下列正确的是.

①/⑶图像的对称轴方程为X="+ez

②f（x）在[—工，品上的值域为[2,3]

③将函数y=2sin（2x-》+1的图象向左平移段个单位长度得到函数f（久）的图象

④/⑶在已同上单调递减.

题型7识图问题

困难的是求待定系数3和0,常用如下两种方法：

（1）由3=年即可求出3；确定9时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的"零点"

横坐标久0,贝！］令3久0+0=。（或3*（）+0=兀），即可求出

（2）代入点的坐标，利用一些已知点（最高点、最低点或"零点"）坐标代入解析式，再结合图

形解出3和租，若对4,3的符号或对9的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

【例题7】（2023•北京•高三专题练习）已知函数/⑺=Asin（jx+@）（4>0,0<⑴<#的部

分图象如图1所示，4B分别为图象的最高点和最低点，过4作久轴的垂线，交x轴于4,点C

为该部分图象与久轴的交点.将绘有该图象的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时

\AB\=V10,贝IU-

给出下列四个结论:

_TT

①0=3

②图2中，AB-AC=S;

③图2中，过线段AB的中点且与4B垂直的平面与x轴交于点C;

④图2中，S是△，员?及其内部的点构成的集合.设集合7={（?65||4（2|<2},贝叶表示的区

域的面积大开.

其中所有正确结论的序号是—.

【变式7-1】1.（2021秋•重庆铜梁・高三铜梁一中阶段练习）已知函数/（x）=2sin

（3%+0）（3>o）,xe［一嗫篇的图像如图，若/'OD=/（x2）,且丰久2,贝！JfQi+x2）的值

为（）

A.V3B.V2C.1D.0

【变式7-1】2.（2022・全国•高三专题练习）如图，点P（-2,砌和点Q（l,6）分别是函数

/（久）=4sin（3x+0）cos（3久+0）（4>0,a>>0,0<0<9图像上的最低点和最高点，若P、

Q两点间的距离为5,则关于函数9（久）=4cos（a）x-20）的说法正确的是（）

A.在区间［-4,2］上单调递增B.在区间［0,6］上单调递减

C.在区间［1,7］上单调递减D.在区间［4,10］上单调递增

【变式7-1】3.（2020•全国•高三专题练习）如图，函数/（%）=4sin（3x+（p）（其中

2>0,3>0,\<p\<^与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P（2,0）,乙PQR=1M为QR的

中点，PM=2V5,贝必的值为（）

A.^\/3B.1V3C.8D.16

【变式7-1】4.（2022•浙江•高三专题练习）如图，直线与单位圆相切于点0,射线OP

从。4出发，绕着点。逆时针旋转，在旋转分入过程中，记乙40P=穴0<%<兀），0P经过的

单位圆。内区域（阴影部分）的面积为S,记S=f（久），对函数人吗有如下四个判断：

①当久=苧时，5=5+1；

②久6（0"）时，/（久）为减函数;

③对任意％e（o,乡,都有府―久）+府+x）=*

④对任意Xe（o,9,都有f弓+X）=/（幻+7

其中判断正确的序号是

题型8凑角求值问题

三角函数求值的类型及方法

（1）"给角求值"：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊

角总有一定关系.解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角

函数.

(2)"给值求值"：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在

于"变角"，使其角相同或具有某种关系.

(3)"给值求角"：实质上也转化为"给值求值"，关键也是变角，把所求角用含已知角的

式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围.

【例题8】(2020・全国•高三专题练习)若ae[0,兀],06[—5力,4eR,且a3—cosa—22=0,

('—2£)—2sin0cos/?—22=0,若cosa=|,贝[jtan。=()

A.1B.|C.V3D.3

【变式8-1]1.(2023•江苏徐州•校考模拟预测)已知sin(2a—卷=乎，则tan(a+f)tan(a+

卷=■

【变式8-1】2.(2022•全国•高三专题练习)已知点P(0,zn)是y轴上到2(1,1),B(2,4)距离和

最小的点，且COS(a—今=3贝Usin(2a—)的值为(用数据作答).

【变式8-1】3.(2023•全国•高三专题练习)已知cos(2a—9=]tanotan(a-0=p,

则正常数p的值为.

【变式8-1】4.(2020•全国•高三专题练习)已知8cos(2a+£)+5cos£=0,且cos(a+£)

cosa丰0,则tan(a+£)tana=.

题型9最值相关问题

【例题9】(2022秋•山东青岛•高三校考阶段练习)在&ABC中，C=90°,若x£R,则f(x)

=sin(x+A)+sin(x+B)的最大值为()

A.V2B.1C.2D.?

【变式9-1】1.(2022秋•江苏常州•高三校考开学考试)已知出y是互不相同的锐角，贝U

__1

在sinacosS，sin£cosy,sinycosa三个值中，大于^的个数的最大值是()

A.0B.1C.2D.3

【变式9-1】2.（2022秋・山东青岛•高三统考期中）已知则七+嘉一2亚an

。的最小值为（）

A.8B.12-2V2C.6D.5

【变式9-1】3.（2020・全国•高三专题练习）如图，在半径为1的扇形AOB中（O为原

点），4（1,0）,乙4OB=会点P（x,y）是4B上任意一点，则xy+x+y的最大值为（）

A.乎―羡B.1C.乎+：D.V2+1

42422

【变式9-1】4.（2023・全国•高三专题练习）△/BC中，角A,B,C满足cos2A—cos2B=2

sinC（sinB-sinC）,则百焉+焉的最小值为

【变式9-1】5.（2023秋・重庆・高三重庆一中校考开学考试）在△力BC中，若sinA=2cosB

cose,则COS2B+cos2c的最大值为.

【变式9-1]6.（2022秋・河北•高三校联考阶段练习）定义在R上的函娄好（%）单调递减，

且满足/（1-尤）+/（1+*）=0,对于任意的a,满足/'（acosa）+/（6sina）20恒成立，贝!|a+6的

最大值为.

题型1。3相关问题

【例题10]（2022秋福建龙岩•高三福建省龙岩第一中学校考阶段练习）已知函数/⑺=Sin

5+aCOS3x（a>0,3>0）图像的两条相邻对称轴之间的距离小于8。=V3,且/'（x）<f

七），则3的最小值为.

【变式10-1】1.（多选）（2023•河北秦皇岛•校联考二模）已知函数f（久）=sin（wx+0）®>0）

是在区间得,给上的单调减函数，其图象关于直线3-2对称，且启1）+虑）=0,则3

的值可以是（）

A.4B.12C.2D.8

【变式10-1】2.（2023福建泉州•统考模拟预测）已知函数/⑶=2sin（3x-乎+鱼（3>0）

在[0,2]内有且仅有3个零点，则3的值可以是（）

A.3B.5C.7D.9

【变式10-1】3.（2023•河北唐山•模拟预测）已知4B,C为/0）=sins与g（%）=coss的

交点，若△力BC为等边三角形，则正数3的最小值为.

【变式10-D4.（2023秋•安徽•高三宿城一中校联考阶段练习）已知函数/⑶=3sin（3久-n

（3>0）,当久时，函数/（久）的最大值为皿则满足条件的s的个数为.

题型11@相关问题

【例题11】（2023•全国•高三专题练习）已知/（x）=sin比cosx+Kcos2%,若对任意实数x

都有f（x）=4sin（s+0）+^,其中2,36R,旌[0即），贝切的所有可能的取值有（）

A.2个B.4个C.6个D.8个

【变式11-U1,（2023•内蒙古赤峰•校联考一模）在函娄好（久）=sin（2x-3）@>0）图象与

x轴的所有交点中，点停,0）离原点最近，贝加可以等于（写出一个值即可）.

【变式11-D2.（2022秋・上海徐汇•高三上海市南洋模范中学校考期中）将函数f（久）=2sin

2%的图象向右平移卬（0<9<兀）个单位后得到函数。（久）的图象，若对满足If（巧）（久2

）1=4的/、%2,有|当一切的最小值为力贝％=-

【变式11-U3.（2022・安徽•南陵中学校联考模拟预测）将函数f㈤=2sinx-1的图象上

所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，再向下平移1个单位长度，最后向左平移>0）个

单位长度，得到函数9。）的图象.若对任意久1e[0,引,都存在外e[―,0],使得八应）=g（久2）,

则，的值可能是（）

AnC—D—

-4D-12J124

题型12实际应用问题

【例题12】（2023秋•内蒙古赤峰•高三统考开学考试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉

工具，既经济又环保.明代科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图

1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，如图2,将筒

车抽象为一个半径为10的圆O,设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，以筒车的中

心O为原点，线段OA,OB所在的直线分别为x,y轴建立如图所示的直角坐标系（A,B

为圆。上的点），分别用/'（＜）,g（t）表示t秒后A,B两点的纵坐标，则y=f（t）•g（t）的最

大值为（）

A.50B.75C.50V3D.100

【变式12-1】1.（多选）（2023春・福建厦门•高三厦门一中校考期中）筒车是我国古代发

明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在

《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）.现有一个半径为3米的简车按逆时

针方向每分钟旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒P到水

面的距离为d（单位：米）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面开始计算时间，设

时间为t（单位：秒），已知cos48。4,则（）

A.d=2—3cos德t+8),其中cos。=I，且8e(0,,)

B.d=3sin恁t+8)+2,其中sinJ=_|,且ee(_£,0)

C.大约经过38秒，盛水筒P再次进入水中

D.大约经过22秒，盛水筒P到达最高点

【变式12-1]2.(2021秋•江苏苏州•高三苏州市相城区陆慕高级中学校考阶段练习)如图,

某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点0离地面1米，点0在地面上的

射影为A.风车圆周上一点M从最低点0开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P

到点A的距离与点P的高度之和为

4地面

A.5米B.(4+历米

C.(4+g)米D.(4+回)米

【变式12-1】3.(2021秋・河南洛阳•高三校联考阶段练习)水车在古代是进行灌溉引水的

工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为

R的水车，一个水斗从点4(38,-3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时

60秒，经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为（x,y）,其纵坐标满足y=f（t）=Rsin

（砒+<p）（t>o,\（p\<5,则下列叙述正确的是

②当te[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6;

③当te[10,25]时，函数y=f（t）单调递减；

④当t=20时，|P/1|=6V3

【变式12-1】4.（2023秋・江苏苏州•高三苏州中学校考阶段练习）某小区有一个半径为r

米，圆心角是直角的扇形区域，现计划照图将其改造出一块矩形休闲运动场地，然后在区域

I（区域ACD）,区域II（区域CBE）内分别种上甲和乙两种花卉（如图），已知甲种花卉每

平方米造价是a元，乙种花卉每平方米造价是3a元，设zBOC=e,中植花卉总造价记为十

（0）,现某同学已正确求得：=ar2g（0）,则g（。）=；种植花卉总造价最小

值为

题型13恒成立问题

有关三角函数综合问题的求解策略:

1、根据题意问题转化为已知条件转化为三角函数的解析式和图象，然后在根据数形结合思

想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质.

2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质(如：单调性、

奇偶性、对称性、周期性与最值等)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性

等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.

【例题13](2023秋•四J11成都•高三树德中学校考开学考试)已知函娄好。)=acos(2%-勺

+6sinKcosx—2cos2%+1的图象关于直线乂=第寸称.若对任意^《[。，汗，存在外e

(0,+8),使久久1)<2m始+犯+2成立，则m的取值范围是()

111

A.m>—1B.m>--ZC.m>—-4D.m>—~o

【变式13-1】1.(2023秋•四川成都•高三树德中学校考开学考试)已知函数f(x)=acos

(2支一9+6sinxcosx-2cos2%+1的图象关于直线尤=工对称.若对任意卜,4，存在

电6(0,+8),使fODW2m慰+肛+2成立，则m的取值范围是()

111

A.m>—1B.m>--ZC.m>—-4D.m>—~o

【变式13-1]2.(2023春・河南许昌•高三鄢陵一中校考阶段练习)已知函数/㈤=2sinxcos

%+4cos2x-1,若实数a、b、C使得a/(x)-c)=3对任意的实数x恒成立，贝(]

2a+b—cosc的值为()

A.1B.|C.2D.|

【变式13-1]3.(2021秋・重庆巴南•高三重庆市清华中学校校考阶段练习)若不等式mcos

x-cos3x-1<0对任意xe(0,()恒成立，则实数小的取值范围是()

A.(―8,一1B.(—00,—2]C.(―8,4D.(―8,1

【变式13-1]4.(2020•浙江绍兴•统考模拟预测)若不等式(a—|x—b|)•sin(x+?40.对

xw[o,2扪恒成立，则sin(a+b)和sin(a-b)分别等于()

AV2,V2DV2,V2V2,V2D.V2._V2

・y万B•一T2'2

【变式13-1】5.侈选)(2022秋•山西临汾•高三统考阶段练习)已知函数人吗，广⑶是其

导函数，V%£(0,^),ro)cosK+/(X)sinx=lnx恒成立，贝[]()

A.[/@+V3/@]cosl>V3/(l)B.(V3-1)/@<V2/(§)

C.V2/g)<V3/(J)D.2/(^)>(V3+1)/(J)

题型14零点相关问题

、।，5^^<

f.丰•、、、

已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；i

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画

出函数的图象，利用数形结合的方法，合理转化求解.

【例题14](2023・全国•高三专题练习)已知y=/(%),xeR满足f。+2)=/(久—2),

f(0)=0,当久6(0,4)时，f(x)=log2上.已知fif(x)=2sin(yx+n),则函数

y=/(x)-5(x),xe[-4,8]的零点个数为,这些零点的和为

【变式14-1】1.(2023秋•四川南充•高三四川省南充高级中学校考阶段练习)已知定义在

R上的奇函数/'(久)满足/'(2-％)+/(x)=0,当时，/(W=—|og2X.若函数F(x)=/

(久)-Sinn在区间[_1即]上有10个零点则实数m的取值范围是()

A.[3.5,4)B.(3.5,4]C.(5.5,5]D.[5.5,5)

【变式14-1】2.(2023春•天津南开•高三南开大学附属中学校考阶段练习)已知小>0,

((x—2)ln(x+1),—1<%<m,

函数/(%)=rnJor+nA<r<TT恰有3个零点，则m的取值范围是()

A.后相)小用B.舟衿U[吟]A(0制小竽)D.(0,居)“2片

【变式14-1】3.(2023•天津•高三专题练习)已知定义在R上的函数y=/(W是偶函数，当

(2sin1%,0<x<1

%NO时，/(%)=｛AV34，若关于%的方程，(%)]2+。/(%)+/?=0(0力£幻，有且

(⑶+力>1

仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是()

A.(-4,-|)B.

C.D.(-4,-|)u(-i,-|)

【变式14-1】4.(2023•全国•高三专题练习)已知定义在R上的偶函数/(%),当x20时满

4cosxsin(x+—)—1,0<x<—

足/(%)=ned+13K，关于%的方程，(%)]2+20/(%)+2=°有且仅有6

个不同实根，则实数a的取值范围是.

题型15与数列相关问题

【例题15】(多选)(2023•全国•高三专题练习)如图，Pi是一块半径为1的圆形纸板，在Pi

的左下端前去一个半径为曲勺半圆后得到图形P2,然后依次剪去一个更小半圆(其直径为前

一个前掉半圆的半径)得图形「3,「4,…，.…，记纸板外的周长为入，面积为Sn,则下列说

法正确的是()

7111

A.乙3=/+万B.s3=-7T

n

C.Ln=7r[2-(|)1]+(3D.Sn+1=Sn-^^

【变式15-1】1.(2023・上海虹口•上海市复兴高级中学校考模拟预测)已知f(久)=sin%+

Inx,将y=fQ)的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列｛久.｝，对于正整数n,甲:

（n-l）n<%n<nn;乙：|人—生嘤u｝为严格减数列，则（）.

A.甲正确，乙正确B.甲正确，乙错误

C.甲错误，乙正确D.甲错误，乙错误

【变式15-1】2.（2023春・上海宝山•高三上海交大附中校考阶段练习）将关于x的方程2sin

（2x+tn）=1（t为实常数,0<t<1）在区间［0,+8）上的解从小到大依次记为巧,电,…,x„，…,

设数列｛融｝的前n项和为7n,若T20WI。。叫贝Lit的取值范围是.

【变式15-1】3.（2023•全国•高三专题练习）数列｛而满足tana.=忌n，an«0。，Sn

为｛&J的前n项和，若Sn<k,贝收的范围为-

【变式15-1】4.（2021・福建厦门•厦门一中校考一模）已知/Q）=tanx,数列｛an｝满足:

对任意MN*,册€（0,乡，且内=室/册+1）="瓦贝腱得sina「sina2”-sinak<5

成立的最小正整数k为.

【变式15-1】5.（多选）（2023•全国•高三专题练习）已知单位圆。的内接正九边形4遇2&

4的边长、周长和面积分别为即，及,Sn,则下列结论正确的是（）

._IT_LnIT

A.=2cos-B.--=cos-

“nL2n2n

c.含=3D.成+（2-a幻2=4

a2nZ

1.（2020•北京•统考高考真题）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（兀Day）.历

史上，求圆周率兀的方法有多种，与中国传统数学中的"割圆术"相似.数学家阿尔•卡西的

方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6九边形的周长和外切正6n边形（各边均

与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2兀的近似值.按照阿尔・卡西的方

法，兀的近似值的表达式是（）.

A.3n（sin迥+tan变）B.6n（sin%+tan%）

\nn/vnn/

C.3n(sin%+tan%)D.6n(sin+tan即)

2.(2022・全国•统考高考真题)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收

录了计算圆弧长度的"会圆术"，如图，前是以。为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的

中点，D在而上，CDLAB."会圆术"给出血的弧长的近似值S的计算公式：s=AB+

岩.当。4=2/408=60。时，s=()

A11-3V3n11—4A/3《9-3A/^D9—4A/3

•2•2•-2-•-2-

3.(2023・湖南娄底•统考模拟预测)等腰三角形的底与腰之比是黄金分割比的三角形称为

黄金三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形.如图，五角星由五个黄金三角形与一个正

五边形组成，其中一个黄金△4BC中，第=亨，记五角星中阴影部分的面积是S阴，中间

空白正五边形的面积是S白，则驾=()

A.2+V5B.2-V5C.D.V5

4.(2020•黑龙江哈尔滨•哈九中校考二模)已知函数八＞)=—,cos2x—a(sinx—cosx),且

对于任意的%1,久26(-OO,+OO),当丰尤2时都有＜1成立，则实数a的取值范围是

()

A-[-另]B.[一多用C.当D.[-1,1]

5.（2023•河南统考三模）已知函数f（x）=asins+bcoss,其中3>0,若函数满足以

下条件：

①函数/（比）在区间即片M上是单调函数；②/（久）<卜⑶对任意xeR