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文档简介
重难点专题21三角函数压轴小题十五大题型汇总
题型1新文化问题....................................................................1
题型2新定义问题....................................................................3
题型3黄金分割相关问题.............................................................4
题型4扇形相关问题.................................................................6
题型5三角函数公式相关问题........................................................9
题型6三角函数性质问题............................................................10
题型7识图问题.....................................................................11
题型8凑角求值问题................................................................14
题型9最值相关问题................................................................15
题型103相关问题.................................................................16
题型11⑴相关问题..................................................................17
题型12实际应用问题...............................................................18
题型13恒成立问题.................................................................20
题型14零点相关问题...............................................................22
题型15与数列相关问题.............................................................23
题型1新文化问题
【例题1】(2023秋•江苏苏州•高三统考开学考试)我国人脸识别技术处于世界领先地位.所
谓人脸识别,就是利用计算机检测样本之间的相似度,余弦距离是检测相似度的常用方法.
假设二维空间中有两个点4(肛%),BQ2,及),O为坐标原点,余弦相似度为向量雨,而夹
角的余弦值,记作cos(4B),余弦距离为1-cos(A,B).已知P(cosa,sina),Q(cos/7,si呼),R
(cosa,-sina),若P,Q的余弦距离为tana♦tan”,则Q,R的余弦距离为()
A.-2RD--3CJ-4D-7
【变式1-1]1.(2023•全国•高三专题练习)法国著名军事家拿破仑•波拿巴最早提出的一
个几何定理:"以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形,则这三个等边三角形
的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”.如图,在AABC中,内角A,B,C的对边分别为
a,b,c,且10(sin等)=7-COS2A以4B,BC/C为边向外作三个等边三角形,其外接圆圆心
依次为。1,。2,。3.则角4=
【变式1-1】2.(2023•全国•镇海中学校联考模拟预测)天文学家、数学家梅文鼎,为清代
"历算第一名家"和"开山之祖",在其著作《平三角举要》中给出了利用三角形的外接圆
证明正弦定理的方法.如图所示,在梅文鼎证明正弦定理时的构图中,。为锐角三角形4BC外
接圆的圆心.若sinzB4C=孚,则COS2NOBC=()
A.乎B.一举C.|D.
【变式1-1】3.(2023春•河北石家庄•高三校联考阶段练习)古希腊毕达哥拉斯学派在公元
前6世纪研究过正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割值约为0.618,这一数值也可
以表示为a=2cos72°,则弋詈'=.
【变式1-1】4.(2023•浙江•校联考二模)数学里有一种证明方法叫做
Proofwithoutwords,也被称为无字证明,是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的
数学命题,由于这种证明方法的特殊性,无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条
理.如下图,点c为半圆。上一点,CHLAB,垂足为记=贝由tan乙=器可
以直接证明的三角函数公式是()
c
AOHB
A.tan|=-^-B.tan|=-f^-
21-cos^21+cos^
+“61-COS。cl+cos。
rUtan二高厂D.tan-=-^
【变式1-1]5.(2023•江苏南京・南京航空航天大学附属高级中学校考模拟预测)我国古代
数学家僧一行应用"九服号影算法”在《大衍历》中建立了暑影长I与太阳天顶距。
(0。<8<90。)的对应数表,这是世界数学史上最早的一整正切函数表.根据三角学知识可
知,暑影长度I等于表高h与太阳天顶距。正切值的乘积,即1=htan8,对同一"表高"两
次测量,第一次和第二次太阳天顶距分别为a、S,若第一次的"号影长"是"表高"的3
倍,且tan(a—0)=2则第二次"号影长"是"表高"的()倍.
A.1B.|C.|D.\
【变式1-1】6.(2022秋•安徽合肥・高三校考期中)数学必修二101页介绍了海伦-秦九韶
公式:我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中,提出了已知三角形三边
长求三角形的面积的公式,与著名的海伦公式完全等价,由此可以看出我国古代已具有很高
的数学水平,其求法是:"以小斜幕并大斜幕减中斜幕,余半之,自乘于上.以小斜幕乘大
斜幕减上,余四约之,为实.一为从隔,开平方得积若把以上这段文字写成公式,即5=
J强2c2_(七)],其中口、b、c分别为△48C内角4B、C的对边.若嘿詈=熹,
b=2,则△ABC面积S的最大值为()
A.V3B.V5C.2D.V2
题型2新定义问题
【例题2】(2023•湖南长沙•长沙市实验中学校考二模)正割(Secant)及余割
(Cosecant)这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔・威发首先引入,sec,esc这两
个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用,后经欧拉采用得以通行.在三角中,
定义正割seca=熹,余割csca=^.则函娄好(x)=去++的值域为()
A.[—1,1]B.[—
C.[-2,2]D.[-V2,-1)U(-1,1)U(1,V2]
【变式2-1】1.(多选)(2023・安徽安庆・安庆一中校考模拟预测)正割(Secant)及余割
(Cosecant)这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔•威发首先引入,sec,esc这两个
符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用,后经欧拉采用得以通行.在三角中,定
1111
义正割seca=z羲,余割csca=/G已知函数f(w=超+去,给出下列说法正确的是
()
A.f(x)的定义域为{x|x丰knkeZ};
B./(x)的最小正周期为2n;
C.f(x)的值域为[-V2,-1)U(-1,1)U(1,V2];
D./(x)图象的对称轴为直线x=-£+kir(kez).
【变式2-1】2.(2023・全国•高三专题练习)一般地,存在一个几次多项式〃(久),使得cos九久=
Tn(cosx),这些多项式Tn(X)称为切比雪夫多项式.由cos2久=2cos2久一1,知RO)=2久2
-1,通过运算,可以得到cos3x的切比雪夫多项式三(久)=—,结合上述知识计算cos
36°=.
题型3黄金分割相关问题
【例题3】(2022・贵州安顺•统考模拟预测)黄金分割点是指将一条线段分为两部分,使得
较长部分与整体线段的长的比值为亨的点.利用线段上的两个黄金分割点可以作出正五角
星,如图所示,已知C,D为AB的两个黄金分割点,研究发现如下规律:器=笔=穿=
亨.若等腰ACDE的顶角=则cose=()
E
A店TB无+1C3yD3+标
,4488
【变式3-1】1.(2023•江西•校联考二模)被誉为"中国现代数学之父”的著名数学家华罗
庚先生于1946年9月应普林斯顿大学邀请去美国讲学,之后又被美国伊利诺依大学聘为终
身教授.新中国成立的消息使华罗庚兴奋不已,他放弃了在美国的优厚待遇,克服重重困难,
终于回到祖国怀抱,投身到我国数学科学研究事业中去.这种赤子情怀,使许多年轻人受到
感染、受到激励,其中他倡导的"0618优选法"在生产和科研实践中得到了非常广泛的应
用,0.618就是黄金分割比匕=亨的近似值,黄金分割比还可以表示成2sinl8。,则
A.-4B.4C.-2D.2
【变式3-1】2.(2023・全国•高三专题练习)公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派研
究过正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割均为0.618,这一数值也可以表示为
4=2sinl8。,则-siL+z=()
7
‘人」cosl2°'
A.1B.1C.辛D.苧
【变式3-1】3.(2023・全国•高三专题练习)黄金分割比例广泛存在于许多艺术作品中.在
三角形中,底与腰之比为黄金分割比的三角形被称作黄金三角形,被认为是最美的三角形,
它是两底角为72。的等腰三角形.达・芬奇的名作《蒙娜丽莎》中,在整个画面里形成了一
个黄金三角形.如图,在黄金三角形力BC中,第=亨,根据这些信息,可得sin540=
A2V5-lg逐+1
•4°4
Cy^+4DV5+3
88
【变式3-1】4.(2023・辽宁・大连二十四中校联考三模)随着智能手机的普及,手机摄影越
来越得到人们的喜爰,要得到美观的照片,构图是很重要的,用"黄金分割构图法”可以让
照片感觉更自然.更舒适,"黄金九宫格"是黄金分割构图的一种形式,是指把画面横竖各
分三部分,以比例1:0.618:1为分隔,4个交叉点即为黄金分割点.如图,分别用4BCD
表示黄金分割点.若照片长、宽比例为4:3,设NC4B=a,贝篱—tana=()
sin4vt
DC
AB
题型4扇形相关问题
【例题4】(2023秋・贵州•高三统考开学考试)已知"水滴"的表面是一个由圆锥的侧面和
部分球面(常称为"球冠")所围成的几何体.如图所示,将"水滴"的轴截面看成由线段
AB,AC和优弧BC所围成的平面图形,其中点B,C所在直线与水平面平行,AB和AC与
圆弧相切.已知"水滴"的"竖直高度"与"水平宽度"("水平宽度”指的是平行于水平
面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值)的比值为£则sinNBAC=()
【变式4-1】1.(多选)(2023•全国•高三专题练习)重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一,
其精雅宜士人,其华灿宜艳女,深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰:"开合清风纸半张,
随机舒卷岂寻常;金环并束龙腰细,玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为图2的扇形COD,
其中NCOD=誓,OC=3OA=3,动点P在而上(含端点),连接。P交扇形04B的弧而于点
Q,且丽=久玩+y而,则下列说法正确的是()
C.PA-~PB>^D.AB-PQ>-2
【变式4-1]2.(2023春•广东深圳•高三校考阶段练习)以乙4cB的顶点C为圆心作圆交角
的两边于A,B两点;取线段4B三等分点O,D;以B为焦点,A,D为顶点作双曲线,与
圆弧4B交于点E,连接CE,则“CB=3NBCE若图中CE交4B于点P,SAP=6PB,贝t|cos
^ACP=
【变式4-1】3.(2023•河南焦作•统考模拟预测)如图,已知P,Q分别为乙4OB两边上的点,
乙4OB=*PQ=3,过点P,Q作圆弧,R为所的中点,且NPQR=飘]线段OR长度的最大
【变式4-1】4.(2022・全国•高三专题练习)为创建全国文明城市,上饶市政府决定对某小
区内一个近似半圆形场地进行改造,场地如图,以。为圆心,半径为一个单位,现规划出
以下三块场地,在扇形AOC区域铺设草坪,△OCD区域种花,△OBD区域养殖观赏鱼,
若乙4OC=NCOD,且使这三块场地面积之和最大,则cos乙40C=.
【变式4-1】5.(2022・湖北・恩施市第一中学校联考模拟预测)共和国勋章,是中华人民共
和国最高荣誉勋章,授予在中国特色社会主义建设和保卫国家中作出巨大贡献、建立卓越功
勋的杰出人士.2020年8月11日,国家主席习近平签署主席令,授予钟南山"共和国勋章”.
某市为表彰在抗疫中表现突出的个人,制作的荣誉勋章的挂坠结构示意图如图,O为图中
两个同心圆的圆心,三角形ABC中,AB=AC,大圆半径。力=2,小圆半径。B=OC=1,
记S为三角形OAB与三角形OAC的面积之和股阴影部分的面积为S,当S,-S取得最大值
时cosNBOC=
挂电结构示意图
题型5三角函数公式相关问题
【例题5】(2023秋•江苏南京•高三统考阶段练习)已知aG(o,n),且3tana=10cos2a,则
cosa可能为()
A_VwR_V5rVwnV5
A.10D.5J105
【变式5-1】1.(2023・全国•高三专题练习)已知0<a<S<2肛函数f(久)=5sin(x―2,
若f(a)=f(S)=1,贝!|cos(S一a)=()
A.||B.-||C.|D.
【变式5-1】2.(2023・全国•高三专题练习)已知锐角三角形ABC的内角A,B,C所对的
7—
边分别是a,b,c,S,A>B,若sinC=2cos4sinB+元,则tanB的取值范围为.
【变式5-1】3.(2023秋•黑龙江七台河・高三勃利县高级中学校考阶段练习)在“BC中,
已知sin4sinBsin(C-。)=Asin2C,其中tan。=|(0<6<%若高+熹+黑为定值,则实
数2=-
【变式5-1】4.(2023•全国•高三专题练习)在直角坐标系中,△ABC的顶点4(cosa,sin
a),B(cos£,sin0),C(竽,2鱼),且△ABC的重心G的坐标为(竽,伪,cos(a—0)=
【变式5-1】5.(2022・全国•高三专题练习)已知点G是△ABC的重心,S.GA1GC,若
高+高=1,则tanB的值为
【变式5-1】6.(2021秋•四川成都•高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中)在
△4BC中,已知sin4sinBsin(C-8)=asi/C,其中tane="|(其中若益+]
tanB
+高为定值,则实数4的值是()
A.嚼B.普C.国D.奈
题型6三角函数性质问题
【例题6】(多选)(2023•全国•高三专题练习)(多选题)设函数f(x)=cos((3“一,)+学
3>0),若f(x)的图象与直线y=-1在[0,2汨上有且仅有1个交点,则下列说法正确的是
()
A.3的取值范围是黑第
B.人久)在[0,2汨上有且仅有2个零点
C.若f(x)的图象向右平移打单位长度后关于y轴对称,则3,
D.若将/⑶图象上各点的横坐标变为原来的,得到函数g㈤的图象,则9(久)在[o用上单
调递增
【变式6-1】1.(多选)(2023秋河南郑州•高三郑州外国语学校校考阶段练习)设函数”久)
的定义域为R,f(x一3为奇函数,f(x+当为偶函数,当久e[—瑞]时,f(x)=cosx,则下
列结论正确的是()
A./(争=4B./(X)在(3TT,4TT)上为减函数
C.点(手,0)是函数f(x)的一个对称中心D.方程/⑶-lgx=o仅有3个实数解
【变式6-1】2.(多选)(2023•全国•高三专题练习)关于函数f(x)=2sin2%-3sin|x|
+1,以下说法正确的有()
A.f(x)是偶函数
B./(X)在区间(―?0)上单调递增
C.f(X)在[—Bn]上有4个零点
D.久久)的值域是[―5,6]
【变式6-1]3.(2023秋•黑龙江鹤岗•高三鹤岗一中校考开学考试)已知函数/⑶=爪2cos
X—爪-2,+1的图象和函数9(吗=泰—3的图象有唯一交点,则实数m的值为()
A.1B.3C.—1或3D.1或3
【变式6-1】4.(2023秋・河南信阳•高三信阳高中校考阶段练习)已知函数了(久)=sin(cos
x)+cos(sinx),则下列结论错误的是()
A.VxeR,/(x—2TT)=f(x)
B.V%G[0,n],/(x+n)>0
C.”久)是奇函数
D./(久)的最大值大于迎
【变式6-1】5.(2023秋・河南•高三校联考开学考试)已知函数fO)=cos(3x+s),36
N+,(pe[o,n],在xe(一等,乎内恰有两个极值点,目/(-书+/停)=o,则租的所有可
能取值构成的集合是.
【变式6-1】6.(2023秋•北京•高三北京市陈经纶中学校考开学考试)已知函数f(久)=2sin
(3X+9)+1(3>0,|租|<勺,满足/'(久)+/(-羡一%)=2,且对任意都有/
(-/,当3取最小值时,则下列正确的是.
①/⑶图像的对称轴方程为X="+ez
②f(x)在[—工,品上的值域为[2,3]
③将函数y=2sin(2x-》+1的图象向左平移段个单位长度得到函数f(久)的图象
④/⑶在已同上单调递减.
题型7识图问题
困难的是求待定系数3和0,常用如下两种方法:
(1)由3=年即可求出3;确定9时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的"零点"
横坐标久0,贝!]令3久0+0=。(或3*()+0=兀),即可求出
(2)代入点的坐标,利用一些已知点(最高点、最低点或"零点")坐标代入解析式,再结合图
形解出3和租,若对4,3的符号或对9的范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求.
【例题7】(2023•北京•高三专题练习)已知函数/⑺=Asin(jx+@)(4>0,0<⑴<#的部
分图象如图1所示,4B分别为图象的最高点和最低点,过4作久轴的垂线,交x轴于4,点C
为该部分图象与久轴的交点.将绘有该图象的纸片沿x轴折成直二面角,如图2所示,此时
\AB\=V10,贝IU-
给出下列四个结论:
_TT
①0=3
②图2中,AB-AC=S;
③图2中,过线段AB的中点且与4B垂直的平面与x轴交于点C;
④图2中,S是△,员?及其内部的点构成的集合.设集合7={(?65||4(2|<2},贝叶表示的区
域的面积大开.
其中所有正确结论的序号是—.
【变式7-1】1.(2021秋•重庆铜梁・高三铜梁一中阶段练习)已知函数/(x)=2sin
(3%+0)(3>o),xe[一嗫篇的图像如图,若/'OD=/(x2),且丰久2,贝!JfQi+x2)的值
为()
A.V3B.V2C.1D.0
【变式7-1】2.(2022・全国•高三专题练习)如图,点P(-2,砌和点Q(l,6)分别是函数
/(久)=4sin(3x+0)cos(3久+0)(4>0,a>>0,0<0<9图像上的最低点和最高点,若P、
Q两点间的距离为5,则关于函数9(久)=4cos(a)x-20)的说法正确的是()
A.在区间[-4,2]上单调递增B.在区间[0,6]上单调递减
C.在区间[1,7]上单调递减D.在区间[4,10]上单调递增
【变式7-1】3.(2020•全国•高三专题练习)如图,函数/(%)=4sin(3x+(p)(其中
2>0,3>0,\<p\<^与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P(2,0),乙PQR=1M为QR的
中点,PM=2V5,贝必的值为()
A.^\/3B.1V3C.8D.16
【变式7-1】4.(2022•浙江•高三专题练习)如图,直线与单位圆相切于点0,射线OP
从。4出发,绕着点。逆时针旋转,在旋转分入过程中,记乙40P=穴0<%<兀),0P经过的
单位圆。内区域(阴影部分)的面积为S,记S=f(久),对函数人吗有如下四个判断:
①当久=苧时,5=5+1;
②久6(0")时,/(久)为减函数;
③对任意%e(o,乡,都有府―久)+府+x)=*
④对任意Xe(o,9,都有f弓+X)=/(幻+7
其中判断正确的序号是
题型8凑角求值问题
三角函数求值的类型及方法
(1)"给角求值":一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看较难,但非特殊角与特殊
角总有一定关系.解题时,要利用观察得到的关系,结合三角函数公式转化为特殊角的三角
函数.
(2)"给值求值":给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在
于"变角",使其角相同或具有某种关系.
(3)"给值求角":实质上也转化为"给值求值",关键也是变角,把所求角用含已知角的
式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角,有时要压缩角的取值范围.
【例题8】(2020・全国•高三专题练习)若ae[0,兀],06[—5力,4eR,且a3—cosa—22=0,
('—2£)—2sin0cos/?—22=0,若cosa=|,贝[jtan。=()
A.1B.|C.V3D.3
【变式8-1]1.(2023•江苏徐州•校考模拟预测)已知sin(2a—卷=乎,则tan(a+f)tan(a+
卷=■
【变式8-1】2.(2022•全国•高三专题练习)已知点P(0,zn)是y轴上到2(1,1),B(2,4)距离和
最小的点,且COS(a—今=3贝Usin(2a—)的值为(用数据作答).
【变式8-1】3.(2023•全国•高三专题练习)已知cos(2a—9=]tanotan(a-0=p,
则正常数p的值为.
【变式8-1】4.(2020•全国•高三专题练习)已知8cos(2a+£)+5cos£=0,且cos(a+£)
cosa丰0,则tan(a+£)tana=.
题型9最值相关问题
【例题9】(2022秋•山东青岛•高三校考阶段练习)在&ABC中,C=90°,若x£R,则f(x)
=sin(x+A)+sin(x+B)的最大值为()
A.V2B.1C.2D.?
【变式9-1】1.(2022秋•江苏常州•高三校考开学考试)已知出y是互不相同的锐角,贝U
__1
在sinacosS,sin£cosy,sinycosa三个值中,大于^的个数的最大值是()
A.0B.1C.2D.3
【变式9-1】2.(2022秋・山东青岛•高三统考期中)已知则七+嘉一2亚an
。的最小值为()
A.8B.12-2V2C.6D.5
【变式9-1】3.(2020・全国•高三专题练习)如图,在半径为1的扇形AOB中(O为原
点),4(1,0),乙4OB=会点P(x,y)是4B上任意一点,则xy+x+y的最大值为()
A.乎―羡B.1C.乎+:D.V2+1
42422
【变式9-1】4.(2023・全国•高三专题练习)△/BC中,角A,B,C满足cos2A—cos2B=2
sinC(sinB-sinC),则百焉+焉的最小值为
【变式9-1】5.(2023秋・重庆・高三重庆一中校考开学考试)在△力BC中,若sinA=2cosB
cose,则COS2B+cos2c的最大值为.
【变式9-1]6.(2022秋・河北•高三校联考阶段练习)定义在R上的函娄好(%)单调递减,
且满足/(1-尤)+/(1+*)=0,对于任意的a,满足/'(acosa)+/(6sina)20恒成立,贝!|a+6的
最大值为.
题型1。3相关问题
【例题10](2022秋福建龙岩•高三福建省龙岩第一中学校考阶段练习)已知函数/⑺=Sin
5+aCOS3x(a>0,3>0)图像的两条相邻对称轴之间的距离小于8。=V3,且/'(x)<f
七),则3的最小值为.
【变式10-1】1.(多选)(2023•河北秦皇岛•校联考二模)已知函数f(久)=sin(wx+0)®>0)
是在区间得,给上的单调减函数,其图象关于直线3-2对称,且启1)+虑)=0,则3
的值可以是()
A.4B.12C.2D.8
【变式10-1】2.(2023福建泉州•统考模拟预测)已知函数/⑶=2sin(3x-乎+鱼(3>0)
在[0,2]内有且仅有3个零点,则3的值可以是()
A.3B.5C.7D.9
【变式10-1】3.(2023•河北唐山•模拟预测)已知4B,C为/0)=sins与g(%)=coss的
交点,若△力BC为等边三角形,则正数3的最小值为.
【变式10-D4.(2023秋•安徽•高三宿城一中校联考阶段练习)已知函数/⑶=3sin(3久-n
(3>0),当久时,函数/(久)的最大值为皿则满足条件的s的个数为.
题型11@相关问题
【例题11】(2023•全国•高三专题练习)已知/(x)=sin比cosx+Kcos2%,若对任意实数x
都有f(x)=4sin(s+0)+^,其中2,36R,旌[0即),贝切的所有可能的取值有()
A.2个B.4个C.6个D.8个
【变式11-U1,(2023•内蒙古赤峰•校联考一模)在函娄好(久)=sin(2x-3)@>0)图象与
x轴的所有交点中,点停,0)离原点最近,贝加可以等于(写出一个值即可).
【变式11-D2.(2022秋・上海徐汇•高三上海市南洋模范中学校考期中)将函数f(久)=2sin
2%的图象向右平移卬(0<9<兀)个单位后得到函数。(久)的图象,若对满足If(巧)(久2
)1=4的/、%2,有|当一切的最小值为力贝%=-
【变式11-U3.(2022・安徽•南陵中学校联考模拟预测)将函数f㈤=2sinx-1的图象上
所有点的纵坐标伸长为原来的2倍,再向下平移1个单位长度,最后向左平移>0)个
单位长度,得到函数9。)的图象.若对任意久1e[0,引,都存在外e[―,0],使得八应)=g(久2),
则,的值可能是()
AnC—D—
-4D-12J124
题型12实际应用问题
【例题12】(2023秋•内蒙古赤峰•高三统考开学考试)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉
工具,既经济又环保.明代科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图
1).假定在水流量稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动,如图2,将筒
车抽象为一个半径为10的圆O,设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒,以筒车的中
心O为原点,线段OA,OB所在的直线分别为x,y轴建立如图所示的直角坐标系(A,B
为圆。上的点),分别用/'(<),g(t)表示t秒后A,B两点的纵坐标,则y=f(t)•g(t)的最
大值为()
A.50B.75C.50V3D.100
【变式12-1】1.(多选)(2023春・福建厦门•高三厦门一中校考期中)筒车是我国古代发
明的一种灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在
《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如图).现有一个半径为3米的简车按逆时
针方向每分钟旋转1圈,筒车的轴心距离水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒P到水
面的距离为d(单位:米)(在水面下则为负数),若以盛水筒刚浮出水面开始计算时间,设
时间为t(单位:秒),已知cos48。4,则()
A.d=2—3cos德t+8),其中cos。=I,且8e(0,,)
B.d=3sin恁t+8)+2,其中sinJ=_|,且ee(_£,0)
C.大约经过38秒,盛水筒P再次进入水中
D.大约经过22秒,盛水筒P到达最高点
【变式12-1]2.(2021秋•江苏苏州•高三苏州市相城区陆慕高级中学校考阶段练习)如图,
某大风车的半径为2米,每12秒旋转一周,它的最低点0离地面1米,点0在地面上的
射影为A.风车圆周上一点M从最低点0开始,逆时针方向旋转40秒后到达P点,则点P
到点A的距离与点P的高度之和为
4地面
A.5米B.(4+历米
C.(4+g)米D.(4+回)米
【变式12-1】3.(2021秋・河南洛阳•高三校联考阶段练习)水车在古代是进行灌溉引水的
工具,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征,如图是一个半径为
R的水车,一个水斗从点4(38,-3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时
60秒,经过t秒后,水斗旋转到P点,设P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin
(砒+<p)(t>o,\(p\<5,则下列叙述正确的是
②当te[35,55]时,点P到x轴的距离的最大值为6;
③当te[10,25]时,函数y=f(t)单调递减;
④当t=20时,|P/1|=6V3
【变式12-1】4.(2023秋・江苏苏州•高三苏州中学校考阶段练习)某小区有一个半径为r
米,圆心角是直角的扇形区域,现计划照图将其改造出一块矩形休闲运动场地,然后在区域
I(区域ACD),区域II(区域CBE)内分别种上甲和乙两种花卉(如图),已知甲种花卉每
平方米造价是a元,乙种花卉每平方米造价是3a元,设zBOC=e,中植花卉总造价记为十
(0),现某同学已正确求得:=ar2g(0),则g(。)=;种植花卉总造价最小
值为
题型13恒成立问题
有关三角函数综合问题的求解策略:
1、根据题意问题转化为已知条件转化为三角函数的解析式和图象,然后在根据数形结合思
想研究三角函数的性质,进而加深理解函数的性质.
2、熟练应用三角函数的图象与性质,结合数形结合法的思想研究函数的性质(如:单调性、
奇偶性、对称性、周期性与最值等),进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性
等概念与性质,但解答中主要角的范围的判定,防止错解.
【例题13](2023秋•四J11成都•高三树德中学校考开学考试)已知函娄好。)=acos(2%-勺
+6sinKcosx—2cos2%+1的图象关于直线乂=第寸称.若对任意^《[。,汗,存在外e
(0,+8),使久久1)<2m始+犯+2成立,则m的取值范围是()
111
A.m>—1B.m>--ZC.m>—-4D.m>—~o
【变式13-1】1.(2023秋•四川成都•高三树德中学校考开学考试)已知函数f(x)=acos
(2支一9+6sinxcosx-2cos2%+1的图象关于直线尤=工对称.若对任意卜,4,存在
电6(0,+8),使fODW2m慰+肛+2成立,则m的取值范围是()
111
A.m>—1B.m>--ZC.m>—-4D.m>—~o
【变式13-1]2.(2023春・河南许昌•高三鄢陵一中校考阶段练习)已知函数/㈤=2sinxcos
%+4cos2x-1,若实数a、b、C使得a/(x)-c)=3对任意的实数x恒成立,贝(]
2a+b—cosc的值为()
A.1B.|C.2D.|
【变式13-1]3.(2021秋・重庆巴南•高三重庆市清华中学校校考阶段练习)若不等式mcos
x-cos3x-1<0对任意xe(0,()恒成立,则实数小的取值范围是()
A.(―8,一1B.(—00,—2]C.(―8,4D.(―8,1
【变式13-1]4.(2020•浙江绍兴•统考模拟预测)若不等式(a—|x—b|)•sin(x+?40.对
xw[o,2扪恒成立,则sin(a+b)和sin(a-b)分别等于()
AV2,V2DV2,V2V2,V2D.V2._V2
・y万B•一T2'2
【变式13-1】5.侈选)(2022秋•山西临汾•高三统考阶段练习)已知函数人吗,广⑶是其
导函数,V%£(0,^),ro)cosK+/(X)sinx=lnx恒成立,贝[]()
A.[/@+V3/@]cosl>V3/(l)B.(V3-1)/@<V2/(§)
C.V2/g)<V3/(J)D.2/(^)>(V3+1)/(J)
题型14零点相关问题
、।,5^^<
f.丰•、、、
已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:
(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;i
(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画
出函数的图象,利用数形结合的方法,合理转化求解.
【例题14](2023・全国•高三专题练习)已知y=/(%),xeR满足f。+2)=/(久—2),
f(0)=0,当久6(0,4)时,f(x)=log2上.已知fif(x)=2sin(yx+n),则函数
y=/(x)-5(x),xe[-4,8]的零点个数为,这些零点的和为
【变式14-1】1.(2023秋•四川南充•高三四川省南充高级中学校考阶段练习)已知定义在
R上的奇函数/'(久)满足/'(2-%)+/(x)=0,当时,/(W=—|og2X.若函数F(x)=/
(久)-Sinn在区间[_1即]上有10个零点则实数m的取值范围是()
A.[3.5,4)B.(3.5,4]C.(5.5,5]D.[5.5,5)
【变式14-1】2.(2023春•天津南开•高三南开大学附属中学校考阶段练习)已知小>0,
((x—2)ln(x+1),—1<%<m,
函数/(%)=rnJor+nA<r<TT恰有3个零点,则m的取值范围是()
A.后相)小用B.舟衿U[吟]A(0制小竽)D.(0,居)“2片
【变式14-1】3.(2023•天津•高三专题练习)已知定义在R上的函数y=/(W是偶函数,当
(2sin1%,0<x<1
%NO时,/(%)={AV34,若关于%的方程,(%)]2+。/(%)+/?=0(0力£幻,有且
(⑶+力>1
仅有6个不同实数根,则实数a的取值范围是()
A.(-4,-|)B.
C.D.(-4,-|)u(-i,-|)
【变式14-1】4.(2023•全国•高三专题练习)已知定义在R上的偶函数/(%),当x20时满
4cosxsin(x+—)—1,0<x<—
足/(%)=ned+13K,关于%的方程,(%)]2+20/(%)+2=°有且仅有6
个不同实根,则实数a的取值范围是.
题型15与数列相关问题
【例题15】(多选)(2023•全国•高三专题练习)如图,Pi是一块半径为1的圆形纸板,在Pi
的左下端前去一个半径为曲勺半圆后得到图形P2,然后依次剪去一个更小半圆(其直径为前
一个前掉半圆的半径)得图形「3,「4,…,.…,记纸板外的周长为入,面积为Sn,则下列说
法正确的是()
7111
A.乙3=/+万B.s3=-7T
n
C.Ln=7r[2-(|)1]+(3D.Sn+1=Sn-^^
【变式15-1】1.(2023・上海虹口•上海市复兴高级中学校考模拟预测)已知f(久)=sin%+
Inx,将y=fQ)的所有极值点按照由小到大的顺序排列,得到数列{久.},对于正整数n,甲:
(n-l)n<%n<nn;乙:|人—生嘤u}为严格减数列,则().
A.甲正确,乙正确B.甲正确,乙错误
C.甲错误,乙正确D.甲错误,乙错误
【变式15-1】2.(2023春・上海宝山•高三上海交大附中校考阶段练习)将关于x的方程2sin
(2x+tn)=1(t为实常数,0<t<1)在区间[0,+8)上的解从小到大依次记为巧,电,…,x„,…,
设数列{融}的前n项和为7n,若T20WI。。叫贝Lit的取值范围是.
【变式15-1】3.(2023•全国•高三专题练习)数列{而满足tana.=忌n,an«0。,Sn
为{&J的前n项和,若Sn<k,贝收的范围为-
【变式15-1】4.(2021・福建厦门•厦门一中校考一模)已知/Q)=tanx,数列{an}满足:
对任意MN*,册€(0,乡,且内=室/册+1)="瓦贝腱得sina「sina2”-sinak<5
成立的最小正整数k为.
【变式15-1】5.(多选)(2023•全国•高三专题练习)已知单位圆。的内接正九边形4遇2&
4的边长、周长和面积分别为即,及,Sn,则下列结论正确的是()
._IT_LnIT
A.=2cos-B.--=cos-
“nL2n2n
c.含=3D.成+(2-a幻2=4
a2nZ
1.(2020•北京•统考高考真题)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(兀Day).历
史上,求圆周率兀的方法有多种,与中国传统数学中的"割圆术"相似.数学家阿尔•卡西的
方法是:当正整数n充分大时,计算单位圆的内接正6九边形的周长和外切正6n边形(各边均
与圆相切的正6n边形)的周长,将它们的算术平均数作为2兀的近似值.按照阿尔・卡西的方
法,兀的近似值的表达式是().
A.3n(sin迥+tan变)B.6n(sin%+tan%)
\nn/vnn/
C.3n(sin%+tan%)D.6n(sin+tan即)
2.(2022・全国•统考高考真题)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收
录了计算圆弧长度的"会圆术",如图,前是以。为圆心,OA为半径的圆弧,C是AB的
中点,D在而上,CDLAB."会圆术"给出血的弧长的近似值S的计算公式:s=AB+
岩.当。4=2/408=60。时,s=()
A11-3V3n11—4A/3《9-3A/^D9—4A/3
•2•2•-2-•-2-
3.(2023・湖南娄底•统考模拟预测)等腰三角形的底与腰之比是黄金分割比的三角形称为
黄金三角形,它是一个顶角为36°的等腰三角形.如图,五角星由五个黄金三角形与一个正
五边形组成,其中一个黄金△4BC中,第=亨,记五角星中阴影部分的面积是S阴,中间
空白正五边形的面积是S白,则驾=()
A.2+V5B.2-V5C.D.V5
4.(2020•黑龙江哈尔滨•哈九中校考二模)已知函数八>)=—,cos2x—a(sinx—cosx),且
对于任意的%1,久26(-OO,+OO),当丰尤2时都有<1成立,则实数a的取值范围是
()
A-[-另]B.[一多用C.当D.[-1,1]
5.(2023•河南统考三模)已知函数f(x)=asins+bcoss,其中3>0,若函数满足以
下条件:
①函数/(比)在区间即片M上是单调函数;②/(久)<卜⑶对任意xeR
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