三角函数选填题两大解题技巧（四大题型）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

特训03三角函数选填题两大解题技巧（四大题型）

一、勾股定理解三角函数选填题

1.适用范围：已知其中一个三角函数值，求其余两个三角函数值.

2.解题技法：

一画：画一个直角三角形；

二用：用勾股定理求出各条边长；

三求：求出当角a为锐角时的三角函数值；

四定：利用a所在象限确定符号.

二、整体代换法

TTTTTT

题型特征：当题目中有特殊角（不等）与单倍角（a,[3,x等）的和差=a,ma角的三角函数值，要求二倍角

52

（2a,2|3,2x等）或一乃土a,—乃土a等形式的三角函数值时，可用整体代换（换元或配角）简化解题过程

63

解题技法：

1.三角公式求值中变角的解题思路

（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式

⑵当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变

成“已知角

2.常见的配角技巧

2a=（a+/）+（a—/）,a=+J3）-J3,J3=,a=,

（a-£）=（a+2）_&夕）,

222

题型归纳4

目录:

♦题型01:任意角的三角函数

♦题型02：同角三角函数的基本关系

♦题型03：诱导公式

♦题型04：三角恒等变换

♦题型01：任意角的三角函数

1.设角&的终边经过点尸(3,-4),贝|tana的值等于()

,34c43

A.-B.—C.—D.—

5534

【答案】c

【分析】借助三角函数定义计算即可得.

-44

【解析】tan(z=—=-j.

故选：C.

2.已知。是第二象限的角，尸(龙,6)为其终边上的一点，且sina=,则》=().

A.-4B.±4C.-8D.±8

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用三角函数定义列式计算即得.

【解析】点尸(x,6)是第二象限的角a终边上的一点，则x<0,

363

由sma=1,得［z谭，所以x=-8.

故选：C

3.己知角々的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点尸(cos5,sing),则cos("£

()

A.0B.；C.—D."

222

【答案】D

【分析】根据三角函数的定义求出sina,cosa,再由两角差的余弦公式计算可得.

即角a的终边经过点「d，所以sina=*cos«=1,

所以cos(a-乌]=cosacos—+sinczsin—=—xx—=—.

(6)6622222

故选：D

4.已知角a,角尸的顶点均为坐标原点，始边均与x轴的非负半轴重合，终边分别过4(1,3),8(-3,1),则

,a+B

tan------=()

2

A.-2或;B.2或-工C.；D.-2

222

【答案】D

【分析】取N8的中点利用三角函数定义得出/工加=二2,再由倾斜角和斜率的关系得出

tan?=^,最后利用ON得出答案.

【解析】记。为坐标原点,因为4(1,3),以-3,1),所以|。4|=|。同=而，

所以点/(1,3),8(-3,1),均在以原点。为圆心而为半径的圆上.

连接取的中点连接OM,则

不妨设a,(0,2兀)，则4。初=1+2二4="2,

5.已知角。满足sin6<0,tan6<0,且sin]=sin5，则角,属于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】根据题意，由三角函数在各个象限符号的正负，即可判断.

【解析】由sindvO,tan6<0,得出。为第四象限角，

所以3+2E<0<2TI+2kn=>手+kji<^<Ti+hi,keZ,

nnn

则］为第二象限角或第四象限角，又因为sin-=sin-,

n0

所以sin］>0,则］为第二象限角.

故选：B.

♦题型02：同角三角函数的基本关系

，.2023K2023K'1在角3的终边上，则sin。

6.已知点sin--------,cos---------()

、46,1+cos。

逅R8

A.rV6D.

D.------巫

3232

【答案】B

【分析】根据诱导公式、二倍角公式，同角三角函数的基本关系求解即可.

（呜）

2023兀33771_V[

nCOS-------------COS-cos—灰

【解析】由题意，tan^u6,6

.2023兀.(\.3兀J2-2'

sm--------sm50571+—;-sm—

4I4,142

・0

•2csin—acos

”…sin，n920

所以-------=-----—=tan—=——

l+cos8-c”22

2cos—

2

故选：B.

7.已知2sin6+cose=0,则tan20=()

4444

A.—B.C.——D.

3355

【答案】B

【分析】根据题意,由条件可得=再由正切的二倍角公式代入计算,即可得到结果.

【解析】因为2sin6+cose=0,贝！Jtan6=-L

2

所以tan26=

故选：B

8.若tan[a+)=3,则sin2a+

cos2a=()

【答案】A

【分析】根据两角和的正切公式求出tana,再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入

计算可得.

tana+tan—71,,.

【解析】因为tan（a+：'4tana+1

即tana=—,

1-ta«ncif-t,a兀n—l—tana2

4

.八22smacosa+cos2a2tana+l78

[r|[isin2a+cosa-----：------：----=---：----=---%—=—

人」sina+cosatana+\(y+i5,

故选：A

_，心nr„,\兀、/、

9.已知---C-O-S-6Z：一二J3,则xtana+;二()

cosa-sma<4)

A.273+1B.2V3-1C.—D.1-V3

2

【答案】B

P0Qry

【分析】先将-------一弦化切求得tan]，再根据两角和的正切公式即可求解.

cosa-sina

【，解〃力L析L.】因E为、r---c-o-s-a:一=j3FT,

cosa-sina

所以---=6,=>tana=1-^-，

1-tana3

比.(兀、tana+1底

所以tana+—=-------=2<3-1,

I4J1-tana

故选：B.

10.若4tan(7=.15,则cos2a=()

sma

1「77

A.-B.C.一D.——

8-888

【答案】D

【分析】利用同角基本关系式和二倍角公式求解.

【解析】由4tana=^—,得4sin2a=15cosa,

sma

即4cos2。+15cos1一4=0,解得3$戊=!或（：05戊二一4（舍）,

4

7

所以cos2a=2cos2a-1=——.

故选：D.

11.若sin(a-尸)=L且tana=2tan/7,则sin(o+£)=(

6

AYR6

D.---------CD

22-t-I

【答案】D

【分析】利用正弦的差角公式结合弦切关系分别计算sinacos/?,cosasin/?,再根据和角公式计算即可.

【解析】因为sin(a—/7)=sinacos夕一cosasin/?,

6

.,_crsina2sm£

又tana=2tan(3,即-----------,则sin1cos]=2cosisin/7,

cosacosP

所以sinacos0=—,coscifsin/3=—

36

故sin(cr+4)=sinacosft+cosasinf3=—+—=—

362

故选：D

12.已知0<。<尸<兀，且sin(a+/?)=2cos(a+/7),sinasin/7-3coscrcos/7=0,则tan(a-B)=()

A.-1B--Tc-4D-I

【答案】C

【分析】找出tana和tan4的关系，求出tan。和tan/即可求解.

【解析】sinsin-3cosacos/?=0,

sinisin/?=3cosacos0,

tana+tan尸tana+tan0

tanatan/7=3①，sin(a+尸)=2cos(a+/),,tan(a+/?)=2n-----------------=2=>-----------------=2,

1-tanatan/31-3

tana=-l、tana=-3

tana+tan4=一4②，由①②解得tan4=一3或

tan°=_\'

'：Q<a<P<TI,tana<tan0,

|tana=-3(._tan6Z-tanp_1

tan\OL—p\—------------------=—.

[tan/?=-l1+tan6/tanj32"

故选：C.

♦题型03：诱导公式

13.已知sin(/+^)=年，求cos(2分一g)=()

]_

B.cD.

3--t3

【答案】B

【分析】利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解即得.

【解析】由sin（Q+四）=也，得cos"-芋）=COS［（2/+5）-兀］=-cos2（/+g）

63336

=2sin2（^+-^）-l=2-（^y-）2-1=-1.

故选：B

14.已知函数/（幻=（:（«（2工-夕），贝（j"°=］+析，左eZ”是“〃x）为偶函数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】当°=^+配伍eZ）时，代入可得〃x）=±sin2x,由正弦函数性质，可验证充分性，”力为偶函

数时，得到。=而化eZ）,可验证必要性.

【解析】函数/（x）=cos（2x-°）,当夕=事+祈（leZ）时,

仆）=cos2x-\—+fai=cos!Ix-^-knI=±sin2x,

u

则〃X）为奇函数，所以充分性不成立,

当"X）为偶函数时，电=尿业团,所以必要性不成立，

故，，夕=（荷，左ez”是““X）为偶函数”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

15.己知sin（a-木］=g,则cos

A一迪B.速।

33

【答案】C

【分析】利用角的变换，再结合诱导公式，即

（2兀）「（兀）兀

【解析】cosl«+yl=COSIl+-=-S

故选：C

(、cos28

16.已知cosjq=；,则M呜1()

15

D.

T

【答案】D

【分析】设£TT则。=£JT-尸，根据诱导公式及二倍角公式可得cos20=2sin尸cos/,根据诱导公式

和弦切互化得tan1+T]=智，代入并利用同角三角函数关系求解即可.

I4)sin夕

71jr1

【解析】设尸=：-。，则人;-£，cos(3=4，

444

所以cos20=cos一2/7]=sin2/7=2sin/?cos[3,tan(6+；]=tan一4J=cosB

sinp

cos262sin(3cos/3115

=2sin29^=2-2cos9V=2——二一

所以;COSP88.

sin(3

故选：D

17.在平面直角坐标系中，若角a-；的顶点为原点，始边为x轴非负半轴，终边经过点尸(-3,-4),则

tanI2cr+yI=.

【答案】一手

【分析】先利用三角函数的定义得到tan(a-；j,再利用倍角公式和诱导公式进行转化求得tan(2a+g

【解析】由三角函数的定义，得tan[a-mj=g,所以

兀

2tana——8

I3)24

tan2a+—\=tan2a——+兀=tan2a——3

I3jI3jI31-tan2f6z-y13

9

故答案为：--—

18.已知5由次052=-3856^113~且7^11(a一~4)-cos(a+工兀)=0,则实数丸的值为_____.

1212y12j112j

【答案】一；/-06

【分析】借助诱导公式与两角和与差的正弦及余弦公式计算即可得.

【解析】cos^a+^-7r^=cos^a+^|+|^=-sin^a+^,

则2sin|a--\-cos|or+—7i|=2sin|cr--|+sin|6Z+—|

I12I12JI12I12

c.71.71）（.兀71.7171

=xsinacos----cosasin——+sinacos---1-cosasin——=0

12121212

Vsin^zcos-=-3coscrsin—,

1212

即-4cosasm--2-2cosasin-=0,

1212

即（22+l）cosasinq=0,

故24+1=0,BP2=.

2

故答案为：

♦题型04：三角恒等变换

19.已知cos（10。一a）=cos（50。一a）+cos（5（）o+a）,则tana=（）

A-TC.V3D.-V3

【答案】C

【分析】根据两角和差的余弦公式化简，再根据50。=60。-10。结合两角差的余弦公式化简即可得解.

【解析】SCOS（10°-6Z）=COS（50O-6Z）+COS（50°+6Z）,

得cos10°cosa+sin10°sina=2cos50°cosa,

故sin10°sina=2cos50°cosa-cos10°cosa

72cos50°-cos10°

所以tana=----------------

sin10°

_2cos（60°-10°）-cosl0°

sin10°

cos10o+V3sinl00-cos10°

sin10°

故选：C.

713eg+2a

20.已知sin-------a--,则cos的值为（）

12

A.224

B.----

2525c（

【答案】D

【分析】由已知角表示待求角，根据二倍角的余弦公式，诱导公式求解.

cos|—+26lfj=COS2|-5兀+6Z2+a一1

【解析】-2cos2

61212J

71

=2sin2a\—\=2x--1=,

12)2525

故选：D.

.aca

sin——b2cos一

21.已知角二的始边为工轴的非负半轴,终边经过点。(4,-3),则一——看

5cos-----sin——

22

Bc.*或』1

A-亮D.-

-12164

【答案】B

【分析】根据角的范围可确定叁a为二、四象限角，贝iJtana|_＜0,即可利用二倍角公式得tanc(i=-；1,利用弦

切互化即可求解.

3兀

【解析】由题意，得角a是第四象限角，则三+2加＜2/2砒立Z,

3元(7(7CK

故彳+也＜万＜兀+也,左GZ,则5为二、四象限角，贝iJtan^vO,

2tan-Q

2「3

又因为tana=

1-tan2^-4,

2

(~YOf1

所以叱=3(舍去)或t-F

.acaac

sin——b2cos——tan—F2c

所以一方——i2_5

5cos-----sin一5<—t,an—a16

222

故选：B.

71cos2a3(n兀\

22.若0,।,-----———,则COSCtH------=()

2J1+tan26/8(66)

R收c"

D.-------D.1

2

【答案】C

【分析】将cos2a用1Tan；"替换后,解方程解出a即可.

1+tana

71cos2a3

【解析】因为0,

211+tan2a8'

sin26Z-cos2a八1-tan2a

可得3(1+tan?a)=8x'—Z---------7—=8X------------

sin6Z+cosa1+tana

可得3(l+tan2a]=8-8tan2a,

解得tan2a=：,因为所以tana=",

3V2J3

所以a=g,

o

LL…"1

所以cosa+—=cos—=—.

I6j32

故选：C.

713

23.已知函数/(x)=sin(2x+p)(0＜0＜7t)满足/(x)Vf若0＜匹＜£＜乃，且/(占)=/@2)=_],

则siMz-xJ的值为（）

【答案】D

【分析】由/Xx”/■会得函数在x=£时取最值，得函数的解析式，再由三角恒等变换计算sg-玉）的

值.

【解析】因为析x）=sin（2x+p）满足/（x）溜然），所以吗）=±1,

JTTT[L

所以2x：+0=q+E,k£Z,又。<夕<兀，所以"=

626

7T

得f(x)=sin(2x+z),

6

t3

因为。<再<工2<兀，/（再）=/（%2）=—y

所咤<2%+/苫<2%+/等，所以一式2再+凯-'cosQz+a],

兀

COS[2(X2-xj]=cos(2x~1—)—(2石+

26

所以sig?-xJ=产吗匚万=1.

因为0<九2一项〈兀

故选：D.

24.已知a=¥（sinl4o+cosl4。），6=sin61。，c=咚，则。，b,。的大小顺序为（）

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

【答案】A

【分析】利用辅助角公式化简。，再利用正弦函数的单调性即可比较出大小.

【解析】因为Q=sin140+cos14°）=^-V2-sin^14°+45°）=sin59°,

b=sin61°,c=V=sin60°,由正弦函数”sinx在"之上递增知：a<c<b,

故选：A.

25.已知/（0）=cos40+cos3。，且仇，％，3是了⑼在（0，兀）内的三个不同零点，下列结论不正确的是

()

A.yG{01?92,03}B.+。2+%=兀

C.COS0,cos仇cos区=--D.COS0J+cos0+cos0=—

1*23***7823

【答案】B

【分析】根据方程cos4。+cos3。=0,。£（0,兀）求出4，02,03,再逐项验证即可得到答案.

【解析】由题意：cos40+cos30=O,。£（0,兀）得：cos4。=一cos3。=cos（兀一3。），

所以40=兀一30+2kli或40=30—兀+2kli,kwZ,

又。e（o㈤，所以4=；,e2=y,e3=^.

故A正确；

4+。2+/=弓+乃+不=言，故B错误；

7777

八八八7i3TI5K兀2兀4兀

cos"cos/cos”=cos—cos——cos——=cos—cos——cos——

3777777

c.兀7i2兀4兀

2sin—cos-cos—cos——

_7777

2s呜

.2兀2兀4兀.4兀4兀.8兀

sin——cos——cos——sin——cos——sm—

c•兀4.7Tc•兀8

2sin—4sin—8sin—

777

八„八兀3兀5兀(2兀4兀6兀1

1237771777)

.71(2兀4兀6兀、16.3K.兀.5兀.3兀.7兀.5兀、

-sin—cos——+cos——+cos——sm------sin—+sin------sin—+sin------sin—

二7(777兀2(7777771

.71.71

sin—sin—

77

=；.故D正确.

故选：B

模拟精练

1.(2024・河南商丘•模拟预测)“sin(a-2024无)>0”是“a为第一象限角”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用诱导公式及正弦函数的性质结合充分、必要条件的定义判定选项即可.

【解析】易知sin(a—2024兀)=sina,所以sin(a-2024n)>0nsina>。=>

。为第一象限角、第二象限角或终边落在纵轴正半轴上的角，

显然不满足充分性，满足必要性.

故选：B

2.(2024•重庆•模拟预测)已知打,户都是锐角，cose=；,sin(a+齐)=^梳，则cos2£的值为()

A.--B.yC.D.近

2222

【答案】A

【分析】根据题意，求得sina=t8,再由kcosx的单调性，求得+，利用两角差的余弦

714

公式，求得cos，=cos[(a+/?)-0]=；,结合余弦的倍角公式，即可求解.

【解析】由二与/均为锐角，且coso=；,sin(a+/)=§擀，所以sina=\^,

因为可得0<戊+〃<兀，cos(a+4)=±1,

又因为V=COSX在(0,兀)上单调递减，且所以850>3(0+/?),

因为cosa=；,所以cos(a+/?)=一《，

所以cosft=cos[(a+尸)一a]=cos(a+/?)cosa+sin(a+/?)sina=x；+x[，

贝l|cos2尸=2cos2〃一l=2x(g)2-l=—g.

故选：A.

3.（2024・四川成都・模拟预测）在平面直角坐标系中，角。的顶点与原点重合，始边与工轴的非负半轴重

皿sina+2cosa/、

合，终边经过点尸（3,4）,贝-------:=()

cosa—sma

A.11B.-10C.10D.-11

【答案】B

【分析】由题意利用任意角的三角函数定义，可求得sin%cos。的值，代入计算即可.

【解析】因为角。的顶点与原点重合，始边与工轴的非负半轴重合，

且角的终边经过点P（3,4）,

44

所以.〃=而前=Wcosa=

4c3

—+2x—

ll-sina+2cosa55

所以-------:—=—10.

cosa-sina34

55

故选：B.

4.⑵24•全国・模拟预测）EL^tan«cos^-J-cos^Ao,区吟］，则=（

)

A.273-2B.4拒-3C.272D.3-272

【答案】D

【分析】先利用诱导公式和差角公式求出正切值，再利用齐次式可求答案.

兀

【解析】因为tanacos-cosa+"=0,所以tanacos-sin=0,

又所71以cos|：-a卜0,所以tana-tan71

a二0,

2~~

即tana-1^^=0,解得tana=亚一1或tana=—也一1，

1+tana

因为a,所以tana=V^-l，

sin2cr_2sinacosa上「3=3-20

4cos2。+sin2a4cos%+2sinacosa2+tanaJ2+1

故选：D

5.（2024•黑龙江双鸭山•模拟预测）已知a/e0,：,cos2cr-sin2a=—,且3sin4=sin(2a+4)，贝lja+广

7

的值为（）

A71兀71

A-HB.一-7D.—

63

【答案】D

【分析】利用同角三角函数关系可得tana=@,利用两角和与差的正弦公式化简

2

3sin[(a+〃)—a]=sin[(a+/7)+a],可得tan(a+0=2tana=6,根据角的范围，即可得到答案.

143

【解析】因为352。一51112々=—,(\)521+5诂2。=1,所以cos?。=—,sin2a=—,

777

sina=^,所以tan^^

因为所以cosa=

由3sin/?=sin(2a+由,得3sin[(a+0-a]=sin[(a+£)+a],

即3sin(6Z+%cosa-3cos(a+0)sina=sin(a+(3)cosa+cos(a+/7)sina,

所以sin(a+p)cosa=2cos(a+0sina,所以tan(a+夕)=2tana=G.

TT7T

又0<&+尸<5,所以々+4=§.

故选：D

7T(1+sina)(l+cosa)

6.(2024•辽宁丹东•一模)已知&e(0,i),4^/2+1,则sin2a=()

(1-sin6z)(l-cosa)

A472+1a4V2+1C4--1D.&

D.----------

816816

【答案】A

1.cosa+1

—sma+-----------

【分析】首先结合二倍角公式、半角公式以及角的范围将已知等式变形为2240+1,解得

cosa-\1.

-----------+—sincr

22

sina+cosa=1+—，两边平方即可求解.

4

【解析】因为ae(0,9,所以£e(0g),所以cos£>sin羡,

2

.aa

sin——FCOS—I,2ccos2—a

(1+sin6^)(1+cos6Z)22I2

所以2

(1-sina)(l-cosa).aa

sm----cos—|-2sin2y

22

.aaa1.cosa+1

sin—+cos—cos——sinad------------

22222=40+1,

.aa.acoscif-11•

-sin——+cos—sin———-——+—sma

22222

所以；卜山0+0050)+；=；(5亩0+©050)(4亚+1)-；[4拒+1),

即272(sina+cosa)=2^2+1,

所以sina+cosa=1+，

4

即(2

sina+coscr)=1+2sinacosa=1+sin2a=I4J

所以sm2a=中

故选：A.

【点睛】关键点点睛：关键是得出sina+cosa=l+也，由此即可顺利得解.

4

ab3c

7.（2024•河南•三模）在中，角43，。所对的边分别为Q4,C•石——+——,则tanA+tanC

cosAcosBcosC

的最小值是（）

A-I-IC.273D.4

【答案】B

【分析】由正弦定理得tanZ+tan5=3tanC,再通过两角和的正切公式得tanZtanB=4,最后使用基本不

等式求解即可.

ab3c

【解析】因为-----1-----=-----,

cosAcos5cosC

sinAsin53sinC

由正弦定理得-----1-----

cosAcosBcosC

所以tanA+tanB=3tanC,

又因为。=兀-（2+8）,

〜…,cctanA+tanB

所以tan力+tan8=-3-----------------

1-tanAtanB

3

所以1=

tanAtanB-\

BPtanAtan5=4.

411(4

所以tan5=------,tanC=-(tan^+tanS)=-tan/+

tan/33\tan4

显然tan/必为正（否贝ljtan/和tanC都为负，就两个钝角），

44168

所以tanA+tanC=—tanAH---------->2,

33tan43

4471

当且仅当:tan/=―-，即tan/=l,/=—取等号.

33tanA4

Q

所以tanA+tanC>—.

故选：B.

8.(2024・湖南•二模)在中，角43,C所对边分别为a,Ac,S.a2-b*2+c2+42ac=0，若

,、7框(无兀)cos(a+/)cos(a+C)也„,,,、

cos(A-C)^—,«e,一-----—-----L=—,则tana的值为()

'71014cos~a5

A.1B.2C.4D.2或4

【答案】C

【分析】利用余弦定理先得2,结合余弦的和差公式构造齐次式弦化切解方程计算即可.

【解析】由余弦定理得COS8=>+C2-"V23兀兀

------B=—,A+C=—

2ac244

c°s(")=*,L372

cosAcosC=------

5

即n<

•A•^正

cos(4+C)=sin4sinC=——

10

cos(a+/)cos(a+C)_cos2acos/cosC+sin2asinAsinCsinacosa(sin/cosC+sinCcos4)

cos2a-cos2a