




版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
特训03三角函数选填题两大解题技巧(四大题型)
一、勾股定理解三角函数选填题
1.适用范围:已知其中一个三角函数值,求其余两个三角函数值.
2.解题技法:
一画:画一个直角三角形;
二用:用勾股定理求出各条边长;
三求:求出当角a为锐角时的三角函数值;
四定:利用a所在象限确定符号.
二、整体代换法
TTTTTT
题型特征:当题目中有特殊角(不等)与单倍角(a,[3,x等)的和差=a,ma角的三角函数值,要求二倍角
52
(2a,2|3,2x等)或一乃土a,—乃土a等形式的三角函数值时,可用整体代换(换元或配角)简化解题过程
63
解题技法:
1.三角公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式
⑵当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,再应用诱导公式把“所求角”变
成“已知角
2.常见的配角技巧
2a=(a+/)+(a—/),a=+J3)-J3,J3=,a=,
(a-£)=(a+2)_&夕),
222
题型归纳4
目录:
♦题型01:任意角的三角函数
♦题型02:同角三角函数的基本关系
♦题型03:诱导公式
♦题型04:三角恒等变换
♦题型01:任意角的三角函数
1.设角&的终边经过点尸(3,-4),贝|tana的值等于()
,34c43
A.-B.—C.—D.—
5534
【答案】c
【分析】借助三角函数定义计算即可得.
-44
【解析】tan(z=—=-j.
故选:C.
2.已知。是第二象限的角,尸(龙,6)为其终边上的一点,且sina=,则》=().
A.-4B.±4C.-8D.±8
【答案】C
【分析】根据给定条件,利用三角函数定义列式计算即得.
【解析】点尸(x,6)是第二象限的角a终边上的一点,则x<0,
363
由sma=1,得[z谭,所以x=-8.
故选:C
3.己知角々的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点尸(cos5,sing),则cos("£
()
A.0B.;C.—D."
222
【答案】D
【分析】根据三角函数的定义求出sina,cosa,再由两角差的余弦公式计算可得.
即角a的终边经过点「d,所以sina=*cos«=1,
所以cos(a-乌]=cosacos—+sinczsin—=—xx—=—.
(6)6622222
故选:D
4.已知角a,角尸的顶点均为坐标原点,始边均与x轴的非负半轴重合,终边分别过4(1,3),8(-3,1),则
,a+B
tan------=()
2
A.-2或;B.2或-工C.;D.-2
222
【答案】D
【分析】取N8的中点利用三角函数定义得出/工加=二2,再由倾斜角和斜率的关系得出
tan?=^,最后利用ON得出答案.
【解析】记。为坐标原点,因为4(1,3),以-3,1),所以|。4|=|。同=而,
所以点/(1,3),8(-3,1),均在以原点。为圆心而为半径的圆上.
连接取的中点连接OM,则
不妨设a,(0,2兀),则4。初=1+2二4="2,
5.已知角。满足sin6<0,tan6<0,且sin]=sin5,则角,属于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】B
【分析】根据题意,由三角函数在各个象限符号的正负,即可判断.
【解析】由sindvO,tan6<0,得出。为第四象限角,
所以3+2E<0<2TI+2kn=>手+kji<^<Ti+hi,keZ,
nnn
则]为第二象限角或第四象限角,又因为sin-=sin-,
n0
所以sin]>0,则]为第二象限角.
故选:B.
♦题型02:同角三角函数的基本关系
,.2023K2023K'1在角3的终边上,则sin。
6.已知点sin--------,cos---------()
、46,1+cos。
逅R8
A.rV6D.
D.------巫
3232
【答案】B
【分析】根据诱导公式、二倍角公式,同角三角函数的基本关系求解即可.
(呜)
2023兀33771_V[
nCOS-------------COS-cos—灰
【解析】由题意,tan^u6,6
.2023兀.(\.3兀J2-2'
sm--------sm50571+—;-sm—
4I4,142
・0
•2csin—acos
”…sin,n920
所以-------=-----—=tan—=——
l+cos8-c”22
2cos—
2
故选:B.
7.已知2sin6+cose=0,则tan20=()
4444
A.—B.C.——D.
3355
【答案】B
【分析】根据题意,由条件可得=再由正切的二倍角公式代入计算,即可得到结果.
【解析】因为2sin6+cose=0,贝!Jtan6=-L
2
所以tan26=
故选:B
8.若tan[a+)=3,则sin2a+
cos2a=()
【答案】A
【分析】根据两角和的正切公式求出tana,再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切,再代入
计算可得.
tana+tan—71,,.
【解析】因为tan(a+:'4tana+1
即tana=—,
1-ta«ncif-t,a兀n—l—tana2
4
.八22smacosa+cos2a2tana+l78
[r|[isin2a+cosa-----:------:----=---:----=---%—=—
人」sina+cosatana+\(y+i5,
故选:A
_,心nr„,\兀、/、
9.已知---C-O-S-6Z:一二J3,则xtana+;二()
cosa-sma<4)
A.273+1B.2V3-1C.—D.1-V3
2
【答案】B
P0Qry
【分析】先将-------一弦化切求得tan],再根据两角和的正切公式即可求解.
cosa-sina
【,解〃力L析L.】因E为、r---c-o-s-a:一=j3FT,
cosa-sina
所以---=6,=>tana=1-^-,
1-tana3
比.(兀、tana+1底
所以tana+—=-------=2<3-1,
I4J1-tana
故选:B.
10.若4tan(7=.15,则cos2a=()
sma
1「77
A.-B.C.一D.——
8-888
【答案】D
【分析】利用同角基本关系式和二倍角公式求解.
【解析】由4tana=^—,得4sin2a=15cosa,
sma
即4cos2。+15cos1一4=0,解得3$戊=!或(:05戊二一4(舍),
4
7
所以cos2a=2cos2a-1=——.
故选:D.
11.若sin(a-尸)=L且tana=2tan/7,则sin(o+£)=(
6
AYR6
D.---------CD
22-t-I
【答案】D
【分析】利用正弦的差角公式结合弦切关系分别计算sinacos/?,cosasin/?,再根据和角公式计算即可.
【解析】因为sin(a—/7)=sinacos夕一cosasin/?,
6
.,_crsina2sm£
又tana=2tan(3,即-----------,则sin1cos]=2cosisin/7,
cosacosP
所以sinacos0=—,coscifsin/3=—
36
故sin(cr+4)=sinacosft+cosasinf3=—+—=—
362
故选:D
12.已知0<。<尸<兀,且sin(a+/?)=2cos(a+/7),sinasin/7-3coscrcos/7=0,则tan(a-B)=()
A.-1B--Tc-4D-I
【答案】C
【分析】找出tana和tan4的关系,求出tan。和tan/即可求解.
【解析】sinsin-3cosacos/?=0,
sinisin/?=3cosacos0,
tana+tan尸tana+tan0
tanatan/7=3①,sin(a+尸)=2cos(a+/),,tan(a+/?)=2n-----------------=2=>-----------------=2,
1-tanatan/31-3
tana=-l、tana=-3
tana+tan4=一4②,由①②解得tan4=一3或
tan°=_\'
':Q<a<P<TI,tana<tan0,
|tana=-3(._tan6Z-tanp_1
tan\OL—p\—------------------=—.
[tan/?=-l1+tan6/tanj32"
故选:C.
♦题型03:诱导公式
13.已知sin(/+^)=年,求cos(2分一g)=()
]_
B.cD.
3--t3
【答案】B
【分析】利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解即得.
【解析】由sin(Q+四)=也,得cos"-芋)=COS[(2/+5)-兀]=-cos2(/+g)
63336
=2sin2(^+-^)-l=2-(^y-)2-1=-1.
故选:B
14.已知函数/(幻=(:(«(2工-夕),贝(j"°=]+析,左eZ”是“〃x)为偶函数”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】当°=^+配伍eZ)时,代入可得〃x)=±sin2x,由正弦函数性质,可验证充分性,”力为偶函
数时,得到。=而化eZ),可验证必要性.
【解析】函数/(x)=cos(2x-°),当夕=事+祈(leZ)时,
仆)=cos2x-\—+fai=cos!Ix-^-knI=±sin2x,
u
则〃X)为奇函数,所以充分性不成立,
当"X)为偶函数时,电=尿业团,所以必要性不成立,
故,,夕=(荷,左ez”是““X)为偶函数”的既不充分也不必要条件.
故选:D.
15.己知sin(a-木]=g,则cos
A一迪B.速।
33
【答案】C
【分析】利用角的变换,再结合诱导公式,即
(2兀)「(兀)兀
【解析】cosl«+yl=COSIl+-=-S
故选:C
(、cos28
16.已知cosjq=;,则M呜1()
15
D.
T
【答案】D
【分析】设£TT则。=£JT-尸,根据诱导公式及二倍角公式可得cos20=2sin尸cos/,根据诱导公式
和弦切互化得tan1+T]=智,代入并利用同角三角函数关系求解即可.
I4)sin夕
71jr1
【解析】设尸=:-。,则人;-£,cos(3=4,
444
所以cos20=cos一2/7]=sin2/7=2sin/?cos[3,tan(6+;]=tan一4J=cosB
sinp
cos262sin(3cos/3115
=2sin29^=2-2cos9V=2——二一
所以;COSP88.
sin(3
故选:D
17.在平面直角坐标系中,若角a-;的顶点为原点,始边为x轴非负半轴,终边经过点尸(-3,-4),则
tanI2cr+yI=.
【答案】一手
【分析】先利用三角函数的定义得到tan(a-;j,再利用倍角公式和诱导公式进行转化求得tan(2a+g
【解析】由三角函数的定义,得tan[a-mj=g,所以
兀
2tana——8
I3)24
tan2a+—\=tan2a——+兀=tan2a——3
I3jI3jI31-tan2f6z-y13
9
故答案为:--—
18.已知5由次052=-3856^113~且7^11(a一~4)-cos(a+工兀)=0,则实数丸的值为_____.
1212y12j112j
【答案】一;/-06
【分析】借助诱导公式与两角和与差的正弦及余弦公式计算即可得.
【解析】cos^a+^-7r^=cos^a+^|+|^=-sin^a+^,
则2sin|a--\-cos|or+—7i|=2sin|cr--|+sin|6Z+—|
I12I12JI12I12
c.71.71)(.兀71.7171
=xsinacos----cosasin——+sinacos---1-cosasin——=0
12121212
Vsin^zcos-=-3coscrsin—,
1212
即-4cosasm--2-2cosasin-=0,
1212
即(22+l)cosasinq=0,
故24+1=0,BP2=.
2
故答案为:
♦题型04:三角恒等变换
19.已知cos(10。一a)=cos(50。一a)+cos(5()o+a),则tana=()
A-TC.V3D.-V3
【答案】C
【分析】根据两角和差的余弦公式化简,再根据50。=60。-10。结合两角差的余弦公式化简即可得解.
【解析】SCOS(10°-6Z)=COS(50O-6Z)+COS(50°+6Z),
得cos10°cosa+sin10°sina=2cos50°cosa,
故sin10°sina=2cos50°cosa-cos10°cosa
72cos50°-cos10°
所以tana=----------------
sin10°
_2cos(60°-10°)-cosl0°
sin10°
cos10o+V3sinl00-cos10°
sin10°
故选:C.
713eg+2a
20.已知sin-------a--,则cos的值为()
12
A.224
B.----
2525c(
【答案】D
【分析】由已知角表示待求角,根据二倍角的余弦公式,诱导公式求解.
cos|—+26lfj=COS2|-5兀+6Z2+a一1
【解析】-2cos2
61212J
71
=2sin2a\—\=2x--1=,
12)2525
故选:D.
.aca
sin——b2cos一
21.已知角二的始边为工轴的非负半轴,终边经过点。(4,-3),则一——看
5cos-----sin——
22
Bc.*或』1
A-亮D.-
-12164
【答案】B
【分析】根据角的范围可确定叁a为二、四象限角,贝iJtana|_<0,即可利用二倍角公式得tanc(i=-;1,利用弦
切互化即可求解.
3兀
【解析】由题意,得角a是第四象限角,则三+2加<2/2砒立Z,
3元(7(7CK
故彳+也<万<兀+也,左GZ,则5为二、四象限角,贝iJtan^vO,
2tan-Q
2「3
又因为tana=
1-tan2^-4,
2
(~YOf1
所以叱=3(舍去)或t-F
.acaac
sin——b2cos——tan—F2c
所以一方——i2_5
5cos-----sin一5<—t,an—a16
222
故选:B.
71cos2a3(n兀\
22.若0,।,-----———,则COSCtH------=()
2J1+tan26/8(66)
R收c"
D.-------D.1
2
【答案】C
【分析】将cos2a用1Tan;"替换后,解方程解出a即可.
1+tana
71cos2a3
【解析】因为0,
211+tan2a8'
sin26Z-cos2a八1-tan2a
可得3(1+tan?a)=8x'—Z---------7—=8X------------
sin6Z+cosa1+tana
可得3(l+tan2a]=8-8tan2a,
解得tan2a=:,因为所以tana=",
3V2J3
所以a=g,
o
LL…"1
所以cosa+—=cos—=—.
I6j32
故选:C.
713
23.已知函数/(x)=sin(2x+p)(0<0<7t)满足/(x)Vf若0<匹<£<乃,且/(占)=/@2)=_],
则siMz-xJ的值为()
【答案】D
【分析】由/Xx”/■会得函数在x=£时取最值,得函数的解析式,再由三角恒等变换计算sg-玉)的
值.
【解析】因为析x)=sin(2x+p)满足/(x)溜然),所以吗)=±1,
JTTT[L
所以2x:+0=q+E,k£Z,又。<夕<兀,所以"=
626
7T
得f(x)=sin(2x+z),
6
t3
因为。<再<工2<兀,/(再)=/(%2)=—y
所咤<2%+/苫<2%+/等,所以一式2再+凯-'cosQz+a],
兀
COS[2(X2-xj]=cos(2x~1—)—(2石+
26
所以sig?-xJ=产吗匚万=1.
因为0<九2一项〈兀
故选:D.
24.已知a=¥(sinl4o+cosl4。),6=sin61。,c=咚,则。,b,。的大小顺序为()
A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c
【答案】A
【分析】利用辅助角公式化简。,再利用正弦函数的单调性即可比较出大小.
【解析】因为Q=sin140+cos14°)=^-V2-sin^14°+45°)=sin59°,
b=sin61°,c=V=sin60°,由正弦函数”sinx在"之上递增知:a<c<b,
故选:A.
25.已知/(0)=cos40+cos3。,且仇,%,3是了⑼在(0,兀)内的三个不同零点,下列结论不正确的是
()
A.yG{01?92,03}B.+。2+%=兀
C.COS0,cos仇cos区=--D.COS0J+cos0+cos0=—
1*23***7823
【答案】B
【分析】根据方程cos4。+cos3。=0,。£(0,兀)求出4,02,03,再逐项验证即可得到答案.
【解析】由题意:cos40+cos30=O,。£(0,兀)得:cos4。=一cos3。=cos(兀一3。),
所以40=兀一30+2kli或40=30—兀+2kli,kwZ,
又。e(o㈤,所以4=;,e2=y,e3=^.
故A正确;
4+。2+/=弓+乃+不=言,故B错误;
7777
八八八7i3TI5K兀2兀4兀
cos"cos/cos”=cos—cos——cos——=cos—cos——cos——
3777777
c.兀7i2兀4兀
2sin—cos-cos—cos——
_7777
2s呜
.2兀2兀4兀.4兀4兀.8兀
sin——cos——cos——sin——cos——sm—
c•兀4.7Tc•兀8
2sin—4sin—8sin—
777
八„八兀3兀5兀(2兀4兀6兀1
1237771777)
.71(2兀4兀6兀、16.3K.兀.5兀.3兀.7兀.5兀、
-sin—cos——+cos——+cos——sm------sin—+sin------sin—+sin------sin—
二7(777兀2(7777771
.71.71
sin—sin—
77
=;.故D正确.
故选:B
模拟精练
1.(2024・河南商丘•模拟预测)“sin(a-2024无)>0”是“a为第一象限角”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用诱导公式及正弦函数的性质结合充分、必要条件的定义判定选项即可.
【解析】易知sin(a—2024兀)=sina,所以sin(a-2024n)>0nsina>。=>
。为第一象限角、第二象限角或终边落在纵轴正半轴上的角,
显然不满足充分性,满足必要性.
故选:B
2.(2024•重庆•模拟预测)已知打,户都是锐角,cose=;,sin(a+齐)=^梳,则cos2£的值为()
A.--B.yC.D.近
2222
【答案】A
【分析】根据题意,求得sina=t8,再由kcosx的单调性,求得+,利用两角差的余弦
714
公式,求得cos,=cos[(a+/?)-0]=;,结合余弦的倍角公式,即可求解.
【解析】由二与/均为锐角,且coso=;,sin(a+/)=§擀,所以sina=\^,
因为可得0<戊+〃<兀,cos(a+4)=±1,
又因为V=COSX在(0,兀)上单调递减,且所以850>3(0+/?),
因为cosa=;,所以cos(a+/?)=一《,
所以cosft=cos[(a+尸)一a]=cos(a+/?)cosa+sin(a+/?)sina=x;+x[,
贝l|cos2尸=2cos2〃一l=2x(g)2-l=—g.
故选:A.
3.(2024・四川成都・模拟预测)在平面直角坐标系中,角。的顶点与原点重合,始边与工轴的非负半轴重
皿sina+2cosa/、
合,终边经过点尸(3,4),贝-------:=()
cosa—sma
A.11B.-10C.10D.-11
【答案】B
【分析】由题意利用任意角的三角函数定义,可求得sin%cos。的值,代入计算即可.
【解析】因为角。的顶点与原点重合,始边与工轴的非负半轴重合,
且角的终边经过点P(3,4),
44
所以.〃=而前=Wcosa=
4c3
—+2x—
ll-sina+2cosa55
所以-------:—=—10.
cosa-sina34
55
故选:B.
4.⑵24•全国・模拟预测)EL^tan«cos^-J-cos^Ao,区吟],则=(
)
A.273-2B.4拒-3C.272D.3-272
【答案】D
【分析】先利用诱导公式和差角公式求出正切值,再利用齐次式可求答案.
兀
【解析】因为tanacos-cosa+"=0,所以tanacos-sin=0,
又所71以cos|:-a卜0,所以tana-tan71
a二0,
2~~
即tana-1^^=0,解得tana=亚一1或tana=—也一1,
1+tana
因为a,所以tana=V^-l,
sin2cr_2sinacosa上「3=3-20
4cos2。+sin2a4cos%+2sinacosa2+tanaJ2+1
故选:D
5.(2024•黑龙江双鸭山•模拟预测)已知a/e0,:,cos2cr-sin2a=—,且3sin4=sin(2a+4),贝lja+广
7
的值为()
A71兀71
A-HB.一-7D.—
63
【答案】D
【分析】利用同角三角函数关系可得tana=@,利用两角和与差的正弦公式化简
2
3sin[(a+〃)—a]=sin[(a+/7)+a],可得tan(a+0=2tana=6,根据角的范围,即可得到答案.
143
【解析】因为352。一51112々=—,(\)521+5诂2。=1,所以cos?。=—,sin2a=—,
777
sina=^,所以tan^^
因为所以cosa=
由3sin/?=sin(2a+由,得3sin[(a+0-a]=sin[(a+£)+a],
即3sin(6Z+%cosa-3cos(a+0)sina=sin(a+(3)cosa+cos(a+/7)sina,
所以sin(a+p)cosa=2cos(a+0sina,所以tan(a+夕)=2tana=G.
TT7T
又0<&+尸<5,所以々+4=§.
故选:D
7T(1+sina)(l+cosa)
6.(2024•辽宁丹东•一模)已知&e(0,i),4^/2+1,则sin2a=()
(1-sin6z)(l-cosa)
A472+1a4V2+1C4--1D.&
D.----------
816816
【答案】A
1.cosa+1
—sma+-----------
【分析】首先结合二倍角公式、半角公式以及角的范围将已知等式变形为2240+1,解得
cosa-\1.
-----------+—sincr
22
sina+cosa=1+—,两边平方即可求解.
4
【解析】因为ae(0,9,所以£e(0g),所以cos£>sin羡,
2
.aa
sin——FCOS—I,2ccos2—a
(1+sin6^)(1+cos6Z)22I2
所以2
(1-sina)(l-cosa).aa
sm----cos—|-2sin2y
22
.aaa1.cosa+1
sin—+cos—cos——sinad------------
22222=40+1,
.aa.acoscif-11•
-sin——+cos—sin———-——+—sma
22222
所以;卜山0+0050)+;=;(5亩0+©050)(4亚+1)-;[4拒+1),
即272(sina+cosa)=2^2+1,
所以sina+cosa=1+,
4
即(2
sina+coscr)=1+2sinacosa=1+sin2a=I4J
所以sm2a=中
故选:A.
【点睛】关键点点睛:关键是得出sina+cosa=l+也,由此即可顺利得解.
4
ab3c
7.(2024•河南•三模)在中,角43,。所对的边分别为Q4,C•石——+——,则tanA+tanC
cosAcosBcosC
的最小值是()
A-I-IC.273D.4
【答案】B
【分析】由正弦定理得tanZ+tan5=3tanC,再通过两角和的正切公式得tanZtanB=4,最后使用基本不
等式求解即可.
ab3c
【解析】因为-----1-----=-----,
cosAcos5cosC
sinAsin53sinC
由正弦定理得-----1-----
cosAcosBcosC
所以tanA+tanB=3tanC,
又因为。=兀-(2+8),
〜…,cctanA+tanB
所以tan力+tan8=-3-----------------
1-tanAtanB
3
所以1=
tanAtanB-\
BPtanAtan5=4.
411(4
所以tan5=------,tanC=-(tan^+tanS)=-tan/+
tan/33\tan4
显然tan/必为正(否贝ljtan/和tanC都为负,就两个钝角),
44168
所以tanA+tanC=—tanAH---------->2,
33tan43
4471
当且仅当:tan/=―-,即tan/=l,/=—取等号.
33tanA4
Q
所以tanA+tanC>—.
故选:B.
8.(2024・湖南•二模)在中,角43,C所对边分别为a,Ac,S.a2-b*2+c2+42ac=0,若
,、7框(无兀)cos(a+/)cos(a+C)也„,,,、
cos(A-C)^—,«e,一-----—-----L=—,则tana的值为()
'71014cos~a5
A.1B.2C.4D.2或4
【答案】C
【分析】利用余弦定理先得2,结合余弦的和差公式构造齐次式弦化切解方程计算即可.
【解析】由余弦定理得COS8=>+C2-"V23兀兀
------B=—,A+C=—
2ac244
c°s(")=*,L372
cosAcosC=------
5
即n<
•A•^正
cos(4+C)=sin4sinC=——
10
cos(a+/)cos(a+C)_cos2acos/cosC+sin2asinAsinCsinacosa(sin/cosC+sinCcos4)
cos2a-cos2a
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 2025年车用电池合作协议书
- 2025年数控板料折弯机项目合作计划书
- 2024春新教材高中数学 5.4.3 正切函数的性质与图象教学实录 新人教A版必修第一册
- ocb板ntc采样最小线宽
- npt系综计算自由能程序代码matlab
- ms水分子复制不完全
- 北某茶文化回执表(知识研究版本)
- 电脑安全防护方案
- 电力系统负荷预测matlab程序
- 电力工程电气设计手册2019版
- 2025年日语n2考前试题及答案
- 2025年山西同文职业技术学院单招综合素质考试题库带答案
- 防洪防涝知识培训课件
- 2025年安徽卫生健康职业学院单招职业技能测试题库审定版
- 高等职业学校办学能力评价的策略及实施方案
- 2025年01月中国疾控中心信息中心公开招聘1人笔试历年典型考题(历年真题考点)解题思路附带答案详解
- 安徽2025年安徽汽车职业技术学院教职工校园招聘笔试历年参考题库附带答案详解
- 中央2025年中国科协所属单位招聘社会在职人员14人笔试历年参考题库附带答案详解-1
- 2025年中国移动通信集团贵州限公司招聘高频重点模拟试卷提升(共500题附带答案详解)
- 2025年江苏电子信息职业学院高职单招职业适应性测试近5年常考版参考题库含答案解析
- 2025年北京卫生职业学院高职单招职业技能测试近5年常考版参考题库含答案解析
评论
0/150
提交评论