三角函数图像与性质归类-高考数学一轮复习热点题型专项训练

专题4-2三角函数图像与性质归类

目录

一、热点题型归纳

【题型一】平移1：正弦__＞余弦........................................................1

【题型二】平移2：识图平移............................................................3

【题型三】平移3：恒等变形平移........................................................4

【题型四】平移4：中心对称，轴对称，单调性等性质......................................5

【题型五】平移5：最小平移............................................................6

【题型六】平移6：求w。最值...........................................................7

【题型七】正余弦函数对称轴............................................................8

【题型八】正余弦对称中心..............................................................9

【题型九】三角函数周期...............................................................10

【题型十】单调性与最值...............................................................11

【题型十一】正余弦“和”与“积”性质、最值...........................................11

【题型十二】三角函数零点.............................................................12

【题型十三】图像与性质：xi与xz型....................................................13

【题型十四】三角函数最值.............................................................14

【题型十五】万能代换与换元...........................................................15

【题型十六】图像和性质综合...........................................................15

二、真题再现..................................................................................16

三、模拟检测.................................................................................178

热点题型归纳

【题型一】平移1：正弦一―余弦

【典例分析】

（2022•安徽省太和中学高三阶段练习）已知函数〃“=＜：0$（0尤+。）［0＞0,0＜。＜；）,若/（%）的图象向

右平移］个单位后，得到函数g（x）=sin（2x+g1的图象，则（）

A兀C71-71C2兀

A.（p=—B.（p=—C.（p=—D.（P=—

【提分秘籍】

基本规律

函数名称不一致的平移，有两种方法:

1.诱导公式化同名

2.五点画图法，观察“第一零点第二零点一致性”

【变式演练】

1（2023・全国•高三专题练习）已知直线x=?是函数/（x）=2sin（2尤+°）（|例＜引的图像的一条对称轴，为

8

了得到函数、=/（x）的图像，可把函数＞=2时2%-3的图像（）

A.向左平移三个单位长度B.向右平移三个单位长度

2424

C.向左平移卷个单位长度D.向右平移展个单位长度

2.（2022.全国•高三专题练习）为得到函数y=cos12x-1的图象，只需将函数y=-sin（2xj］图象上所有

的点（）

A.向左平移g7IT个单位长度B.向右平移g77c个单位长度

1212

C.向左平移97万个单位长度D.向右平移977r个单位长度

2424

3.（2023•全国•高三专题练习）为了得到函数y=sin12x+£|的图象，可以将函数y=8$（2天+方）的图象

（）

A.向左平移二个单位B.向右平移个单位

24724T

兀

C.向右平移旁个单位D.向左平移?7个单位

2424

【题型二】平移2：识图平移

【典例分析】

（2022•陕西•渭南市华州区咸林中学高三开学考试（理））如图，函数/（力=2豆11（8+夕）［0＞0,|夕|＜"的图

像过（，。）（2兀,2）两点，为得到函数g（x）=2cos（0x-0）的图像，应将〃x）的图像（）

B.向左平移r个单位长度

O

D.向左平移5胃兀个单位长度

2

【提分秘籍】

基本规律

确定y=Av加（近吐/）+fe（A＞0,w＞0）的步骤和方法：

⑴求4b：确定函数的最大值M和最小值机，贝I匕=丝努；

（2）求。：确定函数的周期T,贝何得由华；

（3）求9：常用的方法有代入法和五点法.

①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时4w6已知）或代入图象与直线＞=6的交点求解（此时

要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上）.

②五点法：确定夕值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口.

【变式演练】

1.（2022•河南•高三阶段练习（理））函数/（x）=2sin（©x+0）（。＞0且。＜。＜无）在一个周期内的图象如

图所示，将函数y=/（x）图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移:个单位长度，得到函数

A.6B.1C.-1D.-73

2.（2022・全国・长垣市第一中学高三开学考试（理））将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标变为原来的

机（，〃＞0）倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向左平移。（。＜。＜））个单位长度，最后将所得函数图象上所

有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到如图所示的函数/（x）的部分图象，则〃〃，。的值

分别为（）

C.m=2,n=2,(p=一

D.m=­、n=2冲=一

23

3.(2022•四川省内江市第六中学模拟预测(文))已知函数〃x)=Acos(s+0“A>O,0>O,|d<m，将

函数“X)的图象向左平移苧个单位长度，得到函数g(x)的部分图象如图所示，贝1()

【题型三】平移3：恒等变形平移

【典例分析】

(2022・湖北•高三开学考试)要得到g(x)=sin(4x+g1勺图象，只需要将/(x)=cos?Zx-sir?2x的图象

()

A.向左平移三个单位长度B.向右平移£个单位长度

2424

C.向左平移联个单位长度D.向右平移专个单位长度

【提分秘籍】

基本规律

利用正余弦两角和与差公式，二倍角公式，降幕公式，半角公式等恒等变形进行平移

【变式演练】

1.（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（X）=2sinx+cosx的图象向左平移>°）个单位长度后得到函

数g（x）=sinx+2cosx的图象，则g（0）=（）

A.9B.1C,1D.§

5555

2.（2022•全国•高三专题练习）为了得到函数y=2cos2x的图象，只需把函数y=V^sin2x+cos2x的图象

（）

A.向左平移?个单位长度B.向右平移?个单位长度

C.向左平移《个单位长度D.向右平移b个单位长度

OO

3.（【百强校】2015届浙江省宁波市镇海中学高三5月模拟考试理科数学）设/（x）=cos2x-Gsin2x,

把y=/（x）的图像向左平移9（。>0）个单位后，恰好得到函数g（x）=-cos2x-J^sin2x的图象，则（p

的值可以为（）

【题型四】平移4：中心对称，轴对称，单调性等性质

【典例分析】

（2022・安徽•高三开学考试）将函数/。）=$：111（2》+夕）（0<0<万）的图象向右平移1个单位长度得到8（；0的

O

图象，若g（x）的图象关于直线x=g对称，则（）

A.—BB.--C.0D.、

222

【提分秘籍】

基本规律

1.一般情况下，f（x）=As%（vurt/）（A>0,vv>0）两个点关于中心对称，则函数值互为相反数。

2.对称中心之间的距离是半个周期的整数倍。

3.周期与轴之间的距离，是四分之一周期的整数倍。

4正余弦与水平线交点的中点，是函数的对称轴。

5.一般情况下，f（x）=A?力2无W）+6（A>0,坟>0）的最大值或者最小值，必在对称轴处。

6.对称轴之间的距离，是半个周期的整数倍。

【变式演练】

L（2022・贵州贵阳•高三开学考试（理））已知函数/（x）=2cos（2x+0）[0＜9＜、J的图象向右平移1个单位

长度后，得到函数g（%）的图象，若g（x）的图象关于原点对称，则。=（）

A.—B.—C.-D.—

34612

2..（2021・河南•高三开学考试（理））将函数〃司=7^m（21+。），同＜^|的图像向右平移（个单位长度

得到函数晨"的图像，若匕|,是函数8⑴图像的一个对称中心，则函数8⑴的一个单调递减区间为

（）

3.（2023•全国•高三专题练习）将偶函数〃%）=A/5sin（2x+0）-cos（2%+e）（Ov°V7i）的图象向右平移;个

6

单位，得到y=g（x）的图象，则g*）的一个单调递减区间为（）

7171717兀

A.B.

12，12

712兀兀5兀、

C.65TD.

【题型五】平移5：最小平移

【典例分析】

（【百强校】2019-2020学年湖南省株洲二中）把函数/（x）=sin2x-2sinxcosx+3cos2x的图像沿工轴

7T

向左平移加（加＞0）个单位，所得函数g（x）的图像关于直线x=—对称，则冽的最小值为（）

8

【提分秘籍】

基本规律

三角函数图像公式，再借助五点画图法，可直观观察对应的最小值

【变式演练】

1.（2023・全国•高三专题练习）将函数仆）=sin2一）sir?、+总的图象向左平移0）个单位长

度后，得到函数g（x）的图象，若g（x）满足817）=8[+尤],则夕的最小值为（）

,71一兀_271-371

A.—B.—C.—D.—

4234

2.（2023.全国•高三专题练习）函数"x）=cos（2x-wj_sin[2尤-万J,将函数的图象向左平移

火9>0）个单位长度，得到函数g（x）的图象，若g（x）为偶函数，则。的最小值是（）

A.-B.—C.-D.-

121263

jr

3.（2022•全国•高三专题练习（文））将曲线C:y=sin2x+cos2x向左平移2个单位长度得到曲线G，将曲

线C向右平移。（夕>0）个单位长度得到曲线C2,若C1与C?关于x轴对称，则夕的最小值为（）

A.二B.工C.至D.如

4234

【题型六】平移6：求w。最值

【典例分析】

7T

/（x）=2sin（0x——）（G>0）

（2022•江苏•南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）将函数3的图象向左平

移五个单位得到函数y=g。）的图象，若y=ga）在6'了上为增函数，则。最大值为（）

3

A.-B.2C.3D.J5

2

【提分秘籍】

基本规律

大多数时候，是代入点的坐标，利用一些已知点（最高点、最低点或''零点”）坐标代入解析式，或者

利用单调区间，再结合图形解出°值或者范围。

【变式演练】

兀

1.（2022•吉林・长春市第二实验中学高三阶段练习）已知函数/（x）=sinox-6cosox（o>0）的图象向左平移点

个单位长度后得到函数g（x）的图象关于y轴对称，则。的最小值为（）

A.1B.2C.-D.5

3

2.（2023•全国•高三专题练习）将函数f（x）=sin。>0）图象上所有点的横坐标缩短到原来的；倍（纵坐

标不变），再向左平移£个单位长度，得到函数8（无）的图象，若gG）在（£，而上单调递减，则实数。的

取值范围为（）

,1,八5「15]「15一

A.（0,—]B.（0,—]C.D.~f~

484448

/（x）=4sincox-\■—sincox----,（0>0）

3.（2022.黑龙江・大庆实验中学模拟预测（理））已知函数I3><3>的最小

71

X——

正周期为"，将其图象沿尤轴向左平移双机>°）个单位，所得图象关于直线3对称，则实数机的最小值

为（）

【题型七】正余弦函数对称轴

【典例分析】

已知函数"x）=sins・coss+^cos2s_5（&>0）,直线兄=再，x=x2^y=f（x）图象的任意两条对称轴,

JTTT

且N-9|的最小值为：，若关于X的方程/（》）+左=。在区间0,-上有两个不同的实数解，则实数左的取

4L4J

值范围为（）

A.（-1,1）B.C.超D.［-1,^

【提分秘籍】

基本规律

函数y=sinxy=cosxy=tanx

图象l|z~\1r21r卜\T一

TT7T［—7i+2kn,

［一万+2祈，1+2E］（左£Z）上递

2祈］

（-1+析，］+

增；

（左WZ）上递增；

单调性kn）

份+2E,普+2时（左金Z）上递

［2E,九+2祈］

（左WZ）上递增

减（左WZ）上递减

jr

伤+E,0)

对称中俘，

(kn,0)(依Z)0)3Z)

心

(壮Z)

\

对称轴x=1+ku

x=kit(kGZ)

方程

(kb)

周期2712九兀

【变式演练】

1.已知函数〃x）=2sin]2x+£],记函数在区间+?上的最大值为最小值为机，设函数％⑴=

Mt-m〉若t6居,胃则函数八⑴的值域为.

广东省潮州市2019-2020学年高三下学期模拟数学试题

e

2..若/（X）=2sin（2x+0）（0>0）的图象关于直线x=会对称，且当。取最小值时，3x0使得

/（%o）=a,则。的取值范围是.

广东省华南师范大学附属中学2022届高三上学期1月模拟数学试题

3.已知函数g(x)=sin仁尤记方程g（x）=g在xe[0,21]上的根从小到大依次为为，求

x3+2X4+……+2xn_,+xn=.

【题型八】正余弦对称中心

【典例分析】

已知/（x）=3sin（2x+0）（°eR）既不是奇函数也不是偶函数，若y="x+〃?）的图像关于原点对称，

y="x+"）的图像关于了轴对称，则H+W的最小值为（）

71_7171

A.%B.—C.—D.—

248

黑龙江省哈尔滨德强学校2021-2022学年高三上学期期末考试数学（文）试题（清北班）

【变式演练】

1.（2020・湖南岳阳•二模（理））/（x）=ACOS2（0X+0）+1[A>O,0>O,O<O<3的最大值是3,/（x）的图

像与y轴的交点坐标为（0,2）,其相邻两个对称中心的距离为2,则/（1）+〃2）+…+〃2015）=.

2.（2021江苏•南京师大附中一模）设函数=道sin?wx-sinwxcoswMw〉。），且y=/（x）的图象

的一个对称中心到最近的对称轴的距离为?，则f（x）在区间[-孑。]上的最大值为

3.（20122.全国•高三专题练习）若函数f（x）=sin（2x+（p）l2J与函数g（x）=8s<6>®>0）的所有

的对称中心全都相同，贝U（p=.

【题型九】三角函数周期

【典例分析】

(2020•全国•模拟预测(理))函数"x)=cosxsin(x+m的最小正周期为()

71

A.4乃B.27rC.»D.—

2

【提分秘籍】

基本规律

1.化一法：恒等变形，化为正余弦形式

2.数形结合

【变式演练】

1.已知函数/(x)=cos2x+2sinx,则

A.的最小正周期为万，最小值为1

B./(x)的最小正周期为万，最小值为-3

C.7(x)的最小正周期为2万，最小值为1

D.7(x)的最小正周期为2%,最小值为-3

2.(2020・浙江•模拟预测)已知函数/(x)=(sinx产一(cosx)2*(左eZ+),g(x)=(sinx)2W-(cos%)2M(keZ+

与g(x)的最小正周期分别是()

3.(2019・四川成都•模拟预测(文))函数〃%)=5也左(4(^0-1)的最小正周期是()

A.—B.――C."D.2万

33

【题型十】单调性与最值

【典例分析】

函数/⑴=sin12了+曰在区间「-5eR上的最大值与最小值之差的取值范围是

A.Ji-*/B.[1,0]

仁]和D.1一字应

重庆市南开中学2019-2020学年高三上学期第二次教学质量检测数学(理)试题

【变式演练】

1.已知函数/'（尤）=Acos（0x+9）（A>O,0>O,O<e<g）的图象过点（0,；）,最小正周期为名,且最小

2/3

值为-1.若无，/（X）的值域是[T一亭，则m的取值范围是.

2.已知函数/（x）=0sin]0x+?1+（sin（0x+]10>O）在0,1上的值域为,贝!Jcos詈的取值范

围为・

3.已知/（X）=sin（3x+0+；）（3〉0）同时满足下列三个条件：①T=兀；②y=/1一§是奇函数;

③"0）（胃若/（x）在[0,。上没有最小值，则实数f的取值范围是.

江西省宜春市2019-2020学年高三期末质量监测数学试题

【题型十一】正余弦“和”与“积”性质、最值

【典例分析】

1TT

（2022・全国•高三专题练习）若函数/（%）=-cos2%+3q（sinx+cosx）+（2a-l）x在0,—上单调递减，则实

2_2_

数”的取值范围为

【提分秘籍】

基本规律

sinx±cosx,与sinx*cosx之间的互化关系

1(sinx±cos%)2=1±2sinx•cosx

2.如果xeR,则由辅助角可知sinx±cosxe[-72,6]

【变式演练】

1.（2021•江西抚州•三质检）若x是三角形的最小内角，贝i|函数丁=sinx+cosx-sinxcosx的最小值是

A.——B.—1--\/2C.1D.

22

2..已知实数a>0,若函数/（x）=a（sinx+cosx）—sinxcos比—a（xeR）的最大值为，则a的值为

河南省信阳高级中学2020-2021学年高三数学试题

3.已知直线尤=a[o<a<|^与函数〃x)=sinx和函数g(x)=cosx的图象分别交于M,N两点，若同。

则线段MN中点的纵坐标为.

福建省2016届高三毕业班总复习(三角函数)单元过关形成性测试卷(理科)数学试题

【题型十二】三角函数零点

【典例分析】

设函数为定义域为R的奇函数，且f(x)=/(2-x),当了《0』时，/(x)=sinx,则函数

g(x)=|cos;rM-/(x)在区间-|■，:上的所有零点的和为

A.6B.7C.13D.14

福建省泉州市泉港区第一中学2019届高三上学期第二次月考数学(理)试题

【变式演练】

1.设正整数k使得关于x的方程区=sinx在区间(-37,3乃)内恰有5个实根网</<当<Z<毛，则()

29万5汽

A.%+%2+毛+14+工5=0B.---<<—

122

C.x5=tanx5D.%，龙4，七成等差数列

武汉大学2020年强基计划数学试题

।1।+2sin[/r(x--)]

于(x)=

次一口2在X©[一3,5]上的所有零点之和等于.

2函数

37T

—cos—(1-x),0<x<1

3.已知函数是定义在R的偶函数，当60时，/(力={2]若函数

+1,%>1

g(x)=5"(x)[-(54+6)〃尤)+6<2((7€R)有且仅有6个不同的零点，贝！|实数a取值范围

山东省日照第一中学2017届高三4月“圆梦之旅”(九)数学(文)试题

【题型十三】图像与性质：入与X2型

【典例分析】

(【百强校】2021届江西金溪一中等校高三上期中联考文数)已知函数/(x)=asinx—bcosx(其中。力

为正实数)的图象关于直线犬=—7对称，且",”尺，且药也/⑷/㈤可恒成立，则下列

结论正确的是()

A.a=也,b=lB.不等式/(石)/(%)W4取到等号时归—的最小值为2万

C.函数“X)的图象一个对称中心为[|肛0)D.函数“X)在区间飞兀上单调递增

【提分秘籍】

基本规律

综合运用三角函数图像和性质

【变式演练】

1.(2020届浙江省瑞安市高三上学期第一次四校联考理科数学)函数/(x)=x-2，xe[1,2],

g(x)=acos^+5-2a,(aw0),对任意的玉e[1,2],总存在/£[0,1],使得g(%2)=/(%)成立，

则a的取值范围为.

2.(【百强校】2019届江西省南昌二中高三上学期第一次考试理科数学)已知函数/(x)=2sins(其中

常数。＞0),若存在％e—菖,0：/6[o，/，使得/(为)=/(%2)，则⑷的取值范围为.

3.(2022•全国•高三专题练习)已知把函数"x)=sin，+m)cosx-乎的图象向右平移三个单位长度，再

把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若g&)-g(%)=；,若A，马4-兀,兀],

则占-无2的最大值为()

AC3兀—3兀一

A.兀B.—C.—D.2九

42

【题型十四】三角函数最值

【典例分析】

cin%+]

(2019・辽宁实验中学高三模拟)函数/(%)=卜:.的最大值是()

A.3B.亚C.1D.逑

5555

【提分秘籍】

基本规律

1.分式型，注意化一，和分子分母因式分解约分

2.利用正余弦的有界性，构造函数，转化化归

【变式演练】

sin4x+J5cos4x

1.函数/Xx)=的值域为

sin2X-6COS2X

A.(-2,2)B.(Tl)C.[-1』D.[—2,2]

湖北省黄冈市麻城市2019-2020学年高三上学期10月月考数学(理)试题

2.设函数/~(x)=a：+asinx+2的最大值为知①),最小值为双〃)，贝(j()

a+acosx+2

A.3«0GR,M(a0)-m(a0)=2B.VtzeR,M(a)+m(a)=2

C.三〃。£民〃(。0)+M(4)=1D.VtzeR,M(a)•m(a)=1

浙江省杭州市建人高复学校2020届高三下学期5月模拟数学试题

3.函数/(尤)=意为的最大值为.

2019山东省济宁二中高三数学试卷

【题型十五】万能代换与换元

【典例分析】

(2022•全国•高三专题练习(理))函数y=T+smx[o4尤4的最大值和最小值分别为()

sinx+cosx\2J

A.1,-1B.乌-走C.旦,0D,0,-1

222

【提分秘籍】

基本规律

三角函数中的万能公式

120

2tan—l-tan—2-tan—e

sin6»=--------。cos0=----------专tand=--------J

1+tan2—I+tan2—1—tan—

2,2，2

【变式演练】

1.(2022•安徽•合肥市第六中学模拟预测(文))已知。，夕2sin(a+/?)=sin«sin/?,则

四3+包必包的最小值为()

sinasin尸cosacos尸口「取」回〃')

A.V2-1B.72C.瞿D.崇

1616

/(«)=2J(cos«+1)2+sin2a-Jcos2a+(sina-1)2,川

2.已知函数V2V2，若集合”"⑷-吗必，则实数〃z的

取值范围为.

江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月第二次调研考试数学试题

3.若/+/=2,那么2x-3y的最大值为.

广东省清远市恒大足球学校2020届高三上学期九月月考数学试题

【题型十六】图像和性质综合

【典例分析】

（2022•全国•高三专题练习）已知函数/（元）=sin?m+：sinox-g（。＞0）,

xeR.若f（x）在区间（%,2万）内

没有零点，则。的取值范围是

51_15

CaD_

8-8-4-8-

【变式演练】

1.（2019・甘肃・天水市第一中学高三阶段练习（理））已知函数/（尤）=sin[@x+|^-J^cos（0x+/

(0>0)

37r7r

在区间-彳，5上单调,且在区间[。，2幻内恰好取得一次最大值2,则0的取值范围是

£2j_3

B.D.

493454

—z_.CDX①X、r.[TCDX_①X、

a=(2sin——,cos——),/?=(V3cos——,2cos——)-T

2..(2020・四川成都.二模(文))己知2222,函数八功=。为在区间

3上恰有3个极值点，则正实数。的取值范围为（）

•「85、「,75.21)7

A.『])B.C.D.(尸

3,4

5、使得/（药）=2/优+，）+2成立，则

3.已知〃x）=3sinx+2,对任意的^都存在无2

下列选项中，©可能的值是（）

,3兀-4»6兀

A.——B.——C.D-T

55T

真题再现

1.（2021•全国•高考真题（文））函数/a）=sin5+cosq的最小正周期和最大值分别是（）

A.3兀和后B.3兀和2C.6兀和&D.6兀和2

2.（2022•浙江・高考真题）为了得到函数y=2sin3x的图象，只要把函数y=2sin（3x+]j图象上所有的点

（）

A.向左平移g个单位长度B.向右平移g个单位长度

C.向左平移已个单位长度D.向右平移已个单位长度

3.（浙江•高考真题（文））函数/（%）=sinxcosx+且cos2x的最小正周期和振幅分别是（）

2

A.7i,1B.71,2

C.2K,1D.2兀，2

冗

4.（湖南•高考真题（理））函数f（x）=sinx-cos（x+：）的值域为

6

A.[-2,2]B.[-73,73]C.1-1,1]D.[-正，且]

22

5.（2021•全国•高考真题（理））把函数、=/（尤）图像上所有点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变,

再把所得曲线向右平移1个单位长度,的图像，则/（尤）=（)

x7%

A.sin

(212,

sinf2x--

C.I12

6.(2021•北京•高考真题)函数/(x)=cosx-cos2x是

A.奇函数，且最大值为2B.偶函数,且最大值为2

99

C.奇函数，且最大值为gD.偶函数,且最大值为g

O0

7.（2022.全国•高考真题（文））将函数/（x）=sin[s+弦。＞0）的图像向左平移个单位长度后得到曲

线C,若C关于y轴对称，则。的最小值是（）

8.（2022・天津•高考真题）已知〃x）=；sin2x,关于该函数有下列四个说法：

①/（x）的最小正周期为2兀；

②了⑴在[三,勺上单调递增；

44

③当XW~~时，/⑶的取值范围为；

_63」44

④"x）的图象可由g（x）=sin（2%+；）的图象向左平移白个单位长度得到.

248

以上四个说法中，正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

9.（2020・天津・高考真题）已知函数/（x）=sin]x+qj.给出下列结论：

①/（x）的最小正周期为2万；

②di）是/⑴的最大值；

③把函数y=sin尤的图象上所有点向左平移?个单位长度，可得到函数y=/（》）的图象.

其中所有正确结论的序号是（)

A.①