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文档简介

专题4-2三角函数图像与性质归类

目录

一、热点题型归纳

【题型一】平移1:正弦__>余弦........................................................1

【题型二】平移2:识图平移............................................................3

【题型三】平移3:恒等变形平移........................................................4

【题型四】平移4:中心对称,轴对称,单调性等性质......................................5

【题型五】平移5:最小平移............................................................6

【题型六】平移6:求w。最值...........................................................7

【题型七】正余弦函数对称轴............................................................8

【题型八】正余弦对称中心..............................................................9

【题型九】三角函数周期...............................................................10

【题型十】单调性与最值...............................................................11

【题型十一】正余弦“和”与“积”性质、最值...........................................11

【题型十二】三角函数零点.............................................................12

【题型十三】图像与性质:xi与xz型....................................................13

【题型十四】三角函数最值.............................................................14

【题型十五】万能代换与换元...........................................................15

【题型十六】图像和性质综合...........................................................15

二、真题再现..................................................................................16

三、模拟检测.................................................................................178

热点题型归纳

【题型一】平移1:正弦一―余弦

【典例分析】

(2022•安徽省太和中学高三阶段练习)已知函数〃“=<:0$(0尤+。)[0>0,0<。<;),若/(%)的图象向

右平移]个单位后,得到函数g(x)=sin(2x+g1的图象,则()

A兀C71-71C2兀

A.(p=—B.(p=—C.(p=—D.(P=—

【提分秘籍】

基本规律

函数名称不一致的平移,有两种方法:

1.诱导公式化同名

2.五点画图法,观察“第一零点第二零点一致性”

【变式演练】

1(2023・全国•高三专题练习)已知直线x=?是函数/(x)=2sin(2尤+°)(|例<引的图像的一条对称轴,为

8

了得到函数、=/(x)的图像,可把函数>=2时2%-3的图像()

A.向左平移三个单位长度B.向右平移三个单位长度

2424

C.向左平移卷个单位长度D.向右平移展个单位长度

2.(2022.全国•高三专题练习)为得到函数y=cos12x-1的图象,只需将函数y=-sin(2xj]图象上所有

的点()

A.向左平移g7IT个单位长度B.向右平移g77c个单位长度

1212

C.向左平移97万个单位长度D.向右平移977r个单位长度

2424

3.(2023•全国•高三专题练习)为了得到函数y=sin12x+£|的图象,可以将函数y=8$(2天+方)的图象

()

A.向左平移二个单位B.向右平移个单位

24724T

C.向右平移旁个单位D.向左平移?7个单位

2424

【题型二】平移2:识图平移

【典例分析】

(2022•陕西•渭南市华州区咸林中学高三开学考试(理))如图,函数/(力=2豆11(8+夕)[0>0,|夕|<"的图

像过(,。)(2兀,2)两点,为得到函数g(x)=2cos(0x-0)的图像,应将〃x)的图像()

B.向左平移r个单位长度

O

D.向左平移5胃兀个单位长度

2

【提分秘籍】

基本规律

确定y=Av加(近吐/)+fe(A>0,w>0)的步骤和方法:

⑴求4b:确定函数的最大值M和最小值机,贝I匕=丝努;

(2)求。:确定函数的周期T,贝何得由华;

(3)求9:常用的方法有代入法和五点法.

①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时4w6已知)或代入图象与直线>=6的交点求解(此时

要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上).

②五点法:确定夕值时,往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口.

【变式演练】

1.(2022•河南•高三阶段练习(理))函数/(x)=2sin(©x+0)(。>0且。<。<无)在一个周期内的图象如

图所示,将函数y=/(x)图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍,再向右平移:个单位长度,得到函数

A.6B.1C.-1D.-73

2.(2022・全国・长垣市第一中学高三开学考试(理))将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标变为原来的

机(,〃>0)倍,纵坐标不变,再将所得函数图象向左平移。(。<。<))个单位长度,最后将所得函数图象上所

有点的纵坐标变为原来的倍,横坐标不变,得到如图所示的函数/(x)的部分图象,则〃〃,。的值

分别为()

C.m=2,n=2,(p=一

D.m=­、n=2冲=一

23

3.(2022•四川省内江市第六中学模拟预测(文))已知函数〃x)=Acos(s+0“A>O,0>O,|d<m,将

函数“X)的图象向左平移苧个单位长度,得到函数g(x)的部分图象如图所示,贝1()

【题型三】平移3:恒等变形平移

【典例分析】

(2022・湖北•高三开学考试)要得到g(x)=sin(4x+g1勺图象,只需要将/(x)=cos?Zx-sir?2x的图象

()

A.向左平移三个单位长度B.向右平移£个单位长度

2424

C.向左平移联个单位长度D.向右平移专个单位长度

【提分秘籍】

基本规律

利用正余弦两角和与差公式,二倍角公式,降幕公式,半角公式等恒等变形进行平移

【变式演练】

1.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(X)=2sinx+cosx的图象向左平移>°)个单位长度后得到函

数g(x)=sinx+2cosx的图象,则g(0)=()

A.9B.1C,1D.§

5555

2.(2022•全国•高三专题练习)为了得到函数y=2cos2x的图象,只需把函数y=V^sin2x+cos2x的图象

()

A.向左平移?个单位长度B.向右平移?个单位长度

C.向左平移《个单位长度D.向右平移b个单位长度

OO

3.(【百强校】2015届浙江省宁波市镇海中学高三5月模拟考试理科数学)设/(x)=cos2x-Gsin2x,

把y=/(x)的图像向左平移9(。>0)个单位后,恰好得到函数g(x)=-cos2x-J^sin2x的图象,则(p

的值可以为()

【题型四】平移4:中心对称,轴对称,单调性等性质

【典例分析】

(2022・安徽•高三开学考试)将函数/。)=$:111(2》+夕)(0<0<万)的图象向右平移1个单位长度得到8(;0的

O

图象,若g(x)的图象关于直线x=g对称,则()

A.—BB.--C.0D.、

222

【提分秘籍】

基本规律

1.一般情况下,f(x)=As%(vurt/)(A>0,vv>0)两个点关于中心对称,则函数值互为相反数。

2.对称中心之间的距离是半个周期的整数倍。

3.周期与轴之间的距离,是四分之一周期的整数倍。

4正余弦与水平线交点的中点,是函数的对称轴。

5.一般情况下,f(x)=A?力2无W)+6(A>0,坟>0)的最大值或者最小值,必在对称轴处。

6.对称轴之间的距离,是半个周期的整数倍。

【变式演练】

L(2022・贵州贵阳•高三开学考试(理))已知函数/(x)=2cos(2x+0)[0<9<、J的图象向右平移1个单位

长度后,得到函数g(%)的图象,若g(x)的图象关于原点对称,则。=()

A.—B.—C.-D.—

34612

2..(2021・河南•高三开学考试(理))将函数〃司=7^m(21+。),同<^|的图像向右平移(个单位长度

得到函数晨"的图像,若匕|,是函数8⑴图像的一个对称中心,则函数8⑴的一个单调递减区间为

()

3.(2023•全国•高三专题练习)将偶函数〃%)=A/5sin(2x+0)-cos(2%+e)(Ov°V7i)的图象向右平移;个

6

单位,得到y=g(x)的图象,则g*)的一个单调递减区间为()

7171717兀

A.B.

12,12

712兀兀5兀、

C.65TD.

【题型五】平移5:最小平移

【典例分析】

(【百强校】2019-2020学年湖南省株洲二中)把函数/(x)=sin2x-2sinxcosx+3cos2x的图像沿工轴

7T

向左平移加(加>0)个单位,所得函数g(x)的图像关于直线x=—对称,则冽的最小值为()

8

【提分秘籍】

基本规律

三角函数图像公式,再借助五点画图法,可直观观察对应的最小值

【变式演练】

1.(2023・全国•高三专题练习)将函数仆)=sin2一)sir?、+总的图象向左平移0)个单位长

度后,得到函数g(x)的图象,若g(x)满足817)=8[+尤],则夕的最小值为()

,71一兀_271-371

A.—B.—C.—D.—

4234

2.(2023.全国•高三专题练习)函数"x)=cos(2x-wj_sin[2尤-万J,将函数的图象向左平移

火9>0)个单位长度,得到函数g(x)的图象,若g(x)为偶函数,则。的最小值是()

A.-B.—C.-D.-

121263

jr

3.(2022•全国•高三专题练习(文))将曲线C:y=sin2x+cos2x向左平移2个单位长度得到曲线G,将曲

线C向右平移。(夕>0)个单位长度得到曲线C2,若C1与C?关于x轴对称,则夕的最小值为()

A.二B.工C.至D.如

4234

【题型六】平移6:求w。最值

【典例分析】

7T

/(x)=2sin(0x——)(G>0)

(2022•江苏•南京市金陵中学河西分校高三阶段练习)将函数3的图象向左平

移五个单位得到函数y=g。)的图象,若y=ga)在6'了上为增函数,则。最大值为()

3

A.-B.2C.3D.J5

2

【提分秘籍】

基本规律

大多数时候,是代入点的坐标,利用一些已知点(最高点、最低点或''零点”)坐标代入解析式,或者

利用单调区间,再结合图形解出°值或者范围。

【变式演练】

1.(2022•吉林・长春市第二实验中学高三阶段练习)已知函数/(x)=sinox-6cosox(o>0)的图象向左平移点

个单位长度后得到函数g(x)的图象关于y轴对称,则。的最小值为()

A.1B.2C.-D.5

3

2.(2023•全国•高三专题练习)将函数f(x)=sin。>0)图象上所有点的横坐标缩短到原来的;倍(纵坐

标不变),再向左平移£个单位长度,得到函数8(无)的图象,若gG)在(£,而上单调递减,则实数。的

取值范围为()

,1,八5「15]「15一

A.(0,—]B.(0,—]C.D.~f~

484448

/(x)=4sincox-\■—sincox----,(0>0)

3.(2022.黑龙江・大庆实验中学模拟预测(理))已知函数I3><3>的最小

71

X——

正周期为",将其图象沿尤轴向左平移双机>°)个单位,所得图象关于直线3对称,则实数机的最小值

为()

【题型七】正余弦函数对称轴

【典例分析】

已知函数"x)=sins・coss+^cos2s_5(&>0),直线兄=再,x=x2^y=f(x)图象的任意两条对称轴,

JTTT

且N-9|的最小值为:,若关于X的方程/(》)+左=。在区间0,-上有两个不同的实数解,则实数左的取

4L4J

值范围为()

A.(-1,1)B.C.超D.[-1,^

【提分秘籍】

基本规律

函数y=sinxy=cosxy=tanx

图象l|z~\1r21r卜\T一

TT7T[—7i+2kn,

[一万+2祈,1+2E](左£Z)上递

2祈]

(-1+析,]+

增;

(左WZ)上递增;

单调性kn)

份+2E,普+2时(左金Z)上递

[2E,九+2祈]

(左WZ)上递增

减(左WZ)上递减

jr

伤+E,0)

对称中俘,

(kn,0)(依Z)0)3Z)

(壮Z)

\

对称轴x=1+ku

x=kit(kGZ)

方程

(kb)

周期2712九兀

【变式演练】

1.已知函数〃x)=2sin]2x+£],记函数在区间+?上的最大值为最小值为机,设函数%⑴=

Mt-m〉若t6居,胃则函数八⑴的值域为.

广东省潮州市2019-2020学年高三下学期模拟数学试题

e

2..若/(X)=2sin(2x+0)(0>0)的图象关于直线x=会对称,且当。取最小值时,3x0使得

/(%o)=a,则。的取值范围是.

广东省华南师范大学附属中学2022届高三上学期1月模拟数学试题

3.已知函数g(x)=sin仁尤记方程g(x)=g在xe[0,21]上的根从小到大依次为为,求

x3+2X4+……+2xn_,+xn=.

【题型八】正余弦对称中心

【典例分析】

已知/(x)=3sin(2x+0)(°eR)既不是奇函数也不是偶函数,若y="x+〃?)的图像关于原点对称,

y="x+")的图像关于了轴对称,则H+W的最小值为()

71_7171

A.%B.—C.—D.—

248

黑龙江省哈尔滨德强学校2021-2022学年高三上学期期末考试数学(文)试题(清北班)

【变式演练】

1.(2020・湖南岳阳•二模(理))/(x)=ACOS2(0X+0)+1[A>O,0>O,O<O<3的最大值是3,/(x)的图

像与y轴的交点坐标为(0,2),其相邻两个对称中心的距离为2,则/(1)+〃2)+…+〃2015)=.

2.(2021江苏•南京师大附中一模)设函数=道sin?wx-sinwxcoswMw〉。),且y=/(x)的图象

的一个对称中心到最近的对称轴的距离为?,则f(x)在区间[-孑。]上的最大值为

3.(20122.全国•高三专题练习)若函数f(x)=sin(2x+(p)l2J与函数g(x)=8s<6>®>0)的所有

的对称中心全都相同,贝U(p=.

【题型九】三角函数周期

【典例分析】

(2020•全国•模拟预测(理))函数"x)=cosxsin(x+m的最小正周期为()

71

A.4乃B.27rC.»D.—

2

【提分秘籍】

基本规律

1.化一法:恒等变形,化为正余弦形式

2.数形结合

【变式演练】

1.已知函数/(x)=cos2x+2sinx,则

A.的最小正周期为万,最小值为1

B./(x)的最小正周期为万,最小值为-3

C.7(x)的最小正周期为2万,最小值为1

D.7(x)的最小正周期为2%,最小值为-3

2.(2020・浙江•模拟预测)已知函数/(x)=(sinx产一(cosx)2*(左eZ+),g(x)=(sinx)2W-(cos%)2M(keZ+

与g(x)的最小正周期分别是()

3.(2019・四川成都•模拟预测(文))函数〃%)=5也左(4(^0-1)的最小正周期是()

A.—B.――C."D.2万

33

【题型十】单调性与最值

【典例分析】

函数/⑴=sin12了+曰在区间「-5eR上的最大值与最小值之差的取值范围是

A.Ji-*/B.[1,0]

仁]和D.1一字应

重庆市南开中学2019-2020学年高三上学期第二次教学质量检测数学(理)试题

【变式演练】

1.已知函数/'(尤)=Acos(0x+9)(A>O,0>O,O<e<g)的图象过点(0,;),最小正周期为名,且最小

2/3

值为-1.若无,/(X)的值域是[T一亭,则m的取值范围是.

2.已知函数/(x)=0sin]0x+?1+(sin(0x+]10>O)在0,1上的值域为,贝!Jcos詈的取值范

围为・

3.已知/(X)=sin(3x+0+;)(3〉0)同时满足下列三个条件:①T=兀;②y=/1一§是奇函数;

③"0)(胃若/(x)在[0,。上没有最小值,则实数f的取值范围是.

江西省宜春市2019-2020学年高三期末质量监测数学试题

【题型十一】正余弦“和”与“积”性质、最值

【典例分析】

1TT

(2022・全国•高三专题练习)若函数/(%)=-cos2%+3q(sinx+cosx)+(2a-l)x在0,—上单调递减,则实

2_2_

数”的取值范围为

【提分秘籍】

基本规律

sinx±cosx,与sinx*cosx之间的互化关系

1(sinx±cos%)2=1±2sinx•cosx

2.如果xeR,则由辅助角可知sinx±cosxe[-72,6]

【变式演练】

1.(2021•江西抚州•三质检)若x是三角形的最小内角,贝i|函数丁=sinx+cosx-sinxcosx的最小值是

A.——B.—1--\/2C.1D.

22

2..已知实数a>0,若函数/(x)=a(sinx+cosx)—sinxcos比—a(xeR)的最大值为,则a的值为

河南省信阳高级中学2020-2021学年高三数学试题

3.已知直线尤=a[o<a<|^与函数〃x)=sinx和函数g(x)=cosx的图象分别交于M,N两点,若同。

则线段MN中点的纵坐标为.

福建省2016届高三毕业班总复习(三角函数)单元过关形成性测试卷(理科)数学试题

【题型十二】三角函数零点

【典例分析】

设函数为定义域为R的奇函数,且f(x)=/(2-x),当了《0』时,/(x)=sinx,则函数

g(x)=|cos;rM-/(x)在区间-|■,:上的所有零点的和为

A.6B.7C.13D.14

福建省泉州市泉港区第一中学2019届高三上学期第二次月考数学(理)试题

【变式演练】

1.设正整数k使得关于x的方程区=sinx在区间(-37,3乃)内恰有5个实根网</<当<Z<毛,则()

29万5汽

A.%+%2+毛+14+工5=0B.---<<—

122

C.x5=tanx5D.%,龙4,七成等差数列

武汉大学2020年强基计划数学试题

।1।+2sin[/r(x--)]

于(x)=

次一口2在X©[一3,5]上的所有零点之和等于.

2函数

37T

—cos—(1-x),0<x<1

3.已知函数是定义在R的偶函数,当60时,/(力={2]若函数

+1,%>1

g(x)=5"(x)[-(54+6)〃尤)+6<2((7€R)有且仅有6个不同的零点,贝!|实数a取值范围

山东省日照第一中学2017届高三4月“圆梦之旅”(九)数学(文)试题

【题型十三】图像与性质:入与X2型

【典例分析】

(【百强校】2021届江西金溪一中等校高三上期中联考文数)已知函数/(x)=asinx—bcosx(其中。力

为正实数)的图象关于直线犬=—7对称,且",”尺,且药也/⑷/㈤可恒成立,则下列

结论正确的是()

A.a=也,b=lB.不等式/(石)/(%)W4取到等号时归—的最小值为2万

C.函数“X)的图象一个对称中心为[|肛0)D.函数“X)在区间飞兀上单调递增

【提分秘籍】

基本规律

综合运用三角函数图像和性质

【变式演练】

1.(2020届浙江省瑞安市高三上学期第一次四校联考理科数学)函数/(x)=x-2,xe[1,2],

g(x)=acos^+5-2a,(aw0),对任意的玉e[1,2],总存在/£[0,1],使得g(%2)=/(%)成立,

则a的取值范围为.

2.(【百强校】2019届江西省南昌二中高三上学期第一次考试理科数学)已知函数/(x)=2sins(其中

常数。>0),若存在%e—菖,0:/6[o,/,使得/(为)=/(%2),则⑷的取值范围为.

3.(2022•全国•高三专题练习)已知把函数"x)=sin,+m)cosx-乎的图象向右平移三个单位长度,再

把横坐标缩小到原来一半,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,若g&)-g(%)=;,若A,马4-兀,兀],

则占-无2的最大值为()

AC3兀—3兀一

A.兀B.—C.—D.2九

42

【题型十四】三角函数最值

【典例分析】

cin%+]

(2019・辽宁实验中学高三模拟)函数/(%)=卜:.的最大值是()

A.3B.亚C.1D.逑

5555

【提分秘籍】

基本规律

1.分式型,注意化一,和分子分母因式分解约分

2.利用正余弦的有界性,构造函数,转化化归

【变式演练】

sin4x+J5cos4x

1.函数/Xx)=的值域为

sin2X-6COS2X

A.(-2,2)B.(Tl)C.[-1』D.[—2,2]

湖北省黄冈市麻城市2019-2020学年高三上学期10月月考数学(理)试题

2.设函数/~(x)=a:+asinx+2的最大值为知①),最小值为双〃),贝(j()

a+acosx+2

A.3«0GR,M(a0)-m(a0)=2B.VtzeR,M(a)+m(a)=2

C.三〃。£民〃(。0)+M(4)=1D.VtzeR,M(a)•m(a)=1

浙江省杭州市建人高复学校2020届高三下学期5月模拟数学试题

3.函数/(尤)=意为的最大值为.

2019山东省济宁二中高三数学试卷

【题型十五】万能代换与换元

【典例分析】

(2022•全国•高三专题练习(理))函数y=T+smx[o4尤4的最大值和最小值分别为()

sinx+cosx\2J

A.1,-1B.乌-走C.旦,0D,0,-1

222

【提分秘籍】

基本规律

三角函数中的万能公式

120

2tan—l-tan—2-tan—e

sin6»=--------。cos0=----------专tand=--------J

1+tan2—I+tan2—1—tan—

2,2,2

【变式演练】

1.(2022•安徽•合肥市第六中学模拟预测(文))已知。,夕2sin(a+/?)=sin«sin/?,则

四3+包必包的最小值为()

sinasin尸cosacos尸口「取」回〃')

A.V2-1B.72C.瞿D.崇

1616

/(«)=2J(cos«+1)2+sin2a-Jcos2a+(sina-1)2,川

2.已知函数V2V2,若集合”"⑷-吗必,则实数〃z的

取值范围为.

江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月第二次调研考试数学试题

3.若/+/=2,那么2x-3y的最大值为.

广东省清远市恒大足球学校2020届高三上学期九月月考数学试题

【题型十六】图像和性质综合

【典例分析】

(2022•全国•高三专题练习)已知函数/(元)=sin?m+:sinox-g(。>0),

xeR.若f(x)在区间(%,2万)内

没有零点,则。的取值范围是

51_15

CaD_

8-8-4-8-

【变式演练】

1.(2019・甘肃・天水市第一中学高三阶段练习(理))已知函数/(尤)=sin[@x+|^-J^cos(0x+/

(0>0)

37r7r

在区间-彳,5上单调,且在区间[。,2幻内恰好取得一次最大值2,则0的取值范围是

£2j_3

B.D.

493454

—z_.CDX①X、r.[TCDX_①X、

a=(2sin——,cos——),/?=(V3cos——,2cos——)-T

2..(2020・四川成都.二模(文))己知2222,函数八功=。为在区间

3上恰有3个极值点,则正实数。的取值范围为()

•「85、「,75.21)7

A.『])B.C.D.(尸

3,4

5、使得/(药)=2/优+,)+2成立,则

3.已知〃x)=3sinx+2,对任意的^都存在无2

下列选项中,©可能的值是()

,3兀-4»6兀

A.——B.——C.D-T

55T

真题再现

1.(2021•全国•高考真题(文))函数/a)=sin5+cosq的最小正周期和最大值分别是()

A.3兀和后B.3兀和2C.6兀和&D.6兀和2

2.(2022•浙江・高考真题)为了得到函数y=2sin3x的图象,只要把函数y=2sin(3x+]j图象上所有的点

()

A.向左平移g个单位长度B.向右平移g个单位长度

C.向左平移已个单位长度D.向右平移已个单位长度

3.(浙江•高考真题(文))函数/(%)=sinxcosx+且cos2x的最小正周期和振幅分别是()

2

A.7i,1B.71,2

C.2K,1D.2兀,2

4.(湖南•高考真题(理))函数f(x)=sinx-cos(x+:)的值域为

6

A.[-2,2]B.[-73,73]C.1-1,1]D.[-正,且]

22

5.(2021•全国•高考真题(理))把函数、=/(尤)图像上所有点的横坐标缩短到原来的1倍,纵坐标不变,

再把所得曲线向右平移1个单位长度,的图像,则/(尤)=()

x7%

A.sin

(212,

sinf2x--

C.I12

6.(2021•北京•高考真题)函数/(x)=cosx-cos2x是

A.奇函数,且最大值为2B.偶函数,且最大值为2

99

C.奇函数,且最大值为gD.偶函数,且最大值为g

O0

7.(2022.全国•高考真题(文))将函数/(x)=sin[s+弦。>0)的图像向左平移个单位长度后得到曲

线C,若C关于y轴对称,则。的最小值是()

8.(2022・天津•高考真题)已知〃x)=;sin2x,关于该函数有下列四个说法:

①/(x)的最小正周期为2兀;

②了⑴在[三,勺上单调递增;

44

③当XW~~时,/⑶的取值范围为;

_63」44

④"x)的图象可由g(x)=sin(2%+;)的图象向左平移白个单位长度得到.

248

以上四个说法中,正确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

9.(2020・天津・高考真题)已知函数/(x)=sin]x+qj.给出下列结论:

①/(x)的最小正周期为2万;

②di)是/⑴的最大值;

③把函数y=sin尤的图象上所有点向左平移?个单位长度,可得到函数y=/(》)的图象.

其中所有正确结论的序号是()

A.①

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