三角函数图像变换 求参数问题-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

高考仿真重难点训练05三角函数图像变换求参数问题

一、选择题

JT

1.将函数〃x）=2sin（2x-§）的图象向左平移冽（加〉0）个单位，所得图象关于原点对称，则机的值可以

是（）.

兀4兀5兀

A.—B.RC.—D.—

333

【答案】D

【分析】先求平移后图象的解析式，然后根据正弦函数的对称性可得.

7T

【解析】将函数/（x）=2sin（2x-§）的图象向左平移加个单位，

得,=2sin（2（x+777）—g）=2sin12x+2加的图象，

因为y=2sin（2x+2加-的图象关于原点对称，

所以2加一女=历1,左cZ,gpm=—+—,kGZ,

362

571

当左=3时，得"7=节，

,..7L左兀7L71左兀714兀471,,士4、t〃▼,-,--，.

使/=：+：-=：，m=-+—=n,加=:+二-=:-的整数后不存在.

62362623

故选：D

2.将函数/（x）=sin（2x+夕）（0＜夕＜兀）的图象向右平移弓个单位长度后得到函数g（x）=sin12尤-7图1的图象,

12

则。的值为（）

n71712兀

A.B.1C.一D.

643T

【答案】B

【分析】先根据平移求出平移后的函数解析式，利用函数相等可求答案.

【解析】将/«=sin（2x+夕）（0＜。＜几）的图象向右平移弓个单位长度后得到的解析式为y=sin（2x-g+9

由题意sin（2x-：+e）=sin（2x-]j,

所以0——-----F2ATI,k£Z,即0=—卜2kji,kE7J.

3124

jr

因为0＜0＜无，所以0=1.

故选：B.

3.设函数/(x)=acos0x("O,0＞O),若将〃x)的图象向左平移以个单位长度后在恒］上有且仅有两个

零点，则。的取值范围是()

A.1/B.［2,4)C.加'A］

【答案】A

【分析】由平移变换法则得g(x)=“os(ox+",由题意g(x)在o］上有且仅有两个零点，由此可列出

关于。的不等式组，解出不等式组即可得解.

【解析】将/(x)的图象向左平移以个单位长度后的图象所对应的函数表达式为

n

g(x)=/XH--------=6ZC0S

3①(3

71TT71717171

注意到。〉0,则当工£0,—时，Ct)x+—e一,一。+一

_/2」3323

由题意g(x)在0e上有且仅有两个零点,

这意味着半ge71兀715兀71兀71，且显然”

一,一。+一‘万任一,一0+一

323323

71冗、3冗

-CD-\——>——

232713

也就是说＜，解得*/

兀冗5%

-CD-\——<——

1232

故选：A.

4.函数〃》)=2$亩(2'+夕)(-1＜夕＜"的图像关于点］,0］中心对称，将函数的图像向右平移］个

单位长度得到函数g(x)的图像，则函数g(x)在区间［-兀,可内的零点个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】正弦函数的图像与性质、三角函数图像的平移变换

【解析】••・函数〃x)的图像关于点(J,oJ中心对称，.•./|jJ=2sin［T+eJ=0,.-.y+^=^,A-eZ,

「兀7171

又——<(p<—,.\(p=—'则小5泻

223

将函数/(X)的图像向右平移W个单位长度得到函数g(x)=2sin(2x-3的图像,

令2x-1=fat,左eZ,得x=B+"，左eZ,.,.函数g(x)在区间［-兀，兀］内的零点有x==-g,x=?,x=§,

3626363

共4个.

故选：D.

5.己知函数〃x)=/sin(0x+。)(/＞0,。＞0,画＜兀)的部分图象如图所示，将〃x)的图象向左平移二个单

位长度后得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间［0,7］上的值域为卜后2］,贝〃的取值范围为()

【答案】C

【分析】先由图象求出函数/'(x),再由平移变换得函数g(“，结合整体法求值域，从而求f的取值范围.

QO<JT<JTQ-TF

【解析】设/(x)的最小正周期为r,由图象可知/=2,：T=胃+]=子,

所以7=兀，则0=2,故〃x)=2sin(2x+0),

又/'(x)的图象过点]g,2)所以2xg+9=‘2feaeZ,

所以夕=-学+2M小eZ,又网<兀，所以夕=一学，

66

则/(x)=2sin(2x-t1,

则g(x)=/(x+；)=2sin[2(x+>引=2sin[x一.

当xw[0,q时，,

当2%-[=-]或¥.即X=0或%=苧时,g(x)=-V3,

3336

当2%-三三，即工若时，g(')=2,

5兀5元

所以f的取值范围为—.

故选：C.

6.设函数的图象与函数y=2cosmxe-1,|的图象关于x轴对称，将〃x)的图象向右平移!个单

位长度后得到函数g(x)的图象，则函数＞的图象与y=g(x)的图象的所有交点的横坐标之和为()

x-l

A.8B.6C.4D.2

【答案】C

【分析】利用轴对称求得函数/(x),利用三角函数平移变换得到函数g(x),再利用函数的对称中心计算得

到结果.

【解析】由题意得/(x)=-2cos,xej,贝l]g(x)=-2cos=-2sin7uc(xe[0,2]).

函数＞=—1的图象由函数y图形向右平移1个单位得到.

x-1X

由函数Y

的图象与y=g(x)的图象关于点(1,0)对称，在定义域内有4个交点.

所以函数＞=的图象与y=g(x)的图象的所有交点的横坐标之和为2x2=4

x-l

7.已知函数/⑴=而卜工+热+应妙用(。＞0),将/⑴图象上所有的点的横坐标缩短到原来的g(纵

坐标不变)得到函数g(x)的图象，若g(x)在(。，2]上恰有一个极值点，则。的取值不可能是()

A.1B.3C.5D.7

【答案】A

【分析】利用三角恒等变换得到〃x)=2sin(s+m，结合伸缩变换得到g(x)=2sin120x+3，0>O,整

ITI7TTT7TI

体法得到+丁,丁+不，根据极值点个数得到不等式，求出1<。47,得到答案.

313o3)

【解析】因为f(x)=sinf+—>|+cos(a)x-^-\=—sina)x+coscox+cosa)x+—sina)x

V3JV6J2222

=sina)x+y/3coscox=2sincox+—\,

又将/(x)图象上所有的点的横坐标缩短到原来的g(纵坐标不变)得到函数g(')的图象,

所以g(x)=2sin2a)x+—M>0.

当卜兀寸，2s+兀G兀兀

12

又因为g(x)在(0,图上恰有一个极值点,

71(V7171371-

所以彳<L+彳〈?，解得1<0V7.

2632

故选：A.

rra

8.将函数〃x)=2cos2x的图象向右平移个工单位后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间［0,-］和

63

［207,%?］上均单调递增，则实数a的取值范围是()

6

B•管C.M

o3

【答案】A

【分析】根据函数》=/$苗(。X+0)的图像变换规律推得g(x)的解析式，再根据三角函数的性质求出函数的

单调增区间，再结合函数g(x)在区间［0,曰和［2a,g］上均单调递增，列出关于。的不等式组进行求解即可.

36

TT

【解析】根据题意，将函数/(x)=2cos2x的图象向右平移个5单位后得到函数g(x)的图象，则

6

g(x)=2cos22cosf2x-yj.

根据函数g(x)的单调增区间满足-乃+2左万W2x—242左左，(左eZ),解得一生+上万<x<—+k7r,(keZ).

336

TTT—T2乃77T

当先=0时，函数的增区间为一丁嚏W,当左=1时，函数的增区间为—

JOO3o

若满足函数g(x)在区间［0,曰a和2a,?上均单调递增，则

33O

八a,九

0<—<—

36,解得pf

2»,7万

——<2a<——

I36

故选：A.

【点睛】本题主要考查函数了=/sin(ox+e)的图像变换规律以及根据三角函数的单调性求参数范围.

二、多选题

已知函数/(幻=也〔+引(且对于都有了

9.2$80>0)VxeRx成立.现将函数

/(x)=2sin［@x+^J的图象向右平移7;1个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)

6

得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是()

71

A.函数gx+gY=0B.函数g(x)相邻的对称轴距离为"

2万TTTF

C.函数g|X+是偶函数D.函数g(x)在区间上单调递增

3o5

【答案】ABCD

【解析】先利用已知条件求出/(x)的周期？=乃，即可得。=2,再利三角函数图象的平移伸缩变换得g(x)

的解析式，在逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.

【解析】因为对于VxeR都有了成立

所以〃x)=f[x+l=-f(X+7T),

所以〃x)=-(-〃》+"))=〃X+》)对于VxeR都成立,

可得/(X)的周期7=%，所以。=干，TT=2,

所以/(x)=2sin12x+V，

将函数/(x)=2sin[2x+r71j的图象向右平移.个单位长度，可得

6

+.=2sinp-今兀]再把所有点的横坐标伸长到原来的71

y=2sin21x一?2倍可得g(x)=2sinX--

6

对于选项A:

71+2sin]x+E-=2sin(-x)+2

gx+gx+7=2smsinx=0,

故选项A正确;

T

对于选项B：函数g(x)周期为7=7=2»,所以相邻的对称轴距离为,=故选项B正确;

(21=2sin|x+3=2cosx是偶函数，故选项C正确;

对于选项C：gr+T=2sinr+T-?

业%717171TTTT

对于选项D：3—<X<—,0<X---<—,所以函数g(x)在区间上单调递增，故选项D正确,

636663

故选：ABCD

711

X--

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由+工)恒成立得出

/(力=/(尤+%)可得。的值,求出/(X)的解析式.

10.函数“X)对任意xeR,者B有2〃x)-3〃-x)=5sin2x+cos2x,则关于函数g(x)=〃x)+l的命题正

确的是

函数g(x)在区间1o，D上单调递增

A.

B.直线x-弓是函数g(x)图像的一条对称轴

O

强,0)是函数g(x)图像的一个对称中心

C.点

D.将函数g(x)图像向右平移7个单位，可得到J=l-V2cos2x的图像

O

【答案】BD

【分析】对于题干条件，用-X替代X得到新的方程，联立先算出/(X)表达式，从而得出g(x)的表达式，然

后根据正弦函数的性质逐一判断每个选项.

【解析】由2/(x)—3〃—x)=5sin2x+cos2x,用-x替代x得到

2f(-x)-3/(x)=5sin(-2x)+cos(-2x)=cos2x-5sin2x,

联立上述两式得到，/(%)=sin2x-cos2x=V2sinl2x--^1,

贝1Jg(x)=/(x)+l=V^sin[2x-：J+l.

、“-r-(八27r।.7T17113兀

A选项，时，2X——E，根据正弦函数的单调性,

4

71717113兀

y=sinx在上递增，在上递减,

4522,-ir

根据复合函数的单调性可知g(x)在区间上先递增后递减，A选项错误;

=—三时，兀取到了最小值,

B选项，xsinhx-^U-l,

4

故x-g是函数g(x)图像的一条对称轴，B选项正确;

O

571

C选项，X=9时,sin卜x一(=0,贝娉,0)是"血sin卜彳-?J的对称中心,

8

故是是函数g(x)图像的一个对称中心，C选项错误;

D选项，函数g(x)图像向右平移£个单位，得到

O

7171

g喂行sin2x+1=V2sin1+1=1->/2cos2x,D选项正确.

故选：BD

77777t

11.已知函数/(x)=4sin(5+9)(4>0⑷>0)在区间上单调，且/，当X培

62

时，/(x)取到最大值4,若将函数/(X)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数g(x)的图象，则

下列说法正确的是()

A.0=2B.点是/(x)图象的一个对称中心

c.g(x)是区间［-上的增函数D.函数y=g(x)一晨元的零点个数为7

L66」V3

【答案】ABCD

【分析】根据单调性求得0<。43,再由已知得出对称轴和对称中心求出周期，代入最值即可求出解析式,

数形结合可判断零点.

【解析】因为/(x)在上三］上单调，所以彳-£忘!=:•朋=工，解得0<@W3,

_62」2622。。

又/图T封一⑵’

TC2/FTCTC(、

所以_2-1--3_7"为对称轴，且-21-6兀，贝1(行71,。\|为一个对称中心，故B正确;

x=--------------=-----=-131

21223、,

由于。<。43,所以x=^|与为同一周期内相邻的对称轴和对称中心，

则r=41|高="，所以/亨=2,故A正确，

因为/(X)的最大值为4,所以4=4,

TTTTTCTCTCTC

则/(一)=4sin(——1~0)=4,贝!|0+—=一+左肛左wZ,即0=——F2左肛左EZ,取e=一，

1266233

贝1Jg(x)=4sin］x+(j,

77-7TTTTT7TTTTT

当xe时，x+-e，根据正弦函数的单调性可得g(x)是区间-1,三上的增函数，故C正

66J3|_62J|_66_

确；

因为8(河=4$出1+|^在［-|>0)处的切线斜率为父(-t=43(-0+|^=4,

了=在［-?,o］处切线斜率不存在，即切线方程为x=-|,

所以x=-g右侧g(x)图象较缓，如图所示，

同时J二J>4时，x>16-?,所以函数y=g(x)-，71的零点有7个，故D正确.

故选：ABCD.

三、填空题

12.设a>0,已知函数/■(x)=ln(x2+ox+2)的两个不同的零点X1、X2,满足k-x?|=l,若将该函数图像

向右平移〃(7加>。)个单位后得到一个偶函数的图像，则加=.

【答案】g

【分析】根据|再-司=1可求。，再求出平移后图像对应的解析式，根据其为偶函数可求参数的值.

【解析】令〃x)=o,故111卜2+仆+2)=0即/+办+2=1,

ftz-4>0

故—+qx+1=0,由题设有\[a-4，故a=5.

[丁=1

故/(x)=ln(%2+5x+2),

将/(x)图像向右平移加(加>。)个单位后所得图象对应的解析式为：

g(x)=In[(x—加)2+5(%_加)+2],

整理得到：g(%)=In[炉+(5-2m)x+m2-5m+2^,

因为g(x)为偶函数，故为r)=g(x),

所以+(5—2m)x+m2-5m+2=x2-(5-2rrT)x+m2-5m+2,

故(5-2m)x=-(5-2m)x对无穷多个x恒成立，故5-2加=0,

故冽=1.

2

故答案为：I

13.已知函数/'仁)=5皿3+。)(0>0,0<9<3，|■和|为/(x)的两个相邻零点，将“X)的图象向右平

移。个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数y=/(x)g(x)+〃x)+g(x)的值域为.

【答案】-1,1+V2

【分析】根据两个相邻零点求函数的周期得出。，即求出了(无)，根据平移变换求出g(”，令

C0S7LX+sin7LX=t,结合二次函数求值域得出结果.

【解析】由题意知/(X)的最小正周期7=2(9-；)=2,所以0=/=无，又/1[=(),

所以sin[]+o)=0,所以：■+0=左兀(左wZ),即O=—]+E(A：£Z),

又0<(p&g所以0=],所以/(X)=COS7EX,

所以g(x)=d%—；)=sin7ix,

故y=COSTtXSinTlX+COS7EX+sin7LX.

令%=cos7tx+sinra=V2sin+；贝I"E[—后,行],且COS7EXSin7LX=

所以y='21+/=；(/+l)2—1,

当/=-l时，Wn=T；当”收时,%=；+企，

所以所求函数的值域为-1,1+V2.

故答案为：-l,g+也.

14.已知函数/(x)=sin(0x+e)(0>O,O<e<7t)相邻两零点的距离为I，且/(1J=T，将/⑺图象向左

平移:个单位长度，再将所得图象上的所有点保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后得到函数g(x)

的图象.若存在非负实数。使得，尸(幻=〃工)+的(龙)在(0,河)(〃eN*)内恰好有8个零点，则所有符合条

件的"值组成的集合为.

【答案】{45,7,8}

【分析】根据题意，求得/(x)=cos2x和g(x)=-sinx,得到歹])=1-25也2彳-四曲,令尸(x)=0且

t=sim,得到2/+成一1=0,结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.

【解析】由函数〃x)=sin(s+e)相邻两零点的距离为彳，可得一=2、彳=兀，可得。=2,

2(D2

则d=sin(2V+，=T，因为Oy,则°=

所以/(x)=sin(2x+5)=cos2x,可得g(x)=cos(x+]]=—sinx,

贝UF(x)=f(x)+ag(x)=cos2x-asinx=1-2sin2x-asinx,

令尸⑺=0且"sinx,此时2，+〃一1二0,

贝UA=+8〉0且+'2=一'，

则上述方程在实数范围内一定有两个异号的根，不妨设，2<0<4，

①当彳2<-1时,。<4<；，此时。>1,12<-1无解，

对于0<\<](x)在(0,6兀)内有6个零点，(0,7劝,(0,8无)内都有8个零点，(0,9兀)内有10个零点，贝打?=7

或〃=8；

②当才2=-1时，0=；，此时。=1,尸(无)在(。,4兀)内有6个零点，在(。,5无)内有8个零点，在(0,6兀)内有9

个零点,故〃=5；

③当-1</2<0时，此时a<1,令g(t)=2/+m-l,

因为a",贝!|g⑴=2+a-l=l+a>0,故;<1*(无)在(0,3兀)内有6个零点，在(0,4兀)内有8个零点,

在(0,5兀)内有10个零点,故〃=4,

综上可得，〃e{4,5,7,8}.

故答案为:{4,5,7,8}.

四、解答题

15.已知函数〃x)=Nsin"+沙>0,0<0<1),/图=/图，且小)在10岑)上的最大值为也.

⑴求/(x)的解析式;

⑵将函数/(X)图象上所有点的横坐标缩小为原来的;，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若g

求sin2a的值.

【答案】(l)〃x)=V^singx+?)；

⑵q

【分析】(1)由0<。<1求得7>2万，再结合/(x)在上的最大值为行且/=知

〃苧)=也，求出4。即可；

8

(2)先求出g(x),由求得册，结合诱导公式及倍角公式即可求得sin2a.

9rr(

【解析】(1)因为所以周期T=——〉2)，又/⑴在0,二上的最大值为行，且

所以当x=：(f+g)=乎时，/(x)取得最大值0,所以/=收，且/(苧)=收，即

242oo

3兀冗

V2sin——0)+—=6，

84

•.•0<@<1,,?<*+?曰，故在+泻,解得"=|'故/(x)=0sin(：x+1；

⑵g(x)=/(3x)3sin(2x+»又ga血sin(6Z+,则sin(a+—)=?也,

sin2a=-cos2a+—\=2sin2a+--13

244

16.已知函数/(x)=sin(0x+e)(@>O,O<e<7t)的图象相邻对称轴之间的距离是:，若将/'(x)的图像向右

移营个单位，所得函数g(x)为奇函数.

O

⑴求/(X)的解析式;

(2)若函数/z(x)="x)-1的一个零点为X。，且求COS2%.

【答案】(l)/(x)=sin[2x+1]

(2)3A/3-4

10

【分析】(1)由周期求出0,再由题意可得函数g(x)为奇函数，可得。的值，可得函数“X)的解析式;

37T

(2)由题意可得sin-,即可求出cos,1~|~|COS2JUQ—cos-及两角差的余

弦公式计算可得.

T兀

【解析】(1)由题意可得5K可得八兀，又。＞。，

而？=生=

兀，可得。=2,

CO

止匕时/(x)=sin(2x+0),

71

由题意可得g(x)=sin2x+0=sin12x_1+0)，

要使函数g(x)为奇函数，则-5+。=析，keZ,

JI

即。=1+而,keZ,而＜兀,

所以夕=三，

所以〃x)=++力

3

(2)由题意令〃(x)=/(x)-1=0,

33

可得/(%)二丁即sin

5

----x——|——x------=--------

525210

17.已知函数〃x)=2sinxcosx-27^sin2x+g'.

JT

(1)若xe0,-时，加＜/(x)恒成立，求实数优的取值范围;

⑵将函数〃x)的图象的横坐标缩小为原来的;，纵坐标不变，再将其向右平移£个单位，得到函数g(x)的

26

图象.若x«0,4，函数g(x)有且仅有4个零点，求实数，的取值范围.

【答案】(1)(3)

【分析】(1)利用三角恒等变形，转化为正弦型函数，然后利用相位整体思想，结合正弦曲线，求出最值,

即可得到答案;

(2)根据伸缩和平移变换，得到新的函数解析式，再同样把相位看成一个整体，利用正弦曲线，数形结合,

就可以判定端点值的取值范围，从而得到解答.

【解析】(1)H/(x)=2sinxcosx-2V3sin2x+V3=sin2x+V3cos2x=2sin2x+y

.八兀._._7C兀5兀

当xe0,—时，可得+,

4J36_

当2x+卜军，即x=?时，〃x)取得最小值2sin¥=l,

3646

JT

因为xe0,-时，加＜/(x)恒成立，所以加＜1,

即实数加的取值范围为(一叫1).

(2)由〃x)=2sin12x+m图象的横坐标缩小为原来的.可得：y=2sin(4x+j,

再将其向右平移?可得：J=2sin=2sin^4x-^,

即函数g(x)=2sin(4x-鼻，

因为xe[0,7],所以4x-1e-y,4?-j,在给定区间的正弦函数的零点是x=0,兀,2兀,3兀，

⑴求函数/'（x）的解析式;

⑵将函数/（X）的图象先向右平移;个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的:（纵坐标不变），得到函

数g（x）的图象，求g（x）在xe-存：上的最大值和最小值；

⑶若关于x的方程g⑴-m=0在x上有两个不等实根，求实数m的取值范围.

【答案】⑴/（x）=2sin（2x+/］；

⑵gmax（x）=5gmm（x）=-2;

（3）-2<m<-V3.

【分析】（1）利用函数图象的顶点求出4=2,利用周期求出。=2,由特殊点求出0=gTT,即可求出解析式;

0

（2）利用三角函数图象变换求得g（x）=2si“4x-5

,结合正弦函数的性质，利用换元法求得最值;

（3）结合函数的定义域和三角函数的性质即可确定其值域，由图象即求.

【解析】（1）由函数/（x）=，sin（0x+e）|/的部分图象可知/=2,

1113Tf2兀c.,

---71----71=-T,T=71fG)------2f2,

1264Tf

:.2x—+(p=—+2k7i,A：eZ,角军得0=二+2左兀,左£Z,由|同〈工可得。=女,

62626

;./(x)=2i,sinf2%+^-j；

71+兀2sinf2x-yj,

（2）将〃x）向右平移:个单位，得到y=2sin2X--

再将所有点的横坐标缩短为原来的：，得至|8（%）=2$山（4z-三）,

71TT―r*/t=i,2兀71

令—鼠由口一运~6，可得--

3

27rjrjrIT

因为函数y=2sint在——上单调递减，在上单调递增,

2兀

又2sin-2,2sin—=V3,2sin

3

2兀7JT1jrjr

（3）由（2）可得歹=2sin/在--—上单调递减，在-上单调递增,

2

可得2$吁升一2,2sin[=6,2sin|^-yj=-73,

因为关于x的方程g(x)-加=0在%J-工]]上有两个不等实根,

12o_

TT7T

即.y=加与y=g(x)的图象在xe-有两个交点.

12o

由图象可知符合题意的加的取值范围为-2〈加W-G.

19.对于分别定义在。，&上的函数“X),g(x)以及实数左，若存在国马€已使得

fM-g(x2)=k,则称函数〃X)与g(x)具有关系M伍).

⑴若/(x)=cosx,xe[o,7t]；g(x)=sinx,xe[O,n],判断〃x)与g(x)是否具有关系”(-2),并说明理

由；

(2)若/(x)=2sinx与g(x)=2cos2x+sinx-1具有关系M㈤，求左的取值范围；

⑶已知a>0,〃(x)为定义在R上的奇函数，且满足：

①在[0,2。]上，当且仅当x=£时，"⑺取得最大值1；

②对任意xeR,有Ma+x)=-//(a-x).

判断了(司=5也2温+〃(月与8(月=〃(%)-«)52口是否具有关系”(4),并说明理由.

【答案】⑴〃x)与g(可具有关系〃(-2),理由见解析

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