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文档简介
第01讲锐角三角函数
01学习目标
课程标准学习目标
①正弦函数
1.掌握正弦函数、余弦函数以及正切函数的概念以及求法,并能够熟练的
②余弦函数
求出已知锐角的三角函数值或者根据锐角三角函数值求相应的边长.
③正切函数
02思维导图
正弦函数
03知识清单
知识点01正弦函数
1.正弦函数的概念:
如图,在RtA48C中,ZC=9O°,当锐角/的大小确定时,々/的对边与斜边的比,乙4的邻
边与斜边的比以及乙4的对边与乙4的邻边的比都是确定的.
试卷第1页,共8页
我们把々的对边与斜边的比叫做乙4的正弦,记作siiL4.
//的对边_a
sirt4
一斜边
【即学即练1】
1.如图,在RtZk45C中,/3=90。,/。=5,3。=4,贝lJsiiM=()
【即学即练2】
4
2.在RtZUBC中,ZC=90°,AC=6,siiU=《,则月3的值为()
A.8B.9C.10D.7.5
知识点02余弦函数
1.余弦函数的概念:
乙4的邻边与斜边的比叫做乙4的余弦,记作cos/,cos/=/0产边=♦.
斜边c
【即学即练1】
3.已知在必A48c中,NC=90。,AB=13,AC=12,贝I|NB的余弦值为()
125-512
A.—B.—C.—D.
131312y
【即学即练2】
-3
4.中,zC=90°,cos^=-,4C=6cm,那么5C等于()
24186
A.8cmB.——cmC.——cmD.—cm
555
知识点03正切函数
试卷第2页,共8页
1.正切函数的概念:
乙4的对边与乙4的邻边的比叫做々的正切,记作taM.tan"f」?
【即学即练1】
5.在RtZk/BC中,NB=90°,已知AB=3,8c=4则taiM的值为()
,43-4
A.—B.-C.-D.■
553,
【即学即练2】
6.如图,必A48c中,Z-C=90°,BC=15,tanA=—,则48=______
8
题型精讲
题型01求锐角三角函数值
【典例1】
7.在中,ZC=90°,AC=\,BC=2,则sinS的值为
【变式1]
8.在RtZk/BC中,ZC=90°,若AC=2BC,则cos/的值是()
【变式2】
9.在RtZ\43C中,ZC=90°,BC=5,48=13,贝!|tan/的值是.
【变式3】
10.如图,在中,ZC=90°,AC=4,BC=2,求sin4cos4tan/的值.
题型02根据三角函数求三角形的边
试卷第3页,共8页
【典例1]
11.在RtZX/BC中,ZC=90°,sinyl=-,5C=3,则A8=
4
【变式1】
3
12.在△45C中,AABC=90°,若力。=100,sinZ=y,则力8的长是()
500503
A.——B.----C.60D.80
35
【变式2】
4
13.如图,在Rt^ABC中,4c=90。,AB=10,coszB=y,贝UBC=()
B.8C.9D.15
【变式3】
4
14.在比2X2。中,zC=90°,tanA=~,BC=8,则的长为
题型03已知三角函数值求其他三角函数值
【典例11
在中,贝的值为(
15.MA/BCZC=90°,cos^=1,ItanN)
A.272B.gC*
D.8
【变式1】
4
16.在RtaABC中,ZC=9O°,sinA=y,贝ljtanA=.
【变式2】
3
17.如图,在中,Z-C=90°,AC=8,taiL4=—,cos/二
4
【变式3】
试卷第4页,共8页
A
18.如图所示,在中,ZC=90°,in^=—,求cos4,tanB的值.
S3
强化训练
19.如图,在△/8C中,ZC=90°,/C=3,BC=4,则tan/的值是()
20.如图,在RtZ\/8C中,/C=90°,AB=5,BC=3,则siM的值是()
21.在RtZ^/BC中,各边都扩大5倍,则锐角A的正切函数值()
A.不变B.扩大5倍C.缩小!D.不能确定
22.如图,在△NBC中,ZC=9O°,设乙4,乙B,NC所对的边分别为。,b,c,贝|()
A.c=bsinBB.b=csinBC.a=btanBD.b=ctsinB
23.如图,在RMABC中,NC=90。,/5=13,5C=12,下列三角函数正确的是()
试卷第5页,共8页
1212512
A.sin8=—B.cosA.=—C.tanB=—D.cosB=—
1313125
2
24.在ZUBC中,已知/C=90。,BC=4,sinA=-f那么/C边的长是()
A.6B.2亚C.3指D.2而
25.在RdABC中,4c=90。,若cosA=』,贝!IsinA的值为()
26.如图,△NBC的顶点都是正方形网格中的格点,则COS//8C的值为()
sma=g,
27.如图,P是Na的边。4上一点,且点尸的横坐标为3,贝!!tana=()
28.如图,在平面直角坐标系中,点4,2分别在x轴负半轴和y轴正半轴上,点C在
上,OC:8C=1:2,连接AC,过点。作OP//AB交AC的延长线于P.若尸(覃),贝!!tanZOAP
试卷第6页,共8页
A.—B.—C.-D.3
323
3
29.在中,ZC=90,^5=5,sin^=-,贝|3C=.
30.一等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm,则其底角的余弦值为.
31.在/力BC中,ZC=90°,tan/=2,则sin/+cos/=.
32.在RtA4BC中,ZC=9O°,a,b,c分别是ZJ,乙B,zC对边,若3a=46,则sin5的
值是—.
33.如图,在边长相同的小正方形网格中,点4B、C、。都在这些小正方形的顶点上,AB
与CD相交于点P,则tanZ^PD的值为.
34.在△/BC中,ZC=90°,BC=3,AB=5,求sin4cosB,tarU的值.
35.在中,ZC=90°,根据下列条件分别求出tan/的值.
(l)BC=6,AB=10;
(2)AC:BC=2:5.
36.如图,A/5C是等腰三角形,AB=AC,以AC为直径的。0与BC交于D,DE1AB,
垂足为点E,ED的延长线与AC的延长线交于点F.
(1)求证:DE是。0的切线;
(2)若。。的半径为2,BE=1,求cosNA的值.
37.如图,在RtZi/BC中,ZC=9Q°,AC=2,BC=3.求:
试卷第7页,共8页
(2)cosA,sinB.
⑶观察(1)(2)中的计算结果,你发现了什么?请说明理由.
38.在如图的直角三角形中,我们知道sine=@,cosa=-,tana=-^,
ccb
・•・sida+cos2a=£+匕==^===1.即一个角的正弦和余弦的平方和为1.
CCCC
(1)请你根据上面的探索过程,探究sine,cosa与tana之间的关系;
(2)请你利用上面探究的结论解答下面问题:已知々为锐角,且tana=g,求:m"2cosa
22sma+cosa
的值.
试卷第8页,共8页
1.A
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义,根据锐角三角函数的定义求解即可,掌握锐角三
角函数的定义是解题的关键.
【详解】解:5=90。/。=5,50=4,
.ABC4
:.SIIL4=----=—,
AC5
故选:A.
2.C
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义,解决本题的关键是掌握在直角三角形中,锐角的
正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边.根据正弦函数的定义即可直接
求解.
BC
【详解】解:♦・・siiL4=*=M4,
AB5
设BC=4x,AB=5x,
AC=3x,
3x=6,
解得x=2,
・•・48=10.
故选:C.
【分析】根据勾股定理可得BC的值,由cosd商可得NB的余弦值.
【详解】解:...NC=90。,4B=13,AC=12
BC=ylAB2-AC2=A/132-122=5
5
AB13
故选:B.
【点睛】本题主要考查了余弦,同时涉及了勾股定理,角的余弦等于其邻边比斜边,正确表
答案第1页,共16页
示角的余弦是解题的关键.
4.A
【分析】首先利用锐角三角函数的定义求出斜边的长度,再运用勾股定理即可求解.
4C3
【详解】解:,•,在RgABC中,ZC=9O°,cosA=—=-,AC=6cm,
AB5
•■•AB=10cm,
■■■BC=yjAB2-AC2=8cm.
故选A.
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义:在直角三角形中,锐角的余弦为邻边比斜边,
同时考查了勾股定理.
5.C
【分析】本题考查了锐角三角形函数的定义,熟练掌握正切等于对边比邻边是解题的关键.
根据锐角三角函数正切的定义求解即可.
【详解】如图:在Rt/X/BC中,ZB=9O°,AB=3,BC=4,
故选:C.
6.17
BC
【详解】•・・RtAABC中,zC=90°,.-.tanA=—,
AC
...BC=15,tan4=",.,.AC=8,
8
:.AB=」BC?+AC。=17,
故答案为17.
7V5
5
【分析】根据勾股定理求出斜边的值,在利用正弦的定义直接计算即可.
【详解】解:在MA/BC中,ZC=90°,AC=1,BC=2,如图所示:
答案第2页,共16页
A
CB
・•・根据勾股定理可得4B=yjAC2+BC2=A/12+22=V5,
AB小5
故答案为:见.
5
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义,解决此类题时,要注意前提条件是在直角三角
形中,此外还有熟记三角函数是定义.
8.D
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义,先利用勾股定理得出历1和8c的关系,再利用
余弦函数的定义即可得出答案.
【详解】由勾股定理得
AB=y/5BC,
由余弦函数的定义得
AC2BC275
cosA=
AB-y/5BC-5
故选:D.
9.』
12
【分析】本题考查了勾股定理、锐角三角形函数的定义.先根据直角三角形中两直角边的平
方和等于斜边的平方求出NC的值,再根据锐角三角函数正切的定义:锐角A的对边。与邻
边△的比叫做//的正切,记作tan4,求解即可.
【详解】解:如图:
B
c^—————
VZC=90°,BC=5,AB=U,
答案第3页,共16页
•••AC7AB2-BC2='132—52=12,
M,BC5
故tanA=-----=——.
AC12
故答案为:—.
・,君,275,1
10.sinA——,cosA------,tanA.一~
552
【分析】根据勾股定理可求出/2=2石,再根据正弦,余弦和正切的定义求解即可.
【详解】解:•.•NC=90。,AC=4,BC=2,
■■AB=y/AC2+BC2=716+4=2后,
【点睛】本题考查勾股定理,求角的正弦值、余弦值和正切值.掌握锐角三角函数的定义和
勾股定理是正确解答的关键.
11.12
【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可.
【详解】解:在RtZX/BC中,ZC=900,
.15C
smN=-=,
4AB
又・:BC=3,
:.AB=\2,
故答案为:12.
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义,熟练掌握锐角的对边与斜边的比叫做该锐角
的正弦是解题的关键.
12.D
【分析】根据三角函数的定义得到和NC的比值,求出8C,然后利用勾股定理即可求
解.
答案第4页,共16页
RC3
【详解】解:■■■^ABC=9G°,sin^A=--=~,AC=100,
力。5
・・・8C=100X3+5=60,
■■AB=ylAC2-BC2=80,
故选D.
【点睛】本题主要考查的是解直角三角形,掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键.
13.B
【分析】在RSABC中根据cosNB的意义,得出第=4,再根据AB=10,代入即可求出
AB5
BC.
【详解】在RtaABC中,4c=90。,
4
VCOSZB=y,
BC4
----=—.
AB5
又・・・AB=10,
44
••.BC=-xAB=—xl0=8,
55
故选:B.
【点睛】本题考查锐角三角函数,掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键.
14.10
【分析】先利用ta!M=WBC=£4求出4C,再利用勾股定理求解48即可.
【详解】解:・・,及人45。中,ZC=9O°,
“BC
.,.tarL4=—,
4
'.'tanA=—,BC=8,
3
Be3
-•AC=------=8x—=6,
tan44
•••AB=dBC?+AC?=A/82+62=10,
故答案为:10.
【点睛】本题考查正切、勾股定理,理解正切的概念是解答的关键.
15.A
【分析】本题考查了解直角三角形,涉及余弦和正切的概念,根据画出图形,将三角函数的
答案第5页,共16页
AC1
值cosZ=-=-转化为直角三角形的边长之比BC=2也AC,结合正切定义即可求得答案.
AB3
【详解】解:由题意,
4c1
贝cosZ------=一,得1AB=3AC
AB3
BC=^AB2-AC2=2也AC,
2届C
tanT=20.
ACAC
故选:A.
【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长,再根据勾股定理求出另一直角
边的长,运用三角函数的定义解答.
【详解】由sinA=(知,可设a=4x,贝ijc=5x,b=3x,
a4x4
•••tanA=—=—=-
b3x3
故答案为
【点睛】本题考查了同角三角函数的关系.求锐角的三角函数值的方法:利用锐角三角函数
的定义,通过设参数的方法求三角函数值,或者利用同角(或余角)的三角函数关系式求三
角函数值.
4
17.-
5
3
【分析】先根据tan4=J,设出关于两边的代数表达式,再根据勾股定理求出第三边长的表
4
达式即可推出cos4的值.
【详解】解:••-tanJ=4S=|,AC=8,
AC4
•••BC=6,AB7AC、BC2=10,
答案第6页,共16页
,AC4
cosA=-----
AB5
4
故答案为:—.
【点睛】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义,熟练掌握三角函数的定义是解题的关
键.
18.cosA=,tanB—也
3
【分析】根据sin/和8c的值可以求出斜边42的值,再由勾股定理即可求得NC的值,知
道了直角三角形的三边即可求得cos/、tan3的值.本题考查了解直角三角形以及勾股定理,
解题的关键是熟记三角函数的定义,能够根据三边,求出各角的三角函数.
【详解】解―第T,
...设48=3后.BC=43k,
:.AC=NAB2-BC?=屈,
,2金
AB3
nACQ
tan5=----=yj2.
BC
19.A
【分析】本题考查了求锐角的正切值,根据正切的定义计算即可.
【详解】解:•・,在△Z5C中,ZC=90°,AC=3,BC=4,
,BC4
tanA=-----=—,
AC3
故选:A.
20.C
【分析】本题考查锐角三角函数的定义,正确理解正弦定义是解题的关键.直接利用正弦的
定义求解.
【详解】解:•.・NC=90。,
.,BC3
:.S1IL4==—,
AB5
故选:C.
21.A
【分析】本题考查锐角三角函数的意义,在Rt△45C中,各边都扩大5倍,其相应边长的比
值不变,因此锐角A的正切函数值也不会改变,理解锐角三角函数的意义是正确判断的关键.
答案第7页,共16页
【详解】解:锐角三角函数值随着角度的变化而变化,而角的大小与边的长短没有关系,
因此锐角A的正切函数值不会随着边长的扩大而变化,
故选:A.
22.B
【分析】根据三角函数的定义进行判断,即可解决问题.
【详解】•••必中,ZC=90°,//、NB、/C所对的边分别为a、b、c
sin5=—,即6=csin3,则A选项不成立,B选项成立
c
tanB=—,BP/)=otanB,则C、D选项均不成立
a
故选:B.
【点睛】本题考查了三角函数的定义,熟记定义是解题关键.
23.C
【分析】根据勾股定理求出NC,再根据锐角三角函数求出答案.
【详解】解:在RtA48C中,ZC=90°,/8=13,5C=12,由勾股定理得,
AC=y)AB2-BC2=V132-122=5,
AC”生=』,八生12
所以sinB=----J-cos/*Jtancos
AB13AB13BC12AB13
故选:C.
【点睛】本题考查勾股定理,锐角三角函数,解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和勾股
定理.
24.B
【分析】本题考查解直角三角形,勾股定理,先利用正弦的定义得到sin/=铝=:,可计
AB3
算出45=6,然后根据勾股定理计算/C的长.
【详解】解:如图,
在中,"=90。,BC=4,
4
AB
二.AB=6,
答案第8页,共16页
JC=V36-16=25/5.
故选B.
25.D
【详解】解:••-cosA=-=-1,
c13
・•・设b=5k,c=13k,根据勾股定理得a=12k,
所以sin4=巴=乜.
c13
故选D.
26.B
【分析】找到乙45。所在的直角三角形,利用勾股定理求得斜边长,进而求得乙45。的邻边
与斜边之比即可.
【详解】解:过4作4015。于
•-AB=5+42=2屈
;.CGSNABC=%=^~
2755
故选:B.
【点睛】此题考查了勾股定理,以及锐角三角函数定义,熟练掌握勾股定理是解本题的关键.
27.C
PB
【分析】首先根据勾股定理求出PB的长,然后根据锐角三角函数的定义,tana="g即可
OB
求值.
【详解】解:过点P作PBlx轴于点B,
答案第9页,共16页
,:点P的横坐标为3,sina=1,
.-0B=3,设PB=4x,OP=5x
在RtZiOPB中,由勾股定理得:32+(4x)2=(5x)2
解得:x=l,
PB4
;.PB=4,tana=----=-
OB3
故选C.
【点睛】本题考查勾股定理及锐角三角函数的定义,熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关
键.
28.C
【分析】由尸(11)可知,。尸与x轴的夹角为45。,又因为。尸〃N8,则△0/3为等腰直角形,
设OC=x,0B=2x,用勾股定理求其他线段进而求解.
【详解】点坐标为(1,1),
则0P与x轴正方向的夹角为45。,
又;0P//AB,
则乙8/。=45。,△0/8为等腰直角形,
:.OA=OB,
设OC=x,贝!IOB=3OC=3x,
则OB=OA=3x,
/八5OCx1
tanZ.OAP-----=—=—.
OA3x3
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理和锐角三角函数的求解,
根据P点坐标推出特殊角是解题的关键.
29.3
答案第10页,共16页
3
【分析】根据NC=90。,sin/=(,AB=5,解直角三角形即可得到答案.
【详解】解:如图:在放△力中,NC=90°,
3
•「sinZ=—,AB=5,
5
BC=43・sin4=3,
故答案为:3.
【点睛】本题主要考查了解直角三角形,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
30.鸿
【分析】可分4cm为腰长和底边长两种情况,求得直角三角形中底角的邻边与斜边之比即
可.
【详解】①4cm为腰长时,
3
作AD1BC于D.可得BD=CD=3cm,所以cosB=—;
4
21
②4cm为底边时,同理可得BD=CD=2cm,因止匕cosB=—=:.
63
考点:锐角三角函数
【详解】解:如图,
,,taiL4=2,
答案第11页,共16页
・,・设AB=x,则BC=2x,
AC=+(2x)2=V5x,
.,BCAB21375
则有:SHL4+COSZ=---1---=—=+—==---
ACAC4^5
故答案为上.
5
32.-
5
45
【分析】由3a=4b,可得a=§b,由勾股定理可得c=§b,然后根据正弦函数的定义求解
即可.
【详解】•;3a=4b,
•••c=Va2+b2=+b2=1b,
b__b__3
••・sinB=c5b5.
T
故答案为:3
【点睛】
cK
本题考查了锐角三角函数的概念及勾股定理,熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关
/A的邻边/A的对边
键.在RtAABC中,sinA="碑"边cosA=tanA=
斜边斜边/A的邻边.
33.2
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质,三角函数的定义.此题难度适中,解题的关
键是准确作出辅助线,注意转化思想与数形结合思想的应用.
首先连接5E,由题意易得5尸=。尸,A/CPSARDP,然后由相似三角形的对应边成比例,易
得DP:CP=1:3,即可得?尸:。尸=尸尸:8/=1:2,在RMP8尸中,即可求得tan/BP尸的值,
继而求得答案.
答案第12页,共16页
【详解】解:如图,连接班,
,-.DF=CF=-CD,BF=-BE,CD=BE,BELCD,
22
:・BF=CF,
根据题意得:AC//BD,
,“ACPSABDP,
.'.DP:CP=BD:AC=\:3f
・•・DP:DF=1:2,
:.DP=PF=LCF=LBF,
22
BF
在RtAPBF中,tan/BPF==2,
PF
•・.ZAPD=ZBPF,
tanZAPD=2.
故答案为:2
333
34.sin/=—,cosB=—,tanZ=一
554
【分析】本题主要考查了正弦函数,余弦函数,正切函数的定义,先根据勾股定理求出/C
的长,再根据锐角三角函数的定义解答即可.
【详解】解・・・在△/5C中,4=90。,3c=3"=5,
根据勾股定理可得:AC=^52-32=4,
.ABC3nBC3ABC3
smA=----=—,cosB=-----=—,tanA=-----=—
AB5AB5AC4
3
35.⑴w
【分析】(1)根据BC和4B的值可以求得/C的值,进而得到tan/的值;
(2)根据定义解答即可;
本题考查了勾股定理,锐角三角函数,掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.
答案第13页,共16页
【详解】(1)解:•••NC=90。,
•1•AC=yjAB2-BC2=y]102-62=8>
,BC63
tanA=-----=—=—;
AC84
(2)解:vZC=90°,
,BC5
tanA=-----=—.
AC2
36.(1)详见解析;(2)
【分析】(1)连接OD、AD,根据圆周角定理得出AD1BC,根据等腰三角形性质求出
BD=DC,根据三角形的中位线求出ODIIAB,推出OD1DE,根据切线的判定求出即可;
(2)根据平行线分线段成比例定理,即可求得FC的长,即可求得AF,根据余弦的定义即
可求解.
【详解】(1)连接OD,AD,
•■•AC是半圆的直径,
.-.ZADC=9O°,
即AD1BC,
•・・AC=AB,
・・・CD=BD,
•.AO=OC,
/.ODIIAB,
vDElAB,
.,•DE1OD,
-OD是半径,
••.DE是OO的切线;
(2)由(1)知ODIIAE,
.••ZFOD=ZFAE,ZFDO=ZFEA,
答案第14页,共16页
.-.△FOD-'AFAE,
FOOP
;一五'
FC+OCOP
,•FC+ALAB-BE'
.FC+2_2
,>C+4-4^T,
解得FC=2,
••・AF=6,
…AEAB-BE4-11
/.RtAAEF中,cosZFAE=-----=------------=------=—.
AFAF62
【点睛】本题
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