锐角三角函数（3个知识点+3类题型讲练+习题巩固）-2024-2025学年人教版九年级数学下册（含答案）

第01讲锐角三角函数

01学习目标

课程标准学习目标

①正弦函数

1.掌握正弦函数、余弦函数以及正切函数的概念以及求法，并能够熟练的

②余弦函数

求出已知锐角的三角函数值或者根据锐角三角函数值求相应的边长.

③正切函数

02思维导图

正弦函数

03知识清单

知识点01正弦函数

1.正弦函数的概念：

如图，在RtA48C中，ZC=9O°,当锐角/的大小确定时，々/的对边与斜边的比，乙4的邻

边与斜边的比以及乙4的对边与乙4的邻边的比都是确定的.

试卷第1页，共8页

我们把々的对边与斜边的比叫做乙4的正弦，记作siiL4.

//的对边_a

sirt4

一斜边

【即学即练1】

1.如图，在RtZk45C中，/3=90。,/。=5,3。=4,贝lJsiiM=()

【即学即练2】

4

2.在RtZUBC中，ZC=90°,AC=6,siiU=《，则月3的值为()

A.8B.9C.10D.7.5

知识点02余弦函数

1.余弦函数的概念：

乙4的邻边与斜边的比叫做乙4的余弦，记作cos/,cos/=/0产边=♦.

斜边c

【即学即练1】

3.已知在必A48c中，NC=90。，AB=13,AC=12,贝I|NB的余弦值为（）

125-512

A.—B.—C.—D.

131312y

【即学即练2】

-3

4.中，zC=90°,cos^=-,4C=6cm,那么5C等于（)

24186

A.8cmB.——cmC.——cmD.—cm

555

知识点03正切函数

试卷第2页，共8页

1.正切函数的概念：

乙4的对边与乙4的邻边的比叫做々的正切，记作taM.tan"f」?

【即学即练1】

5.在RtZk/BC中，NB=90°,已知AB=3,8c=4则taiM的值为（）

,43-4

A.—B.-C.-D.■

553,

【即学即练2】

6.如图，必A48c中，Z-C=90°,BC=15,tanA=—,则48=______

8

题型精讲

题型01求锐角三角函数值

【典例1】

7.在中，ZC=90°,AC=\,BC=2,则sinS的值为

【变式1]

8.在RtZk/BC中，ZC=90°,若AC=2BC,则cos/的值是（）

【变式2】

9.在RtZ\43C中，ZC=90°,BC=5,48=13,贝!|tan/的值是.

【变式3】

10.如图，在中，ZC=90°,AC=4,BC=2,求sin4cos4tan/的值.

题型02根据三角函数求三角形的边

试卷第3页，共8页

【典例1]

11.在RtZX/BC中，ZC=90°,sinyl=-,5C=3,则A8=

4

【变式1】

3

12.在△45C中，AABC=90°,若力。=100,sinZ=y,则力8的长是()

500503

A.——B.----C.60D.80

35

【变式2】

4

13.如图，在Rt^ABC中，4c=90。,AB=10,coszB=y,贝UBC=()

B.8C.9D.15

【变式3】

4

14.在比2X2。中，zC=90°,tanA=~,BC=8,则的长为

题型03已知三角函数值求其他三角函数值

【典例11

在中，贝的值为(

15.MA/BCZC=90°,cos^=1,ItanN)

A.272B.gC*

D.8

【变式1】

4

16.在RtaABC中，ZC=9O°,sinA=y,贝ljtanA=.

【变式2】

3

17.如图，在中，Z-C=90°,AC=8,taiL4=—,cos/二

4

【变式3】

试卷第4页，共8页

A

18.如图所示，在中，ZC=90°,in^=—,求cos4,tanB的值.

S3

强化训练

19.如图，在△/8C中，ZC=90°,/C=3,BC=4,则tan/的值是（）

20.如图，在RtZ\/8C中，/C=90°,AB=5,BC=3,则siM的值是（）

21.在RtZ^/BC中，各边都扩大5倍，则锐角A的正切函数值（）

A.不变B.扩大5倍C.缩小!D.不能确定

22.如图，在△NBC中，ZC=9O°,设乙4,乙B,NC所对的边分别为。，b,c,贝|（）

A.c=bsinBB.b=csinBC.a=btanBD.b=ctsinB

23.如图，在RMABC中，NC=90。，/5=13,5C=12,下列三角函数正确的是（）

试卷第5页，共8页

1212512

A.sin8=—B.cosA.=—C.tanB=—D.cosB=—

1313125

2

24.在ZUBC中，已知/C=90。，BC=4,sinA=-f那么/C边的长是（）

A.6B.2亚C.3指D.2而

25.在RdABC中，4c=90。，若cosA=』，贝！IsinA的值为（）

26.如图，△NBC的顶点都是正方形网格中的格点，则COS//8C的值为（）

sma=g,

27.如图，P是Na的边。4上一点,且点尸的横坐标为3,贝！!tana=()

28.如图，在平面直角坐标系中，点4,2分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在

上，OC:8C=1:2,连接AC,过点。作OP//AB交AC的延长线于P.若尸（覃），贝!!tanZOAP

试卷第6页，共8页

A.—B.—C.-D.3

323

3

29.在中，ZC=90,^5=5,sin^=-,贝|3C=.

30.一等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm,则其底角的余弦值为.

31.在/力BC中，ZC=90°,tan/=2,则sin/+cos/=.

32.在RtA4BC中，ZC=9O°,a,b,c分别是ZJ,乙B,zC对边，若3a=46,则sin5的

值是—.

33.如图，在边长相同的小正方形网格中，点4B、C、。都在这些小正方形的顶点上，AB

与CD相交于点P,则tanZ^PD的值为.

34.在△/BC中，ZC=90°,BC=3,AB=5,求sin4cosB,tarU的值.

35.在中，ZC=90°,根据下列条件分别求出tan/的值.

(l)BC=6,AB=10；

(2)AC:BC=2:5.

36.如图，A/5C是等腰三角形，AB=AC,以AC为直径的。0与BC交于D,DE1AB,

垂足为点E,ED的延长线与AC的延长线交于点F.

(1)求证：DE是。0的切线；

(2)若。。的半径为2,BE=1,求cosNA的值.

37.如图，在RtZi/BC中，ZC=9Q°,AC=2,BC=3.求:

试卷第7页，共8页

(2)cosA,sinB.

⑶观察(1)(2)中的计算结果，你发现了什么？请说明理由.

38.在如图的直角三角形中，我们知道sine=@,cosa=-,tana=-^,

ccb

・•・sida+cos2a=£+匕==^===1.即一个角的正弦和余弦的平方和为1.

CCCC

(1)请你根据上面的探索过程，探究sine,cosa与tana之间的关系；

(2)请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知々为锐角，且tana=g,求：m"2cosa

22sma+cosa

的值.

试卷第8页，共8页

1.A

【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据锐角三角函数的定义求解即可，掌握锐角三

角函数的定义是解题的关键.

【详解】解：5=90。/。=5,50=4,

.ABC4

：.SIIL4=----=—,

AC5

故选：A.

2.C

【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，解决本题的关键是掌握在直角三角形中，锐角的

正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边.根据正弦函数的定义即可直接

求解.

BC

【详解】解：♦・・siiL4=*=M4，

AB5

设BC=4x,AB=5x,

AC=3x,

3x=6,

解得x=2,

・•・48=10.

故选：C.

【分析】根据勾股定理可得BC的值，由cosd商可得NB的余弦值.

【详解】解：...NC=90。,4B=13,AC=12

BC=ylAB2-AC2=A/132-122=5

5

AB13

故选：B.

【点睛】本题主要考查了余弦，同时涉及了勾股定理，角的余弦等于其邻边比斜边，正确表

答案第1页，共16页

示角的余弦是解题的关键.

4.A

【分析】首先利用锐角三角函数的定义求出斜边的长度，再运用勾股定理即可求解.

4C3

【详解】解：,•,在RgABC中，ZC=9O°,cosA=—=-,AC=6cm,

AB5

•■•AB=10cm,

■■■BC=yjAB2-AC2=8cm.

故选A.

【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边,

同时考查了勾股定理.

5.C

【分析】本题考查了锐角三角形函数的定义，熟练掌握正切等于对边比邻边是解题的关键.

根据锐角三角函数正切的定义求解即可.

【详解】如图：在Rt/X/BC中，ZB=9O°,AB=3,BC=4,

故选：C.

6.17

BC

【详解】•・・RtAABC中，zC=90°,.-.tanA=—,

AC

...BC=15,tan4=",.,.AC=8,

8

:.AB=」BC?+AC。=17,

故答案为17.

7V5

5

【分析】根据勾股定理求出斜边的值，在利用正弦的定义直接计算即可.

【详解】解：在MA/BC中，ZC=90°,AC=1,BC=2,如图所示：

答案第2页，共16页

A

CB

・•・根据勾股定理可得4B=yjAC2+BC2=A/12+22=V5，

AB小5

故答案为：见.

5

【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，解决此类题时，要注意前提条件是在直角三角

形中，此外还有熟记三角函数是定义.

8.D

【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，先利用勾股定理得出历1和8c的关系，再利用

余弦函数的定义即可得出答案.

【详解】由勾股定理得

AB=y/5BC，

由余弦函数的定义得

AC2BC275

cosA=

AB-y/5BC-5

故选：D.

9.』

12

【分析】本题考查了勾股定理、锐角三角形函数的定义.先根据直角三角形中两直角边的平

方和等于斜边的平方求出NC的值，再根据锐角三角函数正切的定义：锐角A的对边。与邻

边△的比叫做//的正切，记作tan4,求解即可.

【详解】解:如图：

B

c^—————

VZC=90°,BC=5,AB=U,

答案第3页，共16页

•••AC7AB2-BC2='132—52=12,

M,BC5

故tanA=-----=——.

AC12

故答案为：—.

・，君，275,1

10.sinA——，cosA------,tanA.一~

552

【分析】根据勾股定理可求出/2=2石，再根据正弦，余弦和正切的定义求解即可.

【详解】解：•.•NC=90。，AC=4,BC=2,

■■AB=y/AC2+BC2=716+4=2后，

【点睛】本题考查勾股定理，求角的正弦值、余弦值和正切值.掌握锐角三角函数的定义和

勾股定理是正确解答的关键.

11.12

【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可.

【详解】解：在RtZX/BC中，ZC=900,

.15C

smN=-=,

4AB

又・：BC=3,

：.AB=\2,

故答案为：12.

【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角的对边与斜边的比叫做该锐角

的正弦是解题的关键.

12.D

【分析】根据三角函数的定义得到和NC的比值，求出8C,然后利用勾股定理即可求

解.

答案第4页，共16页

RC3

【详解】解：■■■^ABC=9G°,sin^A=--=~,AC=100,

力。5

・・・8C=100X3+5=60,

■■AB=ylAC2-BC2=80,

故选D.

【点睛】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键.

13.B

【分析】在RSABC中根据cosNB的意义，得出第=4,再根据AB=10,代入即可求出

AB5

BC.

【详解】在RtaABC中，4c=90。，

4

VCOSZB=y,

BC4

----=—.

AB5

又・・・AB=10,

44

••.BC=-xAB=—xl0=8,

55

故选：B.

【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键.

14.10

【分析】先利用ta!M=WBC=£4求出4C,再利用勾股定理求解48即可.

【详解】解：・・,及人45。中，ZC=9O°,

“BC

.,.tarL4=—,

4

'.'tanA=—,BC=8,

3

Be3

-•AC=------=8x—=6,

tan44

•••AB=dBC?+AC?=A/82+62=10，

故答案为：10.

【点睛】本题考查正切、勾股定理，理解正切的概念是解答的关键.

15.A

【分析】本题考查了解直角三角形，涉及余弦和正切的概念，根据画出图形，将三角函数的

答案第5页，共16页

AC1

值cosZ=-=-转化为直角三角形的边长之比BC=2也AC,结合正切定义即可求得答案.

AB3

【详解】解：由题意，

4c1

贝cosZ------=一,得1AB=3AC

AB3

BC=^AB2-AC2=2也AC，

2届C

tanT=20.

ACAC

故选：A.

【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角

边的长，运用三角函数的定义解答.

【详解】由sinA=（知，可设a=4x,贝ijc=5x,b=3x,

a4x4

•••tanA=—=—=-

b3x3

故答案为

【点睛】本题考查了同角三角函数的关系.求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数

的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三

角函数值.

4

17.-

5

3

【分析】先根据tan4=J,设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表

4

达式即可推出cos4的值.

【详解】解：••-tanJ=4S=|,AC=8,

AC4

•••BC=6,AB7AC、BC2=10,

答案第6页，共16页

,AC4

cosA=-----

AB5

4

故答案为：—.

【点睛】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关

键.

18.cosA=,tanB—也

3

【分析】根据sin/和8c的值可以求出斜边42的值，再由勾股定理即可求得NC的值，知

道了直角三角形的三边即可求得cos/、tan3的值.本题考查了解直角三角形以及勾股定理,

解题的关键是熟记三角函数的定义，能够根据三边，求出各角的三角函数.

【详解】解―第T,

...设48=3后.BC=43k,

:.AC=NAB2-BC?=屈，

,2金

AB3

nACQ

tan5=----=yj2.

BC

19.A

【分析】本题考查了求锐角的正切值，根据正切的定义计算即可.

【详解】解：•・,在△Z5C中，ZC=90°,AC=3,BC=4,

,BC4

tanA=-----=—,

AC3

故选：A.

20.C

【分析】本题考查锐角三角函数的定义，正确理解正弦定义是解题的关键.直接利用正弦的

定义求解.

【详解】解：•.・NC=90。，

.,BC3

：.S1IL4==—,

AB5

故选：C.

21.A

【分析】本题考查锐角三角函数的意义，在Rt△45C中，各边都扩大5倍，其相应边长的比

值不变，因此锐角A的正切函数值也不会改变，理解锐角三角函数的意义是正确判断的关键.

答案第7页，共16页

【详解】解：锐角三角函数值随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系,

因此锐角A的正切函数值不会随着边长的扩大而变化，

故选：A.

22.B

【分析】根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题.

【详解】•••必中，ZC=90°,//、NB、/C所对的边分别为a、b、c

sin5=—,即6=csin3,则A选项不成立，B选项成立

c

tanB=—,BP/)=otanB,则C、D选项均不成立

a

故选：B.

【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟记定义是解题关键.

23.C

【分析】根据勾股定理求出NC,再根据锐角三角函数求出答案.

【详解】解：在RtA48C中，ZC=90°,/8=13,5C=12,由勾股定理得,

AC=y)AB2-BC2=V132-122=5，

AC”生=』，八生12

所以sinB=----J-cos/*Jtancos

AB13AB13BC12AB13

故选：C.

【点睛】本题考查勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和勾股

定理.

24.B

【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，先利用正弦的定义得到sin/=铝=：,可计

AB3

算出45=6,然后根据勾股定理计算/C的长.

【详解】解：如图,

在中,"=90。，BC=4,

4

AB

二.AB=6,

答案第8页，共16页

JC=V36-16=25/5.

故选B.

25.D

【详解】解：••-cosA=-=-1,

c13

・•・设b=5k,c=13k,根据勾股定理得a=12k,

所以sin4=巴=乜.

c13

故选D.

26.B

【分析】找到乙45。所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得乙45。的邻边

与斜边之比即可.

【详解】解：过4作4015。于

•-AB=5+42=2屈

；.CGSNABC=%=^~

2755

故选：B.

【点睛】此题考查了勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.

27.C

PB

【分析】首先根据勾股定理求出PB的长，然后根据锐角三角函数的定义，tana="g即可

OB

求值.

【详解】解：过点P作PBlx轴于点B,

答案第9页，共16页

,:点P的横坐标为3,sina=1,

.­-0B=3,设PB=4x,OP=5x

在RtZiOPB中，由勾股定理得：32+(4x)2=(5x)2

解得：x=l,

PB4

；.PB=4,tana=----=-

OB3

故选C.

【点睛】本题考查勾股定理及锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关

键.

28.C

【分析】由尸(11)可知，。尸与x轴的夹角为45。，又因为。尸〃N8,则△0/3为等腰直角形,

设OC=x,0B=2x,用勾股定理求其他线段进而求解.

【详解】点坐标为(1,1),

则0P与x轴正方向的夹角为45。，

又；0P//AB,

则乙8/。=45。，△0/8为等腰直角形，

：.OA=OB,

设OC=x,贝!IOB=3OC=3x,

则OB=OA=3x,

/八5OCx1

tanZ.OAP-----=—=—.

OA3x3

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理和锐角三角函数的求解,

根据P点坐标推出特殊角是解题的关键.

29.3

答案第10页，共16页

3

【分析】根据NC=90。，sin/=(,AB=5,解直角三角形即可得到答案.

【详解】解：如图：在放△力中，NC=90°,

3

•「sinZ=—,AB=5,

5

BC=43・sin4=3,

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

30.鸿

【分析】可分4cm为腰长和底边长两种情况，求得直角三角形中底角的邻边与斜边之比即

可.

【详解】①4cm为腰长时，

3

作AD1BC于D.可得BD=CD=3cm,所以cosB=—；

4

21

②4cm为底边时，同理可得BD=CD=2cm,因止匕cosB=—=:.

63

考点：锐角三角函数

【详解】解:如图,

,­,taiL4=2,

答案第11页，共16页

・,・设AB=x，则BC=2x,

AC=+（2x）2=V5x,

.,BCAB21375

则有:SHL4+COSZ=---1---=—=+—==---

ACAC4^5

故答案为上.

5

32.-

5

45

【分析】由3a=4b,可得a=§b,由勾股定理可得c=§b,然后根据正弦函数的定义求解

即可.

【详解】•；3a=4b,

•••c=Va2+b2=+b2=1b,

b__b__3

••・sinB=c5b5.

T

故答案为：3

【点睛】

cK

本题考查了锐角三角函数的概念及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关

/A的邻边/A的对边

键.在RtAABC中，sinA="碑"边cosA=tanA=

斜边斜边/A的邻边.

33.2

【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义.此题难度适中，解题的关

键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用.

首先连接5E,由题意易得5尸=。尸,A/CPSARDP,然后由相似三角形的对应边成比例，易

得DP:CP=1:3,即可得?尸：。尸=尸尸：8/=1:2,在RMP8尸中，即可求得tan/BP尸的值,

继而求得答案.

答案第12页，共16页

【详解】解：如图，连接班,

,-.DF=CF=-CD,BF=-BE,CD=BE,BELCD,

22

:・BF=CF,

根据题意得：AC//BD,

,“ACPSABDP,

.'.DP:CP=BD:AC=\:3f

・•・DP:DF=1:2,

：.DP=PF=LCF=LBF,

22

BF

在RtAPBF中，tan/BPF==2,

PF

•・.ZAPD=ZBPF,

tanZAPD=2.

故答案为：2

333

34.sin/=—,cosB=—,tanZ=一

554

【分析】本题主要考查了正弦函数，余弦函数，正切函数的定义，先根据勾股定理求出/C

的长，再根据锐角三角函数的定义解答即可.

【详解】解・・・在△/5C中，4=90。,3c=3"=5,

根据勾股定理可得：AC=^52-32=4,

.ABC3nBC3ABC3

smA=----=—,cosB=-----=—,tanA=-----=—

AB5AB5AC4

3

35.⑴w

【分析】（1）根据BC和4B的值可以求得/C的值，进而得到tan/的值;

（2）根据定义解答即可;

本题考查了勾股定理，锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

答案第13页，共16页

【详解】（1）解：•••NC=90。，

•1•AC=yjAB2-BC2=y]102-62=8>

,BC63

tanA=-----=—=—；

AC84

（2）解：vZC=90°,

,BC5

tanA=-----=—.

AC2

36.（1）详见解析；（2）

【分析】（1）连接OD、AD,根据圆周角定理得出AD1BC,根据等腰三角形性质求出

BD=DC,根据三角形的中位线求出ODIIAB,推出OD1DE,根据切线的判定求出即可；

（2）根据平行线分线段成比例定理，即可求得FC的长，即可求得AF,根据余弦的定义即

可求解.

【详解】（1）连接OD,AD,

•■•AC是半圆的直径,

.-.ZADC=9O°,

即AD1BC,

•・・AC=AB,

・・・CD=BD,

•.AO=OC,

/.ODIIAB,

vDElAB,

.,•DE1OD,

-OD是半径，

••.DE是OO的切线；

(2)由(1)知ODIIAE,

.••ZFOD=ZFAE,ZFDO=ZFEA,

答案第14页，共16页

.-.△FOD-'AFAE,

FOOP

；一五'

FC+OCOP

,•FC+ALAB-BE'

.FC+2_2

，＞C+4-4^T，

解得FC=2,

••・AF=6,

…AEAB-BE4-11

/.RtAAEF中，cosZFAE=-----=------------=------=—.

AFAF62

【点睛】本题