青海省西宁市某中学2024-2025学年高二年级上册期末考试数学试卷

青海省西宁市第十四中学2024-2025学年高二上学期期末考试

数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知直线/过直线％->+2=。和2%+y+l=0的交点，且与直线1-3歹+2=0垂直，贝直线/的

方程为（）

A.+y+2=0B.J%—y+2=u

C.%+3y+2=0D.x—3y+2—0

2.在等比数列｛%｝中，若9ali=81,则=（）

A.6B.9C.±6D.±9

22

3.以椭圆土+二=1的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（）

84

22

A.----------=1D.----------=1C.---v2=lD.--一v2=l

44844"8"

4.如图所示，438-44GA为正方体，给出以下四个结论：①平面C4A；②直

线用C与2。所成的角为60。；③二面角c-耳2-G的正切值是百；④NG与底面/BCD

所成角的正切值是收；其中所有正确结论的序号为（）

C.①②④D.①②

5.已知数列｛%｝满足%=2,。用=产

则数列｛〃〃｝前2025项的积为（）

1一凡

1

A.2B.3C.——D.6

2

22

6.已知双曲线、-2=1（°>0/>0）的左右焦点分别为耳耳，且寓闾=2,当点用到渐

试卷第1页，共4页

近线的距离为g时，该双曲线的离心率e为（）

A.—B.-C.2+6D.—

333

7.已知直线x-岛+8=0和圆工2+必=/">（））相交于48两点.若|/⑼=6,贝>的值为

（）

A.3B.V3

C.5D.V5

8.已知椭圆C：土+L=1（加>0且〃zw6）,直线x+3.y-4=0与椭圆C相交于4,2两

6m

点，若（1,1）是线段的中点，则椭圆的焦距为（）

A.2B.4C.272D.行

二、多选题

9.已知等差数列｛4｝的前“项和为S"，若S8>0,S9<0,则下列选项正确的有（）

A.%〉。

B.%〉。

C.｛%｝中绝对值最小的项为出

D.数列｛，｝的前〃项和7；最大项为录

10.已知抛物线C:/=4y的焦点为己O为坐标原点，点M（%,%）在抛物线C上，若|九值|=5,

则（）

A.尸的坐标为（1,0）B.%=4

C.\OM\=245D.S,OFM=2

I1.已知圆C：（x+2y+y2=4,直线/：M+x+2y-l+m=0（“e&）.则下列结论正确的是（）

A.当加=0时，圆C上恰有三个点到直线/的距离等于1

B.对于任意实数〃?，直线/恒过定点1）

C.若圆C与圆x2+j?一2x+8y+a=0恰有三条公切线，贝h=8

试卷第2页，共4页

D.若动点。在圆C上，点£(2,4),则线段中点M的轨迹方程为/+(y-2)2=l

三、填空题

12.若5是。与，的等差中项，3是。与6的等比中项，贝!!/+〃=.

13.己知产为圆(x+l)2+V=1上任意一点，A,B为直线3x+4y-7=0上的两个动点，且

\AB|=2,则面积的取值范围是.

14.如图，在正四面体0/8C中，E,尸分别为4B,0c的中点，则无与前的夹角的余

弦值为.

四、解答题

15.如图，在四棱锥P-/8CD中，底面48CD为正方形，PAABCD,PA=AB=2,

点、M、N分别为AP、BC的中点.

(1)证明：直线AGV〃平面尸8；

⑵求点B到平面MND的距离.

16.已知圆Af一qx-2ay-40=0的圆心在直线x-_y+1=0上，直线/:y=x+6.

⑴求。的值；

(2)求圆M关于直线/对称的圆AT的标准方程；

⑶过(2)中的点AT作圆M的切线机，求直线加的一般式方程.

试卷第3页，共4页

22

17.已知椭圆氏"+勺=1k>6>0),。为坐标原点，尸为椭圆上任意一点，K，月分别

ab

为椭圆的左、右焦点，且其离心率为孝，过点M(O,1)的动直线/与椭圆相交于A,

B两点.

(1)求椭圆£的标准方程；

⑵当手时，求直线/的方程

18.设等差数列｛%｝的前〃项和为S",且邑=452，a2n=2an+l.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵设数列｛2｝满足2+&+…+%=1-5,“eN*,求抄“｝的前〃项和北.

19.如图，/BCD为圆柱0(7的轴截面，£下是圆柱上异于的母线.

Q)若AB=BC=&,当三棱锥8-DE■尸的体积最大时，求二面角3-。尸-E的正弦值.

试卷第4页，共4页

《青海省西宁市第十四中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案ABADADCBBCDBD

题号11

答案BCD

1.A

【分析】联立两直线方程求得交点，再由已知直线方程求出所求直线的斜率，代入直线方程

的点斜式得答案.

x-y+2=0

【详解】联立,解得

2x+j+1=0

直线x-y+2=0和2x+y+l=0的交点为(-1,1),

又直线I和直线x-3y+2=0垂直，

...直线/的斜率为-3.

则直线/的方程为y-1=-3(x+1),即3x+y+2=0.

故选：A.

2.B

【分析】利用等比数列的性质可求得结果.

【详解】在等比数列｛%｝中，若。=81,则%。7a9%1=(%%5)2=81，

由等比数列的性质可得。吗$=d>0，故%%5=9.

故选：B.

3.A

【分析】确定双曲线的焦点和顶点，进而可得双曲线方程.

22

【详解】椭圆(+?=1的长轴端点为卜2亚,0),(2在0),

椭圆焦点为(-2,0),(2,0),

即双曲线的焦点为卜2亚,0),(260),顶点为(-2,0),(2,0),

所以双曲线方程为工-上=1.

44

故选：A.

4.D

答案第1页，共13页

【分析】逐一分析选项，①根据线面垂直的判断定理证明；②根据3。//耳2,异面直线与。

与瓦）所成的角是/。声。；③NCOG是二面角c-4〃-G的平面角，直接求

tanZCOQ与底面ABCD所成角是NC/C.

【详解】①连接4G，

BQ1±4G,BQ】_LAAX,

/.BXDXJ_平面441G，

,BQ、±AC{,

同理：BXCLACX,BiD、cB]C=B],

.•./GJ_平面CBQ,故①正确；

②：BD//4A，异面直线B、c与BD所成的角是/口2。或其补角，

.•.四。“是等边三角形，

ZD^C=60°,故②正确;

③4Gn42=。，连接oc,/coq是二面角。一4〃一G的平面角，

tan/COG=血,故③不正确；

④••,CC1_L平面48CD,

NC/C是与底面/反力所成角，

【点睛】本题考查几何体中的线线，线面位置关系的判断，意在考查空间想象能力，逻辑推

答案第2页，共13页

理能力，属于基础题型.

5.A

【分析】求出数列的一个周期为4,且。1的%g=1，从而得到数列｛%｝前2025项的积.

1+Q11+2.1+。2_1一3_1

【详解】因为q=2,所以出=二=二=一3

l-a2-1+3-2

1।1——11।]+—

1+%_2-1"_1+。4-3-

--------------：------,a5--------------------9z

1-。31+131-«41-1

23

故｛6｝为一个周期为4的数列,

其中可〃2〃3〃4=2x(-3)X

因为2025=4x506+1,所以数列应｝前2025项的积为I506x4=2.

故选：A

6.D

【分析】由双曲线写出渐近线和焦点坐标，利用点到线距离公式列方程可得6=g,再由双

曲线参数关系及离心率公式求结果.

【详解】由题设可得双曲线渐近线为笈±@=0,且8(c,0),

be1i_____6

所以，3+万=5,即6=：，又由用=2c=2nc=l,所以a=〃2-7=浮,

所以e=£=拽.

a3

故选：D

7.C

AB

【分析】求出圆心到直线的距离d,再利用产\+d2,化简求值,即可得到答案.

【详解】圆一+/=’(>>0)的圆心为(0,0),圆心到直线的距离公式为

-.'IAB1=6

故r=-\/32+42=5

答案第3页，共13页

故选：c.

8.B

【分析】根据点差法求解中点弦问题求解即可.

【详解】设）（再,%），8（%，%），则再+*2=必+%=2,

2222

将/,3的坐标代入椭圆方程得：士+里=1,、+二=1,

6m6m

2_22_2

两式相减，得：西一如+-=0,

6m

次（再+%2）

变形为"也

再—x26（%+%）

又直线"2的斜率为二:一!'所以一丁一痣,即机=2,

因此椭圆的焦距为2）6—加=4，

故选：B.

9.BCD

【分析】由题设可得；〃4+4〉0,结合等差数列性质判断A、B、C；再由S”的正负分界点,

判断北最大项判断D.

4(%+%)=4(%+%)>0

由题意,9,、门C

【详解】可得

一⑷+初=9%<0%<0

、2

所以〃4>0,%<0，&+〃5<0，B正确，A错误;

设数列｛%｝的公差为d,

贝"<0,%>0,

所以｛。"｝为递减数列，且。4>°，«4>~a5>即

且当“V4时，|%|单调递减，当”25时，单调递增，

所以｛%｝中绝对值最小的项为。5，故C对；

因为当"V4时，«„>0,当"25时，a„<0,Sg>0,S9<0,

所以£的前8项为正，第9项开始均为负,

答案第4页，共13页

故(最大项为4，D对.

故选：BCD

10.BD

【分析】根据抛物线的定义和标准方程，以及抛物线的几何性质，逐项判定，即可求解.

【详解】由抛物线C:/=4＞，可得。=2,所以]=1,且焦点在y轴正半轴上，

则焦点尸(0』)，所以A错误；

由抛物线的定义可得|九固=%+1=5,解得%=4,所以B正确；

由乂)=4,可得x：=16,所以七=±4,则|0叫=&+"=4行,所以C不正确；

由凡。口♦|x0|=2,所以D正确.

故选：BD.

II.BCD

【分析】对于A,通过计算圆心到直线的距离进行分析即可，对于B,对直线方程变形求解

即可，对于C,由两圆有3条公切线可得两圆相外切，从而可求出。的值，对于D,设DE的

中点为(xj),则可得动点。的坐标为(2x-2,2y-4)代入圆C方程中化简可得答案

【详解】对于A,圆C:(x+2)2+/=4的圆心为(-2,0),半径『=2,当加=0时，直线

l-.x+2y-l=0,则圆心c到直线/的距离为d=上翌=述，因为2一还＜1,所以圆C

V555

上只有两个点到直线/的距离等于1,所以A错误，

对于B,由加x+x+2y—l+加=0的£尺)，得冽(x+l)+(x+2y—l)=0,由于加ER,所以

[x+1-0fx=—1

cI八，得〔，所以直线/恒点(T1)，所以B正确，

[x+2y-l=0['=1

对于C,因为圆。与圆x2+j?-2x+8y+a=0恰有三条公切线，所以两圆相外切，由

x2+j；2-2x+8y+tz=0,得(x-l)，+(y+4)?=17-。，所以J(-2-厅+(0+45=5=J17-O+2,

解得。=8,所以C正确，

对于D,设DE1的中点为(x,y),则可得动点。的坐标为(2x-2,2y-4),因为动点D在圆C

上，所以(2x-2+2y+(2y-4y=4,化简得/+°；_2)2=1,所以线段DE中点M的轨迹方

答案第5页，共13页

程为*+（y-2）2=1,所以D正确,

故选：BCD

12.82

【分析】根据等差中项和等比中项的定义列式计算即可.

【详解】由已知。+6=10,ab=9,

所以/+〃玉+万族-2ab=100-18=82.

故答案为：82.

13.[1,3]

【解析】AP/3底|/切=2,高为点P到直线3x+4y-7=0的距离，所以只需求出点尸到直

线3x+4y—7=0的距离的范围即可.

【详解】解：圆心到直线的距离为士4=2>1,所以圆与直线相离，

5

则圆上一点P到直线3x+4y-7=0的距离d的范围为[1,3],

又|，5|=2,所以△尸的面积；x2xl〈S（；x2x3,即SE[1,3],

故答案为：[1,3]

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆上的点到直线的距离，考查学生的转化能力,

属于中档题.

2

14.——

3

【分析】利用正四面体的性质、向量的线性运算、向量的数量积运算即可得解.

【详解】解：设正四面体棱长为1,

设a=7,OB=b^^=~c，贝电卜国川=1,

ZAOB=ZBOC=ZAOC=60°,

rr|r||ri1「r百田1rr田内i

a-b=|<2|HcosNAOB=—,b-c=|/）||c|cosNBOC=—,c-a=|c||（7|cosZ.AOC=—.

•；E,b分别为45,OC的中点，△045,△OBC是等边三角形，

：.OE=^+b）,BF=OF-OB=^c-b,\OE\=^F\=^,

答案第6页，共13页

OEBF

CQS(OE.BF^=

1一一1三一1一五1112

-a-c+—b'C-----a'b---p。

,4422门=2

-23,

4

・•・瓦与丽的夹角的余弦值为-：2.

2

故答案为：-

15.（1）证明见解析

⑵①

21

【分析】（1）取尸。中点。，利用平行的传递性构建平行四边形MQCN,证得“N//C。，则

直线MNH平面PCD可证.

（2）建立合适的空间直角坐标系，分别求得平面法向量，直线的方向向量，利用点到平面

的距离公式计算即可.

【详解】（1）证明：取尸D中点。,

MQHAD,MQ=；AD=1

,•,点均为中点,

又正方形中NCIIAD,NC=1,MQ//NC,MQ=NC,

.•・四边形MQCN为平行四边形，,MN//C。，

又MTV平面PCD,C0u平面PCD,

直线MV〃平面PC。；

（2）因为平面48cZ）为正方形，且尸/,底面/BCD,

所以AB,AD,AP两两互相垂直，

所以分别以/B,AD,/尸为x，F，z轴建立空间直角坐标系,

答案第7页，共13页

Z/

则有“(0,0,1)8(2,0,0),。(0,2,0),N(2,1,0),

可得加=(0,2,-1),丽=(2-1,0),W=0,1,0),

设平面A/ND的法向量为〃=(xj,z),

nMD=02y-z=0

则有《即

心面=02x-y=0

令X=l,得万=(1,2,4),

\BN-n\|(0,1,0)-(1,2,4)|^2721

所以点3到平面MND的距离d=

网.同V2121

则点B到平面MND的距离为名包.

21

16.⑴a=2

(2)(x+4)2+(y-7)2=45.

(3)2x—y+15=0x—2,y+18—0.

【分析】（1）根据圆的一般方程确定圆心，结合点在直线上，列方程解方程;

（2）设％）,根据两点关于直线对称，列方程，解方程即可；

（3）设点斜式方程，由直线与圆相切，根据点到直线的距离列方程，解方程.

【详解】（1）由已知圆A/:x?+y2-ox-2ay-40=0,

则圆心”[■I，。],

又圆心M在直线x-y+1=0上，

BP--a+l=0,解得a=2；

2

（2）由（1）得圆“：/+/一2苫一4>一40=0,即（x-l）2+（y-2『=45,

答案第8页，共13页

即可(1,2),半径-3囱，

设"'(七,%),则m以中点为(号上当了］，且七”=比二1，

I22)/T

%+2Jo+1।6

所以由对称可知,

歹0—2

/一1

%=-4

乂二7

即”(-4,7),

所以圆”(x+47+(广7『=45；

(3)根据题意可得直线加的斜率存在,

则可设直线m的方程为＞-7=Mx+4),

BPkx—y+4左+7=0,

解得k=2或k=；,

故直线机的方程为y_7=2(x+4)或了-7=；(x+4),

即一般式方程为2x-y+15=0或x-2y+18=0.

【解析】(1)首先根据题意得到-=一，，再解方程组即可得到答案.

a2

(2)首先设出直线方程y三丘+1,与椭圆联立，利用根系关系和弦长公式即可得到方程

4左J5/+1=0,再解方程即可得到答案.

【详解】(1)由题意知

解得/=4,b2=2.

答案第9页，共13页

22

所以椭圆的标准方程为小＞L

（2）当直线/的斜率不存在时，|/a=20，不符合题意.

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y三6+1,

f22

土匕=]

联立＜42,得（2左之+1）/+4区—2=0,

y=kx+\

其判别式A=（4左/+8（2左2+1）=8（4左2+1）＞0,

设点坐标分别为（玉,无）,（巧，%），则%+，2=

A,82^TT,12--2F71,

4卡

所以\AB\=J1+42)2―4上科2=/+左2•2行+1=

:k~T~

整理得4左4一5〃+1=。，解得〃=1或左

所以左=±1或左=士;.

综上，直线/的方程为尸±x+l或k土;x+1.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与椭圆的弦长问题，本题中将直线方程代入椭圆的

标准方程，再利根系关系和弦长公式得到所求的等量关系为解题的关键，考查学生的计算能

力，属于中档题.

18.⑴%=2〃-1；

STa2〃+3

(2)(=3--—

【分析】（1）设等差数列｛&｝的首项为4,公差为d,由基本量法列方程组解得qS,得通

项公式;

（2）求出通项公式“，用错位相减法求和.

【详解】（1）设等差数列｛%｝的首项为3,公差为d.

4〃]+6d=8al+4d

由J=4s2,a=2a+1得

2nn%+(2n-l)d=2q+2(〃-l)d+1'

%—1

解得

d=2

所以%=l+2(/?-l)=2n-l；

答案第10页，共13页

byb.b,1

(2)由」+工+一叶n二=1—菽,%N可得

axa2an2

」b、1

当r〃=1时，—=-,

ax2

当“22时，2=1一:一［1一苴］二:，

所以《=5'"eN*，4=；xq“=^pl,"eN*,

un乙乙

DT1352n-l

又看=5+合+梦+…+h

11352n—321

-~T-lT~lT+…-!--------------1---;-

22223242n2〃+i

两式相减得

IT1(2222、2〃T31

22(2223242"J2"422"-2"」

所以北=3-丝

19.（1）证明见解析

（2）f

【分析】（1）先证明/E7力是平行四边形，再结合圆柱的性质得到平面。斯；

（2）利用等积转换知识结合圆柱的性质先找到体积最大值时好的相对位置，再找出

二面角的平面角或利用空间向量求得二面角的大小.

【详解】（1）证明：如图，连接NE,由题意知为。。的直径，所以/ELBE.因为跖

是圆柱的母线,

所以/。〃所且4。=斯，所以四边形NE