切点弦与中点弦问题-2024-2025学年高二数学复习讲义（人教A版选择性必修第一、二册）

第12讲切点弦与中点弦问题

【人教A版2019】

1.圆锥曲线的切线和切点弦

(1)切线方程：

过圆锥曲线A^+Cy+Dx+Ey+F^A.C不全为0)上的点M(xo,yo)的切线的方程为

Axx+Cyy

00+JD£±ZO+£Z±>+尸=。

(2)切点弦方程：

当M(xo,yo)在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，过这两个切点的弦所在直线的方程为:

Axx0+Cyy0++F=0

上述两条为一般结论.特别地:

22

①对于椭圆£+奈=心6>0）,其上有一点M（xo,yo）,则过该点作切线得到的切线方程答+紫=1.

当M在椭圆外时，过M引两条切线得到两个切点，则过这两个切点的直线方程为答+等=1.

（2）更为一般地，当二次曲线有交叉项时，即圆锥曲线形式为过点

M（xo,yo）有对应的一条直线为Nxxo+yXoj^++Cyy0+D+E，；+F=0；当M在原圆锥

曲线上时，这条直线为过M的切线；当M在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，这条直线为过

这两个切点的弦的直线.

►题型归纳

【题型1圆锥曲线的切线方程的求解】

22

【例1.1］（23-24高二上.江西吉安・期末）已知过圆锥曲线篙+?=1上一点P（x。,%）的切线方程为崇+乎=

22

1.过椭圆三+-=1上的点4（3,-1）作椭圆的切线则过a点且与直线/垂直的直线方程为（）

124

A.%—y—3=0B.x+y-2=0

C.2%+3y—3=0D.3%—y—10=0

【例1.2］（23-24高三上.江西南昌•阶段练习）在平面直角坐标系％Oy中，若抛物线C:y2=2p%的准线与圆

M:（%+l）2+y2=1相切于点直线48与抛物线C切于点8,直线48的方程为（）

A.%+y+2=0B.%—y+2=0

C.%+y+2=。或％—y+2=0D.％+2y+2=0或%—2y+2=0

【变式1.1］（2024高三.全国.专题练习）设双曲线C：/-2*=1上点p（百,1）.求双曲线C在点P处的切

线2的方程.

【变式1.2］（23-24高二上.山东青岛.期末）已知。为坐标原点，点尸在抛物线C：必=2pjc（p〉0）上，点

尸为抛物线C的焦点，记P到直线％+2=0的距离为小且d—|PF|=1.

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）若过点（0,1）的直线/与抛物线C相切，求直线/的方程.

【题型2圆锥曲线的切点弦问题】

【例2.1】（2024.甘肃临夏.一模）过点P（-1,2）作两条直线与抛物线C4=4x相切于点A,B,则弦长|4B|等

于（）

A.8B.6C.4D.2

【例2.2］（2024•山东•模拟预测）已知抛物线C：/=4y,过直线】：x+2y=4上的动点P可作C的两条切

线，记切点为4B,则直线4B（）

A.斜率为2B.斜率为±2C.恒过点（0,-2）D.恒过点（一1,一2）

【变式2.1］（2024高三.全国・专题练习）过点P（3,l）作双曲线C：/_丫2=1的两条切线，切点分别为A,

B,求直线A8的方程.

22

【变式2.2］（2024.全国.模拟预测）在平面直角坐标系久。了中，已知椭圆。京+琶=l（a>b>0）的右焦点

与抛物线y2=8&x的焦点重合，且椭圆的四个顶点围成的四边形面积为8百.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知点P是直线y=-4x+20上的动点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为N,问直线

是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.

模块二N圆锥曲线中的中点弦

►知识梳理

1.直线与圆锥曲线相交于两点A（xi,山），3（X2,竺），则称线段A5为弦，与这条弦的中点有关的问题是

一类综合性很强的问题，被称为中点弦问题.

2.中点弦的有关问题解法

解决圆锥曲线中与弦的中点有关的问题的常规思路有两种：

（1）通过方程组转化为一元二次方程，结合一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式进行求解.

（2）点差法，设出弦的两端点的坐标，代入方程，得到两个等式，两式相减即得弦的中点坐标P（xo,%）与

它和原点连线的斜率的关系.

相关结论：

①在椭圆中有：当X0不为零时，—kAB=--^2,令左。尸=出,即左”•如3=—%；

XQax（）CL

②在双曲线中有：当X0不为零时，普如3="；

③在抛物线中有：yokAB=P-

点差法只能用于一类与弦的中点有关的问题.

3.椭圆的“中点弦问题”

（1）解决椭圆中点弦问题的两种方法

①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根

与系数的关系以及中点坐标公式解决.

②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中

点坐标和斜率的关系.

设/（而,切），8（工2,歹2），代入椭圆方程7"+方=1

①一②可得（』2）-2）+（"+»〃"一"）=0,

ab

设线段A8的中点为尸（沏,为），当两行2时，有余+¥=在

因为尸Go,/。）为弦48的中点，从而转化为中点尸（沏,"）与直线A8的斜率之间的关系，这就是处理弦

中点轨迹问题的常用方法.

（2）弦的中点与直线的斜率的关系

线段AB是椭圆三+条=1（。>6>0）的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦的中点M的坐标

为（沏,%），则弦A3所在直线的斜率为-发，即左皈•MB=-与.

ay（）a

4.双曲线的“中点弦问题”

“设而不求”法解决中点弦问题：

①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的

这类问题中，则不能确定.要注意检验.

②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将

为外转化为能用韦达定理直接代换的4+X2,而X2.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化.

►题型归纳

【题型3椭圆的中点弦问题】

【例3.1】（2024.安徽芜湖•模拟预测）已知椭圆9+1=1,一组斜率前勺平行直线与椭圆相交，则这些直线

被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（）

A.y=B.y=—2xC.y=—D.y=2x

【例3.2］（23-24高二上•山西太原•期末）在椭圆［+1=1中，以点M（2,|）为中点的弦所在的直线方程为

（）

A.%—2y+1=0B.3%—4y=0

C.3x+4y—12=0D.8%—6y—25=0

【变式3.1］（2024高三.全国・专题练习）已知椭圆5/+9V=45,椭圆的右焦点为F.

（1）求过点尸且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长；

（2）判断点4（1,1）与椭圆的位置关系，并求以4为中点的椭圆的弦所在的直线方程.

22

【变式3.2］（2024•陕西西安•模拟预测）已知椭圆l（a>b>0）的一个焦点与抛物线y?=4x的

焦点重合，离心率为也

（1）求椭圆C的方程；

⑵过点F（-*0）作斜率为|的直线交椭圆C于P,Q两点，求弦PQ中点坐标.

【题型4双曲线的中点弦问题】

【例4.1］（23-24高二上•天津和平•期末）直线/与双曲线/一9=1交于A,8两点，线段A8的中点为点

M(—1,—4),则直线/的斜率为()

4499

A.--B.-C.--D.-

9944

22

【例4.2](23-24高三上•内蒙古呼和浩特•开学考试)设A,8为双曲线千—±=1上的两点，若线段的

o16

中点为M(l,2),则直线A3的方程是()

A.x+y-3=0B.2%+y—3=0C.%—y+1=0D.%—2y+3=0

22

【变式4.11(23-24高二上•陕西宝鸡・期末)已知双曲线C+—a=l(a>0,b>0)的渐近线方程是y=±2%,

实轴长为2.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线[与双曲线C交于4B两点，线段4B的中点为M(3,2),求直线I的斜率.

【变式4.2](2024高三下.全国.专题练习)已知双曲线广亍-y2=1的左右顶点分别为&、

(1)求以41、4为焦点，离心率为1的椭圆的标准方程；

(2)直线1过点C(l,l)与双曲线「交于4B两点，若点C恰为弦AB的中点，求出直线/的方程；

【题型5抛物线的中点弦问题】

【例5.1X23-24高二下•云南曲靖•期末)已知直线咬抛物线C:/=—18丫于股可两点,且〃%的中点为(3,—2),

则直线[的斜率为()

A.-3B.--C.-D.--

693

【例5.2】(23-24高三下•安徽•开学考试)已知抛物线C:/=2py(p>0)的准线为、=-2,点PQ在抛物线

C上，且线段PQ的中点为(-2,4),则直线PQ的方程为()

A.%+2y-6=0B.%+3y—10=0

C.2x+y=0D.2%+3y—8=0

【变式5.1](2024•陕西渭南.模拟预测)己知。为坐标原点，抛物线C：V=2px(p>0)的焦点为F,点

A(x0,2p)在C上,且sin〃MF=等.

(1)求C的标准方程；

⑵已知直线/交C于M,N两点，且MN的中点为(2,1),求直线/的方程.

【变式5.2](23-24高二下.四川雅安.开学考试)设抛物线C:/=—2py(p>0)的焦点为F,4(%。,—9)是抛

物线C上的点,S.\AF\=15.

(1)求抛物线C的方程；

(2)已知直线/交抛物线C于M,N两点，且MN的中点为(-2,-11),求直线/的方程.

1.圆锥曲线焦点弦求解策略：

(1)两焦半径之和(之差)；

(2)“弦长”公式;

(3)当焦点在x轴上时，焦点弦|AB|=«呷径，。为直线的倾斜角;

当焦点在y轴上时，焦点弦|AB|=I】_.径可，。为直线的倾斜角.

1esin\j

2.椭圆的焦点弦

弦长：(1)两焦半径之和；

⑵“弦长”公式；

r\12

(3)当焦点在x轴上时，区耳=碍鬲后最喃，。为直线的倾斜角.

2b2

通径:

3.双曲线的焦点弦

弦长：（1）两焦半径之和或之差；

⑵“弦长”公式；

0入2

（3）当焦点在x轴上时，科目=万飞而司，，为直线的倾斜角.

通径：岑.

4.抛物线的焦点弦

弦长：（1）两焦半径之和或之差；

（2）“弦长”公式：抛物线产2Pxs>0）上一点A（x°,珀与焦点F（g,0）的距离为四|=x0+g若MN为抛

物线了2=2?0>0）的焦点弦，则焦点弦长为|肱7|=左1+尤2+。（尤1户2分别为MN的横坐标）.

设过抛物线焦点的弦的端点为45,%）,3（元2,外），则四种标准方程形式下的弦长公式为：

标准方程弦长公式

y2=2px(p>0)\AB\=x\+x2+p

y2=-2px(p>0)\AB\=p-(xi+x2)

x2=2py(p>0)\AB\=y\^yi+p

x2=-2py(p>Q)\AB\=p-(yi+y2)

⑶当焦点在x轴上时，|AB|=si^,。为直线的倾斜角.

通径：2p.

►题型归纳

【题型6椭圆的焦点弦问题】

【例6.1]（23-24高三上.浙江・期末）已知。为坐标原点，椭圆C:9+?=1的左、右焦点分别为尸1、F2,P为

第一象限内C上一点.若IP&I=2|PFzl，则直线OP的斜率为（）

A.—B.—C.—D.V15

774

【例6.2X2024高三・全国・专题练习）已知斜率不为0的直线1过椭圆。:三+*=1的左焦点尸且交椭圆于4,

B两点，y轴上的点M满足*=\MB\,则需的取值范围为（）

A.弓，争B.（?，争C.玲，|）D.[V2,+8）

【变式6.1]（2024•青海玉树•模拟预测）已知椭圆（7:?+《=l（a>6>0）的左、右焦点分别为F>F2,过

尸2的直线咬C于4、B两点（不同于左、右顶点），UBR的周长为4VL且（日,-?）在C上.

⑴求C的方程；

（2）若•阳&|=三,求直线/的方程.

22

【变式6.2]（23-24高三下.江西.阶段练习）已知椭圆后展+琶=l（a>b>0）的左，右焦点分别为0,F2,

E的离心率为弓，斜率为左的直线/过E的左焦点，且直线/与椭圆E相交于A,8两点.

⑴若k=1,\AB\=I，求椭圆E的标准方程；

（2）若船=5,fc<0,求A的值.

【题型7双曲线的焦点弦问题】

【例7.1]（23-24高二上•全国•课后作业）过双曲线/—4=1的右焦点作直线与双曲线交于4B两点，若

\AB\=16,则这样的直线有（）

A.一条B.两条

C.三条D.四条

【例7.2]（23-24高三上•湖北武汉•开学考试）设双曲线%/-9=1的左右焦点为F],F2,左顶点为4点

“是双曲线E在第一象限中内的一点，直线M0交双曲线E的左支于点N,若NA"MFz，贝“MFzl=（）

A.-B.-C.-D.—

4234

22

【变式7.1]（2024高三.全国.专题练习）设双曲线靠—l（a>0,6>0）,其中两焦点坐标为&（

-C,0),F2(C,0),经过右焦点的直线交双曲线于A、8两点，求弦长

【变式7.2](23-24高二上•内蒙古包头•阶段练习)已知双曲线/一步=1,&分别是双曲线的左、右

焦点.

⑴尸为双曲线上一点，^F1PF2=120°.①求AFiPF2的面积；②求IPF1I+IPF2I的值.

(2)过双曲线的右焦点尸2且倾斜角为60。的直线与双曲线交于4,B两点，求弦长|4B|的值.

【题型8抛物线的焦点弦问题】

【例8.1](24-25高二上•全国•课后作业)已知P(4,4)是抛物线C:*=2Px(p>0)上一点，过C的焦点F的

直线[与C交于4B两点，则+4|BF|的最小值为()

A.6B.7C.8D.9

【例8.21(24-25高三上•广东・开学考试)已知抛物线C:y2=2Pxe>0)的焦点为尸，过点尸的直线1交C于M,N

两点，线段MN的中点为E,过E作线段MN的中垂线交x轴于点R,过M,N两点分别作C的准线的垂线，垂足

分别为4B.线段4B的中点为P,则篙=()

11

A.1B.-C.2D.-

23

【变式8.1](23-24高二下•云南保山•阶段练习)已知点F是抛物线C:y2=4%的焦点，过点尸的直线/交抛物

线C于RQ两点，过点P作C的准线的垂线，垂足为M,。为坐标原点.

⑴证明：Q,O,M三点共线；

(2)若方=16而，求直线/的方程.

【变式8.2］（23-24高二上・辽宁・期末）已知抛物线C：x2=4y,过点P（1,O）作直线

（1）若直线2的斜率存在，且与抛物线C只有一个公共点，求直线/的方程.

（2）若直线2过抛物线C的焦点F,且交抛物线C于4,B两点，求弦长|4B|.

A课后提施（19题）

一、单选题

1.（23-24高二•全国•课后作业）过椭圆9+?=1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为（）

A.8、6B.4、3C.2、V3D.4、2百

2.（23-24高二上.湖北武汉•期中）过点（4,3旧）作直线，使它与双曲线9=1只有一个公共点，这样的

直线有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

3.（23-24高二上•新疆•期末）已知直线/与抛物线C:y=2/相交于力1两点，若线段4B的中点坐标为（1,4）,

则直线1的方程为（）

A.4%—y=0B.2x—y=0

C.8x—y-6=0D.%—2y+3=0

4.（23-24高二上.天津阶段练习）已知M（4,2）是直线/被椭圆/+4y2=36所截得的线段AB的中点，则

直线/的方程为（）

A.2x+y-8=0B.x+2y—8=0C.x—2y—8=0D.2x—y-8=0

5.（2024.河南焦作.模拟预测）己知直线y=x—1交曲线C:y2=4x于4,B两点（点4在点B的上方）,F为

C的焦点，则鼻=（）

A.2V3B.2V2C.2D.V2

22

6.（23-24高二.全国.课后作业）过双曲线器-拳=l（a>0）的右焦点F作直线I与双曲线交于4,B两点，使

得|48|=6,若这样的直线有且只有两条，则实数a的取值范围是（）

A.(0,1]U(3,+oo)B.(0,1)U(3,+oo)

C.(0,1)D.(3,+8)

7.（23-24高二上•湖南长沙•阶段练习）双曲线1左右焦点分别为尸2,过点尸2直线k与双曲线右

支交于48两点，弦4B的中垂线交工轴于P,若|AB|=|PF2|,则该双曲线渐近线方程为（）

A.%±2y=0B.2%±y=0C.V3x±y=0D.x±V3y=0

8.（23-24高三下.河南.阶段练习）己知椭圆C:/+q=1,离心率为过P（l,2）的直线分别与C相切于4

2

B两点，则直线4B方程为（）

A.尤+y—1=0或x+4y—1=0B.x+4y-1=0

C.x+y-1=0D.久+y+1=0或x+4y-1=0

二、多选题

9.（23-24高二下.湖南•期末）已知抛物线C:y2=4x,直线1过C的焦点F,且与C交于M,N两点，则（）

A.C的准线方程为x=-2

B.线段MN的长度的最小值为4

C.存在唯一直线使得F为线段MN的中点

D.以线段MN为直径的圆与C的准线相切

10.（23-24高二上•山西吕梁・期中）已知双曲线E过点（一2,3金）且与双曲线?一?=1共渐近线，直线/与

双曲线E交于4B两点，分别过点4B且与双曲线E相切的两条直线交于点P,则下列结论正确的是（）

A.双曲线E的标准方程是［—1

818

B.若4B的中点为（1,4）,则直线1的方程为9x—16y+55=0

C.若点4的坐标为Oi，%），则直线4P的方程为9%6-4yly+36=0

D.若点P在直线3x—4y+6=0上运动，则直线计亘过点（3,6）

11.（23-24高二上.浙江杭州•期中）设椭圆的方程为［+?=1,斜率为左的直线/不经过原点。，且与椭

圆相交于A,2两点，M为线段AB的中点，则（）

A.kAB,k0M=-1

B.若则直线/的方程为2%+y—3=0

C.若直线/的方程为y=x+2,则

D.若直线/的方程为、=久+2,则|力用=?

三、填空题

22

12.(23-24高二下•甘肃白银•期末)已知双曲线过点P