人教B版高中数学选择性必修二同步讲义：第四章 概率与统计 章末测试（学生版+解析）

第四章概率与统计章末测试

（考试时间：120分钟试卷满分：170分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准

考证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共80分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.（23-24高二下•福建福州,期中）下列叙述中，是离散型随机变量的是（）

A.某电子元件的寿命

B.高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数

C.某人早晨在车站等出租车的时间

D.测量某零件的长度产生的测量误差

2.（23-24高二下•安徽安庆•期中）若随机变量X的分布列如下表所示，且E（X）=6.3,则表中a的值为（）

X4a9

P0.50.1b

A.-14.39B.7C.5.61D.6.61

3.（23-24高二下•四川遂宁•阶段练习）已知随机变量X服从两点分布，且P（X=l）=0.7,设y=2X-1,

那么。（y）的值是（）

A.0.84B.0.7C.0.4D.0.3

4.（23-24高二下•福建宁德•阶段练习）已知变量x和，的统计数据如下表：

X681012

y2356

根据上表可得回归直线方程？=0.7x+a,据此可以预测当x=15时，＞=（）

A.7.8B.6.5C.9.6D.8.2

5.（23-24高二下•浙江•期中）从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，抽到的女生人数的均

值为（）

6.（24-25高二上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）如图，一个质点从原点0出发，每隔一秒随机等可能地向左或

向右移动一个单位，共移动4次，在质点第一秒位于1的位置的条件下，该质点共经过两次2的位置的概

率为（）

-4-3-2-101234x

1131

A.-B.—C.—D.一

4886

7.（24-25高二上•内蒙古赤峰•阶段练习）今有水平相当的棋手甲和棋手乙进行某项围棋比赛，胜者可获得

48000元奖金.比赛规定下满五局，五局中获胜局数多者赢得比赛，比赛无平局，若比赛已进行三局，甲两

胜一负，由于突发因素无法进行后面比赛，如何分配奖金最合理？（）

A.甲24000元，乙24000元B.甲32000元，乙18000元

C.甲40000元，乙8000元D.甲38000元，乙12000元

8.（24-25高二上•四川眉山•阶段练习）某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，

只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他

将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为g,不下雨的概率

2

均为且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.（24-25高二上•黑龙江•期中）有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取

两次,每次取一个球.事件V="第一次取出的球的数字是1"，事件N="第二次取出的球的数字是2",事件P=

“两次取出的球的数字之和是8",事件Q="两次取出的球的数字之和是7",贝！|（）

A.M与尸互斥B.尸与Q互斥C.N与P相互独立D.M与。相互独立

10.（24-25高二下•全国•课后作业）（多选）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况

下生产出来的包装食盐质量服从正态分布N（500,52）（单位：g）,生产线乙正常情况下生产出来的包装食盐

[0-1000）2

质量为晦随机变量X的概率分布密度函数为。⑴;欣羡一b,其中xeR'则「

附：随机变量4〜N.,O2),贝(JP(//-a<^<//+cr)«0.6827,P(//-2a<//+2cr)®0.9545,

P(〃-3b<。K;/+3b)七0.9973.

A.正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于485g的概率为0.135%

B.生产线乙的食盐质量无〜N0OOO,IO。?）

曲线9（x）的峰值为1人

C.

D.生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于515g,于是判断出该生产线出现异

常，该判断是合理的

11.（23-24高二下•黑龙江哈尔滨•期末）某计算机程序每运行一次都随机出现一个十位二进制数

A=ala2a3---al0（例如若“吗,%%，为）=°，的，。4，%，/，%=1，则==0101001110）,已知4（%=1,2,…,10）出

现"0"的概率为出现"1"的概率为记*=凡+%+/+/+%。，则当程序运行一次时（）

44一

3

A.X服从二项分布B.尸（X=l）=正万

c.E（X）=?D.O（X）=*

44

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（23-24高二下•四川眉山•期末）以曲线丫=比次拟合一组数据时，经Z=lnY代换后的线性回归方程为

Z=3X+5,贝ijc=.

13.（23-24高二下•天津和平•期中）甲从装有除颜色外都相同的3个黑球和小个白球的布袋中随机摸取一球，

有放回的摸取3次，记摸出黑球的个数为X,若E（X）=],则P（X=2）=.

14.（24-25高二上•湖北十堰•阶段练习）假定某工厂甲、乙、丙3个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂

的45%、35%、20%,如果各车间的次品率依次为4%、2%、5%.现在从待出厂产品中检查出1个次品，则

它是由甲车间生产的概率是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（24-25高二上•四川眉山•期中）随着互联网的高速发展和新媒体形式的不断丰富，微短剧作为一种新兴

的文化载体，正逐渐成为拓展文化消费空间的重要途径.某媒体为了了解微短剧消费者的年龄分布，随机调

查了200名消费者，得到如下列联表：

年龄不超过40岁年龄超过40岁合计

是微短剧消费者3045

不是微短剧消费者

合计100200

⑴根据小概率值夕=0.05的独立性检验，能否认为"是微短剧消费者"与"年龄不超过40岁"有关联？

（2）记2020~2024年的年份代码尤依次为1,2,3,4,5,下表为2020~2023年中国微短剧市场规模及2024

年中国微短剧预测的市场规模》（单位：亿元）与尤的统计数据：

年份代码X12345

市场规模y9.436.8101.7373.9m

根据上表数据求得y关于X的经验回归方程为y=132.71x-192.85，求相关系数厂，并判断该经验回归方程

是否有价值.

2

参考公式：Z=7~、，其中〃=a+Z?+c+d,%05=3.841.

n--------£（七一工）（外一y）_

JE（X-y）2=442.03,相关系数,二।Z1r.V10=3.16.

曲-W毕f

若川20.75,则认为经验回归方程有价值.

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

16.(24-25高三上•重庆•期中)某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测,

得到一组数据X,如下表：

性能指标X6677808896

产品件数102048193

⑴求该项性能指标的样本平均数元的值.若这批零件的该项指标X近似服从正态分布其中〃近似

为样本平均数元的值，4=36,试求尸(74<X<92)的值.

(2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机

床生产的零件的次品率为0.02,乙机床生产的零件的次品率为0.01,现从这批零件中随机抽取一件.

①求这件零件是次品的概率：

②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率；

③若从这批机器零件中随机抽取300件,零件是否为次品与该项性能指标相互独立,记抽出的零件是次品，

且该项性能指标恰好在(74,92］内的零件个数为y,求随机变量丫的数学期望(精确到整数).

参考数据：若随机变量&服从正态分布N(〃,〃),则尸。<6W〃+b)q0.6827,

P("—2b<^<ju+2cr)«0.9545,P("—3b<J<〃+3b)«0.997.

17.(24-25高二上•北京•期中)图像识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人工智能兴趣小组研发

了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了700张不同的人脸照片作

为测试样本，获得数据如下表(单位：张)：

可以识别

识别结果真实性别无法识别

男女

男180155

女202755

该程序对每张照片的识别都是独立的.

⑴现从这700张人脸照片中随机抽取，

①若抽取一张，求识别结果正确的概率；

②若抽取一张男性照片和一张女性照片，求至少有一张照片无法被成功识别（含无法识别或识别错误）的

概率；

（2）为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案：

方案一：将无法识别的照片全部判定为女性；

方案二：将无法识别的照片全部判定为男性；

方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性或女性概率均为70%）.

现从若干张不同人脸照片（其中男性、女性照片数量之比为1：1）中随机抽取一张，分别用方案一、方案二、

方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为P1,P2,P3,试比较Pl，P2,P3的大小.（假设用频

率估计概率，结论不要求证明）

18.（23-24高二下•河南漠河•阶段练习）为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体

员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中|■是男性，言是女性.

⑴当N=10时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望；

（2）我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑,

从N名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作在二项分布

中，即男性员工的人数X男性员工恰有2人的概率记作鸟.那么当N至少为多少时，我们可以在误

差不超过0.001（即6-£40.001）的前提下认为超几何分布近似为二项分布（参考数据:标士2404）

19.（24-25高二上•黑龙江齐齐哈尔•期中）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日为了解某地

区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了700名高一学生进行在线调查，得到了这700名学

生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成[0,2],（2,4],（4,6],（6,8],（8,10],（10,12],（12,14],

（14,16],（16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.

频率

O5

O4

O3

O2

O1

。

2681012141618日平均阅读时间/小时

⑴从这700名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在。0,12］内的概率；

（2）为进一步了解这700名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在

（12,14］,（14,16］,（16,18］三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3

人，记日平均阅读时间在。4,16］内的学生人数为X,求X的分布列和数学期望和方差；

⑶以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用P化）表示这10名学生中恰有

4名学生日平均阅读时间在（8,12］内的概率，其中左=0,1,2,10.当尸小）最大时，写出左的值.（写

出证明）

第四章概率与统计章末测试

（考试时间：120分钟试卷满分：170分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准

考证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共80分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.（23-24高二下•福建福州•期中）下列叙述中，是离散型随机变量的是（）

A.某电子元件的寿命

B.高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数

C.某人早晨在车站等出租车的时间

D.测量某零件的长度产生的测量误差

【答案】C

【分析】根据离散型随机变量的定义直接求解.

【详解】某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，不是离散型随机变量；

一小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量；

等出租车的时间是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量；

测量误差不能一一列出，不是离散型随机变量.

2.（23-24高二下•安徽安庆•期中）若随机变量X的分布列如下表所示，且E（X）=6.3,则表中a的值为（）

X4a9

P0.50.1b

A.-14.39B.7C.5.61D.6.61

【答案】C

【分析】根据随机变量X的分布列的性质求得6=0.4,再由期望的公式，求得a=7,最后利用方差的公式,

即可求解，得到答案.

【详解】根据随机变量X的分布列性质，可得0.5+0.1+少=1,解得匕=04,

又由E（X）=4x0.5+ax0.1+9x0.4=6.3,解得a=7.

3.（23-24高二下•四川遂宁•阶段练习）已知随机变量X服从两点分布，且尸（X=l）=0.7,设y=2X-1,

那么。（y）的值是（）

A.0.84B.0.7C.0.4D.0.3

【答案】A

【分析】由已知结合两点分布的方差公式和方差性质即可求解.

【详解】因为随机变量X服从两点分布，

所以由题O（X）=0.7x（l-Q7）=0.21,又y=2X—1,

所以D（r）=D（2X-1）=22D（X）=4XO.21=0.84.

4.（23-24高二下•福建宁德•阶段练习）已知变量x和，的统计数据如下表：

X681012

y2356

根据上表可得回归直线方程？=Q7x+a,据此可以预测当x=15时，y=（）

A.7.8B.6.5C.9.6D.8.2

【答案】A

【分析】利用回归直线过样本中心点求解〃，代入x=15即可.

左力.4■口j•口士.—6+8+10+12—2+3+5+6.

【详解】根据表格中的数据尤=-----------=9,y=---------------=4

44

a=y—0.7x=4—0.7义9=—2.3

/.y=0.7x—2.3

当x=15时，y=8.2

5.（23-24高二下•浙江•期中）从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，抽到的女生人数的均

值为（）

369

A.-B.—C.—D.2

255

【答案】A

【分析】根据超几何分布的概率公式求解概率，即可由期望公式求解.

【详解】抽到的女生人数X可能为0,1,2,3,

尸―。）春啕，尸（x=D=詈嘿,

10521

P（X=2）=-^-=—,p（x=y）=-^=—,

C：o252C：o252

八211105c105c213

所以E(X)=0x---Fix---b2x---b3x---

2522522522522

6.（24-25高二上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）如图，一个质点从原点0出发，每隔一秒随机等可能地向左或

向右移动一个单位，共移动4次，在质点第一秒位于1的位置的条件下，该质点共经过两次2的位置的概

率为（）

-4-3-2-101234x

A.-B.-D.

486

【答案】A

【分析】根据已知条件，结合条件概率与独立事件的乘法公式，即可求解.

【详解】质点移动4次，共有2x2x2x2=16种情况,

设质点第一秒位于1的位置为事件为A,则P（A）=；,

记质点两次经过质点2为事件3,若第一步位于1,则还有3步，想要经过质点2两次,

则有1—2—332,1—2—1—2两种情况,

21

所以P(AB)=/=7，

loo

1

则尸（*4）=号黑

=i=l

-T-4

2

7.（24-25高二上•内蒙古赤峰•阶段练习）今有水平相当的棋手甲和棋手乙进行某项围棋比赛，胜者可获得

48000元奖金.比赛规定下满五局，五局中获胜局数多者赢得比赛，比赛无平局，若比赛已进行三局，甲两

胜一负，由于突发因素无法进行后面比赛，如何分配奖金最合理？（）

A.甲24000元，乙24000元B.甲32000元，乙18000元

C.甲40000元，乙8000元D.甲38000元，乙12000元

【答案】A

【分析】根据甲乙两人最终获胜的概率即可按比例分配.

11113

【详解】乙最终获胜的概率为=甲最终获胜的概率为1一===,

22444

所以甲乙两人按照3:1分配奖金才比较合理，

31

所以甲48000x—=36000元，乙48000x-=l2000元,

44

8.（24-25高二上•四川眉山•阶段练习）某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨,

只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他

将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为:，不下雨的概率

2

均为且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为

()

1620828

A.—B.—C.—D.—

81812781

【答案】A

【分析】计算对立事件的概率，从下雨次数入手，分类讨论计算两天都不淋雨的概率，即可得至少有一天

淋雨的概率.

【详解】解："至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”，

连续上两天班，上班、下班的次数共有4次.

⑴4次均不下雨，概率为：(1)4=[;

⑵有1次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为：2x|x(|)3=if；

⑶有2次下雨但不淋雨，共3种情况：

①同一天上下班均下雨；②两天上班时下雨，下班时不下雨；③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第

二天上班时不下雨，下班时下雨；

期方dc/、2，2、21212122116

概率为：2x(―)x(—)+—x—x—x—+—x—x—x—=—；

333333333381

⑷有3次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨，

1,24

概率为：2x(-)3x-=-

j3ol;

⑸4次均下雨，概率为：吁)4==;

hKTJXH幺AXrrre、11616164153

两天都不淋雨的概率为：—+—+—+—+—~，

olololololol

cono

所以至少有一天淋雨的概率为：1-77=77.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.(24-25高二上•黑龙江•期中)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取

两次,每次取一个球.事件〃="第一次取出的球的数字是1",事件N="第二次取出的球的数字是2",事件P=

"两次取出的球的数字之和是8",事件Q="两次取出的球的数字之和是7",贝|()

A.M与P互斥B.尸与Q互斥C.N与P相互独立D.M与Q相互独立

【答案】ABD

【分析】列举出基本事件，再根据互斥事件及相互独立事件的定义判断即可.

【详解】依题意从中有放回地随机取两次球，则可能结果有：

(1,1),(L2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,

（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,

（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,（4,5）,（4,6）,

（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,

（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）,（6,6）,共36个结果.

事件M包含的基本事件有：（1,1）,。,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）共6个；

事件N包含的基本事件有：（1,2）,（2,2）,（3,2）,（4,2）,（5,2）,（6,2）共6个;

事件尸包含的基本事件有：（2,6）,（3,5）,（4,4）,（5,3）,（6,2）共5个;

事件。包含的基本事件有：。,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）共6个;

对于A：显然事件M与事件?不可能同时发生，所以M与尸互斥，故A正确;

对于B：事件尸与事件Q不可能同时发生，所以尸与Q互斥，故B正确；

对于C：因为P（N）=〉1，P（尸）=3P（NP）=?P（N）.P（P）,

30OJOJO

所以N与尸不独立，故C错误;

对于D：因为尸（M）=/=:，P⑼—=P（MQ）=^=P（M）P（Q）,

300JOoJO

所以M与Q相互独立，故D正确.

BD

10.（24-25高二下•全国•课后作业）（多选）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况

下生产出来的包装食盐质量服从正态分布N（500,52）（单位：g）,生产线乙正常情况下生产出来的包装食盐

](x—l(W

质量为阴，随机变量X的概率分布密度函数为0（X）=2000其中xwR,贝I］（)

10而

附：随机变量4~N(，,b?),则尸(〃一b4J4〃+cr)。0.6827,尸(〃一2b4J4〃+2b)。0.9545,

P（/J-3（T<^<JU+3（T）^0.9973.

A.正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于485g的概率为0.135%

B.生产线乙的食盐质量x~N（1000,1002）

C.曲线9（x）的峰值为石总

D.生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于515g,于是判断出该生产线出现异

常，该判断是合理的

【答案】ACD

【分析】根据正态分布的性质结合给定区间上的概率值可判断A；根据随机变量x的概率分布密度函数可判

断B,C；根据正态分布的"3b"原则可判断D.

【详解】对于A,设生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐的质量为X,则X~N（500,52）,

1-09973

其中〃=500,b=5,则P(X<485)=P(X<〃—3b)a——-——=0.00135=0.135%,A正确;

[0-1000）2

对于B,随机变量X的概率分布密度函数9（%）=元*已一一^,有〃=1000,<7=10,因此生产线乙的食

盐质量X~N（1000,102）,B错误;

对于C,因为一（龙――厂40,当且仅当尤=1000时取等号,

200

因此当％=1000时，9（X）max=10篇i'C正确;

1-Q9973

对于D,P(X>515)=P(X>〃+3b)比——-——=0.00135=0.135%,

说明生产线甲上抽到质量大于515g食盐的可能性很低,

则随机抽取两包其质量均大于515g,说明判断出该生产线出现异常是合理的，D正确.

故选:ACD.

11.（23-24高二下•黑龙江哈尔滨•期末）某计算机程序每运行一次都随机出现一个十位二进制数

A=a1a2a3--a10（例如若生,%，〃5，。6，1（）=0,a29a4,a7,a8,a9=1,则A=0101001110）,已知为（左=1,2,…,10）出

现"0"的概率为出现"1"的概率为g,记X=4+4+&+/+4。，则当程序运行一次时（）

44一

3

A.X服从二项分布B.P（X=1）=—T7

1024

C.E（X）="D.O（X）="

44

【答案】AC

【分析】根据二项分布的定义可判断A的正误，利用二项分布可判断B的正误，利用公式计算出X的期望

和方差后可判断CD的正误.

【详解】由二进制数A的特点知，每一个数位上的数字只能填0,1且每个数位上的数字互不影响，

故X中1出现次数的可能取值有0」,2,3,4,5,则X可能取值情况与之相同,

由二项分布的定义可得：故A正确.

故P（X=1）=C；X^X[1]=工-,故B错误；

54⑷1024

3153115

所以E（X）=5x==—,D（X=5X4X-=-1,故C正确,D错误.

'"44''4416

C.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（23-24高二下•四川眉山・期末）以曲线y=ce网拟合一组数据时，经Z=lny代换后的线性回归方程为

Z=3X+5,贝ijc=.

【答案】e5

【分析】利用对数的运算法则，再结合回归方程即可求解.

【详解】因为丫=比出，

所以InY=ln（ceK）=Inc+Inekx=Inc+,

令Z=lny,则Z=lnc+AX,

又因为Z=3X+5,

所以lnc=5,k=3,

所以c=/.

故答案为：e5.

13.（23-24高二下•天津和平•期中）甲从装有除颜色外都相同的3个黑球和机个白球的布袋中随机摸取一球，

有放回的摸取3次，记摸出黑球的个数为X,若E（X）=1,贝l]P（X=2）=.

【答案】f3

O

【分析】根据己知可得x~43,舄）由E（x）=|得加=3；由此可以得到P（X=2）的值.

【详解】甲从装有除颜色外完全相同的3个白球和机个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取3次，

记摸得黑球个数为X,则乂~8口,々],

Vm+3）

333

0E（X）=—,团E（X）=3x------=—,0m=3,

回尸（X=2）=C；xg：子|.

3

故答案为：—.

O

14.（24-25高二上•湖北十堰•阶段练习）假定某工厂甲、乙、丙3个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂

的45%、35%、20%,如果各车间的次品率依次为4%、2%、5%.现在从待出厂产品中检查出1个次品，则

它是由甲车间生产的概率是.

…318

【答案】行

【分析】先根据全概率公式求出尸(人)，再带入贝叶斯公式计算即可.

【详解】设"从待出厂产品中取出1个是次品"为事件A,从待出厂产品中取出1个产品是甲、乙、丙车间生产

的事件分别为事件片，

B2,B3,

则尸(4)=045,P(B2)=0.35,P色)=02,P(A|B1)=0.04,P(A|B2)=0.02,P(A|B3)=0.05,

由全概率公式得尸(A)=尸(4)P(AI4)+尸(5)尸⑷鸟)+尸(鸟)尸⑷鸟)

=0.45x0.04+0.35x0.02+0.2x0.05=0.035,

现在从待出厂产品中检查出1个次品，则它是由甲车间生产的概率是

,八一P(ABJ_P(4)P(A|4)_0.45x0.0418

1一P(A)一P(A)~0.035-35,

1Q

故答案为：—.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(24-25高二上,四川眉山•期中)随着互联网的高速发展和新媒体形式的不断丰富，微短剧作为一种新兴

的文化载体，正逐渐成为拓展文化消费空间的重要途径.某媒体为了了解微短剧消费者的年龄分布，随机调

查了200名消费者，得到如下列联表：

年龄不超过40岁年龄超过40岁合计

是微短剧消费者3045

不是微短剧消费者

合计100200

⑴根据小概率值a=0.05的独立性检验，能否认为"是微短剧消费者"与"年龄不超过40岁"有关联？

(2)记2020~2024年的年份代码尤依次为1,2,3,4,5,下表为2020~2023年中国微短剧市场规模及2024

年中国微短剧预测的市场规模y(单位：亿元)与尤的统计数据：

年份代码X12345

市场规模y9.436.8101.7373.9m

根据上表数据求得y关于x的经验回归方程为y=132.71x-192.85，求相关系数r,并判断该经验回归方程

是否有价值.

n^ad-bcf

参考公式：r=其中〃=a+/?+c+d,%05=3341.

(a+6)(c+〃)(a+c)(b+d)

n---------£仁-元）（%一9）

（X一夕『二442.03,相关系数r=।/'—i-V10=3.16.

牌-寸件,一寸

若“20.75,则认为经验回归方程有价值.

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】⑴有关联

（2）r«0.95,该经验回归方程有价值.

【分析】（工）先补全2x2列联表，再计算卡方，根据独立性检验原则即可判断;

（2）通过给出的经验回归方程公式求相关系数，再判断.

【详解】（1）2x2列联表如下：

年龄不超过40岁年龄超过40岁合计

是微短剧消费者301545

不是微短剧消费者7085155

合计100100200

零假设是微短剧消费者"与"年龄不超过40岁"无关联,

200x(30x85-70x15)2

因为力2

x6.452>3.841=x005，

100x100x45x155

根据小概率值a=0.05的独立性检验，我们推断不不成立，即认为“是微短剧消费者"与"年龄不超过40

岁”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05.

(2)由x的取值依次为L2,3,4,5,得［=3，£(^,-1)2=10,

7=1

因为经验回归方程为y=132.71尤—192.89，

55

£(%-可(%-反)£(%-可(%-刃

所以B------------=X——------------=132.71,

Ai=\My

5

所以Z&-可(％-歹)=1327.1,

4=1

5

因为卜=0.95>0.75,所以该经验回归方程有价值.

16.（24-25高三上•重庆•期中）某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测,

得到一组数据X,如下表：

性能指标X6677808896

产品件数102048193

⑴求该项性能指标的样本平均数元的值.若这批零件的该项指标X近似服从正态分布其中〃近似

为样本平均数元的值，（T2=36,试求P（74<X492）的值.

⑵若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机

床生产的零件的次品率为0.02,乙机床生产的零件的次品率为0.01,现从这批零件中随机抽取一件.

①求这件零件是次品的概率：

②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率；

③若从这批机器零件中随机抽取300件,零件是否为次品与该项性能指标相互独立,记抽出的零件是次品，

且该项性能指标恰好在（74,92］内的零件个数为y,求随机变量y的数学期望（精确到整数）.

参考数据：若随机变量占服从正态分布N（月,/）,则P。464〃+b）a0.6827,

尸（“一2crVJW〃+2cr）=0.9545,P（/7-3cr<^<//+3cr）»0.997.

【答案】⑴80,0.8186

⑵①白；②：；③4

oUJ

【分析】（1）计算出平均数后可得X~N（80,36）,结合正态分布的性质计算即可得解；

（2）①借助全概率公式计算即可得；②按照条件概率公式计算即可；③借助二项分布期望公式计算即可

得.

【详解】（1）x=66x0.1+77x0.2+80x0.48+88x0.19+96x0.03=80>

因为X~N（80,36）,所以0=6,

则尸（74<XV92）=gp（〃一2（TVXV〃+2b）+；尸（〃一bVX+

0.9545+0.6827

=0.8186

'2

（2）①设"抽取的零件为甲机床生产"记为事件A，

"抽取的零件为乙机床生产"记为事件4，

"抽取的零件为次品"记为事件5,

则P(A)=；,P(4)=p尸(3IA)=O.O2,尸(314)=0.01,

则尸(B)=尸(A)尸(BIA)+尸(4)尸(BI4)=：xo.o2+3o.oi=T=高

-X0.02

4

=3_____

②"）"玛产15

60

③由（1）及（2）①可知，这批零件是次品且性能指标在（74,92］内的概率？=击*0.8186,

且随机变量3（300,p）,

所以E（y）=300。=300x\0.8186=4.093«4,

60

所以随机变量y的数学期望为4.

17.（24-25高二上•北京•期中）图像识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人工智能兴趣小组研发

了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了700张不同的人脸照片作

为测试样本，获得数据如下表（单位：张）：

可以识别

识别结果真实性别无法识别

男女

男180155

女202755

该程序对每张照片的识别都是独立的.

⑴现从这700张人脸照片中随机抽取，

①若抽取一张，求识别结果正确的概率；

②若抽取一张男性照片和一张女性照片，求至少有一张照片无法被成功识别（含无法识别或识别错误）的

概率；

（2）为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案：

方案一：将无法识别的照片全部判定为女性；

方案二：将无法识别的照片全部判定为男性；

方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性或女性概率均为70%）.

现从若干张不同人脸照片（其中男性、女性照片数量之比为1：1）中随机抽取一张，分别用方案一、方案二、

方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为B，P2,P3,试比较B，P2,的大小.（假设用频

率估计概率，结论不要求证明）

Q17

【答案】（1）①筋；②行

(2)P2>P3>A.

【分析】（1）①利用全概率公式求概率；②应用独立乘法、互斥事件加法公式求概率;

（2）分别求出方案一、方案二、方案三进行识别正确的概率，然后比较大小.

【详解】（1）①若A表示抽到男性，8表示抽到女性，M表示识别为男性，尸表示识别为女性,

23

由题设"6)=200,<5)=300,所以尸(A)=『P(B)=-,

911

又〃(M|A)=180,n(F|B)=275,所以p(M|A)=卡，P(F|B)=—,

91

所以抽取一张，求识别结果正确的概率尸二尸（加IA）P（A）+P（F|B）P（B）=需

_—一1一I

②由“(M|A)=20,〃仍18)=25,所以尸(M|A)=而，P(F|B)=—,

所以抽取一张男性照片和一张女性照片，至少有一张照片无法被成功识别的概率为

「11191117

110121012101240

931

⑵程序将男生识别正确的频率为6识别为女生的频率为和无法识别的频率为市

1111

程序将女生识别正确的频率为3,识别为男生的频率为A，无法识别的频率为者,

由频率估计概率得

191111、H440

p,——x------1—x(-------1--------)=——--------,

12102126012480

1,91111221442

=-X(------1-------)H-x—=---------=---------

221040212240480

19111111111441

以=-X-----F—X——X—+—X------F—X——X——二----------

321024022122602480

所以P2>“.

18.（23-24高二下•河南漫河•阶段练习）为不断改进劳动教育，进一步深化