全等三角形中的经典模型【六大题型】（人教版）（原卷版）

专题12.4全等三角形中的经典模型【六大题型】

【人教版】

【题型1平移模型1..................................................................................................................1

【题型2轴对称模型1...............................................................................................................4

【题型3旋转模型】...........................................................................6

【题型4一线三等角模型】....................................................................9

【题型5倍长中线模型】......................................................................13

【题型6截长补短模型】......................................................................16

【题型1平移模型】

【例1】（2022•义马市期末）如图，点A,E,F,8在直线/上，AE=BF,AC//BD,且AC=8O,求证:

△ACF咨ABDE.

A.'D

【变式1-1](2022•曾都区期末)如图，点2,E,C,尸在一条直线上，AB=DE,AC=DF.老师说：还

添加一个条件就可使△ABC也△。跖.下面是课堂上三个同学的发言：

甲：添加BE=CR乙：添力口AC〃。/，丙：添加

(1)甲、乙、丙三个同学的说法正确的是；

(2)请你从正确的说法中，选取一种给予证明.

AD

BECF

【变式1-2](2022春•东坡区校级期末)如图，△ABC中，AB=\3cm,BC=Mcm,AC=6cm,点E是BC

边的中点，点。在4B边上，现将△O3E沿着BA方向向左平移至△&£)/的位置，则四边形OECB的周

长为_____cm.

ADB

【变式1-3]（2022•富顺县校级月考）如图1,A,B,C,。在同一直线上，AB=CD,DE//AF,且。E=

AF,求证：AAFC经ADEB.如果将8D沿着4。边的方向平行移动，如图2,3时，其余条件不变，结

论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.

“知识点2轴对称模型】

【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对

称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等.

【常见模型】

【题型2轴对称模型】

【例2】（2022•安丘市期末）如图，已知△人（7/之△DBE,且点A,B,C,。在同一条直线上，/A=50°,

ZF=40°.

(1)求△■D8E各内角的度数；

(2)若AO=16,BC=10,求A8的长.

【变式2-1］（2022•陇县一模）如图，在△ABC中，已知COLAB于点D,2ELAC于点E,NDCB=N

EBC.求证：AD=AE.

A

D.

BC

【变式2-2］（2022•句容市期末）如图，已知△49。之△BOC.求证：AC=BD.

【变式2-3］（2022•海珠区校级期中）如图，PB1AB,PC±AC,PB=PC,。是A尸上一点.求证：ZBDP

=ZCDP.

B

P

彳知识点3旋转模型】

【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋

转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加(减)公共角的条件.

【常见模型】

【题型3旋转模型】

【例3】(2022•环江县期中)如图，AB=AE,AB//DE,Zl=70°,ZD=110°.

求证：LAB%LEAD.

证明：；/1=70°,

().

又,

().

'：AB//DE,

().

在△ABC和△EAD中，

()

()'

AB=AE

：.AABC^AEADCAAS).

【变式3-1](2022春•济南期末)如图1,△ABE是等腰三角形，AB^AE,NBAE=45；过点3作BC

_LAE于点C,在BC上截取CD=CE,连接A。、ZJE并延长交BE于点尸；

(1)求证：AD=BE；

(2)试说明平分/BAE；

(3)如图2,将△a)£：绕着点C旋转一定的角度，那么与8E的位置关系是否发生变化，说明理由.

【变式3-2］（2022•高港区校级月考）已知，如图，AD,8尸相交于。点，点、E、C在8尸上，且BE=PC,

AC=DE,AB=DF.求证:

(1)AO=DO；

(2)AC//DE.

BEO

D

【变式3-3］（2022•锦州模拟）如图，将两个全等的直角三角形△AB。、A4CE拼在一起（图1）,AABD

不动.

B©EDB

（1）若将AACE绕点A逆时针旋转，连接DE,〃是。E的中点，连接MB、MC（图2）,证明：MB

=MC.

（2）若将图1中的CE向上平移，/C4E不变，连接。E,M是DE的中点，连接MB、MC（图3）,

判断并直接写出M2、MC的数量关系.

（3）在（2）中，若/CAE的大小改变（图4）,其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还

成立吗？说明理由.

【知识点4一线三等角模型】

【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD，DE,AB±AC,CE±DE,那么一定有NB=NCAE.

【题型4一线三等角模型】

【例4】(2022春•香坊区期末)已知，在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线机上，且。E=9cm

ZBDA=ZAEC=ABAC

(1)如图①，ABLAC,则8。与AE的数量关系为BD=AE,CE与AD的数量关系为CE=

AD；

(2)如图②，判断并说明线段8。，CE与DE的数量关系；

(3)如图③，若只保持4BZM=NAEC,8£>=E尸=7c«i,点A在线段DE上以2aMs的速度由点。向点

E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点/运动，它们运动的时间为f(s).是否

存在x,使得△A3。与△£AC全等？若存在，求出相应的r的值；若不存在，请说明理由.

D—^A

AEmAEm

图①图③

【变式4-1]（2022•东至县期末）如图，在AABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线机上，并且有/

BDA=NAEC=/BAC=a,若。E=10,BD=3,求CE的长.

【变式4-2］（2022春•历下区期中）CO是经过/BCA定点C的一条直线，CA=CB,E、尸分别是直线CD

上两点，且N3EC=/CR1=/|3.

（1）若直线CO经过N8CA内部，且£、/在射线CQ上，

①若NBCA=90°,Zp=90°,例如图1,则BECF,EF\BE-AF\.（填“>”，“<”，

“=”）；

②若0°<ZBCA<180°,且N0+/BCA=18O°,例如图2,①中的两个结论还成立吗？并说明理由；

（2）如图3,若直线CZ）经过NBCA外部，且Np=NBC4,请直接写出线段ERBE、AF的数量关系

【变式4-3]（2022•余杭区月考）如图①，点8、C在/MAN的边AM、AN上，点、E,尸在/MAN内部的

射线AD上，Nl、N2分别是△ABE、△CAP的外角.已知AB=AC,Nl=/2=/BAC.求证：AABE

^ACAF.

应用：如图②，在△ABC中，AB=AC,AB>BC,点。在边8C上，且CD=2BD,点E,尸在线段

上.N1=N2=NA4C,若△ABC的面积为15,求△ABE与△CZ）厂的面积之和.

&知识点5倍长中线模型模型】'A

【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添

加辅助线.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角

形的有关知识来解决问题的方法.

【常见模型】

【题型5倍长中线模型】

【例5】（2022秋•博兴县期末）如图，5。是△ABC的中线，A8=6,8c=4,求中线BQ的取值范围.

【变式5-1］（2022•涪城区校级月考）如图，在AABC中，。是5C边的中点，E是上一点，BE=AC,

BE的延长线交AC于R求证：ZAEF=ZEAF.

BC

【变式5-2］（2022•流水县校级模拟）（1）在△ABC中，为AABC的中线，AB=6,AC=4,则A。的

取值范围是;

（2）如图，在△ABC中，AO为△ABC的中线，点E在中线AO上，5.BE=AC,连接并延长BE交AC

于点F.求证：AF=FE.

【变式5-3](2022•丹阳市期中)八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他

们一起活动吧.

【探究与发现】

(1)如图1,是AABC的中线，延长AO至点E,使连接BE,写出图中全等的两个三角

形_________________

【理解与应用】

(2)填空：如图2,EP是的中线，若EF=5,DE=3,设EP=x,则x的取值范围是.

(3)已知：如图3,是△ABC的中线，NA4C=NACB,点。在BC的延长线上，QC=BC,求证：

AQ=2AD.

【知识点6截长补短模型】

【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系.截长，指在长线段中截取一段等于已知线段;

补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段.该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以

采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程

一一一一一一一一一，一一一一一一一

【题型6截长补短模型】

【例6】（2022秋•西岗区期末）阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：

如图1,在△ABC中，AD平分ZABC=2ZC.求证：AC^AB+BD；

小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：

方法一：如图2,在AC上截取AE,使得连接。E,可以得到全等三角形，进而解决问题.