宁夏石嘴山市某中学2024-2025学年高三年级上册1月期末数学试卷+答案

石嘴山市第一中学2024-2025学年高三年级（上）期末考试

数学试题

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},3={2,3,4},则人口（七台）=（）

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D,{1,3}

【答案】B

【解析】

【分析】根据交集、补集的定义可求Ac（g6）.

【详解】由题设可得加8={1,5,6},故Ac@6）={l,6},

故选：B.

JT

2.函数/（x）=tan—x的最小正周期为（）

8

A.16B.8C.1671D.8兀

【答案】B

【解析】

【分析】利用正切函数的周期公式求解.

【详解】/（九）的最小正周期为兀一.

8

故选：B.

3.已知复数z满足z（1-i）=2i,则复数z的共物复数5在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数的计算规则，求出z和5即可.

/\2i2i(l+i)-2+2i

【详解】—=(i_.)(i+i)~丁=—1+in彳=—l—i

故5对应的点为(-L-1),在第三象限.

故选：c.

4.已知向量2=(—1,2),若卜+2到"则实数1=().

733

A.—B.—C.----D.—1

444

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量垂直的坐标运算规则得出结果.

【详解】解：由已知得万+2分=(1,2+2。，

因为+

故(口+2石)•万=—1+4+4/=0,解得/=—：.

故选：C.

22

5.若抛物线丁=2px的焦点与椭圆会+,=1的右焦点重合，则。=()

A.-3B.3C.-6D.6

【答案】D

【解析】

【分析】由椭圆的标准方程可得右焦点为(3,0),则］=3,即可求得，.

【详解】由椭圆的标准方程可知，。2=/一匕2=9,即c=3,所以右焦点为(3,0),

又抛物线/=2px的焦点与(3,0)重合，

所以空=3,所以p=6.

故选：D.

JT

6.VA3C的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,若从=々2+。2—4,B=—,则VA3C的面积为

4

()

A.1B.1C.72D.2

【答案】B

【解析】

【分析】利用余弦定理结合三角形面积公式求解三角形的面积即可.

【详解】由余弦定理得/=/—4=/+—Zaccos^=a?+c?—,则*\/^40=4，

贝1Jac=2a，则VAfiC的面积为gacsinB=l.

故选：B.

7.已知函数/(x)=/—X—2有一个零点所在的区间为化女+1)(左eN*),则%可能等于()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】

根据零点存在性定理可得答案.

［详解】因为/(D=e_l_2<0,/(2)=e2—2—2>0,/(3)=e3-3-2>0,

/(4)=/-4-2>0,

所以/(1)/(2)<0,且函数的图象连续不断，

所以函数/(%)=靖-X-2有一个零点所在的区间为(1,2),故人可能等于1.

故选：B

8.己知圆锥的高为2石，底面半径为4.若一球的表面积与此圆锥的侧面积相等，则该球的半径为

()

A.瓜B.&C.72D.2

【答案】A

【解析】

【分析】根据圆锥的侧面积和球的表面积公式进行求解即可.

【详解】设球的半径为乙因为圆锥的高为26，底面半径为4,

所以圆锥的母线长为：7(275)2+42=6-

由题意可知：7T-4-6-4-7T-r2r-^6>

故选：A

二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符

合题目要求的，

9.已知函数f(x)=Asin(3x+(p)(xeR),其部分图象如图所示，点P,Q分别为图象上相邻的最高点与

最低点，R是图象与x轴的交点，若点Q坐标为1万,-GJ,且PRLQR,则函数f(x)的解析式可以是(

)

A.f(x)=V3sin^x-^jB.f(x)=V3sin^x-yj

C.f(x)=-A/§sin［'x+；］D.f(x)=—百sirurx

【答案】C

【解析】

【分析】通过点。坐标和T表示出尸,尺两点坐标；再利用勾股定理构造方程，解出周期T,即

可排除错误选项.

【详解】设函数周期T,则P［子,若］,《丁！,。］

又则尸尺2+尺。2=pQ2-T=4

由此可排除A,5。选项

本题正确结果：C

【点睛】本题考查已知函数图像求解析式，本题的关键是能够通过勾股定理构造出方程，求解出函数最小

正周期，从而得到结果.

10.关于二项式［x2-2］的展开式，下列结论正确的是()

A.展开式所有项的系数和为-1B.展开式二项式系数和为256

c.展开式中第5项为n20fD.展开式中不含常数项

【答案】BCD

【解析】

【分析】选项A,取1=1验证即可，选项B二项式系数和为2"验证即可，利用二项式展开式的通项求解

即可，利用C选项的展开式通项公式验证即可.

【详解】A选项：取x=l.有（—1）8=1,A错，

B选项：展开式二项式系数和为丁=256，B对，

C选项：由£+]=晨卜2「&（_2工-1）"=（—2）位标-3,々=0,1,2……8），

则左=4时即为第5项为（―2）4C54=1120/,c对，

D选项：由C选项可知16—3kW0恒成立，D对，

故选：BCD.

11.如图是一个所有棱长均为4的正八面体，若点M在正方形ABCD内运动（包含边界），点E在线段

PQ上运动（不包括端点），则（）

A.异面直线与不可能垂直

B.当时，点M的轨迹长度是缶

C.该八面体被平面CDE所截得的截面积既有最大值又有最小值

D.凡棱长不超过谑的正方体均可在该八面体内自由转动

3

【答案】BD

【解析】

【分析】对于A,,故A错；对于B,由孙探求出M的运动轨迹即可求解；对于C,截面为正方

形A3CD或等腰梯形，将截面等腰梯形的高作为变量将截面等腰梯形面积表达式求出来即可利用导数工具

研究面积的最值，进而即可判断求解；对于D,先求出最长棱的正方体的外接球，再求正八面体的内切球，

当正方体最大外接球不超过几何体的内切球时，正方体可在八面体内自由转动，由此原理即可判断.

【详解】连接AC,5。，相交于点0,

则由正八面体性质可知。为PQ中点，且「。，面ABCD,

所以P0是正四面体P-ABCD的高为^PD2-OD2=胪_(2⑸2=2J5,

对于A,建立如图所示的空间直角坐标系，则

则0(0,0,0),C(20,0,0),D(0,2V2,0),P(0,0,272),故丽=(0,2应,一2后)，

设Af(x,y,0),贝|而=(%,%—2亚)，

若PM_L3Q,结合BQ//PD可得R0，PD，故加・丽=0，

故20y+8=O即y=—2后，故"与8重合，但PM,5Q为异面直线，

故此情况不合题意，故A错；

对于B,取3。中点G,因为PMLVD,所以GM=2Pr)=2,

2

取OD中点。「连接GO】，则GO"/P。，且GO]=；PO=0,

故GO1，面ABC。，所以如图，〃点在高为G«=拒母线长为2的圆锥底面圆周上,

Q

即M点在为以。i为圆心直径为。。=272的圆上运动，

所以Af点的运动轨迹。为圆心直径为0D=2叵的圆的一部分为圆弧ROS，

其中氏S分别为CD,AD中点,且RS=在+2?=2后=0D,

所以IROS=gx2nx6=亚戈,即点M的轨迹长度是狡兀，故B对；

对于C,由题意以及正八面体结构性质可知当E与。重合时，

八面体被平面CDE所截得的截面是正方形ABCD,

当E与。不重合时，八面体被平面CDE所截得的截面是等腰梯形，

如图，四边形TCDU为被平面C0E所截得的截面，

连接TO,CD中点S、R,则SH为等腰梯形TCDU的高，设为人

取AB中点匕连接

则由题意可求得PV=PR=2j§,VR=4，且。在W?上，

过R作HKLPV交PV于点K,

则由等面积法得RK=3="=芈=亚，

PV2代63

显然当S点由K往V靠近时等腰梯形TCDU的上底边TU和高SH均在增大,

当截面为正方形ABCD截面面积最大为16,

（A/7、

当S点由K往尸靠近（不包含S与K、P重合时）时，则/ze空区,2百，

p

Q

在此过程中设NPSR=a,ZPRS=p,SRP=。,

71,cPV2+PR--VR21

,且a由途息cos0=---------------------=—

22PV-PR3

所以sin，=万=2叵，故由正弦定理得:

3

如火库珅，

n,=-PK-s-in-O=4nPS=si

sina3sinasin04

476

32

因为.34瓜,所以cosa=-Jl-sin'a=

sina=---3/?

h3h

所以sinP=sin（0+a）=sin0cosa+cos0sina=-----cosa+—sina

又TU=2PStan*=®sin§=则乂正\m—I1--

6223I3/z'38J

二匚却右右工口斗，c_（TU+4）跖_i8y/3IT232_r/,\

所以截面面积为5=-=h--------/i--------=f（/z）,

2133V3J

所以fu)1-与不

则广㈤邛232、32^

8月「+不正一4<

3tJ3t>

3/8百）=_§

3I3J3

（A/71

所以/（与在空安2百上单调递减，/（与无最小值，

故被平面CDE所截得的截面面积无最小值，故C错；

对于D,过正八面体的两顶点P,。和AB,CD中点去截正八面体以及其内切球,

则由正八面体性质得到正八面体与其内切球（半径为r）截面图如图所示，

其中四边形为菱形，棱长为正四面体尸-ABCD的斜高“2-2?=2四，

P0是正四面体P—ABCD的高J（2jT）2—22=20，

所以由等面积法得Lx2x2夜=工xrx26nr=哀a，

223

当一正方体棱长为逑时，其外接球半径为276

3R=---------------=------=r

23

所以凡棱长不超过逑的正方体其外接球半径均小于或等于城，

33

故正方体均可在该八面体内自由转动，故D正确.

故选：BD.

【点睛】关键点睛：求得被平面CDE所截得的截面等腰梯形面积表达式的关键是考虑APSR里有边长和角

度有一个已知的，从而利用出次结合正弦定理研究截面等腰梯形的未知量上底边和高，最后都用等腰梯

形的高来表示.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12

12.己知随机变量4）,且尸（JWO）=尸若x+y=a（X>0,y>0）,则一+一的最小

xy

值为.

【答案】—+^2

2

【解析】

【分析】先根据正态曲线的对称性可求〃=2,结合基本不等式可求答案.

【详解】^~N（l,a2）,可得正态分布曲线的对称轴为x=l,

又即a=2.

则工+2=工（%+同（工+2]=工（3+上+生]之工（3+2挺）=3+0，

xy21x刃21尤yJ2、>2

当且仅当〉=忘了，即％=2e-2,丁=4-20"时，等号成立.

故答案为：—卜出■.

2

13.在2024年巴黎奥运会志愿者活动中，甲、乙、丙、丁4人要参与到A,B,。三个项目的志愿者工作

中，每个项目必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一个项目，若甲只能参加C项目，那么不同的志愿

者分配方案共有种（用数字表示）.

【答案】12

【解析】

【分析】分类讨论，结合排列组合即可求解.

【详解】分两种情况：（1）只有甲参加C项目，则有C；A；=6种分配方案；

（2）甲与另外一人共同参与C项目，则有A；=6种分配方案.

综上：共有12种分配方案.

故答案为：12

22

14.已知双曲线C：鼻—左=1伍>04〉0）的左，右焦点分别为耳,工，点尸在双曲线。上，且满足

______—•一|心|

耳耳.尸耳=0,倾斜角为锐角的渐近线与线段尸耳交于点Q,且耳P=4QP,则而吉的值为.

I।

7

【答案】一##3.5

2

【解析】

b

【分析】双曲线C的半焦距为C,根据给定条件求出点P、。坐标，再由点。在渐近线y=-x上求出a,

a

。的关系，然后结合双曲线定义计算作答.

【详解】设双曲线C的半焦距为c,即有耳(-c,0),塔(c,0),

因而■•屁'=(),则冠，质,

即直线x=c与双曲线C交于点尸，且点尸在第一象限,

X=CA2—.h1

由＜"-a2y2=a2b2得点尸（G"）’由耳尸=（2。，1），

（c3b2）

而7=4",得Q

2二）

代入y=-X得：—,即%=2c,不妨b=2k,c=3k,则。=也女，

a4a2a

*414IPFI7

故|Pg|=—=左，贝力尸耳|=|「鸟|+2。=一左，因此=尹=7.

ay/5"51f上212

7

故答案为：一.

2

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.某机构为了解2023年当地居民网购消费情况，随机抽取了100人，对其2023年全年网购消费金额(单

位：千元)进行了统计，所统计金额均在区间［0,30］内，并按［0,5),［5,10),…，［25,30］分成6组,

制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中。的值，并估计居民网购消费金额的中位数.

(2)若将全年网购消费金额在20千元及以上者称为网购迷，结合图表数据，补全下面的2x2列联表，并

判断能否依据小概率值a=0.01的72独立性检验认为样本数据中网购迷与性别有关.

男女合计

网购迷20

非网购迷47

合计

n(ad-bc)~

附/=，其中“=a+Z?+c+d.

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.100.050.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】(1)a=0.04,17500元.

(2)表格见解析，有关

【解析】

【分析】(1)根据频率之和为1即可求解。的值，进而给根据中位数的计算即可求解;

(2)完善二联表，即可计算卡方，进而与临界值比较即可求解.

小问1详解】

根据频率分布直方图得5义(0.01+0.02+0.03+2a+0.06)=1,

解得a=0.04,

直方图中从左到右6组的频率分别为0.05,0.1,0.2,0.3,0.2,0.15,可得网购金额的中位数位于［15,20)

区间内，设中位数为x,则Q05+0.1+0.2+(x—15)x0.06=0.5,解得工=17.5,

故居民网购消费金额的中位数为17500元.

【小问2详解】

根据频率分布直方图得样本中网购迷的人数为100x(0.2+0.15)=35,

列联表如下：

男女合计

网购迷152035

非网购迷471865

合计6238100

零假设为“0：网购迷与性别无关

100x(15x18-20x47)2

«8.375>6.635，

62x38x35x65

*2

依据小概率值a=0.01的z独立性检验，有充分证据推断Ho不成立，

即可以认为网购迷与性别有关.

16.己知函数=-ar+2.

(1)当a=g时，求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)对任意实数xe(0,+oo),都有/(x)Nlnx—(a-l)x+3+a恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】(1)x-2y+4=0

(2)(-oo,0]

【解析】

【分析】(1)求导，根据导数的几何意义求切线方程;

(2)根据题意分析可得对任意实数xe(O,+oo),者B有。《加工―x—Inx—1恒成立，构建

g(x)=xeT-x-lnx-l(x>0),根据恒成立问题结合导数分析运算.

【小问1详解】

1//(x)=xeA-ar+2,则/,(x)=(x+l)el-a,

若a=g时，则f(O)=2,

即切点坐标为(0,2),切线斜率A=

切线方程为y=gx+2,即x—2y+4=0.

【小问2详解】

•/f(x)>lnx-(a-l)x+3+a,即xex-ax+2>lnx-(a-l)x+3+a,

整理得aWxex-x-lnx-1，

故原题意等价于对任意实数xe(0,+oo),都有aw混，—x—In%—1恒成立,

构建g(x)=xe*_x_lnx_l(x〉0),则gr(x)=(x+l)ex——

注意到xe(O,+8),则x+l>0,

出32<0,

构建/z(x)=ex——则/z(x)在(0,+oo)上单调递增，且Ml)=e—l>0,〃

故〃(九)在(0,+8)内存在唯一的零点X。，

可得当了〉％,则〃(尤)>0；当0<x<x(),则//(九)<0；

即当了〉吃,贝(lg'(x)>0；当0<%<%,则g'(x)<0；

故g(x)在(0,不)上单调递减，(％,上»)上单调递增，则-x0-lnx0-l,

x

又：/为/?(%)的零点，贝I]"(%)=e*。一[-=0,可得xoe°=1且In/=-%，

玉)

即g(x)在(0,+。)上的最小值为0,

故实数。的取值范围(-8,0].

【点睛】方法定睛：两招破解不等式的恒成立问题

(1)分离参数法

第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；

第二步：利用导数求该函数的最值；

第三步：根据要求得所求范围.

(2)函数思想法

第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；

第二步：利用导数求该函数的极值；

第三步：构建不等式求解.

17.甲、乙两人进行投篮比赛，甲先投2次，然后乙投2次，投进次数多者为胜，结束比赛，若甲、乙投进

的次数相同，则甲、乙需要再各投1次(称为第3次投篮)，结束比赛，规定3次投篮投进次数多者为胜，

若3次投篮甲、乙投进的次数相同，则判定甲、乙平局.已知甲每次投进的概率为g,乙每次投进的概率为

各次投进与否相互独立.

(1)求甲、乙需要进行第3次投篮的概率；

(2)若每次投篮投进得1分，否则得。分，求甲得分X的分布列与数学期望.

13

【答案】(1)—

36

o<

(2)分布列答案见解析，数学期望：—

54

【解析】

【分析】(1)分析可得进行第3次投篮的前提条件是前2次甲、乙投进的次数相同，应分为前2次都投进2

次、1次、0次三种情况计算概率，利用互斥事件概率的加法公式可得结果.

(2)由题意可得X的所有可能取值为0,1,2,3,计算每一种情况下对应的概率即可得到分布列和数学期

望.

【小问1详解】

设甲第小•=1,2)次投进为事件4,乙第中=1,2)次投进为事件及，

21

则p(a)=『P(B,)=-.

设甲、乙需要进行第3次投篮为事件C,则事件C包括以下两两互斥的三个事件:

,其概率为0（44）.网432）=仁

①“甲、乙前2次都投进2次”

nIT~nr»21cli2

②“甲、乙前2次都投进1次”，其概率为B国+BB)=2x—x—x2x—x—=—

733229

22

③“甲、乙前2次都投进o次”，其概率为网44）.尸（瓦瓦）=11

3236

则由互斥事件的概率加法公式，可得尸（。）=—1+—2+—1=」13

v7993636

【小问2详解】

由题意可得X的所有可能取值为0,1,2,3,

22

15

P(X=O)=i-gX+L1二

36354

22

21+T+C；111217

P(X=l)=C；x§x§xXlx1-lxiH-------X—=——,

22336354

（提示：此时有三种情况，①甲前2次投进1次，乙前2次投进。次或2次;

②甲、乙前2次均投进1次，第3次甲未投进；③甲、乙前2次均未投进，第3次甲投进）

2

xl1x1-12214

+C；++—X—=——

229327

小=3）小|/

所以X的分布列为：

X0123

517142

P

54542727

C1714OQC

所以£（X）=0x——+lx——+2x——+3x—二

v75454272754

18.如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都大于2,则称这个数列为“G型数列”.

2

（1）若数列满足％=1,an+｝an=3"-',求证：数列｛%｝是“G型数列”.

（2）若数列｛4｝的各项均为正整数，且4=1,｛4｝为“G型数列"，记d=4+1,数列｛4｝为等比数

列，公比g为正整数，当｛4｝不是“G型数列”时，求数列｛4｝的通项公式.

1（、

（3）在（2）的条件下，令-----,记｛1｝的前〃项和为S〃，是否存在正整数处使得对任意的

anan+\

1/,1

“cN*，都有(根-1，加」成立？若存在，求出根的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

1

(2)an=2"-

(3)存在，m—3

【解析】

【分析】(1)根据q+必“=32"-1求出数列的通项，再由“G型数列”定义判断即可；

(2)根据也｝不是“G型数列”求出｛2｝公比得到｛4｝的通项公式；

(3)先证明%。"+1>4"(〃之2),再由放缩法得到！<5“<9，求出”<(<3,即可得解.

3123七

【小问1详解】

•・44=32"T①，

「・当〃22时，=32n~3②，

ai

由①+②得，当〃22时，」包=9,

an-\

所以数列｛/“｝(〃eN*)和数列｛4,1｝(〃wN*)是等比数列.

2-1

因为%=1,an+lan=3",所以为=3,

所以。2.=321,%.1=32"工

因此%=3"T,从而❷=3〉2(〃22),

%

所以数列｛%｝是“G型数列”.

【小问2详解】

因为数列｛«„｝的各项均为正整数，且｛%｝为“G型数列”，

a.

所以二匕〉2,所以。“+i>24〉%,

an

因此数列｛4｝递增.又〃=%+1,

所以储+「b“=a“+i—a”>0,因此也｝递增，所以公比“>1.

b

又也｝不是“G型数列”，所以存在人eN*,使得，巴＜2,所以qW2,

又公比q为正整数，所以q=2.又4=q+l=2,

所以包=2",则%=2"）

【小问3详解】

,,+12n+1H2,,+1

anan+l=(2"—1)(2-1)=2-3x2+1>2-3x2",

因为22"+I—3x2"=4"+2"(2”—3)>4"22),

所以44+1>4"(〃22),所以q,=f-</("22).

UnCln+\,

11

<-+

3

5

12

15121c

即当刀之2时,->所以彳(不<3.

31Z。

121。

综上，彳〈不W3,“eN*.

所以存在正整数772=3,使得对任意的neN*都有｝e（m-1,m\成立.

19.如图，四棱锥P—ABCD中，AB±BC,AB±AD,AD=AB=PA=PB=2,BC=1,AC±PD,

M为线段尸£）中点，线段PC与平面ABM交于点N.

BC

(1)证明：平面八4BJ_平面ABC。；

(2)求平面0AC与平面ABM夹角的余弦值；

(3)求四棱锥P—的体积.

【答案】(1)证明见详解

⑵立

7

(3)拽

9

【解析】

【分析】(1)根据题意可得PD±平面ACM,进而可得PDLCM,根据三线合一以及勾股定理可证PO±

平面ABCD,进而可得结果；

(2)建系，利用空间向量求面面夹角；

UUUUU1

(3)设N(x,y,z),OV=XCF"G[0,l],根据线面关系可得2=3,利用向量求面积以及点到面的距

离，结合体积公式运算求解.

【小问1详解】

连接CM,

因为B4=AE>,且M为线段中点，则

又因为AC_LPD,ACr\AM=A,AC,AMu平面ACM,

所以2D，平面ACM,

由CMu平面A&0,可得PDJ_CM,所以PC=CD=J?,

取AB的中点。，连接。P,。。，

因为AB=B4=P5=2,则且P0=6,0C=6,

可知？02+0。2=?。2,可得

且ABcOC=O,ABQCu平面ABC。，

所以POL平面ABCD,

又因POu平面队B,所以平面上48,平面ABCD.

【小问2详解】

如图，以。为坐标原点建立空间直角坐标系，

则A(-1,0,0),3(1,0,0),。(1,1,0),尸(0,0,@,。(-1,2,0),扉-：,1，4],

I22J

uun/L\uumuunuuur(i火、uur/厂\

可得AP=(l,0,6),AC=(2,l,0),A5=(2,0,0),AM=5，l，5，CP=(—L—l,g)

n-AP=玉+Cz[=0

设平面R4C的法向量M，zJ,贝卜

n-AC=2玉+%=0

1

令%,=A/3,贝Jy1=—2A/3,z,=—1,可得〃,

m•AB=2X2=0

设平面ABM的法向量m=（%2，%，Z2），则,___]

TTl,AM=]%+%—22—0