人教版八年级数学下学期压轴训练：一次函数解答题（解析版）

专题12一次函数解答题压轴训练

（时间：60分钟总分：120）班级姓名得分

一、解答题

1.在平面直角坐标系xOv中，对于任意两点"（玉，X）,N（%2，%），定义如下：点”与

点N的“直角距离”为打一刃+|%-%|,记作4MN.

例如：点M（1,5）与N（7,2）的“直角距离"^=|1-7|+|5-2|=9.

（1）已知点4（T°），鸟鸟［―g'—舄［―；厂'则在这四个点中，与原点

o的“直角距离”等于1的点是；

（2）如图，已知点4（1,0）,6（0,1）,根据定义可知线段A5上的任意一点与原点。的“直

角距离”都等于1.

若点P与原点O的“直角距离"=1.请在图中将所有满足条件的点尸组成的图形补全；

（3）已知直线丁=6+2,点C&0）是x轴上的一个动点.

①当f=3时，若直线丁=履+2上存在点O,满足d°=l,求左的取值范围；

②当左=—2时，直线,=履+2与x轴，y轴分别交于点E,F.若线段所上任意一点〃

都满足直接写出，的取值范围.

【答案】（1）Pi,已；（2）见解析；（3）①-1W七二；②-2庄0或t=2

3

【分析】

（1）根据“直角距离”分别计算四个点到原点的距离，即可判断；

1

(2)根据“直角距离”的定义得国+|y|二l,分四种情况可得四个函数关系式，分别画出即可；

(3)①先根据题意可得点。的坐标为(3,0),根据dckl,并由(2)可得：点。在正方

形EFMN边上,如图2,通过观察图2可得：%的最大值是过点E的直线，上的最小值是过

F,M的直线，代入可得结论；

②根据k=-2可得直线EF的解析式为：y=2x+2,计算点£和尸的坐标，设H(m,-2m+2),

根据点H在线段E尸上，可得OSnSl,根据“直角距离”的定义列式得

dcH=\t-m\+\-2m-^2\=\t-m\-2m-^2,列不等式后分两种情况进行讨论可得结论.

【详解】

1•dpio=|-11+0=1,dp2o=一—dp30=—~",dp4o=——

2242

・•・与原点o的“直角距离”等于1的点是尸1,尸4；

故答案为：P1,尸4；

(2)设P(x,y),

•・•点尸与原点。的“直角距离"dop=l,

\x\+\y\=l,

当x>0,y>0时，x+y=l,即y=-x+l,

当x〉0,yVO时，x-y=l,BPy=x-l,

当x<0,y>0时，-x+y=l,即y=x+l,

当xVO,yVO时,-x-y=l,HPy=-x-l9

如图1所示，

(3)①当U3时，点。的坐标为(3,0),

由(2)可得：dcD=l,则点。在正方形EW0N边上，如图2,

2

：.F(2,0),E(3,1),M(3,-1),N(4,0),

又•点。在直线产履+2,又直线产丘+2过点(0,2),

由图2可知：当直线产区+。过点E时，通过观察图2可得：%的最大值是过点E的直线，k

的最小值是过尸，M的直线，

把点E的坐标(3,1)代入产"+2中，3Z+2=1,k=_],

把点方的坐标(2,0)代入y=fcc+2中，2H2=0,仁1,

故人的取值范围是：-13后-7，

3

②当七-2时，直线的解析式为：y=2x+2,

当x=0时，y=2,当y=0时，x=l,

：.E(1,0),F(0,2),

设H(m,-2m+2)(0<m<l),

dcH=\t-rn\+\-2m+2\=\t-ni\-2m+2,

*.*1<dcH^Ay即1t-m\-2m+2<4,

又0<-2m+2<2,

BP-l<|m-z|<4,

当t<m时，有-13%於4,

V0<m<l,

A-4</<2,

又t<m,

A-4</<l,

当t>m时，有-1勺-加34,

0<m<l,

3

,•--1<Z<5,

又t>m,

：.l<t<5,

当一4st<-2时，dcH>4,不符合题意，

当0<t<2时，dcH<l,不符合题意，

当2<tW5时，dcH>4,不符合题意，

综上，t的取值范围为：-2StW0或t=2.

【点睛】

本题属于新定义与•次函数相结合的综合压轴题，读懂定义，紧扣定义解题，熟练掌握“直

角距离”的定义是解答此题的关键.

2.在平面直角坐标系xQy中，。为坐标原点，四边形。RC的顶点A在x轴的正半轴上，

0A=4,OC=2,点P,点。分别是边边AB上的点，连结AC,PQ,点员是

①若点P,点。分别是边6C,边上中点，求直线PQ的解析式；

②若BQ=BP,且点月落在AC上，求点用的坐标；

（2）若四边形Q4BC为平行四边形，如图2,且OCLAC,过点耳作4尸/小轴，与对

角线AC,边0C分别交于点E,点F.若与石：57=1:3,点用的横坐标为处求点用

的纵坐标（用含m的代数式表示）

【答案】（1）①'二―」x+3；②（号，-）；（2）寸一小吗或地—6m

'23352

【分析】

4

(1)①根据A、C坐标和中点的定义得到尸、。坐标，再利用待定系数法求解.

②求出直线AC的解析式，利用待定系数法即可解决问题.

(2)分两种情形：①当点用在线段EE的延长线上时，如图2,延长用F与>轴交于点G,

②当点用在线段庄(除点E，R外)上时，如图3,延长用尸与y轴交于点G,分别求

解即可解决问题.

【详解】

解：(1)①•.•QA=4,OC=2,四边形。RC是矩形,

：.BC=4,AB=2,

：.B(4,2),

又点P和点。是BC和AB中点,

：.P(2,2),Q(4,1),设尸。的解析式为、=履+6,

2=2k+bk=--

则1:43解律2,

b=3

'-PQ的解析式为y=—gx+3；

②设BP=BQ=a,则3](4-a,2-a),如图1,

设直线AC的解析式是丁=女述+2,把A(4,0)代入，得

0=4勺+2,解得匕=—g,

二直线AC的解析式是y=—gx+2,

1,4

把5](4—a,2—a)代入上式，得2—〃二—(4—〃)+2,解得a=—.

23

5

(2)-OA=4,OC=2,OCLAC,

■.ZOAC=30°,C(1,V3).

•e,B[E:BXF=1:3,

,有以下两种情况：

①当点用在线段EE的延长线上时，如图2,延长片尸与y轴交于点G,

由题意可知用G=〃z(%>0),设GF=b,则OG=®，OF=2b,

:.CF=2-2b,FE=2(2-2b)=4-4b,

:.BiE=^EF=2-2b,

6—vn

.•2+(4-46)+(2-2力=祖，解得匕=蓝—.

点Bi的纵坐标为66-Jm.

②当点⑸在线段庄(除点E,尸外)上时，如图3,延长8/与丁轴交于点G,

6

综上所述，满足条件的耳的纵坐标为§6—石川或州一岛I.

52

【点睛】

本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，一次函数的应用，待定系数法等知识，解题的

关键是学会利用参数构建方程解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.

3.已知：在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，直线y=fcc+3与x轴、y轴分别交于点

4、点5,且△A3。的面积为9.

图1图2图3

(1)如图1,求左的值；

(2)如图2,若点尸是线段A0上的一动点，过点尸作尸C〃AB,交y轴于点C,设点产

的横坐标为f,线段的长为d,求d与，之间的函数关系式(不要求写出自变量f的取值

范围)；

(3)如图3,在(2)的条件下，点。为线段A3的延长线上一点，连接O。，。。与PC

的延长线交于点E,若4BPC=2N3。。，BP-PE=旦,求点。的坐标.

2

117

【答案】(1)k=—；(2)d=—r+3；(3)(1,—)

222

【分析】

(1)根据题意先求出点48的坐标，依据三角形面积列方程求解即可；

(2)先根据两直线平行时，其解析式一次项系数相等，求出直线PC的解析式，进而求出

点C的坐标，即可得到答案；

(3)在y轴的负半轴上取一点E使尸。=8。=3,连接PR延长。。交PF于点G,过点

B作BH//PF交0D于H,证明△BHD和八FGO,过点D作DTLy轴于T,设。(m,g

m+3),根据题意建立方程求解.

【详解】

解：(1):直线y=fcr+3与x轴、y轴分别交于点A、点2,

7

3

・・・4(-0),B(0,3),

k

,3

：.OA=\--|,03=3,

.=11391

••SAABO_*OA9OB=一x|-一|x3=一|一|,

22k2k

=

■:SAABO99

91

A-|-|=9,

2k

解得：k=±—,

2

•・,由题图知人＞0,

k——；

2

(2)u：PC//AB,P(r,0),

设直线PC的解析式为y=gx+n,

则0=—t+n,

2

n=--t,

2

・,・直线PC的解析式为y=g%一g3

令x=0,得y=-；K

C(0,--/),

2

BC=3~(--t)=—Z+39

22

・・•线段3C的长为d,

d=-f+3；

2

(3)如图3,在y轴的负半轴上取一点R使尸0=8。=3,连接PR延长00交尸产于点

G,

8

:.BP=PF,

设N8OO=a,NPBO=B，

■:/BPC=2/B0D,

：・NBPC=2a,NOFG=NPBO=p,ZGOF=ZBOD=af

ZPGE=NPbO+NGO/=a+0,

ZBCE=/PBO+/BPC=NBOD+NPEO,

p+2a=a+ZPEO,

ZPEO=a+p,

:・/PEO=/PGE,

:.PE=PG,

过点B作BH//PF交OD于H,

:・/BHD=/PGE,ZBHO=ZFGO,

'：PCIIAB,

:./BHD=/PEO,

：.ZBHD=/BDH,

:・BD=BH,

在△3H0和△/GO中，

/BOH=/FOG

<ZBHO=ZFGO,

BO=FO

：.ABHO和^FGO(A4S),

9

:・GF=BH=BD,

■:BP-PE=B,BP=PF,PE=PG,

2

:.PF-PG=&,

2

即GF=好,

2

：.BD=^-,

2

过点。作。兀Ly轴于T,设。（如gm+3）,且根>0,则">=机，

TB—TO-BO=—m+3-3=-m,

22

在及△57Z）中，TD2+BP=BD2,

即加2+（：）2=（好）2,

22

解得：mi=l,mi--1,

117

当m=1时，一根+3=—xl+3=—,

222

7

【点睛】

此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质、全等三角形

的判定与性质及勾股定理的应用.

4.一次函数y=X3x+2的图像与x轴、y轴分别交于点A、B,以45为边在第二象限内

3

作等边△ABC.

（1）求C点的坐标；

（2）在第二象限内有一点M（机，1）,使SAABM=SAABC,求M点的坐标；

（3）将△ABC沿着直线翻折，点C落在点E处；再将AA5E绕点E顺时针方向旋转

15°,点3落在点尸处，过点厂作尸G轴于G.求AErG的面积.

10

【答案】⑴(-2石，4)；(2)(-5石，1)；(3)2

【分析】

<1)先求得A、3的坐标，然后可得到N&0=30°,依据含30。直角三角形的性质可得

到A6=2OB=4,则/C4O=90°,然后依据勾股定理求得AB的长，从而可得到点。的

坐标；

(2)过点。作。///闻3,则5AA=S椀-设直线CM的解析式为y=走％+6,将点。

-3

的坐标代入求得力的值，然后将y=1代入MC的解析式可求得点〃的横坐标；

(3)先求出NEHG=30°,进而表示出FG,EG,用勾股定理建立方程求出/,最后用

面积公式即可得出结论.

【详解】

解：(1)当尤=0时，y=2,

当y=0时，x=-273.

A(-2.y/3,0).

•,OB=2,0A=25

:.ZBAO^30°,AB=2OB=4.

•rAA3C为等边三角形，

：.ZACB=60°.

:.ZCAO=90°.

C(-2y/3,4).

(2)如图，过点。作CM//A5.

11

■.■CM//AB,

设直线CM的解析式为y=^x+6,将点。的坐标代入得：与x(-2月)+6=4,解得

b-6.

直线CM的解析式为y=走X+6.

3

将y=l代入的解析式得：1=走彳+6,解得：x=—5百，

3

M(-5旧，1).

(3)如图，

由(1)知4(-2。0),3(0,2),

AB—4，

AA3C为等边三角形，

：.BC=AB=4,

由折叠知，BE=BC=4,

由旋转知，EF=BE=4,ZBEF=15。,

取EG上取一点"使，EH=FH,连接EH,

:.ZFHG=3O°,

设bG=a,

.-.HG=j3a>FH=2a,

EH=2a,

:.EG=EH+HG=2a+A=Q+6）a,

在RtZXEFG中，根据勾股定理得，。2+1（2+拓）02=16,

12

4

/.a

2+6

2

S^FG=；EGxFG=；Q+后)axanAga=2

【点睛】

本题是一次函数的综合题，主要应用了待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积、轴

对称路径最短问题，构造出特殊直角三角形是解本题的关键.

5.如图①，在矩形A5CO中，AB=8,40=4.点P从点A出发，沿Ar。-C-。运动，

速度为每秒2个单位长度；点。从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度.P、

。两点同时出发，点。运动到点3时，两点同时停止运动，设点。的运动时间为“秒).连

结PQ、AC.CP、CQ.

(1)点尸到点C时，t=；当点。到终点时，点P的运动路程为；

(2)用含f的代数式表示即的长；

(3)设ACP。的面积为s,求s与，之间的函数关系式；

(4)如图②，当点尸在线段。。上运动时，将AAP。沿尸。折叠，点A落在平面内的点4

处，尸。与AC交于点E.当QA与AAC。的边OC、AC平行时，直接写出f的值.

【答案】(1)6,16(2)当0<江2时，PD=4—2t,当2c仁6时尸D=2f-4,当6<E8

时，PD=20-2r；(3)当0〈仁2时，$=—/+10/,当2〈瓦6时，s=Tf+24,当6

</8时，s=4t—24：(4)t,=4,=—,t.,=12—4y/5,?.=4H—y/i

33

【分析】

(1)计算AC的长，除以速度即可；计算点。的运算时间速度，得到的时间乘以点尸

的速度即可；

(2)根据/的运动特点，分0<江2,2<z<6,6<江8三种情形计算；

(3)根据(2)的情形，对应计算三角形的面积即可；

(4)在2〈匹6,6〈云8两种情形下，分别计算QA〃DC和QA01C计算.

【详解】

13

解：(1)当点尸到点。时，仁一=6,

2

・・•点。的运动时间为：87=8,

故答案为：6,16；

・••点P的运动路程为2x8=16

(2)当0〈江2时，

VB4=26PA+PD=AD=4f

：.PD=4-2t；

当2〈区6时，

9：PA=2t,AD^PD=PA,AO=4,

：.PD=2t-4；

当6〈区8时，

V2/=AZ)+CD+PC,PC+PD=CD,AD=4,

•"£>=80-12)=20—2/；

(3)当0〈区2时，

s=4x8-gx2/x/-g(4-2%)x8-g(8-，)x4

——P+10/；

当2〈收6时，

s=g(12—2，)x4=—41+24；

当6〈云8时，

5=1(2Z-12)X4=4?-24：

(4)当2c二6,且。4〃4c时，如图1,

根据折叠的意义，得NAQP=/A'QP,

••,四边形ABC。是矩形，

：.AB^CD,

：.ZAQP=ZCPE,

,/QA'//AC,

：.ZA'QP=ZCEP,

14

ZAEQ=ZCEP,

f

：.ZAQP=ZCPE=ZAQP=ZCEP=ZAEQf

：.AE=AQ,CP=CE,

•••四边形ABC。是矩形，AB=SfAD=4

：.BC=4,ZABC=90°,

图1

AC=^AB^+BC1=A/82+42=4A/5,

设点Q运动时间为t,则PA=2t,AQ=t,

：.CP=12-PA=12-2t,

'.,AE+EC=AC,

：.AQ+PC=AC,

/.12-2z+z=4A/5,

・g2-48

当2〈云6,且QA〃DC时，如图2,

根据折叠的意义，得NAQP=N4。尸=90。,

・・•四边形A5C。是矩形，

・•・NZMQ=90。，

：.AD^PQf

，四边形A。尸。是矩形，

：.PD=AQ,

15

图2

设点Q运动时间为t,则PA^2tAQ=t,

：.PD=2t-4,

2t-4=t,

.'.z=4；

当6〈和8,且4c时，如图3,

根据前面的证明，得至UAC=46，CP=CE,AQ=AE,

设点Q运动时间为t,则AQ=f,CP=2t-12,

'：AE+EC=AC,

：.AQ+PC=AC,

.,.2t-l2+t=4-y/5,

.彳4>/5

../=4+—^—；

3

当6〈江8,且QA〃OC时，如图4,

根据前面的证明，得到AQ=PD,

设点。运动时间为t,则AQ=t,DP=2.0-2t,

16

20-2t=t,

20

••4—；

3

综上所得，/的值为g=44=g/=12—4岔,0=4+g.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，

函数的表达式，分类思想，灵活运用分类思想，适当分割图形表示面积是解题的关键.

6.某市为创建“全国文明城市”，计划购买甲、乙两种树苗绿化城区，购买50棵甲种树苗

和20棵乙种树苗需要5000元，购买30棵甲种树苗和10棵乙种树苗需要2800元.

（1）求购买的甲、乙两种树苗每棵各需要多少元.

（2）经市绿化部门研究，决定用不超过42000元的费用购买甲、乙两种树苗共500棵，其

中乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的工，求甲种树苗数量的取值范围.

4

（3）在（2）的条件下，如何购买树苗才能使总费用最低？

【答案】（1）购买的甲种树苗的单价是60元，乙种树苗的单价是100元；⑵200WaW400；

（3）购买的甲种树苗400棵，购买乙种树苗100棵，总费用最低

【分析】

（1）设甲种树苗每棵X元，乙种树苗每棵y元，根据：“购买50棵甲种树苗和20棵乙种树

苗共需5000元，购买30棵甲种树苗和10棵乙种树苗共需2800元”列方程组求解可得；

（2）设购买的甲种树苗。棵，则购买乙种树苗（500-棵，由题意列出一元一次不等式组，

则可得出答案；

（3）设购买的甲种树苗。棵，则购买乙种树苗（500—a）棵，总费用为W,即可得出W关

于。的函数关系，再根据一次函数的性质可解决最值问题.

【详解】

解：（1）设购买的甲种树苗的单价为X元，乙种树苗的单价为y元.依题意得：

'50x+2Qy=5Q00

<30x+10y=2800，

x=60

解这个方程组得：\

y=100

答：购买的甲种树苗的单价是60元，乙种树苗的单价是100元；

17

(2)设购买的甲种树苗。棵，则购买乙种树苗(500-。)棵，由题意得，

60«+100(500-a)<42000

<1,

500—a2—a

I4

解得，200WaW400.

..•甲种树苗数量a的取值范围是200WaW400.

(3)设购买的甲种树苗a棵，则购买乙种树苗(500—a)棵，总费用为W,

/.W=60a+100(500-«)=50000-40a.

-40<0,

值随。值的增大而减小，

V200<a<400,

.•.当a=400时，W取最小值，最小值为50000—40x400=34000元.

即购买的甲种树苗400棵，购买乙种树苗100棵，总费用最低.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数的增减性，熟练掌握方程组，不

等式组的解法，灵活运用一次函数的增减性是解题的关键.

7.如图，四边形Q钻C是张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点。与坐标原点重合，

点A在x轴正半轴上，点。在y轴正半轴上，OC=5,点E在边上.

(1)若点N的坐标为(3,0),过点N且平行于y轴的直线与EB交于点将纸片沿

直线OE折叠，顶点C恰好落在上，并与上的点G重合.

①求点G、点E的坐标；

②若直线/：y=e+〃平行于直线OE,且与长方形有公共点，请直接写出〃的

18

取值范围.

（2）若点E为上的一动点，点C关于直线0E的对称点为G,连接BG,请求出线段

BG的最小值.

【答案】（1）①G（3,4）,E（1,5）；②-15W〃W-4；（2）5拒—5

【分析】

（1）①根据折叠的性质求出0G,根据勾股定理计算求出GN,得到点G的坐标，设CE=x,

根据勾股定理求出x,求出点E的坐标；

②利用待定系数法求出OE所在直线的解析式，根据平行的性质求出处分别把点M、点A

的坐标代入解析式求出n,得到答案；

（2）连接0G,求出BC=5、/5，0C=0G=5,推出当。、B、G三点共线时，BG取得

最小值，从而计算.

【详解】

解：（1）由折叠的性质可知，0G=0C=5,

由勾股定理得，GNEoG—oM752—32=4,

.,.点G的坐标为（3,4）；

设则由折叠的性质可知：EG=CE=x,

•:GN=4,

：.GM=5-4=lf

在放△EMG中，EG1=EM2+MG2^

即X2=（3-X）2+12,

解得：w,

3

...点E的坐标为（9,5）；

3

设所在直线的解析式为：y=kx,

,5

则n—k=5,

3

解得，k=3,

・・・0E所在直线的解析式为：y=3x,

•・•直线/：产加什〃平行于直线OE,

19

m=3,即直线l的解析式为y=3x+n,

当直线/经过点〃(3,5)时，5=3x3+“，

解得，n=-4,

当直线/经过点A(5,0)时，0=3x5+”，

解得，15,

，直线/与长方形有公共点时，-15W〃&4；

(3)连接。B,OG,

\"OC=BC=5,ZOCB=9Q°,

,,BC=y/2,OC=5V2，

:点c关于直线OE的对称点为点G,

：.OC=OG=5,

：.BG>OB-OG,

...当。、B、G三点共线时，8G取得最小值，

...8G的最小值为5a-5・

【点睛】

本题考查的是一次函数的知识、折叠的性质、最短路径问题，掌握待定系数法求正比例函数

解析式的一般步骤，得到。、B、G三点共线时，8G取得最小值是解题的关键.

8.如图，正方形ABCZ)边长AB=10cm,点E在边AD上，且AE=4cm,点N从点A

出发，以5cm/s的速度在A、3之间往返匀速运动，同时，点"从点E出发，以2cm/s

的速度沿路径OfC匀速运动，当点"运动到点C时，两点都停止运动，设运动时

间为f(单位：s).在运动过程中的面积S(单位：cn?)随运动时间/的变化而变化.

20

(1)当点N运动到点3时，求/值及此时AAMN的面积.

(2)在整个运动过程中，求S与/的关系式.

【答案】(1)仁2,此时没^加的面积=皿。!!？；(2)见解析

【分析】

(1)先根据点N的运动速度得出时间，再得出AM的长，再根据三角形的面积公式即可得

出答案；

(2)分①当0<£2时，②当2〈饪3时，③当3<t<4时，④当4</<6时，⑤当6<Z<8时，

五种情况进行讨论即可.

【详解】

解：(1)：当点N运动到点3时，AB=10cm,点N的速度为5cm/s,

AB°

••t-----=2s,

5

;点M的速度为2cmis,

EM=2x2=4cm,

：.AM=AE+EM=M=8,

11

AAM2V的面积=—义AMxAB=—x8xl0=40cirr9.

22

(2):当点〃运动到点。时，两点都停止运动，

①当0<”2时，AN=5t,AM=A+2t,

AAACV的面积=gxAM义A/V=—x5tx（4+2t）=5t2+10t；

②当2〈也3时，AN=2Q-5t,AM=4+2t,

AAMN的面积=gxAMxAN=1x（20-5t）（4+2t）=-5t2+10t+40；

③当3〈左4时，AN=20-5t,\AMN的高为10cm,

21

/^AMN的面积=gxlOxAN=5x(20-5t)=-25t+100；

④当4<z<6时，AN=5t-20,AAMN的高为10cm

AAACV的面积=-xl0x/UV=5x(5t-20)=25M00；

⑤当6<Z<8时，AN=40-5t,AAMN的高为10cm,

AAMN的面积=1xlOxA2V=5x(40-5t)=-25t+200；

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质和三角形的面积计算，分类讨论的数学思想，确定点M、N所

在的位置，是解决本题的关键.

9.如图1,在平面直角坐标系中，直线45与X轴、y轴相交于4(6,0)、6(0,2)两点，

动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到8,此时点。恰好落在

直线上时，过点。作DELx轴于点E.

(1)求证：“BOg£ED；

(2)求经过A、B两点的一次函数表达式.如图2,将△3CD沿x轴正方向平移得AB'CD',

当直线3'C'经过点。时，求点。的坐标及NB'C'D'的面积；

(3)在x轴上是否存在点尸，使得以C、D、尸为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，

请写出尸点的坐标.

图3

22

【答案】（1）证明见解析；（2）y=-1x+2,£＞（3,1）,2.5；（3）存在，P（75+l,0）,

P（A/5-1,0）,P（5,0）.

【分析】

⑴由“AAS”即可证明Rt^BOC=Rt^CED；

⑵由AB'CD'的面积=ASCD的面积=S梯形BOE£1—2S＞即可求解；

⑶分PC=PD、PC=CD、P£＞=CD三种情况，分别求解即可.

【详解】

解：（1）ZBOC=ZBCD=ZCED=90°,

/.ZOCB+ZDCE=90°，ZDCE+ZCDE=90°,

ZBCO=ZCDE,

•:BC=CD,

Rt^BOC=RfzkCED（AAS）；

（2）设直线AB解析式为y=kx+b,

/、/、f0=6k+b

把4（6,0）,8（0,2）代入上式得j厂2，

\-A

解得，3,

b=2

故直线AB的解析式为y=~x+2,

由ABOC=CED得：CO=DE,

设CO-DE=m,而OB-CE-2,

/.D（m+2,m）,

二,点D在直线y———x+2上，

把+2,加）代入上式并解得m=l,

23

.•.0（3,1）,点C（1,O）,

AB'C'D'的面积=ABCD的面积

-

=2SABC0=-X（1+2）x3-2x—x2x1=2.5；

（3）存在，理由：

设点尸的坐标为（r,。），

而点C、。的坐标分别为（1,0）、（3,1）,

由点P、C、。的坐标得：PC2=（z-l）2,

PD2=（Z-3）2+l,CD2=22+1=5.

当PC=PD时,则«—I）?=«—3y+l,

9

解得：t=—,

4

当尸c=a>时，则«-1）2=5,

解得:t=1+\/5>

当尸£）=CD时，则«—3丁+1=5,

解得：£=1（舍去）或5,

故点P的坐标为。。］或心+1,0）或（1-好0）或（5,0）.

【点睛】

本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、三角形全等

和面积的计算等，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏.

10.已知小明的家、体育场、文化宫在同一直线上，下面的图象反映的过程是：小明早上

从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文化宫去看书画展览，然后散步回家，图

中X表示时间（单位是分钟），y表示到小明家的距离（单位是千米）.

请根据相关信息，解答下列问题：

24

ykrn

015304570100xinin

(1)填表：

小明离开家的时间/min510153045

小明离家的距离/km11

(2)填空：

①小明在文化宫停留了min；

②小明从家到体育场的速度为km/min；

③小明从文化宫回家的平均速度为km/min；

④当小明距家的距离为0.6km时，他离开家的时间为min.

(3)当0<x<45时，请直接写出y关于x的函数解析式.

—x(0<x<15)

211

【答案】(1)—,1,0.5；(2)①25；②—；③—④9或42；(3)y=<1(15<x<30)

1560

--x+2(30<x<45)

【分析】

(1)由图可知，前15min小明离家的距离y与小明离开家的时间尤成正比例函数，利用待

定系数法解得该正比例函数，再依次代入x=10,x=15解题，从图中可知，当小明离开家的

时间为45min时，小明离家的距离为0.5km,据此计算填表；

(2)①从图中可知，小明离家为45min时，到达文化馆，小明离家时间为70min时，离开

文化馆，将二者时间相减即可解题；②从图中可知，小明离家时间为15min时，到达1km

的体育馆，根据速度公式解题；③从图中可知，小明离家时间为70min时，离开距家0.5km

的文化馆，小明离家时间为lOOmin时，根据速度公式解题；④从图中可知，小明距家的距

离有两次为0.6协2,分别在Omin到15min和30min到45min之间，满足y=—X,(0-15)

25

令y=0.6,解得他离开家的时间为9min,由图可知，在30min到45min之间小明离家的距

离y与小明离开家的时间x成一次函数,利用待定系数法解得此函数，再计算当y=06时，

x的值即可解题；

(3)由(1)(2)中的解析式解题.

【详解】

解：(1)由图可知，前15min小明离家的距离y与小明离开家的时间尤成正比例函数，

设小明离家的距离y与小明离开家的时间x的关系式为：y=kx(k^0,0<x<15)

把(15,1)代入得，攵=、

y=^%(0<%<15)

12

当x=10时，y=一xlO=—,

153

当x=15时，y=—xl5=1,

15

从图中可知，当小明离开家的时间为45min时，小明离家的距离为0.5km,

2

故答案为：—；1；0.5；

3

(2)①从图中可知，小明离家为45min时，到达文化馆，小明离家时间为70min时，离开

文化馆，故小明在文化馆停留了：70-45=25min；

②从图中可知，小明离家时间为15min时，到达1km的体育馆，则速度为：

1km17’.

------二——km/min；

15min15

③从图中可知，小明离家时间为70min时，离开距家0.5km的文化馆，小明离家时间为lOOmin

、、.0.5km17/.

时，回到家中，则速度为：.=—km/min

(100-70)min60;

④从图中可知，小明距家的距离有两次为0.6Qzz,分别在Omin到15min和30min到45min

之间，满足y=，~x,(0Vx<15)

26

当y=0.6时，即'-x=0.6,

-15

:.x=9,

则小明第一次距家的距离为0.6km时，他离开家的时间为9min,

由图可知，在30min到45min之间小明离家的距离y与小明离开家的时间尤成一次函数,

则设小明离家的距离y与小明离开家的时间x的函数关系式为：

j=kx+b(k^0,30<x<45)

将(30,1),(45,0.5)代入得，

'30k+b=l

<45k+b=Q.5

k=~—

30

b=2

y=一卷x+2(30<45)

则当y=0.6时，即—」-x+2=0.6

-30

:.x=42

则小明第二次距家的距离为0.6km时，他离开家的时间为42min,

故答案为：①25；②L③」-④9或42；

1560

(3)由图可知，在15min到30min之间小明离家的距离不变1km,

由(1)(2)y='羽(0〈犬415)和y=--^-x+2(30<x<45)知,

当00xK45时,

^x(0<x<15)

y=Jl(15<x<30)

—4+2(30<x〈45)

【点睛】

27

本题考查函数的图象与性质、待定系数法解一次函数等知识，是重要考点，难度较易，掌握

相关知识是解题关键.

11.2020年江苏开通了多条省内高铁，其中一条可以从南京——镇江——扬州——淮安的

高铁线路如图①所示，本线路高铁最高速度不超过每分钟5千米.现有甲、乙两车按以下

方式营运，甲车从南京匀速行驶去淮安，在镇江和扬州两站都停靠5分钟；乙车从南京匀

速行驶直达淮安，乙车比甲车晚出发20分钟.设甲车出发x分钟后行驶的路程为刈千米,

图②中的折线O—A—B—C—D—E表示在整个行驶过程中yi与x的函数图像.

（1）甲车速度为一千米/分；

（2）若乙车行驶1小时到达淮安，则乙车出发多久后与甲车相遇？

（3）若乙车行驶的过程中不得与甲车在镇江站与扬州站的站台内相遇，并要在甲之前到达

淮安，则乙车速度v乙的范围为

【答案】（1）3；（2）乙车出发30分钟后与甲相遇；（3）一9乙＜5或——9乙＜一

784

【分析】

（1）根据线段OA段然后利用速度=路程+时间求解即可；

（2）首先求出乙车的速度，然后表示出乙车行驶的路程，然后根据甲乙的路程相等即可求

出时间；

（3）分别求出三种临界状态：①甲、乙两车在镇江站之前相遇；②甲、乙两车在镇江站和

扬州站之间相遇，则恰好离开镇江站时速度最大，到达扬州站时速度最小；③甲、乙两车在

扬州站和镇江扬州站之间相遇，则恰好离开扬州站时速度最大，到达镇江站时速度最小，然

后即可得出乙车的速度的范围.

28

【详解】

解：(1)根据线段。4段，30分钟行驶了90千米，

，甲车的速度为90+30=3千米/分；

(2)•••乙车行驶1小时到达淮安，

，乙车的速度为270+60=4.5千米/分，

乙=4.5(%—20),

>BC=90+3(%—35),

当>乙=刈。时，4.5(%—20)=90+3(%—35)

解得：x=50,

50-20=30.

所以，乙车出发30分钟后与甲相遇.

(3)①甲、乙两车在镇江站之前相遇，则恰好到镇江站时速度最小，则

由题意得v乙<5,故不符合题意；

②甲、乙两车在镇江站和扬州站之间相遇，则恰好离开镇江站时速度最大，至U达扬州站时速

度最小，则

15090

---------<v乙<-------,

55-2035-20

30

—<v乙<6,

7

〜乙<5,

.304

••—<v乙<6

7

③甲、乙两车在扬州站和镇江扬州站之间相遇，则恰好离开扬州站时速度最大，到达镇江站

时速度最小，则

270150

-----------<Vz,<----------，

100-2060-20

综上所述，——乙<5或一<vz,<一.

784

【点睛】

本题主要考查一次函数与行程问题，利用方程的思想解题是关键.

29

12.问题提出

(1)如图①，在R3A3C中，ZA=90°,AB=3,AC=4,在3c上找一点O,使得A。

将△A3c分成面积相等的两部分，作出线段AO,并求出AO的长度；

问题探究

(2)如图②，点A、5在直线a上，点M、N在直线B上，且a〃儿连接AN、BM交于

点。，连接AM、BN,试判断AAOM与△BON的面积关系，并说明你的理由；

解决问题

(3)如图③，刘老伯有一个形状为筝形04C8的养鸡场，在平面直角坐标系中，0(0,0)、

A(4,0)>B(0,4)、C(6,6),是否在边AC上存在一点P,使得过5、尸两点修一道

笔直的墙(墙的宽度不计)，将这个养鸡场分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线

5尸的表达式；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)图见解析，—；(2)SAAOM=SLBON>理由见解析；(3)存在，y=—§x+4

【分析】

(1)当点。是BC的中点时，