平面向量小题全面梳理与分类（练习）-2025年高考数学二轮复习（原卷版）

专题08平面向量小题全面梳理与精细分类

目录

|01模拟基础练.................................................................2

I

I

I

题型一：平面向量基本定理及其应用.............................................2

题型二：平面向量共线的充要条件及其应用.......................................2

题型三：平面向量的数量积.....................................................3

题型四：平面向量的模与夹角...................................................3

题型五：等和线问题............................................................4

，题型七：矩形大法..............................................................5

I:||J±||0]•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••5

题型九：等差线'等商线问题...................................................6

题型十：奔驰定理与向量四心...................................................6

j题型十一：阿波罗尼斯圆问题...................................................7

题型十二：平行四边形大法.....................................................7

重，八难四，占、、、7窕^破■.[向ijm量E.对八J■/I鱼J缚生理•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••7，

I

|

|02重难创新练.................................................................8

题型一：平面向量基本定理及其应用

1.(2024.山东滨州.二模)在VABC中，G为VA5C的重心，M为AC上一点，且满足MC=3AM，则

()

1117

A.GM=-AB+—ACB.GM=-AB——AC

312312

1711

C.GM=——AB+—ACD.GM=——AB——AC

312312

ARDF）

2.在VABC中，若/是VABC的内心，山的延长线交3C于。，则有二=所称之为三角形的内角平

分线定理，现已知AC=2,BC=3,AB=4S.AI=xAB+yAC,则实数%+y=（）

D.2

3.在平行四边形ABCD中，点E为线段CD的中点，点厂在线段5C上，且满足的=2尸C,记

AB=m,AD=〃，则石尸=（）

1/11

A.—\m-n}B.-m——n

2V723

C.--m+—nD.+

23

题型二：平面向量共线的充要条件及其应用

CE

4.在VABC中，点。满足直线AO与BC交于点E,则的值为（）

62CB

A.1B.-c-D.1

23,45

5.（2024・高三・江苏南通•期中）在ABC。中，AM=MBBN=2NC,AP=xAB+(\-x)AD,.若

AP//MN,贝!]x=()

A.1B.2c.-D.1

7777

31CN^CB+-CA,AM与CN交于点

6.（2024•高三・安徽亳州•期中）在VABC中，AM=-AB+-AC,

4422

P,且AP=xAB+yAC(x,yER),贝!]%+y=()

24c.e

A.-B.-D.1

777

题型三：平面向量的数量积

7.如图，在Rt^ABC中，两直角边C4=3,CB=6,点E,歹分别为斜边AB的三等分点，则

CECF=

8.在边长为1的正VABC中，BD=；DC,则ADCZ）的值等于.

ry

9.已知菱形ABC。的边长为2,且ZABC=60,若点P满足BP=—^BC+BA^,则

PCBP=.

题型四：平面向量的模与夹角

10.已知同=网=2,且则,卜.

11.已知向量。力的夹角为g,d=（后1）,忖=1,则卜4.

12.若e；是夹角为60。的两个单位向量，则e1与弓-202的夹角为.

题型五：等和线问题

13.四边形ABCD是正方形，延长C。至点E,使得DE=CD,若M为C。中点，N为OE中点，点尸在

线段时V上移动（包含端点），设AP=XA2+〃AE,求几+〃的取值范围.

14.（2024・湖南常德•一模）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E,使得DE=2CD.动

点尸从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，AP=AAB+iuAE,则几+〃的取值范围

为_________

15.在如图所示的直角梯形ABCD中，AB〃。,45=1,8。=。。=2,48,3。.尸为梯形428内一动点,

且AP=1,若AP=4AB+〃AJD,则彳+g的最大值为.

题型六：极化恒等式

16.已知圆。的半径为2,A,B是圆。上两点，且NAC®=60。，C。是圆O的一条直径，若动点P满足

OP=WA+/^OB（A,〃eR）,且;I-〃=1,则PCJD的最小值为.

17.如图，在VABC中，。是BC的中点，E,尸是AD上的两个三等分点R4.C4=5，BFCF=-2,则

BE.CE的值是.

A

22

18.（2024.高三・上海松江.期末）已知点尸为椭圆?=1上任意一点，为圆77:（%-1）2+丫2=4的任

意一条直径，则PE.P尸的取值范围是.

题型七：矩形大法

19.设向量a,b,c满足|a|=g|=l,。力=；，（a-c>3-c）=0,贝！的最小值是（

)

A.B.且匚C.6D.1

22

20.（2023•河北石家庄•高三阶段练习）已知向量a,b,c满足|。|=忘，\b\=a-b=3,若

(c-2a)3-3c)=0,贝I的最大值是

题型八：平面向量范围与最值问题

21.设a,6,c都是单位向量，且a.b=O,则（。-。卜卜-6）的最小值为.

22.已知a,b,c为平面向量，如果同=1,k,»=三，6•仅一6c）=-8,则,一N+|a-c|的最小值

为.

23.（2024・上海崇明•一模）已知不平行的两个向量2,5满足忖=1,ab=43.若对任意的feR,都有

M一回22成立，则恸的最小值等于.

题型九：等差线、等商线问题

24.（2023•全国•高三专题练习）给定两个长度为1的平面向量OA和。8，它们的夹角为120。，点C在以

O为圆心的圆弧A8上运动，^OC=xOA+yOB,其中无、yeR.则》的最大值为；x—y的取值

范围是.

25.（2023・高一单元测试）如图，在ABC中，AB=4,AC=8,Zfi4c=60。，若延长C8到点。，使

BA=BD,当点E在线段AB上移动时，设AE=XAC+〃AO,当兑取最大值时，彳-〃的值是.

3

26.（2023业东潍坊•高三开学考试）在‘ABC中’点D满足皿二黄’当点、在射线皿（不含点人）

上移动时，若AE/AB+/MC,则4+'的最小值为

题型十：奔驰定理与向量四心

27.奔驰定理：已知。是VABC内的一点，BOC,△AOC,VA03的面积分别为%,SB,Sc,则

SA-Q4+SB-O8+SC-OC=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与

“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设。为三角形ABC内一点，且满足：

s

OA+2OB+3OC=3AB+2BC+CA,则学磔=（）

7T

28.在VABC中，BC=2,ZBAC=~,。是VA3C的外心，则。4.BC+34C4的最大值为（）

29.若VABC的三边为a,b,c,aOA+bOB+cOC=Q'则。是VABC的（）

A.外心B.内心

C.重心D.垂心

题型十一：阿波罗尼斯圆问题

30.（2024・高三•上海闵行•开学考试）阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的

点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点48间的距离为3,动点P满足

网

同=2,则PAPB的范围为-

31.已知平面向量♦也c满足.，人S.\d\=\b\=2,\S-a-b\=l,贝U|c-a|+2|c-b|的最小值为（）

A.反B.V15C.叵D.V17

22

32.（2024•高三・山东日照•期中）已知平面向量a,b,C满足al8,且同=恸=4,|a+6-c|=2,贝|

,-<?|+2忸-4的最小值为（）

A.475B.2aC.2A/5D.而

题型十二：平行四边形大法

33.（2023•浙江•模拟预测）已知g为单位向量，平面向量%满足|a+g|=|b-e|=l,a-b的取值范围是

重难点突破：向量对角线定理

34.在平面四边形ABC。中，点E、尸分别是边A。、2C的中点，且A2=l,EF=g,CD=^,若

,V*V»U*VIVUU.,(t

ADBC=15)则ACIO的值为()

A.13B.14C.15D.16

35.在四边形ABC。中，点E,尸分别是边A£>,8c的中点，设4。."？=〃?，AC-BO=〃.若48=收，

EF=1,CO=5贝I()

A.2m-n=lB.2m-2n=l

C.m-2n=lD.2n-2m=1

36.在四边形ABC。中，点E,尸分别是AD,8c的中点，设AZ>8C=x，ACBD=y,若AB=6,

EF=1,CD=6,则孙的最小值为.

1.如图，边长为4的等边VA5C,动点尸在以2C为直径的半圆上.若AP=2AB+〃AC,则2+工〃的取

值范围是（）

2.已知平面向量4=卜1,退），贝3在b上的投影向量为（）.

若向量b在向量a上的投影向量c=],。；贝小+6卜（

3.已知向量〃=(2,0),b=(sina,)

A./B.V7C.3D.7

1?

4.已知△ABC是边长为1的正三角形，AN=§NC,P是8N上一点且=+,贝UAp.Ag

22

A.B.C.D.1

99?

5.如图，在VABC中，点。，£分别在AB,AC边上，且3D=ZM，AE=3EC，点厂为。石中点，则

BF=（）

13313333

A.——BA+-BCB.-BA+-BCC.-BA+-BCD.-BA+-BC

88428884

6.已知a。为单位向量，且卜-2+4,向量6满足°2一4百+3=0,则c•伍-a）的最大值为（)

A.73-1B.73+1C.如一3D.一6+3

7.点尸在边长为1的正三角形ABC的外接圆上，则AP.A8的最大值为（

6,1口有+12石

-----1D.D

3---22-1

8.在半径为2的圆上任取三个不同的点AB,P,且|AB|=20,则P4PB的最大值为（）

A.拒+2B.242+2C.2夜+4D.4忘+4

9.（多选题）如图，VABC是边长为1的等边三角形，BD=^BC,点P在以CD为直径的半圆上（含端

点），^AP=xAB+yAC,则（）

12

A.y的值不可能大于1B.AD=-AC+-AB

c.AP.AB的最小值为:D.AP.AB的最大值为1

10.（多选题）若等边三角形ABC的边长为2,8D=X8C（0<X<l）,E为AC的中点，且交于点

则下列说法正确的是（）

1I7

A.当2=—时，AD=-AB+-AC

333

B.若点M为BE1的中点，则2

C.AD.AB+AD.AC为定值

9

D.。5・。石的最小值为-7

16

1L（多选题）已知。为VABC的外心，AB+AC=CO^则（）

A.03与AC不共线B.08与。4+0。垂直

C.