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文档简介

专题08平面向量小题全面梳理与精细分类

目录

|01模拟基础练.................................................................2

I

I

I

题型一:平面向量基本定理及其应用.............................................2

题型二:平面向量共线的充要条件及其应用.......................................2

题型三:平面向量的数量积.....................................................3

题型四:平面向量的模与夹角...................................................3

题型五:等和线问题............................................................4

,题型七:矩形大法..............................................................5

I:||J±||0]•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••5

题型九:等差线'等商线问题...................................................6

题型十:奔驰定理与向量四心...................................................6

j题型十一:阿波罗尼斯圆问题...................................................7

题型十二:平行四边形大法.....................................................7

重,八难四,占、、、7窕^破■.[向ijm量E.对八J■/I鱼J缚生理•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••7,

I

|

|02重难创新练.................................................................8

题型一:平面向量基本定理及其应用

1.(2024.山东滨州.二模)在VABC中,G为VA5C的重心,M为AC上一点,且满足MC=3AM,则

()

1117

A.GM=-AB+—ACB.GM=-AB——AC

312312

1711

C.GM=——AB+—ACD.GM=——AB——AC

312312

ARDF)

2.在VABC中,若/是VABC的内心,山的延长线交3C于。,则有二=所称之为三角形的内角平

分线定理,现已知AC=2,BC=3,AB=4S.AI=xAB+yAC,则实数%+y=()

D.2

3.在平行四边形ABCD中,点E为线段CD的中点,点厂在线段5C上,且满足的=2尸C,记

AB=m,AD=〃,则石尸=()

1/11

A.—\m-n}B.-m——n

2V723

C.--m+—nD.+

23

题型二:平面向量共线的充要条件及其应用

CE

4.在VABC中,点。满足直线AO与BC交于点E,则的值为()

62CB

A.1B.-c-D.1

23,45

5.(2024・高三・江苏南通•期中)在ABC。中,AM=MBBN=2NC,AP=xAB+(\-x)AD,.若

AP//MN,贝!]x=()

A.1B.2c.-D.1

7777

31CN^CB+-CA,AM与CN交于点

6.(2024•高三・安徽亳州•期中)在VABC中,AM=-AB+-AC,

4422

P,且AP=xAB+yAC(x,yER),贝!]%+y=()

24c.e

A.-B.-D.1

777

题型三:平面向量的数量积

7.如图,在Rt^ABC中,两直角边C4=3,CB=6,点E,歹分别为斜边AB的三等分点,则

CECF=

8.在边长为1的正VABC中,BD=;DC,则ADCZ)的值等于.

ry

9.已知菱形ABC。的边长为2,且ZABC=60,若点P满足BP=—^BC+BA^,则

PCBP=.

题型四:平面向量的模与夹角

10.已知同=网=2,且则,卜.

11.已知向量。力的夹角为g,d=(后1),忖=1,则卜4.

12.若e;是夹角为60。的两个单位向量,则e1与弓-202的夹角为.

题型五:等和线问题

13.四边形ABCD是正方形,延长C。至点E,使得DE=CD,若M为C。中点,N为OE中点,点尸在

线段时V上移动(包含端点),设AP=XA2+〃AE,求几+〃的取值范围.

14.(2024・湖南常德•一模)如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,延长CD至E,使得DE=2CD.动

点尸从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点,AP=AAB+iuAE,则几+〃的取值范围

为_________

15.在如图所示的直角梯形ABCD中,AB〃。,45=1,8。=。。=2,48,3。.尸为梯形428内一动点,

且AP=1,若AP=4AB+〃AJD,则彳+g的最大值为.

题型六:极化恒等式

16.已知圆。的半径为2,A,B是圆。上两点,且NAC®=60。,C。是圆O的一条直径,若动点P满足

OP=WA+/^OB(A,〃eR),且;I-〃=1,则PCJD的最小值为.

17.如图,在VABC中,。是BC的中点,E,尸是AD上的两个三等分点R4.C4=5,BFCF=-2,则

BE.CE的值是.

A

22

18.(2024.高三・上海松江.期末)已知点尸为椭圆?=1上任意一点,为圆77:(%-1)2+丫2=4的任

意一条直径,则PE.P尸的取值范围是.

题型七:矩形大法

19.设向量a,b,c满足|a|=g|=l,。力=;,(a-c>3-c)=0,贝!的最小值是(

)

A.B.且匚C.6D.1

22

20.(2023•河北石家庄•高三阶段练习)已知向量a,b,c满足|。|=忘,\b\=a-b=3,若

(c-2a)3-3c)=0,贝I的最大值是

题型八:平面向量范围与最值问题

21.设a,6,c都是单位向量,且a.b=O,则(。-。卜卜-6)的最小值为.

22.已知a,b,c为平面向量,如果同=1,k,»=三,6•仅一6c)=-8,则,一N+|a-c|的最小值

为.

23.(2024・上海崇明•一模)已知不平行的两个向量2,5满足忖=1,ab=43.若对任意的feR,都有

M一回22成立,则恸的最小值等于.

题型九:等差线、等商线问题

24.(2023•全国•高三专题练习)给定两个长度为1的平面向量OA和。8,它们的夹角为120。,点C在以

O为圆心的圆弧A8上运动,^OC=xOA+yOB,其中无、yeR.则》的最大值为;x—y的取值

范围是.

25.(2023・高一单元测试)如图,在ABC中,AB=4,AC=8,Zfi4c=60。,若延长C8到点。,使

BA=BD,当点E在线段AB上移动时,设AE=XAC+〃AO,当兑取最大值时,彳-〃的值是.

3

26.(2023业东潍坊•高三开学考试)在‘ABC中’点D满足皿二黄’当点、在射线皿(不含点人)

上移动时,若AE/AB+/MC,则4+'的最小值为

题型十:奔驰定理与向量四心

27.奔驰定理:已知。是VABC内的一点,BOC,△AOC,VA03的面积分别为%,SB,Sc,则

SA-Q4+SB-O8+SC-OC=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论,因为这个定理对应的图形与

“奔驰”轿车的logo很相似,故形象地称其为“奔驰定理”.设。为三角形ABC内一点,且满足:

s

OA+2OB+3OC=3AB+2BC+CA,则学磔=()

7T

28.在VABC中,BC=2,ZBAC=~,。是VA3C的外心,则。4.BC+34C4的最大值为()

29.若VABC的三边为a,b,c,aOA+bOB+cOC=Q'则。是VABC的()

A.外心B.内心

C.重心D.垂心

题型十一:阿波罗尼斯圆问题

30.(2024・高三•上海闵行•开学考试)阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数的

点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点48间的距离为3,动点P满足

同=2,则PAPB的范围为-

31.已知平面向量♦也c满足.,人S.\d\=\b\=2,\S-a-b\=l,贝U|c-a|+2|c-b|的最小值为()

A.反B.V15C.叵D.V17

22

32.(2024•高三・山东日照•期中)已知平面向量a,b,C满足al8,且同=恸=4,|a+6-c|=2,贝|

,-<?|+2忸-4的最小值为()

A.475B.2aC.2A/5D.而

题型十二:平行四边形大法

33.(2023•浙江•模拟预测)已知g为单位向量,平面向量%满足|a+g|=|b-e|=l,a-b的取值范围是

重难点突破:向量对角线定理

34.在平面四边形ABC。中,点E、尸分别是边A。、2C的中点,且A2=l,EF=g,CD=^,若

,V*V»U*VIVUU.,(t

ADBC=15)则ACIO的值为()

A.13B.14C.15D.16

35.在四边形ABC。中,点E,尸分别是边A£>,8c的中点,设4。."?=〃?,AC-BO=〃.若48=收,

EF=1,CO=5贝I()

A.2m-n=lB.2m-2n=l

C.m-2n=lD.2n-2m=1

36.在四边形ABC。中,点E,尸分别是AD,8c的中点,设AZ>8C=x,ACBD=y,若AB=6,

EF=1,CD=6,则孙的最小值为.

1.如图,边长为4的等边VA5C,动点尸在以2C为直径的半圆上.若AP=2AB+〃AC,则2+工〃的取

值范围是()

2.已知平面向量4=卜1,退),贝3在b上的投影向量为().

若向量b在向量a上的投影向量c=],。;贝小+6卜(

3.已知向量〃=(2,0),b=(sina,)

A./B.V7C.3D.7

1?

4.已知△ABC是边长为1的正三角形,AN=§NC,P是8N上一点且=+,贝UAp.Ag

22

A.B.C.D.1

99?

5.如图,在VABC中,点。,£分别在AB,AC边上,且3D=ZM,AE=3EC,点厂为。石中点,则

BF=()

13313333

A.——BA+-BCB.-BA+-BCC.-BA+-BCD.-BA+-BC

88428884

6.已知a。为单位向量,且卜-2+4,向量6满足°2一4百+3=0,则c•伍-a)的最大值为()

A.73-1B.73+1C.如一3D.一6+3

7.点尸在边长为1的正三角形ABC的外接圆上,则AP.A8的最大值为(

6,1口有+12石

-----1D.D

3---22-1

8.在半径为2的圆上任取三个不同的点AB,P,且|AB|=20,则P4PB的最大值为()

A.拒+2B.242+2C.2夜+4D.4忘+4

9.(多选题)如图,VABC是边长为1的等边三角形,BD=^BC,点P在以CD为直径的半圆上(含端

点),^AP=xAB+yAC,则()

12

A.y的值不可能大于1B.AD=-AC+-AB

c.AP.AB的最小值为:D.AP.AB的最大值为1

10.(多选题)若等边三角形ABC的边长为2,8D=X8C(0<X<l),E为AC的中点,且交于点

则下列说法正确的是()

1I7

A.当2=—时,AD=-AB+-AC

333

B.若点M为BE1的中点,则2

C.AD.AB+AD.AC为定值

9

D.。5・。石的最小值为-7

16

1L(多选题)已知。为VABC的外心,AB+AC=CO^则()

A.03与AC不共线B.08与。4+0。垂直

C.

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