立体几何解答题十七大题型（学生版）-2024年高考数学重难点题型突破

重难点专题33立体几何解答题十七大题型汇总

dan

题型1中位线法证明线面平行........................................................1

题型2平行四边形法证明线面平行....................................................4

题型3做平行平面证明线面平行......................................................6

题型4线线垂直证明线面平行........................................................8

题型5面面平行.....................................................................10

题型6线线垂直.....................................................................12

题型7线面垂直.....................................................................14

题型8面面垂直.....................................................................17

题型9向量法证明平行与垂直.......................................................19

题型10画图问题....................................................................22

题型11角度问题....................................................................25

题型12距离问题....................................................................27

题型13探索性问题.................................................................29

题型14最值取值范围问题...........................................................32

题型15交线未知型.................................................................35

题型16建系有难度型...............................................................38

题型17几何法的运用...............................................................41

题型1中位线法证明线面平行

【例题1】（2023•陕西汉中•校联考模拟预测）如图，在四棱锥P-ABC。中，底面4BCD为

正方形，PALW^ABCD,PA=4。=2,E为P8的中点，F为AC与BD的交点.

⑴证明：EF〃平面PCD;

(2)求三棱锥E—ABF的体积.

【变式1-1】1.(2023秋•四川泸州•高三校考阶段练习)如图，在四棱锥P-4BCD中,

BD1PC,四边形ABCD是菱形，^ABC=60°,AB=PA=1,PB=VIE是棱PD上的中点.

⑴证明PB〃平面力EC;

(2)求三棱锥C-BDE的体积；

【变式1-1】2.(2023秋•四川南充・高三四川省南充高级中学校考阶段练习)如图，四棱

锥P—4BCD的底面是矩形，PA1底面ABCD,M,N分别为CD,PD的中点，AC与交于

点E,AB=6V2,AD=6,K为P力上一点，PK=^PA.

⑴证明：KE//MN

(2)求证：平面P4C_L平面BMNK.

【变式1-U3.(2023秋•北京・高三北京八中校考阶段练习)如图，在三棱柱4BC-4/©

中，乙4cB=90。，D是线段AC的中点，目4山1平面ABC.

⑴求证：平面占BC1平面44道道；

⑵求证：BiC//平面占8。；

(3)若1XC1(AC=BC=2,求三棱柱力BC-公当的的表面积.

【变式1-U4.(2023秋・上海松江•高三校考阶段练习)如图，在正方体4BCD-4/停以1

中，点M,N,P,E,F分别是48,40,0%,为Ci，BBi的中点.

⑴证明:EF//平面4。止;

(2)求DP与面MNP所成角的正弦值；

【变式1-1】5.(2023秋・广东珠海•高三校考开学考试)在如图所示的四棱锥P-ABCD中,

四边形4BCD为矩形，P41平面4BCD,E为PD的中点.

⑴证明：PB〃平面4CE;

（2）若PA=AD=1,AB=2,求平面ABC与平面4EC的夹角的余弦值.

题型2平行四边形法证明线面平行

【例题2】（2023•陕西西安•校考一模）如图，在直三棱柱—4/传1中，BA1BC,

BA=BC=BBL2,D,E,F分别为44i,B©,AB的中点.

⑴证明：EF〃平面4CC1出；

（2）求直线CE与平面DEF所成角的正弦值.

【变式2-1】1.（2023秋•江苏•高三校联考阶段练习）如图，在四棱锥P-28CD中，底面

4BCD为直角梯形，AD//BC,乙4DC=90。，平面24。1底面是棱PC（不与端点重

合）上的点，MQ分别为24/。的中点，PA^PD=2.BC=^AD=1,CD=V3.

⑴证明：BN〃平面PCD.

(2)当PM的长为何值时，平面QMB与平面PDC的夹角的大小为罗

【变式2-1】2.(2023秋・江苏连云港•高三校考阶段练习)如图，在五面体4BCDEF中,

四边形4BEF为正方形，DF1平面4BEF,CD//EF,DF=2,EF=2CD=2,EN=2NC,

BM=2MA.

(1)求证：MN〃平面2CF；

(2)求直线AD与平面BCE所成角的正弦值

【变式2-1】3.(2023春・山西•高三校联考开学考试)如图，在四棱锥S-4BCD中.平面

SAD1平面4BCD,ADWBC,AB1AD,AD=2AB=2BC,AS=DS,点E,F分别为AS,

CD的中点.

⑴证明：阳1平面5皿

(2)若4B=1,AS=43,求二面角C—AS—F的余弦值.

【变式2-1】4.(2023秋•山西晋城•高三晋城市第一中学校校考阶段练习)已知正方体

4BCD-4止道必的棱长为2,设P,Q分别为棱GD14D1的中点

(1)证明：AQ〃平面尸8。;

(2)求二面角P-BD-C的平面角的余弦值.

题型3做平行平面证明线面平行

【例题3】(2023秋•江西宜春•高三江西省丰城拖船中学校考开学考试)已知直四棱柱

ABCD—A/iCiDi中，底面4BCD为菱形，A4i=6,AB=4,^BAD=60°,E为线段当小

上中点

(1)证明：力£7/平面BC1。;

(2)求CE与平面BCM所成角的正弦值

【变式3-1】1.(2022•四川南充•四川省南充高级中学校考一模)如图，在多面体4BCDEF

中，四边形4BCD与4BEF均为直角梯形，平面4BCD1^^ABEF,AD//BC,AF//BE,AD1AB,

ABLAF.AD=AB^AF=2BC=2BE=2.

D.

⑴已知点G为AF的中点，求证：8G〃平面DCE；

(2)求多面体力BCDEF的体积.

【变式3-1】2.(2023•四川南充模拟预测)如图所示，在圆锥。。中，。为圆锥的顶点，。

为底面圆圆心，AB是圆。的直径，C为底面圆周上一点，四边形力ODE是矩形.

⑴若点尸是BC的中点，求证：DF〃平面4CE;

(2)若=24BAC=^ACE=求三棱锥力-CDE的体积.

【变式3-1】3.(2023秋•四川眉山•高三校考阶段练习)如图所示，在圆锥。。中，。为圆

锥的顶点，。为底面圆圆心，4B是圆。的直径，C为底面圆周上一点，四边形40DE是矩形.

⑴若点F是BC的中点，求证：DF〃平面4CE;

(2)若AB=2/B4C=AACE=垓求直线CD与平面4BDE所成角的余弦值.

【变式3-1】4.(2023•湖南永州•统考一模)如图所示，在四棱锥P—力BCD中，底面4BCD

为矩形，侧面PAD为正三角形，且AD=24B=4,M、N分别为PD、BC的中点，”在线段PC

上，S.PC=3PH.

P

(2)当1PC时，求平面力MN与平面"MN的夹角的余弦值.

【变式3-1】5.(2023•甘肃陇南•统考一模)如图，在正三棱柱4BC-中,D,E分别

为棱的中点，AB=2.

(1)证明：DE〃平面ACC1A1.

(2)若三棱锥4-&DC的体积为手，求点4到平面CDE的距离.

题型4线线垂直证明线面平行

【例题4】(2023秋•江苏•高三校联考阶段练习)如图，三棱锥A-BCD中，ABL^BCD,

E是空间中一点，且4E1平面ABC.

E

AT\

Vx\

\\\

\、\

\、.\

B\’3

\

C

⑴证明：4E〃平面BCD;

(2)若BD1CD.AB=BD=CD,求平面CAE与平面ZME的夹角的余弦值.

【变式4-1】1.(2023秋•江苏扬州•高三统考开学考试)如图，在多面体力BCDE中，AB1

平面BCD,平面ECD1平面BCD,其中△ECD是边长为2的正三角形，&BCD是以乙BDC

为直角的等腰三角形.

(1)证明：力B〃平面CDE；

(2)若平面4CE与平面BDE的夹角的余弦值为小/否，求线段的长度.

【变式4-1】2.(2023秋・河南洛阳•高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习)如图，在多

面体力BCDE中,平面4CD1平面4B&BE1平面力BC,△4BC和△4CD均为正三角形，

AC=2,BE=g，点M为棱CD上一点.

D

⑴求证：DE〃平面ABC;

(2)若M为DC中点，求平面4MB与平面4CD所成锐二面角的余弦值.

【变式4-1】3.(2022・新疆•统考三模)多面体ABDEC中，^BCD与MBC均为边长为2

的等边三角形，ACDE为腰长为函的等腰三角形，平面CDE，平面BCD,平面ABC，平面

BCD,F为BC的中点.

D

(1)求证：2FII平面ECD;

(2)求多面体ABDEC的体积.

题型5面面平行

【例题5】(2023秋•宁夏银川•高三银川一中校考阶段练习)如图，在四棱锥P-力BCD中,

PD1平面力BCD,且四边形ABCD是正方形，E,F,G分另1|是棱BC,AD,P4的中点.

P

G

c

/\/D

/X...

/F'''/E

AT-

⑴求证：PE〃平面BFG；

(2)若PD=AB=2,求异面直线PH与BF所成角的余弦值.

【变式5-1】1.(2022秋•黑龙江哈尔滨•高三哈师大附中校考期中)如图，AAltBBi为圆

柱。01的母线，BC是底面圆。的直径，D,E分别是A4i,CBi的中点，DE1面

*、

：£'%\

•/C'

7y-o

B------------------

⑴证明：DE〃平面ABC；

(2)若BBi=BC,求平面&B1C与平面BDC的夹角余弦值.

【变式5-1】2.(2023・河南•校联考模拟预测)如图，在四棱锥S-4BCD中，AB//CD,

AB1BC,SA=SD=1,AB=2CD=2BC=2,SB=遮，点M为棱CD的中点，点N在棱SA

上，且4N=3SN.

(1)证明：MN〃平面SBC;

⑵求直线sc与平面SBD所成角的正弦值.

【变式5-1】3.（2023秋•陕西商洛•高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）如图，在直三

棱柱ABC—4*1的中，AC=2BC=CC1=2,D,E,F分别是棱&的，BC,AC的中点，

AB1BC.

.4,«—5~

/•

B

⑴证明：平面ABDII平面FECi；

（2）求点F到平面4BD的距离.

【变式5-1】4.（2024•全国•高三专题练习）如图，在四棱锥P-4BCD中，

^ABC=ACDA=^°,乙84。=120。，AB=AL)=2,E为PC的中点

P

BA

⑴求证：BEII平面PAD;

(2)若PC=PD=2疗平面PCD1平面ABCD,求二面角B-CP-。的余弦值.

题型6线线垂直

A/WWWWWWWWWWWWWW\^VWWW

!F均#6

线面垂直的性质定理，与面面垂直均可判定线线垂直

*/WWSAAA^^A/W\AA^^A/\AA/\A/^A/\AAA/\AA/\/SAA/WXA/S/SAAA/\AAAAAAAAAAA/X/\A/W\A/\/^\AA/\AAA/W\A/\^^/VSAA/\A/\AA/\AAA/SAA/W\A/\/\AA/W\A^/,

【例题6】(2023•辽宁抚顺•校考模拟预测)如图，在几何体ABCDEF中，CD1平面ABC,

CD=A.AE(0<2<1),侧面ABFE为正方形，AB=BC—2,M为AB的中点，

NCMF=90°.

A

⑴证明:DM1AB;

（2）若直线MF与平面DME所成角的正弦值为半，求实数A的值.

【变式6-1】1.（2023秋•四川成都・高三石室中学校考阶段练习）如图，在几何体4BCDEF

中，平面四边形ABCD是菱形，平面BOEF1平面4BCD,DF//BE,且DF=2BE=2,

⑴证明：BELAD；

⑵若COSNBAD=I，求点B到平面AEF的距离.

【变式6-1】2.（2023秋•四川成都・高三石室中学校考阶段练习）如图，在几何体48CDEF

中，平面四边形ABC。是菱形，平面8DFE1平面4BCD,DF//BE,且DF=2BE=2,

EF=3,BD=2V2.

F

DIC

A

⑴证明：BELAD

(2)若二面角力-EF-C是直二面角，求直线AE与直线FC所成角的余弦值.

【变式6-1]3.(2023秋・广东茂名•高三信宜市第二中学校考阶段练习)在四棱锥P-ABCD

中，底面4BCD为直角梯形，PA=PD,BC||1=CD=1/D=2,E,F分别为

4D,PC的中点，PE1CD.

⑴证明：PEA.BD;

(2)若PC与4B所成角为45。，求平面FBE与平面BCE所成角的余弦值

【变式6-1】4.(2023•全国•高三专题练习)如图所示，菱形4BCD的对角线AC与BD交于

点。，点艮F分别为CD的中点，EF交BD于点乩将△DEF沿EF折起到△〃四的位

置.

(2)若4B=4C=4,AO=2,OD'=V6,求二面角。—AC-。的大小.

题型7线面垂直

P2=2,NBZC=90。，P41平面4BC,D为PC上一点，且PD=4CD

⑴证明：PC1平面4BD;

(2)若E为P8上一点，DELPB,求三棱锥P—ADE的体积.

【变式7-1】1.(2023秋•浙江•高三校联考阶段练习)在正三棱台力BC-a仍。中，侧棱

长为1,且8。=231。1=2万为8停1的中点，。为力公上的点，S.DElBBi，

(1)证明：DE1平面BCJBi,并求出4D的长;

(2)求平面BDE与平面4BC夹角的余弦值.

【变式7-1】2.(2023秋・河北石家庄•高三石家庄市第二十七中学校考阶段练习)如图,

在三棱锥s—BCD中，E是BC的中点，△SCD与aSB。均为正三角形.

⑴证明：BCA.SD.

(2)若BE=DE,点F满足豆=无，求二面角F—BS—D的正弦值.

【变式7-1】3.(2023•陕西商洛•陕西省丹凤中学校考模拟预测)如图，四棱锥P—4BCD

的底面4BCD是边长为2的菱形，乙4BC=60。，AP=AB,PB=2^2,平面P4B1平面

ABCD,E,F分别为CD,PB的中点.

(1)证明：CD1平面PAE;

(2)求点力到平面PEF的距离.

【变式7-1]4.(2023秋•江苏常州•高三校联考阶段练习)四棱锥P-4BCD中，底面ABCD

为直角梯形，AB//CD,AB±BC,AB=2,BC=1,平面PAD,底面ABCD,SAD为等腰

直角三角形，PA=PD,M为PC上一点，PM=2MC,P4〃平面MBD.

p

⑴求CD的长度；

（2）求证：PA，平面PBD;

⑶求PA与平面PBC所成角的正弦值.

题型8面面垂直

【例题8】（2023秋•四川宜宾•高三校考阶段练习）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和;

个圆柱拼接而成CE,2G在同一平面内，且CG=DG.

⑴证明：平面平面BCG；

（2）若直线GC与平面4BG所成角的正弦值为半，求平面BFD与平面ABG所成角的余弦值

【变式8-1]1.（2023秋•安徽•高三校联考阶段练习）如图所示的几何体是一个圆柱沿轴

截面A8CD切开后剩余的一半，力B=l,BC=2,O,。1分别为底面直径BC,4）的中点，G

是丽的中点，H是曲上的动点.

coB

H

⑴证明：平面D0G1平面4BCD;

（2）若BH=V2,求直线BH与平面DOG所成角的正弦值.

【变式8-1]2.（2023秋广西•高三统考阶段练习）如图，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD

中，ABAD=120°,AB=PA=PB=2,PD=V10.

P

⑴证明：平面P4B1平面4BCD.

（2）求二面角B-PA-。的余弦值.

【变式8-1】3.（2023秋•福建福州•高三福建省福清第一中学校考阶段练习）如图，在四

棱锥P-4BCD中，PC1底面4BCD/BCD是直角梯形，

AD1DC,AB||DC,AB=2AD=2CD=2,点E是PB的中点.

⑵若直线PB与平面P4所成角的正弦值为弓，求平面P"与平面"E所成角的余弦值

【变式8-1]4.（2023秋•江西新余•高三新余市第一中学校考开学考试）在四棱锥P-ABCD

中，底面力BCD是梯形，AB//CD,AB1BC,AB=2CD,侧棱P4=PB=PC.

⑴证明：平面PAC1平面4BCD;

(2)若PA=AB=BC,Q是PD的中点，求二面角Q—BC—D的正弦值.

题型9向量法证明平行与垂直

【例题91(2023秋•天津红桥•高三天津市瑞景中学校考阶段练习)如图，在三棱柱2BC-乙防

Ci中，或11平面43&"18a4。=8。=2,CG=3,点。,E分别在棱4冬和棱CC】上，且

AD=1,CE=2,M为棱4B1的中点.

(1)求证：CjMJ.B1D;

(2)求平面B&E与平面/ED夹角的余弦值

(3)求直线A8与平面。8亚所成角的正弦值.

(4)求点B到平面OBm的距离.

【变式9-1】1.（2023秋•山东滨州•高三校联考阶段练习）如图，在多面体ABCDEF中,

四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，ADWBC,AFWBE,D41平面ABEF,ABLAF,

AD=AB=2BC=2BE=2.

⑴已知点G为AF上一点，AG=AD,求证：BG与平面DCE不平行；

（2）已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为g,求点F到平面DCE的距离.

【变式9-1]2.（2023秋•陕西西安•高三阶段练习）如图，在直三棱柱ABC-&B©中，

底面4BC是等腰直角三角形，且力B1BC,M是4Q上靠近点Ci的三等分点，N是的中

点，

AA1=2AB=2.

4N1平面AiMN;

（2）求平面

力与平面

&MN所成锐二面角的正弦值.

【变式9-1】3.（2023秋・北京•高三东直门中学校考阶段练习）如图，在四棱锥P-4BCD

中，底面4BCD为正方形，PD1平面ABCD,PD=AB,点E、F、G分另U为PC、P4、BC的中

点

(1)求证：FG〃平面PCD；

(2)求平面EFG与平面PAD所成锐二面角的余弦值；

(3)求直线DE与平面EFG所成角的大小.

【变式9-1】4.(2023秋・天津北辰・高三校考阶段练习)已知底面4BCD是正方形，PA1

平面ABC，PA//DQ,P2=4D=3DQ=3,点民F分别为线段PB、CQ的中点.

------------%

⑴求证：EF〃平面P2DQ；

(2)求直线EF与平面PCQ夹角的正弦值；

⑶求点F到面PAC的距离

【变式9-1】5.(2023秋•全国•高三校联考阶段练习)如图，已知多面体ABCDEF的底面

ABCD为矩形，四边形BDEF为平行四边形，平面FBC，平面ABCD,FB=FC=BC=1,

AB=2,G是CF的中点.

⑴证明:BGII平面AEF；

(2)求直线AE与平面BDEF所成角的余弦值.

题型10画图问题

【例题10】(2023•全国•高三专题练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PBC1平面

ABCD,底面4BCD是矩形，O,E分别是B&P4的中点，平面a经过点O,D,E与棱PB交于点F.

(1)试用所学知识确定F在棱PB上的位置；

(2)若PB=PC=V3,5C=2AB=2,求EF与平面PCD所成角的正弦值.

【变式10-1】1.(2023秋•福建厦门•高三厦门大学附属科技中学校考阶段练习)如图，在

多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形,AF1平面ABCD,AFWDE,AB=AF^2DE^2,

M是线段BF上的一动点，过点M和直线AD的平面a与FC,EC分别交于P,Q两点.

⑴若M为BF的中点，请在图中作出线段PQ,并说明P,Q的位置及理由;

(2)线段BF上是否存在点M,使得直线AC与平面a所成角的正弦值为笔？若存在，求出

MB的长；若不存在，请说明理由.

【变式10-1]2.(2023秋・安徽・高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习)如图,

在棱长为a的正方体4BCD—4/13%中，M,N分别是力公，的外中点，过0,M,N三点

的平面与正方体的下底面公比。1。1相交于直线

⑴画出直线珀勺位置，并说明作图依据；

(2)正方体被平面DMN截成两部分，求较小部分几何体的体积.

【变式10-1】3.(2023•河南•校联考模拟预测)如图，在四棱锥P—4BCD中，平面PBC1

平面4BCD,底面4BCD是正方形，O,E分别是BC,P力的中点，平面a经过点。,£»£目与棱PB

交于点F.

(1)试用所学知识确定F在棱PB上的位置；

(2)若PB=PC=CD=2,求多面体POCDEF的体积.

【变式10-1】4.(2023•陕西西安・西安市大明宫中学校考模拟预测)如图，在四棱锥

P—4BCD中，BC//AD,AD=2BC,M是棱PD上靠近点P的三等分点.

⑴证明：PB〃平面MAC；

(2)画出平面PAB与平面PCD的交线I,并说明理由；

⑶在(2)的条件下，若平面PAD1平面ABCD,ABIAD,PAA.AD,

PA=AD=2AB=2,求I与平面MAC所成角的正弦值.

【变式10-1】5.(2023•广东汕头•金山中学校考三模)如图，圆台0。2的轴截面为等腰梯

形AiACCi,AC=2AA1=2&Ci=4,B为底面圆周上异于4c的点.

(1)在平面BCCi内，过Ci作一条直线与平面44B平行，并说明理由；

(2)若四棱锥B-&4CC1的体积为2g,设平面4MBn平面QCB=l,QEl,求|CQ|的最小值.

【变式10-1】6.(2023秋•湖南长沙•高三湖南师大附中校考阶段练习)如图，在多面体

ABCDEF^,四边形4BCD为正方形，4F1平面ABC。，AFWDE,AB=AF=2DE=2,M是

线段BF上的一动点，过点M和直线4。的平面a与FC,EC分别交于P,Q两点.

F

E

D

BH

(1)若“为BF的中点，请在图中作出线段PQ,并说明P,Q的位置及作法理由;

(2)线段BF上是否存在点M,使得直线AC与平面a所成角的正弦值为噜？若存在，求出M8的

长；若不存在，请说明理由.

题型11角度问题

【例题11】(2023秋•山西运城•高三校考阶段练习)如图，已知四棱锥P-4BCD中，底面

4BCD为矩形，侧棱P41底面ABCD,PA=AB=2,AD=4,M为侧棱PC的中点.

(1)求异面直线AM与PB所成角;

(2)求直线与平面BPC所成角的正弦值.

【变式11-U1.(2023秋•内蒙古赤峰・高三赤峰二中校考阶段练习)如图，在三棱锥U-ABC

中，匕41平面ABC,VA=AB=BC=1,ABIBC,M是，8的中点，N为8C上的动点.

(1)证明：平面AMN1平面U8C；

(2)VC〃平面4MN时，求平面2MN与平面4BC夹角的余弦值.

【变式11-1】2.(2023秋•重庆沙坪坝•高三重庆一中校考阶段练习)如图，已知在三棱锥

A-BCD中，DA=DB=DC=AB=4&E为BC的中点.

JC""""/I

//\\////

DH

⑴证明：BC1AD;

(2)若乙4BC=4DEF为平行四边形，求二面角D-AC-F的正弦值.

【变式11-1】3.(2023秋•黑龙江大庆•高三大庆市东风中学校考阶段练习)如图，在四棱

锥P—4BCD中，P4_L平面4BCD,AD//BC,BC1CD,^ABC=^,CD=CE=^BE=1,

PA=AD=2,F为PD的中点.

⑴证明：ABLPE;

(2)求二面角力-EF-。的平面角的余弦值.

【变式11-1]4.(2023・湖北武汉・华中师大一附中校考模拟预测)已知三棱锥P-4BC的

四个顶点均在半径为我的球面上，且P4=PB=PC=4C=BC,AC1BC,N为4B的中点.

1

(1)证明:PN1平面ABC

(2)若M是线段PC上的点，且平面M4B与平面P4B的夹角为45。.求力M与平面PBC所成角的

正弦值.

【变式11-1】5.(2023秋云南•高三云南师大附中校考阶段练习)如图，在三棱柱力BC-公

名的中，△ABC为正三角形目与aBiBC全等，D为BC的中点，BD=1,平面BB1C1CI

平面ABC.

B

(1)证明：ADIBB"

(2)求平面与平面AD。所成角的正弦值.

题型12距离问题

【例题12】(2023秋•山东潍坊・高三统考阶段练习)如图，三棱柱ABC-&B1C1中，AAt

=4,4iC_L底面ABC,乙4cB=90°,AC=A1C.

(1)求点41到平面BCC/i的距离；

(2)若直线4公与8班距离为4,求4B与平面BCC/1所成角的正弦值.

【变式12-1]1.(2023秋・云南・高三云南师大附中校考阶段练习)如图，在三棱锥P-ABC

中，P41平面ABC,PA=BC=2,AB=PC=遮

⑴求点B到平面P4C的距离；

(2)设点E为线段PB的中点求二面角4-CE-B的正弦值.

【变式12-1】2.(2023秋•山西大同•高三大同一中校考阶段练习)如图，在正三棱柱

4BC—4$停1中，已知48=441=2,。是的中点.

⑴求直线CCi与DBi所成角的正切值;

(2)求点B到平面CD%的距离.

【变式12-1】3.(2023•江西南昌•校考模拟预测)如图，直三棱柱ABC-&B©的体积为

4,△&8。的面积为2金.

B

⑴求4到平面HBC的距离;

(2)设D为&C的中点，AAX=AB,平面&BC1平面4BB遇1,求二面角4—BD—C的大小.

【变式12-1】4.(2023秋•黑龙江哈尔滨・高三哈师大附中校考阶段练习)已知正四棱柱

4BCD—4/道1%中，AB=1,AA1=2,E为线段&Bi的中点，F为线段的中点.

(1)求直线SB】与平面4EC1所成角的正弦值；

(2)证明：直线FC〃平面AECi并且求出直线FC到平面AEG的距离.

题型13探索性问题

【例题13】(2023秋・河南•高三校联考阶段练习)如图1,在矩形4BCD中，

AD=l,CD=AAD(A>0),延长B4到点M,S.MA=1.现将△MAD沿着力。折起，到达△PAD

的位置，使得PA1AB,如图2所示.过棱PD的中点E作EF1PC于点F.

(1)若48=4,求线段4F的长；

(2)若平面2EF与平面4BCD夹角的余弦值为华，求4的值.

【变式13-1】1.(2023•全国•高三专题练习)如图，在四棱台4BCD—4B1C1D1中，底面

4BCD是菱形，48=2441=24/1=2,乙4BC=60。，4公！平面4BCD.

4D、

/1K.X

，.一\

k~T

(1)证明：BD1CQ;

(2)棱BC上是否存在一点E,使得二面角E-A/-D的余弦值为?若存在，求线段CE的长;

若不存在，请说明理由.

【变式13-1】2.(2023浙江模拟预测)如图，在四面体4BCD中，“分别是线段gBD

的中点，/_ABD=90°,FC=42,AB=BD=2CF=2.

⑴证明：EF1平面BCD；

(2)是否存在BC,使得平面4CE与平面BCE的夹角的余弦值为g?若存在,求出此时BC的长度;

若不存在，请说明理由.

【变式13-1]3.（2023秋・北京・高三北京市第五中学校考阶段练习）如图，在直角梯形ABCD

中，AB//CD,N£MB=90。，AD=DC=以直线为轴，将直角梯形4BCD旋转得到直

角梯形4BEF,且AF14D.

⑴求证：DF〃平面BCE;

（2）在线段DF上是否存在点P,使得直线曲和平面8CP所成角的正弦值为竽？若存在，求出

器的值；若不存在，说明理由.

【变式13-1]4.（2023秋・福建福州•高三福建省福州格致中学校考阶段练习）在四棱锥

P-ABCD^,底面4BCD为矩形，点P在平面4BCD内的投影落在棱力。上，AD=3.

（2）若PB=g,PC=46,当四棱锥P-4BCD的体积最大时，求平面PDC与平面PBC的夹角

的余弦值.

【变式13-1】5.（2023秋•山东潍坊•高三统考阶段练习）把矩形Oi/FB以。1。2所在的直

线为轴旋转180。，得到几何体如图所示.其中等腰梯形ABCD为下底面的内接四边形，目

4B=24。=2,点G为上底面一点，目CG||。1。2,0^2=1.

G

⑴若P为OE的中点,求证:4P1平面BDE;

(2)设5?=4族，A£[0,1],试确定力的值，使得直线4P与平面28G所成角的正弦值为嘤I

题型14最值取值范围问题

【例题14】(2023秋・湖南•高三湖南省祁东县第一中学校联考阶段练习)如图，在四棱锥

P—4BCD中，底面ABCD是正方形，AB=2,PA=PD=V5,E为BC的中点.

P

⑴证明：ADIPE.

(2)若二面角P-AD-B的平面角为g,G是线段PC上的一个动点，求直线DG与平面PAB

所成角的最大值.

【变式14-1】1.(2023春・浙江杭州•高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习)如图，A.M

为圆柱。1。2的一条母线，且。道2=2。遇1.过点公且不与圆柱底面平行的平面a与平面。遇1

“。2垂直，轴。1。2与a交于点。，平面a截圆柱的侧面得到一条闭合截线，截线与平面。遇iM

。2的另一交点为4.已知该截线为一椭圆，目&&和B/2分别为其长轴和短轴，。为其中心.

N为为在上底面内的射影.记椭圆的离心率为e.

(1)求e的取值范围；

(2)当0=答时，求直线MN与平面a所成的角的正弦值.

【变式14-1】2.(2023•海南・统考模拟预测)如图，在平面四边形4BC0中,AD1BD,

BC1DC.BC=DC=AD=2,将△4BD沿BD向上折起，使得平面/BD与平面4CD所成的锐

二面角的平面角最大.

(1)求该几何体中任意两点间的距离的最大值；

(2)若DE14C,垂足为E,点F是4B上一点，证明：平面。EF1平面4BC.

【变式14-1】3.(2023・全国•高三对口高考)如图，AB是圆。的直径，点C是圆。上异

于A,B的点，PO垂直于圆。所在的平面，且PO=OB=1,

P

(1)若D为线段AC的中点，求证：AC,平面PDO;

(2)求三棱锥P-ABC体积的最大值;

⑶若阮=也点£在线段PB上，求CE+OE的最小值

【变式14-1]4,（2023•全国•高三专题练习）如图，在正四棱柱4BCD-4$1的小中，

AB=2,4&=4.点42、&、。2、刈分别在棱441、咽、CCls皿上,AA2=1,BB2=D

。2=2,CC2=3.

⑴求多面体力2B2c2。2公的体积;

（2）当点P在棱BBi上运动时（包括端点），求二面角P-42c2-B2的余弦值的绝对值的取值

范围.

【变式14-1】5.（2023•西藏日喀则•统考一模）《九章算术・商功》："斜解立方，得两堑堵.

斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖月需.阳马居二，鳖月需居一，不易之率也.合两鳖月需三而一，验

之以蒸，其形露矣刘徽注："此术月需者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名

云.中破阳马，得两鳖月需,鳖月需之起数，数同而实据半，故云六而一即得

如图，在鳖月需ABCD中，侧棱AB，底面BCD;

A

A

(1)若4B=1,BC=2,CD=1,试求异面直线AC与BD所成角的余弦值.

(2)若BD1CD,4B=BD=CD=2,点P在棱AC上运动.试求△PBD面积的最小值.

【变式14-1】6.(2023逢国•高三专题练习)如图①所示，长方形力BCD中，AD=2,

4B=3,点M是边CD靠近点C的三等分点，将“DM沿4M翻折到”4",连接PB,PC,得

到图②的四棱锥P-ABCM.

⑴求四棱锥P-&BCM的体积的最大值；

(2)设P-AM-。的大小为8,若。e(0,日,求平面P4M和平面PBC夹角余弦值的最小值

题型15交线未知型

【例题15】(2023秋•贵州贵阳•高三校联考阶段练习)如图，在四棱锥P-力BCD中，底面

4BCD是正方形，AD=2,PA=PD=V2,平面PAD1平面4BCD,若平面P4B与平面PCD

相交于直线。"为CD的中点.

(1)证明：直线/，平面PHD；

(2)若丽=痴，求直线DN与平面4PM所成角的正弦值.

【变式(2023秋•贵州贵阳•高三统考开学考试)如图，△ABC是正三角形，四边

形4BB遇1是矩形，平面ABB遇11平面ABC,CC11平面4BC,点M为力B中点,AB=2,AAX=2C

Ci.

B

(1)设直线/为平面48c与平面的交线，求证：1//AB-,

(2)若三棱锥M-4i&Ci的体积为竽，求平面MBiQ与平面48B14夹角的余弦值.

【变式15-1】2.(2023春•北京东城•高三北京市第十一中学校考阶段练习)如图所示，在

直三棱柱4BC-4B1G中,ACLBC,4C=BC=CQ=2,点2E分别为棱A的、公的的

中点，点F是线段上的点(不包括两个端点).

(1)设平面。£1尸与平面48。相交于直线小，求证：AiBj/m;

1RF

(2)是否存在一点F,使得二面角C-A。-尸的余弦值为》如果存在，求出两的值；如果不

存在，说明理由；

(3)当F为线段BBi的中点时，求点B到平面AC*的距离.

【变式15-1】3.(2021秋广东广州•高三西关外国语学校校考阶段练习)如图，在等腰梯

形48CD中，AB//CD,AB=2CD=2AD2,矩形4BEF所在的平面垂直于平面A8CD,设

平面BDE与平面力DF的交线为

(1)求证：21平面力BCD;

(2)若4F的长度为|,求二面角E—CD—4的大小.

【变式15-1】4.(2023•全国•高三专题练习)在等腰直角三角形4BC中，乙4BC=90。，点

分别为的中点，如图1,将A4DE沿DE折起，使点4到达点P的位置，且平面PDE1

平面DBCE,连接P&PB,如图2.

(1)证明：平面PDE和平面PBC必定存在交线。目直线DE〃/;

⑵若F为PB的中点，求证：DF1平面PBC;

(3)当三棱锥P-DBC的体积为小寸，求点B到平面PEC的距离.

【变式15-1】5.(2023•全国•高三专题练习)已知四棱锥P-4BCD的底面为梯形ABCO,

S.AB//CD,y,PA1AD,AB=AD=1,CD=2,平面尸AD1平面ABC。，平面PZ。n平面

PBC=l.

AB

(1)判断直线侨口BC的位置关系，并说明理由；

(2)若点。到平面PBC的距离为|,请从下列①②中选出一个作为已知条件，求二面角B-D

余弦值大小.

@CDLAD;

②NP4B为二面角P-AD-B的平面角.

题型16建系有难度型

【例题16】(2023•福建龙岩•统考二模)三棱柱力BC—力iBiCi中，AB1AC,AB=AC=2,

侧面4遇“1为矩形，乙448=半，三棱锥C1-4BC的体积为争.

⑴求侧棱的长;

(2)侧棱CCi上是否存在点E,使得直线4E与平面&BC所成角的正弦值为g?若存在，求出线

段CiE的长；若不存在，请说明理由.

【变式16-1】1.(2024秋・湖南永州•高三永州市第一中学校考阶段练习)如图，在三棱台

ABC—AiB©中，面44心。1面ABC,^ACAX=AACB=45°,A1C=2BC=4

⑴证明:B1C1LA1B-I

(2)若棱台的体积为竽，2。=手4道，求二面角BC-%的余弦值.

Z1o

【变式16-1]2.(2023秋湖南衡阳•高三衡阳市八中校考阶段练习)如图所示，△ABC为

等边三角形，应41平面ABC,EA//BD,AB=BD=2,AE=1,M为线段AB上一动点.

D

\•六令c

X-/:-7

4/

R

(1)若M为线段的中点，证明：ED1MC.

(2)若4M=3MB,求二面角。—CM—E的余弦值.

【变式16-1】3.(2022秋•江苏常州•高三常州市第三中学校联考阶段练习)如图，在三棱

柱4BC—41B1C1中，48=4。=2,。为8。的中点，平面BBiQC_L平面4BC

(1)证明：4D1平面BBiCiC;

(2)己知四边形BBiCiC为边长为2的菱形，目NBiBC=60°,求二面角D—4Q-C的余弦值.

【变式16-1】4.(2023•全国•高三专题练习)如图1,等腰梯形4ECD是由三个全等的等边

三角形拼成，现将△BCE沿BC翻折至aBCP,使得PD=|dB,如图2所示.

⑴求证：PDLBC;

(2)在直线PD上是否存在点M,使得直线与平面4PD所成角的余弦值为半？若存在，求

出券的值；若不存在，说明理由.

【变式16-1】5.(2023•河南•校联考模拟预测)如图，在四棱锥P-4BCD中，

28=BC=亨，AD=CD=AC=2®E,F分别为4C,的中点，点G在PF上，且G为三

角形PCD的重心.

P

小

⑴证明：GE〃平面PBC；

(2)若P4=PC,PAVCD,四棱推P—ABCD的体积为3g,求直线GE与平面PCD所成角的正

弦值.

【变式16-1】6.(2023•全国模拟预测)已知菱形ABCD中，AB=BD=1,四边形BDEF

为正方形，满足乙4BF=^,连接AE,AF,CE,CF.

⑴证明:CF1AE;

(2)求直线AE与平面BDEF所成角的正弦值.

题型17几何法的运用

【例题17】(2023・四川成都•校联考二模)如图，平面4BCD1平面ABS,四边形4BCD为矩

形，aaBS为正三角形，SA=V2BC,。为AB的中点.

⑴证明：平面SOC1平面BDS;

(2)已知四棱锥S-40CD的体积为苧，求点。到平面SOC的距离.

【变式17-1】1.(2023•河南•襄城高中校联考三模)如图，在正四棱台4BCD-A1B1C1D1

中，AB=2A1B1,441=8，M,N为棱防的，的中点，棱48上存在一点E,使得&引1

平面BMND.

(2)当正四棱台4BCD—//lCiDi的体积最大时，证明：。母1平面BMND.

【变式17-1】2.(2023・重庆•统考三模)如图，四面体ABCD的顶点都在以AB为直径的

球面上，底面BCD是边长为旧的等边三角形，球心。到底面的距离为1.

(1)求球。的表面积；

(2)求二面角8-AC-。的余弦值.

【变式17-1】3.(2023春•江西•高三校联考阶段练习)如图①，在等腰梯形力BCD中，

AD||BC,AD=3,BC="BCD=60°,而=ABC(0</l<1),现将△CDE沿DE翻折至I」△PDE

的位置，且平面PDE1平面力DEB,如图②.

⑴当4=|时，求力P；

(2)当三棱锥P—4BD的体积为写时，求4的值.

【变式17-1】4.(2023秋・广东阳江•高三统考开学考试)在正三棱台ABC-&BiCi中,

AB=6,A1B1=AA1=3,。为41cl中点，E在咽上，~EB=2B^E.

(1)请作出公邑与平面CDE的交点M,并写出与MB】的比值(在图中保留作图痕迹，不

必写出画法和理由)；

(2)求直线BM与平面4BC所成角的正弦值.

【变式17-1】5.(2024・全国•高三专题练习)如图，在梯形4BCD中，AB||CD,

AD=DC=CB=1,4ABe=6Q°,四边形力CFE为矩形，平面ACFE1平面4BCD,