求数列的通项公式【14类题型】(原卷版)-2025年高考数学复习题型重难点专项突破_第1页
求数列的通项公式【14类题型】(原卷版)-2025年高考数学复习题型重难点专项突破_第2页
求数列的通项公式【14类题型】(原卷版)-2025年高考数学复习题型重难点专项突破_第3页
求数列的通项公式【14类题型】(原卷版)-2025年高考数学复习题型重难点专项突破_第4页
求数列的通项公式【14类题型】(原卷版)-2025年高考数学复习题型重难点专项突破_第5页
已阅读5页,还剩18页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

专题7-1求数列的通项公式14类题型汇总

近5年考情(2020-2024)

考题统计考点分析考点要求

2024年甲(理)第18(1),5分

2023年甲(理)第17(1),5分

2023年H卷第18(1),5分高考对数列通项的考查相对

稳定,考查内容、频率、题型、

2023年I卷第20(1),5分

难度均变化不大.数列通项问掌握数列通项的几种常见

2022年I卷第17(1),5分题以解答题的形式为主,偶尔方法.

出现在选择填空题当中,常结

2022年甲(理)第17(1),5分

合函数、不等式综合考查.

2021年乙(理)第19题,12分

2021年I卷,第17(1),5分

模块一\热点题型解读(目录)

【题型1】由即与S,关系求通项(三类题型)

【题型2】因式分解型(正项数列)

【题型3】已知等差或等比求通项

【题型4】累加法

【题型5】累乘法

【题型6】前n项之积Tn

【题型7】取倒数

【题型8]构造1:形如an+1=pan+q型的递推式

【题型9]构造2:形如an+i=pan+kn+b型的递推式

11

【题型10]构造3:形如an+i=pan+rq型的递推式

【题型11]构造4:形如a-i=詈詈型的递推式

pan十q

【题型12]构造5:形如an+2=pan+1+qan型的递推式

【题型12】奇偶相间讨论型(奇偶数列)

【题型13】隔项等差

【题型14】隔项等比(积为等比与和为等比)

模块二1核心题型•举一反三

【题型1】由a〃与S”关系求通项(三类题型)

基础知识

S“与4同时存在

角度1:已知S〃与的关系;用S“-S“T,得到例:已知4S.=4+1)2,求%

或S〃与〃的关系

角度2:已知4与S“_S”的关系;s"一S"_1替换题中的例:已知24=S£_i(〃N2);

或%与7^7+的关系已次口=4+i—

_n作差法例子:已知%+24+3。3+…+na=2"求见

角度3:等式中左侧含有:Z岫n

i=l(类似5„一S“_1)

模板解决步骤

第一步:写出当几.2时,的表达式.

T

第二步:利用=5”—S“(”..2)求出an或将条件转化为an的递推关系.

第三步:如果第二步求出4,那么根据为=工求出4,并代入{a“}的通项公式,注意要进行验证,

若成立,则合并;若不成立,则写成分段的形式.如果第二步求出%的递推关系,那么通过递推公

式求功,.

忽略对”=1的单独讨论是常见的错误

类型一用J-%,得到a”

1.在数列也,}中,前〃项和S“=72(2W-1)4,则数列{%}的通项公式为.

2V

2.(2022・全国•甲卷高考真题)记S“为数列{见}的前"项和.已知一+”=2%+1,证明:{4}是等

n

差数列

【巩固练习1】(2023•全国•高考甲卷真题)设S“为数列{《,}的前见项和,已知外=1,2S,=nan,求{%}

的通项公式.

【巩固练习2]已知数列{%}的前力项和为S,若%=1,2S,=4+「则数列{q}的通项公式________.

【巩固练习3】(2024•全国.甲卷高考真题)记S”为数列{册}的前〃项和,已知4s“=3%+4,求{%}的

通项公式.

类型二等式中左侧含有:之她

1=1

3.(2024・江苏•一模)已知正项数列{凡}满足一^十一^+…+―若%-2%=7,

则=()

A.—B.1C.—D.2

32

【巩固练习1]已知数列{%}的前W项和为S",且有2q+2七2+2%3+…+2%“=”-2".求数列{%}的

通项公式.

【巩固练习2]在数列{%}中,?+•?+…+含=1+",求{%}的通项公式.

类型三消4求r:将题意中的4用S,「S“T替换

4.设S”为数列{%}的前〃项和,已知V〃eN*,a“>0,a;+l=2a£,求

2s2

【巩固练习1】在数列{%}中,%=1,%=-^―,则{%}的通项公式为_________________.

23〃-1

【巩固练习2】已知数列{。“}的前〃项和为鼠,工=1,。川21+4,且。用=2(用+底),求通项

公式凡.

【题型2】因式分解型(正项数列)

基础知识

对于式子中有提到%>0且出现二次式可以考虑利用十字相乘进行因式分解.

5.已知各项为正数的数列{%}的前〃项和为%满足S“+I+S“=ga3,q=2.求数列{%}的通项公

【巩固练习1】记s.为数列{见}的前〃项和.已知二2+“=2%+1.证明:{%}是等差数列;

n

【巩固练习2】已知数列{%}的前〃项和S“,且满足2S,+4=1,求{4}的通项公式;

【巩固练习3]已知数列{4}是递增数列,其前“项和S”满足2'=";+〃.证明:{%}是等差数列

【题型3】已知等差或等比求通项

基础知识

当题目中给了数列为等差或等比时,可以从前几项入手求基本量,不要再去消S,

6.已知各项均为正数的等比数列{%},其前〃项和为S“,满足25“=%+2-6,求数列{%,}的通项公

2

7.(2023・全国•高考1卷真题)设等差数列{4}的公差为d,且d>l.令b“二三上2,记S“,7;分别

an

为数歹。{%},也}的前〃项和.,若3a2=36+/33+心=21,求{4}的通项公式

a6n,)j

8.(2023.全国・高考n卷真题)已知{凡}为等差数列,么=7'一:佣工,记S“,[分别为数列

[2。〃,〃为偶数

{4},也“}的前〃项和,$4=32,4=16,求{4}的通项公式

【巩固练习1】设等差数列{%}前“项和S",q=1,满足2sm=〃(%+5)+2,“eNl求数列{%}

的通项公式

【巩固练习2]知等比数列{%}中,4+%M=3-2"T(〃eN"),求数列{%}的通项公式及它的前〃项

和J.

【巩固练习3】已知数列{4}为等比数列,其前〃项和为S“,且满足5;=2"+加(加€©,求加的值

及数列{%}的通项公式

【题型4】累加法

基础知识

a,-a0=f(n-

形如屐+1=%+/(〃)型的递推数列(其中/(")是关于"的函数)可构造:

a2-fl1=/(1)

将上述吗个式子两边分别相加,可得:an=f(n-1)+f(ji-2)+.../(2)+/(I)+av(n>2)

(1)若/(")是关于,7的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;

(2)若/(")是关于〃的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;

(3)若/(")是关于"的分式函数,累加后可裂项求和.

9.在数列{““}中,4=2,an+l=a„+ln(l+i),则%=

A.2+InnB.2+(〃—l)ln〃C.2+nlnnD.1+n+lnn

「、1

10.在数列{%}中,已知4=1,且。用=4+(2〃_1)(2〃+1)'贝-

11.(2024•全国•模拟预测)已知数列{4}的前力项和为S,,且%=3,2S“=〃(%+2),求数列{%}的

通项公式

12.(2024•山东潍坊・一模)已知数列{4}满足q=0,%=1.若数歹U{%+。用}是公比为2的等比

数列,则%024=

C.21012-1D.21011-1

【巩固练习1]己知数列{4}满足q=1,«„=a„_i+3n-2(«>2),贝£%}的通项公式为

【巩固练习2】已知数列{«„}满足%=1,an-all+l=Tanan+i,则an=

【巩固练习3]已知数列{4}满足4=2,且(n+l)aa+i—7必=2",则2=

【巩固练习4】在首项为1的数列{4}中an+l-an=n-

【题型5】累乘法

形如。什1=。“,/(")」H"=/(")型的递推数列(其中/(")是关于"的函数)可构造:{-4------2---

将上述吗个式子两边分别相乘,可得:«„=/(«-l)-/(«-2)-...-/(2)f(l)o1,(w^2)

有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解.

13.(2024•四川泸州・三模)已知S,是数列{4}的前“项和,4=1,叫用=("+2)S“,则为=,

14.已知%=1,=〃(a“+i-a“)(neN+),则数列{%}的通项公式是。“=()

n+1

n+1

A.2〃一1B.C.n1D.n

n

15.在数列{斯}中,ai=\,〃〃=U(n>2),求数列{斯}的通项公式.

是公差为g的等差数列,求{4}的

16.(2022•新高考1卷)为数列{风}的前〃项和,已知4=1,2

an

通项公式.

【巩固练习1】已知数列{4}满足:^=1>—=则数列{4}的通项公式

an-\〃一1

为.

【巩固练习2]已知数列{%}的前〃项和为s“,e,3s.=5+2)%,求数列{%}的通项公式.

【巩固练习3]已知数列{。”}的首项为1,前〃项和为5“,且〃S加=(〃+2)S“,则数列{%}的通项公

式an-•

【巩固练习4]已知数列{q}的前〃项和为S,,Sn=n%,,4=1,则S“=.

【巩固练习5】已知数列{4}满足%=1必=,,4/"+2=44+1,则%的最小值为____.

16

【题型6]前n项之积Tn

基础知识

前n项积Tn

角度1:已知1例子:也,}的前"项之积(=2下一(〃eN*).

角度1:用,得到an

和”的关系1〃一1

角度2:已知7;例子:已知数列{4}的前〃项积为7;,且

角度1:用替换题目中

1葭一112।

和an的关系

册册Tn-

17.己知数列{%}前“项积为北,且为+(=1(〃€"),求证:数列为等差数列

18.已知数列{%}的前“项和为在数列{〃}中,伉=4=1,次/“-(〃-1)%_1=2”—1,

4仇4…2Al+i=3,,求数列{为},{2}的通项公式

2024•深圳中学•二轮一阶测试

19.设数列{%}的前,项之积为1,,满足4+1=1(〃吨).设年=1+十,求数列也}的通项公式或

1n

12

20.(2022全国乙卷)记”为数列{%}的前八项积,已知%=3,—+—=1,求数列色}的通项公式

a”M

【巩固练习1】设7;为数列{%}的前〃项积.已知黑-祟=2.求{%}的通项公式;

【巩固练习2】2024•湖南湘潭3月质量检测

设各项都不为0的数列{%}的前〃项积为I,(=2亨9」%=2,求数列{%}的通项公式;

【巩固练习3】(江苏连云港,南通调研)已知数列{%}的前〃项积为北,且%+方=1,求{4}的通

项公式

21

【巩固练习4】记S“为数列{%}的前"项和,6"为数列{'}的前”项积,已知三+厂=2.

nn

(1)证明:数列也}是等差数列;(2)求{4}的通项公式.

【题型7】取倒数

基础知识

形如=("为常数且pwO)的递推式:两边同除于〃〃T〃〃,转化为'=」一+〃形

anan-\

1

式,化归为a“+]=P4+4型求出一的表达式,再求为;

一,,1m1m

还有形如%+i=;—的递推式,也可米用取倒数方法转化成=----+—形式,化归为

Pan+q。〃+1qanp

1

%+i=p%+q型求出—的表达式,再求册.

a”

21.已知数列{4}满足a,=g,且4+尸*1,则数列{4}的通项公式为%=

【巩固练习1]在数列{%}中,若,=1,%+1=7^],则%=,

2

【巩固练习2]已知数列{%}中,4=2,%+1==?(〃€旷),则数列[」;、]的前10项和品,=(

an+21〃+1J

1618

A.Bn.—D.2

1111

【题型8]构造1:形如an+1=pan+q型的递推式

基础知识

形如%+LP4+4(其中PM均为常数且p/0)型的递推式:

(1)若。=1时,数列{册}为等差数列;

(2)若q=0时,数列{%}为等比数列;

(3)若p/1且q/0时,数列{%}为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方

法有如下两种:

法一:设an+i+2=p(a,+2),展开移项整理得all+l=pan+(p-1)2,与题设an+l=pan+q比较系数

(待定系数法)得彳=一^7,(。#°)=%+1+工7=。(%+-^7)=%+—^7=。(%_1+—^7),即

p-1p-1p-1p-1p-1

,。"+",]构成以4T1■为首项,以P为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出

LP-IJ

的通项整理可得

a—a

=p,

法二:由a.=pa,+q得an=panA+q(n>2)两式相减并整理得一~即{可用一%}构成以

an—an-l

%-%为首项,以P为公比的等比数列.求出{%+1-%}的通项再转化为类型III(累加法)便可求出

22.已知数列{%}满足q=2,a„+1=3a„+2(»eN*),则该数列的通项公式区,=

23.已知数列{g}的前"项和为S",且S”=2%+2〃-5,求数列{。”}的通项公式;

【巩固练习11己知数{4}满足4=2,%+i=5a“+12,则数列{4}的通项公式4=

【巩固练习2]已知数列{%}中,4=4,a,+i=4。”-6,则。“等于()

A.22n+1+2B.22,,+1-2

C.221+2D.2”1-2

【巩固练习3](2024・高三・河南焦作•开学考试)已知数列{%}满足a〃+i=3a“+2,%+%=22,则

满足为>160的最小正整数”=

【巩固练习4】(T8联考)设数列{g}的前〃项和为S“,且2S“+l=34(〃eN*),求S“.

【题型9】构造2:形如斯+1=pa。+An+b型的递推式

基础知识

形如an+i=pan+/(〃)(p/1)型的递推式:

当/(")为一次函数类型(即等差数列)时:

法一,:iS.ci„+An+B—p\an_x+A(n—1)+B],通过待定系数法确定A、B的值,转化成以q+A+B为

首项,以父=正标为公比的等比数列{%+A"+B},再利用等比数列的通项公式求出

{an+An+B}的通项整理可得an.

法二:当/(")的公差为d时,由递推式得:an+l=pan+f(ri),a“=paa_]+/("-1)两式相减得:

--为=P(4,-%)+♦,令〃=4用-为得:"=P"-+d转化为类型V㈠求出bn,再用类型111(累

加法)便可求出an.

24.(2024・高三•河北保定•期中)若4=1,an+i=2an-3n,WSN\则a“=;

25.已知数列{4}的前几项和为5",工=1,且=2%+〃-1,求通项公式凡.

【巩固练习1]在数列{%}中,4=3,且a“M=3a“+4〃-6(〃eN*),则{4}的通项公式为

【巩固练习2】设数列{4}满足a=4,an=3aii_l+2n-l(n>2),则数列{4}的通项公式为.

【题型101构造3:形如%i+i=pan+rq”型的递推式

基础知识

形如为+i=P4+/(〃)(PW1)型的递推式

递推公式为%+1=p%+4〃(其中p,q均为常数)或4+1=p%+应〃(其中p,q,r均为常数)时,

要先在原递推公式两边同时除以4田,得:*■=/•£+;,引入辅助数列也}(其中2=亍),

得:b“+i=Rb“T"一再应用构造㈠的方法解决.

qQ

当/(")为任意数列时,可用通法:

在+两边同时除以可得到"|瞽=步+,?,令/=勿,则2+1=2+,2,在

转化为类型m(累加法),求出4之后得对=加色.

n+l

26.已知{4}数列满足%=2,an+l-2an=2,则数列{为}的通项公式为.

4〃

27.己知数列{4}满足4=4,当“22时,。“-4%=一而_I),求数列{q}的通项公式

28.已知数列{qj的前”项和为S“,且S“+2"=24+l,求{4}.

【巩固练习1】数列{即}满足a“+i=5a“+3x5"“,4=6,则数列{即}的通项公式为.

【巩固练习2】已知在数列{%}中,«,=1,,则%=

【巩固练习3】(2024•山东潍坊・统考)已知数列{4}的前〃项和为工,满足%+50=3-1gj(«eN,),

则下列结论正确的是()

A.a2<a3B.%+4必=2a7

C.数列{2%,}是等比数列D.L,S“<3

【题型11】构造4:形如an+i=吗詈型的递推式

十q

基础知识

用待定系数法,配凑好常数再取倒数

29.已知数列{%}的首项4=叁,且满足­=底与7,求

5

乜+1[an]

30.已知数列{风}满足%=2,=二三二,则an=.

【巩固练习1】已知数列{〃〃}满足4=2,〃〃+1=---贝!J4=

3<2—4z

【巩固练习2】已知。[=3,〃〃+1=—―,则{〃〃}的通项公式为____.

an-

【题型12]构造5:形如。"+2=p«n+i+《。联型的递推式

基础知识

a

形如约+2=Pn+i+qq,型的递推式:

用待定系数法,化为特殊数歹!]{。“-勾—}的形式求解.方法为:设为+2一心比较系

数得h+k=p,-hk=q,可解得从女,于是{4+1-也}是公比为〃的等比数列,这样就化归为

%+1=加,+4型.

用待定系数法,化为特殊数列{为一为一1}的形式求解.方法为:设。,+2-%,+1=/z(a,+i-心”),比较系

数得h+k=p,-hk=q,可解得//、左,于是他计]-Zq,}是公比为力的等比数列,这样就化归为

4+1=。为+4型

31.在数列{4}中,6=19=3,且对任意的〃eN*,都有。“+2=3%+「22,求数列{4}的通项公

式;

32.已知数列{风}满足3%。,+2-44+1=2a,+4+2,且4=3%=1,则%=()

A.—B.—C.-----D•

6365127129

31|

【巩固练习1】已知数列{氏}满足〃加二]与-]册_1(〃22),且%=5,%=1.求数列{%}的通项公

式;

21

【巩固练习2]已知数列中,q=1,%=2,a“+2=3%+1+§为,求{约}的通项公式.

【巩固练习3】在数列{凡}中,4=1,a2=1,且满足2a+i=an_x(3tz„+1-a“)(〃>2),则

【题型12】奇偶相间讨论型(奇偶数列)

基础知识

(1)利用〃的奇偶分类讨论,观察正负相消的规律

(2)分段数列

(3)奇偶各自是等差,等比或者其他数列.

2024•广东深圳•一模

,、Ici+2,〃=2k—1,、

33.己知数列{(}满足[=2=1,%+2=(左eN*),若S“为数列{%}的前"项和,

贝!JS5o=()

A.624B.625C.626D.650

2024•广东佛山•二模

为奇数(、

34.已知数列{4}满足%=1,a„+1为偶数’且八*一*.证明同为等比数列,并

求数列也}的通项公式;

a+2,n=2k-1,keN-一一一,

'nc…、T*,4=2,令2=%,,与出4,2,

【巩固练习1]已知数列{g}满足,an+l

3an-2

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论