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文档简介
专题7-1求数列的通项公式14类题型汇总
近5年考情(2020-2024)
考题统计考点分析考点要求
2024年甲(理)第18(1),5分
2023年甲(理)第17(1),5分
2023年H卷第18(1),5分高考对数列通项的考查相对
稳定,考查内容、频率、题型、
2023年I卷第20(1),5分
难度均变化不大.数列通项问掌握数列通项的几种常见
2022年I卷第17(1),5分题以解答题的形式为主,偶尔方法.
出现在选择填空题当中,常结
2022年甲(理)第17(1),5分
合函数、不等式综合考查.
2021年乙(理)第19题,12分
2021年I卷,第17(1),5分
模块一\热点题型解读(目录)
【题型1】由即与S,关系求通项(三类题型)
【题型2】因式分解型(正项数列)
【题型3】已知等差或等比求通项
【题型4】累加法
【题型5】累乘法
【题型6】前n项之积Tn
【题型7】取倒数
【题型8]构造1:形如an+1=pan+q型的递推式
【题型9]构造2:形如an+i=pan+kn+b型的递推式
11
【题型10]构造3:形如an+i=pan+rq型的递推式
【题型11]构造4:形如a-i=詈詈型的递推式
pan十q
【题型12]构造5:形如an+2=pan+1+qan型的递推式
【题型12】奇偶相间讨论型(奇偶数列)
【题型13】隔项等差
【题型14】隔项等比(积为等比与和为等比)
模块二1核心题型•举一反三
【题型1】由a〃与S”关系求通项(三类题型)
基础知识
S“与4同时存在
角度1:已知S〃与的关系;用S“-S“T,得到例:已知4S.=4+1)2,求%
或S〃与〃的关系
角度2:已知4与S“_S”的关系;s"一S"_1替换题中的例:已知24=S£_i(〃N2);
或%与7^7+的关系已次口=4+i—
_n作差法例子:已知%+24+3。3+…+na=2"求见
角度3:等式中左侧含有:Z岫n
i=l(类似5„一S“_1)
模板解决步骤
第一步:写出当几.2时,的表达式.
T
第二步:利用=5”—S“(”..2)求出an或将条件转化为an的递推关系.
第三步:如果第二步求出4,那么根据为=工求出4,并代入{a“}的通项公式,注意要进行验证,
若成立,则合并;若不成立,则写成分段的形式.如果第二步求出%的递推关系,那么通过递推公
式求功,.
忽略对”=1的单独讨论是常见的错误
类型一用J-%,得到a”
1.在数列也,}中,前〃项和S“=72(2W-1)4,则数列{%}的通项公式为.
2V
2.(2022・全国•甲卷高考真题)记S“为数列{见}的前"项和.已知一+”=2%+1,证明:{4}是等
n
差数列
【巩固练习1】(2023•全国•高考甲卷真题)设S“为数列{《,}的前见项和,已知外=1,2S,=nan,求{%}
的通项公式.
【巩固练习2]已知数列{%}的前力项和为S,若%=1,2S,=4+「则数列{q}的通项公式________.
【巩固练习3】(2024•全国.甲卷高考真题)记S”为数列{册}的前〃项和,已知4s“=3%+4,求{%}的
通项公式.
类型二等式中左侧含有:之她
1=1
3.(2024・江苏•一模)已知正项数列{凡}满足一^十一^+…+―若%-2%=7,
则=()
A.—B.1C.—D.2
32
【巩固练习1]已知数列{%}的前W项和为S",且有2q+2七2+2%3+…+2%“=”-2".求数列{%}的
通项公式.
【巩固练习2]在数列{%}中,?+•?+…+含=1+",求{%}的通项公式.
类型三消4求r:将题意中的4用S,「S“T替换
4.设S”为数列{%}的前〃项和,已知V〃eN*,a“>0,a;+l=2a£,求
2s2
【巩固练习1】在数列{%}中,%=1,%=-^―,则{%}的通项公式为_________________.
23〃-1
【巩固练习2】已知数列{。“}的前〃项和为鼠,工=1,。川21+4,且。用=2(用+底),求通项
公式凡.
【题型2】因式分解型(正项数列)
基础知识
对于式子中有提到%>0且出现二次式可以考虑利用十字相乘进行因式分解.
5.已知各项为正数的数列{%}的前〃项和为%满足S“+I+S“=ga3,q=2.求数列{%}的通项公
式
【巩固练习1】记s.为数列{见}的前〃项和.已知二2+“=2%+1.证明:{%}是等差数列;
n
【巩固练习2】已知数列{%}的前〃项和S“,且满足2S,+4=1,求{4}的通项公式;
【巩固练习3]已知数列{4}是递增数列,其前“项和S”满足2'=";+〃.证明:{%}是等差数列
【题型3】已知等差或等比求通项
基础知识
当题目中给了数列为等差或等比时,可以从前几项入手求基本量,不要再去消S,
6.已知各项均为正数的等比数列{%},其前〃项和为S“,满足25“=%+2-6,求数列{%,}的通项公
式
2
7.(2023・全国•高考1卷真题)设等差数列{4}的公差为d,且d>l.令b“二三上2,记S“,7;分别
an
为数歹。{%},也}的前〃项和.,若3a2=36+/33+心=21,求{4}的通项公式
a6n,)j
8.(2023.全国・高考n卷真题)已知{凡}为等差数列,么=7'一:佣工,记S“,[分别为数列
[2。〃,〃为偶数
{4},也“}的前〃项和,$4=32,4=16,求{4}的通项公式
【巩固练习1】设等差数列{%}前“项和S",q=1,满足2sm=〃(%+5)+2,“eNl求数列{%}
的通项公式
【巩固练习2]知等比数列{%}中,4+%M=3-2"T(〃eN"),求数列{%}的通项公式及它的前〃项
和J.
【巩固练习3】已知数列{4}为等比数列,其前〃项和为S“,且满足5;=2"+加(加€©,求加的值
及数列{%}的通项公式
【题型4】累加法
基础知识
a,-a0=f(n-
形如屐+1=%+/(〃)型的递推数列(其中/(")是关于"的函数)可构造:
a2-fl1=/(1)
将上述吗个式子两边分别相加,可得:an=f(n-1)+f(ji-2)+.../(2)+/(I)+av(n>2)
(1)若/(")是关于,7的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;
(2)若/(")是关于〃的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;
(3)若/(")是关于"的分式函数,累加后可裂项求和.
9.在数列{““}中,4=2,an+l=a„+ln(l+i),则%=
A.2+InnB.2+(〃—l)ln〃C.2+nlnnD.1+n+lnn
「、1
10.在数列{%}中,已知4=1,且。用=4+(2〃_1)(2〃+1)'贝-
11.(2024•全国•模拟预测)已知数列{4}的前力项和为S,,且%=3,2S“=〃(%+2),求数列{%}的
通项公式
12.(2024•山东潍坊・一模)已知数列{4}满足q=0,%=1.若数歹U{%+。用}是公比为2的等比
数列,则%024=
C.21012-1D.21011-1
【巩固练习1]己知数列{4}满足q=1,«„=a„_i+3n-2(«>2),贝£%}的通项公式为
【巩固练习2】已知数列{«„}满足%=1,an-all+l=Tanan+i,则an=
【巩固练习3]已知数列{4}满足4=2,且(n+l)aa+i—7必=2",则2=
【巩固练习4】在首项为1的数列{4}中an+l-an=n-
【题型5】累乘法
形如。什1=。“,/(")」H"=/(")型的递推数列(其中/(")是关于"的函数)可构造:{-4------2---
将上述吗个式子两边分别相乘,可得:«„=/(«-l)-/(«-2)-...-/(2)f(l)o1,(w^2)
有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解.
13.(2024•四川泸州・三模)已知S,是数列{4}的前“项和,4=1,叫用=("+2)S“,则为=,
14.已知%=1,=〃(a“+i-a“)(neN+),则数列{%}的通项公式是。“=()
n+1
n+1
A.2〃一1B.C.n1D.n
n
15.在数列{斯}中,ai=\,〃〃=U(n>2),求数列{斯}的通项公式.
是公差为g的等差数列,求{4}的
16.(2022•新高考1卷)为数列{风}的前〃项和,已知4=1,2
an
通项公式.
【巩固练习1】已知数列{4}满足:^=1>—=则数列{4}的通项公式
an-\〃一1
为.
【巩固练习2]已知数列{%}的前〃项和为s“,e,3s.=5+2)%,求数列{%}的通项公式.
【巩固练习3]已知数列{。”}的首项为1,前〃项和为5“,且〃S加=(〃+2)S“,则数列{%}的通项公
式an-•
【巩固练习4]已知数列{q}的前〃项和为S,,Sn=n%,,4=1,则S“=.
【巩固练习5】已知数列{4}满足%=1必=,,4/"+2=44+1,则%的最小值为____.
16
【题型6]前n项之积Tn
基础知识
前n项积Tn
角度1:已知1例子:也,}的前"项之积(=2下一(〃eN*).
角度1:用,得到an
和”的关系1〃一1
角度2:已知7;例子:已知数列{4}的前〃项积为7;,且
角度1:用替换题目中
1葭一112।
和an的关系
册册Tn-
17.己知数列{%}前“项积为北,且为+(=1(〃€"),求证:数列为等差数列
18.已知数列{%}的前“项和为在数列{〃}中,伉=4=1,次/“-(〃-1)%_1=2”—1,
4仇4…2Al+i=3,,求数列{为},{2}的通项公式
2024•深圳中学•二轮一阶测试
19.设数列{%}的前,项之积为1,,满足4+1=1(〃吨).设年=1+十,求数列也}的通项公式或
1n
12
20.(2022全国乙卷)记”为数列{%}的前八项积,已知%=3,—+—=1,求数列色}的通项公式
a”M
【巩固练习1】设7;为数列{%}的前〃项积.已知黑-祟=2.求{%}的通项公式;
【巩固练习2】2024•湖南湘潭3月质量检测
设各项都不为0的数列{%}的前〃项积为I,(=2亨9」%=2,求数列{%}的通项公式;
【巩固练习3】(江苏连云港,南通调研)已知数列{%}的前〃项积为北,且%+方=1,求{4}的通
项公式
21
【巩固练习4】记S“为数列{%}的前"项和,6"为数列{'}的前”项积,已知三+厂=2.
nn
(1)证明:数列也}是等差数列;(2)求{4}的通项公式.
【题型7】取倒数
基础知识
形如=("为常数且pwO)的递推式:两边同除于〃〃T〃〃,转化为'=」一+〃形
anan-\
1
式,化归为a“+]=P4+4型求出一的表达式,再求为;
一,,1m1m
还有形如%+i=;—的递推式,也可米用取倒数方法转化成=----+—形式,化归为
Pan+q。〃+1qanp
1
%+i=p%+q型求出—的表达式,再求册.
a”
21.已知数列{4}满足a,=g,且4+尸*1,则数列{4}的通项公式为%=
【巩固练习1]在数列{%}中,若,=1,%+1=7^],则%=,
2
【巩固练习2]已知数列{%}中,4=2,%+1==?(〃€旷),则数列[」;、]的前10项和品,=(
an+21〃+1J
1618
A.Bn.—D.2
1111
【题型8]构造1:形如an+1=pan+q型的递推式
基础知识
形如%+LP4+4(其中PM均为常数且p/0)型的递推式:
(1)若。=1时,数列{册}为等差数列;
(2)若q=0时,数列{%}为等比数列;
(3)若p/1且q/0时,数列{%}为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方
法有如下两种:
法一:设an+i+2=p(a,+2),展开移项整理得all+l=pan+(p-1)2,与题设an+l=pan+q比较系数
(待定系数法)得彳=一^7,(。#°)=%+1+工7=。(%+-^7)=%+—^7=。(%_1+—^7),即
p-1p-1p-1p-1p-1
,。"+",]构成以4T1■为首项,以P为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出
LP-IJ
的通项整理可得
a—a
=p,
法二:由a.=pa,+q得an=panA+q(n>2)两式相减并整理得一~即{可用一%}构成以
an—an-l
%-%为首项,以P为公比的等比数列.求出{%+1-%}的通项再转化为类型III(累加法)便可求出
22.已知数列{%}满足q=2,a„+1=3a„+2(»eN*),则该数列的通项公式区,=
23.已知数列{g}的前"项和为S",且S”=2%+2〃-5,求数列{。”}的通项公式;
【巩固练习11己知数{4}满足4=2,%+i=5a“+12,则数列{4}的通项公式4=
【巩固练习2]已知数列{%}中,4=4,a,+i=4。”-6,则。“等于()
A.22n+1+2B.22,,+1-2
C.221+2D.2”1-2
【巩固练习3](2024・高三・河南焦作•开学考试)已知数列{%}满足a〃+i=3a“+2,%+%=22,则
满足为>160的最小正整数”=
【巩固练习4】(T8联考)设数列{g}的前〃项和为S“,且2S“+l=34(〃eN*),求S“.
【题型9】构造2:形如斯+1=pa。+An+b型的递推式
基础知识
形如an+i=pan+/(〃)(p/1)型的递推式:
当/(")为一次函数类型(即等差数列)时:
法一,:iS.ci„+An+B—p\an_x+A(n—1)+B],通过待定系数法确定A、B的值,转化成以q+A+B为
首项,以父=正标为公比的等比数列{%+A"+B},再利用等比数列的通项公式求出
{an+An+B}的通项整理可得an.
法二:当/(")的公差为d时,由递推式得:an+l=pan+f(ri),a“=paa_]+/("-1)两式相减得:
--为=P(4,-%)+♦,令〃=4用-为得:"=P"-+d转化为类型V㈠求出bn,再用类型111(累
加法)便可求出an.
24.(2024・高三•河北保定•期中)若4=1,an+i=2an-3n,WSN\则a“=;
25.已知数列{4}的前几项和为5",工=1,且=2%+〃-1,求通项公式凡.
【巩固练习1]在数列{%}中,4=3,且a“M=3a“+4〃-6(〃eN*),则{4}的通项公式为
【巩固练习2】设数列{4}满足a=4,an=3aii_l+2n-l(n>2),则数列{4}的通项公式为.
【题型101构造3:形如%i+i=pan+rq”型的递推式
基础知识
形如为+i=P4+/(〃)(PW1)型的递推式
递推公式为%+1=p%+4〃(其中p,q均为常数)或4+1=p%+应〃(其中p,q,r均为常数)时,
要先在原递推公式两边同时除以4田,得:*■=/•£+;,引入辅助数列也}(其中2=亍),
得:b“+i=Rb“T"一再应用构造㈠的方法解决.
当/(")为任意数列时,可用通法:
在+两边同时除以可得到"|瞽=步+,?,令/=勿,则2+1=2+,2,在
转化为类型m(累加法),求出4之后得对=加色.
n+l
26.已知{4}数列满足%=2,an+l-2an=2,则数列{为}的通项公式为.
4〃
27.己知数列{4}满足4=4,当“22时,。“-4%=一而_I),求数列{q}的通项公式
28.已知数列{qj的前”项和为S“,且S“+2"=24+l,求{4}.
【巩固练习1】数列{即}满足a“+i=5a“+3x5"“,4=6,则数列{即}的通项公式为.
【巩固练习2】已知在数列{%}中,«,=1,,则%=
【巩固练习3】(2024•山东潍坊・统考)已知数列{4}的前〃项和为工,满足%+50=3-1gj(«eN,),
则下列结论正确的是()
A.a2<a3B.%+4必=2a7
C.数列{2%,}是等比数列D.L,S“<3
【题型11】构造4:形如an+i=吗詈型的递推式
十q
基础知识
用待定系数法,配凑好常数再取倒数
29.已知数列{%}的首项4=叁,且满足=底与7,求
5
乜+1[an]
30.已知数列{风}满足%=2,=二三二,则an=.
【巩固练习1】已知数列{〃〃}满足4=2,〃〃+1=---贝!J4=
3<2—4z
【巩固练习2】已知。[=3,〃〃+1=—―,则{〃〃}的通项公式为____.
an-
【题型12]构造5:形如。"+2=p«n+i+《。联型的递推式
基础知识
a
形如约+2=Pn+i+qq,型的递推式:
用待定系数法,化为特殊数歹!]{。“-勾—}的形式求解.方法为:设为+2一心比较系
数得h+k=p,-hk=q,可解得从女,于是{4+1-也}是公比为〃的等比数列,这样就化归为
%+1=加,+4型.
用待定系数法,化为特殊数列{为一为一1}的形式求解.方法为:设。,+2-%,+1=/z(a,+i-心”),比较系
数得h+k=p,-hk=q,可解得//、左,于是他计]-Zq,}是公比为力的等比数列,这样就化归为
4+1=。为+4型
31.在数列{4}中,6=19=3,且对任意的〃eN*,都有。“+2=3%+「22,求数列{4}的通项公
式;
32.已知数列{风}满足3%。,+2-44+1=2a,+4+2,且4=3%=1,则%=()
A.—B.—C.-----D•
6365127129
31|
【巩固练习1】已知数列{氏}满足〃加二]与-]册_1(〃22),且%=5,%=1.求数列{%}的通项公
式;
21
【巩固练习2]已知数列中,q=1,%=2,a“+2=3%+1+§为,求{约}的通项公式.
【巩固练习3】在数列{凡}中,4=1,a2=1,且满足2a+i=an_x(3tz„+1-a“)(〃>2),则
【题型12】奇偶相间讨论型(奇偶数列)
基础知识
(1)利用〃的奇偶分类讨论,观察正负相消的规律
(2)分段数列
(3)奇偶各自是等差,等比或者其他数列.
2024•广东深圳•一模
,、Ici+2,〃=2k—1,、
33.己知数列{(}满足[=2=1,%+2=(左eN*),若S“为数列{%}的前"项和,
贝!JS5o=()
A.624B.625C.626D.650
2024•广东佛山•二模
为奇数(、
34.已知数列{4}满足%=1,a„+1为偶数’且八*一*.证明同为等比数列,并
求数列也}的通项公式;
a+2,n=2k-1,keN-一一一,
'nc…、T*,4=2,令2=%,,与出4,2,
【巩固练习1]已知数列{g}满足,an+l
3an-2
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