求数列的通项公式【14类题型】（原卷版）-2025年高考数学复习题型重难点专项突破

专题7-1求数列的通项公式14类题型汇总

近5年考情（2020-2024）

考题统计考点分析考点要求

2024年甲（理）第18（1）,5分

2023年甲（理）第17（1）,5分

2023年H卷第18(1),5分高考对数列通项的考查相对

稳定，考查内容、频率、题型、

2023年I卷第20(1),5分

难度均变化不大.数列通项问掌握数列通项的几种常见

2022年I卷第17(1),5分题以解答题的形式为主，偶尔方法.

出现在选择填空题当中，常结

2022年甲（理）第17（1）,5分

合函数、不等式综合考查.

2021年乙（理）第19题，12分

2021年I卷，第17(1),5分

模块一\热点题型解读（目录）

【题型1】由即与S,关系求通项（三类题型）

【题型2】因式分解型（正项数列）

【题型3】已知等差或等比求通项

【题型4】累加法

【题型5】累乘法

【题型6】前n项之积Tn

【题型7】取倒数

【题型8］构造1:形如an+1=pan+q型的递推式

【题型9］构造2:形如an+i=pan+kn+b型的递推式

11

【题型10］构造3:形如an+i=pan+rq型的递推式

【题型11］构造4:形如a-i=詈詈型的递推式

pan十q

【题型12］构造5:形如an+2=pan+1+qan型的递推式

【题型12】奇偶相间讨论型（奇偶数列）

【题型13】隔项等差

【题型14】隔项等比（积为等比与和为等比）

模块二1核心题型•举一反三

【题型1】由a〃与S”关系求通项（三类题型）

基础知识

S“与4同时存在

角度1：已知S〃与的关系；用S“-S“T，得到例：已知4S.=4+1）2,求％

或S〃与〃的关系

角度2：已知4与S“_S”的关系；s"一S"_1替换题中的例：已知24=S£_i（〃N2）；

或％与7^7+的关系已次口=4+i—

_n作差法例子：已知%+24+3。3+…+na=2"求见

角度3：等式中左侧含有：Z岫n

i=l（类似5„一S“_1）

模板解决步骤

第一步：写出当几.2时，的表达式.

T

第二步：利用=5”—S“（”..2）求出an或将条件转化为an的递推关系.

第三步：如果第二步求出4,那么根据为=工求出4,并代入｛a“｝的通项公式，注意要进行验证，

若成立，则合并；若不成立，则写成分段的形式.如果第二步求出％的递推关系，那么通过递推公

式求功,.

忽略对”=1的单独讨论是常见的错误

类型一用J-%,得到a”

1.在数列也,｝中，前〃项和S“=72（2W-1）4,则数列｛%｝的通项公式为.

2V

2.（2022・全国•甲卷高考真题）记S“为数列｛见｝的前"项和.已知一+”=2%+1,证明：｛4｝是等

n

差数列

【巩固练习1】（2023•全国•高考甲卷真题）设S“为数列｛《,｝的前见项和，已知外=1，2S,=nan,求｛%｝

的通项公式.

【巩固练习2］已知数列｛%｝的前力项和为S,若％=1,2S,=4+「则数列｛q｝的通项公式________.

【巩固练习3】（2024•全国.甲卷高考真题）记S”为数列｛册｝的前〃项和,已知4s“=3%+4,求｛%｝的

通项公式.

类型二等式中左侧含有：之她

1=1

3.（2024・江苏•一模）已知正项数列｛凡｝满足一^十一^+…+―若%-2%=7,

则=（）

A.—B.1C.—D.2

32

【巩固练习1］已知数列｛%｝的前W项和为S"，且有2q+2七2+2%3+…+2%“=”-2".求数列｛%｝的

通项公式.

【巩固练习2］在数列｛%｝中，?+•?+…+含=1+"，求｛%｝的通项公式.

类型三消4求r:将题意中的4用S,「S“T替换

4.设S”为数列｛%｝的前〃项和，已知V〃eN*,a“>0,a；+l=2a£,求

2s2

【巩固练习1】在数列｛%｝中,%=1,%=-^―，则｛%｝的通项公式为_________________.

23〃-1

【巩固练习2】已知数列｛。“｝的前〃项和为鼠，工=1,。川21+4，且。用=2（用+底），求通项

公式凡.

【题型2】因式分解型（正项数列）

基础知识

对于式子中有提到%>0且出现二次式可以考虑利用十字相乘进行因式分解.

5.已知各项为正数的数列｛%｝的前〃项和为%满足S“+I+S“=ga3，q=2.求数列｛%｝的通项公

式

【巩固练习1】记s.为数列｛见｝的前〃项和.已知二2+“=2%+1.证明：｛%｝是等差数列;

n

【巩固练习2】已知数列｛%｝的前〃项和S“，且满足2S,+4=1,求｛4｝的通项公式;

【巩固练习3］已知数列｛4｝是递增数列，其前“项和S”满足2'="；+〃.证明：｛%｝是等差数列

【题型3】已知等差或等比求通项

基础知识

当题目中给了数列为等差或等比时，可以从前几项入手求基本量，不要再去消S,

6.已知各项均为正数的等比数列｛%｝,其前〃项和为S“，满足25“=%+2-6,求数列｛%,｝的通项公

式

2

7.（2023・全国•高考1卷真题）设等差数列｛4｝的公差为d,且d>l.令b“二三上2,记S“,7；分别

an

为数歹。｛%｝,也｝的前〃项和.，若3a2=36+/33+心=21,求｛4｝的通项公式

a6n,）j

8.（2023.全国・高考n卷真题）已知｛凡｝为等差数列，么=7'一:佣工，记S“，［分别为数列

［2。〃,〃为偶数

｛4｝,也“｝的前〃项和，$4=32,4=16,求｛4｝的通项公式

【巩固练习1】设等差数列｛%｝前“项和S",q=1,满足2sm=〃（%+5）+2,“eNl求数列｛%｝

的通项公式

【巩固练习2］知等比数列｛%｝中，4+%M=3-2"T（〃eN"）,求数列｛%｝的通项公式及它的前〃项

和J.

【巩固练习3】已知数列｛4｝为等比数列，其前〃项和为S“，且满足5；=2"+加（加€©,求加的值

及数列｛%｝的通项公式

【题型4】累加法

基础知识

a,-a0=f(n-

形如屐+1=%+/(〃)型的递推数列(其中/(")是关于"的函数)可构造：

a2-fl1=/(1)

将上述吗个式子两边分别相加，可得：an=f(n-1)+f(ji-2)+.../(2)+/(I)+av(n>2)

(1)若/(")是关于，7的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；

(2)若/(")是关于〃的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；

(3)若/(")是关于"的分式函数，累加后可裂项求和.

9.在数列｛““｝中，4=2,an+l=a„+ln(l+i),则%=

A.2+InnB.2+(〃—l)ln〃C.2+nlnnD.1+n+lnn

「、1

10.在数列｛%｝中，已知4=1,且。用=4+(2〃_1)(2〃+1)'贝-

11.(2024•全国•模拟预测)已知数列｛4｝的前力项和为S,,且％=3,2S“=〃(%+2),求数列｛%｝的

通项公式

12.(2024•山东潍坊・一模)已知数列｛4｝满足q=0,%=1.若数歹U｛%+。用｝是公比为2的等比

数列，则%024=

C.21012-1D.21011-1

【巩固练习1］己知数列｛4｝满足q=1,«„=a„_i+3n-2(«>2),贝£%｝的通项公式为

【巩固练习2】已知数列｛«„｝满足％=1,an-all+l=Tanan+i,则an=

【巩固练习3］已知数列｛4｝满足4=2,且(n+l)aa+i—7必=2",则2=

【巩固练习4】在首项为1的数列｛4｝中an+l-an=n-

【题型5】累乘法

形如。什1=。“,/(")」H"=/(")型的递推数列(其中/(")是关于"的函数)可构造：｛-4------2---

将上述吗个式子两边分别相乘，可得：«„=/(«-l)-/(«-2)-...-/(2)f(l)o1,(w^2)

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解.

13.(2024•四川泸州・三模)已知S,是数列｛4｝的前“项和，4=1,叫用=("+2)S“，则为=,

14.已知％=1,=〃(a“+i-a“)(neN+),则数列｛%｝的通项公式是。“=()

n+1

n+1

A.2〃一1B.C.n1D.n

n

15.在数列｛斯｝中，ai=\,〃〃=U(n>2),求数列｛斯｝的通项公式.

是公差为g的等差数列，求｛4｝的

16.(2022•新高考1卷)为数列｛风｝的前〃项和，已知4=1,2

an

通项公式.

【巩固练习1】已知数列｛4｝满足：^=1>—=则数列｛4｝的通项公式

an-\〃一1

为.

【巩固练习2］已知数列｛%｝的前〃项和为s“，e，3s.=5+2)%,求数列｛%｝的通项公式.

【巩固练习3］已知数列｛。”｝的首项为1,前〃项和为5“，且〃S加=(〃+2)S“，则数列｛%｝的通项公

式an-•

【巩固练习4］已知数列｛q｝的前〃项和为S,,Sn=n%,,4=1,则S“=.

【巩固练习5】已知数列｛4｝满足％=1必=,，4/"+2=44+1，则%的最小值为____.

16

【题型6］前n项之积Tn

基础知识

前n项积Tn

角度1:已知1例子：也,｝的前"项之积(=2下一(〃eN*).

角度1：用,得到an

和”的关系1〃一1

角度2：已知7；例子：已知数列｛4｝的前〃项积为7；,且

角度1:用替换题目中

1葭一112।

和an的关系

册册Tn-

17.己知数列｛%｝前“项积为北，且为+(=1(〃€"),求证：数列为等差数列

18.已知数列｛%｝的前“项和为在数列｛〃｝中，伉=4=1,次/“-(〃-1)%_1=2”—1,

4仇4…2Al+i=3,，求数列｛为｝,｛2｝的通项公式

2024•深圳中学•二轮一阶测试

19.设数列｛%｝的前，项之积为1,,满足4+1=1(〃吨).设年=1+十，求数列也｝的通项公式或

1n

12

20.(2022全国乙卷)记”为数列｛%｝的前八项积，已知％=3,—+—=1,求数列色｝的通项公式

a”M

【巩固练习1】设7；为数列｛%｝的前〃项积.已知黑-祟=2.求｛%｝的通项公式;

【巩固练习2】2024•湖南湘潭3月质量检测

设各项都不为0的数列｛%｝的前〃项积为I,（=2亨9」％=2,求数列｛%｝的通项公式;

【巩固练习3】（江苏连云港，南通调研）已知数列｛%｝的前〃项积为北，且％+方=1,求｛4｝的通

项公式

21

【巩固练习4】记S“为数列｛%｝的前"项和，6"为数列｛'｝的前”项积，已知三+厂=2.

nn

（1）证明：数列也｝是等差数列；（2）求｛4｝的通项公式.

【题型7】取倒数

基础知识

形如=（"为常数且pwO）的递推式：两边同除于〃〃T〃〃，转化为'=」一+〃形

anan-\

1

式，化归为a“+］=P4+4型求出一的表达式，再求为；

一,,1m1m

还有形如%+i=；—的递推式，也可米用取倒数方法转化成=----+—形式，化归为

Pan+q。〃+1qanp

1

%+i=p%+q型求出—的表达式，再求册.

a”

21.已知数列｛4｝满足a,=g,且4+尸*1，则数列｛4｝的通项公式为%=

【巩固练习1］在数列｛%｝中，若，=1，%+1=7^］，则%=,

2

【巩固练习2］已知数列｛%｝中，4=2,%+1==?（〃€旷），则数列［」;、］的前10项和品,=（

an+21〃+1J

1618

A.Bn.—D.2

1111

【题型8］构造1:形如an+1=pan+q型的递推式

基础知识

形如%+LP4+4（其中PM均为常数且p/0）型的递推式:

（1）若。=1时，数列｛册｝为等差数列;

（2）若q=0时，数列｛%｝为等比数列；

（3）若p/1且q/0时，数列｛%｝为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方

法有如下两种：

法一：设an+i+2=p（a,+2）,展开移项整理得all+l=pan+（p-1）2,与题设an+l=pan+q比较系数

（待定系数法）得彳=一^7，（。#°）=%+1+工7=。（%+-^7）=%+—^7=。（％_1+—^7）,即

p-1p-1p-1p-1p-1

,。"+",]构成以4T1■为首项，以P为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出

LP-IJ

的通项整理可得

a—a

=p,

法二：由a.=pa,+q得an=panA+q（n>2）两式相减并整理得一~即｛可用一%｝构成以

an—an-l

%-%为首项，以P为公比的等比数列.求出｛%+1-%｝的通项再转化为类型III（累加法）便可求出

22.已知数列｛%｝满足q=2,a„+1=3a„+2（»eN*）,则该数列的通项公式区,=

23.已知数列｛g｝的前"项和为S"，且S”=2%+2〃-5,求数列｛。”｝的通项公式;

【巩固练习11己知数｛4｝满足4=2,%+i=5a“+12,则数列｛4｝的通项公式4=

【巩固练习2]已知数列｛%｝中，4=4,a,+i=4。”-6,则。“等于（）

A.22n+1+2B.22,,+1-2

C.221+2D.2”1-2

【巩固练习3]（2024・高三・河南焦作•开学考试）已知数列｛%｝满足a〃+i=3a“+2,%+%=22,则

满足为>160的最小正整数”=

【巩固练习4】（T8联考）设数列｛g｝的前〃项和为S“，且2S“+l=34（〃eN*）,求S“.

【题型9】构造2:形如斯+1=pa。+An+b型的递推式

基础知识

形如an+i=pan+/（〃）（p/1）型的递推式：

当/（"）为一次函数类型（即等差数列）时：

法一,：iS.ci„+An+B—p\an_x+A（n—1）+B],通过待定系数法确定A、B的值，转化成以q+A+B为

首项，以父=正标为公比的等比数列｛%+A"+B｝,再利用等比数列的通项公式求出

｛an+An+B｝的通项整理可得an.

法二：当/（"）的公差为d时，由递推式得：an+l=pan+f（ri）,a“=paa_]+/（"-1）两式相减得：

--为=P（4,-%）+♦，令〃=4用-为得："=P"-+d转化为类型V㈠求出bn,再用类型111（累

加法）便可求出an.

24.（2024・高三•河北保定•期中）若4=1,an+i=2an-3n,WSN\则a“=；

25.已知数列｛4｝的前几项和为5"，工=1,且=2%+〃-1,求通项公式凡.

【巩固练习1]在数列｛%｝中，4=3,且a“M=3a“+4〃-6（〃eN*）,则｛4｝的通项公式为

【巩固练习2】设数列｛4｝满足a=4,an=3aii_l+2n-l（n>2）,则数列｛4｝的通项公式为.

【题型101构造3:形如%i+i=pan+rq”型的递推式

基础知识

形如为+i=P4+/（〃）（PW1）型的递推式

递推公式为％+1=p%+4〃（其中p,q均为常数）或4+1=p%+应〃（其中p,q,r均为常数）时，

要先在原递推公式两边同时除以4田，得：*■=/•£+；，引入辅助数列也｝（其中2=亍），

得：b“+i=Rb“T"一再应用构造㈠的方法解决.

qQ

当/（"）为任意数列时，可用通法：

在+两边同时除以可得到"|瞽=步+，?，令/=勿，则2+1=2+，2,在

转化为类型m（累加法），求出4之后得对=加色.

n+l

26.已知｛4｝数列满足％=2,an+l-2an=2,则数列｛为｝的通项公式为.

4〃

27.己知数列｛4｝满足4=4,当“22时，。“-4%=一而_I）,求数列｛q｝的通项公式

28.已知数列｛qj的前”项和为S“，且S“+2"=24+l,求｛4｝.

【巩固练习1】数列｛即｝满足a“+i=5a“+3x5"“，4=6,则数列｛即｝的通项公式为.

【巩固练习2】已知在数列｛%｝中，«,=1，,则%=

【巩固练习3】（2024•山东潍坊・统考）已知数列｛4｝的前〃项和为工，满足%+50=3-1gj（«eN,），

则下列结论正确的是（）

A.a2<a3B.%+4必=2a7

C.数列｛2%,｝是等比数列D.L,S“<3

【题型11】构造4:形如an+i=吗詈型的递推式

十q

基础知识

用待定系数法，配凑好常数再取倒数

29.已知数列｛%｝的首项4=叁，且满足­=底与7,求

5

乜+1[an]

30.已知数列｛风｝满足％=2,=二三二,则an=.

【巩固练习1】已知数列｛〃〃｝满足4=2,〃〃+1=---贝！J4=

3<2—4z

【巩固练习2】已知。[=3,〃〃+1=—―,则｛〃〃｝的通项公式为____.

an-

【题型12]构造5:形如。"+2=p«n+i+《。联型的递推式

基础知识

a

形如约+2=Pn+i+qq,型的递推式：

用待定系数法，化为特殊数歹!]｛。“-勾—｝的形式求解.方法为：设为+2一心比较系

数得h+k=p,-hk=q,可解得从女，于是｛4+1-也｝是公比为〃的等比数列，这样就化归为

%+1=加,+4型.

用待定系数法，化为特殊数列｛为一为一1｝的形式求解.方法为：设。,+2-%,+1=/z（a,+i-心”），比较系

数得h+k=p,-hk=q,可解得//、左，于是他计]-Zq,｝是公比为力的等比数列，这样就化归为

4+1=。为+4型

31.在数列｛4｝中，6=19=3,且对任意的〃eN*，都有。“+2=3%+「22，求数列｛4｝的通项公

式；

32.已知数列｛风｝满足3%。,+2-44+1=2a,+4+2，且4=3%=1,则%=()

A.—B.—C.-----D•

6365127129

31|

【巩固练习1】已知数列｛氏｝满足〃加二］与-］册_1(〃22),且％=5，%=1.求数列｛%｝的通项公

式；

21

【巩固练习2］已知数列中，q=1,%=2,a“+2=3%+1+§为，求｛约｝的通项公式.

【巩固练习3】在数列｛凡｝中，4=1,a2=1,且满足2a+i=an_x(3tz„+1-a“)(〃>2),则

【题型12】奇偶相间讨论型(奇偶数列)

基础知识

(1)利用〃的奇偶分类讨论，观察正负相消的规律

(2)分段数列

(3)奇偶各自是等差，等比或者其他数列.

2024•广东深圳•一模

,、Ici+2,〃=2k—1,、

33.己知数列｛(｝满足［=2=1,%+2=(左eN*),若S“为数列｛%｝的前"项和,

贝!JS5o=()

A.624B.625C.626D.650

2024•广东佛山•二模

为奇数(、

34.已知数列｛4｝满足％=1,a„+1为偶数’且八*一*.证明同为等比数列，并

求数列也｝的通项公式;

a+2,n=2k-1,keN-一一一,

'nc…、T*,4=2,令2=%,,与出4,2，

【巩固练习1］已知数列｛g｝满足，an+l

3an-2