求数列的通项公式【14类题型】（解析版）-2025年高考数学复习题型重难点专项突破

专题7-1求数列的通项公式14类题型汇总

近5年考情（2020-2024）

考题统计考点分析考点要求

2024年甲（理）第18（1）,5分

2023年甲（理）第17（1）,5分

2023年H卷第18(1),5分高考对数列通项的考查相对

稳定，考查内容、频率、题型、

2023年I卷第20(1),5分

难度均变化不大.数列通项问掌握数列通项的几种常见

2022年I卷第17(1),5分题以解答题的形式为主，偶尔方法.

出现在选择填空题当中，常结

2022年甲（理）第17（1）,5分

合函数、不等式综合考查.

2021年乙（理）第19题，12分

2021年I卷，第17(1),5分

模块一热点题型解读（目录）

【题型1】由即与S,关系求通项（三类题型）

【题型2】因式分解型（正项数列）

【题型3】已知等差或等比求通项

【题型4】累加法

【题型5】累乘法

【题型6】前n项之积Tn

【题型7】取倒数

【题型8］构造1:形如an+1=pan+q型的递推式

【题型9］构造2:形如an+i=pan+kn+b型的递推式

11

【题型10］构造3:形如an+i=pan+rq型的递推式

【题型11］构造4:形如a-i=詈詈型的递推式

pan十q

【题型12］构造5:形如an+2=pan+1+qan型的递推式

【题型12】奇偶相间讨论型（奇偶数列）

【题型13】隔项等差

【题型14】隔项等比（积为等比与和为等比）

模块二1核心题型•举一反三

【题型1】由a〃与S”关系求通项（三类题型）

基础知识

S“与4同时存在

角度1：已知S〃与的关系；用S“-S“T，得到a“例：已知4S.=4+1）2,求％

或S〃与〃的关系

角度2：已知4与S“_S”的关系；s"一S"_1替换题中的例：已知24=S£_i（〃N2）；

或％与7^7+Js“_］的关系已次口=4+i—Js〃+i

_n作差法例子：已知%+24+3。3+…+na=2"求见

角度3：等式中左侧含有：Z岫n

i=l（类似5„一S“_1）

模板解决步骤

第一步：写出当几.2时，的表达式.

T

第二步：利用=5”—S“（”..2）求出an或将条件转化为an的递推关系.

第三步：如果第二步求出4,那么根据为=工求出4,并代入｛a“｝的通项公式，注意要进行验证，

若成立，则合并；若不成立，则写成分段的形式.如果第二步求出％的递推关系，那么通过递推公

式求功,.

忽略对”=1的单独讨论是常见的错误

类型一用J-%,得到a”

1.在数列也,｝中，前〃项和S“=72（2W-1）4,则数列｛%｝的通项公式为.

1

［答案］%一⑵［-1）（2〃+1）

【解析】由于数列｛。"｝中，/=；，前〃项和S“=〃（2“一1”“，

所以当〃22时,S,T=（n-l）（2n-3）aB_1,

两式相减可得：4“=〃（2〃-1）%-（〃-1）（2〃-3应_1,

所以（九一1）（2"_3）4“_］=（2〃2-n-l）aK,

（“一1）（2〃一3）4”1=（〃一l）（2"+l）a“，

所以（2〃-3）a“T=（2〃+l）a”,

aIn-3

所以=yr，

an_x2n+l

CiCt

所以4=41.........................

“21

1132n-52n-31

=—X—X—XX---------x----------

3572n-l2n+l（2n-l）（2n+l）J

符合上式,

1

因此^4-（2n-l）（2n+l）,

2.（2022.全国.甲卷高考真题）记S”为数列｛%｝的前八项和.已知。+〃=2%+1,证明：｛q｝是等

n

差数列

[S,,n=l

【分析】依题意可得2S〃+〃2=2"+几，根据1作差即可得到%—4_]=1,从而

得证；

2S

【详解】因为一-+n=2a+l,即2S〃+〃2=2〃%+〃①，

nn

当〃22时，2sl②，

22

①-②得，2Sn+n—2Sn_1—（n—l）=2nan+n—2（n—^）an_x—（n—1）,

即2an+2n-1=2nan+1,

即2（〃一1）%一2（〃-1）%T=2（九一1）,所以4-%=1,n>2JLneN*,

所以｛风｝是以1为公差的等差数列.

【巩固练习1】（2023•全国•高考甲卷真题）设S〃为数列｛4｝的前〃项和，已知%=1,2S〃=”，求｛4｝

的通项公式.

【答案】an=n-l

[S,,n=l

【分析】根据即可求出；

【详解】因为25,=〃?，

当〃=1时，2%=%,即q=0；

当”=3时，2（1+%）=3。3,即%=2,

当〃N2时，2sM,所以2（E,-Sn_i）=叫一（〃一1）的=2%,

化简得：（n-2）tz„=（n-l）a„_1,当时，=吟=1,即

当〃=1,2时都满足上式，所以%—.

【巩固练习2】已知数列｛4｝的前〃项和为S,若4=1,2S〃=%+],则数列｛4｝的通项公式________

fl,n=1

【合案】12x3"一2,〃..2,weN*

【解析】当〃22时，2S〃=。〃+1=2S〃T=%,作差得q+i=3a〃，即当时，｛4｝是公比为3的等

fl,n=1

比数列，而出=2,则"..24=2x37,故%=限产0

【巩固练习3】（2024•全国•甲卷高考真题）记S,为数列的前”项和，已知4s“=3g+4,求｛即｝的

通项公式

【答案】。“=4•（-3产

【分析】利用退位法可求｛a"的通项公式.

【详解】当）=1时,4sl=41=3q+4,解得4=4.

当“N2时，4S“T=3a,I+4,所以4s“一4s"一=4a.=3a“-3a,一即an=-3an_x,

而q=4w0,故a,尸0,故——=-3,

an-l

：.数列｛&J是以4为首项，-3为公比的等比数列，

所以4=4（—3片.

类型二等式中左侧含有：之她

Z=1

3.（2024江苏・一模）已知正项数列｛4｝满足一匚+—匚++—^=£7；（〃eN*）,若%-2/=7,

则/二（）

A.-B.1C.-D.2

32

【答案】D

111一

【分析】由已知和式求出通项----的通项，从而得出----,再由已知条件为-2%=7,从而

a〃。计1。5a699

求出生,类似的往前推，求出〃]即可.

11

【详解】〃=1时，=£；

6的3

1nn—\1

一'anan+\2〃+12n—l4n2—1

=99,/.4（2%+7）=99,,

=63,/.=—

a3a4=35,=10,

a2a3=15,;.4=|,

01a2=3,.,.ax—2.

【巩固练习1]已知数列｛g｝的前几项和为s“，且有2q+22a2+23/+…+2"a"=〃-2".求数列｛4｝的

通项公式.

【答案】％=等

【详解】(1)由题2%+22%+23%++2%.=小2〃，

当〃=1时，2%=2,I.a1=1；

当22时，由2〃]+2"^3-----2〃%=n,2",

所以2cli+2^a2+2^a3T----42〃14T=(〃—1)•2〃T,两式相减,

1

可得2"%=/1-2"-(«-1)2"-=(〃+1)2"-',：.an=等

.Y11+1｛、2c"+1

当〃=1时，-2=1满足，・・•。〃=—-—

【巩固练习2】在数列｛%｝中，g+§+与+…+4=〃2+〃，求｛为｝的通项公式.

234n+\

【答案】a“=2〃("+l)

【详解】解：因为幺+生+&++-^=n2+n,①

234n+1

则当H=1时，?=2,即4=4,

当“22时，虫+幺+幺++如=”2一〃②

234n

①一②得—~=2n,所以a“=2/1(7?+1),

n+\

4=4也满足%=2〃(〃+1),故对任意的〃eN*,4=2〃(〃+1).

类型三消4求S,：将题意中的％用工-S,i替换

4.设S“为数列｛4｝的前〃项和，己知V〃eN*,a“>0,a；+l=2a,£,求q

【详解】由题意知，a；+1=2%S[=2a；,

又外>09得%=1.

当“22时，由片+1=2川,，得（s“-S“"+i=2⑸-Se）S“，得

则数列｛S：｝是首项为S：=l,公差为1的等差数列.

所以S；=l+（w-l）=〃.

又S">。，则s4=6.

当"22时，ao=S"-S"_i=57n-1,

又4=1满足上式，

所以见=yfn—>Jn—l.

【巩固练习1］在数列｛册｝中,6=1,。〃=宗=1，则｛与｝的通项公式为__________________

23“-1

【答案】an=<2n-l2n-3~.

1,n=l

【解析】当〃22,〃EN*时,a〃=S〃一S〃_i，

2s2

S“_S“1=——Jn2S：-S-2s1+S“1=2S,;,

nn-icc*[〃nnftn—in—in7

T

整理可得:S.T-S“=2S“S._],.=2,

-U+O-l)-2=2〃-1

S"工

1-------------

S=,ci=<2〃—12n—3

2n-i,,

【巩固练习2】已知数列｛见｝的前〃项和为%Sx=l,an+x>l+an,且册+1=2（扃+屈,求通项

公式%.

l,n=1

【答案】册=

8H-8,H>2

【详解】%=2（历+四）=S用一S"=（历+底X历一点）

Si=ai=1,an+i—an>1

JS,+]+>0

二区-疯=2,即｛£｝是以2为公差，1为首项的等差数列

:.厄=2n-l,即...5"=(2〃-1)2

当“22时，%=S,「S“T=(2"一一(2“-3)2=8“一8

11,n=1

显然，〃=1时，上式不成立，所以⑸=8“-8,心2

【题型2】因式分解型（正项数列）

基础知识

对于式子中有提到4>0且出现二次式可以考虑利用十字相乘进行因式分解.

5.已知各项为正数的数列｛%｝的前〃项和为S",满足5"包+5,=3屋”％=2.求数列｛%｝的通项公

式；

【解析】（1）S“M+S”=#…S“+S7cd（心2）,

两式相减得：。用+%-=,

由于。+1+。>0,则4+1—4=2（〃之2）,

当〃=1时，y+S2=ga；,q=2,得%=4,

«2-«1=2,则%+1一氏=2（〃eN*）,

所以｛%｝是首项和公差均为2的等差数列，故。“=2+（〃-1）•2=2n.

2V

【巩固练习1】记s.为数列｛4｝的前”项和.已知一+”=2凡+1.证明：｛%｝是等差数列；

n

2S

【解析】证明：因为——+n=2an+1,即2s〃+/=2〃%+〃0）,

n

当〃22时，2sl+（〃_1）2=2（〃_1）4_]+5_1）②，

①-②得，2S〃+/-2S〃_i-（〃-1）=2皈〃,

即2an+2n-1=2nan+1,

即2glM一2（〃一=2（n-l）,

所以%—=1,几22且〃eN*,

所以｛4｝是以1为公差的等差数列.

【巩固练习2】已知数列几｝的前〃项和S〃，且满足2s“+4=1,求｛叫的通项公式；

【解析】（1）因为2S〃+%=1.

所以当〃=1时，2S]+4=1,24+4=1,4=；，

当”22时，2s“+a“=1,2S“_]+4I=1,

两式相减得2S“-2s+an-a”—=0,/.3a“-an_t=0,a,产0,=-,

*3

所以数列｛%｝是首项为:，公比为q=g的等比数列,

则数列通项公式为=a/'=|（：严=（，'，

【巩固练习3】已知数列｛%｝是递增数列，其前〃项和S“满足+证明：｛%｝是等差数列

【解析】当〃=1时，=26=a；+l,解得％=1,

当7亚2时，2sl+"-1,贝1J2%=2s“一25“_1=屋+〃一(4_1+〃一1),

即2%+1=。3,即@-iy=心

又数列｛““｝为递增数列，

所以故。，一l=a,T,

即a„=1,

所以数列｛4｝是以1为首项，1为公差的等差数列

【题型3】已知等差或等比求通项

基础知识

当题目中给了数列为等差或等比时，可以从前几项入手求基本量，不要再去消S”

6.已知各项均为正数的等比数列｛%｝,其前〃项和为S,,满足2s“=a“+2-6,求数列｛%｝的通项公

式

【解析】（1）设｛%｝的公比为9,则4>。，又2s"=4“+2-6,

当〃=1时，2s1=〃3—6,当〃=2时，2s2=%-6,

两式相减可得，2%—。4-a3,所以2=7-q,

所以4=2或〃=一1（舍去），

所以2S1=a3—6=4%—6,即％=3,

所以等比数列｛4｝的通项公式为%=3x2"-1

2

7.（2023•全国•高考1卷真题）设等差数列｛%｝的公差为d,且d>l.令b『3~,记分别

为数列｛叫,也｝的前〃项和.，若30=36+”3a+7；=21,求｛%｝的通项公式;

【答案】a„=3n

【分析】(1)根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；

【详解】(1)3〃2=3%+。3,.=3d=%+2d,解得％=d,

.e.S3=32=3(q+d)=6d,

…77726129

又7Z=h+h+h=—I----1---=—,

3123dId3dd

9

.-.S+7；=6J+-=21,

3d

即2寸一7〃+3=0,解得d=3或d=g（舍去）,

=q+(〃-1)•d=3〃.

2%,〃为之鲁，记与，4分别为数列e｝，

8.（2023•全国•高考II卷真题）已知｛4｝为等差数列，2=

低｝的前〃项和，$4=32,A=16,求｛%｝的通项公式;

【答案】⑴=2〃+3；

【分析】（1）设等差数列｛%｝的公差为d,用表示S“及（，即可求解作答.

【详解】⑴设等差数列｛%｝的公差为d,而2=］；n=2k，此N，

则瓦=%—6也—2a2=2%+2d,b3=a3-6=ax+2d-6f

S4=4%+6d=32

于是解得q=5,d=2,an=Oy+^ri-V)d=2〃+3,

T3—4〃]+4d—12=16

所以数列｛%｝的通项公式是g=2〃+3.

【巩固练习1】设等差数列｛%｝前“项和S“，％=1,满足25用=〃（4+5）+2,〃€汗，求数列｛为｝

的通项公式

【答案】an=2n-l

【详解】依题意有2（4+%）=q+5+2,

q=l,〃2=3,

又｛凡｝为等差数列，设公差为d,

d=4_/=2,:.an=l+2（n—l）=2n-l

【巩固练习2】知等比数列｛4｝中，。〃+。用=3-2-1〃£?4*）,求数列｛4｝的通项公式及它的前〃项

和

【答案】(l)a“=2i,s.=2"-l

【详解】设等比数列｛4｝公比为q,••,%+。用=3-2"-，

[%+〃2=%+%q=3

­•]2女，解得q=2,%=i,

1%+/=%q+a^q=o

.0„-i1(1-2")

=2,s=_v-----L=r-i

"1-2

【巩固练习3】已知数列｛4｝为等比数列，其前〃项和为S“，且满足S,=2〃+MmeR),求用的值

及数列｛”“｝的通项公式；

x

【答案】m=-l,an=T-

l

【分析】当心2时，Sn_x=T-+m,,两式相减得a“=2"T(〃22),由％=，+机=1,可求出机的值;

【详解】因为5“=2"+相，所以“22时，5“_1=2力+加,所以%=2"T(H22).

又由数列｛4｝为等比数列，所以％=2力.又因为4=1=21+m=2-i=1,所以刈=T,

综上机=-l,a“=2"T.

【题型4】累加法

基础知识

an-l-an-2=/(«-2)

形如%+1=。“+/(”)型的递推数列(其中/(")是关于"的函数)可构造：,

-4=/(I)

将上述加2个式子两边分别相加，可得：a,=y(/i-l)+y(/7-2)+.../(2)+/(1)+^,(M>2)

(1)若/(")是关于"的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；

(2)若/(")是关于〃的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；

(3)若/(")是关于〃的分式函数，累加后可裂项求和.

9.在数列｛4｝中，«i=2,a"+i=4+ln(l+：),则a,=

A.2+lnnB.2+(〃-l)ln〃C.2+nlnnD.1+n+Inn

【答案】A

【详解】试题分析：在数列｛〃/中，%+1-〃〃=ln(l+j

•**an=(an-Q-1)+(”〃-l-an-2)+....+(〃2-)+〃]

inin-1,2与

=In------FIn-------1-........+In—+2

n—1n—21

i/nn-12、-

=ln(-…….)+2

n-1n-21

=ln〃+2

10.在数列｛氏｝中，已知4=1，且%+1=%+(2-1)(2〃+1)，则%

3〃-2

【答案】

21

1

【解析】由%=4，+(2〃_1心+1)可得：

1O______

2(2〃-12n+l)

2

41一一九

1

H---------

2n—3

13n-2

2n-l2〃一1

11.(2024•全国.模拟预测)已知数列｛4｝的前〃项和为S“，且%=3,2S“=”(a“+2),求数列｛4｝的

通项公式；

【答案】⑴%="+1;

【分析】(1)当〃=1时，求得%=2,当心3时，得到2sM=(〃—1)(%_]+2),两式相减化简得到

念-/芍=-2]为一/[)，结合叠加法，即可求得数列｛见｝的通项公式；

【详解】(1)解：当〃=1时，2sl=2%=4+2,解得〃1=2,

当心3时，2S,=+2),2S〃T=(〃-1)(%+2),

两式相减可得，(〃-2)q-=-2,

叠加可得，旦「？=上?，贝小=〃+1,

n-11n-1

而〃=1,2时也符合题意，

所以数列｛%｝的通项公式为%=〃+1.

12.（2024•山东潍坊•一模）已知数列也｝满足%=0,4=1.若数歹是公比为2的等比

数列，则。2024=（）

,20231?2024+1

A.2JB.-~~—C.21012-1D.21011-1

33

【答案】A

【分析】

2

利用等比数列求出an+an+l=2"T,进而求得q+i-%=2"-（n>2）,再利用累加法求通项得解.

12

【详解】依题意，a,+a2=l,an+an+1=T-,当“22时，+a„=2"-,则凡+1-q1=2"2,

所以电024=。。+（%—）+（。6-）++（。20”一。。022）=1+2+2^+25++2~°,

,2（1-41011）22023+1

1-43

【巩固练习1】已知数列｛4｝满足〃i=l,an=an_x+3n-2(n>2),则｛%｝的通项公式为

【解析】因为4=1,an=«n_1+3n-2（n>2）,

所以〃“=3”2（〃22）,

a

即〃2_=4,4一%=7,〃4—=]°，L，4-i—n-2=3"-5,

所以。〃—4—1+%一1—a〃_2++%—%+%—q=（3〃—2）+（3〃-5）++7+4,

用「（3孔一2）+4]（〃一1）3/—〃

即a„-«!=--------L--------，贝"an=-^―（«N2），

当”=1时%=即了也成立，所以为=即9

【巩固练习2］己知数列｛4｝满足/=1,%-a“+i=2%,4+1,则a〃=

1

【答案】

2"—1

【解析】若%+1=。，贝I—〃计1二0,即〃〃=〃〃+1=。，这与4=1矛盾，所以〃计1。0,

11»

2

由。“一。用=2两边同时除以4Ml+i，得二~=,

Un+1Un

则^———2_2

=2"-\—-------—=2"-11=?z11=z

anan-\an-\〃及-2a3a2，a2ax

上面的式子相加可得：—=2+22+23++2"T=X--------'-=X-2

册%1-2

所以

Z—1

【巩固练习3】已知数列｛g｝满足％=2,且("+1”,#]-啊!=2",则%=

A.2B.4C.6D.8

【答案】4

【详解】由(〃+l)4+i—凶“=2",且q=2,根据累加法可得：

nan^nan-(n-l)an_l+(n-l)an_l-(n-2)an_2+---+2a2-a1+a,

=2'i+2"-2+2"-3+…+2+2=2",(力»2),

2n24

所以。〃=一,(n>2),则/=—=4.

n4

【巩固练习4】在首项为1的数列｛4｝中+,则%,=

【答案】3-箸

【解析】因为an+1-an=n-

所"以a?—q=1x—,

a3—a2=2x

a4-a3=3x

见一”“T=("一1)]£|(让2),

以上各式相加得：=lx—+2x—+3x—+

AC

=an-al=lx-+2x—+3x-+

；S=lx(+2x!++(〃—l)x!(“22),②

错位相减：①—②有，—S=—I--+—；■—(〃—1)—(〃22)

22222〃T',2〃7

即齐=2【：J_仅_吟(〃。2),

ZI——/

所以S=2--々_匕12_空^〃22),

2及t2〃-12〃—1'

r?_|_1

又因为%=1,所以有，所以〃〃=3+1=3-万丁(〃22),

检验H=1时，〃]=1符合上式，所以以〃=3_£N*).

【题型5】累乘法

基础知识

区=加-1)

a.

=a-f(ji)—=/(n)|型的递推数列(其中/(〃)是关于〃的函数)可构造：,-=/(«-2)

形故口氏+1an-2

Ian)

”■⑴

%

将上述吗个式子两边分别相乘,可得：an=/(«-1)-/(«-2)•■/(2)/(1)^,(«>2)

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解.

13.(2024・四川泸州•三模)已知S,是数列｛%｝的前“项和，q=l,服向=(〃+2电，贝ija“=.

【答案】(〃+1>2"-2

【解析】当心2时，(〃-l)a“=(〃+l)S“T，即S"=」.，七丁

n+2n+1

nn-\即&2(〃+2)

则S—I向

an〃+l

则有一型也*=2na2_2x3

a

%nn-2九一142

则an=—^x—x丝xq=(n+lY2n~2

an-lan-24

当〃=1时，a,=l,符合上式，故q=(〃+l)-2"2.

故答案为：(〃+1)-2『

14.已知q=1,a”=〃(%+1N+),则数列｛叫的通项公式是%=()

A.2n-lC."2D.n

【答案】D

【详解】由4=＞（%—4）,得（九+1）%="+1,

即3an+}=——n+1

n

Q〃T二九一1册一2二孔一2%_2

则n>2

a9

n-2几_2，an_3n-36Z11

由累乘法可得,=〃，所以q=〃，〃之2,

又%=1,符合上式，所以

15.在数列｛斯｝中，ai=l,〃〃=[1-：＞〃_1（生2）,求数列｛斯｝的通项公式.

【答案】a=-

nn

【分析】利用累乘法即可求出数列｛。几｝的通项公式.

（14“〃一1

【详解】因为。尸1,4二1一一。〃一1（论2）,所以二,

In）。〃一1〃

於,〃_an1%-2%%n—1n—2YI—3211

所以为-------------…-------an\--------------...----1=—.

。〃一1。〃一2"〃-312—1YI—232n

又因为当几=1时，ai=X,符合上式，所以斯二L

n

16.（2022•新高考1卷）为数列｛为｝的前〃项和，已知4=1,是公差为1的等差数列，求｛%｝的

通项公式.

【答案】Wa=

n2

S.,是公差为g的等差数列,

【详解】（1）：4=1,.♦.岳=4=1,；.」=1,又：

%

“+2”.

a'3…"

n3

〃+1)%

.•.当a22时，S)1

3

n+2)an

%=S“-S"T

3~3

整理得：(〃—=(〃+l)a.i，

ann+1

即一二—7,

%〃一1

显然对于〃=1也成立,，｛“〃｝的通项公式。〃=

2

【巩固练习1】已知数列｛4｝满足：%=1且&=」1(心2,〃eN*),则数列｛4｝的通项公式

an-\〃一]

为.

【答案】ajn

an

【解析】因为---=----H>2,neN*

。2_2。3_3〃4_4n

所以

q]'42'/3'，an_xn-1

n

累乘可得空.殳,幺4=x

axa2a3an_x123n-1

即肃二及，所以4=孔(〃>2),

当〃=1时，4=1也成立,

所以〃〃二场.

故答案为：cin=n

【巩固练习2]已知数列｛g｝的前几项和为r，6=1,3s“=(〃+2M,求数列｛%｝的通项公式.

【详解】因为35“=(〃+2)可，所以当“22时，3S“_i=("+l)a,T,

两式作差可得3a.=(〃+2应一,整理得(〃T)%=(〃+l)a“_i.

〃i=l,令〃=2,则3(4+々2)=4〃2，/.电=3,

n+1

所以％w°,所以一~=

〃〃-1n-1

aa_aa_n+1nn-143.n(n+l)

则%nnx32

21'~—2

an_xan_2a2qn—1n—2n—3

〃(几+1)

当扑=1时，q=l也符合上式，综上,

2

【巩固练习3】已知数列｛%｝的首项为1,前〃项和为%且“S用=(〃+2)S“，则数列｛4｝的通项公

式an=•

【答案】n

Sn+2

【详解】解：用=(〃+2)S“，.♦.怦n+]=——

S”“

当“22时，5„=-^x-^x.x^xS,,

n+1nn—1n—26543r

=-----x-------x------x-------x---x—x—x—x—xl

n—1n—2n—3n—44321

_n(n+l)

一_2~

1x2

当〃=1时，S]=2=1=q成立,

.n(n+l)

..=---------,

〃2

„.ccn(n+l)(n-I)n

当"22时，an=Sn-S,_]=------------------=n,

当n=l时，/=1满足上式，

・,・凡=〃.

2

【巩固练习4】已知数列｛凡｝的前〃项和为%Sn=nanf%=1,则S〃=.

【答案】R

n+1

222

【解析】当〃22时，Sn=nan,则S„+1=(w+l)a„+1,两式作差得5,1+]-Sn=(〃+ifan+l-nan,即

22

4向=5+Dan+l-nan,即(〃+2)a“M=nan,

nan-1/八

所以&包----即一^二(n>2)

9

n+21an_xn+V)'

又由S?=224且q=1,即1+%=4%,所以4=ga.1

,可得」

3J

._a_a„_an-1n-2〃一321

则nann----n----------2-•••一2.ai------7-------..------11=〃(九+1)(〃22).

«„-la„-2an-3ai〃+lnn—143

y222(-一一彳),

显然时也符合=而可，可得“"二—

4=14nn+1

_„_11111、”1、2〃

所以S“=2(Z1—彳+彳一；++-------)=2(1-------)=--

223nn+1n+1n+1

故答案为：R.

n+1

【巩固练习5】已知数列｛%｝满足％=1,%=，，4。“+，=4%1，则氏的最小值为

16

【答案】］

64

【解析】因为％=1,%=7,44+2=4匕1，所以q产0,

%+ia、1

所以片号，因此数列.是首项为『正，公比为4的等比数列，

所以如=J-x4"T=4"3

a,,16

(〃-1)5-6)

当“22时，a,=LS・"q=4"'4"-'x…x4/xl=42

an-\an-2ax

-,,,ST)。i)

因为”=1时，4—L=]=q'所6|以％,=42=421i..

ua1

因此当〃=3或〃=4时，〃”取得最小值，为4二一

64

【题型6］前n项之积Tn

基础知识

前n项积1

n(n+l)

角度1:已知北例子：｛2｝的前n项之积T〃=22〃£N*).

角度1：用，得到an

和〃的关系4一1

角度2：已知7,例子：已知数列｛〃"｝的前〃项积为T”，且

角度1：用r-替换题目中

4一112I

和的关系---1--=1

册T-

ann

17.已知数列｛%｝前〃项积为［，且。"+7；=15€z),求证：数列1占,为等差数列;

【详解】因为氏+7；=1,所以4=1一％，％=，

所以&1=1一%T(〃N2),

1—/C、1

两式相除，得为=■;-----(n>2)整理为-----,

2

l-4-i-«n-i

11“C、

再整理得，-----------=1(〃22).

所以数列「一为以2为首项，公差为1的等差数列

1-4，

18.已知数列｛4,｝的前〃项和为S”(〃eN*),在数列｛〃｝中，4=q=l,na”-(“一1)%=2n-1,

b、b力3。也+1=3可，求数列｛%｝,抄“｝的通项公式

【详解】(1)由已知得，当”22时

叫“=["4-(〃-1)%-[+[(〃-1)%-1一("-2)4_2]+—+[2。2-«1]+«1

=(2a-1)+(2”-3)++3+l=n2.

/.an-n(n>i)

当〃=1时，%=1,也满足上式.所以凡="("21)

当〃22时，%=?哈…？=3S--V1=3",二b„=3"-'(»>3)

她4…6“7

当〃=1时，4=1,符合上式

当”=2时，仄%=3%=3,所以4=3,也符合上式，综上，bn=T