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文档简介

专题02化动为静,破解几何动态问题

遇动点,心莫慌,细思量,找到不变与变量;

画出图,细讨论,动变静,将线段(角度)逐一标上;

列方程,细求解.

【动点问题解题步骤】

1.分析题目

找到不动的点,动点,将动点运动方向及速度标记图上;

2.寻求表达式

利用动点速度及运动时间表示出线段长度(角度大小)等;

3.找等量关系,列方程

判断是否需要分类讨论,如果存在多种情况,逐一绘制图形,寻求各自的等量关系,列出方

程求解.

题型一:线段上的动点问题

【例1-1](2020•成都市锦江区期中)(1)如图,己知点C在线段上,线段AC=10厘

米,8。=6厘米,点〃,N分别是AC,8C的中点.求线段MN的长度;

(2)己知点C在线段氏4的延长线上,点N分别是AC,的中点,设5C—=

请根据题意画出图形并求MN的长度;

(3)在(1)的条件下,动点尸、0分别从A、B同时出发,点尸以2cm/s的速度沿AB向

右运动,终点为8,点。以lcm/s的速度沿AB向左运动,终点为A,当一个点到达终点,

另一个点也随之停止运动,求运动多少秒时,C、尸、。三点有一点恰好是以另两点为端点

的线段的中点.

I1111

AA/CNR

【答案】见解析.

【解析】解:(1)•.•线段AC=10厘米,BC=6厘米,点M,N分别是AC,BC的中点,

.•.CM=』AC=5厘米,CN="C=3厘米,

22

;.MN=CM+CN=8厘米;

(2)作图如下,

*,•________,]

CMANB

•.,点M,N分别是AC,8c的中点,

11

;.CM=—AC,CN=-BC,

22

11

.".MN=CN-CM=-(BC-AC)=—a.

22

(3)以C为数轴原点,向右为正方向建立数轴,则A点表示的数为:-10,B点表示的数

为:+6,

设运动时间为ts,C、尸、。三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点,

则P点表示的数为:-10+2t,Q点表示的数为:6-t,

分三种情况讨论:

①当C为P、Q中点时,

-10+2t+6-t=0,解得:t=4,

②当P为C、Q中点时,

0+6-t=2(-10+2t),

解得:t=y,

③当Q为C、P中点时,

0-10+2t=2(6-t)

解得:仁u,

2

综上所述:t=4或g或,时,C、P、。三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点.

【例1-2](2020•丹东市期中)如图,点C在线段AB上,点M、N分别是AC、BC的中点.

AMCNB

(1)若AC=8cm,CB=6c〃z,求线段MN的长;

(2)若C为线段AB上一动点,满足AC+C5=acm,其它条件不变,你能猜想MN的

长度吗?你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗?

【答案】见解析.

【解析】解:(1);点M、N分别是AC、BC的中点,AC=8cm,BC=6cm,

11

.•.CM=—AC=4cm,CN=-BC=3cm,

22

:点C在线段AB±,

MN=CM+CN=4+3=7cm,

(2)由(1)知CM='AC,CN=-BC,

22

:点C在线段AB上,

;.MN=CM+CN

11

=-AC+-BC

22

」(AC+BC)

2

=acm,

无论点c在线段上移动到哪里,线段MN的长度等于线段AB长度的一半.

【变式1-1](2020.江西南昌市期末)已知:如图1,点M是线段A3上一定点,AB^12cm,

C、。两点分别从V、8出发以lc〃"s、2cm/s的速度沿直线8A向左运动,运动方向如箭头

所示(C在线段AM上,。在线段3M上)

<----<-------

・・・•・-

ACMDB

(1)若AM=4on,当点C、。运动了2s,此时AC=,DM=;(直接填空)

(2)当点C、O运动了2s,求AC+ATO的值.

(3)若点C、。运动时,总有MD=2AC,则(填空)

MN

(4)在(3)的条件下,N是直线A3上一点,目AN-BN=MN,求——的值.

AB

【答案】(1)2,4;(2)6cm;(3)4;(4)」或1.

3

【解析】解:(1)根据题意知,CM=2cm,BD=4cmf

VAB=12cm,AM=^cm,

:.AC=AM-CM=2cmfDM=BM-BD=4cm,

故答案为:2cm,4cm;

(2)当点C、O运动了2s时,CM=2cm,BD=4cm

\*AB=12cm,CM—2cm,B£)=4cm

:.AC-^MD=AM-CM+BM-BD=AB-CM-BD=12-2-4=6cm;

(3)根据C、。的运动速度知:BD=2MC,

U:MD=2AC,

:.BD+MD=2(MC+AC),即MB=2AM,

:.AM+2AM=AB,

1

:.AM=-AB=4f

3

故答案为:4;

(4)分两种情况讨论:

①当点N在线段A3上时,

Iiiii1

ACMNDB

•:AN-BN=MN,

•:AN-AM=MN

:.BN=AM=4

:.MN=AB-AM-BN=12-4-4=4

.MN1

・・--二—;

AB3

②当点N在线段A5的延长线上时,

AC_MDB

■:AN-BN=MN,

又,:AN-BN=AB

:.MN=AB=12

.MN

••-----1;

AB

MN1

故答案为----=—或1.

AB3

【变式1-2](2020•河南南阳市期中)如图一,点C在线段AB上,图中有三条线段AB、AC

和BC,若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍,则称点C是线段AB的“巧点”.

(1)填空:线段的中点这条线段的巧点(填“是”或“不是”或“不确定是”)

(问题解决)

(2)如图二,点A和3在数轴上表示的数分别是-20和40,点C是线段A3的巧点,求

点C在数轴上表示的数.

(应用拓展)

(3)在(2)的条件下,动点P从点A处,以每秒2个单位的速度沿AB向点3匀速运动,

同时动点。从点3出发,以每秒4个单位的速度沿班向点A匀速运动,当其中一点到达

终点时,两个点运动同时停止,当A、P、。三点中,其中■点恰好是另外两点为端点的

线段的巧点时,直接写出运动时间/(s)的所有可能值.

ACBAB

•••-200超

as®_____图②

APJBAB

-200出-2004(?

图③备用壁

【答案】(1)是;(2)10或0或20;(3)见解析.

【解析】

解:(1)线段的中点是这条线段的巧点,故答案为:是;

(2)设C点表示的数为x,则AC=x+20,BC=40-x,AB=40+20=60,

根据“巧点”的定义可知:

①当AB=2AC时,有60=2(x+20),

解得,x=10;

②当BC=2AC时,有40-x=2(x+20),

解得,x=0;

③当AC=2BC时,有x+20=2(40-x),

解得,x=20.

综上所述,C点表示的数为10或0或20;

(3)由题意得,AP=2t,P点表示数为2t-20,AQ=60-4t,Q点表示的数为40-4t,

PQ=|40-4t-2t+20|=|60-6t|,

①当A为P、Q两点的“巧点”时,

AQ=2AP,60-4t=2x2t,解得:t=7.5

或AP=2AQ,2t=2(60-4t),解得:t=12

②当P为A、Q两点的“巧点”时,

PA=2PQ,2t=2|60-6t|,解得:t=巴60或t=12

7

或PQ=2PA,|60-6t|=2x2t,解得:t=6或t=30(舍)

③当Q为A、P两点的“巧点”时,

45

QA=2PQ,60-4t=2|60-6t|,解得:t=7.5或t=—

4

90

或QP=2AQ,|60-6t|=2(60-4t),解得:t=一或t=30(舍)

7

综上所述,运动时间的可能值为7.5、12、—、6、—、—.

747

题型二:折线上的动点问题

【例2-1](2020•镇江市月考)如图,将一条数轴在原点。和点3处各折一下,得到一条“折

线数轴”.图中点A表示-10,点3表示10,点。表示18,我们称点A和点C在数轴上相

距28个长度单位.动点P、。同时出发,点P从点A出发,以2单位/秒的速度沿着“折线

数轴”的正方向运动,从点。运动到点3期间速度变为原来的一半,之后立刻恢复原速;动

点。从点C出发,以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动,从点3运动到点。期间速度

变为原来的两倍,之后也立刻恢复原速.设运动的时间为/秒.问:

(1)动点尸从点A运动至C点需要多少时间?

(2)P、。两点相遇时,求出相遇点M所对应的数是多少;

(3)求当/为何值时,P、。两点在数轴上相距的长度与。、3两点在数轴上相距的长度

相等.

【答案】见解析.

【解析】解:(1)动点P从点A运动至C分成三段,分别为AO、OB、BC,

AO段时间为5s,OB段时间为10s,BC段时间为4s,

动点P从点A运动至C点需要时间为5+10+4=19(秒);

(2)点Q经过8秒后从点C运动到OB段,再经进x秒与点P在OB段相遇,此时P所处

点为3,

依题意得:3+x+2x=10,

7

解得:x=-,

3

此时相遇点M对应的数是为3+—=—;

33

(3)分四种情况讨论

①当点P在A0,点Q在BC上运动时,依题意得:

10-2t=8-t,

解得:t=2,

②当点P、Q两点都在0B上运动时,

t-5=2(t-8)

解得:t=ll,

③当P在OB上,Q在BC上运动时,

8-t=t-5,

13

解得:t=一;

2

④当P在BC上,Q在OA上运动时,

t-8-5+10=2(t-5-10)+10,

解得:t=17;

13

即PO=QB时,运动的时间为2秒或一秒或11秒或17秒.

2

【变式2-1](2020•浙江模拟)如图,数轴上,点A表示的数为-7,点2表示的数为-1,

点C表示的数为9,点。表示的数为13,在点8和点C处各折一下,得到条“折线数轴”,

我们称点A和点D在数上相距20个长度单位,动点尸从点A出发,沿着“折线数轴”的正方

向运动,同时,动点。从点。出发,沿着“折线数轴”的负方向运动,它们在“水平路线”射

线BA和射线上的运动速度相同均为2个单位/秒,“上坡路段”从B到C速度变为“水平

路线”速度的一半,“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍.设运动的时间为

f秒,问:

»

D

AB

(1)动点尸从点A运动至。点需要时间为秒;

(2)P、。两点到原点。的距离相同时,求出动点尸在数轴上所对应的数;

(3)当。点到达终点A后,立即调头加速去追P,“水平路线”和“上坡路段”的速度均提高

了1个单位/秒,当点Q追上点P时,直接写出它们在数轴上对应的数.

【答案】(1)15;(2)(3)见解析.

【解析】解:

(1)由题意知:点A表示的数为-7,点B表示的数为-1,点C表示的数为9,点D表示的

数为13,

;.AB=6,BC=10,CD=4

故动点P从点A运动到点D所需时间为+©+±=15(秒),

212

故答案为:15;

(2)由题意,PO=QO,

分以下六种情况:

①当点P在AB,点Q在CD时,

点P表示的数为-7+23点Q表示的数为13-2t,

.,.-7+2t+13-2t=0,无解.

②当点P在AB,点Q在CO时,

点P表示的数为-7+2t,点Q表示的数为17-4t,

;.-7+2t+174=0,

解得t=5,

此时点P表示的数为3,不在AB上,舍去;

③当点P在BO,点Q在CO时,

点P表示的数为t-4,点Q表示的数为17-4t

t-4+17-4t=0

解得t=—,

3

此时点P表示的数为工,不在B0上,舍去;

3

④当点P、Q相遇时,点P、Q均在BC上,

t-4=17-4t

解得t=g,

此时点P表示的数为g,点Q表示的数为g;

⑤当点P在0C,点Q在OB时,

点P表示的数为t-4,点Q表示的数为17-4t,

.\t-4+17-4t=0

13

解得t二彳,

3

此时点P表示的数为工,点Q表示的数为-工,符合题意;

33

⑥当点P在0C,点Q在BA时,

点P表示的数为t-4,点Q表示的数为8-2t,

t-4+8-2t=0

解得t=4,

此时点Q表示的数为0,不在BA上,不符题设,舍去;

综上所述,点P表示的数为』或工;

53

(3)点Q到达点A所需时间为3+@+9=7.5(秒),此时点P到达的点是3.5,

242

点P到达点C所需时间为m+FulS(秒),此时点Q到达的点是6,

故点Q在CD上追上点P,此时点P表示的数为2t-17,点Q表示的数为3t-34.5,

2t-17=3t-34.5,

解得t=17.5,

此时点P表示的数为18,点Q表示的数为18.

【变式2-2](2019•武汉月考)如图1,在数轴上有一条线段AB,A,3表示的数分别是-2

和-7.

BA

-7-2°

图1

(1)若将线段A8的一端平移到原点处,则平移的距离为;

(2)如图2,C为线段上一点,以点C为折点,将此数轴向右对折,若点A落在点3的

(3)移动线段A3,使A对应的数为15,则B对应的数为(直接填空),此时数轴

上的动点M,N分别从A,8出发向左作匀速运动,速度分别为4单位长度/秒和2单位长度

/秒,请问数轴上是否存在定点P,当动点M在线段OA上移动过程中始终满足OM=2PN,

若存在求点尸对应的数;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)2或7;(2)见解析;(3)B对应的数为10,见解析.

【解析】解:

(1),•数轴上有一条线段AB,表示的数分别是-2和-7,

,平移的距离为2或7;

故答案为:2或7;

(2)设点C对应的数为x,则对折后B表示的数是2x+7

.*.BC=2x+7,

1

VAB=-BC,

5

・・・2x+7-(-2)=|(x+7),

QQ

解得:x=-三,

QQ

即c点对应的数是-e;

9

(3)移动线段AB,使A对应的数为15,则AB向右移动17个单位长度,B对应的数为

10,

故答案为:10;

设点P对应的数是y,t秒时满足OM=2PN,点M表示的数是:15-43点N表示的数是:

10-2t,

VOM=2PN,

.\15-4t=2|y-10+2t|,

①15-4t=2(y-10+2t),

2y=35-8t,

y随t的变化而变化,不符合题意,

②15-4t=2(-y+10-2t),

化简为15-4t=-2y+20-4t,即y=g,

故存在,点P对应的数是3.

2

题型三:角度中的动点问题

【例3-1](2020•江苏盐城市月考)七年级学生小聪和小明完成了数学实验《钟面上的数学》

后,制作了一个模拟钟面,如图所示,点。为模拟钟面的圆心,。、N在一条直线上,

指针。4、分别从OM、ON出发绕点。转动,顺时针转动,逆时针转动,OA运

动速度为每秒转动15。,08运动速度为每秒转动5。,当一根指针与起始位置重合时,运动

停止,设转动的时间为1秒(f>0),请你试着解决他们提出的下列问题:

(1)顺时针转动,逆时针转动,当/=秒时,OA与OB第一次重合;

(2)顺时针转动,逆时针转动,当t=3秒时,ZAOB=°;

(3)若他们同时顺时针转动,f为何值时,OA与OB的夹角为20。?

(4)若他们同时顺时针转动,/为何值时,ON平分OA与OB的夹角?0A平分OB与ON

的夹角?

【答案】(1)9;(2)120;(3)16或20;(4)9,14.4.

【解析】解:(1)设f秒后,OA与OB第一次重合,

根据题意可得:15t+5t=180,

解得t=9,

故答案为:9;

(2)当t=3秒时,ZAOM=45°,ZBON=15°,

ZAOB=120°

故答案为:120;

(3)设t秒后,与的夹角为20。,

①当OA与OB重合之前,

由题意:180+5t-l5t=20,

解得t=16;

②当OA与OB重合之后,

由题意:15-5t-180=20,

解得t=20,

,当运动16或20秒时,0A与的夹角为20。;

(4)由题意知:0<t<24,

AZBON=5t,ZAON=|180-15t|,

当ON平分OA与OB的夹角时,即NAON=NBON,

即5t=180-15t,解得t=9;

当OA平分OB与ON的夹角时,即NAON=NAOB,

即5t=2(15M80),解得=14.4.

【变式3-1](2020•焦作市月考)已知数轴有A、B两点,分别表示的数为。、b,且|a+12|+|6

-18|=0.

(1)a=,b=,点A和点8之间的距离为;

(2)如图1,动点P沿线段AB自点A向点8以2个单位长度/秒的速度运动,同时动点。

沿线段A4自点B向点A以4个单位/秒的速度运动,经过秒,动点P,Q两点能相遇;

(3)如图1,点P沿线段自点A向点3以2个单位/秒的速度运动,点P出发3秒后,

点Q沿线段8A自点2向A以4个单位/秒的速度运动,问再经过几秒P,Q两点相距6个

单位长度;

(4)如图2,AO=4厘米,PO=2厘米,/尸。8=60。,点P绕着点。以60度/秒的速度逆

时针旋转一周停止,同时点。沿直线8A自点B向点A运动,假若点P,。两点能相遇,直

接写出点Q运动的速度.

【答案】(1)-12,18,30;(2)5;(3)(4)见解析.

【解析】解:(1)-:\a+12\+\b-18|=0,

a+12=0,b-18=0,

解得,a--12,b—lS,

:.AB=\-12-18|=30,

故答案为:-12,18,30;

(2)30-(2+4)=5(秒),

故答案为:5;

(3)设再经过x秒后点P、点。相距6个单位长度,

当尸点在。点左边时,2(尤+3)+4尤+6=30,

解得,x=3;

当点P在点。右边时,2(尤+3)+4x-6=30,

解得,X—5;

即再经过3或5秒后,点P、。两点相距6

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