七年级数学专项复习：数轴角度中动态问题题型讲义

专题02化动为静，破解几何动态问题

遇动点，心莫慌，细思量，找到不变与变量;

画出图，细讨论，动变静，将线段（角度）逐一标上;

列方程，细求解.

【动点问题解题步骤】

1.分析题目

找到不动的点，动点，将动点运动方向及速度标记图上；

2.寻求表达式

利用动点速度及运动时间表示出线段长度（角度大小）等；

3.找等量关系，列方程

判断是否需要分类讨论，如果存在多种情况，逐一绘制图形，寻求各自的等量关系，列出方

程求解.

题型一：线段上的动点问题

【例1-1］（2020•成都市锦江区期中）（1）如图，己知点C在线段上，线段AC=10厘

米，8。=6厘米，点〃，N分别是AC,8C的中点.求线段MN的长度；

（2）己知点C在线段氏4的延长线上，点N分别是AC,的中点，设5C—=

请根据题意画出图形并求MN的长度；

（3）在（1）的条件下，动点尸、0分别从A、B同时出发，点尸以2cm/s的速度沿AB向

右运动，终点为8,点。以lcm/s的速度沿AB向左运动，终点为A,当一个点到达终点，

另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、尸、。三点有一点恰好是以另两点为端点

的线段的中点.

I1111

AA/CNR

【答案】见解析.

【解析】解：(1)•.•线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M,N分别是AC,BC的中点，

.•.CM=』AC=5厘米，CN="C=3厘米，

22

；.MN=CM+CN=8厘米；

(2)作图如下，

*,•________，]

CMANB

•.,点M,N分别是AC,8c的中点，

11

；.CM=—AC,CN=-BC,

22

11

.".MN=CN-CM=-(BC-AC)=—a.

22

(3)以C为数轴原点，向右为正方向建立数轴，则A点表示的数为：-10,B点表示的数

为：+6,

设运动时间为ts,C、尸、。三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点，

则P点表示的数为：-10+2t,Q点表示的数为：6-t,

分三种情况讨论：

①当C为P、Q中点时，

-10+2t+6-t=0,解得：t=4,

②当P为C、Q中点时，

0+6-t=2(-10+2t),

解得：t=y,

③当Q为C、P中点时，

0-10+2t=2(6-t)

解得：仁u,

2

综上所述：t=4或g或，时，C、P、。三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点.

【例1-2](2020•丹东市期中)如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点.

AMCNB

(1)若AC=8cm,CB=6c〃z,求线段MN的长；

(2)若C为线段AB上一动点，满足AC+C5=acm,其它条件不变，你能猜想MN的

长度吗？你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗？

【答案】见解析.

【解析】解：(1)；点M、N分别是AC、BC的中点，AC=8cm,BC=6cm,

11

.•.CM=—AC=4cm,CN=-BC=3cm,

22

:点C在线段AB±,

MN=CM+CN=4+3=7cm,

(2)由(1)知CM='AC,CN=-BC,

22

:点C在线段AB上，

；.MN=CM+CN

11

=-AC+-BC

22

」(AC+BC)

2

=acm,

无论点c在线段上移动到哪里，线段MN的长度等于线段AB长度的一半.

【变式1-1](2020.江西南昌市期末)已知：如图1,点M是线段A3上一定点，AB^12cm,

C、。两点分别从V、8出发以lc〃"s、2cm/s的速度沿直线8A向左运动，运动方向如箭头

所示(C在线段AM上，。在线段3M上)

<----<-------

・・・•・-

ACMDB

(1)若AM=4on,当点C、。运动了2s,此时AC=,DM=；(直接填空)

(2)当点C、O运动了2s,求AC+ATO的值.

(3)若点C、。运动时，总有MD=2AC,则(填空)

MN

(4)在(3)的条件下，N是直线A3上一点，目AN-BN=MN,求——的值.

AB

【答案】(1)2,4；(2)6cm；(3)4；(4)」或1.

3

【解析】解：(1)根据题意知，CM=2cm,BD=4cmf

VAB=12cm,AM=^cm,

：.AC=AM-CM=2cmfDM=BM-BD=4cm,

故答案为：2cm,4cm；

(2)当点C、O运动了2s时，CM=2cm,BD=4cm

\*AB=12cm,CM—2cm,B£)=4cm

：.AC-^MD=AM-CM+BM-BD=AB-CM-BD=12-2-4=6cm；

(3)根据C、。的运动速度知：BD=2MC,

U：MD=2AC,

：.BD+MD=2(MC+AC),即MB=2AM,

：.AM+2AM=AB,

1

：.AM=-AB=4f

3

故答案为：4；

(4)分两种情况讨论：

①当点N在线段A3上时，

Iiiii1

ACMNDB

•:AN-BN=MN,

•：AN-AM=MN

：.BN=AM=4

：.MN=AB-AM-BN=12-4-4=4

.MN1

・・--二—；

AB3

②当点N在线段A5的延长线上时，

AC_MDB

■:AN-BN=MN,

又,：AN-BN=AB

：.MN=AB=12

.MN

••-----1;

AB

MN1

故答案为----=—或1.

AB3

【变式1-2](2020•河南南阳市期中)如图一，点C在线段AB上，图中有三条线段AB、AC

和BC,若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”.

(1)填空：线段的中点这条线段的巧点(填“是”或“不是”或“不确定是”)

(问题解决)

(2)如图二，点A和3在数轴上表示的数分别是-20和40,点C是线段A3的巧点，求

点C在数轴上表示的数.

(应用拓展)

(3)在(2)的条件下，动点P从点A处，以每秒2个单位的速度沿AB向点3匀速运动，

同时动点。从点3出发，以每秒4个单位的速度沿班向点A匀速运动，当其中一点到达

终点时，两个点运动同时停止，当A、P、。三点中，其中■点恰好是另外两点为端点的

线段的巧点时，直接写出运动时间/(s)的所有可能值.

ACBAB

•••-200超

as®_____图②

APJBAB

-200出-2004(?

图③备用壁

【答案】(1)是；(2)10或0或20；(3)见解析.

【解析】

解：(1)线段的中点是这条线段的巧点，故答案为：是；

(2)设C点表示的数为x,则AC=x+20,BC=40-x,AB=40+20=60,

根据“巧点”的定义可知：

①当AB=2AC时，有60=2(x+20),

解得,x=10；

②当BC=2AC时，有40-x=2(x+20),

解得，x=0；

③当AC=2BC时，有x+20=2(40-x),

解得，x=20.

综上所述，C点表示的数为10或0或20；

(3)由题意得，AP=2t,P点表示数为2t-20,AQ=60-4t,Q点表示的数为40-4t,

PQ=|40-4t-2t+20|=|60-6t|,

①当A为P、Q两点的“巧点”时,

AQ=2AP,60-4t=2x2t,解得：t=7.5

或AP=2AQ,2t=2（60-4t）,解得：t=12

②当P为A、Q两点的“巧点”时，

PA=2PQ,2t=2|60-6t|,解得：t=巴60或t=12

7

或PQ=2PA,|60-6t|=2x2t,解得：t=6或t=30（舍）

③当Q为A、P两点的“巧点”时，

45

QA=2PQ,60-4t=2|60-6t|,解得：t=7.5或t=—

4

90

或QP=2AQ,|60-6t|=2（60-4t）,解得：t=一或t=30（舍）

7

综上所述，运动时间的可能值为7.5、12、—、6、—、—.

747

题型二：折线上的动点问题

【例2-1］（2020•镇江市月考）如图，将一条数轴在原点。和点3处各折一下，得到一条“折

线数轴”.图中点A表示-10,点3表示10,点。表示18,我们称点A和点C在数轴上相

距28个长度单位.动点P、。同时出发，点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线

数轴”的正方向运动，从点。运动到点3期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；动

点。从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点3运动到点。期间速度

变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速.设运动的时间为/秒.问：

（1）动点尸从点A运动至C点需要多少时间？

（2）P、。两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少；

（3）求当/为何值时，P、。两点在数轴上相距的长度与。、3两点在数轴上相距的长度

相等.

【答案】见解析.

【解析】解：（1）动点P从点A运动至C分成三段，分别为AO、OB、BC,

AO段时间为5s,OB段时间为10s,BC段时间为4s,

动点P从点A运动至C点需要时间为5+10+4=19（秒）；

(2)点Q经过8秒后从点C运动到OB段，再经进x秒与点P在OB段相遇，此时P所处

点为3,

依题意得：3+x+2x=10,

7

解得：x=-,

3

此时相遇点M对应的数是为3+—=—；

33

(3)分四种情况讨论

①当点P在A0,点Q在BC上运动时，依题意得：

10-2t=8-t,

解得：t=2,

②当点P、Q两点都在0B上运动时，

t-5=2(t-8)

解得：t=ll,

③当P在OB上，Q在BC上运动时，

8-t=t-5,

13

解得：t=一；

2

④当P在BC上，Q在OA上运动时，

t-8-5+10=2(t-5-10)+10,

解得：t=17；

13

即PO=QB时，运动的时间为2秒或一秒或11秒或17秒.

2

【变式2-1](2020•浙江模拟)如图，数轴上，点A表示的数为-7,点2表示的数为-1，

点C表示的数为9,点。表示的数为13,在点8和点C处各折一下，得到条“折线数轴”，

我们称点A和点D在数上相距20个长度单位，动点尸从点A出发，沿着“折线数轴”的正方

向运动，同时，动点。从点。出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射

线BA和射线上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平

路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍.设运动的时间为

f秒，问:

»

D

AB

(1)动点尸从点A运动至。点需要时间为秒；

(2)P、。两点到原点。的距离相同时，求出动点尸在数轴上所对应的数；

(3)当。点到达终点A后，立即调头加速去追P,“水平路线”和“上坡路段”的速度均提高

了1个单位/秒，当点Q追上点P时，直接写出它们在数轴上对应的数.

【答案】(1)15；(2)(3)见解析.

【解析】解：

(1)由题意知：点A表示的数为-7,点B表示的数为-1,点C表示的数为9,点D表示的

数为13,

；.AB=6,BC=10,CD=4

故动点P从点A运动到点D所需时间为+©+±=15(秒)，

212

故答案为：15；

(2)由题意，PO=QO,

分以下六种情况：

①当点P在AB,点Q在CD时，

点P表示的数为-7+23点Q表示的数为13-2t,

.,.-7+2t+13-2t=0,无解.

②当点P在AB,点Q在CO时，

点P表示的数为-7+2t,点Q表示的数为17-4t,

；.-7+2t+174=0,

解得t=5,

此时点P表示的数为3,不在AB上，舍去；

③当点P在BO,点Q在CO时，

点P表示的数为t-4,点Q表示的数为17-4t

t-4+17-4t=0

解得t=—,

3

此时点P表示的数为工，不在B0上，舍去；

3

④当点P、Q相遇时，点P、Q均在BC上，

t-4=17-4t

解得t=g,

此时点P表示的数为g,点Q表示的数为g；

⑤当点P在0C,点Q在OB时，

点P表示的数为t-4,点Q表示的数为17-4t,

.\t-4+17-4t=0

13

解得t二彳，

3

此时点P表示的数为工，点Q表示的数为-工，符合题意；

33

⑥当点P在0C,点Q在BA时，

点P表示的数为t-4,点Q表示的数为8-2t,

t-4+8-2t=0

解得t=4,

此时点Q表示的数为0,不在BA上，不符题设，舍去；

综上所述，点P表示的数为』或工；

53

（3）点Q到达点A所需时间为3+@+9=7.5（秒），此时点P到达的点是3.5,

242

点P到达点C所需时间为m+FulS（秒），此时点Q到达的点是6,

故点Q在CD上追上点P,此时点P表示的数为2t-17,点Q表示的数为3t-34.5,

2t-17=3t-34.5,

解得t=17.5,

此时点P表示的数为18,点Q表示的数为18.

【变式2-2］（2019•武汉月考）如图1,在数轴上有一条线段AB,A，3表示的数分别是-2

和-7.

BA

-7-2°

图1

(1)若将线段A8的一端平移到原点处，则平移的距离为；

(2)如图2,C为线段上一点，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A落在点3的

(3)移动线段A3,使A对应的数为15,则B对应的数为(直接填空)，此时数轴

上的动点M,N分别从A,8出发向左作匀速运动，速度分别为4单位长度/秒和2单位长度

/秒，请问数轴上是否存在定点P,当动点M在线段OA上移动过程中始终满足OM=2PN,

若存在求点尸对应的数；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)2或7;(2)见解析；(3)B对应的数为10,见解析.

【解析】解：

(1),•数轴上有一条线段AB,表示的数分别是-2和-7,

，平移的距离为2或7；

故答案为：2或7；

(2)设点C对应的数为x,则对折后B表示的数是2x+7

.*.BC=2x+7,

1

VAB=-BC,

5

・・・2x+7-(-2)=|(x+7),

QQ

解得：x=-三，

QQ

即c点对应的数是-e；

9

(3)移动线段AB,使A对应的数为15,则AB向右移动17个单位长度，B对应的数为

10,

故答案为：10；

设点P对应的数是y,t秒时满足OM=2PN,点M表示的数是：15-43点N表示的数是：

10-2t,

VOM=2PN,

.\15-4t=2|y-10+2t|,

①15-4t=2(y-10+2t),

2y=35-8t,

y随t的变化而变化，不符合题意，

②15-4t=2(-y+10-2t),

化简为15-4t=-2y+20-4t,即y=g，

故存在，点P对应的数是3.

2

题型三：角度中的动点问题

【例3-1](2020•江苏盐城市月考)七年级学生小聪和小明完成了数学实验《钟面上的数学》

后，制作了一个模拟钟面，如图所示，点。为模拟钟面的圆心，。、N在一条直线上,

指针。4、分别从OM、ON出发绕点。转动，顺时针转动，逆时针转动，OA运

动速度为每秒转动15。，08运动速度为每秒转动5。，当一根指针与起始位置重合时，运动

停止，设转动的时间为1秒(f>0),请你试着解决他们提出的下列问题：

(1)顺时针转动，逆时针转动，当/=秒时，OA与OB第一次重合；

(2)顺时针转动，逆时针转动，当t=3秒时，ZAOB=°；

(3)若他们同时顺时针转动，f为何值时，OA与OB的夹角为20。？

(4)若他们同时顺时针转动，/为何值时，ON平分OA与OB的夹角？0A平分OB与ON

的夹角？

【答案】(1)9；(2)120；(3)16或20；(4)9,14.4.

【解析】解：(1)设f秒后，OA与OB第一次重合，

根据题意可得：15t+5t=180,

解得t=9,

故答案为：9；

(2)当t=3秒时，ZAOM=45°,ZBON=15°,

ZAOB=120°

故答案为：120；

(3)设t秒后，与的夹角为20。，

①当OA与OB重合之前，

由题意：180+5t-l5t=20,

解得t=16；

②当OA与OB重合之后，

由题意：15-5t-180=20,

解得t=20,

,当运动16或20秒时，0A与的夹角为20。；

(4)由题意知:0<t<24,

AZBON=5t,ZAON=|180-15t|,

当ON平分OA与OB的夹角时，即NAON=NBON,

即5t=180-15t,解得t=9；

当OA平分OB与ON的夹角时，即NAON=NAOB,

即5t=2(15M80),解得=14.4.

【变式3-1](2020•焦作市月考)已知数轴有A、B两点,分别表示的数为。、b,且|a+12|+|6

-18|=0.

(1)a=,b=，点A和点8之间的距离为；

(2)如图1,动点P沿线段AB自点A向点8以2个单位长度/秒的速度运动，同时动点。

沿线段A4自点B向点A以4个单位/秒的速度运动，经过秒，动点P,Q两点能相遇；

(3)如图1,点P沿线段自点A向点3以2个单位/秒的速度运动，点P出发3秒后，

点Q沿线段8A自点2向A以4个单位/秒的速度运动，问再经过几秒P,Q两点相距6个

单位长度；

(4)如图2,AO=4厘米，PO=2厘米，/尸。8=60。，点P绕着点。以60度/秒的速度逆

时针旋转一周停止，同时点。沿直线8A自点B向点A运动，假若点P,。两点能相遇，直

接写出点Q运动的速度.

【答案】（1）-12,18,30；（2）5；（3）（4）见解析.

【解析】解：（1）-：\a+12\+\b-18|=0,

a+12=0,b-18=0,

解得，a--12,b—lS,

：.AB=\-12-18|=30,

故答案为：-12,18,30；

（2）30-（2+4）=5（秒），

故答案为：5；

（3）设再经过x秒后点P、点。相距6个单位长度，

当尸点在。点左边时，2（尤+3）+4尤+6=30,

解得，x=3；

当点P在点。右边时，2（尤+3）+4x-6=30,

解得，X—5；

即再经过3或5秒后，点P、。两点相距6