人教版八年级上册数学期末复习：填空压轴题 练习题（含答案解析）

人教版八年级上册数学期末复习：填空压轴题专题练习题

1.如图，△ABC^,ABAC=90°,AB=22,AC=28,点P以每秒1个单位的速度按B-A-C

的路径运动，点Q以每秒2个单位的速度按C-A-B的路径运动，在运动过程中过点P作

2尸11于点尸，点。作。611于点6,两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运

动.设运动t秒时AP凡4三ANGQ,则t的值是.

2.我们把两个不全等但面积相等的三角形叫做一对偏等积三角形.已知A4BC与ADEF是

一对面积都等于S的偏等积三角形，且力B=AC=DE=DF,BC=a,那么EF的长等于—

（结果用含a和S的代数式表示）.

3.如图，在AABC中，点。、点E分别是边4B、AC的点，将4。和BD分别沿DE和DC折叠

至4D.已知N4C4=36。且NB+鸟用=90°,则N4DC为°.

4.将长方形纸带先沿EF折叠成图1,再沿PQ折叠成图2,此时PB"恰好经过点F,若乙4FE=

乙FQP=^A"MF=a,贝b的度数为度.

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5.在RtAABC中，NC=90。，Z.B=30°,BC=6,。为48的中点，P为8c上一动点，连接

AP,DP,贝IMP+DP的最小值是.

6.如图，等边三角形40B中，B(-4,0),点。是。B上一点，且BD=a.若点E是y轴正半

轴上一动点，尸是线段力B上一动点.当DE+EF的值最小时，点尸的横坐标为.(用含

a的式子表示)

7.如图，分另(j以△ABC的边力B、BC为边向外作等边AABE和等边△BCD,连接AD,EC,EC

交AB于点M交4。于点若SAMAN=4SAMBN，ME=25,贝的长度为.

8.一个四位数2=MXN,其中M、N均为两位数，M、N的十位数字相同且|M-N|=2,

则力的最小值是—；将M放在N的左边形成一个新的四位数B,我们称B为4的“合构数”，

若B的百位数字与它的个位数字相乘所得的积能被它的百位数字加4的和整除，且4能被17

整除，则满足条件的B的最小值是.

9.已知a,b,c为整数，满足a+b+c=10,S=(10a+Z)c)(10b+ac)(10c+ah')>2019,

则S的最小值是.

10.已知1(+'I”+2+£=O,则马+1+目的值为

abcxyzaz

(a-2x<0

11.若关于久的一元一次不等式组卜二+工〈工无解，关于y的分式方程7白+三=1的解为

(6十2-6yy

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整数，则所有满足条件的整数a的值之和是.

12.我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式.如果一个分式的分子的次

数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形

式.(我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”).

r-2x+32x,2,2T74X2+2X+3

如——=-+-=%+-;又如1rl:丝宜‘=丝宜+—=%+1+3.若

XXXXx+1x+1x+1x+lX+1

学帘可以写成一个整式与“真分式”看的和的形式，则0十八一

13.某校举行运动会时，由若干名同学组成一个13列的长方形彩旗队阵.如果原队阵中增

加16人，能组成一个正方形队阵；如果原队阵中减少16人，也能组成一个正方形队阵，则

原长方形彩旗队阵中有同学—人.

14.(1)若多项式m久3+九久2—61万—36能被2久+1和3x—4整除，则m—n=.

(2)如图，在AABC中，NB2C=NBC4=44。，M为△ABC内一点，使得NMC4=30。，

^MAC=16°,则N8MC的度数为

15.如图，在等腰RtAABC中，AB=AC,在4C边上取一点D,连接BD,点E为线段RD上

一点，以BE为斜边作等腰RtABEF.连接AE、AF,CE,力尸交8。于G,M为CE上一点,连

接2M；在下列结论中：

®£.EAD=^ABD-,

②若4E垂直平分GD,则N4FE+乙ABD=45°；

③若4E垂直平分GD,贝！MD+GF=AB-,

④若NF4M=45。，贝IJEC=2EM；

其中正确的结论有.(填写正确结论的序号)

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16.如图，点尸在N40B内部，点M,N分别是边。4,0B上的动点，点M,N不与点。重

（1）若将点P在NAOB的内部移动位置，使。P平分N力0B,当PNII04ON=2时，PN的长

等于

（2）若乙4OB=60。，OP=a,随着点N位置的变动，当APMN周长最小时，点。到

直线MN的距离等于—.（用含a的代数式表示）

17.如图，在四边形4EDC中，/.EAC+Z.EAD=180°,且N4DE=30。，^ADC=120°.若

^DAC=40°,贝吐£7力的度数为.

18.如图，己知：四边形48CD中，对角线平分乙48C,乙4cB=72。，ZXBC=50°,并

且NBA。+/.CAD=180°,那么乙BDC的度数为

19.若一个三角形中一个角的度数是另一个角的度数的3倍，则称这样的三角形为“和谐三

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角形”.例如,三个内角分别为120。，40。，20。的三角形是“和谐三角形”，如图，直角三角

形ABC中，ACAB=90°,AABC=60°,。是边CB上一动点.当△4DC是“和谐三角形”时，

NZMB的度数是.

20.如图，在四边形ABCD中，ZB=ZC=90°,AB=BC=2,CD=1,Fi是BC的中点，连接

AFi，DFi，得到△AFiD;点F2是CFi的中点，连接AF2，DF2,得到△AF?D；点F3是CF?

的中点，连接AF3,DF3,得到AAF3D；.…；按照此规律继续进行下去，则AAFnD的面积

为.（用含正整数n的式子表示）

21.如图，在△ABC中，ZACB=60°,NABC=a（2（）o<a<120。）,AE平分△ABC的外角NBA。，

CF将分成1：2两部分.若AE、CF交于点G,则NAGC的度数为（用含a的

代数式表示）.

22.已知：在AABC中，ZB=ZC,D,E分别是线段BC,AC上的一点，MAD=AE,

（1）如图1,若NBAC=90。，。是8C中点，则N2的度数为；

（2）借助图2探究并直接写出/I和/2的数量关系—.

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A

A

图1

二、解答题

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参考答案:

1.6或三

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、垂线的定义、一元一次方程的应用，分类讨论:

①当点尸在上，点。在2C上，②当点尸在4C上，点。在B4上，③点P与。重合在B2上,

根据题意结合全等三角形的性质得出P4=AQ,再分别用f表示出P力和力Q的长，列出等式,

解出即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质，并利用分类讨论的思想是解决问题的关键

【详解】(1)当尸点在84上，点。在AC上，如图1,

•/△PFAmA4GQ,

：.PA=AQ,

即22-t=28-23

解得：t=6,

即P点运动6秒；

(2)当点P在AC上，点。在84上，如图2,

则4P=t-22,AQ=2t-28,

•/△PFA三AAGQ,

：.PA=AQ,

即t-22=2t-28,

解得t=6,

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此时不符合题意；

(3)点尸与。重合在B4上，如图3,

：.AP=AQ,

即22-t=2t-28,

解得：t=?，

，综上可知：1=6或1=日，

故答案为：6或停

2.-

a

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的面积等知识，由

面积相等可得相应等式，作出三角形的高，作出辅助线构造三角形全等，证明三角形全等是

是解题的关键.

【详解】解：如图：AB=AC=DE=DF,过C作CM1AB于M,过F作FN1ED交ED延长

线于N,延长BA到K使2K=AB

11

S-BC=-AB,CM=S,S^DEF=~DE^FN=S

・•.CM=FN

•••AC=DF

・•・Rt△AMC=RtADNF(HL)

.•・/-MAC=乙NDF

•••Z.CAK=180°-zMi4C,乙EDF=180°一乙NDF

・•.Z.CAK=乙EDF

vAK=AC=DE=DF

ACK=△DFE(SAS)

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EF=CK,S^KBC=2s

AK=AC=DE=DF

AABC=^ACB,乙K=LACK

1

••・乙ACB+乙ACK=乙ABC+=-x180°=90°

・•・乙BCK=90°

1

•4,S^KBC=qBC.CK=2S

BC=a

4s

CK=—

•L•・LEF=4s—.

a

故答案为：竺.

a

3.54

【分析】本题考查了基本图形变换折叠，三角形的内角和定理，换元的思想方法，关键是利

用换元的思想方法，使分析思路更清晰.

设乙4CD=a,贝IJ乙4'C。=+=a+36。，设乙B=0,由翻折可知，乙A'DC=

人BDC/BCD=乙ACD=a+36°,再根据三角形的内角和定理，即可得出结果.

【详解】解：^ACD=a,则N4CD=44CE+NACD=a+36。，设乙B=0,

rr

由翻折可知，/-A'DC=ABDCf^BCD=^ACD=a+36°,/-A=Z.EAD,

LEA!C=z.EArD+Z-DArC=Z-A+Z-B=Z-A+0,乙ACB=2a+36,

由NB+^^=90。，得=180。—20,

在△4EC中，/-A'EC=180°-/.A'CE-^EA'C=180°-36°-/?-zX=144。一£—NA,

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144°一£一Z71=180°-26,

解得：44=。一36。①，

在44BC中，乙ACB=180°-ZX-ZB=180°一〃-0=2a+36,

解得：ZX=144°-2a-/?@

由①②得a+0=90。，

在4BCD中，乙CDB=180°-ZB-乙BCD=180°-/?-(«+36°)=144°一(a+£)=

144°-90°=54°,

•••^A'DC=乙CDB=54°.

故答案为:54.

4.72

【分析】本题考查了折叠问题，三角形的内角和定理，平行线的性质，根据平行线的性质可

得“EF=4AFE=a,根据三角形内角和定理可得出NEQF=180。-2a,进而根据平行线

的性质可得NEQM=4EQF+乙FQM=AA"MF=a,得出NPQM=4FQP+乙FQM=4a—

180°,根据折叠得出NA'QP=NPQM=4a-180。，进而根据平角的定义得出NAQP+

乙PQF=5a-180°=180°,即可求解.

【详解】解:'：/.AFE=乙FQP=AA"MF=a,AD\\BC

•,Z-QEF=Z-AFE—a,

•••折叠

:.乙QFE=Z.AFE=a,

在AEFQ中，/.EQF=180°-2a,

\'AD\\BC,

C./.EQM=4EQF+乙FQM=AA"MF=a

:.乙FQM=a-(180°-2a)=3a-180°

\'/.FQP=a

J.^PQM=乙FQP+4FQM=4a-180°

•••折叠，

：.^A'QP=乙PQM=4a-180°

又乙PQF=a

J.^A'QP+乙PQF=5a-180°=180°

解得：a=72。

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故答案为：72

5.6

【分析】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），直角三角形的两个锐

角互余，含30度角的直角三角形，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，三线合一，

三角形的面积公式，等式的性质2,线段垂直平分线的性质，垂线段最短等知识点，熟练掌

握用做对称的方法解决最短路线问题是解题的关键.

作A关于BC的对称点4,连接由乙4cB=90。，乙48c=30。可得NC4B=60°,

AB=24C,根据轴对称的性质可得4c=AC,BC是44的垂直平分线，进而可得力B=AA',

于是证得AaN'B是等边三角形，则44'=AB,由三线合一可得AD1AB,进而利用三角形

的面积公式可得4D=BC=6,由垂直平分线的性质可得2P=4P,于是可得4P+DP=

AP+DP,根据垂线段最短可知4P+DP24。=6,于是可得答案.

【详解】解：如图，作4关于BC的对称点4,连接AB,A'P,A'D,

A

乙ACB=90°,^ABC=30°,

•••乙CAB=90°-/.ABC=90°-30°=60°,AB=2AC,

・•・4是4关于BC的对称点,

・•・根据轴对称的性质可知，A'C=AC,BC是44的垂直平分线,

•••AA'=AC+A'C=AC+AC=2AC,

•••AB=AA',

・•・△44'8是等边三角形,

：.AA'=A'B,

。为AB的中点,

A'DLAB,

SA4HB=--AB-A'D=--AA'-BC,且AB=AA',

A'D=BC=6,

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BC是44的垂直平分线,

AP=A'P,

AP+DP=A'P+DP,

••・垂线段最短,

A'P+DP>A'D=6,

即：AP+DP>6,

4P+DP的最小值是6,

故答案为：6.

8+a

6.

4

【分析】本题考查了轴对称-最短路径以及含30。的直角三角形的性质，根据题意得出。E+

EF的值最小时的情况是解本题的关键.作点。关于y轴的对称点过点E作EF14B,过

点尸作尸”1OB,如图，此时DE+EF的值最小，然后根据30。所对的直角边等于斜边的一半

进而得出答案.

【详解】解：作点。关于y轴的对称点过点E作EF1AB,过点尸作如图，此

•••等边三角形40B中，5(-4,0),点。是。8上一点，且

BD=a.

DO=4—(z,OB—4,Z-AOB=60°,

•・•点。关于y轴的对称点是

・•.OM=DO=4—a,

BM—8—CLj

EF1AB,

・•・Z.BMF=30°,

BcFri=-1BcMn/=8———Cl，

22

•・•FH1OB,

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・•・乙BFH=30°,

・•・BH=-BF=—,

24

—

cr*八cerrA8Q8+tl

OH=OB-BH=4-------=—,

44

・•.点尸的横坐标为一岁，

4

故答案为：-号

4

7.5

【分析】利用等边三角形的性质证明AEBCmAABD,得到NBEC=NB4D,进而推出

^EMA=60°,将4BEM绕点8旋转60。得到△BAG,过点B作BF1MN,过点M作MH1BG,

过点4作4L1BG,交CE于点K,推出△BMG为等边三角形，得到MN||BG,进而推出近=

5MH,得到SA®=5SABMG，进而得到”G="G,可得出结果.

【详解】解：：等边△ABE和等边△BCD,

：.^EBA=ADBC=60°,BE=BA,BD=BC,

:.乙EBC="BD,

贝UAEBC三△ABD(ASA),

."BEC=ABAD,

:4BNE=乙ANM,

J./.EMA=/.EBA=60°.

过点B作BF1MN,过点M作MH1BG,过点2作AL1BG,交CE于点K,将4BEM绕点B旋

转60°得至IjABAG,贝！I：AG=EM25,Z.BAG=ABEM,AMBG=60°,BM=BG,

...△BMG为等边三角形，

:.乙BGM=60°,BM=MG,

=^BAM,

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"BEM=LBAG,

9：/LAME=乙BGM=60°,

：.EM||BG,

：.AKLEM,KL=BF=MH,

•S^MAN=4s^MBN，

：.-MN^AK=4x-MN-BF,

22

：.AK=4BF=4MH,

：.AL=5MH,

・：S&ABG=|BG•AL,SKBMC=|BG.M”，

・・^LABG=5s"MG，

・S^ABG_4G_匚

•.——D,

S^BMGMG

：.MG=)G=5,

：.BM=MG=5；

故答案为：5.

【点睛】本题主要考查等边三角形的判定性质、全等三角形的判定和性质、平行线的判定和

性质，同高(同底)三角形的面积比.解题的关键是构造全等三角形，利用等积法进行求解.

8.10233436

【分析】本题考查因式分解的应用，整除，根据当最大数不超过32时，2W960,当k=33

时，A=1023,根据4能被17整除，可知M,N中必有一个是17的整数倍，即为34,68,85,

然后根据“B的百位数字与它的个位数字相乘所得的积能被它的百位数字加4的和整除”逐一

检验即可解题.

【详解】解：设较大的两位数是匕则较小的两位数是k-2,

则力=k(k-2)=fc2-2k,

是四位数，

当kW32时，AW960不符合题意；

当k=33时，A=1023,符合题意；

4的最小值是1023,

能被17整除，

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：.M,N中必有一个是17的整数倍，即为34,68,85；

当M=34时,N=32,数B=3234,这时2x4=8不能被2+4=6整除，不符合题意;

当M=68时,N=66,数B=6668,这时6x8=48不能被6+4=10整除，不符合题意;

当M=85时,N=83,数B=8385,这时3x5=15不能被3+4=7整除，不符合题意;

当M=34时,N=36,数B=3436,这时4X6=24能被4+4=8整除，符合题意;

当M=68时,N=70,不符合题意;

当M=85时，N=87,数B=8587,这时5x7=35不能被5+4=9整除，不符合题意;

故满足条件的B的最小值是3436,

故答案为:1023,3436.

9.2116

【分析】本题考查整式的运算，因式分解的应用.解题关键是利用因式分解把已知和所求整

式变形.根据已知条件把已知和所求式子进行整理变形，即可解答.

【详解】解：a+6+c=10.

a—10—b—c,b=10—a—c,c=10—CL—b,

S=(10a+bc)(10b+ac)(10c+ah')

=(100-10b-10c+Z)c)(100-10a-10c+ac)(100-10a-10b+ab),

100-10b-10c+be可因式分解，变为(b-10)(c-10),

同理100-10a-10c+ac=(a-10)(c-10),

100—10a—10£>+ab=(a-10)(/?-10),

二原式=(b-10)(c-10)(a-10)(c-10)(a-10)-10)

=(a-10)2(6-10)2(c-10)2

=[[a-10)(b-10)(c-10)]2,

故S为一个平方数，

a+b+c=10_S.a,b,c为整数，

・•.a,b,c至少有一个是偶数，于是S为偶数，

­.•S>2019,

S2462H2116.

故答案为：2n6.

10.1

【分析】本题考查的是分式的求值，考查对换元法的理解和运用，掌握完全平方公式的应用

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是解本题的关键.设”仙衿人-=t.可得7H+?i+t:=l,nt+mt+mn=0,再利

c

用完全平方公式进行计算即可.

y

【详解】解：设”如-=t.

L,c

Va-+7b+-c=1，

.•-m+n+t=1.

•之+”=0,

xyz

111

—I----1—=0,

mnt

nt+mt+mn八

>=0,

mnt

-'-nt+mt+mn=0.

222

.^7+^7+^7=m2+n2+t2=(m+n+t)2—2(mn+nt+mt)=l2—0=1.

azb"cz

故答案为：1.

11.9

【分析】本题考查了一元一次不等式组无解的问题，分式方程的整数解，先由一元一次不等

式组无解求出a得取值范围，再求出分式方程的解，根据分式方程的解为整数求出a满足条

件的整数值，即可求解，由一元一次不等式组无解求出a得取值范围以及根据分式方程的解

的情况求出a的值是解题的关键.

【详解】解：工〈工、，

由①得，%>p

由②得，%<-1,

fa-2%<0

一元一次不等式组在T工1V1无解，

+2-6

2

**•CL>—2,

由方程--+乌*=1得，y=“7，

1-yy-1'a-1

•・,分式方程A+R=l的解为整数，。>-2且a为整数,

l-yy-1

：.a-l=-2或一1或0或1或2或3或6,

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：.a=-1或0或1或2或3或4或7,

XVy-1丰0,

U-1

•'aW7,

：.a=-1或0或1或2或3或4,

・•・所有满足条件的整数a的值之和为一1+0+14-2+3+4=9,

故答案为：9.

12.1

【分析】由真分式的定义得安詈-3的结果是整式,对此进行化简得片瓷磬,

要使其为整式a、b需满足的条件，即可求解.

【详解】解：由题意得

x3+ax2+2%+bx

%2+%+1%2+%+1

x3+ax2+%+b

%2+%+1

%(%2+ax+1)+b

%2+x+1

x(x2+ax+l)+b

l是整式,

x2+x+l

a=1,6=0,

a+b

=1+0

=L

故答案：L

【点睛】本题考查了新定义，分式的减法，求代数式值，理解新定义，根据新定义将问题转

化为分式的减法运算是解题的关键.

13.65

【分析】本题考查平方差公式的应用，解二元一次方程组设原长方形队阵中有同学16x（x为

正整数）人，根据增加或减少16人就能组成一个正方形队阵，设正方形方阵的边长分别为他，

n,列式后得出爪2—足=32,再用平方差公式分解因式，建立二元一次方程组求解即可.

【详解】解：设原长方形队阵中有同学13支（工为正整数）人，贝I」由已知13%+16与13%-16

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均为完全平方数，设正方形方阵的边长分别为优，“，可得口乎+；£=吟其中〃2,W为正

(13%-16=n2

整数.

两式相减，得62一n2=32,

即(m+n)(m—n)=32.

V32=1x32=2x16=4x8,

m+九和租—ri同奇或同偶，

.Cm+n=16pP-Cm+n=8

**Im—n=2Im—n=4?

解得｛机=?或｛巾

I九=7In=2

当m=9时，13%=92-16=65,x=5,

当m=6时，13久=6z-16=20,%不合题意，舍去；

故原长方形队阵中有同学65人.

故答案为：65.

14.(1)-10；(2)150°

【分析】(1)设多项式的第三个因式为以+9,根据题意得出(加+9)(2*+1)(3“—4)=

6tx3+(54—5t)久2—(4t+45)x-36=mx3+nx2—61%—36,从而得出m=6t,54—

5t=n,4t+45=61,求出zn、n>t,代入计算即可得出答案；

(2)作BD14C于D,延长CM交BD于E,连接力E,先证EC=EA,得NEG4=Z.EAC=30°,

再证明△BR4=△M瓦4(AAS)得A8=AM,贝UNBAM=76°,然后求出NCM4=134°,即可

得出答案.

【详解】解：(1)设多项式的第三个因式为垃+9,

由题意得：(tx+9)(2%+1)(3久-4)=6tx3+(54—St')%2—(4t+45)久—36=mx3+

nx2—61x—36,

m=6tf54-5t=n,4t+45=61,

解得：t=4,m=24,n=34,

.*.m—n=24-34=—10,

故答案为：—10；

(2)如图，作于D,延长CM交于E,连接AE,

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B

U：^LBAC=乙BCA=44°,

・・・△ABC是等腰三角形，AB=CB,AABC=180°-/-BAC-^BCA=92°,

•：BDLAC,

・・・80垂直平分"，乙CBD=乙ABD=46°,

：.EC=EAf

：./.ECA=Z.EAC=30°,

'：Z.EAC=乙EAM+Z.MAC=30°,乙BAC=2BAE+LEAD,

：.^EAM=AEAC-^MAC=30°-16°=14°,乙BAE=ABAC一乙EAC=44°-30°=14°,

：.^EMA=乙EAM=14°,

U：^EMA=^ECA+^MAC=30°+16°=46°,

：.^EMA=AEBA=46°,

U：AE=AE,

：.△BEA三△MEA(AAS),

：.AB=AM,

•••△ZBM为等腰三角形，

9：^BAM=Z-BAE+乙EAM=14°+14°=28°,

J./.BMA=1X(180°-Z-BAM}=76°,

\"^CMA=180°-^MCA-AMAC=134°,

:.乙BMC=360°-ACMA-^.BMA=150°,

故答案为：150。.

【点睛】本题考查了多项式乘以多项式、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性

质、三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，

添加适当的辅助线是解此题的关键.

15.②③④

【分析】对于①，由于点的位置不确定，无法说明NR4D=乙48。，故①错误；对于②，

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过点F作FK1BE于点、K,由4。=AG,知=Z2,显然N1=45,由FK||AE得至IJN2=Z4,

故=z2=z4=z5,显然NEFK=45°=z3+z4,故〃FE+4ABD=45°,故②正确；

对于③，先证明NAFB=N4BF,贝iMF=4B,故力G+GF=4B,即TW+GF=4B,故③

正确；对于④，过点尸作力F的垂线交4M延长线于点N,连接NE,先证明△FEN三4FBA(SAS),

则NE=AB,Z.7=Z8,再证明ANME=A/1MC(AAS),则EM=MC,继而EC=2EM,故④

正确.

【详解】解：对于①，由于点D,E的位置不确定，无法说明N瓦4D=乙4BD,故①错误；

对于②，过点尸作FK1BE于点K,

：.AD=AG,

.\zl=N2,

:等腰Rt△4BC,即N84C=90°,

.\zl+BAE=^BAE+Z5=90°,

z.1=z5,

9：FK1BD,AE1BD.

：.FK||AE,

z2=z4,

z.1=z2=z4=z5

•・•等腰

：.FE=FB,Z.EFB=90°,

9：FK1BD

.•.zEFK=45°=z3+z4,

・••乙4尸E+匕ABD=45°,故②正确；

对于③，如图：

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・・・△是等腰直角三角形，

：.FE=FB/EFB=90°,

•；FK1BD

工匕KFB=45°,

・・・△KFB是等腰直角三角形，

：.KF=KB/KFB=乙KBF=45°,

Vz4=Z5,

・•・Z4+KFB=z5+乙KBF

：.^AFB=匕ABF,

：.AF=AB,

：.AG+GF=AB,

9CAD=AG,

：.AD+GF=AB,故③正确；

对于④，过点F作AF的垂线交AM延长线于点N,连接NE,

:.乙AFN=乙BFE=90°,

z6=Z.BFA,

9：FNIFA,AFAM=45°,

：.^FNA=/.GAM=45°,

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：.FA=FN,

9：FE=FB,

.'.△FEN三△FBA(SAS),

；・NE=AB/7=Z8,

9CAB=AC,ACAB=90°,

：.NE=AC,Z8+/-MAC=90°-Z.FAM=45°,

Vz7+z9=zF^=45°,

・"9=Z.MACf

■:乙NME=^.AMC,

：.△NME=△ZMC(AAS),

：.EM=MC,

：.EC=2EM,故④正确，

故答案为：②③④.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与

性质，垂直平分线的性质，解题的关键在于添加辅助线构造全等三角形，难度较大.

16.2-a

2

【分析】本题考查了轴对称最短线路问题、平行线性质、等腰三角形的判定和性质等知识点，

作辅助线找到M，N的位置是解题的关键.

(1)如图：OP平分/20B,当PNIIOA,,得到乙NOP=4NPO,根据等腰三角形的判定即可

解答.

(2)如图：作P关于04。8的对称点C,D连结CD,交。4。8于跖N两点，作OE1CD

于E.此时当APMN周长最小时，OC=OP=OD=a/COD=120°,可求垂线段。E的长

即可.

【详解】解：⑴如图：：OP平分乙4OB,

:.乙BOP=/.AOP,

,：PN\\OA,

：./.AOP=乙NPO,

:.4BOP=4NPO,

：.ON=PN=2.

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B.

OMA

故答案为：2.

(2)如图：作P关于。a,OB的对称点C,D连结CD,交04。8于N两点，作OE1CD

：.NC=NP,MD=MP,

：.△PMN周长=PM+PN+MN=NC+MD+MN=CD,

假设随着点M,N位置的变动，M',"不在C£>上时，CN'+MN+DM'>CD,

；.△PMN周长的最小值=CO.

:作P关于04OB的对称点C,D,

，0B垂直平分PC,

：.0C=OP,乙COP=LBOP,

同理：OP=OD,乙40P=4DOP,

/.AOB=60°,

:.乙COD=120°,

VOC=OD=a,

，乙OCD=ZODC=30°,

OE1CD,

1

OE=-a,

2

.•.点。到直线MN的距离等于1a.

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故答案为：|ci-

17.10710度

【分析】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的性质与判定，分别延长CD,CA,过

点E作EG1CD交CD于G,EH1CA^CA^H,EPlAD^AD^P,然后证明EA、ED、EC是

△ADC内角或外角的角平分线，再根据三角形的外角的性质和角平分线的性质进行解答即可.

【详解】解：分另U延长CD,CA,过点E作EG1CD交CD于G,EH1C2交C2于H,EP1AD交

力。于P,

•••/.EAH=/-EAD,即EA平分N/MD,

:EH1CA,EP1AD,

EH=EP,

'：^ADE=30°,^ADC=120°,

:.乙EDG=180°-AADC-/LADE=180°-120°-30°=30°,

:.乙EDG=^ADE=30°,^ADG=4EDG+^ADE=60°,

平分NADG,

"：EG1CD,EPLAD,

：.EP=EG,

■.EP=EG=EH,

EC平分以CD,

:.乙ECD=-^ACD,

2

9：/-DAC=40°,

：.^ACD=AADG-^DAC=60°-40°=20°,

:.LECD=-^ACD=10°,

2

故答案为：10°.

18.29°

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【分析】延长84和BC,过。点作DE184于E点，过。点作DF1BC于尸点，根据是“8C

的平分线可得出ABDEmzkROF,UDE=DF,过。点作DG1AC于G点，可得出AADE三

AADG,ACDGSACDF,进而得出CD为NACF的平分线，得出ADG4=54°,再未艮据NADC=

180。-AEMC-NDCA即可得出结论.本题考查了角平分线的性质，以及三角形的全等和三

角形的内角和定理，注意知识点的综合运用.

【详解】解：延长84和BC,过。点作DE1B4于E点，过。点作DF1BC于尸点，

BD是N4BC的平分线

在ABDE与ABDF中，

2ABD=乙CBD

BD=BD,

./.AED=ZDFC

•­•ABDE三△BDF(ASA),

•••DE=DF,

又；/.BAD+^CAD=180°

^BAD+Z.EAD=180°

•••Z.CAD=Z.EAD,

・•・4)为㈤C的平分线，

过。点作DG14;于G点，

在Rt△ADE与Rt△ADG中,

(AD=AD

(DE=DG'

ADE三△ADG(HL),

DE=DG,

••・DG=DF.

在RtzXCDG与RtZkCDF中，

(CD=CD

[DG=DF'

Rt△CDG=RtACDF(HL)

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・•・CD为乙4CF的平分线

乙ACB=72°

・••Z.DCA=54°,

在△48C中，

•・•乙ACB=72°,/-ABC=50°,

・•・^BAC=180°-72°-50°=58°,

1800-58°

Z.DAC==61°,

2

・••乙ADC=180°-ADAC-ADCA=180°-61°-54°=65°,

・•・乙BDC=180°-25°-54°-72°=29°.

故答案为：29。.

19.30°或52.5°或80°.

【分析】分三种情况讨论，①当NCZM=3NC时，②当/C=3NCW时，③NCZM=3NCAD

时，由“和谐三角形”定义可求解；

【详解】解：'：^CAB=90°,AABC=60°,

AzC=30°

①当NCZM=3NC时，ZCDA=90°,

AZCAD=60°,

ZBAD=30°；

②当NC=3NCA。时，

：.ZCAD=1Q°,

：.ZDAB=80°；

③/CD4=3/CA。时，

ZCAD=-x(l80°-30°)=37.5°,

4

：.ZDAB^52.5°,

故答案为：30。或52.5。或80。.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，理解“和谐三角形”定义，并能运

用是解决本题的关键.

2n+1

20.中

2n

【分析】由题意可知，四边形ABCD为直角梯形，故可求梯形ABCD,△48&与4。。&的

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面积，由中点面积关系可得△力&尸2与面积，以此类推进而可得△4与△DC盘的

面积，观察图形可知，△AFnD的面积可由梯形与三角形面积作差可得，运算进而可得结论.

【详解】：在四边形ABCD中，ZB=ZC=90°,AB=BC=2,CD=1,

：・