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文档简介
人教版八年级上册数学期末复习:填空压轴题专题练习题
1.如图,△ABC^,ABAC=90°,AB=22,AC=28,点P以每秒1个单位的速度按B-A-C
的路径运动,点Q以每秒2个单位的速度按C-A-B的路径运动,在运动过程中过点P作
2尸11于点尸,点。作。611于点6,两点同时出发,只要一个点到达终点两点即同时停止运
动.设运动t秒时AP凡4三ANGQ,则t的值是.
2.我们把两个不全等但面积相等的三角形叫做一对偏等积三角形.已知A4BC与ADEF是
一对面积都等于S的偏等积三角形,且力B=AC=DE=DF,BC=a,那么EF的长等于—
(结果用含a和S的代数式表示).
3.如图,在AABC中,点。、点E分别是边4B、AC的点,将4。和BD分别沿DE和DC折叠
至4D.已知N4C4=36。且NB+鸟用=90°,则N4DC为°.
4.将长方形纸带先沿EF折叠成图1,再沿PQ折叠成图2,此时PB"恰好经过点F,若乙4FE=
乙FQP=^A"MF=a,贝b的度数为度.
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5.在RtAABC中,NC=90。,Z.B=30°,BC=6,。为48的中点,P为8c上一动点,连接
AP,DP,贝IMP+DP的最小值是.
6.如图,等边三角形40B中,B(-4,0),点。是。B上一点,且BD=a.若点E是y轴正半
轴上一动点,尸是线段力B上一动点.当DE+EF的值最小时,点尸的横坐标为.(用含
a的式子表示)
7.如图,分另(j以△ABC的边力B、BC为边向外作等边AABE和等边△BCD,连接AD,EC,EC
交AB于点M交4。于点若SAMAN=4SAMBN,ME=25,贝的长度为.
8.一个四位数2=MXN,其中M、N均为两位数,M、N的十位数字相同且|M-N|=2,
则力的最小值是—;将M放在N的左边形成一个新的四位数B,我们称B为4的“合构数”,
若B的百位数字与它的个位数字相乘所得的积能被它的百位数字加4的和整除,且4能被17
整除,则满足条件的B的最小值是.
9.已知a,b,c为整数,满足a+b+c=10,S=(10a+Z)c)(10b+ac)(10c+ah')>2019,
则S的最小值是.
10.已知1(+'I”+2+£=O,则马+1+目的值为
abcxyzaz
(a-2x<0
11.若关于久的一元一次不等式组卜二+工〈工无解,关于y的分式方程7白+三=1的解为
(6十2-6yy
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整数,则所有满足条件的整数a的值之和是.
12.我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式.如果一个分式的分子的次
数大于或等于分母的次数,那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形
式.(我们规定:分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”).
r-2x+32x,2,2T74X2+2X+3
如——=-+-=%+-;又如1rl:丝宜‘=丝宜+—=%+1+3.若
XXXXx+1x+1x+1x+lX+1
学帘可以写成一个整式与“真分式”看的和的形式,则0十八一
13.某校举行运动会时,由若干名同学组成一个13列的长方形彩旗队阵.如果原队阵中增
加16人,能组成一个正方形队阵;如果原队阵中减少16人,也能组成一个正方形队阵,则
原长方形彩旗队阵中有同学—人.
14.(1)若多项式m久3+九久2—61万—36能被2久+1和3x—4整除,则m—n=.
(2)如图,在AABC中,NB2C=NBC4=44。,M为△ABC内一点,使得NMC4=30。,
^MAC=16°,则N8MC的度数为
15.如图,在等腰RtAABC中,AB=AC,在4C边上取一点D,连接BD,点E为线段RD上
一点,以BE为斜边作等腰RtABEF.连接AE、AF,CE,力尸交8。于G,M为CE上一点,连
接2M;在下列结论中:
®£.EAD=^ABD-,
②若4E垂直平分GD,则N4FE+乙ABD=45°;
③若4E垂直平分GD,贝!MD+GF=AB-,
④若NF4M=45。,贝IJEC=2EM;
其中正确的结论有.(填写正确结论的序号)
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16.如图,点尸在N40B内部,点M,N分别是边。4,0B上的动点,点M,N不与点。重
(1)若将点P在NAOB的内部移动位置,使。P平分N力0B,当PNII04ON=2时,PN的长
等于
(2)若乙4OB=60。,OP=a,随着点N位置的变动,当APMN周长最小时,点。到
直线MN的距离等于—.(用含a的代数式表示)
17.如图,在四边形4EDC中,/.EAC+Z.EAD=180°,且N4DE=30。,^ADC=120°.若
^DAC=40°,贝吐£7力的度数为.
18.如图,己知:四边形48CD中,对角线平分乙48C,乙4cB=72。,ZXBC=50°,并
且NBA。+/.CAD=180°,那么乙BDC的度数为
19.若一个三角形中一个角的度数是另一个角的度数的3倍,则称这样的三角形为“和谐三
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角形”.例如,三个内角分别为120。,40。,20。的三角形是“和谐三角形”,如图,直角三角
形ABC中,ACAB=90°,AABC=60°,。是边CB上一动点.当△4DC是“和谐三角形”时,
NZMB的度数是.
20.如图,在四边形ABCD中,ZB=ZC=90°,AB=BC=2,CD=1,Fi是BC的中点,连接
AFi,DFi,得到△AFiD;点F2是CFi的中点,连接AF2,DF2,得到△AF?D;点F3是CF?
的中点,连接AF3,DF3,得到AAF3D;.…;按照此规律继续进行下去,则AAFnD的面积
为.(用含正整数n的式子表示)
21.如图,在△ABC中,ZACB=60°,NABC=a(2()o<a<120。),AE平分△ABC的外角NBA。,
CF将分成1:2两部分.若AE、CF交于点G,则NAGC的度数为(用含a的
代数式表示).
22.已知:在AABC中,ZB=ZC,D,E分别是线段BC,AC上的一点,MAD=AE,
(1)如图1,若NBAC=90。,。是8C中点,则N2的度数为;
(2)借助图2探究并直接写出/I和/2的数量关系—.
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A
A
图1
二、解答题
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参考答案:
1.6或三
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、垂线的定义、一元一次方程的应用,分类讨论:
①当点尸在上,点。在2C上,②当点尸在4C上,点。在B4上,③点P与。重合在B2上,
根据题意结合全等三角形的性质得出P4=AQ,再分别用f表示出P力和力Q的长,列出等式,
解出即可,熟练掌握全等三角形的判定与性质,并利用分类讨论的思想是解决问题的关键
【详解】(1)当尸点在84上,点。在AC上,如图1,
•/△PFAmA4GQ,
:.PA=AQ,
即22-t=28-23
解得:t=6,
即P点运动6秒;
(2)当点P在AC上,点。在84上,如图2,
则4P=t-22,AQ=2t-28,
•/△PFA三AAGQ,
:.PA=AQ,
即t-22=2t-28,
解得t=6,
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此时不符合题意;
(3)点尸与。重合在B4上,如图3,
:.AP=AQ,
即22-t=2t-28,
解得:t=?,
,综上可知:1=6或1=日,
故答案为:6或停
2.-
a
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的面积等知识,由
面积相等可得相应等式,作出三角形的高,作出辅助线构造三角形全等,证明三角形全等是
是解题的关键.
【详解】解:如图:AB=AC=DE=DF,过C作CM1AB于M,过F作FN1ED交ED延长
线于N,延长BA到K使2K=AB
11
S-BC=-AB,CM=S,S^DEF=~DE^FN=S
・•.CM=FN
•••AC=DF
・•・Rt△AMC=RtADNF(HL)
.•・/-MAC=乙NDF
•••Z.CAK=180°-zMi4C,乙EDF=180°一乙NDF
・•.Z.CAK=乙EDF
vAK=AC=DE=DF
ACK=△DFE(SAS)
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EF=CK,S^KBC=2s
AK=AC=DE=DF
AABC=^ACB,乙K=LACK
1
••・乙ACB+乙ACK=乙ABC+=-x180°=90°
・•・乙BCK=90°
1
•4,S^KBC=qBC.CK=2S
BC=a
4s
CK=—
•L•・LEF=4s—.
a
故答案为:竺.
a
3.54
【分析】本题考查了基本图形变换折叠,三角形的内角和定理,换元的思想方法,关键是利
用换元的思想方法,使分析思路更清晰.
设乙4CD=a,贝IJ乙4'C。=+=a+36。,设乙B=0,由翻折可知,乙A'DC=
人BDC/BCD=乙ACD=a+36°,再根据三角形的内角和定理,即可得出结果.
【详解】解:^ACD=a,则N4CD=44CE+NACD=a+36。,设乙B=0,
rr
由翻折可知,/-A'DC=ABDCf^BCD=^ACD=a+36°,/-A=Z.EAD,
LEA!C=z.EArD+Z-DArC=Z-A+Z-B=Z-A+0,乙ACB=2a+36,
由NB+^^=90。,得=180。—20,
在△4EC中,/-A'EC=180°-/.A'CE-^EA'C=180°-36°-/?-zX=144。一£—NA,
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144°一£一Z71=180°-26,
解得:44=。一36。①,
在44BC中,乙ACB=180°-ZX-ZB=180°一〃-0=2a+36,
解得:ZX=144°-2a-/?@
由①②得a+0=90。,
在4BCD中,乙CDB=180°-ZB-乙BCD=180°-/?-(«+36°)=144°一(a+£)=
144°-90°=54°,
•••^A'DC=乙CDB=54°.
故答案为:54.
4.72
【分析】本题考查了折叠问题,三角形的内角和定理,平行线的性质,根据平行线的性质可
得“EF=4AFE=a,根据三角形内角和定理可得出NEQF=180。-2a,进而根据平行线
的性质可得NEQM=4EQF+乙FQM=AA"MF=a,得出NPQM=4FQP+乙FQM=4a—
180°,根据折叠得出NA'QP=NPQM=4a-180。,进而根据平角的定义得出NAQP+
乙PQF=5a-180°=180°,即可求解.
【详解】解:':/.AFE=乙FQP=AA"MF=a,AD\\BC
•,Z-QEF=Z-AFE—a,
•••折叠
:.乙QFE=Z.AFE=a,
在AEFQ中,/.EQF=180°-2a,
\'AD\\BC,
C./.EQM=4EQF+乙FQM=AA"MF=a
:.乙FQM=a-(180°-2a)=3a-180°
\'/.FQP=a
J.^PQM=乙FQP+4FQM=4a-180°
•••折叠,
:.^A'QP=乙PQM=4a-180°
又乙PQF=a
J.^A'QP+乙PQF=5a-180°=180°
解得:a=72。
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故答案为:72
5.6
【分析】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题(最短路线问题),直角三角形的两个锐
角互余,含30度角的直角三角形,轴对称的性质,等边三角形的判定与性质,三线合一,
三角形的面积公式,等式的性质2,线段垂直平分线的性质,垂线段最短等知识点,熟练掌
握用做对称的方法解决最短路线问题是解题的关键.
作A关于BC的对称点4,连接由乙4cB=90。,乙48c=30。可得NC4B=60°,
AB=24C,根据轴对称的性质可得4c=AC,BC是44的垂直平分线,进而可得力B=AA',
于是证得AaN'B是等边三角形,则44'=AB,由三线合一可得AD1AB,进而利用三角形
的面积公式可得4D=BC=6,由垂直平分线的性质可得2P=4P,于是可得4P+DP=
AP+DP,根据垂线段最短可知4P+DP24。=6,于是可得答案.
【详解】解:如图,作4关于BC的对称点4,连接AB,A'P,A'D,
A
乙ACB=90°,^ABC=30°,
•••乙CAB=90°-/.ABC=90°-30°=60°,AB=2AC,
・•・4是4关于BC的对称点,
・•・根据轴对称的性质可知,A'C=AC,BC是44的垂直平分线,
•••AA'=AC+A'C=AC+AC=2AC,
•••AB=AA',
・•・△44'8是等边三角形,
:.AA'=A'B,
。为AB的中点,
A'DLAB,
SA4HB=--AB-A'D=--AA'-BC,且AB=AA',
A'D=BC=6,
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BC是44的垂直平分线,
AP=A'P,
AP+DP=A'P+DP,
••・垂线段最短,
A'P+DP>A'D=6,
即:AP+DP>6,
4P+DP的最小值是6,
故答案为:6.
8+a
6.
4
【分析】本题考查了轴对称-最短路径以及含30。的直角三角形的性质,根据题意得出。E+
EF的值最小时的情况是解本题的关键.作点。关于y轴的对称点过点E作EF14B,过
点尸作尸”1OB,如图,此时DE+EF的值最小,然后根据30。所对的直角边等于斜边的一半
进而得出答案.
【详解】解:作点。关于y轴的对称点过点E作EF1AB,过点尸作如图,此
•••等边三角形40B中,5(-4,0),点。是。8上一点,且
BD=a.
DO=4—(z,OB—4,Z-AOB=60°,
•・•点。关于y轴的对称点是
・•.OM=DO=4—a,
BM—8—CLj
EF1AB,
・•・Z.BMF=30°,
BcFri=-1BcMn/=8———Cl,
22
•・•FH1OB,
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・•・乙BFH=30°,
・•・BH=-BF=—,
24
—
cr*八cerrA8Q8+tl
OH=OB-BH=4-------=—,
44
・•.点尸的横坐标为一岁,
4
故答案为:-号
4
7.5
【分析】利用等边三角形的性质证明AEBCmAABD,得到NBEC=NB4D,进而推出
^EMA=60°,将4BEM绕点8旋转60。得到△BAG,过点B作BF1MN,过点M作MH1BG,
过点4作4L1BG,交CE于点K,推出△BMG为等边三角形,得到MN||BG,进而推出近=
5MH,得到SA®=5SABMG,进而得到”G="G,可得出结果.
【详解】解::等边△ABE和等边△BCD,
:.^EBA=ADBC=60°,BE=BA,BD=BC,
:.乙EBC="BD,
贝UAEBC三△ABD(ASA),
."BEC=ABAD,
:4BNE=乙ANM,
J./.EMA=/.EBA=60°.
过点B作BF1MN,过点M作MH1BG,过点2作AL1BG,交CE于点K,将4BEM绕点B旋
转60°得至IjABAG,贝!I:AG=EM25,Z.BAG=ABEM,AMBG=60°,BM=BG,
...△BMG为等边三角形,
:.乙BGM=60°,BM=MG,
=^BAM,
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"BEM=LBAG,
9:/LAME=乙BGM=60°,
:.EM||BG,
:.AKLEM,KL=BF=MH,
•S^MAN=4s^MBN,
:.-MN^AK=4x-MN-BF,
22
:.AK=4BF=4MH,
:.AL=5MH,
・:S&ABG=|BG•AL,SKBMC=|BG.M”,
・・^LABG=5s"MG,
・S^ABG_4G_匚
•.——D,
S^BMGMG
:.MG=)G=5,
:.BM=MG=5;
故答案为:5.
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定性质、全等三角形的判定和性质、平行线的判定和
性质,同高(同底)三角形的面积比.解题的关键是构造全等三角形,利用等积法进行求解.
8.10233436
【分析】本题考查因式分解的应用,整除,根据当最大数不超过32时,2W960,当k=33
时,A=1023,根据4能被17整除,可知M,N中必有一个是17的整数倍,即为34,68,85,
然后根据“B的百位数字与它的个位数字相乘所得的积能被它的百位数字加4的和整除”逐一
检验即可解题.
【详解】解:设较大的两位数是匕则较小的两位数是k-2,
则力=k(k-2)=fc2-2k,
是四位数,
当kW32时,AW960不符合题意;
当k=33时,A=1023,符合题意;
4的最小值是1023,
能被17整除,
第8页共29页
:.M,N中必有一个是17的整数倍,即为34,68,85;
当M=34时,N=32,数B=3234,这时2x4=8不能被2+4=6整除,不符合题意;
当M=68时,N=66,数B=6668,这时6x8=48不能被6+4=10整除,不符合题意;
当M=85时,N=83,数B=8385,这时3x5=15不能被3+4=7整除,不符合题意;
当M=34时,N=36,数B=3436,这时4X6=24能被4+4=8整除,符合题意;
当M=68时,N=70,不符合题意;
当M=85时,N=87,数B=8587,这时5x7=35不能被5+4=9整除,不符合题意;
故满足条件的B的最小值是3436,
故答案为:1023,3436.
9.2116
【分析】本题考查整式的运算,因式分解的应用.解题关键是利用因式分解把已知和所求整
式变形.根据已知条件把已知和所求式子进行整理变形,即可解答.
【详解】解:a+6+c=10.
a—10—b—c,b=10—a—c,c=10—CL—b,
S=(10a+bc)(10b+ac)(10c+ah')
=(100-10b-10c+Z)c)(100-10a-10c+ac)(100-10a-10b+ab),
100-10b-10c+be可因式分解,变为(b-10)(c-10),
同理100-10a-10c+ac=(a-10)(c-10),
100—10a—10£>+ab=(a-10)(/?-10),
二原式=(b-10)(c-10)(a-10)(c-10)(a-10)-10)
=(a-10)2(6-10)2(c-10)2
=[[a-10)(b-10)(c-10)]2,
故S为一个平方数,
a+b+c=10_S.a,b,c为整数,
・•.a,b,c至少有一个是偶数,于是S为偶数,
.•S>2019,
S2462H2116.
故答案为:2n6.
10.1
【分析】本题考查的是分式的求值,考查对换元法的理解和运用,掌握完全平方公式的应用
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是解本题的关键.设”仙衿人-=t.可得7H+?i+t:=l,nt+mt+mn=0,再利
c
用完全平方公式进行计算即可.
y
【详解】解:设”如-=t.
L,c
Va-+7b+-c=1,
.•-m+n+t=1.
•之+”=0,
xyz
111
—I----1—=0,
mnt
nt+mt+mn八
>=0,
mnt
-'-nt+mt+mn=0.
222
.^7+^7+^7=m2+n2+t2=(m+n+t)2—2(mn+nt+mt)=l2—0=1.
azb"cz
故答案为:1.
11.9
【分析】本题考查了一元一次不等式组无解的问题,分式方程的整数解,先由一元一次不等
式组无解求出a得取值范围,再求出分式方程的解,根据分式方程的解为整数求出a满足条
件的整数值,即可求解,由一元一次不等式组无解求出a得取值范围以及根据分式方程的解
的情况求出a的值是解题的关键.
【详解】解:工〈工、,
由①得,%>p
由②得,%<-1,
fa-2%<0
一元一次不等式组在T工1V1无解,
+2-6
2
**•CL>—2,
由方程--+乌*=1得,y=“7,
1-yy-1'a-1
•・,分式方程A+R=l的解为整数,。>-2且a为整数,
l-yy-1
:.a-l=-2或一1或0或1或2或3或6,
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:.a=-1或0或1或2或3或4或7,
XVy-1丰0,
U-1
•'aW7,
:.a=-1或0或1或2或3或4,
・•・所有满足条件的整数a的值之和为一1+0+14-2+3+4=9,
故答案为:9.
12.1
【分析】由真分式的定义得安詈-3的结果是整式,对此进行化简得片瓷磬,
要使其为整式a、b需满足的条件,即可求解.
【详解】解:由题意得
x3+ax2+2%+bx
%2+%+1%2+%+1
x3+ax2+%+b
%2+%+1
%(%2+ax+1)+b
%2+x+1
x(x2+ax+l)+b
l是整式,
x2+x+l
a=1,6=0,
a+b
=1+0
=L
故答案:L
【点睛】本题考查了新定义,分式的减法,求代数式值,理解新定义,根据新定义将问题转
化为分式的减法运算是解题的关键.
13.65
【分析】本题考查平方差公式的应用,解二元一次方程组设原长方形队阵中有同学16x(x为
正整数)人,根据增加或减少16人就能组成一个正方形队阵,设正方形方阵的边长分别为他,
n,列式后得出爪2—足=32,再用平方差公式分解因式,建立二元一次方程组求解即可.
【详解】解:设原长方形队阵中有同学13支(工为正整数)人,贝I」由已知13%+16与13%-16
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均为完全平方数,设正方形方阵的边长分别为优,“,可得口乎+;£=吟其中〃2,W为正
(13%-16=n2
整数.
两式相减,得62一n2=32,
即(m+n)(m—n)=32.
V32=1x32=2x16=4x8,
m+九和租—ri同奇或同偶,
.Cm+n=16pP-Cm+n=8
**Im—n=2Im—n=4?
解得{机=?或{巾
I九=7In=2
当m=9时,13%=92-16=65,x=5,
当m=6时,13久=6z-16=20,%不合题意,舍去;
故原长方形队阵中有同学65人.
故答案为:65.
14.(1)-10;(2)150°
【分析】(1)设多项式的第三个因式为以+9,根据题意得出(加+9)(2*+1)(3“—4)=
6tx3+(54—5t)久2—(4t+45)x-36=mx3+nx2—61%—36,从而得出m=6t,54—
5t=n,4t+45=61,求出zn、n>t,代入计算即可得出答案;
(2)作BD14C于D,延长CM交BD于E,连接力E,先证EC=EA,得NEG4=Z.EAC=30°,
再证明△BR4=△M瓦4(AAS)得A8=AM,贝UNBAM=76°,然后求出NCM4=134°,即可
得出答案.
【详解】解:(1)设多项式的第三个因式为垃+9,
由题意得:(tx+9)(2%+1)(3久-4)=6tx3+(54—St')%2—(4t+45)久—36=mx3+
nx2—61x—36,
m=6tf54-5t=n,4t+45=61,
解得:t=4,m=24,n=34,
.*.m—n=24-34=—10,
故答案为:—10;
(2)如图,作于D,延长CM交于E,连接AE,
第12页共29页
B
U:^LBAC=乙BCA=44°,
・・・△ABC是等腰三角形,AB=CB,AABC=180°-/-BAC-^BCA=92°,
•:BDLAC,
・・・80垂直平分",乙CBD=乙ABD=46°,
:.EC=EAf
:./.ECA=Z.EAC=30°,
':Z.EAC=乙EAM+Z.MAC=30°,乙BAC=2BAE+LEAD,
:.^EAM=AEAC-^MAC=30°-16°=14°,乙BAE=ABAC一乙EAC=44°-30°=14°,
:.^EMA=乙EAM=14°,
U:^EMA=^ECA+^MAC=30°+16°=46°,
:.^EMA=AEBA=46°,
U:AE=AE,
:.△BEA三△MEA(AAS),
:.AB=AM,
•••△ZBM为等腰三角形,
9:^BAM=Z-BAE+乙EAM=14°+14°=28°,
J./.BMA=1X(180°-Z-BAM}=76°,
\"^CMA=180°-^MCA-AMAC=134°,
:.乙BMC=360°-ACMA-^.BMA=150°,
故答案为:150。.
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性
质、三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质等知识点,熟练掌握以上知识点并灵活运用,
添加适当的辅助线是解此题的关键.
15.②③④
【分析】对于①,由于点的位置不确定,无法说明NR4D=乙48。,故①错误;对于②,
第13页共29页
过点F作FK1BE于点、K,由4。=AG,知=Z2,显然N1=45,由FK||AE得至IJN2=Z4,
故=z2=z4=z5,显然NEFK=45°=z3+z4,故〃FE+4ABD=45°,故②正确;
对于③,先证明NAFB=N4BF,贝iMF=4B,故力G+GF=4B,即TW+GF=4B,故③
正确;对于④,过点尸作力F的垂线交4M延长线于点N,连接NE,先证明△FEN三4FBA(SAS),
则NE=AB,Z.7=Z8,再证明ANME=A/1MC(AAS),则EM=MC,继而EC=2EM,故④
正确.
【详解】解:对于①,由于点D,E的位置不确定,无法说明N瓦4D=乙4BD,故①错误;
对于②,过点尸作FK1BE于点K,
:.AD=AG,
.\zl=N2,
:等腰Rt△4BC,即N84C=90°,
.\zl+BAE=^BAE+Z5=90°,
z.1=z5,
9:FK1BD,AE1BD.
:.FK||AE,
z2=z4,
z.1=z2=z4=z5
•・•等腰
:.FE=FB,Z.EFB=90°,
9:FK1BD
.•.zEFK=45°=z3+z4,
・••乙4尸E+匕ABD=45°,故②正确;
对于③,如图:
第14页共29页
・・・△是等腰直角三角形,
:.FE=FB/EFB=90°,
•;FK1BD
工匕KFB=45°,
・・・△KFB是等腰直角三角形,
:.KF=KB/KFB=乙KBF=45°,
Vz4=Z5,
・•・Z4+KFB=z5+乙KBF
:.^AFB=匕ABF,
:.AF=AB,
:.AG+GF=AB,
9CAD=AG,
:.AD+GF=AB,故③正确;
对于④,过点F作AF的垂线交AM延长线于点N,连接NE,
:.乙AFN=乙BFE=90°,
z6=Z.BFA,
9:FNIFA,AFAM=45°,
:.^FNA=/.GAM=45°,
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:.FA=FN,
9:FE=FB,
.'.△FEN三△FBA(SAS),
;・NE=AB/7=Z8,
9CAB=AC,ACAB=90°,
:.NE=AC,Z8+/-MAC=90°-Z.FAM=45°,
Vz7+z9=zF^=45°,
・"9=Z.MACf
■:乙NME=^.AMC,
:.△NME=△ZMC(AAS),
:.EM=MC,
:.EC=2EM,故④正确,
故答案为:②③④.
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,平行线的判定与
性质,垂直平分线的性质,解题的关键在于添加辅助线构造全等三角形,难度较大.
16.2-a
2
【分析】本题考查了轴对称最短线路问题、平行线性质、等腰三角形的判定和性质等知识点,
作辅助线找到M,N的位置是解题的关键.
(1)如图:OP平分/20B,当PNIIOA,,得到乙NOP=4NPO,根据等腰三角形的判定即可
解答.
(2)如图:作P关于04。8的对称点C,D连结CD,交。4。8于跖N两点,作OE1CD
于E.此时当APMN周长最小时,OC=OP=OD=a/COD=120°,可求垂线段。E的长
即可.
【详解】解:⑴如图::OP平分乙4OB,
:.乙BOP=/.AOP,
,:PN\\OA,
:./.AOP=乙NPO,
:.4BOP=4NPO,
:.ON=PN=2.
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B.
OMA
故答案为:2.
(2)如图:作P关于。a,OB的对称点C,D连结CD,交04。8于N两点,作OE1CD
:.NC=NP,MD=MP,
:.△PMN周长=PM+PN+MN=NC+MD+MN=CD,
假设随着点M,N位置的变动,M',"不在C£>上时,CN'+MN+DM'>CD,
;.△PMN周长的最小值=CO.
:作P关于04OB的对称点C,D,
,0B垂直平分PC,
:.0C=OP,乙COP=LBOP,
同理:OP=OD,乙40P=4DOP,
/.AOB=60°,
:.乙COD=120°,
VOC=OD=a,
,乙OCD=ZODC=30°,
OE1CD,
1
OE=-a,
2
.•.点。到直线MN的距离等于1a.
第17页共29页
故答案为:|ci-
17.10710度
【分析】本题考查了三角形的外角的性质,角平分线的性质与判定,分别延长CD,CA,过
点E作EG1CD交CD于G,EH1CA^CA^H,EPlAD^AD^P,然后证明EA、ED、EC是
△ADC内角或外角的角平分线,再根据三角形的外角的性质和角平分线的性质进行解答即可.
【详解】解:分另U延长CD,CA,过点E作EG1CD交CD于G,EH1C2交C2于H,EP1AD交
力。于P,
•••/.EAH=/-EAD,即EA平分N/MD,
:EH1CA,EP1AD,
EH=EP,
':^ADE=30°,^ADC=120°,
:.乙EDG=180°-AADC-/LADE=180°-120°-30°=30°,
:.乙EDG=^ADE=30°,^ADG=4EDG+^ADE=60°,
平分NADG,
":EG1CD,EPLAD,
:.EP=EG,
■.EP=EG=EH,
EC平分以CD,
:.乙ECD=-^ACD,
2
9:/-DAC=40°,
:.^ACD=AADG-^DAC=60°-40°=20°,
:.LECD=-^ACD=10°,
2
故答案为:10°.
18.29°
第18页共29页
【分析】延长84和BC,过。点作DE184于E点,过。点作DF1BC于尸点,根据是“8C
的平分线可得出ABDEmzkROF,UDE=DF,过。点作DG1AC于G点,可得出AADE三
AADG,ACDGSACDF,进而得出CD为NACF的平分线,得出ADG4=54°,再未艮据NADC=
180。-AEMC-NDCA即可得出结论.本题考查了角平分线的性质,以及三角形的全等和三
角形的内角和定理,注意知识点的综合运用.
【详解】解:延长84和BC,过。点作DE1B4于E点,过。点作DF1BC于尸点,
BD是N4BC的平分线
在ABDE与ABDF中,
2ABD=乙CBD
BD=BD,
./.AED=ZDFC
••ABDE三△BDF(ASA),
•••DE=DF,
又;/.BAD+^CAD=180°
^BAD+Z.EAD=180°
•••Z.CAD=Z.EAD,
・•・4)为㈤C的平分线,
过。点作DG14;于G点,
在Rt△ADE与Rt△ADG中,
(AD=AD
(DE=DG'
ADE三△ADG(HL),
DE=DG,
••・DG=DF.
在RtzXCDG与RtZkCDF中,
(CD=CD
[DG=DF'
Rt△CDG=RtACDF(HL)
第19页共29页
・•・CD为乙4CF的平分线
乙ACB=72°
・••Z.DCA=54°,
在△48C中,
•・•乙ACB=72°,/-ABC=50°,
・•・^BAC=180°-72°-50°=58°,
1800-58°
Z.DAC==61°,
2
・••乙ADC=180°-ADAC-ADCA=180°-61°-54°=65°,
・•・乙BDC=180°-25°-54°-72°=29°.
故答案为:29。.
19.30°或52.5°或80°.
【分析】分三种情况讨论,①当NCZM=3NC时,②当/C=3NCW时,③NCZM=3NCAD
时,由“和谐三角形”定义可求解;
【详解】解:':^CAB=90°,AABC=60°,
AzC=30°
①当NCZM=3NC时,ZCDA=90°,
AZCAD=60°,
ZBAD=30°;
②当NC=3NCA。时,
:.ZCAD=1Q°,
:.ZDAB=80°;
③/CD4=3/CA。时,
ZCAD=-x(l80°-30°)=37.5°,
4
:.ZDAB^52.5°,
故答案为:30。或52.5。或80。.
【点睛】本题是三角形综合题,考查了三角形内角和定理,理解“和谐三角形”定义,并能运
用是解决本题的关键.
2n+1
20.中
2n
【分析】由题意可知,四边形ABCD为直角梯形,故可求梯形ABCD,△48&与4。。&的
第20页共29页
面积,由中点面积关系可得△力&尸2与面积,以此类推进而可得△4与△DC盘的
面积,观察图形可知,△AFnD的面积可由梯形与三角形面积作差可得,运算进而可得结论.
【详解】:在四边形ABCD中,ZB=ZC=90°,AB=BC=2,CD=1,
:・
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