人教B版高中数学选择性必修二同步讲义：条件概率与事件的独立性（学生版+解析）

第01讲条件概率与事件的独立性

「学习目标

01

课程标准学习目标

1.了解条件概率的概念，掌握求条件概率的

两种方法，能利用条件概率公式解决一些简

.掌握条件概率的意义并能利用条件概率公式处理实

单的实际问题；1

际问题；

2.结合古典概型，会利用乘法公式计算概

2.能从条件概率的定义推导乘法公式，会应用乘法公式

率，结合古典概型，会利用全概率公式计算

计算概率，理解全概率公式，学会利用全概率公式与

概率.了解贝叶斯公式；

贝叶斯公式计算概率.

.理解两个事件相互独立的概念，掌握相互

33.会判断事件的独立性，并能利用公式求解实际问题.

独立事件同时发生的概率乘法公式.

02思维导图

CM3.重”工.一二角度1公式法

/O条件概率的计算缶百rgI、丁土

/7角度2缩小样本空间法

条件概率

(❷条件概率的性质及应用

_____<❸全概率公式的应用

乘法公式与全概率公式

条件概率与事件的独立性题型］O贝叶斯公式的应用

独立性与条件概率的关系'O相互独立事件的判断

'G相互独立事件的概率问题

'O概率的综合问题

03知识清单

知识点01条件概率

1.条件概率的定义

(1)一般地，当事件B发生的概率大于0时(即尸(2)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称

为条件概率，记作尸(A|8).

(2)条件概率的求法：

(1)定义法：P(B|A)=^^(P(A)>0)；

(2)缩小样本空间法：P(B|A)="(AB).

n(A)

2.条件概率的性质

(1)任何事件的条件概率都在0和1之间，即OWPCB|A)W1.

(2)P(A|A)1.

(3)如果8与C是两个互斥事件，则P((BUO|A)尸田A)+P(C|A).

(4)设百与8互为对立事件，则尸(万|A)1-P(B|A).

【即学即练1】

1.(多选)下面几种概率不是条件概率的是()

A.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7,各投篮一次都投中的概率

B.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7,在甲投中的条件下，乙投篮一次命中的概率

C.有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率

D.小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是,则小明在一次上学途中遇到红灯的

概率

2.若P(AB)|,P(A)|,则P(B|A)()

ABCD

-4-5-1-1

知识点02乘法公式与全概率公式

1.乘法公式

(1)公式：P(BA)P(A)P(B\A).

(2)公式的推导依据：尸(3⑷鬻K即根据事件A发生的概率，以及已知事件A发生的条件下事件8发

生的概率，可以求出A与B同时发生的概率.

2.全概率公式

(1)公式：P(B)P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A).

(2)公式的推导：

一般地，如果样本空间为a,而A,B为事件，则与3X是互斥的，且38。5(4+入)54+8入，如

图所示,

从而P(B)P(BA+BA)P(BA)+P(BA).

由乘法公式可得全概率公式P(B)P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A).

3.全概率公式的推广

若样本空间。中的事件A，4,…，满足:

①任意两个事件均互斥，即44=0,i,j=T,2,,n,⑺；

②4+4++A,=。；

③尸⑷>0,i=l,2,♦,n.

则对O中的任意事件3,都有8=网+睡++BA,,,且20)=£尸(网)=，2(4*(引4).

4.贝叶斯公式(选学)

尸⑷尸(81A)

(1)定义：一般地，当0〈尸(A)<1且尸(3)>0时，有P(A］义二-5二,»

P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)

(2)贝叶斯公式的推广：若样本空间。中的事件a，4，，4满足：

①任意两个事件均互斥，即44=0,九/=1,2,,〃，淳八

②4+4++4=。；

③0<尸⑷<1,i=l,2,,n.

则对。中的任意概率非零的事件3,都有8=网+%++BAn,

且P(A,忸)=)=…⑻4)

0⑻fp(a)p⑻4)

Z=1

(3)利用贝叶斯公式求概率的步骤

第一步：利用全概率公式计算P(A),即P(A)=£P(BJP(A

i=l

第二步：计算尸(AB),可利用尸(AB)=尸(3)P(A|3)求解；

第三步：代入P(B|A)=四生求解.

P(A)

【即学即练2】

1.已知P(8)g,P(A|B)|,则尸(A8)()

2.甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%,35%,40%,次品率分别为5%,4%,2%.

从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为()

A.0.0123B.0.0234

C.0.0345D.0.0456

知识点03独立性与条件概率的关系

1、当P(B)>0时，事件A与事件B相互独立的充要条件是PG4山)尸(A).

这就是说，此时事件A发生的概率与已知事件B发生时事件A发生的概率相等.也就是事件8的发生，

不会影响事件A发生的概率.

2、判断事件是否相互独立的方法：

(1)定义法：事件A,B相互独立的充要条件是P(AB)=P(A)P(B).

(2)由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响.

(3)条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)=P(B)判断.

【即学即练3](多选)下列说法正确有()

A.对事件A和3,若P(B|A)P(B),则事件A与8相互独立

B.若事件A,8相互独立，则P(彳AB)P(A)XP(B)

C.如果事件A与事件8相互独立，则P(B|A)P(B)

D.若事件A与B相互独立，则B与否相互独立

题型精讲

题型01条件概率的计算

角度1公式法

【典例1](23-24高二下•河南月考)从装有2个白球、3个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一

个球，A表示事件”两次取出的球颜色相同”，3表示事件”两次取出的球中至少有1个是红球”，则P(为4)=

()

3567

A.-B.-C.-D.-

4678

【变式1]已知事件A,B,若尸(8)=；,P(AB)=|,则尸(4忸)=()

33412

A.-B.—C.—D.—

4282149

【变式2】（23-24高二下.甘肃兰州.期中）现有4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践

活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（）

12

A-B-C—D—

'3-5.2,5

【变式3】（23-24高二下.甘肃兰州.期中）现有4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践

活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（）

2312

A-B-C—D—

3,52,5

角度1缩小样本空间法

【典例2）（23-24高二下.浙江•期中）已知生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭,

且该家庭有女孩，则三个小孩都是女孩的概率为（）

A-1B-7"D-i

【变式1】（23-24高二下•北京•期中）投掷一枚质地均匀的骰子两次，记4=｛两次的点数之和为4｝,

3=｛两次的点数均为奇数｝,则P（B|A）=（）

11c2r2

A.—B.一C.—D.一

12493

【变式2】小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不

完全相同”，事件B为“小赵独自去一个景点”，则尸（酣4）（）

A.|B.1

C.yD.y

【变式3］从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取两个数，事件A="有一个数是奇数"，3="另一个数也是

奇数”,则P（固A）=（）

12

A.—B.一D

35c—-1

题型02条件概率的性质及应用

【典例3】在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个,

求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率.

【变式1］已知事件A,B,C满足A,8是互斥事件,且P（（AuB）|C）=1,P（BC）=右,尸（C）=：，则P（A|C）

的值等于（）

A.—B.—C.-D.一

61243

【变式2】（2024.湖北武汉.二模）设A,3为任意两个事件，且P（3）＞0,则下列选项必不成立的

是（）

A.P（A）＞P（A\B）B.P（A）＞P（A|B）

C.P（A）＜P（A|B）D,P（A）＜P（A|B）

【变式31（23-24高二下•黑龙江哈尔滨•期中）（多选）设A,8是一个随机试验中的两个事件，且尸（A）=§,

尸（5）=3P（A+B）=j,则下列说法正确的是（）.

12o

A.P（AB）=-B.P（AB）=-

C.P（B|A）=|D.P（B|A）=|

37_7

【变式414、B是一个随机试验中的两个事件，且尸（A）=］,尸（A|B）=丁尸（A+皮=而，则下列错误的是（）

1_2_31

A.P⑻=万B.P（AB）=-c.P（AB）=-D.P（BlA）=-

题型03乘法公式的应用

【典例4】（2025高二•全国・专题练习）一个不透明的箱子装有若干个除颜色外完全相同的红球和黄球.若

第一次摸出红球的概率为在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出黄球的概率为:，则第一次摸出红

52

球且第二次摸出黄球的概率为（）

1123

A.—B.—C.-D.一

10555

【变式1］（24-25高二下♦全国•课后作业）已知尸（AI砂=06,P（B|A）=0.3,且A,3相互独立,则尸（AB）=（）

A.0.18B.0.9C.0.3D.无法求解

【变式2］（23-24高二下•江苏南京•阶段练习）己知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，

取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（）

31-14

A.—B.—C.—D.—

56284221

□1

【变式3】（23-24高二下•山东青岛•期中）已知事件AB,若尸（4A）=jP（A）=|,则P（AB）=（）

【变式4】（2024•安徽合肥•一模）核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据.经大量病例调查发

现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响.己知国外某地

新冠病毒感染率为0.5%,在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%.若该地全员参加核酸检

测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（）

A.0.495%B.0.9405%C.0.99%D.0.9995%

题型04全概率公式的应用

【典例5】现有甲、乙两盒，甲盒中有3个红球，2个白球，乙盒中有2个红球，1个白球，先从甲盒

中采用不放回抽样取3个球放入乙盒，再从乙盒中取1个球，求取到的是红球的概率.

【变式1】（23-24高二下•广东东莞•期中）袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中依次取两球（不

放回），则第二次取到的是黑球的概率为（）

,2317

A.—B.—C.—D.—

910310

【变式2】（23-24高二下•江苏淮安•月考）某保险公司将其公司的被保险人分为三类："谨慎的""一般的""冒

失的”.统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15,0.30.若该保险公司的被保险人

中"谨慎的"被保险人占20%,"一般的"被保险人占70%,"冒失的"被保险人占30%,则该保险公司的一个被

保险人在一年内发生事故的概率是（）

A.0.155B.0.175C.0.01D.0.096

【变式3］（23-24高二下•北京顺义•期中）从甲地到乙地共有A、B、C三条路线可选择，选路线A堵车的

概率为0.2,选路线2堵车的概率为0.3,选路线C堵车的概率为0.4,若李先生从这三条路线中等可能的任

选一条开车自驾游，则堵车的概率为（）

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.9

【变式4］（23-24高二下•浙江丽水•期中）某学校有A,8两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家

餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去3餐厅，那么第2天去

A餐厅的概率为0.4.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率（）

A.0.24B.0.36C.0.5D.0.52

题型05贝叶斯公式的应用

【典例6】（2024•安徽•三模）托马斯•贝叶斯在研究"逆向概率”的问题中得到了一个公式:

p（4，|5）=J（A）尸（四4）

其中fp（4）尸但4）称为B的

fp（A）尸3A）,这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理）,

7=1

j=l

全概率.春夏换季是流行性感冒爆发期，已知48,C三个地区分别有3%,6%,5%的人患了流感，且这三个地

区的人口数之比是9:8:5,现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自B地区的

概率是（）

A.0.25B.0.27C.0.48D.0.52

【变式1】某批产品来自A,B两条生产线，A生产线占60%,次品率为4%；5生产线占40%,次品率为

5%,现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自A生产线的概率是（）

1635

A.-B.—C.—D.一

21159

【变式2】英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A,B存在如下

关系：P（A|B）=\"篙一・若某地区一种疾病的患病率是。05,现有一种试剂可以检验被检者是否患

病.已知该试剂的准确率为95%,即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试

剂的误报率为0.5%,即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该

地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（）

4959951021

A.------B-------C.—D.—

100010001122

【变式3】三批同种规格的产品，第一批占25%,次品率为6%；第二批占30%,次品率为5%；第三批占

45%,次品率为5%.将三批产品混合，从混合产品中任取一件.

（1）求这件产品是次品的概率；

（2）已知取到的是次品，求它取自第一批产品的概率.

【变式4】设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2：1,货车中途停车修理的概率为0.02,客车为0.01,

今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率.

题型06相互独立事件的判断

【典例7］（23-24高二上•广东•月考）现有同副牌中的5张数字不同的扑克牌，其中红桃1张、黑桃2张、

梅花2张，从中任取一张，看后放回，再任取一张.甲表示事件“第一次取得黑桃扑克牌”，乙表示事件“第

二次取得梅花扑克牌”，丙表示事件“两次取得相同花色的扑克牌”，丁表示事件“两次取得不同花色的扑克牌”,

则（）

A.乙与丙相互独立B.乙与丁相互独立

C.甲与丙相互独立D.甲与乙相互独立

【变式1】袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得

白球''记为8,“第二次摸得黑球''记为C,那么事件A与8,A与C间的关系是（）

A.A与8,A与C均相互独立B.A与8相互独立，A与C互斥

C.A与8,A与C均互斥D.A与5互斥，A与C相互独立

【变式2】）下列事件中，A,B是相互独立事件的是（）

A.一枚硬币掷两次，A“第一次为正面”，2“第二次为反面”

B.袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A“第一次摸到白球”，8“第二次摸到白球”

C.掷一枚骰子，A“出现点数为奇数”，2“出现点数为偶数”

D.A“人能活至！|20岁”，B“人能活到70岁”

【变式3】掷一枚质地均匀的骰子，记事件4="出现的点数不超过3”，事件3="出现的点数是3或6”.则

事件A与8的关系为（）

A.事件A与8互斥B.事件A与2对立C.事件A与B独立D.事件A包含于B

【变式4】在一次试验中，随机事件A,3满足尸（A）=P（B）=j则（）

A.事件A,3一定互斥B.事件A,3一定不互斥

C.事件48一定相互独立D.事件A,8一定不相互独立

题型07相互独立事件的概率问题

【典例8］（23-24高二下・江苏扬州•月考）第33届夏季奥林匹克运动会即将于2024年在巴黎举办，其中游

泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛.己知甲在预赛和

半决赛中获胜的概率分别为:和彳，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为9和=,丙在预赛和半决赛中

2334

获胜的概率分别为=3和7二.则甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为（）

412

,5r13-17r41

A.—B.—C.—D.—

16324896

【变式1】（23-24高二下.北京•期中）甲、乙两个气象台同时做天气预报，如果它们预报准确的概率分别为

0.8与0.7,且预报准确与否相互独立，那么在一次预报中这两个气象台恰有一个预报准确的概率是（）

A.0.06B.0.38C.0.580D.0.94

【变式2】（23-24高二下•安徽•月考）甲、乙两人玩剪子包袱锤游戏，若每次出拳甲胜与乙胜的概率均为:，

且两人约定连续3次平局时停止游戏，则第7次出拳后停止游戏的概率为（）

.74n8―4052

A•—B.—C.-----D.------

81817292187

【变式4】甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，甲、乙两人只有一人被选中的概率为%,

甲、乙两人都被选中的概率为3右，丙被选中的概率为11，其中乙被选中的概率大于甲被选中的概率，且各

自能否被选中互不影响.

(1)求3人同时被选中的概率；

(2)求恰好有2人被选中的概率；

(3)求3人中至少有1人被选中的概率.

【变式5】一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：

(1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；

(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率.

题型08概率的综合问题

【典例9](23-24高二下•江苏常州・月考)现有编号为I,II,皿的3个盒子，I号盒中有2个白球和3个

黑球；II号盒中有2个白球和2个黑球；III盒中有3个白球和1个黑球.现从I号盒中任取1个球放入II

号盒中，再从n号盒中任取1个球放入iii号盒中，最后从m号盒中任取1个球放回I号盒中.

(1)求3个盒子的球的组成都保持不变的概率；

(2)问I号盒中的球怎样组成的可能性最大？

【变式1】(23-24高二下.安徽・月考)通过调查，某市小学生、初中生、高中生的肥胖率分别为2%,3%,

3%.已知该市小学生、初中生、高中生的人数之比为5:3:2,若从该市中小学生中，随机抽取1名学生.

(1)求该学生为肥胖学生的概率；

(2)在抽取的学生是肥胖学生的条件下，求该学生为高中生的概率.

【变式2】(23-24高二下•江苏常州•月考)学生甲想参加某高中校蓝球投篮特长生考试，测试规则如下：①

投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一

球，则直接进入下一轮，若第一次没有投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③

若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没有投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不

33

预录取.已知学生甲在罚球线处投篮命中率为在三分线处投篮命中率为假设学生甲每次投进与否互

45

不影响.则学生甲共投篮三次就结束考试得概率为()

27r339r3

A.~B.—C.—D.—

80805040

【变式3】(23-24高二下•辽宁大连•期中)在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率

分别是0.6,0.8和0.5,且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优

秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为()

A.±B.c.°D.口

2613829

【变式4】（23-24高二下.重庆・月考）年级教师元旦晚会时，“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”参加一项趣味

问答活动.该活动共有两个问题，如果参加者两个问题都回答正确，则可得到一枝“黑玫瑰”奖品.已知在第

一个问题中“玲儿姐”回答正确的概率为7:，“玲儿姐”和“关关姐”两人都回答错误的概率为2不，“关关姐”和“页

。1D

3

楼哥”两人都回答正确的概率为而；在第二个问题中“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率依次为

304

,且所有的问答中回答正确与否相互之间没有任何影响.

（1）在第一个问题中，分别求出“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率；

（2）分别求出“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率，并求三人最终一共获得2枝“黑

玫瑰”奖品的概率.

强化训练

一、单选题

1.（24-25高二上•湖北•开学考试）掷两枚质地均匀的骰子，设4="第一枚出现小于4的点"，8="第二枚出

现大于3的点"，则A与8的关系为（）

A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等

32

2.（23-24高二下•广东湛江•期中）已知P（A3）=H，P（A）=-,则P（3|A）=（）

1361510

A.—B.—C.—D.—

22112211

3.（24-25高二上•黑龙江大庆•阶段练习）天气预报表明在国庆假期甲地降雨概率是0.4,乙地降雨概率是0.3.

假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为（）

A.0.28B.0.42C.0.46D.0.580

1Q—3

4.（23-24高二下•云南保山,阶段练习）己知随机事件A,8满足尸（A）=］尸（A|B）=',尸（司A）=,则P（B）=

（）

,5931

A.—B.—C.—D.一

1816164

5.（23-24高二下•江苏南通・期末）甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球.先从甲

箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有i个

红球"为4"=0』,2）,"从乙箱中取出的球是黑球”为8,则（）

A.尸（4）=；B.P（B|A）=1C.P（B）=fD.*4闾=：

3o9o

6.（24-25高二上•甘肃•期中）2020年1月，教有部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作

的意见》（简称“强基计划），明确从2020年起强基计划取代原高校自主招生方式，如果甲、乙、两人通过强

74

基计划的概率分别为历，不，那么甲、乙两人中恰有1人通过的概率为（）

19671

A.—B.—C.—D.一

5025502

7.（24-25高二上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，

疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为1.96%,但统计分析结果显示患病率为1%,医学

研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为则该地区

患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为（）

A.0.99B.0.98C.0.97D.0.96

8.（23-24高二下•福建泉州•期末）某学校有A8两家餐厅，王同学第1天选择2餐厅就餐的概率是g,若

4

第1天选择A餐厅，则第2天选择A餐厅的概率为彳；若第1天选择3餐厅就餐，则第2天选择A餐厅的

3

概率为y；已知王同学第2天是去A餐厅就餐，则第1天去A餐厅就餐的概率为（）

3811

A.—B.—C.—D.一

111153

二、多选题

9.（23-24高二下•江苏南京•阶段练习）已知氐豆分别为随机事件的对立事件，则下列说法正确的是（）

A.P（B|A）+P（B|A）=P（A）

B.P（B|A）+P（B|A）=1

C.若尸网=/网=：,尸（A|B）=尸（A|孙则事件A与事件8相互独立

D.若尸（A|B）=P（A）,则尸（叫A）=尸（3）

10.（23-24高二下•陕西西安•期末）一个箱子中装有大小、形状均相同的8个小球，其中白球5个、黑球3个，

现在两次不放回的从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中随机取出2个球，

分别用A,3表示事件”第一次取出白球"，"第一次取出黑球"；分别用C,。表示事件"第二次取出的两球

都为黑球"，"第二次取出的两球为一个白球一个黑球”.则下列结论正确的是（）

13

A.P（C\B）=—B.P（D\A）=-

217

31

C.P（B）=-D.P（BC）=—

o56

IL（23-24高二下•河北•阶段练习）某校进行一项问卷调查，为了调动学生参与的积极性，凡参与者均有机

会获得奖品.学校设置了3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球质地均匀，大小相同，其中红色箱子放

有2个红球，2个黄球，2个绿球，黄色箱子放有2个黄球，1个绿球，绿色箱子放有1个黄球，2个绿球.

参与者先从红色箱子中随机抽取1个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随

机抽取1个小球，如此重复，抽取3个小球，抽奖结束.若抽取的3个小球颜色全不相同为一等奖，3个小

球颜色全部相同为二等奖，其他情况没有奖品.已知甲同学参与了问卷调查，则（）

A.甲第一次取到红球的条件下，获得一等奖的概率为:

6

9

B.甲第一次取到黄球的条件下，获得二等奖的概率为7

16

Q1

C.甲获奖的条件下，第一次取到绿球的概率为赤

D.甲第一次取球取到红球获奖的概率最大

三、填空题

12.（23-24高二下•江苏宿迁•期中）设A,B是一个随机试验中的两个事件,且P（A）=|,P（B）=|,则尸（aA）

的一个可能的值为.

13.（24-25高二上•广东广州•阶段练习）某专业技术的考试共两个单项考试，考生应依次参加两个单项考试，

前一项考试合格后才能报名参加后一项考试，考试不合格则需另行交费预约再次补考.据调查，这两项考试

的合格率依次为:，1且各项考试是否通过互不影响，则一位考生通过这项专业技术考试至多需要补考

42

一次的概率为.

14.（24-25高二上•湖北十堰•阶段练习）假定某工厂甲、乙、丙3个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂

的45%、35%、20%,如果各车间的次品率依次为4%、2%、5%.现在从待出厂产品中检查出1个次品，则

它是由甲车间生产的概率是.

四、解答题

15.（23-24高二下・江苏扬州,期中）某校学生文艺部有男生4人，女生2人

⑴若安排这6名同学站成一排照相，要求2名女生互不相邻，这样的排法有多少种？

⑵若从中挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动，

①求男生甲被选中的概率；

②在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率.

16.（23-24高二下•江苏宿迁•期中）某快递中转站有甲、乙、丙三个快递员，已知各快递员运送量分别占该

中转站业务量的25%,35%,40%,据统计各业务员被客户评为满意的依次为5%,4%,2%.现从该中转站

随机运送一件快递.

(1)求客户满意的概率；

(2)若客户满意，则本次满意是甲、乙、丙的概率分别是多少？

17.(23-24高二下•江苏常州•期中)甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球.先随机取

一只袋，再从该袋中先后随机取2个球.

⑴求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为白球的概率；

⑵求第一次取出的是白球的概率；

⑶求第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率；

18.(24-25高二上,黑龙江哈尔滨•阶段练习)为了迎接学校百年华诞，学生们积极报名参加志愿者活动，为

此学生会在报名的学生中组织了志愿者面试活动，面试有两道题，两道题都答对者才能成为志愿者.假设

两题作答相互独立，现有甲、乙、丙三名学生报名并进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是;,；,：，

答对第二题的概率分别是:.

⑴求甲同学能通过面试成为志愿者的概率；

(2)求甲、乙两位同学生中有且只有一位学生能通过面试成为志愿者的概率；

⑶求甲、乙、丙三人中至少有一人通过面试成为志愿者的概率.

19.(24-25高二上•吉林长春•期中)班级组织象棋比赛，共有16人报名，现将16名同学随机分成4组且每

组4人进行单循环比赛，规则如下：每场比赛获胜的同学得3分，输的同学不得分，平局的2名同学均得1

分，三轮比赛结束后以总分排名，小组总分排名前两位的同学获奖.若出现总分相同的情况，则以抽签的

方式确定排名(抽签的胜者排在负者前面)，且抽签时每人获胜的概率均为若甲、乙、丙、丁4位同学

分到一组且赛程如下表.假设甲、乙、丙3名同学水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为丁同学与

任意一名同学比赛时胜、负、平的概率分别为每场比赛结果相互独立.

第一轮甲一乙丙一丁

第二轮甲一丙乙一丁

第三轮甲一丁乙一丙

①求丁同学的总分为5分的概率；

(2)已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，求甲同学获奖的概率.

第01讲条件概率与事件的独立性

课程标准学习目标

1.了解条件概率的概念，掌握求条件概率的

两种方法，能利用条件概率公式解决一些简

.掌握条件概率的意义并能利用条件概率公式处理实

单的实际问题；1

际问题；

2.结合古典概型，会利用乘法公式计算概

2.能从条件概率的定义推导乘法公式，会应用乘法公式

率，结合古典概型，会利用全概率公式计算

计算概率，理解全概率公式，学会利用全概率公式与

概率.了解贝叶斯公式；

贝叶斯公式计算概率.

3.理解两个事件相互独立的概念，掌握相互