排列组合二项式定理归类（18题型提分练） 解析版-2025年高考数学

排列组合二项式定理归类（18题型提分练）

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目录

题型一：有顺序模型：书架插书法..................................................................1

题型二：先分组再排列：球放盒子模型..............................................................3

题型三：不相邻与相邻型：人坐座位模型...........................................................4

题型四：多重限制模型............................................................................6

题型五：相同元素模型：数字化法..................................................................8

题型六：平均分配型.............................................................................10

题型七：空车位型...............................................................................12

题型八：地图染色...............................................................................14

题型九：走楼梯型...............................................................................16

题型十：挡板法.................................................................................17

题型十一：公交车与电梯型.......................................................................19

题型十二：立体几何空间型.......................................................................20

题型十三：跳棋模型.............................................................................22

题型十四：不定方程模型.........................................................................23

题型十五：二项式：赋值法.......................................................................25

题型十六：换元型赋值...........................................................................27

题型十七：系数最大.............................................................................29

题型十八：三项式展开...........................................................................31

邈型突围-檐;住蝗分

题型一：有顺序模型：书架插书法

指I点I迷I津

“书架插书”模型

书架插书法：

(1)、书架上原有书的顺序不变；

(2)、新书要一本一本插；

(3)、也可以把有顺序的“书”最后放，先放没顺序得，但是得从“总座位”中选(百分比法)

1.(22-23高二下•云南•期中)某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.

如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为

A.42B.30C.20D.12

【答案】A

【详解】原定的5个节目之间有6个位.

当插入的这两个新节目在一起时，有屐图插法；

当插入的这两个新节目不在一起时，有叱式插法，

所以总的不同插法的种数为=42种.

故选：A.

【点睛】关于排列和组合的题目，常用到捆绑法和插位法.捆绑法是将一些对象看作一个对象进行排列；

插位法是将一些对象进行排列后，再对剩下的对象进行排列.

2.(21-22高二上•黑龙江鹤岗,期末)有10本不同的书紧贴着依次立放在书架上，摆成上层3本下层7本,

现要从下层7本中任取2本再随机分别调整到上层，若其他书本的相对顺序不变，则上层新增的2本书不

相邻的概率为

3312

A.-B.—C.-D.-

51025

【答案】A

【详解】试题分析：从下层7本中任取2本再随机分别调整到上层，若其他书本的相对顺序不变，共。工-

种方法，若新增的两本书不相邻，则共有；《种方法，所以尸==二=二，故选A.

*4C-A；5

考点：1.古典概型；2.排列，组合.

【方法点睛】主要涉及排列组合的问题，属于基础题型，对于总体中部分元素顺序一定的问题，比如总体

有n个元素，其中m个元素的顺序一定，那方法一，先不排这m个元素，a：--1,最后这m个元素只有1

种方法，或是n个元素的全排列，再除以X：种顺序方法;三，对于新增的两本书不相邻，那就选择插空法,

W

最后按古典概型求概率.

3.（21-22高二•全国•课后作业）书架上某一层有5本不同的书，新买了3本不同的书插进去，要保持原来5

本书的顺序不变，则不同的插法种数为（）.

A.60B.120C.336D.504

【答案】C

【分析】依据分步计数原理即可求得不同的插法种数.

【详解】将新买的3本书逐一插进去：

第1本书插入5本书形成的6个空隙中的1个，有6种插法；

第2本书插入6本书形成的7个空隙中的1个，有7种插法；

最后1本书插入7本书形成的8个空隙中的1个，有8种插法.

由分步乘法计数原理，知不同的插法种数为6x7x8=336.

故选：C

4.（22-23高二下•上海浦东新•期中）书架上某层有8本书，新买2本插进去，要保持原有8本书的顺序，

则有种不同的插法（具体数字作答）

【答案】90

【分析】利用定序相除法进行求解，先求10本书的所有排法，再求原来8本书的排法，相除可得结果.

【详解】原来的8本书，加上新买的2本书，随意排列共有琛种排法，

原来的8本书随意排列共有P；种排法，

而原来特有的顺序只有1种，所以共有詈=10x9=90种方法.

故答案为：90.

5.（23-24高二下•四川广安•期中）班会课上原定有3位同学依次发言，现临时加入甲、乙2位同学也发言，

若保持原来3位同学发言的相对顺序不变，且甲、乙的发言顺序不能相邻，则不同的发言顺序种数为

（用数字作答）

【答案】12

【分析】甲乙不能相邻，则采用插空法分析即可.

【详解】在原来三位同学的发言顺序一定时，他们之间及两边会形成4个空位，插入甲、乙2位同学，有

A;=4x3=12（种）方法.

故答案为：12.

题型二：先分组再排列：球放盒子模型

;指।点।迷।津

先分组后排列模型：又称“球放盒子”

基础型：幕指数型

如四个不同的球放三个不同的盒子，有多少种方法？

!盒子球=3’

特征：

1.先分组再排列（尽量遵循这个，否则容易出现重复）

2.分组时候要注意是否存在“平均分配”的情况

1.（2023•广西南宁•一模）将红、黑、蓝、黄4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球,

且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法的种数为（）

A.18B.24C.30D.36

【答案】C

【分析】将4个小球分成三组，一组2个球，另外两组分别为1个球，然后将三组球分配到3个不同的盒子，

有种放法，而红球和蓝球恰好放在同一个盒子里有㈤=6种放法，利用间接法即可求解.

【详解】解：由题意，将4个小球分成三组，一组2个球，另外两组分别为1个球，有种分组方法，再

将三组球分配到3个不同的盒子，有百种分法，所以将红、黑、蓝、黄4个不同的小球放入3个不同的盒子，

每个盒子至少放一个球，有戏用种放法，而红球和蓝球恰好放在同一个盒子里有甯=6种放法，

所以红球和蓝球不能放到同一个盒子里的不同放法种数为C；A；-A：=30,

故选：C.

2.（2023高三•全国•专题练习）将N,B,C,。四个小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，若每个盒子中

至少放一个球且48不能放入同一个盒子中，则不同的放法种数为（）

A.15B.30C.20D.42

【答案】B

【分析】按照放入同一盒子的球进行分类，最后由分类加法计数原理计算即可.

【详解】当放入一个盒子的是A,C时，有羽=6种不同的放法

当放入一个盒子的是A,D时，有羽=6种不同的放法

当放入一个盒子的是8,C时，有用=6种不同的放法

当放入一个盒子的是瓦。时，有W=6种不同的放法

当放入一个盒子的是时，有㈤=6种不同的放法

则共有6x5=30种不同的放法

故选B

3.（20-21高二下•广东深圳•阶段练习）设有编号为1,2,3,4,5的5个小球和编号为1,2,3,4,5的5

个盒子，现将这5个小球放入5个盒子中.每个盒子内投入1个球，并且至多有1个球的编号与盒子的编

号是相同的，则有（）投放方法

A.45种B.53种C.96种D.89种

【答案】D

【分析】至多有1个球的编号与盒子的编号是相同的，可以分为两种情形：第一种，五个球的编号与盒子

的编号全不同，第二种，恰有一球的编号与盒子编号相同，把两种情形的投放方法数求出，然后再根据分

类计数原理相加即可.

【详解】由题意知，至多有1个球的编号与盒子的编号是相同的，可以分为两种情形：第一种，五个球的

编号与盒子的编号全不同的放法有5!，]-]+]-]]=44种，

第二种，恰有一球的编号与盒子编号相同的放法有C；x9=45,

所以至多有1个球的编号与盒子的编号是相同的投放方法有44+45=89种.

故选：D.

4.（22-23高三上•河北•阶段练习）桌子上有5个除颜色外完全相同的球，其中3个红球，2个白球，随机拿

起两个球放入一个盒子中，则放入的球均是红球的概率为.

3

【答案】T6

【分析】对5个球编号，列出所有随机拿起两个球取法，再求出两球都是红球的取法个数，根据古典概型

概率求法，即可求解.

【详解】3个红球记为。,上c,2个白球记为1,2,

随机拿起两个球放入一个盒子所有情况，

{a,b},{a,c},{a,l},{a,2},{b,c},{瓦1},{b,2},{c,l},

{C,1},{152}共有10种取法,其中都是红球有3种,

放入的球均是红球的概率为本3

故答案为*

【点睛】本题考查古典概型的概率求法，属于基础题.

5.（22-23高二下•浙江温州•期中）4个不同的球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子中球的个

数不大于盒子的编号，则共有一种方法（用数字作答）.

【答案】175

【分析】根据题意，分4种情况讨论：①四个盒子都放，②4个球放到三个盒子里，③4个球放到两个盒

子里，④4个球放一个盒子，分别求出每种情况下的放法，由分类计数原理计算可得答案.

【详解】解：根据题意，分4种情况讨论：

①四个盒子都放，每个盒子里都放1个球，将4个球全排列即可：有A：=24种情况,

②4个球分组为｛1,1,2｝放到三个盒子里，有=108种情况，

「2

③4个球分组为｛2,2｝或｛153｝放到两个盒子里，有犬8+C氾C；=42种情况，

④4个球放一个盒子，只能放在编号为4的盒子里，有1种情况，

所以共有24+108+42+1=175种放法；

故答案为：175.

题型三：不相邻与相邻型：人坐座位模型

:指I点I迷I津

1、一人一位；2、有顺序；3、座位可能空；4、人是否都来；5、必要时，座位拆迁，剩余座位随人排列

特征：

1、相邻：捆绑法…一捆绑的新的“大人”内部有排列（小升F歹U）

2、不相邻：插空法，一般不相邻插入别的空隙

3.限制条件较多。特多的限制条件，称为“多重限制型题“，要有“主次”。属于超难题

1.（22-23高二下•湖南长沙,期末）雅礼女篮一直是雅礼中学的一张靓丽的名片，在刚刚结束的2022到2023

赛季中国高中篮球联赛女子组总决赛中，雅礼中学女篮队员们敢打敢拼，最终获得了冠军.在颁奖仪式上，

女篮队员12人（其中1人为队长），教练组3人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组三人要求

相邻并站在边上，总共有多少种站法（）

A.A；A；；B.2A；A；；C.A；A：A；D.2A；A：A；

【答案】B

【分析】根据捆绑法以及特殊元素优先安排的原则，即可由排列组合以及分步乘法计数原理求解.

【详解】选择左右两边其中一边将教练组3人捆绑看作一个整体安排共有2A；种排法，

将剩余的11名队员全排列共有A；；,

由分步乘法计数原理可得总的站法有2A；A：；,

故选B

2.（23-24高二下•浙江•期中）已知3名教师和4名学生排成一排照相，每位教师互不相邻，且教师甲和学

生乙必须相邻，一共有多少种不同的排法？（）

A.144B.288C.576D.720

【答案】C

【分析】利用捆绑法和插空法结合分步乘法计数原理求解即可.

【详解】先将教师甲和学生乙捆绑成一个元素，与另外3名学生全排列，则有A；A：=48种方法，

再将剩下的两名教师插入除去与教师甲相邻的四个空位中，有A；=12种方法，

所以由分步乘法计数原理可知共有48x12=576种不同的排法，

故选：C

3.（21-22高二下•福建泉州•期中）2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四

节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众.衡阳市某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作

出"立春"、"惊蛰"、"雨水"、"春分"、"清明"、“谷雨"六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要

求"立春"和"春分"两块展板相邻，且"清明"与"惊蛰"两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？（）

A.24B.48C.144D.244

【答案】C

【分析】将"立春"和"春分"两块展板捆绑在一起，与"雨水"、"谷雨"排列，然后"清明"与"惊蛰"去插空即可

【详解】根据题意先将"立春"和"春分"两块展板捆绑在一起，与"雨水"、"谷雨"排列，有4个空，然后"清

明"与"惊蛰"去插空，

所以不同的放置方式有A；A；A；=144种.

故选：C

4.（24-25高三•上海•课堂例题）A、B、C、。、E五人排成一排，如果3必须站在A的右边，且A、B

不相邻，则不同的排法共有种.

【答案】36

【分析】先计算3站在A的右边的排法，再减去A、3相邻且8站在A的右边的排法可得答案.

【详解】B站在A的右边的排法有:A；,

A、3相邻且8站在A的右边的排法有A：,

所以8必须站在A的右边，且A、8不相邻，

则不同的排法共有;A；-A：=36种.

故答案为：36.

5.（23-24高二下•浙江•期中）甲乙丙丁戊5个人排成一排拍照，要求甲不站在最左端，且甲乙不相邻，则

共有种不同的排法.

【答案】54

【分析】根据甲在中间位置以及最后一个位置，结合排列组合，即可由计数原理求解.

【详解】若甲在第2,3,4位置中选择一个位置安排甲，有C；种选择，

接下来安排乙，则有C；种方法，

再安排剩余三个人，有A；,

故一共有C；C；A；=36种方法,

若甲在最后一位，则由C；&=18种方法,

因此一共有36+18=54,

故答案为：54

题型四：多重限制模型

指I点I迷I津

多重限制型，属于“人坐座位”模型

特征：

1.一人一位；

2.有顺序；

3、座位可能空；

4、人是否都来；

5、要时，座位拆迁，剩余座位随人排列

难题特征：

3、相邻：捆绑法---捆绑的新的“大人”内部有排列（小排列）

4、不相邻：插空法

4.限制条件较多。特多的限制条件，称为“多重限制型题“，属于超难题

1.（22-23高二下•河南开封•期中）三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生

中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有

A.72种B.108种C.36种D.144种

【答案】D

【分析】根据题意，利用捆绑法和插空法，再利用分布乘法原理，即可求出结果.

【详解】解：先将男生甲与男生乙“捆绑”，有吊种方法，

再与另一个男生排列，则有团种方法，

三名女生任选两名“捆绑”，有4种方法，

再将两组女生插空，插入男生3个空位中，则有团种方法，

利用分步乘法原理，共有另=144种.

故选：D.

【点睛】本题考查乘法原理的运用和排列知识，还运用了捆绑法和插空法解决相邻和不相邻问题，考查学

生分析解决问题的能力.

2.（21-22高三上•北京通州•期中）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数"合称"六艺礼"主要指德育;

"乐"主要指美育；"射"和"御"就是体育和劳动；"书”指各种历史文化知识；"数"指数学.某校国学社团开展“六

艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求"射"不在第一次，“数"和"乐"两次不相邻，则"六

艺”讲座不同的次序共有（）

A.408种B.240种C.192种D.120种

【答案】A

【分析】首先对六艺全排列，减去"射"排在第一次的情况，再减去"数"和"乐"两次相邻的情况，最后再加上

"射"排在第一次且"数"和"乐"两次相邻的情况即可求解.

【详解】将六艺全排列，有A：种，

当"射"排在第一次有A；种，

"数"和"乐"两次相邻的情况有A武种，

"射"排在第一次且"数"和"乐'’两次相邻的情况有A；A：种，

所以"射"不在第一次，“数"和"乐"两次不相邻的排法有A：-A；-A；A；+A；A：=408种，

故选：A.

3.（22-23高二下•湖南•期末）弘扬国学经典，传承中华文化，国学乃我中华民族五千年留下的智慧精髓，

其中“五经”是国学经典著作，“五经”指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》.小明准备学习"五经"，现

安排连续四天进行学习且每天学习一种，每天学习的书都不一样，其中《诗经》与《礼记》不能安排在相

邻两天学习，《周易》不能安排在第一天学习，则不同安排的方式有（）

A.32种B.48种

C.56种D.68种

【答案】D

【分析】利用排列组合分别讨论不排《周易》，排《周易》且《诗经》与《礼记》都安排，排《周易》且

《诗经》与《礼记》只安排一个，三种情况，再利用分类加法计数原理将所有情况相加即可.

【详解】①若《周易》不排，先将《诗经》与《礼记》以外的另外2种排列，

再将《诗经》与《礼记》插空，则共有A；A；=12种安排方式.

②若排《周易》且《诗经》与《礼记》都安排，

在《尚书》和《春秋》中先选1种，然后将《诗经》与《礼记》以外的另外2种排列，

再将《诗经》与《礼记》插空，减去将《周易》排在第一天的情况即可，

共有C；A；A"C；&=20种安排方式；

③若排《周易》且《诗经》与《礼记》只安排一个，

先在《诗经》与《礼记》中选1种，然后将《周易》排在后三天的一天，

最后将剩下的3种书全排列即可，

共有C；C；A；=36种安排方式.

所以共有12+20+36=68种安排方式.

故选：D

4.（2024高三下•江苏•专题练习）阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉.三个家庭的3位妈妈带着3

名女宝和2名男宝共8人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾

孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不

排最后面.则不同的排法种数共有种（用数字作答）.

【答案】288

【分析】

根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合相邻与不相邻问题，列式计算即得.

【详解】第一步：先将3名母亲作全排列，共有A；种排法；

第二步：将3名女宝"捆绑"在一起，共有A；种排法；

第三步：将"捆绑”在一起的3名女宝作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，有种排法；

第四步：首先将2名男宝之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，

然后将另一个男宝插入由女宝与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有2A；种排法.

所以不同的排法种数有：A；A；A）2A；=288（种）.

故答案为：288

5.（202”黑龙江哈尔滨•模拟预测）某校高二年级共有10个班级，5位教学教师，每位教师教两个班级，其

中姜老师一定教1班，张老师一定教3班，王老师一定教8班，秋老师至少教9班和10班中的一个班，曲

老师不教2班和6班，王老师不教5班，则不同的排课方法种数.

【答案】236

【分析】按照特殊元素优先处理原则，分类讨论秋老师教9班，秋老师教10班的排课方法种数，但这两种

重复了秋老师同时教9班和10班的排课方法种数，减去即可得到答案.

【详解】（1）秋老师教9班，曲老师可在4,5,7,10班中选两班，再分两小类：

①曲老师不教5班，则曲老师可选C；=3（种）；王老师可选C；=3（种）；剩余的3个班3个老师全排列

安排有X=3x2xl=6（种）；按分步相乘计数原理有：3x3x6=54（种）；

②曲老师教5班，则曲老师可选。；=3（种）；剩余的4个班4个老师全排列安排有/；=4x3x2xl=24

（种）；按分步相乘计数原理有：3x24=72（种）.

按分类相加计数原理，秋老师教9班有：54+72=126（种）；

（2）秋老师教10班，同理也有126（种）；

（3）秋老师同时教9班和10班，曲老师可在4,5,7班中选两班，再分两小类：

①曲老师不教5班，则曲老师教4班和7班，王老师再从2,6班选一个，可选C；=2（种）；剩余的2个班2

个老师全排列安排有用=2（种）；按分步相乘计数原理有：2x2=4（种）；

②曲老师教5班，则曲老师可选C；=2（种）；剩余的3个班3个老师全排列安排有/；=3x2xl=6（种）；

按分步相乘计数原理有：2x6=12（种）.

按分类相加计数原理，秋老师同时教9班和10班有：4+12=16（种）；

但秋老师同时教9班和10班在（1）和（2）两种分类里都涉及到，所以重复需减去,

故不同的排课方法种数有：126+126-16=236（种）.

故答案为：236

题型五：相同元素模型：数字化法

T旨I点I迷I津

数字化法：

；标记元素为数字或字母，重新组合。

特别适用于“相同元素”

1.（2022•新疆•一模）如图，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或

右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如1-3玲4玲5玲6-7就是一条移动路线，则从数字"1"到

"7",漏掉两个数字的移动路线条数为（）

【答案】B

【分析】分类分步排列即可.

【详解】由题意1和7是不能漏掉的，所以由以下路线：

（1,3,5,6,77（1,3,4,6,7）,（1,3,4,5,7）,（1,2,4,6,7）,（1,2,4,5,7）,（1,2,3,5,7）共6条,

故选：B.

2.（22-23高三上•上海浦东新•阶段练习）夏老师从家到学校，可以选择走锦绣路、杨高路、张杨路或者浦

东大道，由于夏老师不知道杨高路有一段在修路导致第一天上班就迟到了，所以夏老师决定以后要绕开那

段维修的路，如图，假设夏老师家在〃处，学校在N处，段正在修路要绕开，则夏老师从家到学校的

最短路径有（）条.

M

A.23B.24C.25D.26

【答案】D

【分析】先求出由/到N的最短路径的条数，然后求出由〃■到N且经过的最短路径的条数，最后相减

即可.

【详解】由加到N的最短路径需要向右走四段路，向上走三段路，所以有C；=35条路，

由/到/的最短路径需要向右走两段路，向上走一段路，所以有C；=3条路，

由8到N的最短路径需要向右走一段路，向上走两段路，所以有C；=3条路，

所以由/到N不经过AB的最短路径有C；-C；C；=26.

故选：D.

3.（2016・全国,高考真题）如图，小明从街道的E处出发，先到尸处与小红会合，再一起到位于G处的老

年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

D.9

【答案】B

【详解】解：从E到R每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，

从£到/最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，

每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C/Cz2=6种走法.

同理从歹到G,最短的走法，有C/C22=3种走法.

.••小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6X3=18种走法.

故选B.

【考点】计数原理、组合

【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是相互

独立的；分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事,

步步之间是相互关联的.

4.（2023,安徽亳州•模拟预测）如图，小明从街道的A出发，选择一条最短路径到达C处，但5处正在维修

不通，则不同的路线有（）种

~~~~~TC

AB

A.66B.86C.106D.126

【答案】B

【分析】求出从/到C不同的路线总数，减去从N到。的过程中途经8处的路线数，即可得出答案.

【详解】要使4到C的路径最短，则小明到达每个网格点后只能选择向右或向上走到下一个网格点，且选

择向右的次数为5,选择向上的次数为4,总共9次选择，所以从/到C总共有C：=126种不同的路线，

同样，从4到3相当于在4次选择中3次向右，1次向上，所以N到8总共有C：=4种不同的路线，

从8到C相当于在5次选择中2次向右，3次向上，所以5到C总共有C；=10种不同的路线，

故从A到C的过程中途经B处的路线数为4x10=40种，

但3处正在维修不通，则不同的路线有126—40=86种.

故选：B.

5.（21-22高二下•黑龙江双鸭山•阶段练习）2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志

愿者活动.小明在如图的街道£处，小华在如图的街道尸处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确

的个数是（）

①小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条

②小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条

1Q

③小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到厂处和小华会合一起到老年公寓的概率为石

④小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件小小明经过尸事

件以从尸到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则P（3|N）=行

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】根据起点走向终点所需要向上、向右走的总步数加，并确定向上或向右各走的步数"，则最短路径

的走法有C3再利用古典概率及条件概率求法，求小明到厂处和小华会合一起到老年公寓的概率、小明经

过尸且从尸到老年公寓两人的路径没有重叠的概率即可.

【详解】由图知，要使小华、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移

动，

对于①，小华到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小华共走3步其中1步向上，

所以最短路径条数为c；=3条，错误；

对于②，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路径条数为穹=35

条，正确；

对于③，小明到尸的最短路径走法有C；=6条，再从尸处和小华一起到老年公寓的路径最短有3条，而小

明到老年公寓共有35条，

所以到尸处和小华会合一起到老年公寓的概率为等=1|,正确；

对于④，由题意知：事件A的走法有18条即尸（4）=《，事件的概率尸（Nc2）=黑=白，

333DX3j3

/、P（4cB）2

所以尸（㈤"）="4）=§，错误.

故说法正确的个数是2.

故选：B.

题型六：平均分配型

指I点I迷I津

平均分成几组，就除以几组数的阶乘，如果既有平均分组又有不平均分组的，也要除以相同组的组数

的阶乘

1.（【全国校级联考】山西省临汾一中、忻州一中、长治二中、康杰中学2016-2017学校高二4月联考数学

（理）试题）某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社"、"青春风街舞社"、"羽乒协

会"、"演讲团"、"吉他协会"五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加,

则这6个人中至多有1人参加"演讲团”的不同参加方法数为

A.4680B.4770C.5040D.5200

【答案】C

【详解】若有1人参加"演讲团"，则从6人选1人参加该社团，其余5人去剩下4个社团，人数安排有2

4+生9/；］=3600,若

种情况：1」,1,2和1,2,2,故1人参加"演讲团”的不同参加方法数为C：

4J

无人参加"演讲团"，则6人参加剩下4个社团，人数安排安排有2种情况：1,1,2,2和2,2,2,故无人参

践小"海』44。

加“演讲团”的不同参加方法数为故满足条件的方法数为3600+1440=5040

故选C.

【方法点睛】本题主要考查分组分配问题及排列组合的综合应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往

往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖

掘出隐含条件.解题过程中要首先分清”是分类还是分步"、"是排列还是组合"，在应用分类计数加法原理讨论

时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.

2.（2024・湖北武汉•模拟预测）将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，

则不同的装法种数为（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】A

【分析】先将红球从数量分成（0」,2）,（1,1,1）两种类型的分组，在分两类研究以上不同形式下红球放入三

个不同的袋中的方法数，最后袋中不重上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个，将两类情况的方法总数相

加即可.

【详解】将3个红球分成3组，每组球的数量最多2个最少0个，则有（0,1,2）,（1,1,1）两种组合形式，

当红球分组形式为（0,1,2）时，将红球放入三个不同的袋中有团=3x2xl=6放法，

此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个即可.

当红球分组形式为（1,1,1）时，将红球放入三个不同的袋中有1种放法，

此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个即可.

综上所述：将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，

不同的装法种数为6+1=7种.

故选：A.

3.（20-21高二•全国,单元测试）《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，该书介绍了我国古代14

种算法，其中积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把

头算、龟算、珠算13种均需要计算器械.某研究性学习小组3人分工搜集整理这13种计算器械的相关资料,

其中一人搜集5种，另两人每人搜集4种，则不同的分配方法种数为（）

55

r4r4A3r4r4A2

cvzcV

，38J?y3D.「5

A2,A；,A；

【答案】A

【分析】按先分组后分配的方法计算出不同的分配方法种数.

113yL4

【详解】依题意，先将13种计算器械分为3组，方法种数为再分配给3个人，方法种数为

113、8、4xA；.

故选：A.

4.（2021•黑龙江哈尔滨•模拟预测）已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、

4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11,则不同的放球方法种数为()

A.150B.240C.390D.1440

【答案】C

【分析】分析可得可以将5个球放到编号2、4、5的三个盒子中或者放到编号1、2、3、5的四个盒子中,

分别计算每种放球方法种数，再利用分类相加计数原理可求得结果.

【详解】因为2+4+5=11或1+2+3+5=11

所以5个球放到编号2、4、5的三个盒子中或者放到编号1、2、3、5的四个盒子中

(1)5个球放到编号2、4、5的三个盒子中，因为每个盒子中至少放一个小球，所以在三个盒子中有两种

方法：

各放1个，2个，2个的方法有=5：6：lx3x2x]=90种.

A22X1

各放3个，1个，1个的方法有里Mg="头4x3x2x1=60种.

/2x1

(2)5个球放到编号1、2、3、5的四个盒子中，则各放2个，1个，1个，1个的方法有

C;C'C'C,1“10x3x2x1,,c,心

53J1.旬=---------x4x3x2x1=240种.

43x2x1

综上，总的放球方法数为90+60+240=390种.

故选：C

【点睛】易错点睛：本题考查排列组合的部分均匀分组，解题时一定要注意不要重复，有〃组均匀，最后

一点要除以啰，考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力，属于中档题.

5.(2024高三・全国•模拟)3名医生和6名护士分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护

士，有种分配方法.

【答案】540

【分析】把3名医生和6名护士按每组1名医生2名护士，进行平均分3组.注意除以均分组数的全排列

㈤.再将3个小组作为3个元素分到3所学校，这样就有一个全排列.根据分步计数原理得到结果.

【详解】属于平均分组且排序型，共有生里丝怨*耳=540.

故答案为：540.

【点睛】本题考查了平均分组分配问题，属于基础题.

题型七：空车位型

指I点I迷I津

L（21-22北京模拟）一个停车场有5个排成一排的空车位，现有2辆不同的车停进这个停车场，若停好后

恰有2个相邻的停车位空着，则不同的停车方法共有

A.6种B.12种C.36种D.72种

【答案】B

【分析】分类讨论,利用捆绑法、插空法，即可得出结论.

【详解】把空着的2个相邻的停车位看成一个整体，即2辆不同的车可以停进4个停车场，

由题意，若2辆不同的车相邻，则有/另=4种方法

若2辆不同的车不相邻，则利用插空法,2个相邻的停车位空着，利用捆绑法，

所以有（用+/；国=8种方法，不同的停车方法共有：闻=4!a=修种，

综上，共有12种方法，

所以B选项是正确的.

本题考查排列、组合的综合应用,注意空位是相同的，是关键.

2.（22-23高二下•内蒙古巴彦淖尔•阶段练习）某电影院第一排共有9个座位，现有3名观众前来就座，若

他们每两人都不能相邻，且要求每人左右至多两个空位，则不同的坐法共有

A.36种B.42种C.48种D.96种

【答案】C

【详解】试题分析:共有6个空位，如果3人旁边有三个位置时空位,那就是222的空位组合，共有，考X2=12

种情况，当3人旁边有4个位置有空位，那空位组合就是H22的组合，采用插空法，共有月＞二L=36

种情况，所以不同的做法就是12+36=48种情况，故选C.

考点：1.排列；2.组合.

【思路点睛】本题主要考查的排列的方法，属于基础题型，对于不相邻问题，一般采用插空法，例，有〃

个不同元素，其中冽个不同元素不相邻，那么排列方法种数就是,4；ji，但本题还有其他的条件，每人左

右至多2个空位，所以对可先对空位进行分类，空位看成相同元素，只有个数的区分，所以可以均分为3

组空位，或4组空位，任何再在空位之间排列3人，最后相加即得结果.

3.（22-23高二下•河北•期末）一条长椅上有6个座位，3个人坐.要求3个空位中恰有2个空位相邻，则坐

法的种数为（）

A.36B.48C.72D.96

【答案】C

【分析】分两个相邻空位包括最左端或最右端时和不含最左端或最右端时，两种情况求出坐法后相加即可.

【详解】先考虑相邻的2个空位，

当两个相邻空位包括最左端或最右端时，有2种情况，与空位相邻的座位需要安排一个人，有3种选择，

剩余的3个座位，安排2个人，有&=6种选择，

贝U有2x3A；=36种选择，

当两个相邻空位不含最左端或最右端时，此时有3种情况，与空位相邻的左右座位需要安排两个人，有

R=6种选择，最后一个人有2种选择，

贝U有3A；x2=36种选择，

综上：坐法的种数共有36+36=72个.

故选：C

4.（16-17高二下•陕西西安•期中）某公共汽车站有6个候车位排成一排，甲、乙、丙三个乘客在该汽车站

等候228路公交车的到来，由于市内堵车，228路公交车一直没到站，三人决定在座位上候车，且每人只能

坐一个位置，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是

A.48B.54C.72D.84

【答案】C

【解析】根据题意，分2步进行分析：①先将3名乘客全排列，②3名乘客排好后，有4个空位，在4个

空位中任选1个，安排2个连续空座位，再在剩下的3个空位中任选1个，安排1个空座位，由分步计数

原理计算可得答案.

【详解】解：根据题意，分2步进行分析：

①先将3名乘客全排列，有出=6种情况，

②3名乘客排好后，有4个空位，在4个空位中任选1个，安排2个连续空座位，有4种情况，

在剩下的3个空位中任选1个，安排1个空座位，有3种情况，

则恰好有2个连续空座位的候车方式有6x4x3=72种；

故选：C.

【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.

5.（20-21高二•全国•课后作业）地面上有并排的七个汽车位，现有红、白、黄、黑四辆不同的汽车同时倒

车入库.当停车完毕后，恰有两个连续的空车位，且红、白两车互不相邻的情况有种.

【答案】336

【解析】根据题意从反面考虑，恰有两个连续空车位的排法，再算出恰有