平面向量及其应用（15题型清单）原卷版-2024-2025学年高一数学（人教A版必修第二册）

平面向量及其应用知识归纳（15类题型突破）

01思维导图

02知识速记

知识点01：向量的加法

（1）向量加法的定义

求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量Z,我们规定

t7+6=6+a=a-

（2）向量加法的三角形法则（首尾相接，首尾连）

已知非零向量a,b,在平面内任取一点N,作方=£,反;=5，则向量就叫做Z与否的和,记作a+b>

即Z+B=+=这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.

（3）向量加法的平行四边形法则（作平移，共起点,四边形，对角线）

已知两个不共线向量Z,作刀=2,砺=3,以04,08为邻边作口。4C8,则以。为起点的向量反

（OC是口。4c5的对角线）就是向量［与B的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法

则三.:

知识点02：向量的减法

（1）相反向量

与向量［长度相等，方向相反的向量，叫做£的相反向量，记作-7

①零向

量的相反向量仍是零向量

②任意向量与其相反向量的和是零向量，即：Z+（-Z）=。

③若屋B互为相反向量，则£=-b>b=-a>a+b=0-

（2）向量减法定义

向量Z加上B的相反向量，叫做i与否的差，即a-B=a+（-5）.

求两个向量差的运算叫做向量的减法.

向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,可以把向量的减法

转化为向量的加法进行运算.

（3）向量减法的几何意义

已知向量Z,小在平面内任取一点。，作厉=2,砺=B,则向量3=而.如图所示/

如果把两个向量Z,B的起点放在一起，则可以表示为从向量B的终点指向向量Z的。a

终点的向量.

知识点03：向量三角不等式

①已知非零向量b）则|向一|川区国。+向（当已与寸反向共线时左边等号成立;当万与1同

向共线时右边等号成立）；

②已知非零向量Z，b,则|向-⑻国坂国。+㈤（当［与］同向共线时左边等号成立;当丁与，反

向共线时右边等号成立）；

记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如||向-|脑区向+石目£|+|〜中,

|面-年区Z+M中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：

|同-向国£+5区5任⑻中暇+石国力+⑻中间链接号都是正号"符同"，故同向共线时等号成立；

知识点04：向量的数乘

（1）向量数乘的定义

一般地,我们规定实数力与向量Z的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作流.它的长度与方向规

定如下：

①|Xa1=1刈a|

②当几〉0时，几2的方向与Z的方向相同；当4<0时，的方向与Z的方向相反；当；i=o时，

Aa=6-

知识点05：向量共线定理

内容：向量B与非零向量Z共线，则存在唯一一个实数彳，b=Aa.

知识点06：平面向量数量积的概念

（1）平面向量数量积的定义

已知两个非零向量々与B,它们的夹角为9,我们把数量|Z11司cos。叫做向量［与B的数量积（或内积）.

记作：a-b>即a%=|a|⑻cos。.

规定：零向量与任一向量的数量积为0

（2）投影

如图，设B是两个非零向量，方=£,无=不，作如下变换:过万的起点Z和终点8,分

C4BiD

别作无所在直线的垂线，垂足分别为4,片，得到《耳，我们称上述变换为向量£向向量B投影，AE叫

做向量Z在向量B上的投影向量.

知识点07：平面向量基本定理

(1)平面向量基本定理

如果1是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量有且只有一对实数4,4,

使a=46.

若1不共线,我们把，储,1｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

知识点08：平面向量的坐标表示

(1)两个向量和(差)的坐标表示

两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).

坐标表示：a=(xp»刃=(>242)贝U：

a+b=(xl+x2,yl+y2)ia-b=(xl-x2,y1-y2)

(2)向量数乘的坐标表示

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

坐标表示：a=(x,y),则2a=(2x,Ay).

知识点09：平面向量共线的坐标表示

设a=(XQJ,B=(x2,y2),其中gw。，则Z|历u>当且仅当存在唯一实数4,使得a=Ab；

用坐标表示,可写为。痴0(占,%)=4(%,%),即：

x,=

「消去工得到：x1J2-x2J1=0.

[％=为2

这就是说，向量2B(5w。)共线的充要条件是西%-/必=o.

知识点10：两个向量平行、垂直的坐标表示

已知非零向量a=。1，m),1=(x2,j2),

(1)==0=x1x2+y1y2=0.

(2)a\\b<^xxy2—x2yr=0

知识点11：向量模的坐标表示

向量模的坐标表示

若向量Q=(x,y),由于，所以|。|=+J?.

其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根.

知识点12：两向量夹角余弦的坐标表示

xx

____a-bi2+V1%

已知非零向量。=(》1，%),8=(>2/2)，。是4与5的夹角，则cos6=门囚=Jx2+y2.Jx；+y2・

知识点13：平面几何中的向量方法

①平面两个向量的数量积：a-b=\a||S|cos；a%=西超+%%.

②向量平行的判定：a14)G手心Qa=疔)；a/lbxxy2-x2y1=0.

③向量平行与垂直的判定：a1b<^a-b=0ialbxxx2+y1y2=0.

22

④平面内两点间的距离公式：|AB|=7(^-%2)+(^-^2)(其中2区,y),B(x2,y2))

⑤求模：卜|=ha；|<7|=yjx~+y2；卜卜J(X]—+(%一%)'

知识点14：余弦定理

(1)余弦定理的描述

①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两

倍.

②符号语言：在AABC中，内角4民C,所对的边分别是见加J贝!I：

a2=b2-\-c2-2bccosA;

b2=a2+c2-laccosB

c2=a2+b2-labcosC

(2)余弦定理的推论

b2+c2-a1

cosA=

2bc

/十02一及

cos5=

lac

a2+b2-c2

cosC=

lab

知识点15：正弦定理

(1)正弦定理的描述

①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.

②符号语言：在A45c中，若角/、8及C所对边的边长分别为。，b及c,则有二一=q='

smAsmBsmC

(2)正弦定理的推广及常用变形公式

在A45c中，若角/、3及C所对边的边长分别为。，b及c,其外接圆半径为R,则

sinAsinBsinC

®asmB=bsinA；Z）sinC=csinJ5；asinC=csin/；

③sin/:sinB:sinC=a:b:c

（4）__a__—_b___—--c-----—--------Q--+---Z?--+--C-------—____a__+_b___—------a--+--c------—------b--+--c------—

sin/sinjBsinCsin+sin5+sinCsin4+sin5sin4+sinCsin5+sinC

⑤④Q=27?sin4,b=2RsinB,c=2RsinC（可实现边到角的转化）

nhc

⑥⑤sinZ='L,sin5=——,sinC=—（可实现角到边的转化）

-2R2R2R

知识点16：解决几何问题的常见公式

三角形面积的计算公式：

①S二—x底X|Wj；

2

@S=—absinC=-acsinB=-bcsmA^

222

③S=g（a+b+c»（其中，a,仇。是三角形4BC的各边长，r是三角形4BC的内切圆半径）；

④S="（其中，。，“。是三角形N5C的各边长，R是三角形Z5C的外接圆半径）.

4R

03题型归纳

题型一：平面向量基本概念

例题1：（24-25高一上•辽宁・期末）关于平面向量，下列说法正确的是（）

A.零向量没有方向B.两个单位向量是相等向量

C.共线的两个向量方向相同D.若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量

例题2（23-24高一下•广东东莞•开学考试）给出下列六个命题：

①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

②若同=回，则,=不；

③在四边形/BCD中，若荏=皮，则四边形/BCD是平行四边形；

④平行四边形/BCD中，一定有次=皮；

⑤若m=n,n=k,则玩=G;

⑥若allb，bllc则I//?.

其中不正确的命题的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

例题3（多选）（23-24高一下•福建福州•期中）已知£、石、）是任意的非零向量，则下列结论正确的是

（）

A.非零向量屋b,满足忖训且a与刃同向，则£>刃

B.a-b<\a[\b\

C.若D=二人贝!不与％垂直

D.|Z+4眼+W

巩固训练

1.（24-25高一下•全国•课后作业）下列说法正确的是（）

A.若I石方向相反，贝！与B为相反向量

B.模相等的两个平行向量相等

C.有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段

D.共线向量是在同一条直线上的向量

2.（2024高三•全国•专题练习）下列命题错误的是（）

A.若£与了都是单位向量，则£=九

B.“同=问”是“Z=b”的必要不充分条件.

ab-

C.若蔡都为非零向量，则使同+同=°成立的条件是a与g反向共线.

D.a=b,b=c,贝Ua=c.

3.（多选）（23-24高一下•江西景德镇•期中）下列选项中错误的有（）

A.当两个非零向量，石共线时，一定有3=而

B.万万同向，且@>出|,则1>3

C.向量圆B夹角为方在B上的投影向量为（同cos6）g

D.若3"=全小『=0）,则5=5

题型二：平面向量共线定理及推论

例题1（24-25高三上•山东临沂•阶段练习）在△48C中，M、N分别在边AB、AC±,且方=2翔，

___,,.12

AC=4AN,。在边8C上（不包含端点）.若4D=x/M+»4N,则一+一的最小值是（）

xy

A.2B.4C.6D.8

例题2（24-25高三上•内蒙古赤峰•期中）已知在中，M是线段5。上异于端点的任意一点.若向量

AM=aAB+bAC，则一+三的最小值为（）

ab

A.6B.12C.18D.24

例题3（23-24高一下•湖北•阶段练习）在△ZBC中，内角4氏。的对边分别为见仇。，且

2ccosCsin5+bsinC=0/4C5的角平分线与边交于点。，且8=2,则4。+6的最小值为.

巩固训练

1.（24-25高三上•山东•期中）已知向量g不共线，AB^Aa+2b,就=.+〃，若A,B,C三点共

线，则澳=（）

A.-2B.-1.C.1D.2

2.（2024高三•全国•专题练习）如图，已知4昆。是圆。上不同的三点，C。与AB交于点。（点。与点D

不重合），若双=2次+U,〃eR）,则2+〃的取值范围是.

3.（23-24高一下•山东日照•期末）已知平行四边形4BCD,AB=2,AD=3,NBAD=（,

BE=2EC.若干为线段。E上的一点，且万=2万+=而，则阴=_____.

611

题型三：平面向量基本定理

例题1（2025高三・全国・专题练习）在△4BC中，若/是△48。的内心，力的延长线交8c于。，则有

名=黑称之为三角形的内角平分线定理，现已知4C=2,BC=3,42=4且万=*方+了就，则实

数x+/=()

A

12

A.1B.-C.—D.2

33

例题2（24-25高三上•湖南常德•阶段练习）如图，在△48C中，"是边8C的中点，尸是/"上一点，且

—1——

BP=-BA+mBC,贝（］加=（）

例题3（24-25高三上•宁夏银川•阶段练习）欧拉线是由瑞士数学家莱昂哈德•欧拉在1765年提出的一个几

何定理，指出在一个三角形中，其外心、重心和垂心共线.这条直线被称为欧拉线.在三角形中，。为

三角形的外心，P为三角形垂心（。点与尸点不重合），且OP〃BC,动点M在直线OP上，且

AM=2xAB+yAC,贝!|xy的最大值

巩固训练

1.（24-25高三上•辽宁•期中）等边△4BC的边长为1,D,E分别是边BC和NC上的点，且丽=2成,

CE=2EA，BE与AD交于点F,贝（J酝（）

37919

A.—B.—C.—D.—

7151430

2.（23-24高一下•甘肃白银•阶段练习）已知KJ，是实数，向量a,5不共线，若

^x+y-2^a+^x-y^b=0,贝！）x=；y=.

3.（23-24高一下,广东广州•期中）已知,和外是两个不共线的向量，a=ex-2e2,b=2ex+ke2,且之与B

是共线向量，则实数上的值是.

题型四：平面向量共线的坐标表示

例题1（24-25高三上•吉林・期末）已知荔=（-l,cosa）,数=（2,0）,丽=（2,2sina）,若A,B,〃三点

共线，贝！|tane=（）

A.-2D.2

例题2（23-24高一下•湖南株洲•期末）已知。为第三象限角,向量@=（sin&l）,5=（cos0,2）,且&与9+22

共线，贝!Jsin〃的值为（）

V52^/5275

AA.——BR.------C.------Dn.--------

5555

例题3（23-24高一下•河南三门峡♦期中）已知向量@=-3,n）,6=（2,-1）（其中相>0,〃>0）.若不与B共

41

线，则一+不的最小值为________.

m2n

巩固训练

1.（24-25高三上•湖南长沙•阶段练习）已知向量力=（-1,左），砺=（1,2）,云=（左+2,0）且实数左20,

若aB,。三点共线.贝！|左=（）

A.0B.1C.2D.3

2.（23-24高一下•山西运城•阶段练习）已知）=（1,加一2）,b=（加,3）,若&//U，则实数加=（）

A.-1B.1C.3或—1D.1或—1

3.（23-24高一下•四川巴中•阶段练习）已知向量4=(-"7,4),3=(%-1,-2),若Z//B，则|可=

题型五：平面向量的数量积

例题1（24-25高三上•新疆乌鲁木齐•阶段练习）已知向量|刈=2,B在方方向上的投影向量为-3@,则必9=

()

A.-12B.-6C.6D.12

例题2（2024高三・全国•专题练习）已知正方形4BCD的边长是4,E是8c的中点，尸满足丽=3定，则

AE-AF=（）

A.10B.20C.22D.25

例题3（24-25高三上•天津南开•期末）如图，已知正方形48CD的边长为2,过中心。的直线/与两边,

C。分别交于点"，N,若。是5c的中点，则甄.函的取值范围是；若P是平面内一点，且满足

20P=AOB+（1-2）OC（%eR）,则两.而的最小值是.

巩固训练

1.（24-25高三上•江西•阶段练习）中国象棋是一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明

非物质文化的经典产物.如图，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“兵”“马”“炮”“帅”分别位于4B,

A.12B.8+V13C.4D.13

3.（24-25高三上•天津滨海新•阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间

艺术之一.在新春来临之际，许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛，寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿

望，设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如左图）.已知正方形

ABCD的边长为4,中心为0,四个半圆的圆心均在正方形ABCD各边的中点（如右图）.若点P位于

半圆弧AD的中点，AP-PC的值为____；若点P在四个半圆的圆弧上运动，则AC-0P的取值范围

是

题型六：向量的模

例题1（2024高三・全国•专题练习）已知向量@=B=若向量己=之+2万且,_LB，则同=

（）

A.V65B.#7C.0D.4

2

例题2（24-25高三上•广西贵港•阶段练习）已知落B为单位向量，且Z在b上的投影向量为:3，则|31-同=

（）

A.2B.3C.272D.

例题3（24-25高三上•天津河东•期末）在等腰梯形N8CD中，AB//DC,AB=A,BC=CD=2,石是腰的

中点，则荏.丽的值为;若P是腰/。上的动点，贝“2丽-京|的最小值为.

巩固训练

1.（24-25高三上•河北邢台•期末）已知单位向量£和g的夹角为8,且cos”-：,则悔-,=（）

B.41D.272

2.（24-25高三上•河北保定•期末）已知向量版同=1,网=2,7+3=（2,道），贝）,-可=.

3.（24-25高三上•吉林白城•期末）在等腰梯形/BCD中，AB〃DC,AB=2BC=2CD=2,P是腰4D上的

动点，贝!||2丽-羽的最小值为.

题型七：向量的夹角

例题1（24-25高三上•辽宁沈阳•阶段练习）已知单位向量）而满足心3=0,贝！|COS〈I+A2@+4B〉=（）

例题2（23-24高一下•北京大兴•期中）在平面直角坐标系中为坐标原点，P（-2,1）,0（4,3）,贝!JcosNPOQ=

例题3（23-24高一下•安徽阜阳•期末）若向量获满足。+刃=（3,追卜”5=卜1市），则向量标的夹角为

巩固训练

1.（24-25高三上•广西•期末）若非零向量在满足同=2回，且仅_3B）D,则cos①而=（）

1312

A.—B.—C.-D.一

3463

2.（2025高三・全国•专题练习）已知向量”（1,3）,5=（-2,4）,且&在B上的投影向量为万，贝匕一二

与五+B夹角的余弦值为（）

3.（23-24高一下•河北邢台•期中）已知/（2,5）,8（4,-1）,。（-2,1）,。为5（7的中点，贝！|（^//以为（）

V26

~26

题型八：向量的投影

例题1（24-25高三上•山东枣庄•阶段练习）已知非零向量力=（OJ）,6=（1,-4）,若向量B在£方向上的投

影向量为筋，贝!!，=（）

A.-2B.-4

例题2（24-25高三上•重庆•阶段练习）已知向量g满足。-2^）=0,贝/在£上的投影向量为（）

A.2aC.后D.2伍

例题3（24-25高三上•上海奉贤•期中）已知向量值=（-1,2）3=（3,2）,贝!在&方向上的数量投影

为.

巩固训练

1.（2024•四川成都•模拟预测）已知平面向量@=卜1,百），3=卜若,1）,则石在B上的投影向量为（）.

3@

A.(-3,0)C.1-3,6)

2.（24-25高二上•陕西渭南•阶段练习）已知向量£与g的夹角为60。，忖=2,忖=6,则无-加在£方向上

的投影数量为-.

3.（24-25高三上•福建南平•期中）已知1（1,2）,刃=（-2,2）,贝仃在否方向上的投影向量坐标为.

题型九：向量平行垂直的坐标表示

例题1（24-25高三上•云南•阶段练习）已知向量d=（O,l）,5=（x,l）且鼠则向量色与不的夹角为

（）

7171_7171

A.—B.—C.—D.一

6432

例题2（23-24高一下•江苏苏州•期中）已知向量方=（-1/），砺=（2,-3）,OC=（l-m,2-m）.

（1）若方，反，求实数加的值;

⑵若厉〃就，求实数加的值.

例题3（23-24高一下•山东临沂•期中）已知向量d=（3,2）,B=c=（-8,-l）.

⑴若（1+q，国+可，求实数x的值；

（2）若良〃件司,求向量万与B的夹角氏

巩固训练

1.（2024・河南•模拟预测）已知向量£=（-3,7）,3=（4-5叫以+15）,且一〃3,则切=（）

9393—7373

A.—B.---C.—D.---

22223232

2.（23-24高一下•云南德宏•期中）已知向量方=（2,1）,3=（1,2）,c=（4,2）,

⑴若Z//Z，求『|的值；

⑵若（标+不），3,求女的值.

3.（23-24高一下•安徽六安・期末）已知向量1=。,3）,1=（-2,3）,工=（-2,加）.

⑴若a_L（g+c）,求|c|;

（2）若左Z+g与%-g共线，求左的值.

题型十：两个向量所成角为锐角或钝角

例题1（24-25高三上•河北•期中）已知向量1=（叫2）与向量B=（l,-2）夹角为钝角，则实数切的取值范围

是（）

A.m<4B.加＜4且加。一1

C.m>-4D.加>-4且〃zw4

例题223-24高一下•天津和平•期末）设向量1=（》,-2）,彼=（1,一x）,若万与B的夹角为钝角，则实数x的取

值范围为.

例题3（23-24高一下•山东枣庄•阶段练习）已知|码=1,|司=1,且向量Z与B不共线.

⑴若Z与B的夹角为120。，求俾-4心+3）；

（2）若万与5的夹角为60。且向量日一乐与后-2彼的夹角为锐角，求实数k的取值范围.

巩固训练

1.（24-25高三上•湖南怀化•期中）已知向量3=（1,2）,B=（2-/U）,若£与否的夹角为锐角，则X的取值

范围是.

2.（23-24高一下•山东滨州•阶段练习）（1）已知2=（百,3）,B=（-2,0）,求向量g在£上的投影向量的

坐标.

（2）已知2=（1,3）石=（42）,若用B的夹角为锐角，求X的取值范围.

3.（23-24高一下•湖南岳阳•期末）已知向量"=。,2）,3=（-2,5）,c=（2f+l,/）,（zeR）.

⑴若"13,求，的值;

⑵若展与々的夹角为钝角，求，的取值范围.

题型十一：利用正（余）弦定理判定三角形解的个数

例题1（23-24高一下•湖北•期中）根据下列条件，判断三角形解的情况，其中有两解的是（）

A.b=l,4=45,C=60B.。=1,。=2,5=60

C.a=3/=l,5=120°D."3,6=4,4=45°

jr

例题2（24-25高三上•江苏扬州•期中）已知△/2C的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=y,

6

6=10,则使得△N2C有两组解的。的值为____.（写出满足条件的一个整数值即可）

例题3（23-24高一下•贵州铜仁•期末）在yBC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c.若a=6,

N=g.若满足条件的三角形有两个，则边。的取值范围为.

巩固训练

7T

1.（2024•湖北•模拟预测）在ZUBC中，已知=BC=2^2,C=-,若存在两个这样的三角形

ABC,则x的取值范围是（）

A.[2收,+qB.（0,20）C.（2,28）D.（A/2,2）

7T

2.（23-24高一下•浙江•期中）在&ABC中，已知4="a=2,^/\ABC有两解，则边6的取值范围为.

TT

3.（23-24高一下•福建福州•期末）在△/BC中，/=：,/8=8,若此三角形恰有两解，则5c边长度的取

4

值范围为.

题型十二：利用正（余）弦定理判定三角形的形状

例题1（24-25高三上•福建南平•期中）在△/BC中，内角4民C的对边分别为a,b,c,已知向量

加=（a,cosf/Jmcos?,"]c,cos；1共线，则△/5C的形状为（）

A.等边三角形B.钝角三角形

C.有一个内角是2的直角三角形D.等腰直角三角形

6

例题2（23-24高一下•山东烟台•期中）在UBC中，a,b,c分别为角4,B,C的对边，且

acos8+（2c-b）cos/=c,贝！]△48。的形状为（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

例题3（23-24高一下•贵州贵阳•阶段练习）△ABC中，角4B、C的对边分别是0、b、c,若acosB

cos^4+Z>-COSTIcosC=b-cosB,则△Z8C的形状是.

巩固训练

1.（23-24高一下•天津•阶段练习）在ZS/BC中，已知=NA：'2，则的形状为（）

a+c-b-b+c--a

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰或直角三角形D.等边三角形

2.（23-24高一下•江苏徐州•期中）在ZUBC中，若匕"£=口^名，则的形状为（）

c-cosBb-cosC

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

3.（2024•湖南衡阳•模拟预测）在△48C中，角4昆。的对边分别为凡机，若sin2/=sin28,贝必4BC

的形状为.

题型十三：求三角形周长（边长）

例题“4-25高二上.广东广州•阶段练习）在△⑻中'且△的的面积为?则MC

的长为（）

A.1B.V3C.2D.72

例题2（23-24高二下•重庆•期中）已知。,6,c分别表示A/BC中内角N,B,C所对边的长，其中

。=2*=60°,5"砥=26，贝必/3。的周长为（）

A.6B.8C.6+V3D.6+273

例题3（23-24高一下•福建莆田•期中）在锐角三角形）3c中，已知“，b,c分别是角A,B,C的对边,

且G6=2asinB,a—y/31则三角形的周长的取值范围是（）

A.（3-73,373）B.（3-百,3君］C.（3+百,3君］D.13+出,3班］

巩固训练

3

1.（23-24高一下•湖南常德•期中）△4BC中乙4=60。，若其姐=彳百且2sin8=3sinC,则△4BC的周长

为（）

A.10+V7B.12C.5+V7D.5+2用

2.（23-24高一下•山东荷泽•期中）已知△/8C是直径为50的圆内接三角形，三角形的一个内角a满足

3_

cosa=-,则△4BC周长的最大值为（）

A.20B.20A/2C.20GD.20+4石

3.（2024•全国•模拟预测）在锐角△4BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

2sin/j-sinC=cosC>.=石，则周长的最大值为（）

tan/

A.2gB.3百C.V3+V2D.V3+2

题型十四：求三角形面积

例题1（24-25高三上•山东济宁・期末）在ZUBC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知

1一2cos//+i

be

⑴求证：sin5=2sinC；

jr_

(2)若。=3,A=~>求△4BC的面积.

例题2（24-25高三上•河南•阶段练习）在△N3C中，内角A,B,C,所对的边分别为。，b,c,且

asinB+6siih4=2^/3（c-acosS）.

⑴求A；

⑵若sinfi=2sinC,△48C的面积为上8,求a.

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例题3（24-25高二上•广东韶关♦期中）已知函数/（x）=2sin[x+制-限os2x.

⑴求〃x）在0,，上的单调递增区间；

⑵已知△丽的内角4瓦。的对边长分别是a,b,c,若/-A]=1一①0=2，求例。面积的最大值.

巩固训练

1.（安徽省皖南八校2024-2025学年高三上学期第二次大联考数学试题）记A/BC的内角4B,C的对

边分别为〃，b,c,已知cos?C+cos?3-cos?4=1-sinCsin5.

⑴求角A的大小；

反

⑵若点。是边中点，5.csinABAD+bsinACAD=——be,求△45。面积的最大值.