排列组合20种模型方法归类-高考数学一轮复习热点题型专项训练（解析版）

专题10-1排列组合20种模型方法归类

目录

【题型一】基础：相邻与不相邻..........................................................2

【题型二】球放盒子：先分组后排列.....................................................3

【题型三】平均分配：医生与护士型.....................................................5

【题型四】特殊元素（位置）优先排.....................................................6

【题型五】模型1：下电梯型............................................................7

【题型六】模型2：公交车模型..........................................................9

【题型七】模型3：排课表.............................................................10

【题型八】模型4：节假日值班.........................................................11

【题型九】模型5：书架插书型（不改变顺序）...........................................13

【题型十】模型6：地图染色...........................................................14

【题型十一】模型7：几何体染色.......................................................16

【题型十二】模型8：相同元素.........................................................18

【题型十三】模型9：停车位、空座位（相同元素）.......................................20

【题型十四】模型10：走路口（相同元素）..............................................21

【题型十五】模型11：上台阶（相同元素）..............................................23

【题型十六】模型12：“波浪数”型（高低站位）.........................................25

【题型十七】模型13：配对型..........................................................27

【题型十八】模型14：电路图型........................................................29

【题型十九】模型15：机器人跳动型....................................................30

【题型二十】难点：多重限制与分类讨论.................................................32

真题再现..............................................................................35

模拟检测..............................................................................38

热点题型归纳

【题型一】基础：相邻与不相邻

【典例分析】

阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉.三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春.在

沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前

面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数

共有()

A.144种B.216种C.288种D.432种

【答案】C

【分析】利用捆绑法和插空法进行求解.

【详解】第一步：先将3名母亲全排，共有A；种排法；

第二步：将3名女宝“捆绑”在一起，共有A；种排法；

第三步：将“捆绑”在一起的3名女宝作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，有种排法；

第四步：首先将2名男宝之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，然后将另一个男宝插入由女宝

与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有C；C；种排法.

不同的排法种数有：A；A；A；C；C；=288种.

故选：C.

【提分秘籍】

基本规律

相邻和不相邻排列：

(1)相邻问题采取“捆绑法”；

(2)不相邻问题采取“插空法”;

【变式演练】

1.三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同

的站法共有

A.72种B.108种C.36种D.144种

［答案］D

【分析】根据题意，利用捆绑法和插空法，再利用分布乘法原理，即可求出结果.

【详解】解：先将男生甲与男生乙“捆绑”，有每种方法，

再与另一个男生排列，则有雪种方法，

三名女生任选两名“捆绑”，有用种方法，

再将两组女生插空，插入男生3个空位中，则有另种方法，

利用分步乘法原理，共有线=144种.故选：D.

2.在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能连着出场，

且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为

A.30B.36C.60D.72

【答案】C

【分析】记事件A:2位男生连着出场，事件3:女生甲排在第一个，利用容斥原理可知所求出场顺序的排

法种数为=6-[〃(A)+"(B)-〃(ACB)],再利用排列组合可求出答案.

【详解】记事件A:2位男生连着出场，即将2位男生捆绑，与其他3位女生形成4个元素，所以，事件A的

排法种数为72(A)=&父=48,

记事件3:女生甲排在第一个，即将甲排在第一个，其他四个任意排列，所以，事件8的排法种数为

w(B)=媪=24,

事件AcB:女生甲排在第一位，且2位男生连着，那么只需考虑其他四个人，将2位男生与其他2个女生

形成三个元素，所以，事件AcB的排法种数为街A；=12种，

因此，出场顺序的排法种数=团-[MA)+MB)-〃(ACB)]

=120—(48+24—12)=60种，故选C.

3.现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种

数为

A.12B.24C.48D.60

【答案】C

【详解】先从四组两张连号票比如(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)中取出一组，分给甲乙两人，共有C：8=8种，

其余的三张票随意分给剩余的三人，共有H=6种方法，根据分步乘法原理可知，共有8x6=48种，故选

C.

【题型二】球放盒子：先分组后排列

【典例分析】

我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方

法有

A.300种B.150种C.120种D.90种

【答案】B

【详解】分析：根据题意，先选后排.①先选，将5名教师分成三组，有两种方式，即1,1,3与1,2,2,

注意去除重复部分；②后排，将分好的三组全排列，即可得到答案.

详解：根据题意：分两步计算

(1)将5名教师分成三组，有两种方式即1,1,3与1,2,2；

c'c'

①分成1,1,3三组的方法有干=10

2

②分成1,2,2三组的方法有c'c*=15

一共有10+15=25种的分组方法；

(2)将分好的三组全排列有闻=6种方法.

则不同的派出方法有25x6=150种.

故选B.

点睛：对于排列组合混合问题，可先选出元素，再排列.

【提分秘籍】

基本规律

“球放盒子”类型，要讨论“用了几个盒子”，放了几个球。同一盒子放多个球时“只选不排”

注意分类套路不遗漏

［变式演练］

1.我们想把9张写着1~9的卡片放入三个不同盒子中，满足每个盒子中都有3张卡片，且存在两个盒子中

卡片的数字之和相等，则不同的放法有种.

【答案】198

【分析】首先列出至少有两个卡片之和相等的盒子的情况，然后利用全排列即可求解.

【详解】由题意可知，设存在的这两个盒子中卡片的数字之和相等，设其相等的和为x.

当X=H时，共有1种情况，即{(L3,7),(2,4,5)}；

当x=12时，共有3种情况,即{(1,2,9),(3,4,5)},{(1,3,8),(2,4,6)},{(1,5,6),(2,3,7)}；

当％=13时，共有5种情况，即{(1,3,9),(2,4,7)},{(1,3,9),(2,5,6)},{(1,4,8),(2,5,6)},{(1,5,7),(2,3,8)},

{(1,5,7),(3,4,6))；

当x=14时，共有7种情况，即{(1,4,9),(2,5,7)},{(1,4,9),(3,5,6)},{(1,5,8),(2,3,9)},{(1,5,8),(3,4,7)},

{(1,6,7),(2,3,9)},{(1,6,7),(2,4,8)},{(2,4,8),(3,5,6)}；

当x=15时，共有2种情况，即{(1,5,9),(2,6,7),(3,4,8)},{(1,6,8),(2,4,9),(3,5,7)}

当x=16时，共有7种情况,即{(1,6,9),(3,5,8)},{(1,6,9),(4,5,7)},{(1,7,8),(2,5,9)},{(1,7,8),(3,4,9)},

{(2,5,9),(3,6,7)},{(2,6,8),(3,4,9)},{(2,6,8),(4,5,7)}；

当x=17时，共有5种情况，即{(1,7,9),(4,5,8)},{(2,7,8),(3,5,9)},{(3,5,9)74,6,7)},{(3,6,7),(4,5,8)},

{(1,7,9),(3,6,8)}；

当元=18时，共有2种情况，即{(2,7,9),(4,6,8)},{(3,7,8),(4,5,9)}；

当x=19时，共有1种情况，即{(3,7,9),(5,6,8)}；

综上所述，共有1+3+5+7+2+7+5+2+1=33(种)情况，

不同的放法共有：33H=198种.

故答案为：198.

2.将5个不同的小球全部放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编

号数，则共有种不同的放法.

【答案】535

【分析】根据每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，将每个盒子能放入的球个数列举出来，由总球

数为5,以可能的球数组合列举分组，结合组合数求出它们所有不同放法

【详解】四个盒子放球的个数如下

1号盒子：{0,1}

2号盒子：{0,1,2}

3号盒子：{0,1,2,3)

4号盒子：{0,1,2,3,4)

结合由5个不同的小球全部放入盒子中，不同组合下放法

5=1+4：3C；种

5=2+3：4C；种

5=1+1+3：6C；C；种

5=1+2+2：6CjCj种

5=1+1+1+2：3cg种

.*.5个相同的小球放入四个盒子方式共有535种

故答案为：535

【点睛】本题考查了组合数，对问题分类、分组，应用组合数的计算

3.某小区因疫情需求，物业把招募的5名志原者中分配到3处核酸采样点，每处采样点至少分配一名，则

不同的分配方法共有()

A.150种B.180种C.200种D.280种

【答案】A

【分析】分情况讨论，分三处分别有1,2,2人与1,1,3人两种情况求解即可.

【详解】先将5人分组，可能情况有1,2,2人与1,1,3人两种情况.

①分成人的所有情况共种情况;

1,2,2A；=15

②分成1,1,3人的所有情况共C；=10种情况；

再将分好的组分配到3处核酸采样点，共（15+10）x6=150种情况.

故选：A

【题型三】平均分配：医生与护士型

【典例分析】

某医院分配3名医生6名护士紧急前往三个小区协助社区做核酸检测.要求每个小区至少一名医生和至少一

名护士.问共有多少种分配方案？（)

A.3180B.3240C.3600D.3660

【答案】B

【分析】分三种情况进行分类讨论,依据先分组再分配原则解决“至少”问题.

【详解】每个小区至少一名护士，则把护士分为3组，共有3种情况：1,1,4；1,2,3；2,2,2

把护士分为3组，3组人数分别为1,1,4,共有坐标种分法，再分配给3个小区，有

用种分法.每个小区1名医生有用种分法，则分配方案数为当U曷用；

把护士分为3组，3组人数分别为1,2,3,共有种分法，再分配给3个小区，有

段种分法.每个小区1名医生有用种分法，则分配方案数为

把护士分为3组，3组人数分别为2,2,2,共有土衿种分法，再分配给3个小区，有

用种分法.每个小区1名医生有国种分法，则分配方案数为华4段段

综上，分配方案总数为岑G国H+C；C；C；用用+盘等用/=3240

4A

故选：B

【提分秘籍】

基本规律

平均分配思维：

1.同除相同元素的组数全排列。

2.如果限制条件少，可以以“盒”为单位一个一个“要人”，不在排列了

【变式演练】

1.袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球

作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为（）

12342134

^C4-<C8-C<12•C<16口C4-C=8-C=12•勺C6

A.-「10B.

C40

21141342

cj.SC.CJ2-CJ6JC-(C8-JC2-<C16

C.D.7^10

C40^40

【答案】A

【分析】根据分层抽样的方法计算出每种颜色所抽取的数量，在根据分步计数原理和古典概型概率计算公

式，计算出所求的概率.

【详解】根据分层抽样的知识可知，抽样比为4:3:2:1,即红球4个，蓝球3个，白球2个，黄球1个，根

02「3「4

据分步计数原理和古典概型概率计算公式得所求概率为,故选A.

【点睛】本小题主要考查分层抽样抽样比的计算，考查分步计数原理，考查古典概型概率计算，考查组合

数的计算，属于基础题.

2.某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”、“青春风街舞社”、“羽乒协会”、“演讲

团”、“吉他协会”五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6

个人中至多有1人参加“演讲团”的不同参加方法数为

A.4680B.4770C.5040D.5200

【答案】C

【详解】若有1人参加“演讲团”，则从6人选1人参加该社团，其余5人去剩下4个社团，人数安排有2种

看+年GA；］=3600,若

情况：1,1,1,2和1,2,2,故1人参加“演讲团”的不同参加方法数为C：

A)

无人参加“演讲团”，则6人参加剩下4个社团，人数安排安排有2种情况：1,1,2,2和2,2,2,故无人

参加“演讲团”的不同参加方法数为第£A；+C：C：C：=1440,故满足条件的方法数为

3600+1440=5040,故选C.

3.将6名志愿者分配到3个社区进行核酸检测志愿服务，若志愿者甲和乙必须在一起，且每个社区至少有

一名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A.150种B.180种C.360种D.540种

【答案】A

【分析】利用捆绑法将甲和乙看成一个整体，即把5个元素分成3组，可分为1,1,3与1,2,2,由此

即可算出答案.

【详解】由于志愿者甲和乙必须在一起，所以可以把甲和乙看成一个整体，

则6个人变成了5个元素,再把这5个元素分成3组,

当分配的元素分别是1,1,3时，共有•A；=60种分配方案,

A；

当分配的元素分别是1,2,2时，共有6=90种分配方案,

所以共有60+90=150种不同的分配方案.

故选：A.

【题型四】特殊元素（位置）优先排

【典例分析】

某学生将语文、数学、英语、物理、化学、生物6科的作业安排在周六、周日完成，要求每天至少完成两

科，且数学，物理作业不在同一天完成，则完成作业的不同顺序种数为

A.600B.812C.1200D.1632

［答案］c

【薛析】根据特殊元素优先安排的原则，分两类，一天2科，另一天4科或每天各3科.

一天2科，另一天4科的情况：先安排数学、物理，再安排另外4科，先分组再分配，一组1科，一组3

科，最后给两个大组分别全排列.每天各3科的情况同理.最后把两种情况相加即可.

【详解】分两类：一天2科，另一天4科或每天各3科.

①第一步，安排数学、物理两科作业，有用种方法;，

第二步，安排另4科一组1科，一组3科，有C：窗8种方法；

第三步，完成各科作业，有用反种方法，

所以共有用徨=768种.

②两天各3科，数学、物理两科各一组，另4科每组2科，

第一步，安排数学、物理两科作业，有&种方法；

第二步，安排另4科每组2科，有空x&种方法；

第三步，完成各科作业，有看6种方法，

「2c2

所以共有&U六X^44=432种，

综上，共有768+432=1200种.故选C.

【提分秘籍】

基本规律

元素有特殊要求，位置有特殊限制的类型，一般情况下，可以直接思维，也可以间接思维“正难则反”

直接思维，可以从元素出发，特殊元素优先排，也可以从位置出发，特殊位置优先坐。

［变式演练］

1.学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合

担任一辩手，1.女生乙不适合担任四辩手.现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选.那么不同的组

队形式有种.

【答案】930

【详解】分析：分三种情况讨论，分别求出甲乙都入选、甲不入选，乙入选、甲乙都不入选,，相应的情况

不同的组队形式的种数，然后求和即可得出结论.

详解：若甲乙都入选，则从其余6人中选出2人，有屋=15种，男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合

担任四辩手，则有A：-2A；+&=14种，故共有15x14=210种；

若甲不入选，乙入选，则从其余6人中选出3人，有=20种，女生乙不适合担任四辩手，则有C；段=18

种，故共有20x18=360种；

若甲乙都不入选，则从其余66人中选出4人，有索=15种，再全排，有=24种，故共有15x24=360种，

综上所述，共有210+360+360=930,故答案为930.

点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题,

往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能

挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理

讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.

2.从6名短跑运动员中选4人参加4x100米接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则共有

多少种参赛方法（用数字作答）.

【彳析】先做出所有的情况六人中取四人参加的种数，减去甲、乙两人中至少有一人不排在恰当位置的种

数，这样就重复减去了两个人同时不合题意的结果数，再加上多减去的部分，即可得到结果.

【详解】从六人中取四人参加的方法数为星，

去掉甲、乙两人中至少有一人不排在恰当位置的有C；团种方法，

因前后把甲、乙两人都不在恰当位置的方法数月减去了两次，

故共有星-C；团+A：=252种方法，

故答案为252.

【题型五】模型1：下电梯型

【典例分析】

电梯有6位乘客，在5层楼房的每一层停留，如果有两位乘客从同一层出去，另两位在同一层出去，最后

两人各从不同的楼层出去，则不同的下楼方法的种类数是（）

A.1600B.2700C.5400D.10800

【答案】C

【解析】先把6人按2,2,1,1分面四组，然后选择4个楼层让这四组的人分别下去即可得.

「2r2

【详解】由题意所有种类数为」5400.

故选：C.

【提分秘籍】

基本规律

下电梯模型，实质就是“球放盒子”扩展应用。要分组讨论“谁和谁一起"，有没有“空盒子”。

【变式演练】

1.有3人同时从底楼进入同一电梯，他们各自随机在第2至第7楼的任一楼走出电梯.如果电梯正常运行，

那么恰有两人在第4楼走出电梯的概率是（）

A.—B.—C.—D.—

721272216

【答案】C

【分析】由题意结合分步乘法、排列组合的知识可得所有基本情况数及满足要求的情况数，再由古典概型

概率公式即可得解.

【详解】3人同时从底楼进入同一电梯，他们各自随机在第2至第7楼的任一楼走出电梯，共有63=216种

不同情况；

恰有两人在第4楼走出电梯，共有C；・C=15种不同情况；

故所求概率尸=黑=三.

21672

故选：C.

【点睛】本题考查了计数原理的应用，考查了古典概型概率的求解，属于基础题.

2.甲、乙、丙3人从1楼乘电梯去商场的3到9楼，每层楼最多下2人，则下电梯的方法有

A.210种B.252种C.343种D.336种

【答案】D

【解析】分两种情况讨论：①每个楼层下1人；②3人中有2人从一个楼层下，另1人从其它楼层选一个楼

层下，利用排列组合思想结合分类加法计数原理可得出结果.

【详解】分两种情况讨论：

①每个楼层下1人，贝U3人下电梯的方法种数为禺=210；

②3人中有2人从一个楼层下，另1人从其它楼层选一个楼层下，此时，3人下电梯的方法种数为CX=126.

由分类加法计数原理可知，3人下电梯的方法种数为210+126=336种.

故选：D.

3.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第17,18,19,20层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位

乘客在这四层的每一层下电梯的概率为:，用^表示5位乘客在第20层下电梯的人数，则尸《=4）=

4

15

【答案】

1024

【分析】考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验,

【详解】每一位乘客是在第20层下电梯为一次试验，且每一位乘客在第20层下电梯的概率都是5,

4

因此这是5次独立重复试验，故自45，91,所以尸e=4）=C；（3：=舄.

I4）441024

故答案为：孤

【题型六】模型2：公交车模型

【典例分析】

北京公交101路是北京最早的无轨电车之一，最早可追溯至1957年.游客甲与乙同时从红庙路口西站上了

开往百万庄西口站方向的101路公交车，甲将在朝阳门外站之前的任意一站下车，乙将在神路街站之前的

任意一站下车，他们都至少坐一站再下车，则甲比乙后下车的概率为（）

12345678910111213141516171819202122232425

＜）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）rp

神

朝

白

东

小

朝

朝

东美

沙故

北

阜

阜阜

展

阜

呼关

甘

红

红

西

西

百

路

塔

庄

阳

宫

成

大

海

内四

滩

成

览

东

术

成

外

家

家

庙

安

四

万

庙

阳

站

街

寺

门

路

站

小路

路

门

路

店

门

桥

馆

门

门

西

楼

口

路

庄

路

路

站

站

站

口

街

外

站

站

口

口

站

东

内

口

西

北

内

口

路

西

口

门

站

站

东

东

站西

站

站

站

站

口

站

西

口

东

口

外

站

站

站

站

站

站

西

东

站

站

站729

--CD1

A.B.52一•2

20

［答案］D

【分析】根据题意，确定总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，基本事件个数之比即为所求

概率.

【详解】甲下车的站名可能为小庄路口东站、呼家楼西站，关东店站，东大桥路口西站、神路街站，乙下

车的站名可能为小庄路口东站、呼家楼西站、关东店站、东大桥路口西站.

所以甲、乙下车的所有情况共有C；xC：=20种，

其中甲比乙后下车的情况有：

乙在小庄路口东站下车，甲可以在呼家楼西站，关东店站，东大桥路口西站、神路街站下车；

乙在呼家楼西站下车，甲可以在关东店站，东大桥路口西站、神路街站下车；

乙在关东店站下车，甲可以在东大桥路口西站、神路街站下车；

W_j_

乙在东大桥路口西站下车，甲可以在神路街站下车；共有10种.故甲比乙后下车的概率为20.故选：D.

【提分秘籍】

基本规律

和“下电梯”模型比较接近。

【变式演练】

1.车上有6名乘客，沿途有3个车站，每名乘客可任选1个车站下车，则乘客不同的下车方法数为（）

A.63B.36C.4D.Cl

【答案】B

【分析】利用每名乘客都有3种下车方式，总共有6名乘客，相乘直接计算得到答案

【详解】根据题意，汽车上有6名乘客，沿途有3个车站，每名乘客可以在任意一个车站下车，即每名乘

客都有3种下车方式，则6名乘客有3$种可能的下车方式.

故选：B

2.有四位朋友于七夕那天乘坐高铁G77从武汉出发（G77只会在长沙、广州、深圳停），分别在每个停的

站点至少下一个人，则不同的下车方案有（）

A.24种B.36种C.81种D.256种

【答案】B

【解析】先按2+1+1分成三组，再分配到三个站点，即得结果.

【详解】依据题意每个停的站点至少下一个人，先按2+1+1分成三组，有仁种分法，再分配到三个站点，

有国种分法，所以一共有用=36种不同的下车方案.

故选：B.

3.某公交线路某区间内共设置四个站点（如图），分别记为4,A，4,现有甲、乙两人同时从4站点上

车，且他们中的每个人在站点4（7=。,1,2,3）下车是等可能的.则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为（）

4444

［答案］A

【分析】先求出甲、乙在同一站下车的概率，然后由对立事件概率公式计算.

【详解】设事件“A=甲、乙两人不在同一站下车”，

因为甲、乙两人同在4站下车的概率为;xg；

甲、乙两人同在4站下车的概率为:X；；

甲、乙两人同在人3站下车的概率为;xg;

所以甲、乙两人在同一站下车的概率为3x；xg=；,贝"（4）=1一；=|.

故选A.

【题型七】模型3：排课表

【典例分析】

某校高二年级一班星期一上午有4节课，现从语文、数学、英语、物理、历史和体育这6门学科中任选4

门排在上午的课表中，若前2节只能排语文、数学和英语，数学课不能排在第4节，体育只能排在第4节，

则不同的排法种数为（）

A.18B.48C.50D.54

［答案］C

析】根据题意，利用分类加法计数原理求解即可.

【详解】根据题意，当体育课排在第四节时，有段・闻=18种排法；

当体育课不排在第四节，且数学课排在第一节或第二节时，有凡•凡・A；=24种；

当体育课不排在第四节，且数学课不排在第一节或第二节时，有段•记=8种；

所以不同的排法共有：18+24+8=50种，

故选：C.

【提分秘籍】

基本规律

排课表，是属于多重限制条件下的“特殊元素优先排”模型，综合运用:

（1）元素相邻的排列问题一一“捆邦法”；

⑵元素相间的排列问题一一“插空法”；

（3）元素有顺序限制的排列问题一一“除序法”；

⑷带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题一一间接法.

【变式演练】

1.某学校为高一年级排周一上午的课表，共5节课，需排语文、数学、英语、生物、地理各一节，要求语文、

英语之间恰排1门其它学科，则不同的排法数是（）

A.18B.26C.36D.48

【答案】C

【彳析】先从剩余的3门学科选1科放到语文、英语之间，再将它们看成一个整体与剩余的2门学科进行

排列，再利用分步计数原理即可求解.

【详解】分两步如下：

（1）将语文、英语之间恰排1门其它学科，并将它们看成一个整体有=3x2=6种；

（2）将上面整体和剩余的2门学科进行排列有©=3x2=6种；

再利用分步计数原理可知共有6x6=36种排法，

故选：C

2.某教师一天上3个班级的课，每班上1节，如果一天共8节课，上午5节，下午3节，并且教师不能连

上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有不同排法有（）

A.312种B.300种C.52种D.50种

［答案］A

【彳析】利用间接法求解，即先求出所有的上课方法，再减去连上3节课的情况.

【详解】该教师一天8节课上3节的所有的上课方法有段，连着上3节课的情况（一二三、二三四、三四

五、六七八）有4用种，则利用间接法可知所求的方法有毒-4阀=312.

故选：A

3.大庆实验中学安排某班级某天上午五节课课表，语文、数学、外语、物理、化学各一节，现要求数学和物理

不相邻，且都不排在第一节，则课表排法的种数为（）

A.24B.36C.72D.144

【答案】B

【分析】分数学排在第一节、物理排在第一节、数学和物理都不排在第一节但相邻三类，分别求得排法数

求和，由5节课任意排的排法减去三类情况的排法数即可.

【详解】1、将数学排在第一节的排法有阂种；

2、将物理排在第一节的排法有用种；

3、数学和物理都不排在第一节，但相邻的排法有C；&用种；

而5节课任意排的排法有用种，

...数学和物理不相邻且都不排在第一节的排法有盘-2也-C；&蜀=36种.

故选：B.

【题型八】模型4：节假日值班

【典例分析】

甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要甲连续工作2天后休息一天，乙连续工作3天后休息

一天，丙连续工作4天后休息一天，已知3月31日这一天三人均休息，则4月份三人在同一天工作的概

率为（）

【答案】B

【分析】列举出三人所有工作日，由古典概型公式可得.

【详解】解：甲工作的日期为1,2,4,5,7,8,10,…，29.

乙工作的日期为1,2,3,5,6,7,9,10,...»30.

丙工作的日期为1,2,3,4,6,7,8,9,29.

在同一天工作的日期为1,2,7,11,13,14,17,19,22,23,26,29

12?

•••三人同一天工作的概率为尸=4=m.

故选：B.

【变式演练】

1.2021年7月20日郑州特大暴雨引发洪灾，各地志愿者积极赴郑州救灾.某志愿小组共5人，随机分配4

人去值班，每人只需值班一天，若前两天每天1人，第三天2人，且其中的甲、乙两人不同在第三天值班，

则满足条件的排法共有（）

A.72种B.60种C.54种D.48种

【答案】C

【分析】分随机选4人只含甲乙中的一个、含甲乙两人两种情况，结合分步计算及间接法分别求得安排方

法数，最后加总即可.

【详解】若随机选4人中只含甲乙中的一个，则