平面向量的最值范围问题-2024年高考数学一轮复习突破卷（新高考）

专题突破卷14平面向量的最值范围问题

孱题型预策

数量积最值范围问题

最

目模长最值范围问题

范

号夹角最值范围问题

问

题、系数最值范围问题

题型突破

1.数量积最值范围问题

1.已知线段43是圆C:(x-1)*—4上的一条动弦，且囱=26，设点。为坐标原点，则|刀+西

的最大值为;如果直线4：x-叼-3s+l=0与4：加x+y+3机+1=。相交于点/,则而.标的最

小值为.

【答案】2也+26-472

【分析】综合应用直线与圆、圆与圆的位置关系和平面向量的数量积等知识即可解决问题.

【详解】设。为中点，则=二点。的轨迹方程为(x-l)2+(y-l)2=l,

.-.\pA+o^=i\pr\,则最大值为2亚+2，

由直线4：工一加快-3冽+1=0,4：加x+V+3加+1=°,

可得4-L4且4过定点(T-3)，过定点(-3,-1),点〃的轨迹是以(-1,-3),(-3,-1)为直径端点的圆，其

方程为(x+2y+(>+2)2=2,

.•.必.施=(诟+叫(砺+丽)=(砺+网(砺-珂=MD2-I)A'

MA-MB=|A/Z)|-3,|A/D|>-^(1+2)_+(1+2)2—1--\/2=2V2—1>

:.MA-MB=\MD^-3>(272-I)2-3=6-4行,

.•.疝•丽的最小值为6-4VL

故答案为：2行+2；6-472.

2.如图，已知尸是以3c为直径的上半圆上的动点（包含端点3,C）,。是3c的中点，BC=2,则丽.而

的最大值是.

【分析】设/8。尸=仇夕«0,可，则而.9=1.cos/据此可得答案.

【详解】因为8C=2,所以O8=OC=1,所以而・丽=（而一无）•而=|9『一砺•而=l-cos6»V2,当且

仅当cosO=-l,即尸与C重合时取等号，故而.而的最大值是2.

故答案为：2

/___,___-、

k

ABAC-BC=Q,且|在一就|=2&,|次+就卜6近，点。是

3.已知非零向量方与衣满足+

RR.7

的边48上的动点，则丽.方的最小值为.

【答案】-1/-0.2

【分析】根据向量的几何意义得到/A4c的平分线与BC垂直，并计算出口目=3五，|瓦|=2拒，建立平

面直角坐标系，表达出丽.皮，配方求出最小值.

ABACABAC

【详解】而，目分别表示在与NC方向的单位向量，故网+园所在直线为/8/C的平分线所在直线,

又-BC=O,故NA4c的平分线与8c垂直,

由三线合一得到/3=/C,取3C的中点E,

因为1刀-衣卜|屈卜20,|赤+%|=2|方卜60,故|通|=3后,

以E为坐标原点，8C所在直线为x轴，瓦1所在直线为了轴，建立平面直角坐标系,

则3（服0）,（7（-后,0）,/（0,3亚）,

设£）（加-机,3机）,me|^0,V2J,

则丽.觉=（加,一3〃?）•（机-2行,-3"，=10"/-2后机=10m--—一,

（10J5

当加时，DB-DC取得最小值，最小值为

105

故答案为：

4.如图，正方形48CD的边长为2,尸为CD边上的一个动点，则强.而的取值范围是.

【答案】[3,4]

【分析】以。为原点，建立合适的直角坐标系，设尸（x,0）,04x42,计算出万.诩=（x-l>+3,根据二

次函数的性质则得到其范围.

【详解】以。为原点，Z）C,D4所在直线分别为xj轴,建立如图所示的平面直角坐标系,

则。(0,0),4(0,2),C(2,0),8(2,2),设尸(x,0),其中04x42,

贝I］沙=(-x,2),丽=(2—x,2),

.•.P3-PB=(-X)(2-X)+2X2=X2-2X+4=(X-1)2+3,

当x=l时，莎.而有最小值3,

当x=0或2时，刀.而有最大值为4,

.•.苏•丽的取值范围为［3,4］.

故答案为：［3,4］.

5.己知边长为2的菱形/BCD中，40/8=30。,£是边2。所在直线上的一点，则丽.皮的取值范围

为.

【答案】[。,+8）

【分析】取3c的中点。，连接K0，利用平面向量的运算可得方•反=；（4|距而『），结合菱形的几何性

质可得答案.

取8C的中点0,连接E。，则赤+记=2通，

所以丽.沅=；[（丽+反＞-（丽-反了]=；（4匹2T闻2）=闻2_],

当且仅当时，石。有最小值，贝IJ国有最小值，

止匕时菱形的面积£0*80=2*；*/8*4。*5也30°=＞后0*2=2*：、2*2*；=＞k0=1,

国2—i最小值为IT=O,

因为E是边所在直线上的一点，所以E0无最大值，|距『-1无最大值，

丽.反的取值范围为［0,+。)，

故答案为：［0,+8)

6.如图，半径为2的圆。内有一条长度等于半径的弦若圆。内部(不含圆上)有一动点尸，则强2+万方

(-2,6)

【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法及点的坐标范围求解即可.

【详解】以。为原点建立平面直角坐标系，如图：

由题意三角形。48是边长为2的正三角形，则。(0,0),/(-1,-由),8(1,-百)，

设尸(x,y),贝所以刀=(一1一羽一人-y),诙=(一2,0),

)?f^p22+AP-P5=p2-(p3-P3)=P3-E4=(-l-x)x(-2)+(-A/3-y)x0=2x+2，

因为-2<x<2,所以-2<2x+2<6,所以强?十万.而的取值范围为(-2,6).

故答案为：(-2,6)

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用坐标法研究数量积的范围问题，尤其是圆中的数量积的范围

问题，利用坐标运算把数量积范围问题转化为函数(不等式)范围问题解决即可.

2.模长最值范围问题

7.已知工是单位向量，向量汗满足gwHwl,则的取值范围是()

A.(0,+功B.(0,1]

C.[”)D.[1,1]

【答案】C

【分析】利用向量数量积公式得到;vWcosdVl,结合。e0,；)得到不等式，求出口的取值范围.

【详解】设的夹角为凡由题意得;4问TcosOWl,

因为工是单位向量，故gvWcosMWl,显然,卜0,且0,；)

所以由2下，

因为0,切，所以cos。e(0,1],

所以本J解得用g.

故选：C

8.已知是平面内的三个单位向量，若力几则f+2@+忻+25-2@的最小值是.

【答案】275

【分析】采用向量的坐标运算，得到所求模长之和的几何意义，将问题转化为单位圆上的点到1-g,o)和

u两点的距离之和的最小值的求解问题，由此计算得到结果.

【详解】•••2石忑均为单位向量且11知，不妨设3=(1,0),B=(O,l),U=(x,力且x2+r=i,

:.a+2c=(2x+\,2y),3a+26-2c=(3-2x,2-2j),

+2石+阿+23一=J(2x+l『+4r+J(3一2x『+(2-2y『=2^x+1J+j；2+卜,"…],

中+2可+囚+212d的几何意义表示的是点(x,y)到可和]1,11两点的距离之和的2倍，

点,go]在单位圆内，点[gl)在单位圆外，

则点(x/)到和11/两点的距离之和的最小值即为[go1和[|/两点间距离，

二所求最小值为2

故答案为：26

9.(多选)在直角梯形48CD中，AD//BC,ABLAD,AB=AD=2,BC=4,点尸在48CD所在的平面

内，满足回|=1,若M是PC的中点，则|丽『的取值可能是()

A.7B.10C.13D.16

【答案】BC

【分析】根据题意建立空间直角坐标系，由|而|=1,可确定点尸在以。为圆心，1为半径的圆上，设

P(cosa,sin«),由三角恒等变换与平面向量模长坐标运算即可化简忸而『为正弦型三角函数，结合函数性

质可得其取值范围，从而得答案.

【详解】以。为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，

则点P在以D为圆心，1为半径的圆上，可设尸(cosa,sina)(OVa<2jt),

由题意知8(-2,-2),C(2,-2),则耳cos；+2,*一2),

所以熬^

则

(sina+2=4l+12co,+4sinj1+9sm(a+0),其中tan，=3,

所以阿e

2-布，？+

故选：BC.

10.设向量£,b，c，满足H=W=1，=一―"与「一"的夹角为60。，则口的最大值等于

【答案】2

【分析】作向量9=3，OB=b，反=鼠根据已知条件可得出£与否的夹角为120。，A,O,B,C四

点共圆，再结合正余弦定理可得出结果.

【详解】解：如下图，作向量方=",OB=b>OC=c<

o

■-CA=a-c>CB=b-c>

\a\\b\1,a-b=|a|-|/)|-cos^a,^=-]_

2

Z与7的夹角为120。,即4408=120°.

NAOB=120°.

又'l-"与芯二的夹角为60°,即B与无夹角为60。，

A,O,B,C四点共圆.

二当OC为直径时F|最大，

在。中，由余弦定理得：

画°+画、2网.画3120。=3,

.,.网=技

的外接圆的直径为Y方=2.

sin120

..A,O,B,C四点共圆的圆的直径为2.

的最大值为2.

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查向量在几何图形中的应用，考查正余弦定理，考查数形结合的能力，分析问题能力,

属于中档题.

11.如图，A、B、C三点在半径为1的圆。上运动，且M是圆。外一点，OM=2,贝U

跖4+A\+2MC的最大值是（）

A.5B.8C.10D.12

【答案】C

【分析】连接可知。为48的中点，计算得出|版+标+2比卜卜荻+2反|,利用向量模的三角不

等式可求得|疝+而+2MC\的最大值.

【详解】连接42,如下图所示：

因为/C13C,则A8为圆。的一条直径，故。为48的中点,

所以，疝+施=（汨+刀）+（板+砺）=2MO,

所以，\MA+MB+2A/C|=\1MO+2{MO+G^)|=\^MO+2(?c|<4|w|+2|oc|

=4x2+2x1=10,

当且仅当M、0、C共线且荻、反同向时，等号成立,

因此，厢+话+2时的最大值为10.

故选：C.

12.已知平面向量1,b,己满足团=臼=1,51（5-25）,（c-25）.（c-^）=0,则©的最大值为（）

V7+V3

A.0B.V3D.V7

-2-

【答案】C

【分析】根据向量的坐标运算，结合几何图形的几何性质，即可求解最值.

【详解】设平面向量2，B的夹角为。，

a|=|b\=l,a±(a-2b),

a-(a-2b)=a2-2a-b=1-2cos6=0,贝1)356=5,

由于e«o,可，所以e=[.

不妨设&=(l，0)，b=,c=OC=(x,y).

-7

1

(c-2ay(c-br)=0,(jt--)(%-2)+XJ---)=0-

化为―孑+3-£y=故C(xj)在以耳为圆心，以等为半径的圆上运动,

如图所示，同表示原点到圆上一点的距离，故当经过圆心时，距离最大或者最小，

故止乒石。河+一仔+亭+g=全”

故选：C.

3.夹角最值范围问题

13.不共线的向量。B的夹角为仇若向量与的夹角也为仇则cos。的最小值为.

【答案】显

2

【分析】可根据向量的加减法的几何意义，作出图形，可得三角形相似，利用余弦定理、三角形相似列出

方程，表示出cos。，然后求其最小值.

则丽=3-B，DC=2a-b-

；./A=/BDC=。,/C是公共角,

4ADCsADBC.

,DCAD„

贝nU—=—®.

BCDB

在△ADC中，DC2=AD2+AC2-2XADX/CXCOS(9=X2+4-4xcos61.

在Z\DBA中，DB2=x2+l-2xcos0,

x2+4-4xcos0

结合①可得:

I2x2+l-2xcos^

整理得(x+与-6cos++8cos20=0,

XIX)

2

即fx+—j-3cos^

=cos20,

所以X+——3COS0=COS。或XH---3cos0=-cos0,

XX

即x+2=4cos0>2.lx--=2A/2，所以cos0>.

XvX2

或x+—2=2cos6,因为x+2—22近，2cos比2,故舍去.

XX

由

故cos"——.

2

故答案为：交.

2

【点睛】本题主要考查向量的夹角问题，余弦定理的应用，属于中档题.

14.如图，在“8C中，D、E分别是3C、边上的中点，40与CE的交点为O,若亚.就=-3,

AB=372>则角B的最大值为.

【答案】？

【分析】表示亚=；（方+就），进一步可得而=g（就-2防），然后计算〃.前=一3可得关于|就|的一

元二次方程，最后利用ANO可得结果.

【详解】根据题意可知：在。3C中，D、E分别是3C、月8边上的中点

所以。为。8c的重心，

所以瓶.（刀+码=；（万+硝

HAC=BC-BA,所以万=g（前-2函）

又加灰=-3，

所以g（就一2茄）•就就•瓦.瑟=一3

根据/8=3也，诙灰=|阿园―cos3

所以曰呵-20cosB园+3=0

贝I]A=卜2夜852）-4x^x3>0

所以由刀.灰;u-SvO，所以3e（0,^]

则cosBz",所以

2I4」

所以8的最大值为£

4

故答案为：--

4

【点睛】本题考查向量的线性表示以及数量积的运算，本题难点在于。前、的表示以

2V2COSJB|SC|+3=0

及AN0的使用和理解，属中档题.

15.在梯形48CD中，ABHCD,且N3=2CD,M,N分别为线段。C和48的中点，若在=z,

~AD=b，用口，B表示赤=-若加1,反"则NTM8余弦值的最小值为.

【答案】\a-b巫

43

【分析】空（1）使用向量线性运算求解即可；

空（2）以行与B为基底，用数量积的形式表示出讪死，再由基本不等式求解即可.

DMc

【详解】

ANB

如图，由已知，MN=AN-AM=^AB-^AD+DM^=^AB-Al5-^DC

=-AB-AD--x-AB^-AB-AD=-a-b.

22244

.—_1_r

•・MN-~a~b.

4

设/DAB=0,即5与B的夹角为。，

1BC=BA+14D+DC=-^B+AD+^~AB=-^AB+AD=~a+b,

若丽JL就，贝1赤/前=0，

...（/一〃1一1+“=_/+%1庐=一?同2+刎砥。$"忖2=0,

又•.•同＞0,网＞0,.•.由基本不等式,

\a\8B厂

当且仅当栉k即同=2坪时，等号成立.

故答案为：二a,22.

43

【点睛】关键点睛：解决本题第2空的关键，是用以为夹角的两个向量作为基底，将垂直关系转化

为数量积的形式，再借助基本不等式求解.

16.已知色B是平面向量，满足I初=4,旧区1且I3B-G区2,则cos@B〉的最小值是（）

117J153-V15

A.—B.-C..D.

168816

【答案】B

【分析】设a=Z，OB=3b＞利用几何意义知8既在以。为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，又在以N

为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，结合图象即可得到答案.

【详解】设厉=3，OB=3b，由题意，知3在以。为圆心，半径为3的圆上及圆的内部,

由|3*-@区2,知8在以/为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，如图所示

则8只能在阴影部分区域，要cos〈》,B〉最小，则＜a]＞应最大,

222222

此时（cos〈扇B〉）=cosZBOA=OA+OB-AB4+3-27

\/min2OA-OB2x4x38

故选：B.

【点睛】本题考查向量夹角的最值问题，本题采用数形结合的办法处理，更直观，是一道中档题.

17.已知。为。8C的外心，且击=4罚+（1-刀灰.若向量诙在向量瑟上的投影向量为〃数，其中

"34~

”飞,飞，则cos乙4。。的取值范围为（）

A-[io52ojB-[丁m

「13]「13]

C•[万元]D七5

【答案】D

【分析】根据题意得到函=4直，过A作3c的垂线4。，由直在前上的投影向量为〃阮，求得

0e=L-|jsC,又由网=；|阿，得到cos4OC=2〃-1,结合〃e|,|,即可求解.

【详解】因为万=几益+0T）就，所以函=彳而,

又因为。为。8C的外心，所以。8c为直角三角形且。为斜边2c的中点,

过A作BC的垂线/。，垂足为。,

因为切在前上的投影向量为〃死,

所以方在前上的投影向量为丽=函-丽=〃前-g前

又因为|刀卜;|就所以

cosZAOC=

341313

因为〃e,所以2〃-le,即cos440C的取值范围为

故选：D.

A

18.己知9+无与标为相反向量，若网=2,网+|冈=4,则方，砺夹角的余弦的最小值为.

【答案】-1

【分析】先根据向量模长相关不等式得到画-2V4-网W2+国，解出1W网V3,设画=/e[l,3],

04,赤夹角为。，将历=-（厉+砺）两边平方，得到cosd=，2,结合问1,3],求出

cos^=1-2e[-l,l],得到答案.

【详解】OC=-（O3+O5）,故|砺卜|刀卜|就|=|厉+砺卜|刀|+|砺卜

因为画+回=4,所以®=4一画，又网=2,

所以|砺卜244T砺卜2+|砺解得："I砺卜3,

不妨设画=t1,3],04,丽夹角为。,则西=1,

芯=_/+砺）两边平方得：就2=罚+2网网cos<9+砺2,

,3

BP（4-?）~=4+2x2?cos6+t2,解得：cos0—--1,

3

因为3],所以cosd=?-2e[-1,1],

故刀，砺夹角的余弦的最小值为-1.

故答案为：-1

4.系数最值

19.如图，在直角梯形N3CD中，AD1AB,AB//DC,AD=DC=I,AB=2,动点尸在以点C为圆心，且与

直线相切的圆上或圆内移动，设方=几通+〃荏（4〃eR）,则X+〃的取值范围是（）

A.（1,2）B.(0,3)C.[1,2]D.[1,2)

【答案】C

【详解】由直角梯形可知依直角建立坐标系，则。（0,1）,3（2,0）,直线

Y|1+2-2|y/5

BD:―+J=1=>X+2J-2=0.•.圆c的半径r=d_

cBD~-忑--T

OC:(x-l)2+(y-l)2=|

设尸(x,y),由万=力赤+〃益可得：「一

•.•P在圆C内(2//-1)2+(2-1)2<|

■用rcos3+1

2工//-1小=rco。s^'咱「万)、

设in0'2,re0,-y-,则,

2=rsin^+l

]3\/531

：.A.+u=—rcos6+rsind+—=——rsin(6+0)+一,其中tan。=彳

222''22

由，e[0,2")/e0,—可知

九+〃4«，+九叵@+3=2,且彳+〃N且，+%_叵@+3=1

2225222252

所以/L+〃e[l,2].

20.在平面直角坐标系xp中，点尸为单位圆O上的任一点，河（3,0）、若万=2两+〃而,

则34+〃的最大值为.

【答案】V5

2=-cos^+—sin^

【分析】设点P（cos&si"）,利用平面向量数量的坐标运算可得出＜33,可得出32+〃的表

〃=sin。

达式，利用辅助角公式结合正弦型函数的最值可求得3彳+〃的最大值.

【详解】设点尸（cos0,sin。）,由而=&尼+〃丽=2（3,0）+〃（一1,1）=（3/1-〃,〃）,

34—〃=cos8A=-cos^+—sin^

所以,A,可得33

〃=sin”

〃=sin8

所以，32+//=sin0+cos0+sin6*=2sin6,+cos^^5sin(61+,。为锐角，且tan°=；,

所以，32+〃的最大值为VL

故答案为：4s.

21.如图，扇形中，点C是凝上一点，且408=中.若^+y历，则x+岳的最大值为

()

A.V10B.V3C.72D.1

【答案】A

【分析】由平面向量的数量积运算，结合两角和的正弦公式，求三角函数的最值即可.

【详解】由题意，建立如图所示的坐标系，设扇形半径为2%

37r

由/月。8=彳，可得4-亚/缶)，B(2a,0),

37r

设C(2acos3,2asin0),0e[0,—],

由OC=xO/+〉O5,可得(2acos。，2asin0)=x(-y[2a,41a)+y(2a,0),

所以卜c°s八2厂石，整理得：卜=0sm。

2asin6=j2ax［尸sin8+cos6

贝!|x+V2y=2V2sin0+A/2COS0=V10sin(9+<p),其中tan夕=；，

所以当sin(6>+°)=l时，x+年有最大值加.

故选：A.

22.在直角梯形N8CD中方•石=0,N5=30°,AB=2如,BC=2,点£为2c边上一点，且

~AE=xAB+yAD,则孙的取值范围是()

【答案】B

【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可.

【详解】建立如图所示的直角坐角坐标系，过C作垂足为尸,

因为NB=30o,8C=2,

CFRFr-

所以有sin8=——,cosB=——CF=2sin30°=\,BF=2cos30°=V3,

A(0,0),5(273,0),C(V3,1),D(0,1),设£(a,6),BE=mBC(me[0,1]),

ci—2V3——\[?)Tna=2石-6m

因此有(。-2A/3,Z>)=m(-V3,1)=>■=>

b=mb=m

因为次=

y/ia

所以有(凡6)=x(2百,0)+y(0,1)=(2瓜,y)=><“一?百》_x=-----

6，

b=y

J=6

工。=2V3-y/im

而17，

b=m

所以孙=(2A/3-V3m)m=-(m-1)2+—,

6222

当初=1时，町有最大值：，当冽=0,孙有最小值0,

所以孙的取值范围是。,;

故选：B

【点睛】关键点睛：建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式是解题的关键.

23.如图，在直角梯形/BCD中，AD1AB,ABHDC,AD=DC=l,AB=2,动点P在以点C为圆心,

且与直线助相切的圆上或圆内移动，设“尸=+则X+4取值范围是一

【答案】[1,2]

【分析】以A为坐标原点,建立平面直角坐标系，先求出以点C为圆心，且与直线相切的圆方程，设P(x,y),

再根据万=几75+〃刀(4〃eR),可求出点P的坐标，再根据尸在圆内或圆上，可得关于的一个不等

关系，设入+〃=乙进而可得出答案.

【详解】如图所示以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，

则40,0),。(0,1),C(l,l),8(2,0),

直线8。的方程为尹彳=1,化简得x+2y-2=0,

•••点C到BD的距离d="尸=乌,

755

可得以点。为圆心，且与直线5。相切的圆方程为(尤-IP+(歹-IP=3，

设P(x/),贝ljQ=(x/),AD=(0,1)方=(2,0),

,•eAP=AAD+juABQ,〃£R),

(x,y)=A(0,l)+//(2,0)=(2//,2),

可得％=2〃且>=几，p的坐标为(2〃,2),

・・•尸在圆内或圆上,

..(2,-I?+(4-I)?«",

设》+〃=/,得〃=/_/1,

O

22

代入上式化简整理得52-(8/-2)^+4/-4?+-<0,

若要上述不等式有实数解，

贝”=(8/_2)2_4x5x(4/_4f+尹0,

化简得产一3/+240,

解得1W2,

gpi<2+//<2,

，2+〃取值范围是［1,2］.

故答案为：［1,2］.

【点睛】关键点点睛：利用向量的坐标表示将点尸的坐标用4,表示是解决本题的关键.

—2—•

24.（多选）如图所示，在边长为3的等边三角形N2C中，AD=-AC,且点尸在以的中点。为圆心,

O/为半径的半圆上，^BP=xBA+yBC,则（）

—•—■13

B.BDBC=—

332

D.x+j的最大值为38+1

C.而•前最大值为8

9

【答案】AD

【分析】对于AB,将而分别用的，就表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于CD,以点。为原点,

G4所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设尸（85々户山。）,。«兀,2兀］,根据平面向量的坐标表示及坐标

运算即可判断.

【详解】对于A,因为通=g衣，且点P在以的中点。为圆心，04为半径的半圆上,

所以CM=0r>=DC」/C,

3

贝|丽=就+丽=就+§^3=就+1蟀_网=^或+§就，故A正确;

2

BD-BC=(-BA+-BC\BC=-BA-BC+-BC

(33133

=|x3x3xl+2x3=^故B错误；

如图，以点。为原点，C4所在直线为x轴，过点。且垂直。的直线为了轴建立平面直角坐标系,

因为点P在以/D的中点。为圆心，为半径的单位圆上，且在x轴的下半部分,

设尸(cosa,sina),ae[71,271],

r-r-Kl~D7^33575.1/(71I

所以=——cosa------------sina+—=-3cosa——+6,

2424I3)

._..「c1ll।兀27r5兀

因为兀，2兀],所以a—,

TT47r____

所以当"三=兀，即。=:时，丽.前取得最大值9,故C错误;

33

)),一7(x+H，

即COS6Z+—,sin6Z-

乙7

所以sin6r—^^=—^^(x+y),所以x+y=-^^sina+l,

因为々小叫，所以当a4时，x+y取得最大值平+1,故D正确

故选：AD.

域限时训8RQ

1.如图，在四边形48C。中，45〃。,48=3,CD=2,加=6,4840=90。.若尸为线段48上一动点,

A.2B.3C.6D.7

【答案】C

【分析】由题建立平面直角坐标系，再由平面向量数量积的坐标运算得到丽•丽=(-厅+2,再求二次函数

的最大值即可.

【详解】以A为原点，AB,所在直线分别为x,V轴建立平面直角坐标系，

则/(0,0),5(3,0),C(2,V3),。(0,6),

设尸(羽0),其中04x43,

贝1］讶=(》一2,-6),DP=(X,-43),

：.CP-DP=x(x-2)+3=x2-2x+3=(x-l)2+2,

当x=3时，丽.而有最大值6.

2.已知正六边形N5CDE尸的边长为2,圆。的圆心为正六边形的中心，半径为1,若点尸在正六边形的边

上运动，儿W为圆。的直径，则而^而的取值范围是()

A.[2,4]B.[2,3]C.1,4D.1,3

【答案】B

【分析】用可以求解的向量而，丽，丽来表示同7,丽.

【详解】记圆心为。，则由=而+而，成=丽+丽,

因为两，次7互为相反向量,

>------>/------>>\/------>------->\>2>/------->>\-------►--------►

所以尸MPN=（尸O+（W）（PO+ON）=PO+PO\ON+OM\+ON-OM=-1,

因为正六边形/BCD所的边长为2,。为正六边形的中心,

所以当尸与正六边形顶点重合时，|丽|有最大值2,

当产在正六边形边上的中点处时，|丽|有最小值，止匕时|丽卜在二？=君.

所以丽＞.丽曰而『一le[2,3].

故选：B

3.如图.在直角梯形/3CD中.AD//BC,ZABC=90°,AD=2,BC=1,点P是腰N8上的动点，则

|2PC+PD|的最小值为.

【答案】4

【分析】建立平面直角坐标系，设=求得相关点坐标，求出12定+而|的表达式，结合二次函数的

性质即可求得答案.

【详解】由在直角梯形/BCD中.AD//BC,ZABC=90°,AD=2,BC=1,

则/D/8=90。，则以A为原点，为x,y轴建立平面直角坐标系，

设A8=a,设尸(x,0),则8(见0),。(d1),。(0,2),

故PC=(a-x,1),PD=(-x,2),

所以2定+而=(2a—3x,4),i^\2PC+PD\=7(2a-3x)2+16>4,

当且仅当2a-3x=0即x时取得等号，

即12斤+9|的最小值为4,

故答案为：4

4.在边长为4的正方形/3CD中，动圆。的半径为1、圆心在线段CD(含端点)上运动，点尸是圆。上

及其内部的动点，则后.万的取值范围是().

A.[-4,20]B.[-1,5]C.[0,20]D.[4,20]

【答案】A

【分析】根据数量积的几何意义，结合图形关系即可求解最值.

【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，

由数量积的几何意义可知：万.而等于|万|与后在福上的投影的乘积，

故当不在万上的投影最大时，数量积最大，此时点P在以C为圆心的圆的最上端心处，此时投影为

\AM\=\AB\+r=5,故数量积为4x5=20,

故当万在万上的投影最小时，数量积最小，此时点P在以。为圆心的圆的最下端4处，此时投影为

-\AN\=-r=-\,故数量积为4x(-1)=-4,

故万•益e[-4,20],

故选：A

5.己知AA8C的外接圆的圆心为。，且4=5，8c=26，则砺.就的最大值为（）

3L

A.-B.V3C.2D.3

【答案】C

【分析】由正弦定理得到。4=08=OC=2,利用向量数量积公式得到近.就=-2-4cos//OC，由

〃℃〈0书求出答案.

旦也

【详解】由正弦定理得"“一sin/一,兀一，故。4=OB=OC=2,

sin—

3

因为4=g,所以N8OC=等，

则砺.衣=砺•（就一刀）=砺.反-砺.次=4cosg-4cos//OC

=-2-4cosZAOC,

因为所以//OCe]o,f贝i]cos//OCe[-l,l）,

故砺.%=-2-4cosN/OCe(—6,2].

故选：C

6.已知非零不共线向量屋g满足忖=2忖邛-囚=2,则）的取值范围为（）

A.B.1：.C.（-1,8）D.,"I，,

【答案】D

【分析】根据模长公式可得必再由|码,|印,®-科三者之间的关系，可得2＞出|＞；,由此得解.

【详解】由|町=2|四，|1-'=2,可得歼-2展5+|5『=4,

则限6-=5叫-2c_2,

又非零向量3,B不共线，

由三角不等式关系|初+历》团-3|＞|方|-|刈,

---2

则3叫＞2＞臼，则2＞叫＞“

所以苕石=5行『一2e（_§,8）.

故选：D

7.已知为单位向量，.+q=’-耳c-（a-c）=O,则区-。|的最大值为（）

A.立B.V5C也一、口]+石

2'2'2

【答案】D

【分析】由可得0%=0,则将Z]放入下图所示的正方形NOBE中，由）（。-4=0可得"的

终点在以|。旬为直径的圆上，则忸-4的最大值为忸M+厂，求解即可.

【详解】对|2+耳=归-耳两边同时平方可得：a-b=o）

£花为单位向量，所以设厉=2,无=5,且|。/|=|。@=1,

将Z]放入下图所示的正方形NO8E中，所以8（1,0）,

令砺=3，贝。由工・（D）=0可得，OF-（OA-OF^=Q,即历:.成=0，

所以8，/尸，则）的终点在以|。旬为直径的圆上，所以圆的圆心。r=1.

所以『I的最大值为即+r='12+『+；=[+；.

故选：D.

____k8_____

8.设正八边形44••■a的外接圆半径为1，圆心是点0,点尸在边44上，则而£可=；若

1=1

P在线段44上，且4A=x4Z+y4Z，则x-y的取值范围为.

【答案】o[1,V2]

8______

【分析】分析可知。为线段44+4«=1，2,3,4）的中点，可化简得出£方=6,再利用平面向量数量积的定

i=l

____,8_____k

义可求得9可的值；以点。为坐标原点，的、就的方向分别为X、V轴的正方向建立平面直角坐

Z=1

标系，利用平面向量的坐标运算可出x-y关于2的线性表达式，即可得出x-y的取值范围.

【详解】由正八边形的对称性可知，。为线段44+4。=1，2,3,4）的中点,

_8______

贝|]西+区=恒+西=历+区=西+豆=6,所以，£丽=6,