人教B版高中数学选择性必修二同步讲义：第四章 概率与统计 章末题型大总结（学生版+解析）

第四章概率与统计章末题型大总结

知识网络

概

率

与

统

计

题型总结

两点分布

二项分布

条件概率、乘法公式及全概率公式

超几何分布

相互独立事件的概率、独立重复试验的概率

正态分布

随机变■分布列及性质

题型分类一元线性回归方程

随机变■的期望与方差

非线性回归方程

期望与方差的性质独立性检验

概率统计的综合问题

02题型精讲

题型01条件概率、乘法公式及全概率公式

解题锦囊

1.求条件概率的主要方法

P(AAB)

（1）利用条件概率公式P（B|A）

尸⑷

（2）针对古典概型，可通过缩减基本事件总数求解.

2.应用乘法公式的注意点

在利用乘法公式解决实际问题时，要注意区分P（B|A）和P（A|B）的不同，P（B|A）表示在事件A发生的条件下,

事件8发生的概率；而P（A|B）则表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率.

【典例1]（24-25高二上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的

发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为1.96%,但统计分析结果显示患病率为

1%,医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为0.01,

则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为（）

A.0.99B.0.98C.0.97D.0.96

【变式工】（24-25高二上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）如图，一个质点从原点0出发，每隔一秒随机等可能

地向左或向右移动一个单位，共移动4次，在质点第一秒位于1的位置的条件下，该质点共经过两次2的

位置的概率为（）

-4-3-2-101234x

1131

A.-B.-C.—D.一

4886

【变式2】（23-24高二下•浙江宁波•期中）已知甲、乙两个袋子各装有10个球，其中甲袋子中装有4个黑

球、3个白球和3个红球，乙袋子中装有3个黑球、2个白球和5个红球.规定抛掷一枚质地均匀的硬币，若

正面朝上，则从甲袋子中随机摸出一个球：若反面朝上，则从乙袋子中随机换出一个球，下列概率中等于04

的为（）

A.摸到黑球B.摸到红球

C.在抛出的硬币正面朝上的条件下，摸到白球D.在抛出的硬币反面朝上的条件下，摸到红球

【变式3]（23-24高二下•重庆九龙坡•期中）在某次流感疫情爆发期间，A,B,C三个地区均爆发了流感，

经调查统计A,B,C地区分别有10%,9%,8%的人患过流感，且A,B,C三个地区的人数的比为9:6:7.现

从这三个地区中随机选取一人，则此人患过流感的概率为（）

111911

A.—B.—C.---D.

1150100150

【变式4】（23-24高二下•内蒙古通辽•阶段练习）某厂生产螺口灯泡和卡口灯泡两种灯泡，其中螺口灯泡的

产量占70%,螺口灯泡的合格率是95%,卡口灯泡的合格率是85%.现随机取一只灯泡，发现是合格的，这

只灯泡是螺口灯泡的概率约为（）

A.0.665B.0.723C.0.7D.0.737

题型02相互独立事件的概率、独立重复试验的概率

lr=========================:------==.----11

||解题锦囊|

1.求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题

III

||（1）“P（A8）P（A）P（B）”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具.|

11（2）涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系.I

III

II（3）公式“P（A+B）1—P（彳三）”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率.I

2.在解决概率问题时，一定要根据有关概念判断是互斥事件、相互独立事件，条件概率等，用基本事件表示।

II较复杂的事件，选择正确的计算方法，同时要注意几种事件的综合问题，需全面考虑.I

L=====================================U

【典例1］（24-25高二上•四川眉山•阶段练习）某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而

且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨

伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为:，不

2

下雨的概率均为且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋

雨的概率为（）

1620828

A.—B.—C.—D.—

81812781

【变式1】（24-25高二上•广东佛山•阶段练习）投篮测试中，每人投2次，至少投中1次才能通过测试.已知

某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）

A.0.24B.0.48C.0.84D.0.94

【变式2】（24-25高二上•湖北鄂州•期中）"五道方"是一种民间棋类游戏，甲，乙两人进行“五道方"比赛，

17

约定连胜两场者赢得比赛.若每场比赛，甲胜的概率为乙胜的概率为则比赛6场后甲赢得比赛的概

率为（）

.321642

A.---B.---C.---D.---

729729729729

【变式3】（24-25高二上•湖北武汉•期中）概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：

博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局.双方约定：各出赌金210

枚金币，先赢3局者可获得全部赎金.但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局，问这420

枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为"概率"的知识，合理地给出了赌金分配方

案.该分配方案是（）

A.甲315枚，乙105枚B.甲280枚，乙140枚

C.甲210枚，乙210枚D.甲336枚，乙84枚

【变式4】（23-24高二下•贵州•期中）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间

隔相等的圆柱形铁钉，并且每一-排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻

铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由

于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排

铁钉如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.理论上，小球落入2号容器的概率

是多少（）

回固国回回

题型03随机变量分布列及性质

解题锦囊

II分布列的两个性质

①.20,",2,•••,n；②pi+p2H-----\~pnl.

―====================================

[真加1]（23-24高三木产法宝林.期东）随加爰量丫的分编列务不袤所示，若隔就盛各1,则：（）

Y-202

p(y)abc

A.a+b+c=lB.2a+2c—4

C.-2o+2c=2D.a=c

【变式1】（23-24高二下•辽宁沈阳•期中）随机变量X的分布列如下（上为常数）:

X012

Pk6k0.3

A.0.6B.0.7C.0.9D.1.2

【变式2】（23-24高二下•河北沧州•期末）设随机变量乂的分布列尸（*=左）=61仕=1,2,3,4,5）,则

—1

P（X"）=（）

【变式3】（23-24高二下•福建莆田•期末）随机变量自服从两点分布，其分布列如下

题型04随机变量的期望与方差

11解题锦囊

II

离散型随机变量的期望和方差是随机变量中两种最重要的特征数,它们反映了随机变量取值的平均值及其稳

11定性.期望与方差在实际问题中有广泛的应用，是高考的热点.

II

I解决均值、方差的应用时，先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的概率分布列.对于一般类型的随机

11变量，应先求其分布列，再代入公式计算，此时解题的关键是概率的计算.计算概率时要结合事件的特点，灵活

II地结合排列组合、古典概型、独立重复试验概率、互斥事件和相互独立事件的概率等知识求解.

IL=====================================

（2/25高二上•湖1层麻期中5示迷丽扇盒中有通个除所标双号函知同■的底，它行务可标有

数字1,1,2,3,现从中随机取2个球.

⑴求取到2个标有数字1的球的概率；

（2）设X为取出的2个球上的数字之和，求X的分布列和数学期望.

【变式工】（23-24高二下•青海•期末）已知一组数据1,2,2,5,5,6的第80百分位数为机，随机变量

X的分布列为

X2m14

P0.30.60.1

D（X）=（）

A.5B.6C.9.8D.10.8

【变式2】（24-25高二上•黑龙江哈尔滨•期中）高考数学试题第二部分为多选题，共3个小题，每小题有4个

选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2

个选项，只选对1个得3分，有选错的得。分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，

2

有选错的得。分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是记X为小明随机选择1个

选项的得分，记y为小明随机选择2个选项的得分，则（）

A.尸（X=3）=尸（y=4）+尸（y=6）B.E（y）＜E（X）

C.O（x）=：D.E（X2）"（X）=；

【变式3】（24-25高二上•黑龙江哈尔滨•期中）某志愿者社团计划在周一和周二两天各举行一次活动，分

别由甲、乙两人负责活动通知，已知该社团共有〃位同学，每次活动均需左位同学参加.假设甲和乙分别将

各自活动通知的信息独立、随机地发给该社团％位同学，且所发信息都能收到.

⑴当〃=8,左=3时，求该社团只有小明同学同时收到甲、乙两人所发活动通知信息的概率；

（2）记至少收到一个活动通知信息的同学人数为X

①设〃=5,k=2,求随机变量X的分布列和数学期望；

②求使尸（X=m）取得最大值的整数m.

题型05期望与方差的性质

解题锦囊II

II均值、方差的性质

（1）若〃b是常数），忑是随机变量，则〃也是随机变量，且E（〃）E（逋+b）aE（J+6.

II（2）r>（a<f+Z?）a2O（a.

y—————————————————————————————————————=u

C.E（x）=2,D（x）=1.8D.E（Y）=3,D（Y）=7.2

【变式1］（23-24高二下•新疆•期中）已知E（X）=3,D（2X-1）=8,则（）

A.£（2X-1）=5B.E（2X-1）=6

C.D（X）=2D.D（X）=4

【变式3】（24-25高二上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）（多选）某中学组织了足球射门比赛.规定每名同学有

5次射门机会，踢进一球得8分，没踢进得-4分.小明参加比赛且没有放弃任何一次射门机会，每次踢进

2

的概率为I，每次射门相互独立.记X为小明的得分总和，J为小明踢进球的次数，则下列结论正确的是（）

A.E⑷=gB.

C.P（X=4）=C嘲D.E（X）=20

【变式4】（2024高二・全国•专题练习）（多选）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点。出发，每隔

1s等可能地向左或向右移动一个单位.设移动“次后质点位于位置X.,则下列结论正确的是（）

-6-5-4-3-2-10123456

A.P（X5=-1）=A

B.£（X5）=0

C.D（X6）=3

D.移动6次后质点位于原点。的概率最大

题型06两点分布

解题锦囊I

I

两点分布：是很简单的一种概率分布，其实验结果只有两种可能，且概率和为1；两点分布列又称°一1分|

II布列或佰努利分布列；两点分布能清晰的反映出事件的正反两面.两点分布的应用十分广泛，如抽取的彩票是否11

I

11中奖，买回的意见产品是否为正品，新生儿的鉴定，投篮是否命中等.|

U======================================y

【典例1】已知随机变量X服从两点分布，且P（X=l）=0.4,设y=2X—1,那么P（y=-1）=（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6

【变式1】已知随机变量X服从两点分布，且尸（X=l）=0.6.设y=3X-2,那么尸（y=-2）等于（）

A.0.6B.0.3C.0.2D.0.4

【变式2】已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且尸（X=0）=2—5P（X=l）=a,贝（）

3112

A.-B.-C.—D.一

4233

【变式3】随机变量X服从两点分布，且尸（X=l）=0.2,令y=3X—2,则p（y=-2）=（）

A.0.1B.0.2C.0.4D.0.8

题型07二项分布

lr==============:=======================Tl

||解题锦囊|

11二项分布11

III

||若。〜3（〃，p）,贝！IEfp,D^np{\—p）.|

根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数I

III

II”和变量的概率，求得概率.

【典例1］（23-24高二下•山东泰安•期末）若随机变量X服从二项分布，X-5（10,0.7）；随机变量丫服从

二项分布，且y~3（10,0.8）,则下列结果正确的有（）

A.E（X）=0.7,E（y）=6.4B,D（X）=0.21,0（7）=1.6

3773

C.P（X=3）=CjoO.7xO.3D.P（y=3）=C^OO.8X0.3

3

【变式1】【变式4】（23-24高二下•河南商丘•期末）设随机变量X3（3,#,若O（X）="则P（XN2）=

（）

1321

A.—B.-C.-D.一

3432

【变式2】（23-24高二下•吉林白山•期末）已知随机变量X~3（”,0.5）,当且仅当％=4时，P（X=/r）取得最

大值，贝U〃=（）

A.7B.8C.9D.10

【变式3】（23-24高二下•北京海淀•期末）小明投篮3次，每次投中的概率为0.8,且每次投篮互不影响，

若投中一次得2分，没投中得。分，总得分为X,则（）

A.E（X）=2.4B,E（X）=4.8C.D（X）=0.48D,£＞（%）=0.96

【变式4】（23-24高二下•四川绵阳•期末）某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选

择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为g,若从该地市民中随机选取4人进行访

谈，则至少有3人建议栽种乙树木的概率为（）

5481

A.—B.—C.—D.一

2727819

题型08超几何分布

11解题锦囊

II

II超几何分布

"什.nM（N—M）（N—n）

||右己~H（N,n,Af）则n后“-,D®.1（__］）-

II

II对超几何分布的三点说明

II（1）超几何分布的模型是不放回抽样.

II

（2）超几何分布中的参数是M,N,n.

（3）超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、学生中的男和女等问题，往往由具有明

［显差异的两部分组成.

建=====================================

【典例1］（23-24高二下,江苏南通•阶段练习）厂家生产一种产品，产品的质量指标服从正态分布N（90,b］,

其中J不低于85的为合格品.已知合格率为80%,厂家将合格品按100件一箱包装出厂.某经销商购进一

批该产品分等级销售，质量指标高于95的贴“一等品"标签，其余贴"二等品"标签，每件"二等品"的利润是

12元.

⑴经销商在购进的产品中任取一件，求该产品是"一等品"的概率；

（2）从一箱产品中任取3件，需要贴"一等品"标签的个数为X,求X的分布列；

⑶已知一箱产品利润的期望是1800元，求每件"一等品”的利润.

【变式1】（23-24高二下•江苏扬州,阶段练习）己知甲参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进

行.已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行

测试，设甲答对的试题数为X,则X=2的概率为（）

【变式2】（23-24高二下•山东青岛•期中）数学老师从6道题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答

正确2道题才能及格.某同学只能正确求解其中的4道题，则该同学能及格的概率为（）

,4231

A.-B.-C.—D.一

5352

【变式3】（23-24高二下•新疆省直辖县级单位•阶段练习）一个班级共有30名学生，其中有10名女生,

现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量X,男生的

人数为变量「则P（乂=2）+「*=2）等于（）

AcX,c；0+c；。

A*「3b,p3

joJo

rCM-+C；oC；o（C；o+C；。）.（C；o+C；。）

-

【变式4】（23-24高二下•云南保山•阶段练习）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用

好"学习强国"学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回

答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽

到能答对题目数X的数学期望为.

题型09正态分布

解题锦囊

1.正态分布

[（%—4）

若Xfz,玲，则网，萩，X的概率密度函数”）而一▽

2.正态分布的概率求法

（1）注意“3c原则”的适用范围.记住正态总体在三个区间内取值的概率.

（2）注意数形结合.由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对

称性结合图像解决某一区间内的概率问题成为热点问题.

【典例1］（23-24高二下・四川德阳・期末）为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生

进行了"成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布N（78,4）.试根据正态分

布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为（）

参考数据：若t］~N出吟,贝IJP（〃一a）<X<"+£）=0.6826,尸（〃一2a<X<〃+2cr）=0.9544,

尸（〃-3c<X<〃+3b）=0.9974.

A.0.13%B.1.3%C.3%D.3.3%

【变式1］（23-24高二下•河南安阳•期中）某次高三统考共有12000名学生参加，若本次考试的数学成绩X

服从正态分布N（100Q2）,已知数学成绩在70分到130分之间的人数约为总人数的（，则此次考试中数学

成绩不低于130分的学生人数约为（）

A.2400B.1200C.1000D.800

【变式2］（24-25高二上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）已知随机变量X服从正态分布N（4,4）,p（x>5）=0.3,

则P（3<X<4）=（）

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

【变式3］（23-24高二下•上海金山•期末）已知随机变量X服从正态分布N出吟,若P（X<-1）>P（X>3）,

则实数M的取值范围是.

题型10一元线性回归方程

II解题锦囊

对于线性回归直线方程的应用主要体现在以下两个方面.II

（1）判断两个变量的关系，主要体现在分析两个变量的相关性，画出样本点的散点图或相关系数.确定两变II

［量具有线性相关关系，再求出线性回归方程.II

（2）如果x,y的线性相关关系具有统计意义，就可以用回归直线方程进行预测和控制.预测是指对于x的取；

"值范围内任一个xo,y取相应值加的估计；控制是指通过控制x的值把y的值控制在指定范围内.

1!=====================================2

【典例1］市场监管部门对某线下某实体店2023年前两季度的月利润情况进行调查统计，得到的数据如

下：

月份X123456

净利润y（万元）1.01.41.72.02.22.4

⑴是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系？请用相关系数r加以说明；（参考：若上|20.75时，则线性

相关程度较高，0.3<卜|<0.75,则线性相关程度一般，计算「时精确度为0.01）

（2）利用最小二乘法求出y关于x的回归方程；用样本估计总体，请预估第9月份的利润.

附：对于一组数据（如片）（，=1,2,3,,〃），其回归直线£=&+/“的斜率

£uivj-nu-vE%%-nu.v

8="------------相关系数r=建'=[屋_

£d-n(u)2uf-n(u)2-1^v,2-n(v)2

i=lVi=lVi=l

参考数据：y=1.78,6（y）2«19.01,Z%M=42.3,yf=20.45,J17.5xl.44=5.02，——«0.28.

i=iz=i875

【变式1】（24-25高二上•河南南阳•阶段练习）某产品的广告费用x与销售额，的统计数据如下表：

广告费用X/万元4235

销售额，/万元49263954

根据上表可得线性回归方程>=意+4中的A为9.4,据此模型预测广告费用为6万元时销售额为（）

A.9.1万元B.9.2万元

C.67.7万元D.65.5万元

【变式2】（23-24高二下•河北•阶段练习）由于人们健康意识的提升，运动爱好者人群不断扩大，运动相

关行业得到快速发展.某运动品牌专卖店从2019年至2023年的年销售额如下表：

年份20192020202120222023

年份编号工12345

年销售额，/万元3035458080

⑴请根据表中的数据用最小二乘法求'与x的经验回归方程亍=九+&,并预测2024年该店的年销售额.

（2）该专卖店为了回馈广大消费者，推出了消费抽奖返现活动，规则如下：凡一次性消费满700元可抽奖1

次，满1000元可抽奖2次.其中一次抽奖返现金额及概率如下表:

返现金额70100

2

概率

73

已知一位消费者一次性消费满7。。元的概率无，满1。。。元的概率为:，求这位消费者抽奖返现金额X的

分布列与期望.

附：经验回归方程亍=残+&中，B=J-----------------=号--------,a=y-x.

可2^xr-rix2

i=li=l

【变式3】（23-24高二下•内蒙古呼和浩特•阶段练习）某品牌电脑专卖店的年销售量'与该年广告费用尤有

关，如表收集了4组观测数据:

X（万元）1456

y（百台）30408070

以广告费用了为解释变量，销售量y为预报变量对这两个变量进行统计分析.

⑴已知这两个变量呈线性相关关系，试建立丁与x之间的回归方程y=bx+a；

⑵假如2017年该专卖店广告费用支出计划为10万元，根据你得到的模型，预测这一年的销售量，.

2（%-可（％-歹）

参考公式：b=-----------=y---------，a=y-bx.

可2支X；-标2

i=li=l

题型11非线性回归方程

解题锦囊

II建立非线性经验回归模型的基本步骤

1.确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是响应变量；

II2.由经验确定非线性经验回归方程的模型；

3.通过变换（一般题目都有明显的暗示如何换元，换元成什么变量），将非线性经验回归模型转化为线性经

II验回归模型（特别注意：使用线性回归方程的公式，注意代入变换后的变量）；

4.按照公式计算经验回归方程中的参数，得到经验回归方程；

II5.消去新元，得到非线性经验回归方程；

L_________________________________=_____________________________________________________________________________________________________________________________==___________

顼碗1】痰施询百18衽纪瑞王的一种薮学游戏，玩家需要瓶搪9x9盘面下的巨知数字，推理出访看

剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（3x3）内的数字均含1〜9,且不重复.数独爱

好者小明打算报名参加"丝路杯"全国数独大赛初级组的比赛.

参考数据：t=-

77

ft*t

Z=1Z=1

17700.370.55

参考公式：对于一组数据（%,匕），（M2,V2）,回，（"",乙）,其经验回归方程。=&+筋的斜率和截距的最小二

〃__

乘估计分别为6=中--------，6=

C2—2

z=l

⑴赛前小明进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度y（秒/题）与训练天数％（天）有关，经统计得到

如下数据:

X（天）1234567

y（秒/题）910800800440300240210

现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程；（用分数表示）

X

（2）小明和小红玩"对战赛"，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，不存在平局，两人约定

2

先胜3局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为且各局之间相互独立，设比赛X局后结束，求随机变

量X的分布列及均值.

【变式1】（24-25高二上•黑龙江哈尔滨•期中）某学校为了解校庆期间不同时段的校门人流量，从上午8点

开始第一次反馈校门人流量，以后每过2小时反馈一次，共统计了前3次的数据（i,y）,其中，=1,2,3,%

为第i次人流量数据（单位：千人），由此得到y关于，的回归方程y=61og2，+a.已知7=4,根据回归方程，

可预测下午2点时校门人流量为（）千人.

参考数据：log237.6

A.9.6B.10.8C.12D.13.2

【变式2]（23-24高二下•河南南阳•期中）某研发团队实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越.为制定

下一年的研发投入计划，该研发团队需要了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额y（单位：亿

元）的影响.结合近12年的年研发资金投入量x和年销售额九该团队建立了两个函数模型：=«+

②y=其中a,尸口，均为常数，e为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到散点图如图.令

%=人必=lny（72,-,12），计算得到如下数据.

Ay/亿元

80.

75■:

70-/

65■•

60j..•

万[1015202530x/K元

121212

X(yi-y)2

Xy£(%-呼2（元，-元）（匕-比）

i=li=li=l

206677020014

121212

S(w,-«)2

UV2("-篦)(人-刃

Z=1i=li=l

4804.2031270000.30821700

⑴设变量〃和变量y的样本相关系数为6,变量尤和变量v的样本相关系数为弓，请从样本相关系数的角度,

选择一个，与X相关性较强的模型.

⑵（i）根据（1）的选择及表中数据，建立，关于X的经验回归方程（系数精确到0.01）；

（ii）若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量.

£（西一丁）（》一》）

附：胸土8.9443,04382。。80；样本相关系数,=/”=经验回归方程勺=&+叁，其中

\£（一）苣（…2

VZ=1Z=1

。-可（必-歹），

g=上—----------,a=y-bx.

£（%-寸

i=l

【变式3］（23-24高二下•宁夏银川•阶段练习）红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害,

每只红蜘蛛的平均产卵数V（个）和平均温度x（C）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点

图及一些统计量的值.

⑴根据散点图判断，y=云+。与＞=*&（其中e=2.718…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵

数N（个）关于平均温度x（C）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）由（1）的判断结果及表中数据，求出'关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1）

nn

£（为一可（y-y）Zv’T政

附：回归方程中亍=加+2A=上%-----------=咛---------,a^y-bx

£（七-才力-戒2

i=li=l

题型12独立性检验

I解题锦囊

独立性检验的两个关键

I一是弄清问题中的两个变量及其取值分别是什么，其次掌握2x2列联表的结构特征.

二是利用2x2列联表计算*的值，再结合常用的显著性水平及对应的分位数表来分析两变量相关的可能性

|大小.

L________________________________________________________

【嵬碗1】（24-25高二上嘿无迁哈尔滨•期前）随着冬天的信逅哈尔滨氏座冰雪之城，将氤血为旅游

的热门目的地.为更好地提升旅游品质,我市文旅局随机选择100名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评

分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.

⑴根据频率分布直方图，求x的值并估计该评分的上四分位数；

⑵若采用按比例分层抽样的方法从评分在[70,80）,[80,90）的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取3

人进行单独交流，求选取的4人中评分等级为良好的人数X的分布列和数学期望；

⑶为进一步了解不同年龄段游客对哈尔滨出行体验的反馈，我市文旅局再次随机选择100名中老年游客进

行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为120名.请根据小概率值£=0.001的独立性检验，

分析游客的评分等级是否良好与年龄段（青年或中老年）是否有关.

2n^ad-bcy

附:,(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)'n=a+b+c+d

a0.050.010.001

%3.8416.63510.828

【变式1】（23-24高二下•天津滨海新•期末）现在，很多人都喜欢骑"共享单车"，但也有很多市民并不认

可.为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵严重的A城市和交通拥堵不严重的8城市

分别随机调查了20名市民，得到了一个市民是否认可的样本，具体数据如下2义2列联表：

AB总计

认可15823

不认可51217

总计202040

a0.100.050.0250.010.005

%2.7063.8415.0246.6357.879

1

2n(ad-be)

附:%=-------------------------n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)S+d)

根据表中的数据，下列说法中，正确的是（）

A.没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关"

B.有97.5%以上的把握认为"是否认可与城市的拥堵情况有关"

C.可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为"是否认可与城市的拥堵情况有关"

D.可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为"是否认可与城市的拥堵情况有关"

【变式2】（23-24高二下•河北•阶段练习）（多选）根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到/

已知尸（1.6.635）=0.01,依据&=0.01的独立性检验，下列结论正确的是（）

A.若a<6.635,则变量x与