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文档简介

第04讲概率

01学习目标

课程标准学习目标

1.理解随机现象、必然现象、样本点、样本空间、随机

1.结合具体实例,理解样本点和有限样本

事件、必然事件、不可能事件、基本事件的概念.

空间的含义,理解随机事件与样本点的关

2.了解事件之间的关系与运算以及互斥事件、对立事件

系.

的概念,能用概率的性质求事件的概率.

2.了解随机事件的并、交、互斥与对立的含

3.通过学习古典概型的定义,通过应用古典概型的概率

义,能结合实例进行随机事件的并、交运算.

计算公式解决实际问题培养逻辑推理素养和数学运算

3.结合具体实例,理解古典概型,能计算

素养.

古典概型中简单随机事件的概率.

4.了解频率与概率的意义,会用频率估计概率.

4.结合实例,会用频率估计概率

5.通过学习相互独立事件的概念培养数学抽象素养,通

5.结合有限样本空间,了解两个随机事件

独立性的含义,结合古典概型,利用独立性过运用事件的独立性解决问题培养逻辑推理素养和数

计算概率.

学运算素养.

02思维导图

1.必然现象与随机现象的判断

2.样本点和样本空间

;3.事件间的关系及运算

4.互斥与对立的判断

事件的关系与运算

5.互斥事件概率公式的应用

古典概型6.古典概型的特征

7.简单古典概型的计算

概率

概率与频率8.有放回和无放回的概率问题

9.根据概率求参数

随机事件的独立性

10.根据加法公式求古典概型概率

H.频率与概率的辨析

12.用频率估计概率

13.事件独立性的判断

14.相互独立事件概率的计算

03知识清单

知识点01样本空间与事件

1.随机现象、必然现象的概念

一定条件下,发生的结果事先不能确定的现象就是随机现象(或偶然现象),发生的结果事先能够确定的

现象就是必然现象(或确定性现象).

2.样本点、样本空间的概念

为了方便起见,我们把在相同条件下,对随机现象所进行的观察或实验称为随机试验(简称为试验).

我们把随机试验中每一种可能出现的结果,都称为样本点,把由所有样本点组成的集合称为样本空间(通

常用大写希腊字母2表示).

3.随机事件、必然事件、不可能事件的概念

如果随机试验的样本空间为Q,则随机事件A是Q的一个非空真子集.任何一个随机事件既有可能发

生,也有可能不发生.

因为任何一次随机试验的结果,一定是样本空间Q中的元素,因此可以认为每次试验中◎一定发生,

从而称Q为必然事件;又因为空集。不包含任何样本点,所以可以认为每次试验中。一定不发生,从而称。

为不可能事件.

一般地,不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件,通常用大写英文字母A,B,C,…来表

示事件.因为事件一定是样本空间的子集,从而可以用表示集合的维恩图来直观地表示事件.特别地,只

含有一个样本点的事件称为基本事件.

4.随机事件发生的概率

事件A发生的概率通常用P(A)表示.

我们将不可能事件。发生的概率规定为0,将必然事件。发生的概率规定为1,即P(0)O,尸(01.

对于任意事件A来说,OWP(A)W1.

【即学即练1】

1.(2024•甘肃天水一中高一月考)下面四个选项中,是随机事件的是()

A.刻舟求剑B.水中捞月

C.流水不腐D.守株待兔

2.(多选)下列结论正确的是()

A.事件A发生的概率可能为P(A)0.6

B.不可能事件发生的概率为0,必然事件发生的概率为1

C.小概率事件就是不可能发生的事件,大概率事件就是必然要发生的事件

D.老师讲一道数学题,李峰能听懂的概率是80%,是指老师每讲一题,该题有80%的部分李峰能听懂,

20%的部分李峰听不懂

知识点02事件间的关系

1.事件的包含

(1)一般地,如果事件A发生时,事件2一定发生,则称“A包含于2"(或包含A”),记作(或

这一关系可用下图表示.

(2)4=2也可用充分必要的语言表述为:A发生是2发生的充分条件,8发生是A发生的必要条件.

(3)如果则尸(A)WP(B).

2.事件的相等

(1)如果事件A发生时,事件B一定发生;而且事件B发生时,事件A也一定发生,则称“A与B相等”,

记作AB.

且BQA.

AB也可用充分必要的语言表述为:A发生是B发生的充要条件.

(3)当时,有P(A)P(B).

【即学即练2】在掷骰子的试验中,可以定义许多事件.例如,事件Ci{出现1点},事件C2{出现2点},

事件C3{出现3点},事件C4{出现4点},事件C5{出现5点},事件C6{出现6点},事件Di{出现的点数不

大于1},事件。2{出现的点数大于3},事件。3{出现的点数小于5},事件E{出现的点数小于7},事件刊出

现的点数为偶数},事件G{出现的点数为奇数},请根据上述定义的事件,请举出符合包含关系、相等关系

的事件.

知识点03事件间的运算

1.事件的和(并)

(1)给定事件A,B,由所有A中的样本点与3中的样本点组成的事件称为A与3的和(或并),记作(或

AUB).事件A与2的和可以用如图所示的阴影部分表示.

(2)由定义可知:①事件发生时,当且仅当事件A与事件2中至少有一个发生;

②AU(A+3)且B£(A+B).

因此,尸(A)WP(A+8)且P(B)WP(A+B),P(A+8)W尸(A)+P(B).

2.事件的积(交)

(1)给定事件A,B,由A与8中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交),记作(或AC8).

事件A与8的积可以用如图所示的阴影部分表示.

(2)由定义可知:①事件AB发生时,当且仅当事件A与事件B都发生.

@ABQA,ABQB.

因止匕,尸(AB)WP(A),P(AB)^P(B).

【即学即练3】掷一个骰子,“向上的点数是1或2”为事件4“向上的点数是2或3”为事件2,则()

A.AQB

B.AB

C.A+B表示向上的点数是1或2或3

D.AB表示向上的点数是1或2或3

知识点04事件的互斥与对立

(1)给定事件A,B,若事件A与2不能同时发生,则称A与2互斥,记作420(或AC20),这一关系可用下

图表示.

(2)任意两个基本事件都是互斥的,。与任意事件互斥.

(3)当A与2互斥(即时,有尸(A+3)P(A)+P(B),这称为互斥事件的概率加法公式.

一般地,如果地,Az,…,4是两两互斥的事件,则尸(Ai+A2H-----FAn)P(A1)+P(AQ)4-----HP(A„).

2.事件的对立

⑴给定样本空间。与事件A,则由a中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件,记作了,用

集合的观点来看,了是A在O中的补集,如图所示.

(2)如果BA,则称A与B相互对立.

(3)按照定义可知,每次随机试验,在事件A与彳中,有一个发生,而且只有一个发生.又由于必然事件的

概率为1,因此尸(A)+P(上)1.

【即学即练3】从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么互斥而不对立的事件是()

A.至少有一个红球与都是红球

B.至少有一个红球与都是白球

C.至少有一个红球与至少有一个白球

D.恰有一个红球与恰有两个红球

知识点05古典概型

1.古典概型的定义

一般地,如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性),而且可以认为每个只

包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性),则称这样的随机试验为

国古典概率模型,简称为古典概型.

一个随机试验是否能归结为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特征一有限性与等可

能性.

2.古典概型的概率计算公式

古典概型中,假设样本空间含有〃个样本点,如果事件C包含机个样本点,则尸(。:.

【即学即练5】

1.下列试验中,属于古典概型的是()

A.种下一粒种子,观察它是否发芽

B.从规格直径为270mm±0.6mm的一批合格产品中任意抽一根,测量其直径”

C.抛一枚质地均匀的硬币,观察其出现正面或反面

D.某人射击中靶或不中靶

2.有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜

色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()

B5

1

D5

知识点06频率与概率

1.频率与概率之间的关系

在大量重复的试验过程中,一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率,而且,试验的次数

越多,频率与概率之间差距很小的可能性越大.

2.用频率估计概率

一般地,如果在〃次重复进行的试验中,事件A发生的频率为:,则当〃很大时,可以认为事件A发

生的概率尸(A)的估计值为蓝.这种确定概率估计值的方法称为用频率估计概率.

【即学即练6】下列说法正确的是()

①频率反映随机事件的频繁程度,概率反映随机事件发生的可能性大小;

②做n次随机试验,事件A发生m次,则事件A发生的频率£就是事件A的概率;

③频率是不能脱离n次试验的实验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值;

④频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.

A.①②③④B.①②④

C.①③④D.②③④

知识点07随机事件的独立性

1.相互独立事件的概念

(1)一般地,当RAB)尸(A)P(B)时,就称事件A与8相互独立(简称独立).

[说明]“P(AB)P(A)P(B)”是“事件A,B相互独立”的充要条件.

(2)事件A与B相互独立的直观理解是,事件A是否发生不会影响事件B发生的概率,事件B是否发生也不

会影响事件A发生的概率.

(3)两个事件相互独立的概念也可以推广到有限个事件,即“4,4,…,4相互独立”的充要条件是“其

中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积”.

2.相互独立事件的性质

(1)如果事件A与8相互独立,则彳与2,A与万,不与否也相互独立.

(2)多个事件独立具有与两个事件独立类似的性质.例如,如果4,4,A3相互独立,则Wi,A2,4也相互

独立等.

【即学即练7】掷一个骰子一次,记事件A表示“出现偶数点”,事件8表示“出现3点或6点”,则事

件A与8是()

A.互斥事件

B.相互独立事件

C.既互斥又相互独立事件

D.既不互斥又不相互独立事件

E题型精讲

题型01必然现象与随机现象的判断

【典例01](23-24高二•上海•课堂例题)下列事件:①抛掷一枚硬币,落下后正面朝上;②从某三角形的

三个顶点各画一条高线,这三条高线交于一点;③实数。,6都不为0,但°2+k=0;④某地区明年7月

的降雨量高于今年7月的降雨量.其中为随机事件的是()

A.①④B.①②③C.②③④D.②④

【变式1】(24-25高二上•四川雅安•阶段练习)下列事件是随机事件的是()

①同种电荷,互相排斥;②明天是晴天;③自由下落的物体做匀速直线运动;④函数,=罐(。>0,。*1)在

定义域上是增函数.

A.①③B.①④C.②④D.③④

【变式2](23-24高二上•贵州黔东南•期末)在12件同类产品中,有10件是正品,2件是次品,从中任意

抽出3件,则下列事件为必然事件的是()

A.3件都是正品B.至少有2件是次品

C.3件都是次品D.至少有工件是正品

【变式3](多选)(23-24高一下•内蒙古通辽•期末)下列事件中,是必然事件的是()

A.明天北京市不下雨

B.在标准大气压下,水在4回时结冰

C.早晨太阳从东方升起

D.xwR,则忖的值不小于。

题型02样本点和样本空间

【典例2】(23-24高一上•全国•课后作业)高一⑴班计划从A,B,C,D,E这五名班干部中选两人代表

班级参加一次活动,则样本空间中样本点的个数为()

A.5B.10

C.15D.20

【变式1](22-23高一•全国•课后作业)随机事件"连续掷一颗筛子直到出现5点停止,观察掷的次数”的

样本空间是()

A.5B.1到6的正整数C.6D.一切正整数

【变式2](24-25高二・上海•课堂例题)从0、1、2这3个数字中,不放回地取两次,每次取一个数字,

构成有序数对(元,y),x为第1次取到的数字,y为第2次取到的数字.

⑴写出这个随机试验的样本空间;

(2)写出"第1次取出的数字是2”这个事件相应的样本空间.

题型03事件间的关系及运算

【典例3](24-25高二上•吉林•阶段练习)掷一枚质地均匀的骰子,"向上的点数是1或3"为事件4"向上

的点数是1或5”为事件3,则()

A.A=B

B.A8表示向上的点数是1或3或5

C.A3表示向上的点数是1或3

D.表示向上的点数是1或5

【变式1】(24-25高二上•山东淄博•阶段练习)对空中移动的目标连续射击两次,设4={两次都击中目标

},8={两次都没击中目标),C={恰有一次击中目标},{至少有一次击中目标},下列关系不正确的是()

A.AcDB.AC=BD

C.A<JC=DD.B0=0

【变式2】(2024高一下•全国・专题练习)对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设4={两

弹都击中飞机},3={两弹都没击中飞机},C={恰有一弹击中飞机},。={至少有一弹击中飞机},下列说法

不正确的是()

A.A<=DB.BD=0C.AuC=DD.AC=B\D

【变式3】(23-24高一下•天津•期末)对于两个事件则事件MuN表示的含义是()

A."与N同时发生B.M与N不能同时发生

C.加与N有且仅有一个发生D.河与N至少有一个发生

题型04互斥与对立的判断

【典例4](24-25高二上•山东淄博•阶段练习)某小组有三名男生和两名女生,从中任选两名去参加比赛,

则下列事件是互斥而不对立的事件是()

A."恰有一名男生"和"全是男生"B."至少有一名男生"和"至少有一名女生"

C."至少有一名男生"和"全是男生"D."至少有一名男生"和"全是女生"

【变式1】(24-25高二上•重庆铜梁•阶段练习)在一次随机试验中,彼此互斥的事件A,B,C,O发生的概率分

别是0.2,020.3,0.3,则下列说法正确的是()

A.A3与C是互斥事件,也是对立事件

B.与。是互斥事件,也是对立事件

C.AUC与3。是互斥事件,但不是对立事件

D.A与BC。是互斥事件,也是对立事件

【变式2】(24-25高三上•上海・开学考试)装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球,有如

下的一些事件:①两球都不是白球;②两球恰有一个白球;③两球至少有一个白球,其中与事件"两球都

为白球”互斥而非对立的事件是()

A.①B.①②C.②③D.①②③

【变式3](24-25高二上•山东济宁•阶段练习)下列各组事件中,是互斥事件的是()

A.一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6

B.统计一个班的数学成绩,平均分不低于90分与平均分不高于90分

C.播种100粒菜籽,发芽90粒与发芽80粒

D.检验某种产品,合格率高于70%与合格率低于70%

【变式4](24-25高二上,河南,阶段练习)已知某篮球运动员共投篮两次,记事件A="第一次投篮投中",

事件8="第二次投篮投中",事件C="两次投篮均投中",则下列说法正确的是()

A.A,3互为互斥事件B.可与C互为互斥事件

C.AlB=CD.入。豆与C互为对立事件

题型05互斥事件概率公式的应用

【典例5](24-25高二上•上海•阶段练习)已知A与8是互斥事件,且P(m=0.3,P(B)=0.1,则尸(AB)

等于()

A.0.1B.0.3C.0.4D.0.8

2

【变式1】(24-25高二上•广东佛山•阶段练习)已知事件A、B互斥,A、8至少一个发生的概率且

尸(A)=2尸(8),则叩)=()

.1452

A.—B.-C.-D.一

3993

【变式2】(24-25高二上•山东淄博•阶段练习)甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为。,和棋的概率为则

52

乙不输的概率为()

4311

A.—B.—C.—D.一

51025

【变式3】(24-25高二上•北京平谷•阶段练习)从一箱奖券中随机地抽取一件,设事件A="抽到一等奖",

事件3="抽到二等奖”,事件C="抽到三等奖”.已知尸(A)=0.55,P(B)=0.3,P(C)=0.1,则事件"抽到的不是

一等奖”的概率为()

A.0.20B.0.39C.0.35D.0.45

题型06古典概型的特征

【典例6](23-24高二上•上海•课后作业)下列关于古典概率模型的说法中正确的是()

①试验中所有可能出现的样本点只有有限个;②每个事件出现的可能性相等;③每个样本点出现的可能

性相等;④样本点的总数为小随机事件A若包含k个样本点,贝I]P(A)=£

n

A.②④B.③④C.①④D.①③④

【变式1】(22-23高一下•新疆•期末)下列实验中,是古典概型的有()

A.某人射击中靶或不中靶

B.在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个

C.四名同学用抽签法选一人参加会议

D.从区间[1,10]上任取一个实数,求取到1的概率

【变式2】下列关于古典概型的说法中正确的是()

①试验的样本空间所包含的样本点个数只有有限个;②每个事件出现的可能性相等;③每个样本点出现的

可能性相等;④样本点的总数为小随机事件A若包含上个样本点,则P(A)未

A.②④B.①③④

C.①④D.③④

【变式3】下列概率模型中,是古典概型的个数为()

①从区间[1,10]内任取一个数,求取到1的概率;

②从1,2,3,…,10中任意取一个整数,求取到1的概率;

③在一个正方形ABC。内画一点P,求点P刚好与点A重合的概率;

④向上抛掷一枚不均匀的硬币,求出现反面朝上的概率.

A.1B.2

C.3D.4

题型07简单古典概型的计算

【典例7】甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲任想一数字,记为m再由乙猜甲刚才想的数字,把乙猜出的

数字记为6,且m6d{1,2,3,4),若|a—6区1,则称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两个人玩这个游戏,

则他们“心有灵犀”的概率为()

35

A-8B8

C&D上

e1616

【变式1](22-23高一上•云南昆明・期末)已知函数y=的图象与函数y=e''的图象关于直线y=x对称,

则函数、=/(炉--+3)的单调递增区间为()

A.B.(Y°,2)C.(2,+oo)D.(3,+oo)

【变式2】三张卡片上分别写上字母E,E,B,将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英文单词BEE的概

率为•

【变式3】一只口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次摸出2只球.这个试验

的样本空间所包含的样本点个数为,摸出的2只球都是白球的概率是.

【变式4](23-24高二上•黑龙江•阶段练习)已知xeZ,yeZ,且恸+闻42,则Y42的概率为()

题型08有放回和无放回的概率问题

【典例8](23-24高一下•天津西青•期末)从两名男生(记为耳和台2)、两名女生(记为G]和G?)中任意抽

取两人,分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样.在以上两种抽样方式下,抽到的两人是一

男生一女生的概率分别为()

21111211

A.一,—B.一,—C.一,—D.—,一

32462364

【变式1](23-24高二上•陕西汉中•开学考试)盒中有3个大小质地完全相同的球,其中2个白球、1个黑

球,从中不放回地依次随机摸出2个球.则恰好摸出一个白球一个黑球的概率为.

【变式2](23-24高一上•全国•课后作业)在试验线"袋中有白球3个(编号为1,2,3)、黑球2个(编号

为1,2),这5个球除颜色外完全相同,从中不放回地依次摸取2个,每次摸1个,观察摸出球的情况"中,

摸到白球的结果分别记为吗,摸到黑球的结果分别记为求:

w2,w3,4,b2.

⑴取到的两个球都是白球的概率;

⑵取到的两个球颜色相同的概率;

⑶取到的两个球至少有一个是白球的概率.

题型09根据概率求参数

【典例9](23-24高二上•浙江•期中)有5张未刮码的卡片,其中〃张是"中奖”卡,其它的是“未中奖"卡,

现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元,每次在对一张卡片刮码前,下注已有资金的一半.若刮码结

果为“中奖",则赢得与下注金额相同的另一笔钱,若刮码结果是“未中奖",则输掉下注的资金.抽取的2张

卡片全部刮完后,要使资金增加的概率大于资金减少的概率,则〃至少为()

A.2B.3C.4D.5

【变式1】(22-23高一下•重庆•期末)在一个不透明的袋中有4个红球和〃个黑球,现从袋中有放回地随机

Q

摸出2个球,已知取出的球中至少有一个红球的概率为,,则〃=()

A.1B.2C.3D.4

【变式2】(22-23高一下•江苏南京•期末)一个口袋中装有10个红球和若干个黄球,在不允许将球倒出来数

的前提下,为估计口袋中黄球的个数,小明采用了如下的方法:每次从口袋中摸出1个球,记下球的颜色后

再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程200次,共摸出红球80次,根据上述数值,估计口袋中大约有

黄球()个.

A.10B.15C.25D.40

【变式3】某箱脐橙共有18个,其中有少部分是坏果.若从这箱脐橙中任取2个,恰好取到1个坏果的概率

为,,则这箱脐橙中坏果的个数为()

A.3B.5C.2D.4

题型10根据加法公式求古典概型概率

【典例10](22-23高一下•河北邢台•阶段练习)口袋里装有1红,2白,3黄共6个形状相同小球,从中取

出2球,事件A="取出的两球同色",事件3="取出的2球中至少有一个黄球",事件C="取出的2球至少

有一个白球",事件。="取出的2球不同色",E="取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是()

11

A.P(A)=-B.P(BDC)=-

o

C.P(C._E)=1D.P(0=§

【变式1】(21-22高一・全国•单元测试)某商场举行购物抽奖活动,抽奖箱中放有编号分别为1,2,3,4,

5的五个小球.小球除编号不同外,其余均相同.活动规则如下:从抽奖箱中随机抽取一球,若抽到的小球编

号为3,则获得奖金100元;若抽到的小球编号为偶数,则获得奖金70元;若抽到其余编号的小球,则不

中奖.现某顾客依次有放回地抽奖两次,则该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率为()

4168

A.—B.-C.—D.—

2552525

【变式2】抛掷一枚质地均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点)一次,观察掷出

向上的点数,设事件A为掷出向上为偶数点,事件8为掷出向上为3点,则P(AB)=()

题型11频率与概率的辨析

【典例11](24-25高二上•四川成都•阶段练习)下列说法一定正确的是()

A.一名篮球运动员,号称"百发百中",若罚球三次,不会出现三投都不中的情况

B.随机事件发生的概率与试验次数无关

C.若买彩票中奖的概率为万分之一,则买一万元的彩票一定会中奖一元

D.一个骰子掷一次得到2的概率是:,则掷6次一定会出现一次2

6

【变式1】(23-24高一下•广西河池•期末)下列说法中正确的是()

A.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率

B.在〃次随机试验中,一个随机事件A发生的频率具有确定性

C.随着试验次数〃的增大,一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率

D.在同一次试验中,每个试验结果出现的频率之和不一定等于1

【变式2X23-24高一下•江苏淮安•期末)已知某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,下列说法正确的是()

A.患此疾病的病人被治愈的可能性为10%

B.医院接收10位患此疾病的病人,其中有一位病人被治愈

C.如果前9位病人都没有治愈,第10位病人一定能被治愈

D.医院接收10位患此疾病的病人,其中一定有能被治愈的

【变式3】(2024高一下•全国•专题练习)下列说法正确的是()

7

A.一个人打靶,打了10发子弹,有7发子弹中靶,因此这个人中靶的概率是,

B.一个同学做掷硬币试验,掷了6次,一定有3次正面向上

C.某地发行彩票,其回报率为47%,有人花了100元钱买彩票,一定会有47元的回报

D.大量试验后,可以用频率近似估计概率

题型12用频率估计概率

【典例121(24-25高二上•山东济宁•阶段练习)在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候,给出两个问题作答,

无关紧要的问题是:"你的身份证号码的尾数是奇数吗?"敏感的问题是:"你服用过兴奋剂吗?"然后要求被

调查的运动员掷一枚硬币,如果出现正面,就回答第一个问题,否则回答第二个问题.由于回答哪一个问

题只有被测试者自己知道,所以应答者一般乐意如实地回答问题.如我们把这种方法用于300个被调查的

运动员,得到80个“是"的回答,则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为()

A.4.33%B.3.33%C.3.44%D.4.44%

【变式1】(2024高二下•湖北•学业考试)从某自动包装机包装的奶粉中,随机抽取20袋,测得各袋的质量

分别为(单位:g):

492496494495498497701702704496

497703706708707492496700701499

用频率估计概率,该包装机包装的袋装奶粉质量在497.5g~501.5g之间的概率约为()

A.0.1B.0.15C.0.25D.0.5

【变式2】(23-24高一下•山东枣庄•期末)某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况,对随

机抽出的200名学生进行调查.调查中使用了两个问题.问题1:你父亲的公历出生月份是不是奇数?问题2:

你是否经常吸烟?调查者设计了一个随机化装置,这是一个装有大小、形状和质量完全一样的70个白球和

70个红球的密封袋子,每个被调查者随机地从袋中摸取1个球(摸出的球再放回袋中),摸到白球的学生如

实回答第一个问题,摸到红球的学生如实回答第二个问题,回答"是"的人往一个盒子中放一个小石子,回答

"否"的人什么都不要做.若最终盒子中的小石子为580个,则该地区中学生吸烟人数的比例约为()

A.2%B.3%C.6%D.8%

【变式3】(2024高一下•全国•专题练习)众所周知,长时间玩手机可能影响视力.据调查,某校学生大约

40%的人近视,而该校大约有30%的学生每天玩手机超过2h,这些人的近视率约为70%.现从每天玩手机

不超过2h的学生中任意调查一名学生,则该名学生近视的概率为()

3534

A.—B.—C.-D.一

141477

【变式4】天气预报说,在今后的三天中,每天下雨的概率都为80%.现采用随机模拟的方法估计这三天中

恰有两天下雨的概率.用1,2,3,4,5,6表示下雨,用计算机产生了10组随机数180,792,454,417,

165,809,798,386,196,206据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为()

【变式5】每年4月15日为全民国家安全教育日,某学校党委组织党员学习《中华人民共和国国家安全法》,

为了解党员学习的情况,随机抽取了部分党员,对他们一周的学习时间(单位:时)进行调查,统计数据

如下表所示:

学习时间(时)[。,2)[2,4)[4,6)[6,8)[8,10]

党员人数81391010

则从该校随机抽取1名党员,估计其学习时间不少于6小时的概率为()

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

题型13事件独立性的判断

【典例13】(多选)下列事件A,2是相互独立事件的是()

A.一枚硬币抛掷两次,事件A为“第一次为正面“,事件B为“第二次为反面”

B.袋中有2个白球,2个黑球,不放回地摸两球,事件A为“第一次摸到白球”,事件B为“第二次摸

到白球“

C.掷一枚骰子,事件A为“出现点数为奇数”,事件B为“出现点数为偶数”

D.事件D为“甲能活到20岁”,事件D为“乙能活到70岁”

【变式1]一袋中装有100个球,其中有20个白球,在有放回地摸球中,用4表示第一次摸得白球,A2

表示第二次摸得白球,则事件4与无是()

A.相互独立事件B.对立事件

C.互斥事件D.无法判断

【变式2](24-25高一下•全国•随堂练习)坛子中放有3个白球,2个黑球,从中不放回地摸球2次,用4表

示第1次摸到白球,4表示第2次摸到白球,则A与4()

A.是互斥事件B.是相互独立事件

C.是对立事件D.不是相互独立事件

【变式3](23-24高一下.江苏无锡•期末)已知事件A,8满足尸(A)=Q5,P(B)=Q2,则()

A.若则尸(A5)=0.5B.若A与8互斥,则P(A+8)=0.7

C.若A与8相互独立,则P(AB)=0.1D.若P(B)+P(C)=1,则C与3相互对立

题型14相互独立事件概率的计算

【典例14](22-23高一下•甘肃•期末)某商场在618大促销活动中,活动规则是:满168元可以参加促

销摸奖活动,甲和乙两个箱子各装有10个球,其中甲箱中有5个红球、5个白球,乙箱中有8个红球、2

个白球.顾客首先掷一枚质地均匀的骰子,如果出现点数为1或2,顾客从甲箱子随机摸出一个球;如果点

数为3,4,5,6,从乙箱子随机摸出一个球,则摸出红球的顾客可以领取奖品,问顾客中奖率为.

【变式1](23-24高一下•安徽马鞍山•期末)已知事件A,3满足:尸⑷=0.5,P(B)=0.3,则().

A.若A,B互斥,则尸(AuB)=0.8

B.若A,B互斥,则尸(AB)=Q15

C.若A,B互相独立,贝”(Au3)=0.8

D.若A,B互相独立,则尸(AB)=0.15

【变式2】(多选)甲、乙两人练习射击,命中目标的概率分别为芥金,甲、乙两人各射击一次,下列说法正

确的是()

A.目标恰好被命中一次的概率为(

B.目标恰好被命中两次的概率为:

2

C.目标被命中的概率为w

D.目标未被命中的概率为1

【变式3](23-24高一下•广西崇左•期末)2024年5月底,各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的

相关工作.若某市经过初次选拔后有甲、乙、丙三名同学成功进入决赛,在决赛环节中这三名同学同时解答一

道有关组合数论的试题.已知甲同学成功解出这道题的概率是彳3,甲、丙两名同学都解答错误的概率是去1,

412

乙、丙两名同学都成功解出的概率是:,且这三名同学能否成功解出该题相互独立.

⑴求乙、丙两名同学各自成功解出这道题的概率;

⑵求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率.

jiff强化训练

一、单选题

1.(2023高一•全国•课后作业)下列说法一定正确的是()

A.一名篮球运动员,号称"百发百中",若罚球三次,不会出现三投都不中的情况

B.一个骰子掷一次得到2的概率是!,则掷6次一定会出现一次2

C.若买彩票中奖的概率为万分之一,则买一万元的彩票一定会中奖一元

D.随机事件发生的概率与试验次数无关

2.(24-25高二上•吉林•阶段练习)若随机试验的样本空间为。={0」,2},则下列说法不正确的是()

A.事件P={1,2}是随机事件B.事件Q={0,1,2}是必然事件

C.事件/={-1,-2}是不可能事件D.事件{T0}是随机事件

3.(24-25高一上•四川成都•开学考试)某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检,发

现其中有5件不合格,那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有()

A.1万件B.18万件C.19万件D.20万件

4.(24-25高一下•全国•随堂练习)口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出

红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是()

A.0.42B.0.28C.0.3D.0

5.(24-25高一下•全国•随堂练习)掷一枚骰子,设事件A={出现的点数不小于5},8={出现的点数为偶

数},则事件A与事件B的关系是()

A.A^BB.AB={出现的点数为6}

C.事件A与B互斥D.事件A与8是对立事件

6.(22-23高二上•广东佛山・期末)一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球,〃个绿球,现采用不放回

的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为:,则n的值为()

A.4B.5C.12D.15

7.(23-24高一上,四川内江•开学考试)某公园有东、南、西、北共4个大门供游客出入,小军、小明从不

同的大门进入公园游玩,游玩结束后,他们随机地从其中一个大门离开,则他们恰好从同一个大门出去的

概率是()

1111

A.—B.-C.-D.一

16842

8.(24-25高二上•贵州遵义•阶段练习)七巧板是一种古老的中国传统智力玩具,它是由如图所示的七块板

组成的,即五块等腰直角三角形板(两块小型三角形板、一块中型三角形板和两块大型三角形板),一块正

方形板和一块平行四边形板.现从这七块板中

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