利用导数研究不等式恒（能）成立问题-2025届高考数学（含答案）

利用导数研究不等式恒（能）成立问题-2025届高考数学

利用导微研究系等式惬（像）鼠鱼向敢

--------------------------------------------------------------------0°-------------------------------------------------------------------

命题规律...................................................................................1

知识梳理...................................................................................1

举一反三...................................................................................2

【题型1直接法解决不等式恒（能）成立问题】................................................2

【题型2分离参数法求参数范围】...........................................................3

【题型3分类讨论法求参数范围】...........................................................5

【题型4构造函数法解决不等式恒（能）成立问题】...........................................6

【题型5与不等式恒（能）成立有关的证明问题】..............................................7

【题型6双变量的恒（能）成立问题】........................................................9

课后提升..................................................................................10

（命题规律）

从近几年的高考情况来看，恒（能）成立问题是高考的常考考点，是高考的热点问题，其中不等式的恒

（能）成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查分析问题、解决问题的能力，一般

作为压轴题出现，试题难度较大，解题时要学会灵活求解.

（知识梳理）

【知识点1不等式恒（能）成立问题的解题策略】

1.不等式恒（能）成立问题的求解方法

解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法：

（1）分离参数法解决恒（能）成立问题

①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等

式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题.

②恒成立1K

aW/（x）恒成立

a>/Q）能成立

aW/（c）能成立<=>a</（rc）rora.

（2）分类讨论法解决恒（能）成立问题

分类讨论法解决恒(能)成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行

分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一

段内的函数值不满足题意即可.

【知识点2双变量的恒(能)成立问题的解题策略】

1.双变量的慢(能)成立问题的求解方法

“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价

变换有：

对于某一区间了,

⑴VJ,电€1,/(0)>g(X2)于g(x)mw

(2)VxiGli,3X2eI2,f(x!)>g(Xi)>g{x}min.

(3)m-VgC/2JO1)>g(①2)<^/(2!)™zH>g(c)m"0・

[举一反三)

【题型1直接法解决不等式恒(能)成立问题】

1.(2024.辽宁・一模)已知函数/(力)=e2x—e~2x—ac,若力>0时，恒有/(力)>0,则a的取值范围是

()

A.(—oo,2]B.(—co,4]C.[2,+oo)D.[4,+co)

2.(2024・河南•三模)若关于x的不等式e*x+x+2In—>mx2+Inm恒成立，则实数m的最大值为

x

()

A.士B.与C.1D.e2

3.(2024•四川内江•一模)已知函数/(①)=a(x+a)—ln(x+l),aER.

(1)讨论函数/(*)的单调性；

(2)若/(c)>1恒成立,求实数a的取值范围.

4.(2024.河南.模拟预测)已知函数/(c)=ex—2elna:+ax+lna(a>0).

(1)若a=l,证明：/(c)

(2)若/(c)>2e+l恒成立，求实数a的取值范围.

【题型2分离参数法求参数范圉】

5.(2024.陕西.二模)VrcC[1,2],有111刀+胃一1>0恒成立，则实数a的取值范围为()

A.[e,+co)B.[1,+co)C.D.[2e,+oo)

6.(2024•陕西铜川•模拟预测)已知函数/Q)=导-ln(x-l)—Ina+1,若/(C)>0对任意的cC

(1,+8)恒成立，则a的取值范围是()

A.(0,Ve]B.(0,e]C.(0,e句D.(0,e2]

7.(2024.贵州六盘水.模拟预测)已知函数/(2)=6/一如+1((16五).

(1)求函数/(⑼的单调区间；

(2)若Vt>0,/(T)>/+2,求实数a的取值范围.

8.(2024・湖北•模拟预测)已知函数/(乃=卫(a#0),其中e为自然对数的底数.

ex

⑴讨论/Q)的单调区间；

⑵当a=3时，不等式时(6)+In6+1在区间(0,+oo)上恒成立时，求nz的取值范围.

【题型3分类讨论法求毒数范圉】

9.（2024•湖南.一模）若不等式e*T—mx—2?i—3>0对\/力£_R恒成立，其中mW0,则—的取值范围

rrt

为（）

TD「ln3e小(ln3e~\「「ln3e\

A.(-8,—警］B.［丁,+叼C.D.［丁冉

10.（2024•陕西西安•一模）若关于x的不等式e，T+力>232一力.]nrc在（0,+oo）上恒成立,则实数a的取

值范围为（）

A.（―B.（―8,/]C.（―8,^^）D.（—00,1]

11.（2024.四川德阳.模拟预测）已知函数/（力）=任力+0.

X

（1）若曲线g=/（力）在点（1,/（1））处的切线为力+9+匕=0,求实数匕的值；

（2）已知函数gO）=/（T）+W,且对于任意Te（0,+8）,g（x）>0,求实数a的取值范围.

12.（2024•陕西铜川•三模）已知函数/（7）=xex—ax—COST+1.

（1）当a=2时,求曲线沙=/（乃在点（0,/（0））处的切线方程；

⑵若W2e[0,+8）,/0）>0,求实数a的取值范围.

【题型4构造函数法解决不等式恒（能）成立问题】

13.（2024.辽宁沈阳.模拟预测）函数/（劣）=emx+—Inx（mER）.若对任意力>0,都有/（力）>0,

则实数力的取值范围为（）

A.[，,+oo）B.[2,+8）。[5,+8）D.[e,+8）

14.（2024.河南.模拟预测）已知；I>0,对任意的①>1,不等式e2fe-（ine^）lnx>0恒成立,则实数A的取

值范围为（）

A.，+8）B.C.[2e,+co）D.[e,+8）

15.（2024.辽宁・模拟预测）已知函数/（2）=（a®-l）ea:+1+3（a^0）.

（1）求/（>）的极值；

（2）设a=1,若关于/的不等式/（名）<（b—l）e”+i—/在区间[-1,+8）内有解，求6的取值范围.

16.（2024•四川雅安・三模）已知函数/（力）=（a—l）x—2sina;.

（1）若函数/（力）有极值，求实数Q的取值范围；

（2）若关于出的不等式/（/）+X（1+COST）<0在力e[0,5]上恒成立,求实数Q的取值范围.

【题型5与不等式恒（能）成立有关的证明问题】

17.（2024.陕西安康.模拟预测）已知函数/（力）=Qe/（QW0）,g（4）=x2,g\x）为g（力）的导函数.

（1）证明：当@=1时，V/e（0,+8）,/（力）＞g'（6）;

（2）若/（2）与gQ）有两条公切线，求a的取值范围.

18.（2024•安徽•模拟预测）已知函数/Q）=型贷"（aCR）.

（1）若对V/G（0,+oo）,/（a;）＜跣|恒成立，求实数Q的取值范围；

（2）证明：对任意正整数日,不等式£；eet+2fc＞3n2+7n恒成立.

k=i2

19.(2024.江苏扬州.模拟预测)已知函数/(①)=21na;-aa;2+l(a€7?).

(1)讨论函数/(⑼的单调性；

(2)若存在正数土，使/(2)>0成立，求a的取值范围；

(3)若0V为Vg,证明:对任意a6(0,+8)，存在唯一的实数x0E(亚㈤，使得/(割)=

幺④二幽1成立.

g—力1

20.(2024•广东佛山•模拟预测)已知/(力)=ex+cosx+ax(aER).

(1)若a>—1,证明：/(x)在(0,+00)上单调递增；

(2)若一1Va，

2兀

①证明:存在唯一的实数ge[-2兀⑼，对V力e[—2兀,0],/(力)*/(g)成立;

②记①中/(费)=小，证明：当/£尺时，/3)>馆.

•••

【题型6双变■的恒（能）成立问题】

21.（2024•陕西商洛•模拟预测）已知函数/（力）=—ad,若对任意的如ge（0,+oo）,当g＞g时，

都有2为+/（力2）＞2电+/（g）,则实数a的取值范围为（）

A.B.［1,+8）C.［工,+oo）D.［2,+co）

22.（2024.重庆.模拟预测）已知函数/（劣）=K",gQ）=0跣一%若存在力1G（0,1）,E（一8,0）使得/（g）

x

=g（g），则实数。的取值范围为（）

A.（—oo,—2）B.（—2,—1）C.（—1,+8）D.（0,+8）

23.（23—24高二下•湖南郴州•期末）已知/（力）=alnx+^-x2—2x（aE7?且0。0）,g（力）=cos/+/sin7.

（1）求g（力）在［一兀，兀］上的最小值；

（2）如果对任意的XiE［—兀，兀］，存在力2e,使得“＞）Q＜g（g）成立,求实数Q的取值范围.

Le」x2

24.（2024•四川泸州•一模）已知函数/（力）=ar+1—xlnx的图像在x=l处的切线与直线x—y=0平行.

（1）求函数/Q）的单调区间；

（2）若V61，宓2e（0,+8）,且的＞力2时，/（劣1）—/（①2）＞恒（城—强），求实数恒的取值范围.

（课后提升）

一、单选题

1.（2024・四川达州•二模）当力>0时,不等式>3—I）?恒成立,则a取值范围是（）

A.（—oo,1]（—8,工]C.（—oo,e]D.（—oo,3]

2.（2024•吉林•模拟预测）若关于x不等式In（arc）<x+6恒成立，则当《<a&e时，e6+1—Ina的最小

值为（）

A.—■—|-1B.e—1C.1D.e

e

3.（2024.四川宜宾.二模）已知不等式。跣*+力>1—In/有解，则实数a的取值范围为（）

A.（一；，+8）B.（一十,+8）C.（—8,?D.（一8,十）

4.（2024•陕西安康•模拟预测）若存在T6（0,+8），使得不等式a2x4+x>e"〃+1112c成立，则实数a的取

值范围为（）

5.（2024.陕西商洛.三模）已知4>0,对任意的2>1,不等式e2苑—粤）0恒成立，则4的取值范围为

2/1

（）

A.[2e,+co）B.[^~,+co）C.[e,+co）D.[工，+8）

6.（2024•全国•模拟预测）已知函数/（rr）=e"+i—aln（a;r）+a（a>0）,若关于x的不等式/Q）>0恒成立,

则实数a的取值范围是（）

A.（0,+8）B.（O,e）C.（0,e2）D.（l,e）

2

7.（2024.四川乐山.二模）若存在g6[-1,2],使不等式x0+（e-l）lna>丝+e?/。—2成立，则a的取

e0

值范围是（）

1----------,“YU

”一，若不等式/（乃>包恒成立，则实数a

{3-2户—手，x<02

的取值范围为（）

A.(—8,3)B.(6e-2,+oo)C.(6e/3)D.(-oo,6e-2)

二、多选题

9.(2024.河南信阳.一模)若关于x的不等式产2+刀>2ax2—x\nx在(0,+8)上恒成立,则实数a的值

可以是()

A.—B.4-C.9D.2

e23

10.(2024.新疆•一模)设/(力)=(l+N)ln/,gQ)=(o-1)力,若/(力)<g(力)在cG[1,2]上恒成立,则实数

a的值可以是()(附:ln2x0.69)

A.与也B.3C.2D.之+产

11.(2024•全国•模拟预测)已知函数/(2)=x+ln(x-2),g(力)=xlnx.若/(g)=2+31n^,g(x2)=凡则

下列结论中正确的是()

A.V/G(2,+oo),/(/)<g{x)B.©—2=Ing

C.3a;oe(2,+8)J(g)>g(g)D.(x1x2-2x2)lnt>-^-

je

三、填空题

12.(2024.四川成都.模拟预测)若不等式2炉-萩+1>0对任意①€[0,+8)恒成立，则实数a的最大值

为.

13.(2024.陕西商洛.一模)已知函数/(2)=Ina?—ae。”,若对任意的x>—,/(rr)<0成立,则正数a的取值

e

范围是

14.(2024・浙江•三模)已知函数/(①)=(土-2)铲+Inc,g[x)=ax+b,对任意a6(—8,1],存在xG(0,1)

使得不等式/(为>g(c)成立,则满足条件的b的最大整数为.

四、解答题

15.(2024•广东•模拟预测)已知函数/(2)=x—l—alnx,aER.

(1)判断函数/(0的单调性；

(2)若/(力)>0恒成立，求a的值.

•M

16.(2024・四川乐山•三模)已知函数/(c)=ax+1ns—ax2

(1)当a=1时,讨论了(乃的单调性；

(2)若存在ge(l,+oo),使得/(&)>0,求a的取值范围.

17.(2024•浙江台州•一模)已知函数/㈤=炉+4H2一5X.

(1)求函数沙=/(功的单调递减区间；

(2)若不等式△劲-61nsWa(x-1)2对任意［1,+oo)恒成立，求实数a的取值范围.

X

18.(2024•四川乐山•三模)已知函数/(力)=ax+ln2,g(/)—力-1)+1一出

(1)讨论/Q)的单调性；

(2)令H(x)=/(力)+g(x)，若存在x0E(1,+8),使得H⑸<一：修成立,求整数a的最小值.

19.(2024•浙江宁波•一模)已知函数/⑸=Jl+2a>—axsinx.

(1)判断了Q)的奇偶性;

(2)若a=—"y,求证：/(x)<1；

(3)若存在x0€(0,兀)，使得对任意比£(0,次)，均有/(⑼<1,求正实数a的取值范围.

需用导眼折充不得式植（«）嵬量冏4L

QLZEJO

命题《#...................................................................................1

知识植理...................................................................................1

拳一反三...................................................................................2

【慝型1直接法解决不等式恒（能）成立问题】................................................2

【题型2分离#<法求M疱国】..........................................................5

【题型3分类讨论法求分数篦国】...........................................................7

W型4构造的数法解决不等式慢（能）成立问题】..........................................10

【题型5与不等式恒（能）成立有关的证明问题】.............................................12

【题型6双变式的根（能）成立问题】.......................................................17

课后提升..................................................................................20

翻命题规律）o

从近几年的高考情况来看，恒（能）成立问题是高考的常考考点，是高考的热点问题，其中不等式的恒

（能）成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查分析问题、解决问题的能力，一般

作为压轴题出现，试题难度较大，解题时要学会灵活求解.

（知识梳理）

I：知识点1不等式恒（能）成立问题的解题策略】

1.不等式恒（能）成立问题的求解方法

解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法：

（1）分离参数法解决恒（能）成立问题

①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等

式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题.

②a>/（rr）恒成立<=>a>/（乃正工；

aW/（为恒成立

a>/（4）能成立<=>a>/（a?）1n而；

aW/（c）能成立<=>a</（T）rora.

（2）分类讨论法解决恒（能）成立问题•M

分类讨论法解决恒(能)成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行

分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一

段内的函数值不满足题意即可.

【知识点2双变量的恒(能)成立问题的解题策略】

1.双变量的恒(能)成立问题的求解方法

“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价

变换有：

对于某一区间了,

⑴VJ,电€1,/(0)>g(X2)于g(x)mw

(2)VxiGli,3X2eI2,f(x!)>g(Xi)>g{x}min.

(3)m-VgC/2JO1)>g(①2)<^/(2!)™zH>g(c)m"0・

[举一反三)

【题型1直接法解决不等式恒(能)成立问题】

1.(2024.辽宁・一模)已知函数/(力)=e2x—e~2x—ac,若力>0时，恒有/(力)>0,则a的取值范围是

()

A.(—oo,2]B.(—co,4]C.[2,+oo)D.[4,+co)

【解题思路】求导((劣)=2e2x-\-2e~—Q,令g(/)=2e2x+2e-2:r—a(rr>0)，利用导数判断函数g{x}的单调

性，再由a分类讨论即可得解.

【解答过程】由/(6)=e?。一e-2/一QC,得/(力)=2e2x+2e~2x—a,

令gQ)=2e2x+2e~2x—a(re>0),

则g'Q)=4e2x—4e~2x,

因为函数g=4e2i,g=—4e-21在[0,+8)上都是增函数，

所以函数g，Q)二4:十一^^①在[0,+oo)上是增函数，

所以g'Q)>g'(O)=O,

所以函数g(c)=2e2i+26-2/一Q在[0,+8)上是增函数，

所以rO)min=r(0)=4一”，

当a&4时，:(6)=2e2，+2e—2,—Q>4—Q>0,

所以函数/(力)在[0,4-co)上单调递增，

所以/(力)>/(0)=0,满足题意；

当a>4时，则存在g6(0,+8),使得/'(0)=0,

且当力e[o,g),『(x)v0,函数/(劣)单调递减，

所以/(&)</(o)=o,故/Q)>o不恒成立，

综上所述，a的取值范围是(—co,4].

故选：

2.(2024・河南•三模)若关于刀的不等式ez+c+2In—>mx2+Inm恒成立，则实数7n的最大值为

x

()

A.《B.与C.1D.e2

24

【解题思路】对所给不等式进行适当变形，利用同构思想得出Inm<①一21n,对于任意的2>0恒成立,进

一步利用导数求出不等式右边的最小值即可求解.

【解答过程】显然首先?n>0,N>0,

ex+x-\-21n—>mx2+InmQe3"+力>mx2+Inm—21n—=已磔2)+In(ma:2),

xx

令/O)=e*+宏,3>0),则分Q)=e，+1>0,Q>0),所以/Q)在定义域内严格单调递增,

所以若有J(T)^/(ln(mx2))成立，则必有力>In(ma;2)=Inm+21nrr,

即Inm^x—21nx对于任意的力>0恒成立，

9n9

令g(x)—x—21nx,(①>0),则g\x)-1---=-----,

当0V6V2时，g'(/)<0,g(/)单调递减,

当力>2时，g，(x)>0,gQ)单调递增,

所以当力=2时,g(x)取得最小值g⑵=2—21n2=In—,

从而InmWIn亍，所以m的取值范围是?4?，即实数?的最大值为亍.

故选：

3.(2024.四川内江.一模)已知函数/(6)=a(x+a)—ln(x+l),aER.

⑴讨论函数/(m的单调性；

(2)若/(0>1恒成立,求实数Q的取值范围.

【解题思路】(1)求导，分和。>0两种情况，结合导数的符号判断原函数单调性；

(2)由题意可得：/(0)=Q2>I,分Q4O和。>0两种情况，结合(0中单调性分析求解即可.

【解答过程】(1)由题意可知：/(⑼的定义域为(—1,+00),且尸(⑼=a—T7r=a/T

<ZzIi-XI

若aW0,则广(z)<0,可知/(①)在(-1,+oo)内单调递减；

若a>0,令V0,解得一1VcV—1;令/，(①)>0,解得x>——1;

可知/(0)在(―1,?—1)内单调递减，在(十一l,+oo)内单调递增；

综上所述：若a<0,/Q)在(―L+oo)内单调递减；

若a>0,f(z)在(一1,1一1)内单调递减，在(十—1,+8)内单调递增.

(2)因为/0)>1恒成立，则/(0)=a2>l,

若aW0,由⑴可知：f⑸在(-1,+oo)内单调递减，

且当①趋近于+8时，/(2)趋近于一00,不合题意；

若Q>0,由Q2>I可得0>1,

由⑴可知：/(T)在(一1,，一1)内单调递减，在(十一L+00)内单调递增，

贝Ufp—1)=a(^——1+a)-In—=a(a—1)+Ina+1,

若a>1,则a(a—1)>O,lna>0,可得十一1)>1,符合题意;

综上所述：实数。的取值范围为(1,+8).

4.(2024•河南•模拟预测)已知函数/(2)=e"一2eln6+a力+lna(a>0).

⑴若Q=l,证明：/(力)〉方/；

(2)若/(力)>2e+1恒成立,求实数a的取值范围.

【解题思路】⑴构造函数h(oc)=e*—e］由单调性得e6，再由p(6)—x—elnx根据单调性得x)

eln力，再由不等式性质即可得出结论；

(2)利用不等式恒成立的一个必要条件是/(I)>2e+1,构造函数力(6)=力+Inx可知e,再由充分性即

可求得结论，再证明必要性成立即可得a>e,得出结果.

【解答过程】(1)当a=1时，/(e)=ex—2elnx+x,

要证明了(力)〉~!"力，即证。(力)=/(力)--^x=ex—2elnx——■>0;

令令宏)=ex—ex,xE(0,+oo)，则h'{x)=e*—e,令九'(/)=0,解得力=1,

当宏W(0,1)时，hr{x)<0,即可得无(力)在(0,1)上单调递减，

当力e(1,+oo)时，矶力)>0,即可得h⑸在(1,+8)上单调递增，

即h{x)在方=1处取得极小值，也是最小值无(1)=0,

故ex^ex;

令令力)—X—elnx,xE(0,+oo)，则pf(x)—1——，令/(力)=0,解得x=e;

x

即可得当力G(0,e)时，p\x)V0,即可得pQ)在(0,e)上单调递减，

当/G(e,+oo)时，p'［x}>0,即可得p(力)在(e,+8)上单调递增，

即「(力)在i=e处取得极小值，也是最小值p(e)=0,

故力》elnrr;

因此e"—2eln/一~|~>ec—2/一方二(e—)力>0,

故/(工)

(2)易知/(力)=ex—2elnx+a力+lna>2e+1恒成立的一个必要条件是/(I)>2e+1;

即e+Q+Ina>2e+1,故a+Ina>e+1;

令力(力)=力+In/,则tr(x)=1+—>0恒成立，即t(x)为(0,+oo)上的增函数，

x

因此可得t(a)=a+Inae+1=3(e)，可得Q>e;

下面证明充分性：

当a>e时，/(劣)>e”-2eln力+ex+1,

令m(x)=ex—2elnx+ei+1,则mr(x)=e*-+e,

x

易知m/(力)为单调递增函数，令?(力)=0,解得/=1;

可知当IG(0,1)时，mf(x)<0,即可得?71(N)在(0,1)上单调递减，

当力6(1,H-oo)时，m'(x)>0,即可得?72(力)在(1,+oo)上单调递增，

即m(x)在力=1处取得极小值，也是最小值nz(l)=2e+1,

故当a>e时，/Q)>m(x)>2e+1,

综上可知，实数。的取值范围［e,+oo).

【题型2分离参数法求参数范围】

5.(2024.陕西.二模)VcC[1,2],有111/+勺—1>0恒成立，则实数a的取值范围为()

X2

A.[e,+8)B.[1,+8)。[5，+°0)D.[2e,+00)

【解题思路】参变分离可得/In力+/在力e[1,2]上恒成立，令〃(宓)=—x2lnx+x2,xE[1,2]，利用导

数求出函数的单调性，从而求出函数的最大值，即可求出参数的取值范围.

【解答过程】因为V/6[1,2],有lme+号一1>0恒成立，

所以a>—"In力+"在力6[1,2]上恒成立，

令〃(力)=-x2lnx+力e[1,2],

贝||(力)=-2力birr—x+2x=-2xlnx+x—/(—21n6+1),

令/(/)=0,得N=逐，当Ne(1,五)时，力)>0,故〃(劣)在(1,五)上单调递增，

当力G(Ve,2)时，//(%)V0,故〃(力)在(Ve,2)上单调递减，

则〃0)<//(Ve)=-|-,

所以a即实数a的取值范围为七，+00).

故选：C.

6.(2024.陕西铜川.模拟预测)已知函数/(工)=^--ln(x-l)—Ina+1,若/(c)>0对任意的xE

(1,+8)恒成立，则a的取值范围是()

A.(0,Ve]B.(0,e]C.(0,e司D.(0,e2]

111

【解题思路】依题意可得e"Tn。+x-lna>e^+In(z-l)对任意的xe(1,+oo)恒成立，即可得到x-

Ina>In(力一1)对任意的⑦G(1,+oo)恒成立，参变分离可得宓一ln(比一1)>lna,令九(劣)=x—ln(T—1),

力G(1,+oo),利用导数求出/z(x)min,即可求出参数的取值范围.

【解答过程】因为/(2)>0对任意的力6(1,+8)恒成立，

即-...ln(a;—1)—Ina+1>0对任意的xE(1,+8)恒成立，

即e/Tna+力—]na>InQ-1)+力一1=㊀皿*-1)+In(力-1)对任意的x6(1,+oo)恒成立，

令g(力)=美+力，则g'Q)=e"+l>0,所以g{x)=e~+/在_R上单调递增，

又gQTna)>^[ln(x-1)]对任意的力€(1,+8)恒成立，，

所以力一lna>InQ-1)对任意的xE(1,+8)恒成立，

所以力一ln(rr-1)>Ina对任意的xE(1,+oo)恒成立,

令h(x)—x—ln(x—1),x6(1,+8),

则h'(x)—1------=...-，所以当1V/V2时"(x)V0,当力>2时后’(x)>0,

X—lX—1

所以九(0)在(1,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，

所以九O)min=^(2)=2,

所以111aW2,则0VaWe?,即a的取值范围为(O.e?].

故选：D

5

7.（2024.贵州六盘水.模拟预测）已知函数/（2）=6/一如+1（（16五）.

（1）求函数/（⑼的单调区间；

（2）若Vt>0,/（T）>/+2,求实数a的取值范围.

【解题思路】（1）求出函数/（⑼的导数,再按aW0,a>0分类求出单调区间.

（2）将不等式恒成立作等价变形，在①>0时分离参数，构造函数，利用导数求出最小值，再对a?=0讨论即

可.

【解答过程】（1）函数/（2）=e"—aa;+1的定义域为五，求导得/（工）=ex—a,

当aW0时，/'（a;）>0恒成立，函数/Q）在R上单调递增；

当a>0时，由f'{x）<0,得①<Ina;由尸⑸>0,得2>Ina,

函数/（c）在（―co,Ina）上单调递减，在（Ina,4-co）上单调递增，

所以当a40时，函数/（0的单调递增区间是（—00,+00）；

当a>0时，函数/（⑼的单调递减区间是（一8,Ina）,递增区间是（Ina,4-oo）.

（2）不等式/（工）>22+2=e"—ar+1>d+2oarcWe”一炉—1,

当c=0时，不等式aX040恒成立，即a€_R;

依题意，当2>0时，a-...x——恒成立，令g（c）=----x——,2；>0,

xxxx

干里尸'（\e'3-l）1伍工一1一。）（“-1）人卜（\01

求导侍g\x）—----------1+—=-----------------,令h[x）—ex—l—x,x>0,

xxx

求导得h'（x）=e。—1>0,函数h（x）在（0,+oo）上单调递增，h（x）>MO）=0,

则当0VcV1时，g'（x）V0;当u>1时,g'{x}>0,函数g{x）在（0,1）上递减，在（1,+8>）上递增，

9（C）min=。（1）=6—2,于是0.46—2,

所以实数a的取值范围是aWe-2.

8.（2024・湖北•模拟预测）已知函数/（乃=0（a¥0）,其中e为自然对数的底数.

（1）讨论/Q）的单调区间；

（2）当Q=3时，不等式时（力）+Inx+1W771力在区间（0,+8）上恒成立时，求M的取值范围.

【解题思路】⑴由题得/⑸=辿二也，分a>0,aV0,讨论单调性求解即可；

（2）参数分离得m>=+1■在力G（0,+oo）上恒成立,令九㈤=++■，讨论h{x}的单

调性,求得h{x}的最大值即可求得m的取值范围.

【解答过程】（1）易知函数/（/）=@&（aro）的定义域为R.所以广（力）=——,

exex

当a>o时，由/（力）>o,得力v1,由/‘（X）vo,得力>1.

所以/（力）的单调增区间为（-00,1）,单调减区间为（1,+00）；

当aV0时，由/'（力）>0,得力>1,由广（优）V0,得力V1.

所以/（力）的单调增区间为（1,+8）,单调减区间为（-00,1）;

综上所述：当。>0时，/（力）的单调增区间为（一8,1）,单调减区间为（1,+oo）；

当a<0时，/（力）的单调增区间为（1,+8）,单调减区间为（—co,l）.

（2）将a=3代入，得/（力）=，因为不等式时（劣）+Inre+1&m岔在力6（0,+8）上恒成立，

e。

所以———FInx+1&mx,即馆>还~+也与+工在力G（0,+oo）上恒成立，

xx

eexx

令九(力)=+I11)+—,易知函数无(力)的定义域为(0,+8).

e”力力

3ex—3xex1—In/1_3-36Inx

所以九'(力)=+

@)2x2x2exx2

3—3力

当0〈力V1时，>0,—I”：>0,故h'{x)>0;

exx2

当±>1时，3—3工〈0,一半〈0,故〃(⑼〈0；

exx2

所以无(名)在(0,1)上单调递增，在(1,+00)上单调递减，

所以力=1时，九(%)在(0,+oo)上取得最大值九⑴二~|~+1.

所以5+1,所以实数m的取值范围是+1,+QO).

【题型3分类讨论法求参数范围】

9.(2024・湖南•一模)若不等式e，T—me—2n—3>0对VcCA恒成立，其中m¥0,则也的取值范围

m

为()

N(…ln3e1口「ln3e,(ln3e]「「ln3e\

A.jB.[^，+8)CLe「丁]D.[丁月

【解题思路】先讨论m的范围，当7n>0时，利用导数求最值，根据最小值大于等于0可得2几W—mlmn—

3,然后将二元化一元，令g(m)=-lnm-2，利用导数求最值可解.

m

【解答过程】令e^-1—mx—2九一3二0,即ex~r=mx+2n+3,

当？nV0时，由函数y=ex-1与y=mx+2九+3的图象可知，两函数图象有一个交点，记为(g,%),

则当力Vg时，ex-1<mx+2n+3,即e^-1—mx—2n—3V0,不满足题意；

当7n>0时，令/(N)=e*T——2几一3,则/'(力)=ex-1—m,

令于，(x)=0,则x=Inm+1,因为/'(力)=eiT—小单调递增，

所以当x<lnm+1时，广(力)<0,/(^)单调递减,

当力>Imn+1时，/(力)>0,/(⑼单调递增，

所以a:=Inm+1时，/(劣)有最小值/(lnnz+1)=—minm—2n—3,

又ex-1—mx—2n—3>0对V力G&恒成立，

所以一mlnnz—2n—3—0,即2n4—mlnm—3,

所以2^4—Inm———,当且仅当2TZ=—mlnm—3时等号成立.

mm

令g(rn)=—Inm——,贝Igf(rn)=——+—^―=―—―,

22

mmmm

当0VnzV3时，g'(rri)>0,g(m)单调递增,

当？n>3时，gf(rn)<0,g(m)单调递减，

所以当7n=3时，gmax(小)——ln3—1=—ln3e,

所以型<-ln3e，即旦<T*e,当且仅当馆=3,n4-3「3e时等号成立，

mm22

所以见的取值范围为(一00,—"等］

故选：4

10.(2024•陕西西安•一模)若关于力的不等式12+力>20/2一力・］口/在(0,+oo)上恒成立,则实数a的取

值范围为()

【解题思路】变形得到—+l-2ac+ln，>0,当时，利用放缩得到证明，当a>《时，利用隐零点

x22

可证明出不合要求，得到答案.

【解答过程】ex~2+力>2ax2—x•inxn-....1-1—2ax+Inx>0,

x

1_2pjE_2

当a&K时，-----Fl-2ax+In力>----F1一6+In力=x-\nx-2一(力—\—2)—1,

2xxenx

t

令无⑴=e*T—1,则h/(t)=e—l9

当力>0时，"⑴>0,当力V0时，"⑶V0,

故八⑴=e"—力-1在力G(—oo,0)上单调递减，在te(0,+oo)上单调递增，

故九(t)>九(0)=0,

故e*Tni-2—(力—］口%—2)—1>0恒成立，不等式成立，

f

当Q>《-时，令"(/)=x—2—lnx,u(x)=1——=—―-,

2x