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第1页/共1页2025届高三年级第一次模拟考试数学考生注意:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则()A. B. C. D.2.若复数满足,则在复平面内,复数所对应的点组成的图形的周长为()A B. C. D.3.已知平行四边形的对角线的交点为,则()A. B. C. D.4.甲、乙两人玩迷宫游戏,已知迷宫入口编号为1,出口编号分别为2,3,4,5,6,7,两人从入口进入后,他们离开的出口编号之和为8的概率为()A. B. C. D.5.已知双曲线的左、右焦点分别为,,过点的直线与的右支交于,两点,且,若的周长为20,则的实轴长为()A.1 B.2 C.4 D.66.如图,在三棱锥中,,,两两垂直,,,,为线段上靠近的三等分点,点为的重心,则点到直线的距离为()A B. C. D.7.已知数列的前项和为,且,若,,则()A.3 B.6 C.1015 D.20308.已知函数在时满足恒成立,且在区间内,仅存在三个数,,,使得,则()A. B. C. D.二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.定义:已知函数在其定义域上的最大值为,最小值为,若,则称是“间距函数”,则下列函数是“间距函数”的有()A., B.,C., D.,10.已知椭圆的左、右焦点分别为,,点在上,圆,则下列说法正确的是()A.若,则的面积为2B.若,则直线被圆截得的弦长为C.若为等腰三角形,则满足条件的点有2个D.若为与轴正半轴的交点,为圆的直径(在第一象限),的中点为,(表示斜率),则点的横坐标为11.已知直三棱柱的底面为等腰直角三角形,,则下列说法正确的是()A.三棱柱的体积为4B.以为球心,体积为的球面与侧面的交线的长度为C.若,分别为,的中点,点在平面上,则的最小值为D.若空间中的一点满足,则的最小值为三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知正项等比数列满足,且,则公比为______________.13.某学校统计了所有在职教师(只有一级教师和高级教师)的工资情况,其中一级教师80人,平均工资为4.5千元,方差为0.04,高级教师20人,平均工资为6.5千元,方差为0.44,则该校所有在职教师工资的方差为______________.14.已知函数满足,则实数____________,设为的导函数,则不等式的解集为____________.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知在中,角,,所对的边分别为,,,且.(1)求;(2)若,点到直线的距离为,求的周长.16.如图,已知正方体的棱长为2,是棱上靠近的四等分点.(1)求点到平面的距离;(2)求平面与平面夹角的余弦值.17.随着网络App的普及与发展,刷“抖音”成为了人们日常生活的一部分.某地区随机抽取了部分20~40岁的“抖音”用户,调查他们日均刷“抖音”的时间情况,所得数据统计如下表:性别日均刷“抖音”时间超过2小时日均刷“抖音”时间不超过2小时男性4872女性2456(1)依据小概率值的独立性检验,能否认为日均刷“抖音”时间的长短与性别有关?(2)现从被调查的日均刷“抖音”时间超过2小时的用户中,按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取3名用户参加抖音知识问答,已知男性用户、女性用户顺利完成知识问答的概率分别为,,每个人是否顺利完成知识问答相互独立,求在有且仅有2人顺利完成知识问答的条件下,这2人性别不同的概率.参考公式:,其中参考数据:0.10.050.010.0050.00127063.8416.6357.87910.82818.已知函数.(1)求的极值;(2)若当时,,求实数的取值范围;(3)设实数,满足,证明:.19.设,是抛物线上除顶点以外的两点,过点,分别作的切线,两条切线相交于点.(1)若且,求直线的方程;(2)设,分别为直线,与轴的交点,证明:的外接圆过定点;(3)若的焦点为,点,在的准线上的射影分别为点,,证明:点是的外心.附:抛物线有如下光学性质:从焦点发出的光线,经抛物线反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴.一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由绝对值不等式解出集合,再由交集的运算可得.【详解】由,所以.故选:C2.若复数满足,则在复平面内,复数所对应的点组成的图形的周长为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的几何意义判断在复平面内,复数所对应的点是半径为2的圆,进而求出其周长.【详解】设,由,则,则在复平面内,复数所对应点组成的图形为以为圆心,为半径的圆,故复数所对应的点组成的图形的周长为.故选:D.3.已知平行四边形对角线的交点为,则()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件,利用平面向量线性运算计算得解.【详解】在中,.故选:C4.甲、乙两人玩迷宫游戏,已知迷宫的入口编号为1,出口编号分别为2,3,4,5,6,7,两人从入口进入后,他们离开的出口编号之和为8的概率为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】甲、乙两人分别从6个出口中选择1个出口有6种不同的选法,故共有种不同的基本事件,又他们离开的出口编号之和为8的包含的基本事件有共5个,所以他们离开的出口编号之和为8的概率为.故选:B.5.已知双曲线的左、右焦点分别为,,过点的直线与的右支交于,两点,且,若的周长为20,则的实轴长为()A.1 B.2 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的定义,结合已知的线段比例关系以及的周长,求出的值,进而得到双曲线的实轴长.【详解】设,因为,所以,.根据双曲线的定义:平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于定值()的点的轨迹为双曲线.对于点在双曲线右支上,有,即,可得①.对于点在双曲线右支上,有,则.已知的周长为,的周长,而.所以,即②将①代入②中,得到,即,解得.根据双曲线的性质,双曲线的实轴长为.把代入,可得实轴长为.故选:C6.如图,在三棱锥中,,,两两垂直,,,,为线段上靠近的三等分点,点为的重心,则点到直线的距离为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,结合空间向量的坐标运算代入计算,即可得到结果.【详解】根据题意,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,则,又点为的重心,所以,则,,则,则,所以点到直线的距离为.故选:B7.已知数列的前项和为,且,若,,则()A.3 B.6 C.1015 D.2030【答案】A【解析】【分析】变形得到,故为等差数列,设公差为,证明出为等差数列,根据,得到,从而求出,,结合等差数列性质得到.【详解】由,变形得到,即,故为等差数列,设公差为,则,故①,则②,式子②-①得,则,,所以为等差数列,则,,即,解得,所以,则,,又,故.故选:A8.已知函数在时满足恒成立,且在区间内,仅存在三个数,,,使得,则()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出,根据恒成立,得到,不妨取,画出图象,数形结合,利用对称性得到,求出答案.【详解】时,,令,则当时,,故要想在时满足恒成立,需满足,不妨取,,,画出在上的图象,如下:由图象可知,,,则,故,两式相加得,所以.故选:C二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.定义:已知函数在其定义域上的最大值为,最小值为,若,则称是“间距函数”,则下列函数是“间距函数”的有()A., B.,C., D.,【答案】BCD【解析】【分析】对于A,利用的性质,求出最大值和最小值,即可求解;对于B,利用反比例函数的性质,求出最大值和最小值,即可求解;对于C,令,,利用复合函数的单调性,求出最大值和最小值,即可求解;对于D,令,则,求出在区间上最值,即可求解.【详解】对于选项A,易知的最大值为,最小值为,则,所以选项A错误,对于选项B,因为在区间上单调递减,所以的最大值为,最小值为,则,所以选项B正确,对于选项C,,令,,当时,,又在区间上单调递增,在区间上单调递减,又在区间上单调递增,所以的最大值为,最小值为,则,所以选项C正确,对于选项D,令,因为,则,且,易知在区间上单调递增,所以在区间的最大值为,最小值为,则,所以选项D正确,故选:BCD.10.已知椭圆的左、右焦点分别为,,点在上,圆,则下列说法正确的是()A.若,则的面积为2B.若,则直线被圆截得的弦长为C.若为等腰三角形,则满足条件的点有2个D.若为与轴正半轴的交点,为圆的直径(在第一象限),的中点为,(表示斜率),则点的横坐标为【答案】ABD【解析】【分析】设P记则,利用,转化求解三角形的面积,判断A;应用圆的弦长几何法求解判断B;分情况讨论,找出使为等腰三角形的所有点可判断C;设点的坐标再结合斜率公式计算求解得出坐标判断D.【详解】对于A,,设点P,记则因为,所以解得,所以的面积为,故A正确;对于B,若,则,所以,所以直线为,所以,又因为,圆心到直线距离,所以直线被圆截得的弦长为,故B正确;对于C,由椭圆的性质可知,即.若是以为顶点的等腰三角形,点位于椭圆的上顶点或下顶点,满足条件的点有2个;若是以为顶点的等腰三角形,则,则满足条件的点有2个;同理,若是以为顶点的等腰三角形,满足条件的点有2个;故使得为等腰三角形的点共6个,故C错误;对于D:设,,因为,所以,所以点的横坐标为,D选项正确.故选:ABD.11.已知直三棱柱的底面为等腰直角三角形,,则下列说法正确的是()A.三棱柱的体积为4B.以为球心,体积为的球面与侧面的交线的长度为C.若,分别为,的中点,点在平面上,则的最小值为D.若空间中的一点满足,则的最小值为【答案】AD【解析】【分析】利用体积公式求得体积可判断A;先求得球的半径,进而可求得点的轨迹形状,可求轨迹长判断B;取关于平面的对称点,连接交于线段的中点,可分别求得与的最小值,进而可判断C;由,可确定点在空间中的轨迹,进而可求得的最小值.【详解】对于A,由直三棱柱的底面为等腰直角三角形,,所以,所以,故A正确;对于B,设体积为的球的半径为,所以,解得,取中点,由,所以,,由直三棱柱的性质可得平面,设为球面与侧面的交线上的任一点,所以,所以,所以的轨迹是以为圆心,为半径的圆,又点在侧面内,故体积为的球面与侧面的交线的长度为,故B错误;对于C,取关于平面的对称点,连接交于线段的中点,又点在平面上,故点为线段的中点时,的最小值为,此时的最小值为,所以的最小值为,故C错误;对于D,点满足,所以点的轨迹是以为焦点的椭圆绕长轴旋转形成的椭球面,且,所以,又,所以在椭圆的短轴所在直线上,又,所以到椭圆的中心的距离为,所以的最小值为,故D正确.故选:AD.【点睛】关键点点睛:D选项,关键在于确定点的轨迹是以为焦点的椭圆绕长轴旋转形成的椭球面,以及在椭圆的短轴上,从而可求得最小值.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知正项等比数列满足,且,则公比为______________.【答案】##【解析】【分析】设数列公比为q,然后由等比数列通项公式结合题意可得答案.【详解】设数列公比为q,因,则.又,则.故答案为:13.某学校统计了所有在职教师(只有一级教师和高级教师)的工资情况,其中一级教师80人,平均工资为4.5千元,方差为0.04,高级教师20人,平均工资为6.5千元,方差为0.44,则该校所有在职教师工资的方差为______________.【答案】0.76##【解析】【分析】利用分层抽样的平均数和方差公式即可.【详解】设一级教师的平均工资和方差为、,高级教师的平均工资和方差为、,因一级教师的占比,高级教师的占比,则全校教师的平均工资为(千元),则教师工资的方差为.故答案为:0.7614.已知函数满足,则实数____________,设为的导函数,则不等式的解集为____________.【答案】①.;②.【解析】【分析】令即可代入求解,求导,即可代入化简,根据一元二次不等式的求解得空2.【详解】由可得令,则,故,解得,由可得,故得,化简可得,解得或,故答案为:,四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知在中,角,,所对的边分别为,,,且.(1)求;(2)若,点到直线的距离为,求的周长.【答案】(1)(2)14.【解析】【分析】(1)利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解.(2)利用正弦定理角化边,再利用余弦定理及三角形面积公式列式求解.【小问1详解】在中,,,则,而,,解得,则,所以.【小问2详解】由正弦定理得,不妨设,则,由余弦定理得,解得,由,得,解得,所以,即的周长为14.16.如图,已知正方体的棱长为2,是棱上靠近的四等分点.(1)求点到平面的距离;(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用等体积法即可求得结果.(2)建立空间直角坐标系,求出两个平面的法向量,利用向量之间夹角公式即可求得结果.【小问1详解】由正方体的性质可知平面,故是三棱锥的高,所以四面体的体积为,由题意知,,,所以,又,故点到平面的距离;【小问2详解】以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,所以,,.设平面的法向量为,则,令,得,故,设平面的法向量为,则,令,得,故,设平面与平面的夹角为,则.17.随着网络App的普及与发展,刷“抖音”成为了人们日常生活的一部分.某地区随机抽取了部分20~40岁的“抖音”用户,调查他们日均刷“抖音”的时间情况,所得数据统计如下表:性别日均刷“抖音”时间超过2小时日均刷“抖音”时间不超过2小时男性4872女性2456(1)依据小概率值的独立性检验,能否认为日均刷“抖音”时间的长短与性别有关?(2)现从被调查的日均刷“抖音”时间超过2小时的用户中,按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取3名用户参加抖音知识问答,已知男性用户、女性用户顺利完成知识问答的概率分别为,,每个人是否顺利完成知识问答相互独立,求在有且仅有2人顺利完成知识问答的条件下,这2人性别不同的概率.参考公式:,其中.参考数据:0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)无关;(2).【解析】【分析】(1)由题意可得列联表,再计算,对比临界值表即可得解;(2)根据题意,求出有且仅有2人顺利完成知识问答的概率和这2人性别不同的概率,再根据条件概率公式求解即可.【小问1详解】由题意,列联表如下:性别日均刷“抖音”时间超过2小时日均刷“抖音”时间不超过2小时合计男性4872120女性245680合计72128200零假设为:日均刷“抖音”时间的长短与性别无关,则,故依据小概率值的独立性检验,我们推断零假设成立,即日均刷“抖音”时间的长短与性别无关.【小问2详解】由分层随机抽样可知,抽取男性用户2人,女性用户1人.记“有且仅有2人顺利完成知识问答”为事件,“2人性别不同”为事件,则,,故.18.已知函数.(1)求的极值;(2)若当时,,求实数的取值范围;(3)设实数,满足,证明:.【答案】(1)极大值为,无极小值(2)(3)证明见解析【解析】【分析】(1)对求导,再利用极值的定义,即可求解;(2)构造函数,根据条件得当时,恒成立,对分类讨论,利用导数与函数单调性间的关系,求出在区间上的最小值,即可求解;(3)利用(1)和(2)中结果,在同一直角坐标系中作出,,结合条件,数形结合,即可求解.【小问1详解】由题可知,令,得,当时,,当时,,所以在上单调递增,在上单调递减,所以当时,取得极大值,没有极小值.【小问2详解】设,根据题意,当时,恒成立.又,若,则,令,得,当时,,当时,,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,不符合题意,若,令,得或.若,则恒成立,所以在上单调递增,又当时,,不符合题意,若,则,当时,,所以在上单调递增,当时,,不符合题意,若,则,当时,,当时,,所以在和上单调递增,在上单调递减,又因为,所以在上成立,要使在上也成立,只需,即,得,故的取值范围是.【小问3详解】由(1)可知在上单调递增,在上单调递减,且当时,.又由(2)知当时,,故可作出,在上大致图象如下,除了点,的图象都在的图象的下方,当时,直线与曲线有两个交点,横坐标分别为,,直线与曲线有两个交点,横坐标分别为和,由图可知【点睛】关键点点晴,本题的关键在第(3),根据(1)和(2)中结果,在同一坐标系中作出,的图象,将问题转化用图形直观反映.19.设,是抛物线上除顶点以外的两点,过点,分别作的切线,两条切线相交于点.(1)若且,求直线的方程;(2)设,分别为直线,与轴的交点,证明:的外接圆过定点;(3)若的焦点为,点,在的准线上
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