2025年河南省高考数学模拟试卷试题及答案详解

第1页/共1页2025届高三年级第一次模拟考试数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（）A B. C. D.3.已知平行四边形的对角线的交点为，则（）A. B. C. D.4.甲、乙两人玩迷宫游戏，已知迷宫入口编号为1，出口编号分别为2，3，4，5，6，7，两人从入口进入后，他们离开的出口编号之和为8的概率为（）A. B. C. D.5.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，且，若的周长为20，则的实轴长为（）A.1 B.2 C.4 D.66.如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，为线段上靠近的三等分点，点为的重心，则点到直线的距离为（）A B. C. D.7.已知数列的前项和为，且，若，，则（）A.3 B.6 C.1015 D.20308.已知函数在时满足恒成立，且在区间内，仅存在三个数，，，使得，则（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.定义：已知函数在其定义域上的最大值为，最小值为，若，则称是“间距函数”，则下列函数是“间距函数”的有（）A.， B.，C.， D.，10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，圆，则下列说法正确的是（）A.若，则的面积为2B.若，则直线被圆截得的弦长为C.若为等腰三角形，则满足条件的点有2个D.若为与轴正半轴的交点，为圆的直径（在第一象限），的中点为，（表示斜率），则点的横坐标为11.已知直三棱柱的底面为等腰直角三角形，，则下列说法正确的是（）A.三棱柱的体积为4B.以为球心，体积为的球面与侧面的交线的长度为C.若，分别为，的中点，点在平面上，则的最小值为D.若空间中的一点满足，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知正项等比数列满足，且，则公比为______________.13.某学校统计了所有在职教师（只有一级教师和高级教师）的工资情况，其中一级教师80人，平均工资为4.5千元，方差为0.04，高级教师20人，平均工资为6.5千元，方差为0.44，则该校所有在职教师工资的方差为______________.14.已知函数满足，则实数____________，设为的导函数，则不等式的解集为____________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知在中，角，，所对的边分别为，，，且.（1）求；（2）若，点到直线的距离为，求的周长.16.如图，已知正方体的棱长为2，是棱上靠近的四等分点.（1）求点到平面的距离；（2）求平面与平面夹角的余弦值.17.随着网络App的普及与发展，刷“抖音”成为了人们日常生活的一部分.某地区随机抽取了部分20～40岁的“抖音”用户，调查他们日均刷“抖音”的时间情况，所得数据统计如下表：性别日均刷“抖音”时间超过2小时日均刷“抖音”时间不超过2小时男性4872女性2456（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为日均刷“抖音”时间的长短与性别有关？（2）现从被调查的日均刷“抖音”时间超过2小时的用户中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取3名用户参加抖音知识问答，已知男性用户、女性用户顺利完成知识问答的概率分别为，，每个人是否顺利完成知识问答相互独立，求在有且仅有2人顺利完成知识问答的条件下，这2人性别不同的概率.参考公式：，其中参考数据：0.10.050.010.0050.00127063.8416.6357.87910.82818.已知函数.（1）求的极值；（2）若当时，，求实数的取值范围；（3）设实数，满足，证明：.19.设，是抛物线上除顶点以外的两点，过点，分别作的切线，两条切线相交于点.（1）若且，求直线的方程；（2）设，分别为直线，与轴的交点，证明：的外接圆过定点；（3）若的焦点为，点，在的准线上的射影分别为点，，证明：点是的外心.附：抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由绝对值不等式解出集合，再由交集的运算可得.【详解】由，所以.故选：C2.若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的几何意义判断在复平面内，复数所对应的点是半径为2的圆，进而求出其周长.【详解】设，由，则，则在复平面内，复数所对应点组成的图形为以为圆心，为半径的圆，故复数所对应的点组成的图形的周长为.故选：D.3.已知平行四边形对角线的交点为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用平面向量线性运算计算得解.【详解】在中，.故选：C4.甲、乙两人玩迷宫游戏，已知迷宫的入口编号为1，出口编号分别为2，3，4，5，6，7，两人从入口进入后，他们离开的出口编号之和为8的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】甲、乙两人分别从6个出口中选择1个出口有6种不同的选法，故共有种不同的基本事件，又他们离开的出口编号之和为8的包含的基本事件有共5个，所以他们离开的出口编号之和为8的概率为.故选：B.5.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，且，若的周长为20，则的实轴长为（）A.1 B.2 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的定义，结合已知的线段比例关系以及的周长，求出的值，进而得到双曲线的实轴长.【详解】设，因为，所以，.根据双曲线的定义：平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于定值（）的点的轨迹为双曲线.对于点在双曲线右支上，有，即，可得①.对于点在双曲线右支上，有，则.已知的周长为，的周长，而.所以，即②将①代入②中，得到，即，解得.根据双曲线的性质，双曲线的实轴长为.把代入，可得实轴长为.故选：C6.如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，为线段上靠近的三等分点，点为的重心，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果.【详解】根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，又点为的重心，所以，则，，则，则，所以点到直线的距离为.故选：B7.已知数列的前项和为，且，若，，则（）A.3 B.6 C.1015 D.2030【答案】A【解析】【分析】变形得到，故为等差数列，设公差为，证明出为等差数列，根据，得到，从而求出，，结合等差数列性质得到.【详解】由，变形得到，即，故为等差数列，设公差为，则，故①，则②，式子②-①得，则，，所以为等差数列，则，，即，解得，所以，则，，又，故.故选：A8.已知函数在时满足恒成立，且在区间内，仅存在三个数，，，使得，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出，根据恒成立，得到，不妨取，画出图象，数形结合，利用对称性得到，求出答案.【详解】时，，令，则当时，，故要想在时满足恒成立，需满足，不妨取，，，画出在上的图象，如下：由图象可知，，，则，故，两式相加得，所以.故选：C二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.定义：已知函数在其定义域上的最大值为，最小值为，若，则称是“间距函数”，则下列函数是“间距函数”的有（）A.， B.，C.， D.，【答案】BCD【解析】【分析】对于A，利用的性质，求出最大值和最小值，即可求解；对于B，利用反比例函数的性质，求出最大值和最小值，即可求解；对于C，令，，利用复合函数的单调性，求出最大值和最小值，即可求解；对于D，令，则，求出在区间上最值，即可求解.【详解】对于选项A，易知的最大值为，最小值为，则，所以选项A错误，对于选项B，因为在区间上单调递减，所以的最大值为，最小值为，则，所以选项B正确，对于选项C，，令，，当时，，又在区间上单调递增，在区间上单调递减，又在区间上单调递增，所以的最大值为，最小值为，则，所以选项C正确，对于选项D，令，因为，则，且，易知在区间上单调递增，所以在区间的最大值为，最小值为，则，所以选项D正确，故选：BCD.10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，圆，则下列说法正确的是（）A.若，则的面积为2B.若，则直线被圆截得的弦长为C.若为等腰三角形，则满足条件的点有2个D.若为与轴正半轴的交点，为圆的直径（在第一象限），的中点为，（表示斜率），则点的横坐标为【答案】ABD【解析】【分析】设P记则，利用，转化求解三角形的面积，判断A；应用圆的弦长几何法求解判断B；分情况讨论，找出使为等腰三角形的所有点可判断C；设点的坐标再结合斜率公式计算求解得出坐标判断D.【详解】对于A，，设点P,记则因为,所以解得,所以的面积为，故A正确；对于B，若，则，所以，所以直线为，所以，又因为，圆心到直线距离，所以直线被圆截得的弦长为，故B正确；对于C，由椭圆的性质可知，即.若是以为顶点的等腰三角形，点位于椭圆的上顶点或下顶点，满足条件的点有2个；若是以为顶点的等腰三角形，则，则满足条件的点有2个；同理，若是以为顶点的等腰三角形，满足条件的点有2个；故使得为等腰三角形的点共6个，故C错误；对于D：设，，因为，所以，所以点的横坐标为，D选项正确.故选：ABD.11.已知直三棱柱的底面为等腰直角三角形，，则下列说法正确的是（）A.三棱柱的体积为4B.以为球心，体积为的球面与侧面的交线的长度为C.若，分别为，的中点，点在平面上，则的最小值为D.若空间中的一点满足，则的最小值为【答案】AD【解析】【分析】利用体积公式求得体积可判断A；先求得球的半径，进而可求得点的轨迹形状，可求轨迹长判断B；取关于平面的对称点，连接交于线段的中点，可分别求得与的最小值，进而可判断C；由，可确定点在空间中的轨迹，进而可求得的最小值.【详解】对于A，由直三棱柱的底面为等腰直角三角形，，所以，所以，故A正确；对于B，设体积为的球的半径为，所以，解得，取中点，由，所以，，由直三棱柱的性质可得平面，设为球面与侧面的交线上的任一点，所以，所以，所以的轨迹是以为圆心，为半径的圆，又点在侧面内，故体积为的球面与侧面的交线的长度为，故B错误；对于C，取关于平面的对称点，连接交于线段的中点，又点在平面上，故点为线段的中点时，的最小值为，此时的最小值为，所以的最小值为，故C错误；对于D，点满足，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆绕长轴旋转形成的椭球面，且，所以，又，所以在椭圆的短轴所在直线上，又，所以到椭圆的中心的距离为，所以的最小值为，故D正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：D选项，关键在于确定点的轨迹是以为焦点的椭圆绕长轴旋转形成的椭球面，以及在椭圆的短轴上，从而可求得最小值.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知正项等比数列满足，且，则公比为______________.【答案】##【解析】【分析】设数列公比为q，然后由等比数列通项公式结合题意可得答案.【详解】设数列公比为q，因，则.又，则.故答案为：13.某学校统计了所有在职教师（只有一级教师和高级教师）的工资情况，其中一级教师80人，平均工资为4.5千元，方差为0.04，高级教师20人，平均工资为6.5千元，方差为0.44，则该校所有在职教师工资的方差为______________.【答案】0.76##【解析】【分析】利用分层抽样的平均数和方差公式即可.【详解】设一级教师的平均工资和方差为、，高级教师的平均工资和方差为、，因一级教师的占比，高级教师的占比，则全校教师的平均工资为(千元)，则教师工资的方差为.故答案为：0.7614.已知函数满足，则实数____________，设为的导函数，则不等式的解集为____________.【答案】①.；②.【解析】【分析】令即可代入求解,求导，即可代入化简，根据一元二次不等式的求解得空2.【详解】由可得令，则，故，解得，由可得，故得，化简可得，解得或，故答案为：，四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知在中，角，，所对的边分别为，，，且.（1）求；（2）若，点到直线的距离为，求的周长.【答案】（1）（2）14.【解析】【分析】（1）利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解.（2）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理及三角形面积公式列式求解.【小问1详解】在中，，，则，而，，解得，则，所以.【小问2详解】由正弦定理得，不妨设，则，由余弦定理得，解得，由，得，解得，所以，即的周长为14.16.如图，已知正方体的棱长为2，是棱上靠近的四等分点.（1）求点到平面的距离；（2）求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等体积法即可求得结果.（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量之间夹角公式即可求得结果.【小问1详解】由正方体的性质可知平面，故是三棱锥的高，所以四面体的体积为，由题意知，，，所以，又，故点到平面的距离；【小问2详解】以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，.设平面的法向量为，则，令，得，故，设平面的法向量为，则，令，得，故，设平面与平面的夹角为，则.17.随着网络App的普及与发展，刷“抖音”成为了人们日常生活的一部分.某地区随机抽取了部分20～40岁的“抖音”用户，调查他们日均刷“抖音”的时间情况，所得数据统计如下表：性别日均刷“抖音”时间超过2小时日均刷“抖音”时间不超过2小时男性4872女性2456（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为日均刷“抖音”时间的长短与性别有关？（2）现从被调查的日均刷“抖音”时间超过2小时的用户中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取3名用户参加抖音知识问答，已知男性用户、女性用户顺利完成知识问答的概率分别为，，每个人是否顺利完成知识问答相互独立，求在有且仅有2人顺利完成知识问答的条件下，这2人性别不同的概率.参考公式：，其中.参考数据：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）无关；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可得列联表，再计算，对比临界值表即可得解；（2）根据题意，求出有且仅有2人顺利完成知识问答的概率和这2人性别不同的概率，再根据条件概率公式求解即可.【小问1详解】由题意，列联表如下：性别日均刷“抖音”时间超过2小时日均刷“抖音”时间不超过2小时合计男性4872120女性245680合计72128200零假设为：日均刷“抖音”时间的长短与性别无关，则，故依据小概率值的独立性检验，我们推断零假设成立，即日均刷“抖音”时间的长短与性别无关.【小问2详解】由分层随机抽样可知，抽取男性用户2人，女性用户1人.记“有且仅有2人顺利完成知识问答”为事件，“2人性别不同”为事件，则，，故.18.已知函数.（1）求的极值；（2）若当时，，求实数的取值范围；（3）设实数，满足，证明：.【答案】（1）极大值为，无极小值（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）对求导，再利用极值的定义，即可求解；（2）构造函数，根据条件得当时，恒成立，对分类讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出在区间上的最小值，即可求解；（3）利用（1）和（2）中结果，在同一直角坐标系中作出，，结合条件，数形结合，即可求解.【小问1详解】由题可知，令，得，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得极大值，没有极小值.【小问2详解】设，根据题意，当时，恒成立.又，若，则，令，得，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，不符合题意，若，令，得或.若，则恒成立，所以在上单调递增，又当时，，不符合题意，若，则，当时，，所以在上单调递增，当时，，不符合题意，若，则，当时，，当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，又因为，所以在上成立，要使在上也成立，只需，即，得，故的取值范围是.【小问3详解】由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，且当时，.又由（2）知当时，，故可作出，在上大致图象如下，除了点，的图象都在的图象的下方，当时，直线与曲线有两个交点，横坐标分别为，，直线与曲线有两个交点，横坐标分别为和，由图可知【点睛】关键点点晴，本题的关键在第（3），根据（1）和（2）中结果，在同一坐标系中作出，的图象，将问题转化用图形直观反映.19.设，是抛物线上除顶点以外的两点，过点，分别作的切线，两条切线相交于点.（1）若且，求直线的方程；（2）设，分别为直线，与轴的交点，证明：的外接圆过定点；（3）若的焦点为，点，在的准线上