2025年中考数学一轮知识梳理专题02 方程与不等式 （4大模块知识梳理+6个基础考点+2个方法技巧+2个易错点）解析版

专题02方程与不等式

目录

01理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。

02盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（4大模块知识梳理）

知识模块一：一次方程（组）

知识模块二：分式方程

知识模块三：一元二次方程

知识模块四：一次不等式（组）

03究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（6大基础考点+2方法技巧）

考点一：一元一次方程的解法

考点二：二元一次方程（组）的解法

考点三：分式方程及其解法

考点四：一元二次方程的解法

考点五：一元二次方程根的判别式及根与系数关系

考点六：一次不等式（组）的解法及解集表示（高频）

考点七：方程（组）的含参问题（方法技巧）

考点八：方程（组）的实际应用（方法技巧）

04辨·易混易错：点拨易混易错知识点，冲刺高分。（2大易错点）

易错点1：解分式方程时首要步骤去分母，分数相相当于括号，易忘记根检验，导致运算结果出错。

易错点2：关于一元一次不等式组有解无解的条件易忽视相等或增根的情况。

知识模块一：一次方程（组）

知识点一：方程的有关概念

一、等式

1.等式：用“=”来表示相等关系的式子叫作等式。

2.等式的性质：

（1）性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等（如果ab，那么acbc（c

为一个数或式子））。

（2）性质2：等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数，结果仍相等（如果ab，那么acbc；如

ab

果ab（c0），那么）

cc

3.等式性质的延伸：

（1）对称性：等式左右两边互换，所得结果仍相等，即如果ab，那么ba。

（2）传递性：如果ab，bc，那么ac。

二、方程的概念和方程的解

1.方程的概念：含有未知数的等式叫作方程。

2.方程与等式的区别：方程是等式，但等式中不一定含有未知数，即等式不一定是方程。

3.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。

4.判断一个数（或一组数）是不是某方程的解，只需看两点：

（1）它是方程中的未知数的值；

（2）将它分别代入方程的左右两边，若左边等于右边，则它是方程的解，否则不是。

5.解方程：求方程解的过程叫作解方程。

6.方程的解和解方程的区别：方程的解是一个结果，解方程则是得到这个结果的一个过程。

7.一元一次方程：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1，这样的整式方程叫作一元一次方程。

8.一元一次方程知识拓展：

（1）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数；

（2）一元一次方程满足3个条件：

①是整式方程；

②只含有一个未知数；

③未知数的次数是1.

（3）一元一次方程的标准形式：axb0(a0,a、b是已知数)。

知识点二：解一元一次方程与一元一次方程的应用

一、解一元一次方程

1.移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项，注意移项要变号。

2.解一元一次方程的步骤：

（1）去分母：把方程两边都乘以各分母的最小公倍数（去分母时，若分子是多项式，要添括号）；

（2）去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（不要漏乘括号里的项，不要弄错符号）；

（3）移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边（注意移项要变号）；

（4）合并同类项：把等号两边的同类项分别合并，化成“axb”的形式（a0）；

b

（5）系数化为1：方程两边同除以未知数的系数a得方程的解为x。

a

二、一元一次方程的应用

（一）一元一次方程解应用题的常见类型有：

（1）和、差、倍、分问题：和、差、倍、分对应两个量之间的加、减、乘、除，解题时要注意弄清倍、分

关系和多少关系等；

（2）增长（减少）率问题：增长后的量=原有量×（1+增长率）；降低后的量=原有量×（1-降低率）；

（3）等积变形问题：长方形体积=长×宽×高；圆柱体积=r2h；

（4）行程问题：路程=速度×时间；快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离（相向而行）；快车行驶路程-慢

车行驶路程=原距离（同向而行）。

（5）航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度；

（6）调配问题：从调配后的数量关系中找等量关系；

（7）比例分配问题：全部数量=各种成分的数量之和；

（8）年龄问题：大小两个年龄的差不会变；

（9）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总

工作量；一般情况下，把总工作量设为1.

（10）利润问题：商品的售价=商品的标价×折扣；商品的利润=商品售价-商品进价；商品的利润率

商品利润

=×100%；

商品进价

（11）数字问题：设x、y分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为10yx；

（12）储蓄问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×（1+利率×期数）；

溶质质量

（13）浓度问题：溶液质量=溶质质量+溶剂质量；百分比浓度=100%；溶质质量=溶液质量×

溶液质量

百分比浓度。

（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求

的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求

解、作答，即设、列、解、答．

列一元一次方程解应用题的五个步骤

1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．

2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．

3．列：根据等量关系列出方程．

4．解：解方程，求得未知数的值．

5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．

知识点三：二元一次方程（组）及其解法

（一）二元一次方程

1.二元一次方程的定义

含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．

二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数

都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．

2.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解。

（二）二元一次方程组

1.概念：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组；组成方程组的两

5x3y9

个方程不必同时含有两个未知数，例如：也是二元一次方程组。

72x6

axbyc

二元一次方程组的一般形式为：111

2.（其中a1、a2、b1、b2不同时为0）

a2xb2yc2

3.如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么他们也组成一个二元一次方程组。

4.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解。

axbyc

二元一次方程组111解的情况：

（其中a1、a2、b1、b2不同时为0）

a2xb2yc2

ab

（1）当11时，方程组有唯一的一组解；

a2b2

abc

（2）当111时，方程组无解；

a2b2c2

abc

（3）当111时，方程组有无数组解。

a2b2c2

（三）消元—解二元一次方程组

1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为

我们熟悉的一元一次方程，可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数。这种将未知数由多化少，

逐一解决的思想，叫作消元思想。

2.代入消元法

（1）定义：在二元一次方程组中，将其中一个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，

再代入另一个方程中，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种解方程组的方法称为代入消元

法。

（2）代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：①变形；②代入；③解方程；④求值；⑤联立。

（3）代入消元法的技巧：

①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；

②若方程组中有未知数的系数为1（或-1）的方程，则选择系数为1（或-1）的方程进行变形比较简便；

③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1（或-1），选系数较简单的方程和系数较简单的未知数变

形比较简便。

3.用加减消元法解二元一次方程组

（1）定义：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减从

而消去这个未知数，得到一个一元一次方程；这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法。

（2）加减法解二元一次方程组的一般步骤：①变形；②加减；③解方程；④求值；⑤联立。

（3）加减法的技巧：

①当方程组中两个方程的同一个未知数的系数的绝对值相等时，可直接用加减法进行消元；

②当方程组的两个方程中同一个未知数的系数成整数倍时，可把其中一个方面的两边乘以倍数，使这个未

知数的系数相同或相反，然后运用加减法消去这个未知数。

③当方程组中两个未知数的系数均不成整数倍时，一般选择系数较为简单的未知数消元，将两个方程分别

乘以某个数，使该未知数的系数的绝对值相等，再加减消元求解。

（四）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：

（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．

（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．

（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．

（4）求解．

（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．

（五）列二元一次方程组解应用题的常见类型

（1）和差倍分问题：增长量=原有量×增长率；较大量=较小量+多余量；总量=倍数×倍量；

（2）产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是加工总量成比例；

（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；各部分工作量之和=总量；

利润

（4）利润问题：商品售价=标价×折扣率；商品利润=商品售价-商品进价；利润率=100%；

进价

（5）行程问题：速度×时间=路程；顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度；

（6）方案问题：在解决问题时，常常需合理安排，需要从几种方案中选择最佳方案，方案选择题的题干较

长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案得出最佳方案。

知识模块二：分式方程

知识点一：分式方程

求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．

注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生

增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．

知识点二：分式方程的增根

（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或

是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．

（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未

知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式

方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是

原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．

（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果

为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．

知识点三：解分式方程

（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．

（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：

①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．

②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．

所以解分式方程时，一定要检验．

知识点四：换元法解分式方程

1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．

换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对

象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．

2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简

化问题，当然有时候要通过变形才能发现．

知识点五：解分式方程应用题

1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．

必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位

等．

2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时

间等等．

列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．

知识模块三：一元二次方程

知识点一：一元二次方程

（1）一元二次方程的定义：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．

（2）概念解析：

一元二次方程必须同时满足三个条件：

①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数是2．

（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的

最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．

知识点二：一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解

也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

2

（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax+bx+c＝0（a≠0）

的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．

22

ax1+bx1+c＝0（a≠0），ax2+bx2+c＝0（a≠0）．

知识点三：配方法解一元二次方程

（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫

配方法．

（2）用配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方

程无实数解．

知识点四：因式分解法解一元二次方程

（1）因式分解法解一元二次方程的意义

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个

因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二

次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．

（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，

得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．

知识点五：根的判别式

利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．

一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：

①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△＜0时，方程无实数根．

上面的结论反过来也成立．

知识点六：一元二次方程的应用

1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验

和作答．

2、列一元二次方程解应用题中常见问题：

（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．

（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次

增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．

（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、

梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，

列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．

（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，

可运用直角三角形的性质列方程求解．

【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”

1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．

2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．

3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．

4．解：准确求出方程的解．

5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．

6．答：写出答案．

知识模块四：一次不等式（组）

知识点一：不等式的基本性质

（一）不等式

1.一般地，用符号“<”、“>”、“≥”、“≤”表示大小关系的式子叫作不等式，用“≠”表示不等关系

的式子也是不等式。

2.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解；

3.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集；

4.不等式解集的表示方法：

（1）用最简的不等式表示，一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围；

（2）用数轴表示，不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，形象的表明不等式的无限个解（注意：边

界点和方向）。

①确定边界点：若边界点是不等式的解，则用实心点；若边界点不是不等式的解，则用空心点；②确定方

向：对边界点a而言，当xa或xa时，向右画；当xa或xa时，向左画。

（二）不等式的性质

1.不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

2.不等式的基本性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3.不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

知识点二：一元一次不等式（组）及其应用

（一）一元一次不等式

1.一元一次不等式的概念：一般地，只含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫作一元一次不等式。

2.一元一次不等式与一元一次方程的区别与联系：

（1）相同点：二者都是只含有一个未知数，且未知数的次数为1，左边和右边都是整式；

（2）不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，

由等号连接，等号没有方向。

（二）一元一次不等式的解法

1.解不等式：求不等式的解集的过程叫作解不等式。

2.解一元一次不等式的一般步骤：

①去分母：防止漏乘不含分母的项，乘以（或除以）负数时，不等号要改变方向，分子是多项式时，须加

括号；

②去括号：防止漏乘括号内的项和出现符号错误；

③移项：过了不等号的项要变号；

④合并同类项：防指计算错误；

⑤系数化为1：除以负数时要改变不等号的方向。

（三）一元一次不等式组

1.一元一次不等式组的概念：一般地关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元

一次不等式组。（这几个不等式必须含有同一个未知数）

2.解一元一次不等式组：

（1）一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫作这个一元一次不等

式组的解集。

（2）由2个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况：同小取小；同大取大；大小小大取中间，大大

小小取不到。

（3）一元一次不等式组的解法：

第一步：分别求出不等式组中各不等式的解集；

第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来；

第三步：在数轴上找出各不等式的解集的公共部分，这个公共部分就是这个不等式组的解集。

3.一元一次不等式（组）的应用：审题设未知数找不等关系列不等式（组）解不等式（组）

检验回答

考点一：一元一次方程的解法

【典例1】（2024·海南·中考真题）若代数式x3的值为5，则x等于（）

A．8B．8C．2D．2

【答案】A

【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项

【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意可知x35，解方程即可得到答案．

【详解】解：∵代数式x3的值为5，

∴x35，

解得x8，

故选：A．

【典例2】（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”

三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（）

A．xyB．x2yC．x4yD．x5y

【答案】C

【知识点】等式的性质

【分析】本题考查等式的性质，设“▲”的质量为a，根据题意列出等式xyy2a，xax2y，然后

化简代入即可解题．

【详解】解：设“▲”的质量为a，

由甲图可得xyy2a，即x2a，

由乙图可得xax2y，即a2y，

∴x4y，

故选C．

a2b,a0,

【典例3】（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：ab例如：24(2)240，

ab,a0,

3

23231．若x1，则x的值为．

4

17

【答案】或

24

【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元二次方程——直接开平方法

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据

新定义运算法则列出方程求解即可．

a2b,a0,

【详解】解：∵ab

ab,a0,

3

而x1，

4

3

∴①当x0时，则有x21，

4

1

解得，x；

2

3

②当x0时，x1，

4

7

解得，x

4

17

综上所述，x的值是或，

24

17

故答案为：或．

24

考点二：二元一次方程（组）的解法

【典例1】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”

的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中

笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（）

A．5B．4C．3D．2

【答案】B

【知识点】二元一次方程的解

【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．

设购买x支笔记本，y个碳素笔，利用总价单价数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，再结合x，

y均为正整数，即可得出购买方案的个数．

【详解】解：设购买x支笔记本，y个碳素笔，

依题意得：3x2y28，

3

y14x．

2

又x，y均为正整数，

x2x4x6x8

或或或，

y11y8y5y2

共有4种不同的购买方案．

故选：B．

【典例2】（2024·四川宜宾·中考真题）某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千

克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则

所装的箱数最多为（）

A．8箱B．9箱C．10箱D．11箱

【答案】C

【知识点】二元一次方程的解

【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解问题，设用x个大箱，y个小箱，利用每个大箱装4千克荔

枝，每个小箱装3千克荔枝，建立方程，求出方程的正整数解可得答案．

【详解】解：设用x个大箱，y个小箱，

∴4x3y32，

323y3

∴x8y，

44

∴方程的正整数解为：

x5x2

或，

y4y8

∴所装的箱数最多为2810箱；

故选C．

【典例3】（2024·湖北·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有

牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值

金10两．牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y

两，则可列方程组是（）

5x2y102x5y10

A．B．

2x5y85x2y8

5x5y105x2y10

C．D．

2x5y82x2y8

【答案】A

【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、古代问题(二元一次方程组的应用)

【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题

的关键．因为每头牛值金x两，每头羊值金y两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，

共值金8两”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解．

5x2y10

【详解】解：根据题意得：．

2x5y8

故选：A．

2xy5

【典例4】（2024·浙江·中考真题）解方程组：

4x3y10

1

x

【答案】2

y4

【知识点】加减消元法

11

【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用①×3＋②得，10x5，解得x，再把x代入①求出y4

22

即可.

2xy5①

【详解】解：

4x3y10②

①×3＋②得，10x5

1

解得x，

2

1

把x代入①得1y5，

2

解得y4

1

x

∴2

y4

考点三：分式方程及其解法

kx3

【典例1】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x的分式方程2无解，则k的值为

x33x

（）

A．k2或k1B．k2C．k2或k1D．k1

【答案】A

【知识点】分式方程无解问题

【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去分

母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可．

【详解】解：去分母得，kx2(x3)3，

整理得，(k2)x9，

当k2时，方程无解，

当k2时，令x3，

解得k1，

kx3

所以关于x的分式方程2无解时，k2或k1．

x33x

故选：A．

33

【典例2】（2024·江苏徐州·中考真题）分式方程的解为．

x12x

【答案】

【知识点】�=解1分式方程

【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，

解得x的值后进行检验即可．

【详解】解：原方程去分母得：6x3x1，即6x3x3

解得：，

检验：当�=1时，2xx10，

故原方程的�=解1为，

故答案为：�．=1

�=1xmx

【典例3】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程3的解为正整数，则整数m的值为．

x11x

【答案】1

【知识点】根据分式方程解的情况求值

【分析】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数m的值即可．

xmx

【详解】解：3，

x11x

xmx

化简得：3，

x1x1

去分母得：x3x1mx，

移项合并得：2mx3，

3

解得：x，

2m

由方程的解是正整数，得到x为正整数，即2m1或2m3，

解得：m1或m1（舍去，会使得分式无意义）．

故答案为：1．

13

【典例4】（2024·广东广州·中考真题）解方程：．

2x5x

【答案】x3

【知识点】解分式方程

【分析】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键，注意检验．依次去分母、去括号、

移项、合并同类项求解，检验后即可得到答案．

13

【详解】解：，

2x5x

去分母得：x32x5，

去括号得：x6x15，

移项得：x6x15，

合并同类项得：5x15，

解得：x3，

经检验，x3是原方程的解，

该分式方程的解为x3．

考点四：一元二次方程的解法

【典例1】（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程x22x20230时，将它转化为(xa)2b

的形式，则ab的值为（）

A．2024B．2024C．1D．1

【答案】D

【知识点】解一元二次方程——配方法、配方法的应用

【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键．

2

用配方法把x22x20230移项，配方，化为x12024，即可．

【详解】解：∵x22x20230，

移项得，x22x2023，

配方得，x22x120231，

2

即x12024，

∴a1，b2024，

2024

∴ab11．

故选：D．

【典例2】（2024·山东潍坊·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2mxn2mn10，其中m,n满足

m2n3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（）

A．无实数根B．有两个相等的实数根

C．有两个不相等的实数根D．无法确定

【答案】C

【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况

【分析】本题本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2bxc0a0，若

b24ac0，则方程有两个不相等的实数根，若b24ac0，则方程有两个相等的实数根，若

22

b24ac0，则方程没有实数根，据此先求出m2n3，再求出Δm4nmn1的符号即可

得到结论．

【详解】解：∵m2n3，

∴m2n3，

2

∴Δm4n2mn1

m24n24mn4，

2

2n34n24n2n34

4n212n94n28n212n4

50，

∴原方程有两个不相等的实数根，

故选：C．

【典例3】（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答

案小1，则a（）

A．1B．21C．21D．1或21

【答案】C

【知识点】公式法解一元二次方程、其他问题(一元二次方程的应用)

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．

由题意得方程2a1a2，利用公式法求解即可．

【详解】解：由题意得：2a1a2，

解得：a12或a12（舍）

故选：C．

【典例4】（2024·吉林·中考真题）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水

深度，其示意图如图②，其中ABAB，ABBC于点C，BC0.5尺，BC2尺．设AC的长度为x尺，

可列方程为．

2

【答案】x222x0.5

【知识点】列方程、用勾股定理构造图形解决问题

【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键．

设AC的长度为x尺，则ABABx0.5，在Rt△ABC中，由勾股定理即可建立方程．

【详解】解：设AC的长度为x尺，则ABABx0.5，

∵ABBC，

由勾股定理得：AC2BC2AB2，

2

∴x222x0.5，

2

故答案为：x222x0.5．

【典例5】（2024·江苏徐州·中考真题）关于x的方程x2kx10有两个相等的实数根，则k值为．

【答案】k2

【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，当Δ0时，一元

二次方程有两个不相等的实数根；当Δ0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ0时，一元二次方

程没有实数根．

【详解】解：∵方程x2kx10有两个相等的实数根，

∴Δ0，即k24110，

解得：k2，

故答案为：k2

考点五：一元二次方程根的判别式及根与系数关系

2

【典例1】（2024·山东日照·中考真题）已知，实数x1,x2x1x2是关于x的方程kx2kx10k0的

11

两个根，若2，则k的值为（）

x1x2

11

A．1B．1C．D．

22

【答案】B

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

2

【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程axbxc0a0，若x1，x2

11

bc1

是该方程的两个实数根，则x1x2，x1x2，据此得到x1x22,x1x2，再由2得到

aakx1x2

2k2，据此可得答案．

2

【详解】解：x1,x2是关于x的一元二次方程kx2kx10k0的两个根，

1

xx2,xx．

1212k

11

2，

x1x2

xx

122，

x1x2

2

2

∴1

k

2k2，

解得k1，

经检验，k1是原分式方程的解，

故选：B．

【典例2】（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程x22024x40的两个解，则a22023ab的

值为．

【答案】2028

【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系

【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系

数关系求得a22024a4，ab2024，再代值求解即可．

【详解】解：∵a和b是方程x22024x40的两个解，

∴a22024a40，ab2024，

∴a22024a4，

∴a22023ab

a22024aab

42024

42024

2028，

故答案为：2028．

考点六：一次不等式（组）的解法及解集表示（高频）

【典例1】（2024·广东广州·中考真题）若ab，则（）

A．a3b3B．a2b2C．abD．2a2b

【答案】D

【知识点】不等式的性质

【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．根据不等式的基本性质

逐项判断即可得．

【详解】解：A．∵ab，

∴a3b3，则此项错误，不符题意；

B．∵ab，

∴a2b2，则此项错误，不符题意；

C．∵ab，

∴ab，则此项错误，不符合题意；

D．∵ab，

∴2a2b，则此项正确，符合题意；

故选：D．

3x22x①

【典例2】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在

2x1x1②

数轴上表示正确的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集

【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再在

数轴上表示出不等式组的解集即可．

3x22x①

【详解】解：

2x1x1②

解不等式①得，x2，

解不等式②得，x3，

所以，不等式组的解集为：3x2，

在数轴上表示为：

故选：C．

【典例3】（2024·山东·中考真题）根据以下对话，

给出下列三个结论：

①1班学生的最高身高为180cm；

②1班学生的最低身高小于150cm；

③2班学生的最高身高大于或等于170cm．

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A．①②B．①③C．②③D．①②③

【答案】C

【知识点】代入消元法、用一元一次不等式解决实际问题

【分析】本题考查了二元一次方程、不等式的应用，设1班同学的最高身高为xcm，最低身高为ycm，2

班同学的最高身高为acm，最低身高为bcm，根据1班班长的对话，得x180，xa350，然后利用不

等式性质可求出a170，即可判断①，③；根据2班班长的对话，得b140，yb290，然后利用不等

式性质可求出y150，即可判断②．

【详解】解：设1班同学的最高身高为xcm，最低身高为ycm，2班同学的最高身高为acm，最低身高为bcm，

根据1班班长的对话，得x180，xa350，

∴x350a

∴350a180，

解得a170，

故①错误，③正确；

根据2班班长的对话，得b140，yb290，

∴b290y，

∴290y140，

∴y150，

故②正确，

故选：C．

2x1x

【典例4】（2024·内蒙古·中考真题）关于x的不等式1的解集是，这个不等式的任意

32

一个解都比关于x的不等式2x1xm的解大，则m的取值范围是．

【答案】x8m7

【知识点】求一元一次不等式的解集

【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先分别求出不等式的解集，

再根据题意列出关于m的不等式，求解即可得．

2x1x

【详解】解：1，

32

22x163x，

4x263x，

x8．

解不等式2x1xm得：x1m，

2x1x

∵不等式1任意一个解都比关于x的不等式2x1xm的解大，

32

∴1m8，

解得m7，

故答案为：x8；m7．

【典例5】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）对于实数a，b定义运算“※”为a※ba3b，例如

5※253211，则关于x的不等式x※m2有且只有一个正整数解时，m的取值范围是．

1

【答案】0m

3

【知识点】求一元一次不等式的整数解、求不等式组的解集

【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组，根据新定义和正整数解列出关于m的

不等式组是解题的关键．根据新定义列出不等式，解关于x的不等式，再由不等式的解集有且只有一个正整

数解得出关于m的不等式组求解可得．

【详解】解：根据题意可知，x※mx3m2

解得：x23m

x※m2有且只有一个正整数解

23m1①

23m2②

1

解不等式①，得：m

3

解不等式②，得：m0

1

0m

3

1

故答案为：0m．

3

1x

【典例6】（2024·江苏盐城·中考真题）求不等式x1的正整数解．

3

【答案】1，2．

【知识点】求一元一次不等式的解集、求一元一次不等式的整数解

【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集以及正整数解，先求出不等式的解集，进而可得到不等式的

正整数解，正确求出一元一次不等式的解集是解题的关键．

【详解】解：去分母得，1x3x1，

去括号得，1x3x3，

移项得，x3x31，

合并同类项得，2x4，

系数化为1得，x2，

∴不等式的正整数解为1，2．

考点七：方程（组）的含参问题（方法技巧）

【典例1】（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有【a，b】★cacb，其中等式右

面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★12135．若关于x的方程【x,x1】★mx0有两个不相等

的实数根，则m的取值范围为（）

1111

A．mB．mC．m且m0D．m且m0

4444

【答案】D

【知识点】新定义下的实数运算、一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数

【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到mx2x10，再由有两个不相等

的实数根得到124m10，且m0，即可得到答案.

【详解】解：∵【x,x1】★mx0，【a，b】★cacb

∴xmxx10，即mx2x10，

∵关于x的方程【x,x1】★mx0有两个不相等的实数根，

∴124m10，且m0，

1

解得m且m0，

4

故选：D．

axybx3

【典例2】（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、

cxydy2

ax2y2ab

y的方程组的解是．

cx2y2cd

x5

【答案】

y1

【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、加减消元法

x3axyb3a2b

【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把，代入，得到，

y2cxyd3c2d

ax2y2abax2y5a2①

整体代入中，得到方程组，加减消元法解方程组即可．

cx2y2cdcx2y5c2②

x3axyb3a2b

【详解】解：把代入，得：，

y2cxyd3c2d

ax2y2ab

∵，

cx2y2cd

ax2y2a3a2a