2025年中考数学一轮知识梳理专题01 数与式 （4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）解析版

专题01数与式

目录

01理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。

02盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（4大模块知识梳理）

知识模块一：实数的有关概念及计算

知识模块二：整式及因式分解

知识模块三：分式

知识模块四：二次根式

03究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（10大基础考点+1方法技巧）

考点一：实数的分类及正负数的意义

考点二：实数的相关概念及科学记数法

考点三：平方根、算术平方根、立方根与非负数的性质

考点四：二次根式及其运算

考点五：实数的运算及大小比较（高频）

考点六：代数式及求值

考点七：整式的相关概念及运算（含幂的运算）

考点八：整式的化简及求值（高频）

考点九：因式分解（高频）

考点十：分式

考点十一：实数计算中的规律问题的解决方法（方法技巧）

04辨·易混易错：点拨易混易错知识点，冲刺高分。（4大易错点）

易错点1：平方根、算术平方根、立方根的区别（填空题必考）

易错点2：整式的化简求值

易错点3：分式的有关概念

易错点4：分式的化简求值

知识模块一：实数的有关概念及计算

知识点一：实数的分类

1、按实数的定义分类：2、按大小分类：

正整数正整数

整数正有理数

0正实数正分数

有理数负整数

正无理数

实数正分数

分数实数0

负分数

负整数

正无理数负有理数

负实数负分数

无理数

负无理数

负无理数

知识点二：实数的相关概念：正负数、数轴、相反数、绝对值、倒数（熟记）

知识点概念补充与拓展

大于0的数叫做正注意：负数前面的负号“-”不能省略.0既不是正数，也不是负数.

数.正数前面加上符正负数的意义：表示具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，通

正负数号“-”的数叫负数.常先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．

数轴上的点与实数具有一一对应的关系.

将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数

规定了原点、正方大.

数轴向、单位长度的直在数轴上距原点n个单位长度的点有2个.

线叫做数轴.数轴中点公式：数轴上有两点A、B分别表示的数为x，y，若C是A、B

两点的中点，C所表示的数为c，则有：2c=x+y.

数轴两点距离=数轴上右侧的点所表示的数-左侧的点表示的数（简称大数

-小数）.

若a、b互为相反数，则a+b=0（反之亦成立）.

互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且位于

只有符号不同的两原点的两侧.

个数称为互为相反正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.相反数是本

相反数数.身的数是0.

（a+b）的相反数是-（a+b），（a-b）的相反数是-（a-b）或b-a.

多重符号化简口诀：数负号个数，奇负偶正.

两个正数比较，绝对值大数越大；两个负数比较，绝对值大的反而小.

在数轴上表示数a正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数

的点到原点的距离若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），则a≤0.

叫做a的绝对值，若a=b或a=-b，则|a|=|b|（反之亦成立）.

绝对值记为|a|．若|a|+|b|=0，则a=0且b=0（a、b可以是多项式）.

几何意义补充：|x|=|x-0|数轴上表示x的点到原点的距离，|x-1|数轴上表

示x的点与表示1的点之间的距离，|x+2|数轴上表示x的点与表示-2的点

之间的距离.

0没有倒数.

1除以一个不等于

若、互为倒数，则

零的实数所得的abab=1

倒数

商，叫做这个数的互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）.

倒数．

倒数是本身的只有1和-1.

n个相同的因数

a负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数

相乘记作an，其中

乘方a为底数，n为指正数的任何次幂都是正数.

数，乘方的结果叫

规定：0（）

做幂.a=1a≠0

知识点三：实数的运算

1、科学记数法（掌握）与近似数：

知识点概念补充与拓展

用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键.

当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n

等于原数的整数位数减

科学记数法的表示形式为1.

科学记数当原数绝对值小于时，写成-n的形式，其中＜，等

a×10n的形式，其中1≤|a|1a×101≤|a|10n

法于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面

＜10，n为整数．

的零）.

小技巧：1万=104，1亿=1万×1万=108.

近似数与准确数的接近程近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.

度通常用精确度来表示，

一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数

近似数一般由四舍五入取

近似数字都是这个数的有效数字.

得，四舍五入到哪一位，

就说这个近似数精确到哪

一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字.

一位.

2、平方根、算术平方根、立方根与非负数的性质（理解）

知识点概念补充与拓展

如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，

算术那么这个正数x叫做a的算术平方根.正数只有一个算术平方根，且恒为正；0的算术平方根为

平方根0；负数没有算术平方根

记为a，a叫做被开方数.

如果一个数的平方等于a，那么这个数正数有两个平方根，且它们互为相反数.

平方根就叫做a的平方根或二次方根，即如果

0的算术平方根为0；负数没有算术平方根.

x2=a，那么x叫做a的平方根.

正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一

如果一个数的立方等于a，即x3=a，那

立方根个负的立方根．

么x叫做a的立方根或三次方根.

互为相反数的两个数的立方根互为相反数

非负数有三种形式：

①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；

②任何一个实数a的平方是非负数，即≥0；

实数的在实数范围内，正数和零统称为非负③任何非负数的算术平方根是非负数，即2

�≥0.

非负性数非负数具有以下性质：①非负数有最小值零；

.�

②非负数之和仍是非负数；

③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.

3、实数的运算法则及大小比较（掌握）

（一）常见的实数运算（常出现在选择题）

运算法则

乘方

nann为偶数

aaaaa，(a)n

n

n个aan为奇数

零次幂

a01(a0)

负整数指数幂11

an（a0，n为正整数），特别地：a1(a0).

ana

ab,ab

去绝对值符号

|ab|0,ab

ba,ab

-1的奇偶次幂

1，n为偶数

(1)n

1，n为奇数

三角函数30°45°60°

1

sin23

222

cos321

222

3

tan13

3

（二）实数的四则运算法则（穿插在各个题型中）

(1)实数加法法则：

①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为

相反数的两个数相加得0；

③一个数同0相加，仍得这个数.

(2)实数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.

(3)实数乘法法则：

①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与0相乘，都得0；

②几个不是0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数的个数为奇数时，积是负数，当负因数

的个数为偶数时，积是正数；

③几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0.

(4)实数除法法则：

①除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.0不能作除数；

②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.

(5)乘方的运算法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整

数次幂都是0.

4、实数比较大小的6种基础方法：

数轴比较法：将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.

类别比较法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．

作差比较法：若a，b是任意两个实数，则①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a<b．

平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2a>b；

②对任意负实数a，b，若a2>b2a<b．

11

倒数比较法：若>，ab>0，则a<b．

ab

b

作商比较法：①任意实数a，b，=1a=b；

a

aa

②任意正实数a，b，>1a>b；<1a＜b；

bb

aa

③任意负实数a，b，>1a<b；<1a＜b.

bb

知识模块二：整式及因式分解

知识点一：代数式、代数式的值

1、代数式的概念

用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数与字母连接而成的式子叫做代数式.单独的一个数或者

一个字母也是代数式．

2、代数式的值

用具体数代替代数式中的字母,按运算顺序计算出的结果叫做代数式的值.求代数式的值分两步:第一步,代数;

第二步,计算.要充分利用“整体”思想求代数式的值.

知识点二：整式的有关概念（常出现在选择题、填空题）

1、整式：单项式与多项式统称为整式．

2、单项式：含有数或字母的积的代数式叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．单．项．式．中．的．数．

字．因．式．叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所．有．字．母．的．指．数．的．和．叫做这个单项式的次数．

3、多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常

数项．多项式里，次．数．最．高．项．的．次．数．，叫做这个多项式的次数．多项式中单．项．式．的．个．数．，就是这个多项式

的项数．

4、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．

5、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项后，所得项的系数是合并

前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变．

知识点三：整式的运算（贯穿整个代数部分）

1、整式的加减运算：

①概念：整数的加减本质是合并同类项，如果有括号要先去括号，再合并同类项.

②去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外

的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.

③添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，

括到括号里的各项都改变符号.

2、幂的运算（多出选择题）：

正整数幂的运算性质：amanamn；(am)namn；(ab)mambm；amanamn(a≠0，m＞n)．其

中m、n都是正整数．

3、整式的乘除运算

整式的乘除运算步骤说明补充说明及注意事项

①将单项式系数相乘作为积的系数;

②相同字母的因式，利用同底数幂的乘法，1）实质:乘法的交换律和同底数幂的乘法法

单项式乘单

作为积的一个因式;则的综合应用.

项式

③单独出现的字母，连同它的指数，作为积2）单项式乘单项式所得结果仍是单项式.

的一个因式.

1）单项式乘多项式实质上是转化为单项式

单项式乘多①先用单项式和多项式的每一项分别相乘；乘以单项式.

项式②再把所得的积相加.2）单项式乘多项式的结果是多项式，积的

项数与原多项式的项数相同.

运用法则时应注意以下两点：

①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不

①先用一个多项式的每一项与另一个多项重不漏；

多项式乘多

式的每一项相乘，②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都

项式

②再把所得的积相加．应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项

式，在合并同类项之前，积的项数应等于原

多项式的项数之积．

①将单项式系数相除作为商的系数；

单项式除单②相同字母的因式，利用同底数幂的除法，

项式作为商的一个因式；

③只在被除式里含有的字母连同指数不变.

①先把这个多项式的每一项除以这个单项

多项式除单

式；

项式

②再把所得的商相加

整式的混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的.

知识点四：乘法公式（熟记）

1、平方差公式：(ab)(ab)a2b2（注意公式逆应用）.

2、完全平方公式：(ab)2a22abb2（注意公式逆应用）.

知识点五：因式分解（掌握）

1、定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解．

2、方法：（1）提公因式法：mambmcm(abc)；

（2）公式法：a22abb2(ab)2；a2b2(ab)(ab)；

（3）十字相乘法：x2(ab)xab(xa)(xb)．

3、分解因式的基本步骤：

（1）先看各项有没有公因式，若有，则先提公因式；

（2）再看余下的式子能否用公式法继续分解，直至不能再分解为止．

简记为一“提”、二“套”、三“检查．

知识模块三：分式

知识点一：分式的概念与性质

1、分式的概念

A

形如的式子叫做分式，其中A和B均为整式，B中含有字母，注意B的值不能为零．

B

2、分式的基本性质

分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．

AAMAAM

，．(其中M是不等于零的整式)

BBMBBM

知识点二：分式的运算法则（掌握）

ababacadbcacac

①加减法：，；②乘法：；

cccbdbdbdbd

n

acadadaan

③除法：；④乘方：（n为正整数）．

bdbcbcbbn

知识模块四：二次根式

知识点一：二次根式的相关概念与性质

1、二次根式的概念：形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．

2、最简二次根式和同类二次根式的概念

最简二次根式是指满足下列条件的二次根式：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数

或因式．

几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．

3、二次根式的主要性质

2

（1）a0(a0)；（2）aa(a0)；

2a(a0)

（3）a|a|；

a(a0)

（4）积的算术平方根的性质：abab(a0，b0)；

aa

（5）商的算术平方根的性质：(a0，b0).

bb

知识点二：二次根式的运算（掌握）

1、二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并．

2、二次根式的乘除：二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变．

考点一：实数的分类及正负数的意义

5

【典例1】（2024•凉山州）下列各数中：5，，3，0，25.8，2，负数有()

7

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数．

【解答】解：50，是正数；

5

0，是负数；

7

30，是负数；

0既不是正数，也不是负数；

25.80，是负数；

20，是正数；

5

负数有，3，25.8，共3个．

7

故选：C．

【点评】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数．

【典例2】（2024秋•吴中区校级月考）2024年5月3日，嫦娥六号探测器开启世界首次月球背面采样返回

之旅，月球表面的白天平均温度是零上126C，记作126C，夜间平均温度是零下150C，应记作()

A．150CB．150CC．276CD．276C

【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．

【解答】解：“正”和“负”相对，所以，2024年5月3日，嫦娥六号探测器开启世界首次月球背面采样返回

之旅，月球表面的白天平均温度是零上126C，记作126C，夜间平均温度是零下150C，应记作150C．

故选：B．

【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意

义的量．

考点二：实数的相关概念及科学记数法

【典例1】（2024•雅安）2024的相反数是()

11

A．2024B．2024C．D．

20242024

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．

【解答】解：2024的相反数是2024，

故选：B．

【点评】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．

【典例2】（2024•成都）5的绝对值是()

11

A．5B．5C．D．

55

【分析】根据绝对值的性质求解．

【解答】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得|5|5．

故选：A．

【点评】此题主要考查的是绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；

0的绝对值是0．

【典例3】（2024•包头）若m，n互为倒数，且满足mmn3，则n的值为()

11

A．B．C．2D．4

42

【分析】根据倒数的定义可得mn1，然后求出m的值，即可得出n的值．

【解答】解：m与n互为倒数，

mn1，

mmn3，

m2，

1

n．

2

故选：B．

【点评】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．

【典例4】（2023•鼓楼区校级三模）明朝地理学家徐霞客从小立志，朝碧海而暮苍梧，一生志在四方，踏

遍锦绣山河，编撰了60余万字的地理名著《徐霞客游记》，其中60万用科学记数法可表示为．

【分析】把一个大于10的数记成a10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数

法叫做科学记数法，由此即可得到答案．

【解答】解：60万6000006105．

故答案为：6105．

【点评】本题考查科学记数法—表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．

【典例5】（2024•苏州）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是()

A．3B．1C．2D．3

【分析】根据|3|3，|1|1，|2|2，|3|3，而321，可知1与原点距离最近．

【解答】解：|3|3，|1|1，|2|2，|3|3，

而321，

1与原点距离最近，

故选：B．

【点评】本题考查的是数轴，熟练掌握数轴上点的分布特点是解题的关键．

1

【典例6】（2024•科右前旗模拟）点a在数轴上的位置如图所示，试比较a、、|a|大小关系正确的是()

a

1111

A．a|a|B．a|a|C．a|a|D．|a|a

aaaa

1

【分析】根据图示，可得：1a0，据此判定出a、、|a|大小关系即可．

a

【解答】解：1a0，

1

1，0|a|1，

a

1

a|a|．

a

故选：B．

【点评】本题考查了数轴，有理数大小比较，理清a的取值范围是解答本题的关键．

【典例7】（2024秋•成华区校级月考）如图，将一个半径为1个单位长度的圆片上的点A放在原点，并把

圆片沿数轴滚动1周，点A到达点A的位置，则点A表示的数是；若起点A开始时是与1重合

的，则滚动2周后点A表示的数是．

【分析】先求出圆的周长，再根据数轴的特点进行解答即可．

【解答】解：圆的半径为1个单位长度，

此圆的周长2，

当圆片向左滚动一周时，点A表示的数是2；当圆片向右滚动一周时，点A表示的数是2，

若起点A开始时是与1重合的，圆片向左滚动2周时，则A表示的数是14；圆片向右滚动2周时，A

表示的数是14，

故答案为：2或2；14或14．

【点评】本题考查的是实数与数轴的特点，熟知实数与数轴上的点是一一对应关系是解答此题的关键．

【典例8】（2024•河北）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为4，2，

32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12．

AB

（1）计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值；

AC

（2）当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值．

【分析】（1）计算4232即可，根据数轴上两点之间的距离公式先求出AB、AC的长，再计算比值即

可；

ABDE

（2）先求出DE、DF的长，根据题意列出，然后计算即可．

ACDF

【解答】解：（1）点A，B，C所对应的数依次为4，2，32，

A，B，C三点所对应的数的和为423230，

AB2(4)6，AC32(4)36，

AB61

；

AC366

（2）由数轴得，DEx0x，DF12012，

ABDE

由题意得，，

ACDF

1x

，

612

x2．

【点评】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键．

考点三：平方根、算术平方根、立方根与非负数的性质

【典例1】（2024•资阳）若(a1)2|b2|0，则ab．

【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．

【解答】解：(a1)2|b2|0，

a10，b20，

a1，b2，

ab2，

故答案为：2．

【点评】本题考查了非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二

次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．

【典例2】．“平方根”节是数学爱好者的节日，一个世纪只会出现9次，这一天的月份和日期的数字相同，

且恰好是当年年份最后两位数字的算术平方根，例如2016年的4月4日，请你再写出一个本世纪的“平方

根”节，年月日（题中示例除外）．

【分析】读懂题意按照题目的方式找一组年月日符合题意的即可．

【解答】解：例如1981年9月9日，

故答案为：1981，9，9．

【点评】本题考查了新定义，做题关键是认真读懂题意．

【典例3】（2024•成都）若m，n为实数，且(m4)2n50，则(mn)2的值为．

【分析】利用非负数的性质列出方程，求出方程的解得到m与n的值，代入原式计算即可得到结果．

【解答】解：m，n为实数，且(m4)2n50，

m40，n50，

解得m4，n5，

(mn)2(45)2121．

故答案为：1．

【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．

【典例4】（2024春•西城区校级期中）【阅读材料】

善于思考的小明通过观察下列各式的计算过程，找到了求较大数的立方根的一种方法：131，238，3327，

4364，53125，63216，73343，83512，93729．

（1）小明是这样求出493039的立方根的．他先估计493039的立方根的个位上的数字，由上面各式他猜想

出这个立方根的个位上的数字为，又由703493039803；猜想出493039的立方根的十位上的数字

为，从而得到493039的立方根；

【解决问题】

（2）请你根据（1）中小明的探究方法，完成如下填空：

①3238328，②30.571787．

【分析】（1）根据131，238，3327，4364，53125，63216，73343，83512，93729的

个位数字所呈现的规律，得到493039立方根的个位数字是9，再根据703493039803，得到493039立方

根的十位数字是7，进而得出答案；

（2）①由238328的个位数字是8可知238328的立方根的个位数字是2，再由603216000，703343000，

而216000238328343000得到238328的立方根的十位数字是6即可；

3

3571787571787

②仿照①的方法求出357178783，再由0.5717873求出答案即可．，

100000031000000

【解答】解：（1）由上面各式可得这个立方根的个位上的数字为9，又由703493039803；猜想出493039

的立方根的十位上的数字为7，从而得到493039的立方根是79，

故答案为：9，7；

（2）①由于238328的个位数字是8，由131，238，3327，4364，53125，63216，73343，

83512，93729可知，

238328的立方根的个位数字是2，

603216000，703343000，而216000238328343000，

238328的立方根的十位数字是6，

323832862，

故答案为：62；

②由于571787的个位数字是7，由131，238，3327，4364，53125，63216，73343，83512，

93729可知，

238328的立方根的个位数字是3，

803512000，903729000，而512000571787729000，

571787的立方根的十位数字是8，

357178783，

571787357178783

30.57178730.83，

100000031000000100

故答案为：0.83．

【点评】本题考查立方根，理解立方根的定义，掌握一个数立方根的个位数字所呈现的规律是正确解答的

关键》

考点四：二次根式及其运算

【典例1】（2024•北京）若x9在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．

【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．

【解答】解：根据题意得x90，

解得：x9．

故答案为：x9．

【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．

1

【典例2】（2024•淮安）计算：8．

2

【分析】本题需先对二次根式进行化简，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可求出结果．

1

【解答】解：8，

2

1

222，

2

2．

故答案为：2．

【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法，在解题时要能根据二次根式的乘法法则，求出正确答案是本

题的关键．

【典例3】（2023春•巨野县期末）下面是小华同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务．

1

计算：(21)24．

2

1

解:原式22214第一步

2

32222第二步

3第三步

任务一：以上步骤中，从第步开始出现错误，这一步错误的原因是．

任务二：请写出正确的计算过程．

任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意

的事项给其他同学提一条建议．

【分析】直接利用完全平方公式将原式化简，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．

【解答】解：任务一：一，没有将带分数化为假分数再化简，

故答案为：一，没有将带分数化为假分数再化简，

9

任务二：原式2221

2

32

322

2

2

3，

2

任务三：二次根号内是带分数，需要先化为假分数，再化简．

【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

【典例4】（2024•广州模拟）我国南宋著名数学家秦九韶也提出了利用三角形三边长a，b，c求三角形面

1a2b2c2

积的“秦九韶公式”，即S[a2b2()2]．已知在ABC中，a5，b6，c7，则b边

42

上的高为()

39263926

A．B．C．D．

3264

【分析】根据题意把a5，b6，c7代入求得ABC的面积，再利用面积公式即可求解．

【解答】解：由题意得，a25，b26，c27，

1a2b2c2

S[a2b2()2]

ABC42

1567

[56()2]

42

14

[30()2]

42

1

(304)

4

1

26，

2

1

26

39

b边上的高为2，

1

63

2

故选：A．

【点评】本题考查了二次根式的知识，掌握二次根式计算方法是解题关键．

1

【典例5】如果一个三角形的三边的长分别为a，b，c，设p(abc)，则有下列面积公式：

2

Sp(pa)(pb)(pc)（海伦公式）；

1a2b2c2

S[a2b2()2]（秦九韶公式）．

42

如果一个三角形的三边的长依次为5，6，7，利用两个公式分别求这个三角形的面积．

【分析】把a、b、c的值分别代入海伦公式和秦九韶公式，计算即可．

567

【解答】解：p9．

2

S9(95)(96)(97)

9432

66；

1a2b2c2

S[a2b2()2]

42

1526272

5262()2

22

1

30262

2

1

3624

2

1

626

2

66．

【点评】本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的运算法则和二次根式的性质是解决本题的关键．

考点五：实数的运算及大小比较

【典例1】（2024•吉林）若(3)□的运算结果为正数，则□内的数字可以为()

A．2B．1C．0D．1

【分析】将选项代入，得出运算结果即可．

【解答】解：(3)26，故A选项错误；

(3)13，故B选项错误；

(3)00，故C选项错误；

(3)(1)3，故D选项正确；

故选：D．

【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键．

【典例2】（2024•重庆）估计12(23)的值应在()

A．8和9之间B．9和10之间C．10和11之间D．11和12之间

【分析】先将式子化简，再根据2.462.5，得出式子的值的范围．

【解答】解：12(23)

23(23)

266，

5.7666.25，

5.7666.25，

2.462.5，

10.826611，

故选：C．

【点评】本题考查了无理数的大小估算，二次根式的混合运算，利用平方法估算无理数是解题的关键．

【典例3】（2024•思明区二模）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸

入盛满水的圆柱形烧杯中，量筒量得溢出水的体积为34ml，则该铁块棱长大小的范围是()

A．2cm~3cmB．3cm~4cmC．4cm~5cmD．5cm~6cm

【分析】运用立方根知识进行估算求解．

【解答】解：由题意得，该铁块棱长是334cm，

327334364，

33344，

该铁块棱长大小的范围是3cm~4cm，

故选：B．

【点评】此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用平方根知识进行求解．

【典例4】（2024•安徽）我国古代数学家张衡将圆周率取值为10，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的

2222

近似值为．比较大小：10（填“”或“”)．

77

2248448422

【分析】先计算出：(10)210，()2，而10，因此10．

749497

22484

【解答】解：(10)210，()2，

749

48422

10，10，故答案为：．

497

【点评】本题考查的是实数大小比较，熟练掌握其比较方法是解题的关键．

【典例5】（2024•陕西）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，2，1，1，2这五个数分别

填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以

是.（写出一个符合题意的数即可）

【分析】根据题意，填写数字即可．

【解答】解：解法一：由题意，填写如下：

10(1)0，20(2)0，满足题意，故答案为：0．

解法二：由题意，填写如下：

1(2)01，2(2)(1)1，满足题意，故答案为：2．

解法三：由题意，填写如下：

(1)201，(2)211，满足题意，故答案为：2．

【点评】本题考查了有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果．

【典例6】（2024•金水区校级二模）如图是在浦东陆家嘴明代陆深古墓中发掘出来的宝玉明白玉幻方．其

背面有方框四行十六格，为四阶幻方（从1到16，一共十六个数目，它们的纵列、横行与两条对角线上4

个数相加之和均为34)．小明探究后发现，这个四阶幻方中的数满足下面规律：在四阶幻方中，当数a，b，

c，d有如图1的位置关系时，均有abcd17．如图2，已知此幻方中的一些数，则x的值为．

【分析】根据小明的发现，将四阶幻方分解为三阶幻方进行研究，右图中给出数据，在实线的三阶区域内

有y右下角对应的是17y，在虚线的三阶区域内，2对应右下角的数是15，再根据每列和是34，即可求

解；

【解答】解：如图，根据小明的发现，在实线的三阶区域内有y右下角对应的是17y，

在虚线的三阶区域内，2对应右下角的数是15，

在第四列中，四个数分别是x，xy，17y，15，

xxy17y1534，

x1；

故答案为1．

【点评】本题考查代数式的加减法；能够通过三阶幻方的规律解决四阶幻方，合理的进行分割幻方是解题

的关键．

【典例7】（2024•甘肃）定义一种新运算*，规定运算法则为：m*nmnmn(m，n均为整数，且m0)．例：

2*323232，则(2)*2．

【分析】根据m*nmnmn，可以求得所求式子的值．

【解答】解：m*nmnmn，

(2)*2

(2)2(2)2

44

8