2025年中考数学一轮知识梳理难点与易错点03 方程与不等式中的参数问题（6大题型）原卷版

难点与易错点03方程与不等式中的参数问题（6大题型）

题型一：分式方程的增根问题

题型二：分式方程的无解问题

题型三：分式方程的特殊解问题

题型四：一元二次方程根的情况判断

题型五：一元二次方程根与系数关系

题型六：不等式组的整数解问题

题型一：分式方程的增根问题

增根问题的解题关键

分式方程有增根是指解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程的变形过程中,方程的两边都乘了一

个可能使分母为零的整式.

【中考母题学方法】

1m

【典例1】（2023·湖南永州·中考真题）若关于x的分式方程1（m为常数）有增根，则增根

x44x

是．

x2k

【变式1-1】（2024·上海松江·三模）若分式方程有增根，则k的值为

x1x1

【变式1-2】难点分情况讨论x的值,使方程两边同乘的整式为零

3ax4

（2024·山东菏泽·模拟预测）若关于x的方程：有增根，则a．

x3x29x3

【中考模拟即学即练】

xm2

1．（2024·云南·模拟预测）若关于x的分式方程2有增根，则m的值为

x3x3

x1a

2．（2023·四川成都·二模）若关于x的分式方程2有增根，则a的值是（）

x1x1

A．2B．1C．0D．1

3．（2024·宁夏银川·三模）下面是某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务：

x31

2

x22x

解：去分母，得x32x21…………第一步

去括号，得x32x41…………第二步

移项、合并同类项，得3x8…………第三步

8

解得x…………第四步

3

8

经检验：x是原分式方程的解…………第五步

3

(1)上面的解题过程从第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是______．

(2)上面解题过程的第五步是检验分式方程是否产生增根，增根指的是（文字叙述）

(3)请你帮这个同学正确解答这个分式方程．

题型二：分式方程的无解问题

无解问题的解题关键

分式方程无解是指不论未知数取何值,都不能使方程两边的值相等,它包含两种情形①原方程化去分母

后的整式方程无解;②原方程化去分母后的整式方程有解,但这个解却使原方程的分母为0.它是原方程

的增根,从而原方程无解.

【中考母题学方法】

3kx1

【典例2】（2024·四川达州·中考真题）若关于x的方程1无解，则k的值为．

x2x2

【变式2-1】易错点去分母后未知数的系数含参,需分类讨论

mxm2

（2024·山东菏泽·三模）若关于x的分式方程1无解，则m．

x2x2

【变式2-2】易错点去分母后未知数的系数含参,需分类讨论

xa

（2024·广东梅州·模拟预测）若关于x的方程a无解，则a的值为．

x22x

【中考模拟即学即练】

a2

1．（2024·贵州黔东南·一模）若关于x的分式方程1无解，则a的值为（）

x1x1

A．1B．0C．1D．2

xkk

2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知关于x的分式方程1无解，则k的值为．

x14

a1x

3．（2024·江苏宿迁·二模）若关于x的分式方程3无解，则a的取值是．

x22x

xx1abx

4．（2022·浙江温州·模拟预测）设a，b为实数，关于x的方程无实数根，求代数式

x1xx2x

8a+4b+|8a+4b-5|的值．

x2a

5．（2022·广西梧州·一模）已知关于x的分式方程2无解．

x1x1

(1)求a的值；

3

(2)先化简，后求值：（a1）(1)．

a2

题型三：分式方程的特殊解问题

特殊解问题的解题思路

分式方程的特殊解是指题中已知解为负数或非负数等,通常先将解用含参数的代数式表示出来,再根据

解为特殊解求解参数的范围,注意分式方程的解不能使分母为零。

【中考母题学方法】

2m

【典例3】（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程1的解为正数，则m的取值范围（）

x1x1

A．m3B．m3且m2

C．m3D．m3且m2

1m

【变式3-1】．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于x的分式方程0的解是负数，那么实数m

xx1

的取值范围是（）

A．m1且m0B．m1C．m1D．m1且m1

【变式3-2】．（2024·甘肃金昌·三模）若有六张完全一样的卡片正面分别写有1，2，3，0，1，2，3，

k1

现背面向上，任意抽取一张卡片，其上面的数字作为k的值能使关于x的分式方程2的解为正数，且

x1

3k

使反比例函数y图象过第一、三象限的概率为．

x

k1

【变式3-3】．（2023·四川成都·模拟预测）使关于x的分式方程2的解为非负数，且使反比例函数

x1

3k

y的图象经过一，三象限，则满足条件的所有整数k的和．

x

2kx374k

【变式3-4】（2023·浙江·模拟预测）已知关于x的方程的方程恰好有一个实数解，求k的

x1x2xx

值及方程的解．

【变式3-5】．（2022·四川成都·一模）在VABC中，AB6，AC4，AD是BC边上的中线，记ADm且m

mx11

为正整数．则m使关于x的分式方程4有正整数解的概率为．

3xx3

【中考模拟即学即练】

mx

1．（2024·安徽·模拟预测）关于x的方程3的解为非负数，则m的取值范围是．

x11x

a3

2．（2024·四川宜宾·二模）若分式方程1的解为负数，则a的取值范围是．

x2x2

a10x

3．（23-24九年级下·四川成都·期中）若正整数a使得关于x的分式方程2有正整数解，那么

x4x4

符合条件的所有正整数a的个数有个．

xm2m

4．（2024·江苏宿迁·三模）若关于x的方程2的解为正数，则m的取值范图是．

x11x

xm

5．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知关于x的方程=2-有一个正数解，则m的取值范

x-33-x

围．

xa0

ax

6．（2024·重庆·模拟预测）若关于x的不等式组x3x1有解，且关于x的分式方程1的

1x11x

23

解为非负数，则满足条件的整数a的值的和为

题型四：一元二次方程根的情况判断

判别式判断法

用一元二次方程根的判别式6-4ac与0的大小判断,其判别式用符号“Δ”表示若Δ>0,一元二次方程有

两个不相等的实数根:若Δ=0,一元二次方程有两个相等的实数根:若Δ<0,一元二次方程没有实数根.

【中考母题学方法】

【点例3】（2024·山东泰安·中考真题）关于x的一元二次方程2x23xk0有实数根，则实数k的取值范围

是（）

9999

A．kB．kC．kD．k

8888

【变式3-1】（2024·江苏南通·中考真题）已知关于x的一元二次方程x22xk0有两个不相等的实数根．请

写出一个满足题意的k的值：．

【变式3-2】难点结合根的情况求参数的范围

m

（2024·四川绵阳·二模）若关于x的分式方程1有解，且关于y的方程y22ym0有实数根，则m

3x

的范围是．

【变式3-3】难点根的情况与三角形的综合应用

（2024·广东广州·一模）关于x的方程x22cxa2b20有两个相等的实数根，若a,b,c是VABC的三边长，

则这个三角形一定是（）

A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形

【变式3-4】．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线yx2xc（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值

范围是．

【中考模拟即学即练】

1．（2025·河南·模拟预测）若关于x的一元二次方程ax2x10有实数根，则a的取值范围是()

1111

A．a且a0B．aC．a且a0D．a

4444

2.（2024·四川达州·一模）对于实数a，b定义新运算：a※bab2b，若关于x的方程k※x1有两个不相等

的实数根，则k的取值范围（）

1111

A．kB．kC．k且k0D．k且k0

4444

3．（2024·湖北随州·一模）定义：如果一元二次方程ax2bxc0a0满足ba1，那么称这个方程为“奇

妙方程”．已知ax2bx10a0是“奇妙方程”，且有两个相等的实数根，则b的值为．

11

2

4．（2024·四川眉山·中考真题）已知方程xx20的两根分别为x1，x2，则的值为．

x1x2

2

5.（2024·上海宝山·一模）若二次函数yxb4b1图像与一次函数yx5（1x5）只有一交

点，则b的取值范围为．

6．（2024·新疆克孜勒苏·一模）已知关于x的方程x22m1xmm10．求证：方程总有两个不相等

的实数根

7．（2023·湖北黄冈·模拟预测）已知关于x的一元二次方程abx22cxba0，其中a、b、c分别

为VABC三边的长．

(1)如果x1是方程的根，试判断VABC的形状，并说明理由；

(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断VABC的形状，并说明理由；

(3)如果VABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

题型五：一元二次方程根与系数关系

如果一元二次方程2的两个实数根是，

axbxc0(a0)x1，x2

bc

那么xx，xx.

12a12a

注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.

【中考母题学方法】

【典例5】（2024·四川巴中·中考真题）已知方程x22xk0的一个根为2，则方程的另一个根为．

【变式5-1】利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值

（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程2x24x10的两根为m，n，则3m24mn2的值为．

22

【变式5-2】（2024·四川南充·中考真题）已知x1，x2是关于x的方程x2kxkk10的两个不相等的

实数根．

(1)求k的取值范围．

(2)若k5，且k，x1，x2都是整数，求k的值．

【变式5-3】．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知关于x的方程x23xa0的两个实数根的倒数和等于3，且

22

212xkx

关于x的方程k1x3x2a0有实数根．当k为正整数时，求不等式1的解．

k23k10

【中考模拟即学即练】

1．（2024·四川内江·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2px10（p为常数）有两个不相等的实数

根x1和x2．

(1)填空：x1x2________，x1x2________；

111

(2)求，x1；

x1x2x1

22

(3)已知x1x22p1，求p的值．

2．（2024·四川眉山·二模）已知关于x的一元二次方程x23x13m有实数根．

(1)求m的取值范围；

x22

(2)设方程两实数根分别为1、x2，且满足x1x2x1x215，求m的取值范围．

题型六：不等式组的整数解问题

常考类型及思路

求不等式组的整数解及整数解的和与个数:先解不等式组,再根据解集判断求解:已知不等式组有(无)

解,求参数的取值范围:先用含参数的式子表示不等式组中各不等式的解集,再根据不等式组有(无)解构

造关于参数的不等式(组)求解:已知不等式组的整数解个数,求参数的取值范围:先用含参数的式子表示

不等式组的解集,结合特殊解的个数,确定具体的特殊解,再列不等式(组)求解.

【中考母题学方法】

4x2x1①

【典例6】（2024·山东济南·中考真题）解不等式组：x2x5，并写出它的所有整数解．

②

23

13

2xx4

【变式6-1】（2024·山东淄博·中考真题）解不等式组：22并求所有整数解的和．

x312x

3(x1)x6

【变式6-2】．（2023·黑龙江大庆·中考真题）若关于x的不等式组有三个整数解，则实数a的

82x2a0

取值范围为．

【变式6-3】难点不等式组与方程结合,确定参数情况

4x1

x1

（2024·重庆·中考真题）若关于x的不等式组3至少有2个整数解，且关于y的分式方程

2x1xa

a13

2的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为．

y11y

【中考模拟即学即练】

2xa1

1．（2024·湖南长沙·模拟预测）若关于x的不等式组x12x有且只有两个偶数解，且关于y的分式方