2025年中考数学一轮知识梳理难点与解题模型11与角平分线、中点有关问题（5大热考题型）（解析版）

难点与解题模型11与角平分线、中点有关问题（5大热考题型）

题型一：与角平分线有关问题

题型二：与中线有关问题

题型三：与中位线有关问题

题型四：与等腰三角形底边中点有关问题

题型五：倍长中线模型

题型一：与角平分线有关问题

常考模型及步骤

第一步：依据特征找模型——找是否存在角平分线

第二步：抽离模型——判断角平分线上一点与角两边上点的连线与角平分线的位置关系

第三步：利用性质解题——利用角平分线的性质、全等三角形、等腰三角形“三线合一”及平行线的性质

解题

【中考母题学方法】

【典例1-1】（2023·湖南·中考真题）如图，在Rt△ABC中，C90，按以下步骤作图：①以点A为圆心，

1

以小于AC长为半径作弧，分别交AC,AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半

2

径作弧，在BAC内两弧交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为1，则CD的长

为．

【答案】1

【分析】根据作图可得AD为CAB的角平分线，根据角平分线的性质即可求解．

【详解】解：如图所示，过点D作DEAB于点E，依题意DE1，

根据作图可知AD为CAB的角平分线，

∵DCAC,DEAB

∴CDDE1，

故答案为：1．

【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，熟练掌握基本作图以及角平分线的性质是解题的关键．

【典例1-2】（2023·江苏·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，ABDE，ACDF，BECF．

(1)求证：△ABC≌△DEF；

(2)点P、Q分别是VABC、DEF的内心．

①用直尺和圆规作出点Q（保留作图痕迹，不要求写作法）；

②连接PQ，则PQ与BE的关系是________．

【答案】(1)见解析

(2)①见解析②PQBE,PQBE

【分析】本题主要考查全等三角形的判定、图形的平移，牢记全等三角形的判定方法和图形平移的性质（连

接各组对应点的线段平行或在同一条直线上）是解题的关键．

（1）可证得BCEF，结合ABDE，ACDF即可证明结论．

（2）①三角形的内心为三角形的三个角的角平分线的交点，因此只需作出任意两个角的角平分线，其交点

即为所求．②因为△ABC≌△DEF，所以DEF可看作由VABC平移得到，点Q，点P为对应点，点B，

点E为对应点，据此即可求得答案．

【详解】（1）∵BECF，BCBEEC，EFCFEC，

∴BCEF．

在VABC和DEF中

ABDE

ACDF

BCEF

∴△ABC≌△DEF．

（2）①三角形的内心为三角形的三个角的平分线的交点，作DEF，DFE的角平分线，其交点即为点Q．

②因为△ABC≌△DEF，所以DEF可看作由VABC平移得到，点Q，点P为对应点，点B，点E为对应

点，根据平移的性质可知PQBE,PQBE．

故答案为：PQBE,PQBE．

【典例1-3】（2023·甘肃兰州·中考真题）综合与实践

问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：

作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA和OB上分别

取点C和D，使得OCOD，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，则OE就是AOB的平分线．

请写出OE平分AOB的依据：____________；

类比迁移：

（2）小明根据以上信息研究发现：CDE不一定必须是等边三角形，只需CEDE即可．他查阅资料：我

国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在AOB的边OA，OB上分别取OMON，移动角尺，

使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC是AOB的平分线，请说明此做法

的理由；

拓展实践：

（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB和AC，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要

在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距

离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不．带．刻．度．的．直．尺．和．圆．规．在对应

的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】（1）SSS；（2）证明见解析；（3）作图见解析；

【分析】（1）先证明OCE≌ODESSS，可得AOEBOE，从而可得答案；

（2）先证明OCM≌OCNSSS，可得AOCBOC，可得OC是AOB的角平分线；

（3）先作BAC的角平分线，再在角平分线上截取AEAD即可．

【详解】解：（1）∵OCOD，CEDE，DEDE，

∴OCE≌ODESSS，

∴AOEBOE，

∴OE是AOB的角平分线；

故答案为：SSS

（2）∵OMON，CMCN，OCOC，

∴OCM≌OCNSSS，

∴AOCBOC，

∴OC是AOB的角平分线；

（3）如图，点E即为所求作的点；

．

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分

线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键．

【典例1-4】（2023·河南·中考真题）如图，VABC中，点D在边AC上，且ADAB．

(1)请用无刻度的直尺和圆规作出A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．

(2)若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：DEBE．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可；

（2）证明△BAE≌△DAESAS，即可得到结论．

【详解】（1）解：如图所示，即为所求，

（2）证明：∵AE平分BAC，

∴BAEDAE，

∵ABAD，AEAE，

∴△BAE≌△DAESAS，

∴DEBE．

【点睛】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的作图和全等

三角形的判定是解题的关键．

【中考模拟即学即练】

【变式1-1】（2024·贵州铜仁·一模）如图，在VABC中，C90，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别

1

交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，

2

交BC于点E．已知CE2，AB6，AEB的面积为（）

A．4B．8C．10D．6

【答案】D

【分析】本题考查了作图—基本作图、角平分线的性质．根据角平分线的尺规作图可得AE平分CAB．作

ETAB，再根据角平分线的性质可得ETEC2，再利用三角形的面积公式求解即可．

【详解】解：过点E作ETAB于T，如图所示：

由题意可知：AE平分CAB，

ECAC，ETAB，

ETEC2，

11

SVABET626，

AEB22

故选：D．

【变式1-2】（2024·山东济宁·一模）如图，在VABC中，∠C90，AC12．

(1)请用无刻度的直尺和圆规在边BC上求作一点D，使得点D到边AB，AC的距离相等（保留作图痕迹，

不写作法）；

(2)在（1）所作的图形中，过点D作DEAB于点E．

①求证：AEAC；

②

若CD4，SABD30，求BE的长．

【答案】(1)作图见解析；

(2)①证明见解析；②BE3．

【分析】（1）利用基本作图作BAC的平分线即可；

（2）①先根据角平分线的性质得到DCDE，然后根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△AED，从而得到

ACAE；

②由DEDC4，则利用三角形面积公式可求出AB15，再利用①的结论得到ACAE12，然后计

算ABAE即可；

本题主要考查了尺规作一个角是平分线，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，

解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，尺规作一个角的平分线．

【详解】（1）如图，作BAC的平分线，则AD为所求，

（2）①证明:∵AD平分BAC，DCAC，DEAB，

∴DCDE，

在Rt△ACD和Rt△AED中，

ADAD

，

DCDE

∴RtACD≌RtAEDHL，

∴AEAC；

②∵DEDC4，

1

∴SABDE30，

ABD2

∴AB15，

∴BEABAE15123．

【变式1-3】（2024·河南周口·模拟预测）如图，在VABC中，C90．

(1)请用无刻度的直尺和圆规作出B的平分线．（保留作图痕迹，不写作法）

(2)若（1）中所作的角平分线与边AC交于点D，CD3，AB8，求△ABD的面积．

【答案】(1)见解析

(2)12

【分析】本题考查尺规作图-作角的平分线、角平分线的性质，正确作出角的平分线是解答的关键．

（1）根据作角平分线的方法步骤画图即可；

（2）过D作DHAB于点H，根据角平分线的性质得到CDDH3，然后利用三角形的面积公式求解

即可．

【详解】（1）解：如图，BD即为所求．

（2）解：如图，过D作DHAB于点H．

QBD平分ABC，C90即DCBC，DHAB，

CDDH3，

1

S△ABDH12．

ABD2

【变式1-4】（2023·广西桂林·模拟预测）在VABC中，BD是边AC上的高．

(1)尺规作图：作C的平分线，交BD于E．

(2)若DE4，BC10，求BCE的面积．

【答案】(1)详见解析

(2)20

【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；

作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角平分线的性质．

（1）利用基本作图作CE平分BCD；

（2）作EHBC于H，如图，根据角平分线的性质得EHED4，然后利用三角形面积公式计算即可．

【详解】（1）如图，CE为所作．

（2）作EHBC于H，如图，

CE平分BCD，EDCD，EHBC，

EHED4，

11

SBCEH41020．

BCE22

【变式1-5】（2023·广东惠州·二模）如图，CBCD，DABC180，CEAD于E．

(1)求证：AC平分DAB；

(2)若AE10，DE4，求AB的长．

【答案】(1)见解析

(2)6

【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是作出辅助线构造全等三角

形．

（1）过C点作CFAB，交AB的延长线于点F．由AAS证明△CDE≌△CBF(AAS)，可得CECF，结论得

证；

（2）证明RtACE≌RtACF(HL)，可得AEAF，可求出AB．

【详解】（1）证明：过C点作CFAB，交AB的延长线于点F．

CEAD，

DECCFB90，

DABC180，CBFABC180，

DCBF，

在CDE与VCBF中，

DCBF

DECCFB，

CDCB

△CDE≌△CBF(AAS)，

CECF，

又∵DECCFB90

AC平分DAB；

（2）解：由（1）可得BFDE4，

在RtACE和Rt△ACF中，

CECF

，

ACAC

∴RtACE≌RtACF(HL)，

AEAF10，

ABAFBF6．

题型二：与中线有关问题

与中线有关的解题关键解题关键是利用中线的性质,如图,在△ABC中,AD是△ABC的中线则BD=CD,

1

S△S△S

ABDADC2ABC

【中考母题学方法】

【典例2-1】（2024·山东德州·中考真题）如图，在VABC中，AD是高，AE是中线，AD4，S△ABC12，

则BE的长为（）

A．1.5B．3C．4D．6

【答案】B

【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据S△ABC12和AD4求出BC6，根据AE是中线即

可求解．

1

【详解】解：∵S△BCAD12，AD4，

ABC2

∴BC6

∵AE是中线，

1

∴BEBC3

2

故选：B

【典例2-2】（2023·浙江·中考真题）如图，点P是VABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于

点E，DF∥BC交EP于点F，若四边形CDFE的面积为6，则VABC的面积为（）

A．15B．18C．24D．36

【答案】B

【分析】连接BD,根据三角形重心的性质可知：P在BD上，由三角形中线平分三角形的面积可知：

SABC2SBDC，证明DFPBEP和△BEP△BCD,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答．

【详解】解：如图，连接BD，

点P是VABC的重心，点D是边AC的中点，P在BD上，

SABC2SBDC，

BP:PD2:1，

DF∥BC，

DFPBEP

S1

DFP，

S4

BEP

QEF∥AC，

△BEP△BCD，

22

SBP24

BEP，

SBD39

BCD

设△DFP的面积为m，则△BEP的面积为4m，△BCD的面积为9m，

四边形CDFE的面积为6，

m9m4m6，

m1，

△BCD的面积为9，

ABC的面积是18．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中，准确作出辅助线是解

题的关键．

4

【典例2-3】（2024·福建福州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数yx0的图象分别

x

与等腰RtAOB的直角边AB和斜边OB交于点C，D，点A在x轴正半轴上，连接AD，CD，若ADOB，

则△BCD的面积为．

【答案】3

1

【分析】连接OC，作DEOA轴于E，由等腰直角三角形的性质得出ODOBOB，由反比例函数k的

2

1

几何意义得出SS42，证明ODE∽OBA，得出S4S8，求出

ODEOCA2OBAODE

SOBCSOBASOCA6，再由三角形中线的性质即可得出答案．

【详解】解：如图，连接OC，作DEOA轴于E，

，

∵VAOB为等腰直角三角形，ADOB，

∴点D为OB的中点，

1

∴ODOBOB，

2

4

∵点C、D是反比例函数yx0上的点，

x

1

∴SS42，

ODEOCA2

∵DEOA，ABOA，

∴DE∥AB，

∴ODE∽OBA，

22

∴SODE:SOBAOD:OB1:4，

∴SOBA4SODE8，

∴SOBCSOBASOCA826，

∵ODBD，

11

∴SS63，

BCD2OBC2

故答案为：3．

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、反比例函数k的几何意义、相似三角形的判定与性质、与三角

形中线有关的面积的计算等知识点，熟练掌握知识点并灵活运用是解此题的关键．

【典例2-4】（2024·河北·中考真题）如图，VABC的面积为2，AD为BC边上的中线，点A，C1，C2，C3是

线段CC4的五等分点，点A，D1，D2是线段DD3的四等分点，点A是线段BB1的中点．

△

（1）AC1D1的面积为；

（2）△B1C4D3的面积为．

【答案】17

1

【分析】（1）根据三角形中线的性质得S△=S△=S△=1，证明ACD≌ACDSAS，根据全等

ABDACD2ABC11

三角形的性质可得结论；

（）证明≌，得SS1，推出、、三点共线，得

2AB1D1ABDSAS△AB1D1△ABDC1D1B1

S=S+S=2，继而得出S=4S=8，S3S3，证明△∽△，

△AB1C1△AB1D1△AC1D1△AB1C4△AB1C1△AB1D3△AB1D1C3AD3CAD

4

得S△CAD9S△CAD9，推出S△S△12，最后代入S△BCDS△ACDS△ABDS△ABC即可．

33AC4D33C3AD3143431314

【详解】解：（1）连接B1D1、B1D2、B1C2、B1C3、C3D3，

∵VABC的面积为2，AD为BC边上的中线，

11

∴S△=S△=S△=´2=1，

ABDACD2ABC2

∵点A，C1，C2，C3是线段CC4的五等分点，

1

∴ACACCCCCCCCC，

112233454

∵点A，D1，D2是线段DD3的四等分点，

1

∴ADADDDDDDD，

1122343

∵点A是线段BB1的中点，

1

∴ABABBB，

121

△

在AC1D1和ACD中，

ACAC

1

C1AD1CAD，

AD1AD

≌

∴AC1D1ACDSAS，

∴SS1，，

△AC1D1△ACDC1D1ACDA

△

∴AC1D1的面积为1，

故答案为：1；

（2）在AB1D1和△ABD中，

ABAB

1

B1AD1BAD，

AD1AD

∴AB1D1≌ABDSAS，

∴SS1，，

△AB1D1△ABDB1D1ABDA

∵BDACDA180，

∴B1D1AC1D1A180，

∴C1、D1、B1三点共线，

∴S=S+S=1+1=2，

△AB1C1△AB1D1△AC1D1

∵AC1C1C2C2C3C3C4，

∴S=4S=4´2=8，

△AB1C4△AB1C1

∵，S1，

AD1D1D2D2D3△AB1D1

∴S3S313，

△AB1D3△AB1D1

△

在AC3D3和ACD中，

ACAD

∵333，CADCAD，

ACAD33

△∽△

∴C3AD3CAD，

2

SCADAC2

∴33339，

SCADAC

∴S9S919，

△C3AD3△CAD

∵AC1C1C2C2C3C3C4，

44

∴S△S△912，

AC4D33C3AD33

∴SSSS12387，

△B1C4D3△AC4D3△AB1D3△AB1C4

∴△B1C4D3的面积为7，

故答案为：7．

【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点的意

义，三角形的面积．掌握三角形中线的性质是解题的关键．

【典例2-5】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的99网格，每个小正方形的顶点叫做格点

A，B，C三点是格点，F点是BC与网格线的交点．，仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图．

(1)在图1中，取AB的中点D，AC的中点E，连接ED，再作平行四边形BDEK；

(2)在图2中，在AB上画出一点G，使S△ACGS△ACF；

(3)在图3中，点T在格点上，连接BT，CT，在CT上画点M，使AM平分四边形ABTC的面积．

【答案】(1)图见解析

(2)图见解析

(3)图见解析

【分析】本题考查三角形的中线，相似三角线的判定和性质，平行四边形的判定和性质：

（1）作AB,BC,AC的中点，连接DE,EK，则平行四边形BDEK即为所求；

（2）找到格点S,Q，使得SA3,BQ4，连接SQ交AB于点G，则点G即为所求；

（3）连接AT，取BC的中点K，过点K作DE∥AT，交CT于点M即可．

【详解】（1）解：如图所示，作AB,BC,AC的中点，连接DE,EK，则平行四边形BDEK即为所求，

（2）如图所示，找到格点S,Q，使得SA3,BQ4，连接SQ交AB于点G，则点G即为所求，

∵SA∥BQ，

∴SAG∽QBG，

AGAS3

∴，

BGBQ4

CF3

∵，BB，

BF4

∴BFG∽BCA，

∴BGFBAC，

∴FG∥AC，

∴S△ACGS△ACF；

（3）如图：点M即为所求；

11

由作图可知：SS,SS，

ACK2ABCTCK2TBC

11

∴SSSSS四边形，

ACKTCK2ABCTBC2BTCA

∵SAMKSTMK（平行线间的距离处处相等），

1

∴SSSSSSSSSS四边形．

ACMAMKAKCMKCTMKAKCMKCTKCAKC2BTCA

【中考模拟即学即练】

【变式2-1】（2024·云南昆明·二模）如图，AD，CE是VABC的两条中线，连接ED．若SVABC16，则阴

影部分的面积是（）

A．2B．4C．6D．8

【答案】B

【分析】本题考查的是三角形的中线，熟记三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．根

据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分计算即可．

【详解】解：AD是VABC的中线，SVABC16，

11

SS168，

ABD2ABC2

E是AB的中点，

1

SS4，

BED2ABD

故选：B

【变式2-2】（2024·安徽六安·模拟预测）如图，AD是VABC的中线，点E是AD的中点，连接CE并延长，

交AB于点F，若AB6．则AF的长为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中线，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的

关键．过点A作BC平行线交CF延长线于点G，可得△AGF∽△CBF,△AGE∽△CDE，通过比例式即可

AF1

求出，即可解决问题．

FB2

【详解】解：过点A作BC平行线交CF延长线于点G，

∵AGBC，

∴△AGF∽△BCF,△AGE∽△DCE，

AFAGAGAE

∴,，

FBBCCDED

∵点E是AD的中点，

AGAE

∴1，

CDED

∴AGCD，

∵AD是VABC的中线，

∴BDCD，

∴AGCDBD，

AFAG1

∴，

FBBC2

1

∴AFAB2，

3

故选：B．

【变式2-3】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图，D，E，F分别为VABC三边BC,CA,AB上一点，且AD,BE,CF

交于点G，若SBDG6,SCDG4,SAEG15，则SABC（）

A．50B．54C．60D．63

【答案】C

【分析】本题主要考查等积法及一元二次方程的解法，熟练掌握等积法是解题的关键；设SABGx,SCGEy，

x3x15

由题意易得，，然后可建立方程进行求解．

y15264y

SS63

ABGBDG

【详解】解：设SABGx,SCGEy，由等积法可知：，

SACGSCDG42

x3

∴，即2x3y15①，

y152

SS

∵ABGAGE，

SCBGSCGE

x15

∴，即xy150②，

64y

2x3y45

联立①②可得：，

xy150

解得：y5（负根舍去），

∴x30，

∴SABCSABGSCBGSACG301015560；

故选C．

【变式2-4】（2024·重庆·模拟预测）如图，在RtABC中，BAC90，AB5，AC10，D为BC的中点，

E为AC中点，连接BE交AD于点F，则ABF的面积为．

【答案】25

3

【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中线的性质，连接DE，可得

1DFDE1

DE为VABC的中位线，进而得DE∥AB，DEAB，即得DEF∽ABF，得到==，再根

2AFAB2

1125DF1

据已知可得SAB·AC25，进而由中线性质得到SS，再由即可得到

ABC2ABD2ABC2AF2

DFDE1

225==

SABFSABD，由DEF∽ABF得到是解题的关键．

33AFAB2

【详解】解：连接DE，

∵D为BC的中点，E为AC中点，

∴DE为VABC的中位线，

1

∴DE∥AB，DEAB，

2

∴DEF∽ABF，

DFDE1

∴==，

AFAB2

∵，BAC90，AB5，AC10，

11

∴SAB·AC51025，

ABC22

∵点D为BC的中点，

125

∴SS，

ABD2ABC2

DF1

∵，

AF2

AF2

∴，

AD3

222525

∴SS，

ABF3ABD323

故答案为：25．

3

【变式2-5】（2024·辽宁·模拟预测）如图，将VABC沿直线AC翻折得到△ADC，BD交AC于点E，F为CD

的中点，连接AF并延长，交BC的延长线于点G，连接EF，若AB10，AE6，△ADF的面积为18，

则DEF的面积为．

【答案】6

【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，三角形的面积的计算，根据折叠的性质得到ACBD，BEDE，

根据勾股定理得到BEDEAB2AE2102628，根据三角形的面积公式得到AC9，求得

CEACAE3，根据三角形的面积公式即可得到结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．

【详解】∵VABC沿直线AC翻折得到△ADC，

∴ACBD，BEDE，

∴AEBAED90，

在Rt△ABE中，AB10，AE6，

∴BEDEAB2AE2102628，

∵△ADF的面积为18，F为CD中点，

∴SACD2SADF21836，

1

∴ACDE36，

2

∴AC9，

∴CEACAE963，

11

∴SCEDE3812，

CDE22

11

∴SS126，

DEF2CDE2

故答案为：6．

【变式2-6】（2024·山东临沂·模拟预测）如图，将VABC沿BC边上的中线AD平移到ABC的位置，已知

VABC的面积为25cm2，阴影部分三角形的面积为9cm2，若AA1cm，则AD的值为cm．

【答案】1.5

【分析】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形

的判定与性质等知识点．先证明DAE∽DAB，再利用相似三角形的性质求得AD便可．

【详解】解：如图，

SABC25、S△AEF9，且AD为BC边的中线，

11

SS4.5，SS12.5，

ADE2AEFABD2ABC

将VABC沿BC边上的中线AD平移得到ABC，

AE∥BC，

DAE∽DAB，

22

ADSADEAD4.5

则，即，

ADSADBAD112.5

3

解得AD1.5或AD（舍），

8

故答案为：1.5．

【变式2-7】（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，两条对角线相交于点O，AC4,BD2，

过点C作CEAB，交AB的延长线于点E，连接OE，则COE的面积是

8

【答案】

5

【分析】根据菱形的性质得到OA2,OB1，利用勾股定理求出AB5，证明AOB∽AEC，得到

ABOBOA5458516

，求出CE,AE，求出SACE，再根据点O是AC中点，即可求解．

ACCEAE4555

【详解】解：菱形ABCD中，两条对角线相交于点O，AC4,BD2，

OA2,OB1，

ABOA2OB25，

CEAB,ACBD，

AECAOB90，

AA，

AOB∽AEC，

ABOBOA5

，

ACCEAE4

4585

CE,AE，

55

11458516

SCEAE，

ACE22555

点O是AC中点，

18

SS，

COE2ACE5

8

故答案为：．

5

【点睛】本题考查菱形的性质，三角形中线的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形

的性质是解题的关键．

【变式2-8】（2024·上海浦东新·一模）如图，在VABC中，AB4，AC6，E为BC中点，AD为VABC的

:

角平分线，VABC的面积记为S1，VADE的面积记为S2，则S2S1．

【答案】1:10

【分析】此题考查角平分线的性质，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答．根

据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可．

【详解】解：过点D作DMAB,DNAC，

AD为VABC的角平分线，

DMDN,

∵AB4,AC6,E为BC中点，

1

∴SVSVSV,

ABEAEC2ABC

1

ABDM

S42

VABD2,

S163

VADCACDN

2

5

设SV2x,SV3x，则SV5x,SVSVx,

ABDADCABCABEAEC2

5

3xx

S1

则22，

S15x10

故答案为：1:10．

4

【变式2-9】（2024·广东广州·二模）如图，已知△ABD中，ACBD，BC8，CD4，cosABC，BE

5

为AD边上的中线．

(1)求AC的长；

(2)求BED的面积．

【答案】(1)AC6

(2)18

【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，熟知余弦的定义及三角形中线的性质是解题的关键．

（1）先根据ABC的余弦求出AB的长，再利用勾股定理即可解决问题．

（2）根据BE为AD边上的中线可知，BED的面积是△ABD面积的一半，据此可解决问题．

【详解】（1）ACBD，

ACBACD90．

在Rt△ABC中，

BC

cosABC，

AB

8

AB10

4，

5

AC102826．

（2）BE为AD边上的中线，

1

SS．

BED2ABD

11

又SBDAC12636，

ABD22

1

S3618．

BED2

题型三：与中位线有关问题

与中位线有关的解题关键

利用中位线的性质解题,如图,在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,则

11

DE//BC,DEBC，S△S△

2ADE4ABC

【中考母题学方法】

【典例3-1】（2024·广东深圳·模拟预测）【定义】我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．

【示例】如图，AF，BE是VABC的中线，且AF⊥BE，垂足为P，像VABC这样的三角形称作“中垂三角

形”．设BCa，ACb，ABc．数学兴趣小组想研究“中垂三角形”的三边是否存在某种关系，进行了如

下探究过程：

(1)【特例探究】如图2，VABC为“中垂三角形”，当ABE30，c4时，求a，b的值；

解：∵VABC为“中垂三角形”，即AF⊥BE，

又∵ABE30，ABc4，

∴AP2，BP①，

∵AF、BE分别是中线，连接EF，

∴EF是VABC的中位线，

1

∴EF∥AB，EFAE，

2

∵ABPFEB，BAPEFP，

∴△ABP∽△FEP，

1

∴FPAP1，

2

…（此处省略部分步骤）

∴BCa②，ACb③．

完成上述解题过程中的填空；

①：，②：，③：；

(2)【归纳证明】请你观察（1）中的解题思路及计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示

出来，并利用图3证明你发现的关系式；

(3)【拓展应用】利用（2）中的结论，解答下列问题：如图4，在边长为8的菱形ABCD中，O为对角线AC，

BD的交点，E，F分别为线段OA，OD的中点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于

点G，H，直接写出MG2MH2的值．

【答案】(1)23，213，27；

(2)a2b25c2，见解析；

320

(3)．

9

【分析】（1）判断ABP为等腰直角三角形，计算即可；

（2）设APm，BPn，表示线段PE，PF，最后利用勾股定理即可；

111

（3）证出MG=MB，MHMC，MG2MH2MB2MC2即可求解；

339

本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的性质，30角所对直角边是斜边的一半，熟练掌握知识点

的应用是解题的关键．

【详解】（1）解：如图，连接EF，

省略步骤为：PE=3PF=3，

2

∴AEAP2PE22237，BPAB2AP2422223，

2

∴BFPF2BP2122313，

∴BC=a=2BF=213，ACb2AE27，

故答案为：23，213，27；

（2）解：a2b25c2，理由如下：

连接EF，

设APm，BPn，

则c2AB2m2n2，

1

∵EF∥AB，EFAB，

2

∴PAB∽PFE，

APBPAB

∴2，

PFPEPE

1111

∴PEBPn，PFAPm，

2222

11

∴AE2AP2PE2m2n2，BF2PF2BP2m2n2，

44

∴b2AC24AE24m2n2，a2BC24BF24n2m2，

∴a2b25m2n25c2；

（3）解：连接EF，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AOCO，AD∥BC，ADBC，

∵E，F分别为线段OA，OD的中点，

11

∴AEOEEC，AG∥BC，EFAD，EF∥AD，

32

∴△AGE∽△CBE，EF∥BC，

AGAE1

∴，

BCEC3

11

∴AGBCAD，

33

11

即EFADBC，

22

1

同理HDAD，

3

11

∴GHADBC，

33

∵GH∥BC，

∴VMGH∽VMBC，

MGMHGH1

∴，

MBMCBC3

11

∴MG=MB，MHMC，

33

1320

∴MG2MH2MB2MC2，

99

320

故MG2MH2的值为．

9

【典例3-2】（2024·重庆九龙坡·三模）小明想利用三角形全等的知识，再探三角形中位线定理，他的探究思

路如下：如图，在VABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，连接DE，过点C在AC的右边作ACF，

使得ACFBAC，延长DE交CF于点F，然后通过证明ADE≌CFE和平行四边形BCFD来证明三角

形中位线定理，请完成下面的作图和填空．

(1)用尺规完成以下基本作图：以点C为顶点，在AC的右侧作ACFBAC，延长DE，交CF于点F；（保

留作图痕迹，不写作法，不下结论）

(2)求证：BC2DE，BC∥DE．

证明：∵点E为AC的中点，

∴AECE，

又∵ACFBAC，

∴①．

在VADE和△CFE中，

DAEFCE

AECE，

②

∴ADE≌CFE，

∴③，DEFE，

∵点D为AB的中点，

∴ADBD，

∴④，

∴四边形DBCF是平行四边形，

∴DFBC，DF∥BC，

∵DEFE，

∴⑤，

∴BC2DE，BC∥DE．

【答案】(1)画图见解析

(2)①ABCF；②AEDCEF；③ADCF；④BDCF；⑤DF2DE

【分析】本题考查了尺规作图及几何证明，涉及作角等于已知角，全等的判定与性质，平行四边形的判定

与性质，掌握作图方法和几何性质是解题的关键．

（1）根据作角等于已知角的方法作图即可；

（2）根据所给步骤推理证明即可得到结论．

【详解】（1）解：如图所示：

（2）∵点E为AC的中点，

∴AECE，

又∵ACFBAC，

∴ABCF，

在VADE和△CFE中，

DAEFCE

AECE，

AEDCEF

∴ADE≌CFE，

∴ADCF，DEFE，

∵点D为AB的中点，

∴ADBD，

∴BDCF，

∴四边形DBCF是平行四边形，

∴DFBC，DF∥BC，

∵DEFE，

∴DF2DE，

∴BC2DE，BC∥DE．

故答案为：①ABCF；②AEDCEF；③ADCF；④BDCF；⑤DF2DE．

【典例3-3】（2024·广西南宁·模拟预测）阅读下面材料，并回答问题．

在几何学习中，经常通过添加辅助线构造图形，将未知问题转化为已知问题．

在八下课本49页中，我们得到了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第

三边的一半．证明过程如下：

已知：如图1，D、E分别是VABC的边AB，AC的中点；

1

求证：DE∥BC且DEBC．

2

证明：如图1，延长DE到点F，使EFDE，连接FC，DC，AF．

∵E为AC中点

AE①

DEEF，

∴四边形ADCF是平行四边形，（②）（填推理的依据）

∴CF平行且等于DA

即CF平行且等于BD．

∴四边形DBCF是平行四边形

DF∥BC，DFBC，

11

又DE