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文档简介
难点与解题模型10平行线中的常见的四种“拐角”模型题型一:“猪蹄”模型(含“锯齿”模型)题型二:“铅笔”模型题型三:“鸡翅”模型题型四:“骨折模型”题型一:“猪蹄”模型(含“锯齿”模型)一、“猪蹄”模型猪蹄模型的基本特征:一组平行线,中间有一个点,分别与平行线上的点构成“猪蹄”。猪蹄模型(又名燕尾模型、M字模型)步骤总结步骤一:过猪蹄(拐点)作平行线步骤二:借助平行线的性质找相等或互补的角步骤三:推导出角的数量关系模型结论:∠B+∠D=∠DEB.二、锯齿模型已知图示结论(性质)证明方法AB∥DE∠B+∠E=∠C遇拐点做平行线(方法不唯一)AB∥DE∠B+∠M+∠E=∠C+∠Na∥b所有朝左角之和等于所有朝右角的和【中考母题学方法】【典例1-1】(2023·辽宁盘锦·中考真题)如图,直线,将一个含角的直角三角尺按图中方式放置,点E在上,边、分别交于点H、K,若,则等于(
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A. B. C. D.【典例1-2】(2020·湖南·中考真题)如图,已知AB∥DE,∠1=30°,∠2=35°,则∠BCE的度数为()A.70° B.65° C.35° D.5°【典例1-3】(2024•茌平区一模)如图,,,则,,的关系是(
)A. B.C. D.【典例1-4】(2024·河南南阳·模拟预测)传统文化如同一颗璀璨的明珠,熠熠生辉,为增强学生体质,同时让学生感受中国传统文化,某校将国家非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间.如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间,小红同学把它抽象成数学问题:如图②,已知,,,则的度数为(
)
A. B. C. D.【典例1-5】(2023·北京西城·统考一模)下面是解答一道几何题时两种添加辅助线的方法,选择其中一种,完成证明.已知:如图,AB∥CD.求证:∠AEC=∠A+∠C方法一证明:如图,过点E作MN∥AB方法二证明:如图,延长AE,交CD于点F.【中考模拟即学即练】【变式1-1】(2024·辽宁·模拟预测)汽车前照灯的反射镜具有抛物线的形状,它们是抛物面(如图),明亮的光束是由位于抛物线反射镜焦点F上的光源产生的,此时光线沿着与抛物线的对称轴平行的方向射出,若,则光线与形成的的度数为(
)A. B. C. D.【变式1-2】(2024·湖南长沙·模拟预测)如图,,,若,则的度数为(
)A. B. C.72° D.108°【变式1-3】(2024·甘肃·模拟预测)如图1,是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”.如图2,是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图,其中为竖直方向的馈源(反射面),入射波经过三次反射后沿水平射出,且,已知入射波与法线的夹角,则(
)A. B. C. D.【变式1-4】(2024·云南昆明·模拟预测)如图,已知,若与的夹角为,,则的度数为(
)A. B. C. D.【变式1-5】(2024·江苏常州·一模)如图,直线,点A在直线a上,点C在直线b上,,若,则.【变式1-6】问题情境:如图1,已知AB∥CD,∠APC=108°.求∠PAB+∠PCD的度数.
经过思考,小敏的思路是:如图2,过P作PE∥AB,根据平行线有关性质,可得∠PAB+∠PCD=360°−∠APC=252°.问题迁移:如图3,AD∥BC,点P在射线OM上运动,∠ADP=∠α,∠BCP=∠β.(1)当点P在A、B两点之间运动时,∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系?请说明理由.(2)如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合),请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系.(3)问题拓展:如图4,MA1∥NAn,A题型二:“铅笔”模型从猪蹄模型可以看出,点E是凹进去了,如果点E是凸出来,如下图:那么,像这样的模型,我们就称为铅笔头模型。模型结论:∠B+∠E+∠D=360°【中考母题学方法】【典例2-1】(崇川区校级三模)如图,已知AB∥CD,∠A=140°,∠E=120°,则∠C的度数是()A.80° B.100° C.120° D.140°【典例2-2】(2024春•启东市校级月考)如图,直线a∥b,∠1=28°,则∠3=度,∠3+∠4+∠5=度.【典例2-3】请在横线上填上合适的内容.(1)如图(1)已知//,则.解:过点作直线//.∴(
).(
)∵//,//,∴(
)//(
).(如果两条直线和第三条直线平行,那么这两直线平行)∴(
).(
).∴.∴.(2)如图②,如果//,则()【典例2-4】如图,已知AB∥CD.(1)如图1所示,∠1+∠2=;(2)如图2所示,∠1+∠2+∠3=;并写出求解过程.(3)如图3所示,∠1+∠2+∠3+∠4=;(4)如图4所示,试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n=.【中考模拟即学即练】【变式2-1】(江苏模拟)如图,是赛车跑道的一段示意图,其中AB∥DE,测得∠B=140°,∠D=120°,则∠C的度数为()A.120° B.100° C.140° D.90°【变式2-2】问题情境:如图1,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求思路点拨:小明的思路是:如图2,过P作PE∥AB,通过平行线性质,可分别求出∠APE、∠CPE的度数,从而可求出∠APC的度数;小丽的思路是:如图3,连接AC,通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数;小芳的思路是:如图4,延长AP交DC的延长线于E,通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC的度数.问题解决:请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算,你求得的∠APC的度数为°;问题迁移:(1)如图5,AD∥BC,点P在射线OM上运动,当点P在A、B两点之间运动时,∠ADP=∠α,∠BCP=∠β.∠CPD、∠α、(2)在(1)的条件下,如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合),请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系.【变式2-3】(1)如图1,l1∥l2,求∠A1+∠A2+∠A3=______.(直接写出结果)(2)如图2,l1∥l2,求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=_____.(直接写出结果)(3)如图3,l1∥l2,求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=_______.(直接写出结果)(4)如图4,l1∥l2,求∠A1+∠A2+…+∠An=_______.(直接写出结果)题型三:“鸡翅”模型已知图示结论(性质)AB∥DE∠1=∠2+∠3AB∥DE∠1+∠3-∠2=180°【中考母题学方法】【典例3-1】(2024·广东深圳·模拟预测)抖空竹是我国的传统体育,也是国家级非物质文化遗产之一.明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述,明定陵亦有出土的文物为证,可见抖空竹在民间流行的历史至少在年以上.如图,通过观察抖空竹发现,可以将某一时刻的情形抽象成数学问题:,,,则的度数为(
)A. B. C. D.【典例3-2】AB∥CD,点P为直线AB,CD所确定的平面内的一点.(1)如图1,写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系,并证明;(2)如图2,写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系,并证明;(3)如图3,点E在射线BA上,过点E作EF∥PC,作∠PEG=∠PEF,点G在直线CD上,作∠BEG的平分线EH交PC于点H,若∠APC=30°,∠PAB=140°,求∠PEH的度数.【典例3-3】(2023·重庆大渡口·统考模拟预测)在数学课上老师提出了如下问题:如图,∠B=160°,当∠A与∠D满足什么关系时,BC∥DE?小明认为∠D−∠A=20°时BC∥DE,他解答这个问题的思路和步骤如下,请根据小明的思路完成下面的作图与填空:解:用直尺和圆规,在DA的右侧找一点M,使∠DAM=∠D(只保留作图痕迹).∵∠DAM=∠D,∴①_____________∵∠D−∠DAB=20°∴∠BAM=②_________°,∵∠B=160°,∴∠B+∠BAM=③__________°,∴④_____________∴BC∥DE.所以满足的关系为:当∠D−∠A=20°时,BC∥DE.【中考模拟即学即练】【变式3-1】如图,若,则∠1+∠3-∠2的度数为【变式3-2】问题探究:如下面四个图形中,ABCD.(1)分别说出图1、图2、图3、图4中,∠1与∠2、∠3三者之间的关系.(2)请你从中任选一个加以说明理由.解决问题:(3)如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面,从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯碗反射后平行射出.如果∠ABO=57°,∠DCO=44°,那么∠BOC=_______°.【变式3-3】已知直线AB∥CD,P为平面内一点,连接PA、PD.(1)如图1,已知∠A=50°,∠D=150°,求∠APD的度数;(2)如图2,判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为.(3)如图3,在(2)的条件下,AP⊥PD,DN平分∠PDC,若∠PAN+∠PAB=∠APD,求∠AND的度数.题型四:“骨折模型”模型结论:∠E=∠B-∠D【中考母题学方法】【典例4-1】(2024·黑龙江绥化·中考真题)如图,,,.则.【典例4-2】(2023·四川资阳·中考真题)如图,,交于点F,则.
【典例4-3】①如图1,ABCD,则∠A+∠E+∠C=180°;②如图2,ABCD,则∠E=∠A+∠C;③如图3,ABCD,则∠A+∠E-∠1=180°;④如图4,ABCD,则∠A=∠C+∠P.以上结论正确的个数是()A.①②③④
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