2025年中考数学一轮知识梳理难点与解题模型10平行线中的常见的四种“拐角”模型（原卷版）

难点与解题模型10平行线中的常见的四种“拐角”模型题型一：“猪蹄”模型（含“锯齿”模型）题型二：“铅笔”模型题型三：“鸡翅”模型题型四：“骨折模型”题型一：“猪蹄”模型（含“锯齿”模型）一、“猪蹄”模型猪蹄模型的基本特征：一组平行线，中间有一个点，分别与平行线上的点构成“猪蹄”。猪蹄模型（又名燕尾模型、M字模型）步骤总结步骤一：过猪蹄（拐点）作平行线步骤二：借助平行线的性质找相等或互补的角步骤三：推导出角的数量关系模型结论：∠B＋∠D＝∠DEB．二、锯齿模型已知图示结论（性质）证明方法AB∥DE∠B+∠E=∠C遇拐点做平行线（方法不唯一）AB∥DE∠B+∠M+∠E=∠C+∠Na∥b所有朝左角之和等于所有朝右角的和【中考母题学方法】【典例1-1】（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，直线，将一个含角的直角三角尺按图中方式放置，点E在上，边、分别交于点H、K，若，则等于（

）．

A． B． C． D．【典例1-2】（2020·湖南·中考真题）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A．70° B．65° C．35° D．5°【典例1-3】（2024•茌平区一模）如图，，，则，，的关系是（

）A． B．C． D．【典例1-4】（2024·河南南阳·模拟预测）传统文化如同一颗璀璨的明珠，熠熠生辉，为增强学生体质，同时让学生感受中国传统文化，某校将国家非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小红同学把它抽象成数学问题：如图②，已知，，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【典例1-5】（2023·北京西城·统考一模）下面是解答一道几何题时两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．已知：如图，AB∥CD．求证：∠AEC=∠A+∠C方法一证明：如图，过点E作MN∥AB方法二证明：如图，延长AE，交CD于点F．【中考模拟即学即练】【变式1-1】（2024·辽宁·模拟预测）汽车前照灯的反射镜具有抛物线的形状，它们是抛物面(如图)，明亮的光束是由位于抛物线反射镜焦点F上的光源产生的，此时光线沿着与抛物线的对称轴平行的方向射出，若，则光线与形成的的度数为（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，，，若，则的度数为（

）A． B． C．72° D．108°【变式1-3】（2024·甘肃·模拟预测）如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则（

）A． B． C． D．【变式1-4】（2024·云南昆明·模拟预测）如图，已知，若与的夹角为，，则的度数为（

）A． B． C． D．【变式1-5】（2024·江苏常州·一模）如图，直线，点A在直线a上，点C在直线b上，，若，则．【变式1-6】问题情境：如图1，已知AB∥CD，∠APC=108°．求∠PAB+∠PCD的度数．

经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得∠PAB+∠PCD=360°−∠APC=252°．问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．(1)当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．(2)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．(3)问题拓展：如图4，MA1∥NAn，A题型二：“铅笔”模型从猪蹄模型可以看出，点E是凹进去了，如果点E是凸出来，如下图：那么，像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。模型结论：∠B+∠E+∠D=360°【中考母题学方法】【典例2-1】（崇川区校级三模）如图，已知AB∥CD，∠A＝140°，∠E=120°，则∠C的度数是（）A．80° B．100° C．120° D．140°【典例2-2】（2024春•启东市校级月考）如图，直线a∥b，∠1＝28°，则∠3＝度，∠3+∠4+∠5＝度．【典例2-3】请在横线上填上合适的内容．（1）如图（1）已知//，则．解：过点作直线//．∴（

）．（

）∵//，//，∴（

）//（

）．（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）∴（

）．（

）．∴．∴．（2）如图②，如果//，则（）【典例2-4】如图，已知AB∥CD．（1）如图1所示，∠1+∠2＝；（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝；并写出求解过程．（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝．【中考模拟即学即练】【变式2-1】（江苏模拟）如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B=140°，∠D＝120°，则∠C的度数为（）A．120° B．100° C．140° D．90°【变式2-2】问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求思路点拨：小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而可求出∠APC的度数；小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数；小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC的度数．问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为°；问题迁移：（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．【变式2-3】（1）如图1，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3＝______．（直接写出结果）（2）如图2，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝_____．（直接写出结果）（3）如图3，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝_______．（直接写出结果）（4）如图4，l1∥l2，求∠A1+∠A2+…+∠An＝_______．（直接写出结果）题型三：“鸡翅”模型已知图示结论（性质）AB∥DE∠1=∠2+∠3AB∥DE∠1+∠3-∠2=180°【中考母题学方法】【典例3-1】（2024·广东深圳·模拟预测）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【典例3-2】AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．（1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；（2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数．【典例3-3】（2023·重庆大渡口·统考模拟预测）在数学课上老师提出了如下问题：如图，∠B=160°，当∠A与∠D满足什么关系时，BC∥DE?小明认为∠D−∠A=20°时BC∥DE，他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面的作图与填空：解：用直尺和圆规，在DA的右侧找一点M，使∠DAM=∠D（只保留作图痕迹）．∵∠DAM=∠D，∴①_____________∵∠D−∠DAB=20°∴∠BAM=②_________°，∵∠B=160°，∴∠B+∠BAM=③__________°，∴④_____________∴BC∥DE．所以满足的关系为：当∠D−∠A=20°时，BC∥DE．【中考模拟即学即练】【变式3-1】如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为【变式3-2】问题探究：如下面四个图形中，ABCD．（1）分别说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系．（2）请你从中任选一个加以说明理由．解决问题：（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．【变式3-3】已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为．（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．题型四：“骨折模型”模型结论：∠E=∠B-∠D【中考母题学方法】【典例4-1】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，，，．则．【典例4-2】（2023·四川资阳·中考真题）如图，，交于点F，则．

【典例4-3】①如图1，ABCD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A＋∠C；③如图3，ABCD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（）A．①②③④