2025年中考数学一轮知识梳理考前突破05二次函数性质综合题（2大必考题型）解析版

考前突破05二次函数性质综合题（2大必考题型）题型一：纯性质综合题题型二：交点问题题型一：纯性质综合题【中考母题学方法】1．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线.(1)当时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围.【答案】(1)；(2)或【分析】（）把代入，转化成顶点式即可求解；（）分和两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解；本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键．【详解】（1）解：把代入得，，∴抛物线的顶点坐标为；（2）解：分两种情况：抛物线的对称轴是直线；当时，如图，此时，∴，又∵，∴；当时，如图，此时，解得，又∵，∴；综上，当或，都有．2．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．(1)求二次函数的表达式；(2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，（1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式；（2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可；（3）分为，时，时，建立方程解题即可．【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得，解得，∴；（2）解：点B平移后的点的坐标为，则，解得或（舍），∴m的值为；（3）解：当时，∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去；当时，∴最大值与最小值的差为，符合题意；当时，最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意；综上所述，n的取值范围为．3．（2024·江苏南通·中考真题）已知函数（a，b为常数）．设自变量x取时，y取得最小值．(1)若，，求的值；(2)在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P到y轴的距离；(3)当，且时，分析并确定整数a的个数．【答案】(1)(2)2或1(3)整数a有4个【分析】本题主要考查二次函数的性质和点到坐标轴的距离，以及解不等式方程．根据题意代入化简得，结合二次函数得性质得取最小值时x的取值即可；结合题意得到，代入二次函数中化简得，利用二次函数的性质求得a的值，进一步求得点P，即可知点P到y轴的距离；结合已知得等式化简得，结合的范围求得a的可能值，即可得到整数a的个数．【详解】（1）解：有题意知，当时，y取得最小值8；（2）解：∵点在双曲线上，∴，∴，∵，∴，化解得，解得或，则点或，∴点P到y轴的距离为2或1；（3）解：∵，∴，∴，∵，∴，化简得，∴，则整数a有4个．4．（2024·安徽·中考真题）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．(1)求b的值；(2)点在抛物线上，点在抛物线上．（ⅰ）若，且，，求h的值；（ⅱ）若，求h的最大值．【答案】(1)b=4(2)（ⅰ）3；（ⅱ）【分析】题目主要考查二次函数的性质及化为顶点式，解一元二次方程，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．（1）根据题意求出的顶点为，确定抛物线（b为常数）的顶点横坐标为2，即可求解；（2）根据题意得出，，然后整理化简；（ⅰ）将代入求解即可；（ⅱ）将代入整理为顶点式，即可得出结果．【详解】（1）解：，∴的顶点为，∵抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1，∴抛物线（b为常数）的顶点横坐标为2，∴，∴b=4；（2）由（1）得∵点Ax1,y1在抛物线上，点∴，，整理得：（ⅰ）∵，∴，整理得：，∵，，∴，∴；（ⅱ）将代入，整理得，∵，∴当，即时，h取得最大值为．5．（2024·山东·中考真题）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线．(1)求的值；(2)若点在的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；(3)设的图像与轴交点为，．若，求的取值范围．【答案】(1)(2)新的二次函数的最大值与最小值的和为；(3)【分析】（1）把点代入可得，再利用抛物线的对称轴公式可得答案；（2）把点代入，可得：，可得抛物线为，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：，再利用二次函数的性质可得答案；（3）由根与系数的关系可得，，结合，，再建立不等式组求解即可.【详解】（1）解：∵点在二次函数的图像上，∴，解得：，∴抛物线为：，∴抛物线的对称轴为直线，∴；（2）解：∵点在的图像上，∴，解得：，∴抛物线为，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：，∵，∴当时，函数有最小值为，当时，函数有最大值为∴新的二次函数的最大值与最小值的和为；（3）∵的图像与轴交点为，．∴，，∵，∴，∵，∴即，解得：.【点睛】本题属于二次函数的综合题，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练的利用各知识点建立方程或不等式组解题是关键.6．（2024·山东威海·中考真题）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．(1)若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）：①________；②________；③________．(2)若，，求b的取值范围；(3)当时，最大值与最小值的差为，求b的值．【答案】(1)；；；(2)(3)b的值为或．【分析】本题考查根与系数的关系，二次函数图像与性质，不等式性质，二次函数最值情况，解题的关键在于熟练掌握二次函数图像与性质．（1）根据根与系数的关系得到，以及，即可判断①，利用二次函数的图像与性质得到，进而得到，利用不等式性质变形，即可判断②③．（2）根据题意得到，结合进行求解，即可解题；（3）根据题意得到抛物线顶点坐标为，对称轴为；当时，，当时，，由最大值与最小值的差为，分以下情况①当在取得最大值，在取得最小值时，②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，③当在取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解，即可解题．【详解】（1）解：与x轴交点的坐标分别为，，且，，且抛物线开口向上，与x轴交点的坐标分别为，，且．即向上平移1个单位，，且，①；，，即②；，即③．故答案为；；；；（2）解：，，，，；（3）解：抛物线顶点坐标为，对称轴为；当时，，当时，，①当在取得最大值，在取得最小值时，有，解得（舍去）；②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，有，解得（舍去）或，③当在取得最大值，在顶点取得最小值时，有，解得（舍去）或；综上所述，b的值为或．7．（2024·广东广州·中考真题）已知抛物线过点和点，直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且．(1)求抛物线的对称轴；(2)求的值；(3)直线绕点以每秒的速度顺时针旋转秒后得到直线，当时，直线交抛物线于，两点．①求的值；②设的面积为，若对于任意的，均有成立，求的最大值及此时抛物线的解析式．【答案】(1)对称轴为直线：；(2)(3)①，②的最大值为，抛物线为；【分析】（1）直接利用对称轴公式可得答案；（2）如图，由，可得在的左边，，证明，可得，设，建立，可得：，，再利用待定系数法求解即可；（3）①如图，当时，与抛物线交于，由直线，可得，可得，从而可得答案；②计算，当时，可得，则，，可得，可得当时，的最小值为，再进一步求解可得答案．【详解】（1）解：∵抛物线，∴抛物线对称轴为直线：；（2）解：∵直线过点，∴，如图，∵直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且，∴在的左边，，∵在抛物线的对称轴上，∴，∴，设，∴，解得：，∴，∴，∴，解得：；（3）解：①如图，当时，与抛物线交于，∵直线，∴，∴，解得：，②∵，当时，，∴，∴，，∴，∵，∴当时，的最小值为，∴此时，∵对于任意的，均有成立，∴的最大值为，∴抛物线为；【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，一次函数的性质，坐标与图形面积，一元二次方程根与系数的关系，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键．8．（2024·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点、是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为、，点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，连结、．(1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)求证：当取不为零的任意实数时，的值始终为2；(3)作的垂直平分线交直线于点，以为边、为对角线作菱形，连结．①当与此抛物线的对称轴重合时，求菱形的面积；②当此抛物线在菱形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)见详解(3)①；②或或【分析】（1）将代入，解方程即可；（2）过点B作于点H，由题意得，则，，因此；（3）①记交于点M，，而对称轴为直线，则，解得：，则，，由，得，则，因此；②分类讨论，数形结合，记抛物线顶点为点F，则，故菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线，当时，符合题意；当m继续变大，直至当直线经过点F时，符合题意，过点F作于点Q，由，得到，解得：或（舍），故，当时，发现此时菱形包含了对称轴左侧的抛物线，不符合题意；当时，符合题意：当m继续变小，直至点A与点F重合，此时，故；当m继续变小，直线经过点F时，也符合题意，过点F作于点Q，同上可得，，解得：或（舍），当m继续变小时，仍符合题意，因此，故m的取值范围为：或或．【详解】（1）解：将代入，得：，解得：，∴抛物线表达式为：；（2）解：过点B作于点H，则，由题意得：，∴，，∴在中，；（3）解：①如图，记交于点M，由题意得，，由，得：对称轴为直线：∵四边形是菱形，∴点A、C关于对称，，∵与此抛物线的对称轴重合，∴，解得：，∴，∴∴，∵，∴，则，∴；②记抛物线顶点为点F，把代入，得：，∴，∵抛物线在菱形内部的点的纵坐标随的增大而增大，∴菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线，当时，如图，符合题意，当m继续变大，直至当直线经过点F时，符合题意，如图：过点F作于点Q，∵四边形是菱形，∴，∴，∴，∴，解得：或（舍），∴，当时，如图，发现此时菱形包含了对称轴左侧的抛物线，不符合题意；当时，如图，符合题意：当m继续变小，直至点A与点F重合，此时，符合题意，如图：∴；当m继续变小，直至直线经过点F时，也符合题意，如图：过点F作于点Q，同上可得，，∴，解得：或（舍），当m继续变小时，仍符合题意，如图：∴，综上所述，m的取值范围为：或或．【点睛】本题考查了抛物线与几何的综合，菱形的性质，待定系数法求函数解析式，求锐角的正切值，正确理解题意，利用数形结合的思想，找出临界状态是解决本题的关键．【中考模拟即学即练】9．（2025·上海虹口·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．(1)求的值以及抛物线的对称轴；(2)将该抛物线向右平移个单位后得到新抛物线，如果新抛物线经过原点，求的值．【答案】(1)，直线x=2(2)1或3【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键．（1）将点B坐标代入解析式求出m值，再写出抛物线解析式顶点式，据此写出对称轴即可；（2）先求出平移后的解析式，根据抛物线图象上点的坐标特征求出n值即可．【详解】（1）解：∵抛物线经过点，∴，解得，∴抛物线解析式为：，∴抛物线的对称轴为直线；（2）解：将抛物线向右平移n个单位后得到新抛物线为，∵新抛物线经过原点，∴，解得或1．10．（2025·江西景德镇·模拟预测）抛物线的顶点到轴的距离为3．(1)求抛物线的顶点坐标；(2)若抛物线与轴有两个交点，当，求的取值范围．【答案】(1)或(2)【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）配方得到顶点式，然后根据题意得到，求出c的值即可得到顶点坐标；（2）先根据题意得到，即可得到抛物线的解析式，然后根据二次函数的增减性解题即可．【详解】（1）解：，∵顶点到轴的距离为3，∴，解得：或，当时，顶点坐标为；当时，顶点坐标为；（2）解：∵抛物线与轴有两个交点，∴，解得：，∴，抛物线的解析式为，又∵对称轴x=1在内，∴当x=1时取得最小值为；又∵，∴离对称轴远，即有最大值，最大值为，∴的取值范围为．11．（2024·浙江台州·模拟预测）已知抛物线：经过点．(1)求的函数表达式及其顶点坐标；(2)若点和在抛物线上，且，．①求A，B两点的坐标；②将拋物线平移得到抛物线：．当时，抛物线的函数最大值为p，最小值为q，若，求k的值．【答案】(1)的函数表达式为，顶点坐标为(2)①，；②或【分析】本题主要考查二次函数的图像与几何变换，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）把点把代入解析式求出，利用顶点式即可求出顶点坐标；（2）①由抛物线对称性得到，解得即可得到答案；②分三种情况讨论，根据二次函数图像上点的坐标特征，表示出，根据题意得到关于的方程，解方程即可．【详解】（1）解：把代入得：，的函数表达式为．顶点坐标为；（2）解：①由得：，，，．，；②：的对称轴为：直线，顶点为由①得：，Ⅰ．当时，，则：，；，，，解得：（舍）．Ⅱ．当时，，则：，；，，，解得：（舍）．Ⅲ．当时，，，，若，则：，即：，此时，，，解得：（舍），（符合）若，则：，即：，此时，，，解得：（符合），（舍）综上所述：或．12．（2024·贵州六盘水·二模）已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，．(1)求二次函数的表达式(2)将二次函数的图象向右平移个单位，图象经过点，求m的值；(3)在由（2）平移后的图象上，当时，函数的最小值为，求n的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】本题考查了二次函数图像性质，求二次函数解析式，二次函数图像平移性质，二次函数最值，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．（1）根据题意设二次函数解析式为，再代入一个其图象经过点，求出的值即可求得二次函数的表达式；（2）根据二次函数图像平移性质“左加右减，上加下减”，可得平移后二次函数解析式，再将其图象经过的点代入即可求得m的值；（3）由（2）可得平移后二次函数解析式，先求出函数取值为时，的值，根据二次函数图像性质，可知的取值在左侧或在右侧，根据分别讨论两种情况即可．【详解】（1）解：二次函数图象的顶点坐标为，设二次函数解析式为：，二次函数图象经过点，，，解得：，二次函数解析式为；（2）解：将二次函数的图象向右平移个单位后，二次函数解析式为，平移后二次函数图象经过点，，解得：，（舍去），的值为；（3）解：由（2）可知：平移后二次函数解析式为，函数图像开口向上，对称轴为，当函数取值为时，则有，解得：，，当时，函数的最小值为，的取值为或，①当的取值为时，则有，解得：，②当的取值为时，则有，解得：，的值为或．13．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图是二次函数的图象，根据图象回答下列问题：(1)二次函数的图象与的图象有什么相同和不同（各写出两条）；(2)若有一个二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限，写出一个符合条件的二次函数的表达式．【答案】(1)见解析(2)（答案不唯一）【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．（1）根据二次函数的图象与二次函数的图象进行解答即可；（2）根据二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限，写出答案即可．【详解】（1）解：二次函数的图象与二次函数的图象：相同点是：①开口向上，②对称轴都是y轴，不同点：①二次函数的图象的顶点是，二次函数的图象的顶点是，②开口大小不同，二次函数的图象的开口大于二次函数的图象的开口；（2）解：二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限，则即可满足题意．14．（2025·湖北黄石·一模）如图1，抛物线交x轴于A，C两点，交y轴于点B，对称轴为，若点A的坐标为，，点为某个动点．(1)直接写出点B，C的坐标；(2)当点D在抛物线上且在对称轴右侧时，设直线的解析式为，依据函数图象试求不等式的解集；(3)如图2，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，记，求n关于m的函数解析式．当n随m的增大而增大时，求m的取值范围．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】本题主要考出了二次函数的性质、二次函数与不等式的综合、二次函数的综合等知识点，掌握数形结合思想以及灵活运用二次函数的性质成为解题的关键．（1）先由二次函数的对称性可得，再结合即可确定点B的坐标；（2）先求出二次函数解析式，由题意可得，解得：或，进而确定，即，再结合函数图象即可解答；（3）由第（2）问可知：点D在直线上运动，其中，进而可得；再分当或时，；当时，两种情况，分别利用二次函数的增减性解答即可．【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为，交x轴于A，C两点且点A的坐标为，∴，∴，∵，∴．（2）解：∵抛物线交x轴于A，C两点，交y轴于点B，∴，解得：，∴函数解析式为，∵函数解析式为，点在抛物线上，∴，解得：或，∵D点在对称轴的右边，∴，∴，即∴可以看作抛物线在直线的下方，∴由以上函数图象可知：或；（3）解：由第（2）问可知：点D在直线上运动，其中，，，∴当或时，；当时，，分类讨论如下：当或时，，∵，对称轴，当时，n随m的增大而增大，∴时，n随m的增大而增大；当时，，∵，抛物线开口向下，对称轴为；当时，n随m的增大而增大，∴时，n随m的增大而增大；综上所述：当n随m的增大而增大时，或．15．（2024·贵州遵义·三模）如图，是小明在自家院子里晾晒衣服的示意图，他发现此时晾衣绳的形状可以近似的看作一条抛物线．经过测量，他发现立柱，均与地面垂直，且，、之间的水平距离．绳子最低点与地面的距离为．(1)按如图（1）建立的平面直角坐标系，求抛物线的解析式.(2)由于晾晒的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小明用一根垂直于地面的立柱撑起绳子，如图（2）的高度为，通过调整的位置，使左边抛物线对应的函数关系式为，且最低点离地面1.4米，求水平距离.(3)在（2）的条件下，小明测得右边抛物线对应的函数关系式为，将图（2）中，两条抛物线组成的新函数图象整体向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出m的取值范围．【答案】(1)(2)(3)或．【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，待定系数法求函数的解析式，函数图象平移的性质，以及利用数形结合的思想是解题的关键．（1）根据题意可得，抛物线的对称轴为，顶点坐标为，点，点，设设抛物线的表达式为：，将点代入求解即可；（2）根据的最低点离地面1.4米，可得，：，将点可求出抛物线的表达式，根据的高度为，令，求出横坐标的值，即可求得，进而得到水平距离；（3）由于抛物线：，抛物线：的对称轴分别为和，当或时，y的值随x值的增大而减小，将新函数图象向右平移m个单位长度，可得平移后的函数图象的对称轴分别为，，由于平移不改变图形形状和大小，故当或时，y的值随x值的增大而减小，而新函数图象在时，y的值随x值的增大而减小，利用数形结合可知，区间必须包含在或区间内，才能满足条件，分情况讨论即可得解．【详解】（1）解：（1）如图所示，由题意得，抛物线的对称轴为，顶点的坐标为：，点，点，设抛物线的表达式为：，将点代入得：，，∴或（2）解：如图所示，由题知，的最低点离地面1.4米，∴∴抛物线的表达式为：，∵点A在抛物线上，∴当时，，∴∴则抛物线的表达式为：或∴当时，即，整理得：∴，（不合题意，舍去）∴，（米）．（3）解：由（2）题可知，抛物线：，抛物线：的对称轴分别为和，此时，当或时，y的值随x值的增大而减小，将新函数图象向右平移m个单位长度，可得平移后的函数图象的对称轴分别为，如图所示，∵平移不改变图形形状和大小，∴当或时，y的值随x值的增大而减小，∴当时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，得m的取值范围是：①且，得，②且，得，由题意知，综上所述，m的取值范围是或．16．（2024·江苏盐城·二模）已知二次函数的图象开口向下，且经过，两点．(1)（填“”或“”）；当时，求的值；(2)若点和点也在二次函数图象上，且，．求的取值范围；若两不同点和都在二次函数的图象上，且始终满足，求的取值范围．【答案】(1)；(2)；【分析】（1）依据题意，由抛物线开口向下，从而可以判断得解；依据题意，当时，可得抛物线的对称轴是直线，于是得解；（2）依据题意，由，且，可得，结合点在轴下方，点在轴上方，可得二次函数的图象与轴有两个交点，又因图象过点，从而可判断是抛物线与轴右侧的交点，故，又因点和二次函数与轴的左侧的交点关于直线对称，从而左侧交点坐标为，结合在轴上方，则，从而，再依据抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，结合在轴下方，且，可得，进而可以得解；依据题意，点，都在二次函数图象上，且，又因，从而在点的右方和上方，又因，故点在对称轴右侧，结合二次函数在对称轴右侧时，值随的增大而减小，从而必在对称轴左侧，即有，故，再由得点更靠近对称轴，可得，又因，，得，结合，于是有，进而可以得解．【详解】（1）解：由题意，抛物线开口向下，，故答案为：；当时，抛物线的对称轴是直线，；（2）解：由题意，，且，，点在轴下方，点在轴上方，二次函数的图象与轴有两个交点，图象过点，当为抛物线与轴左侧的交点时，则时，二次函数的图象均在轴下方，此时点，两点也都在轴下方，这与题意矛盾，故不成立，从而是抛物线与轴右侧的交点，，又点和二次函数与轴的左侧的交点关于直线对称，左侧交点横坐标为，左侧交点坐标为，又在轴上方，于是有，，即，在轴下方，且，又抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，，，综上，；依据题意，点，都在二次函数图象上，且，又，在点的右方和上方，又，点在对称轴右侧，又二次函数在对称轴右侧时，值随的增大而减小，必在对称轴左侧，，，，由得点更靠近对称轴，，，，，，，，，，即，或，．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与系数的关系，轴对称的性质，解一元一次不等式，求绝对值，解一元二次不等式，解一元一次不等式组等知识点，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．题型二：交点问题【中考母题学方法】1．（2020·江苏盐城·中考真题）若二次函数的图像与轴有两个交点，且经过点过点的直线与轴交于点与该函数的图像交于点（异于点）．满足是等腰直角三角形，记的面积为的面积为，且．（1）抛物线的开口方向（填“上”或“下”）；（2）求直线相应的函数表达式；（3）求该二次函数的表达式．【答案】（1）上；（2）；（3）【分析】(1)由抛物线经过点M、N、A点即可确定开口向上；(2)根据是等腰直角三角形分三种情况讨论，只能是，此时，由此算出C点坐标，进而求解；(3)过B点作BH⊥x轴，由得到，由OA的长求出BH的长，再将B点纵坐标代入直线l中求出B点坐标，最后将A、B、N三点坐标代入二次函数解析式中求解即可．【详解】解：(1)∵抛物线经过点M、N、A，且M、N点在x轴正半轴上，A点在y轴正半轴上，∴抛物线开口向上，故答案为：上．(2)①若，则与重合，直线与二次函数图像交于点∵直线与该函数的图像交于点（异于点）∴不合符题意，舍去；②若，则在轴下方，∵点在轴上，∴不合符题意，舍去；③若则设直线将代入：，解得直线．故答案为：．(3)过点作轴，垂足为，，，又，，又，，即点纵坐标为，又(2)中直线l经过B点，将代入中，得，，将三点坐标代入中，得，解得，抛物线解析式为．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数和一次函数的交点坐标，等腰直角三角形分类讨论的思想，熟练掌握二次函数的图形及性质是解决此类题的关键．2．（2021·四川雅安·中考真题）已知二次函数．（1）当该二次函数的图象经过点时，求该二次函数的表达式；（2）在(1)的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C,点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值;（3）若对满足的任意实数x，都使得成立，求实数b的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）-3≤b≤1．【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；（2）先求出A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-3)，设运动时间为t，则AP=2t，BQ=t，BP=4-2t，过点M作MQ⊥x轴，可得MQ=t，从而得到△BPQ的面积的表达式，进而即可求解；（3）设，结合函数图像的对称轴，开口方向，分两种情况：或，进而即可求解．【详解】解：（1）把代入，得：，解得：b=1，∴该二次函数的表达式为：；（2）令y=0代入，得：，解得：或，令x=0代入得：y=-3，∴A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-3)，设运动时间为t，则AP=2t，BQ=t，∴BP=4-2t，过点M作MQ⊥x轴，∵OB=OC=3，∴∠OBC=45°，∴是等腰直角三角形，∴MQ=BQ=t，∴△BPQ的面积==，∴当t=1时，△BPQ面积的最大值=；（3）抛物线的对称轴为：直线x=-b，开口向上，设，∵对的任意实数x，都使得成立，∴或，∴-1≤b≤1或-3≤b＜-1，∴-3≤b≤1．【点睛】本题主要考查二次函数综合，掌握待定系数法，二次函数的性质以及根据图像对称轴位置，列出不等式组，是解题的关键．3．（2020·湖南株洲·中考真题）如图所示，二次函数的图像（记为抛物线）与y轴交于点C，与x轴分别交于点A、B，点A、B的横坐标分别记为，，且．（1）若，，且过点，求该二次函数的表达式；（2）若关于x的一元二次方程的判别式．求证：当时，二次函数的图像与x轴没有交点．（3）若，点P的坐标为，过点P作直线l垂直于y轴，且抛物线的顶点在直线l上，连接OP、AP、BP，PA的延长线与抛物线交于点D，若，求的最小值．【答案】（1）；（2）见解析；（3）【分析】（1）根据题意，把，，点，代入解析式，即可求出解析式；（2）利用根的判别式进行判断，即可得到结论；（3）根据二次函数的性质，得到，结合根与系数的关系，得到，然后证明，得到，然后得到，利用二次根式的性质即可得到答案．【详解】解：（1）由题意得：，∵函数过点，∴，∴，∴．（2）由题意，一元二次方程的判别式．∴，∴，在函数中，∵，∴，即函数图象与x轴没有交点．（3）因为函数顶点在直线l上，则有，即①∵，∴，即，∴，由①得：②∵，∴∵，∴，则．∴，∴，∴．∴，∴．由②得：，∴，∴当时，．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，二次函数的最值等知识进行解题．4．（2020·江苏连云港·中考真题）在平面直角坐标系中，把与轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”．如图，抛物线的顶点为，交轴于点、（点在点左侧），交轴于点．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为．

（1）若抛物线经过点，求对应的函数表达式；（2）当的值最大时，求点的坐标；（3）设点是抛物线上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若与相似，求其“共根抛物线”的顶点的坐标．【答案】（1）；（2）点；（3）或或或【分析】（1）由“共根抛物线”定义可知抛物线经过抛物线与x轴交点，故根据抛物线可求AB两点坐标进而由交点式设为，将点代入，即可求出解；（2）由抛物线对称性可知PA=PB，∴，根据三角形两边之差小于第三边可知当当、、三点共线时，的值最大，而P点在对称轴为上，由此求出点P坐标；（3）根据点ABC坐标可证明△ABC为直角三角形，与相似，分两种情况讨论：当、时，分别利用对应边成比例求解即可．【详解】解：（1）当时，，解得，．∴、、．由题意得，设对应的函数表达式为，又∵经过点，∴，∴．∴对应的函数表达式为．（2）∵、与轴交点均为、，∴、的对称轴都是直线．∴点在直线上．∴．如图1，当、、三点共线时，的值最大，此时点为直线与直线的交点．由、可求得，直线对应的函数表达式为．∴点．

（3）由题意可得，，，，因为在中，，故．由，得顶点．因为的顶点P在直线上，点Q在上，∴不可能是直角．第一种情况：当时，①如图2，当时，则得．设，则，∴．由得，解得．∵时，点Q与点P重合，不符合题意，∴舍去，此时．②如图3，当时，则得．设，则．∴．由得，解得（舍），此时．第二种情况：当时，①如图4，当时，则得．

过Q作交对称轴于点M，∴．∴．由图2可知，∴．∴，又，代入得．∵点，∴点．②如图5，当时，则．

过Q作交对称轴于点M，∴，则．由图3可知，，∴，，∴．又，代入得．∵点，∴点，综上所述，或或或．【点睛】本题是二次函数的综合题，关键是根据待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及相似三角形的性质解答．【中考模拟即学即练】5．（2024·浙江杭州·二模）已知二次函数在和时的函数值相等．(1)求二次函数图像的对称轴；(2)若二次函数的图像与x轴只有一个交点，求b的值．【答案】(1)(2)4【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与一元二次方程的应用．（1）依题意结合二次函数对称性可直接求出其对称轴；（2）由函数与x轴只有一个交点，进而转化为一元二次方程判别式为0建立等量关系求出b．【详解】（1）解：∵二次函数在和函数值相等，∴对称轴为直线．（2）解：由（1）得，又∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，∴解得，6．（2024·浙江宁波·一模）若二次函数与x轴只有一个交点，且经过和．(1)用含a的代数式表示m;(2)若点也在该二次函数的图象上，求该二次函数的解析式．【答案】(1)(2)二次函数的解析式为或【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与轴的交点问题；（1）根据和得出对称轴为直线则，即可求解．（2）根据题意得出与关于对称轴对称，则，根据二次函数与x轴只有一个交点得出，即可求解．【详解】（1）由可得，对称轴为直线（2）当时，由对称轴直线可知，与关于对称轴对称∵二次函数与x轴只有一个交点∴二次函数的解析式为或7．（2025·上海崇明·一模）已知抛物线的顶点为，与轴相交与点．(1)求点、的坐标；(2)将该二次函数图像向上平移，使平移后所得图像经过坐标原点，与轴的另一个交点为，求的值．【答案】(1)，(2)【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）先利用配方法求出顶点的坐标，再令求出的值，即可得到点的坐标；（2）设平移后抛物线的解析式为，求出的值，即可得到点的坐标，得到，计算即可得到答案．【详解】（1）解：顶点坐标为令，则，；（2）解：设平移后得解析式把代入得,，当时，,另一个交点，,，，在中，,．8．（2024·云南·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为A、B（点A在点B的左侧），且．(1)求抛物线的对称轴及m与a的数量关系；(2)若将此抛物线在点A、B之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）记为C，当在C内的整点（横、纵坐标都为整数的点）有且仅有7个时，求出a的取值范围．【答案】(1)对称轴为直线，(2)或【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知识：（1）把抛物线的解析式化为顶点式可得抛物线的对称轴，再由，可得点A的坐标为，再把代入，即可求解；（2）根据题意可得线段上的整数点有三个：，，，然后分两种情况：当时；当时，结合在C内的整点（横、纵坐标都为整数的点）有且仅有7个，即可求解．【详解】（1）解：∵，∴抛物线的对称轴为直线，∵，∴点A的坐标为，把代入得：，∴；（2）解：由（1）得：抛物线的解析式为，点A的坐标为，点B的坐标为，此时线段上的整数点有三个：，，，∴顶点坐标为，∵在C内的整点（横、纵坐标都为整数的点）有且仅有7个，当时，，∴；当时，，∴；综上所述，a的取值范围为或．9．（2025·上海静安·一模）二次函数的部分图像如图所示，已知它与轴的一个交点坐标是，且对称轴是直线．(1)填空：①a与b的数量关系为：；②图像与轴的另一个交点坐标为．(2)如果该函数图像经过点，求它的顶点坐标．【答案】(1)①；②(2)【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图像与性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的对称性是解题关键．（1）①根据二次函数的对称轴可得，由此即可得；②根据二次函数的对称性求解即可得；（2）根据（1）可设二次函数的解析式为，将点代入求出二次函数的解析式，再根据二次函数的解析式的顶点式求解即可得．【详解】（1）解：①∵二次函数的对称轴是直线，∴，∴，故答案为：；②∵二次函数的图像与轴的一个交点坐标是，且对称轴是直线，∴图像与轴的另一个交点坐标为，即为，故答案为：．（2）解：∵二次函数的图像与轴的两个交点坐标是和，∴可设二次函数的解析式为，∵这个函数图像经过点，∴，解得，∴二次函数的解析式为，∴它的顶点坐标为．10．（2024·福建福州·模拟预测）已知二次函数．(1)当时，①若该函数图像的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式；②若方程有两个相等的实数根，求证：；(2)若，已知点，点，当二次函数的图像与线段有交点时，直接写出a的取值范围．【答案】(1)①②见解析(2)或【分析】（1）①根据对称轴求得，再把0,3代入得，，即可求解；②根据一元二次方程的根与判别式的关系可得，再利用配方法可得，根据平方的非负性可得，即可求解；（2）由题意可得，从而求得抛物线的顶点为，抛物线与x轴的交点为1,0、，当抛物线过点或时，根据二次函数的图象与性质求解即可．【详解】（1）解：①∵，对称轴为直线，∴，∴，把点0,3代入得，，∴该函数的表达式为；②∵方程有两个相等的实数根，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，，∴，∴抛物线的顶点为，把代入得，，解得或，∴抛物线与x轴的交点为1,0、，当抛物线过点时，，解得，如图，根据越大，抛物线的开口越小，当时，二次函数的图像与线段有交点，当抛物线过点时，，解得，如图，当时，二次函数的图像与线段有交点，综上所述，当或时，二次函数的图像与线段有交点．【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程的根与判别式的关系，运用数形结合思想是解题的关键．11．（2024·贵州安顺·一模）如图，二次函数与轴有两个交点，其中一个交点为，且图象过点，过，两点作直线．(1)求该二次函数的表达式，并用顶点式来表示；(2)将二次函数向左平移1个单位，得函数__________；与轴的交点坐标为__________；(3)在（2）的条件下，将直线向下平移个单位后与函数的图象有唯一交点，求的值．【答案】(1)(2)，(3)【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合题．（1）用待定系数法直接将点代入即可；（2）涉及函数