高等数学（经济类）第5版课件：微分方程

微分方程—积分问题—微分方程问题

推广微分方程的基本概念

第一节微分方程的基本概念引例几何问题物理问题

引例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:

设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:①(C为任意常数)由②得C=1,因此所求曲线方程为②由①得切线斜率为2x,求该曲线的方程.

引例2.列车在平直路上以的速度行驶,制动时获得加速度求制动后列车的运动规律.解:设列车在制动后

t

秒行驶了s

米,已知由前一式两次积分,可得利用后两式可得因此所求运动规律为说明:

利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,以及制动后行驶了多少路程.即求

s

=s(t).

常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程

.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)(n

阶显式微分方程)微分方程的基本概念一般地,n

阶常微分方程的形式是的阶.分类或

引例2—

使方程成为恒等式的函数.通解—

解中所含独立的任意常数的个数与方—

确定通解中任意常数的条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):程的阶数相同.特解引例1

通解:特解:微分方程的解—不含任意常数的解,定解条件其图形称为积分曲线.

例1.

验证函数是微分方程的解,的特解.解:

这说明是方程的解.

是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:故所求特解为故它是方程的通解.并求满足初始条件

求所满足的微分方程.例2.已知曲线上点

P(x,y)处的法线与x

轴交点为

Q解:如图所示,令Y=0,得

Q

点的横坐标即点P(x,y)处的法线方程为且线段PQ被y轴平分,第二节内容小结微分方程的概念微分方程;定解条件;说明:

通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程解;阶;通解;特解y=–x

及

y=C

第二节一阶微分方程一、可分离变量的微分方程二、齐次方程三、一阶线性微分方程

转化

解分离变量方程可分离变量方程一、可分离变量的微分方程分离变量方程的解法:设y＝

(x)

是方程①的解,两边积分,得①则有恒等式②当G(y)与F(x)可微且G’(y)＝g(y)≠0时,说明由②确定的隐函数y＝

(x)是①的解.则有称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当F’(x)=f(x)≠0时,上述过程可逆,由②确定的隐函数x＝

(y)也是①的解.

例1.求微分方程的通解.解:

分离变量得两边积分得即(C

为任意常数)或说明:

在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)

例2.

解初值问题解:

分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C

为任意常数)故所求特解为

例3.

求下述微分方程的通解:解:

令则故有即解得(C为任意常数

)所求通解:

练习:解法1分离变量即(C<0

)解法2故有积分(C

为任意常数)所求通解:

例4.子的含量

M

成正比,求在衰变过程中铀含量M(t)

随时间t

的变化规律.解:

根据题意,有(初始条件)对方程分离变量,即利用初始条件,得故所求铀的变化规律为然后积分:已知

t=0时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原

二、齐次方程形如的方程叫做齐次方程

.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:例1.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(

当C=0

时,

y=0

也是方程的解)(C

为任意常数)

例2.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明:

显然

x=0,y=0,y=x

也是原方程的解,但在(C

为任意常数)求解过程中丢失了.

可得OMA=OAM=

例3.在制造探照灯反射镜面时,解:设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线绕

x

轴旋转而成.过曲线上任意点M(x,y)作切线MT,由光的反射定律:入射角=反射角取x

轴平行于光线反射方向,从而AO=OM要求点光源的光线反射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状.而AO于是得微分方程:

利用曲线的对称性,不妨设

y>0,积分得故有得

(抛物线)故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程)

顶到底的距离为

h,说明:则将这时旋转曲面方程为若已知反射镜面的底面直径为d,代入通解表达式得

三、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若Q(x)

0,若Q(x)

0,称为非齐次方程

.1.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程

;

对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得

例1.解方程

解:先解即积分得即用常数变易法求特解.令则代入非齐次方程得解得故原方程通解为

例2.

求方程的通解.解:注意x,y

同号,由一阶线性方程通解公式

,得故方程可变形为所求通解为这是以为因变量,

y为

自变量的一阶线性方程

在闭合回路中,所有支路上的电压降为0例3.有一电路如图所示,电阻

R

和电∼解:列方程.已知经过电阻R的电压降为Ri

经过L的电压降为因此有即初始条件:由回路电压定律:其中电源求电流感L

都是常量,

∼解方程:由初始条件:得利用一阶线性方程解的公式可得

暂态电流稳态电流∼因此所求电流函数为解的意义:

思考与练习1.求下列方程的通解:提示:(1)

分离变量(2)

方程变形为

2.判别下列方程类型:提示:

可分离变量方程齐次方程线性方程线性方程

备用题1.

求一连续可导函数使其满足下列方程:提示:令则有利用公式可求出

2.设有微分方程其中试求此方程满足初始条件的连续解.解:1)先解定解问题利用通解公式,得利用得故有

2)再解定解问题此齐次线性方程的通解为利用衔接条件得因此有3)原问题的解为

可降阶高阶微分方程

第三节一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程

一、令因此即同理可得依次通过

n

次积分,可得含

n

个任意常数的通解.型的微分方程

例1.解:

例2.质量为

m

的质点受力F

的作用沿ox

轴作直线运动,在开始时刻随着时间的增大,此力

F

均匀地减直到t=T时

F(T)=0.如果开始时质点在原点,解:据题意有t=0

时设力F仅是时间t

的函数:F=F(t).小,求质点的运动规律.初初速度为0,且对方程两边积分,得

利用初始条件于是两边再积分得再利用故所求质点运动规律为

型的微分方程

设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分,得原方程的通解二、

例3.求解解:代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为

例4.绳索仅受重力作用而下垂,解:取坐标系如图.考察最低点A到(

:

密度,s:弧长)弧段重力大小按静力平衡条件,有故有设有一均匀,柔软的绳索,两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?任意点M(x,y)弧段的受力情况:

A

点受水平张力HM

点受切向张力T两式相除得

则得定解问题:原方程化为两端积分得则有两端积分得故所求绳索的形状为悬链线

三、型的微分方程

令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分,得原方程的通解

例5.求解代入方程得两端积分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为解:

M:地球质量m:物体质量例6.

始落向地面,求它落到地面时的速度和所需时间(不计空气阻力).解:

如图所示选取坐标系.则有定解问题:代入方程得积分得一个离地面很高的物体,受地球引力的作用由静止开

两端积分得因此有注意“－”号

由于y=R

时由原方程可得因此落到地面(y=R)时的速度和所需时间分别为

说明:

若此例改为如图所示的坐标系,解方程可得问:

此时开方根号前应取什么符号?说明道理.则定解问题为

例7.解初值问题解:

令代入方程得积分得利用初始条件,根据积分得故所求特解为得

为曲边的曲边梯形面积上述两直线与x

轴围成的三角形面例8.二阶可导,且上任一点P(x,y)

作该曲线的切线及x轴的垂线,区间[0,x]上以解:于是在点P(x,y)处的切线倾角为

,满足的方程.积记为(99考研)

再利用y(0)=1得利用得两边对x

求导,得定解条件为方程化为利用定解条件得得故所求曲线方程为

内容小结可降阶微分方程的解法——降阶法逐次积分令令

思考与练习1.方程如何代换求解?答:

令或一般说,用前者方便些.均可.有时用后者方便.例如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.例6例7

速度大小为2v,方向指向A,提示:设t时刻

B位于(x,y),如图所示,则有去分母后两边对

x

求导,得又由于设物体

A

从点(0,1)出发,以大小为常数v的速备用题度沿y轴正向运动,物体B

从(–1,0)出发,试建立物体B

的运动轨迹应满足的微分方程及初始条件.①

高阶线性微分方程第四节二、线性微分方程解的结构三、二阶常系数齐次线性微分方程

一、二阶线性微分方程举例

四、二阶常系数非齐次线性微分方程

证毕一、线性微分方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证:代入方程左边,得(叠加原理)

定理1.

说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解并不是通解但是则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.

定义:是定义在区间I

上的

n个函数,使得则称这

n个函数在I

上线性相关,否则称为线性无关.例如，

在(,)上都有故它们在任何区间I

上都线性相关;又如，若在某区间

I

上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见在任何区间

I

上都线性无关.若存在不全为

0

的常数

两个函数在区间I

上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关存在不全为0的使(无妨设线性无关常数思考:中有一个恒为0,则必线性相关(证明略)线性无关

定理2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则数)是该方程的通解.例如,方程有特解且常数,故方程的通解为(自证)

推论.是

n

阶齐次方程的n

个线性无关解,则方程的通解为

是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理3.则是非齐次方程的通解.证:

将代入方程①左端,得②①复习是非齐次方程的解,又Y中含有两个独立任意常数,例如,

方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而②也是通解.

定理4.分别是方程的特解,是方程的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)定理3,定理4均可推广到n

阶线性非齐次方程.

定理5.是对应齐次方程的n

个线性无关特解,给定n

阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解

常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解,是任意例3.提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)(89考研)

例4.

已知微分方程个解求此方程满足初的特解.解:是对应齐次方程的解,且常数因而线性无关,故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三

始条件

基本思路:求解常系数线性齐次微分方程求特征方程(代数方程)之根转化二、二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子,代入①得称②为微分方程①的特征方程,1.当时,②有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为(r

为待定常数),①所以令①的解为②则微分其根称为特征根.

2.当时,

特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,则得因此原方程的通解为

3.当时,

特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:

利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为

小结:特征方程:实根特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.

若特征方程含k

重复根若特征方程含k

重实根r,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项特征方程:推广:

例1.的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程的通解为例2.

求解初值问题解:

特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为

例3.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解为例4.解:

特征方程:特征根:原方程通解:(不难看出,原方程有特解推广例5.解:特征方程:即其根为方程通解:

例6.解:

特征方程:特征根为则方程通解:

1、2、三、二阶常系数非齐次线性微分方程

二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法

1、

为实数,设特解为其中为待定多项式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为为m

次多项式.Q(x)为

m次待定系数多项式

(2)若是特征方程的单根

,为m

次多项式,故特解形式为(3)若

是特征方程的重根,是m

次多项式,故特解形式为小结对方程①,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.即即当是特征方程的k重根时,可设特解

例1.的一个特解.解:

本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为

例2.

的通解.

解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为

例3.

求解定解问题解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得

于是所求解为解得

2、第二步求出如下两个方程的特解分析思路:第一步将f(x)转化为第三步利用叠加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特点

第一步利用欧拉公式将f(x)变形

第二步求如下两方程的特解

是特征方程的

k

重根(

k=0,1),故等式两边取共轭:为方程③的特解.②③设则②有特解:

第三步求原方程的特解

利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:原方程

均为

m

次多项式.

第四步分析因均为

m

次实多项式.本质上为实函数,

小结:对非齐次方程则可设特解:其中为特征方程的

k

重根(k=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.

例4.

的一个特解

.解:本题特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解

例5.

的通解.

解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为

例6.解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根利用叠加原理,可设非齐次方程特解为设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:

内容小结特征根:(1)当时,通解为(2)当时,通解为(3)当时,通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.

为特征方程的k(＝0,1,2)重根,则设特解为为特征方程的k(＝0,1)重根,则设特解为3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.

思考与练习时可设特解为时可设特解为提示:1.

(填空)

设

2.

求微分方程的通解(其中为实数).解:

特征方程特征根:对应齐次方程通解:时,代入原方程得故原方程通解为时,代入原方程得故原方程通解为

3.已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解.解:

将特解代入方程得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:原方程通解为

备用题为特解的4阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.解:

根据给定的特解知特征方程有根:因此特征方程为即故所求方程为其通解为

微分方程的解法

习题课一、一阶微分方程求解

第十二章二、两类二阶微分方程的解法一、一阶微分方程求解1.一阶标准类型方程求解关键:辨别方程类型,掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解(1)变量代换法——代换自变量代换因变量代换某组合式(2)积分因子法——选积分因子,解全微分方程四个标准类型:可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程

例1.求下列方程的通解提示:(1)故为分离变量方程:通解

方程两边同除以x

即为齐次方程,令y=ux,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解.化为

方法1

这是一个齐次方程.方法2

化为微分形式故这是一个全微分方程.

例2.求下列方程的通解:提示:(1)令u=xy,得(分离变量方程)原方程化为令y=ut(齐次方程)令t=x–1,则可分离变量方程求解化方程为

例3.

设F(x)＝f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)