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文档简介

函数极限关于函数极限，依据自变量改变过程，我们主要研究以下两种情况：一、当自变量x绝对值无限增大时，f(x)改变趋势，二、当自变量x无限地靠近于x0时，f(x)改变趋势第1页一、自变量趋向无穷大时函数极限播放第2页经过上面演示试验观察:问题:怎样用准确数学数学语言刻划函数“无限靠近”.第3页第4页2.另两种情形:第5页3.几何解释:第6页例1证实证故不妨设|x|＞1，而当|x|＞1时第7页第8页二、自变量趋向有限值时函数极限先看一个例子这个函数虽在x=1处无定义，但从它图形上可见，当点从1左侧或右侧无限地靠近于1时，f(x)值无限地靠近于4，我们称常数4为f(x)当x→1时f(x)极限。1xyo4第9页第10页第11页注①定义习惯上称为极限ε—δ定义其三个要素：10。正数ε，20。正数δ，30。不等式②定义中所以x→x0时，f(x)有没有极限与f(x)在x0处状态并无关系，这是因为我们所关心是f(x)在x0附近改变趋势，即x→x0时f(x)改变有没有终极目标，而不是f(x)在x0这一孤立点情况。约定x→x0但x≠x0第12页③δ＞0反应了x充分靠近x0程度，它依赖于ε，对一固定ε而言，合乎定义要求δ并不是唯一。δ由不等式|f(x)－A|＜ε来选定，普通地，ε越小，δ越小2.几何解释:第13页例2证实证于是恒有例3设x0＞0证实第14页证恒有例4证实证（不妨设ε＜1）第15页第16页例5证实证不妨设第17页注在利用定义来验证函数极限时，也可考虑对|f(x)－A|进行放大，放大标准与数列时情形完全相同。另外还须注意此时是在x=x0附近考查问题，对于“附近”应怎样了解，请琢磨一下。第18页3.单侧极限:比如,第19页左极限右极限第20页例6证左右极限存在但不相等,第21页三、函数极限性质1.局部有界性2.唯一性3.不等式性质（局部）定理(保序性)第22页推论定理(保号性)推论第23页4.子列收敛性(函数极限与数列极限关系)定义定理第24页证第25页比如,函数极限与数列极限关系函数极限存在充要条件是它任何子列极限都存在,且相等.Heine定理，又称归并标准第26页即证实设即恒有再由则对上述有又故第27页设对都有要证用反证法若即但现取有满足即但此与矛盾第28页例7证二者不相等,第29页四、小结函数极限统一定义(见下表)第30页过程时刻从此时刻以后过程时刻从此时刻以后第31页思索题第32页思索题解答左极限存在,右极限存在,不存在.第33

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