高等数学（第三版）课件：无穷级数

无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数值计算数项级数幂级数付氏级数常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念

二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件机动目录上页下页返回结束第一节

一、常数项级数的概念

引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积A.设a0表示即内接正三角形面积,ak表示边数增加时增加的面积,则圆内接正机动目录上页下页返回结束定义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第n项叫做级数的一般项,级数的前n项和称为级数的部分和.次相加,简记为收敛,则称无穷级数并称S

为级数的和,记作机动目录上页下页返回结束当级数收敛时,称差值为级数的余项.则称无穷级数发散.显然机动目录上页下页返回结束例1.讨论等比级数(又称几何级数)(q

称为公比)的敛散性.解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为机动目录上页下页返回结束2).若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而综合1)、2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.则级数成为不存在,因此级数发散.机动目录上页下页返回结束例2.

判别下列级数的敛散性:解:(1)所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和机动目录上页下页返回结束(2)所以级数(2)收敛,其和为1.技巧:利用“拆项相消”求和机动目录上页下页返回结束

例3.判别级数的敛散性.解:故原级数收敛,其和为机动目录上页下页返回结束二、无穷级数的基本性质性质1.若级数收敛于S,则各项乘以常数c所得级数也收敛,证:令则这说明收敛,其和为cS.

说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.即其和为cS.机动目录上页下页返回结束性质2.

设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为证:令则这说明级数也收敛,其和为机动目录上页下页返回结束说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.例如,

(1)性质2表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)机动目录上页下页返回结束性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.证:

将级数的前k项去掉,的部分和为数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得新级数机动目录上页下页返回结束性质4.

收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列为原级数部分和序列的一个子序列,推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.因此必有例如，用反证法可证例如机动目录上页下页返回结束例4.判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.机动目录上页下页返回结束三、级数收敛的必要条件

设收敛级数则必有证:

可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.机动目录上页下页返回结束注意:并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发散.事实上

,假设调和级数收敛于S,则但矛盾!所以假设不真.机动目录上页下页返回结束例5.

判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:解:(1)令则故从而这说明级数(1)发散.机动目录上页下页返回结束因进行拆项相消这说明原级数收敛,其和为(2)机动目录上页下页返回结束这说明原级数收敛,其和为3.(3)机动目录上页下页返回结束二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛

第二节一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法机动目录上页下页返回结束

一、正项级数及其审敛法若定理1.

正项级数收敛部分和序列有界.若收敛,∴部分和数列有界,故从而又已知故有界.则称为正项级数.单调递增,收敛,也收敛.证:“”“”机动目录上页下页返回结束都有定理2(比较审敛法)设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数证:设对一切则有收敛,也收敛;发散,也发散.分别表示弱级数和强级数的部分和,则有是两个正项级数,(常数k>0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨机动目录上页下页返回结束(1)若强级数则有因此对一切有由定理1可知,则有(2)若弱级数因此这说明强级数也发散.也收敛.发散,收敛,弱级数机动目录上页下页返回结束例1.

讨论p级数(常数p>0)的敛散性.解:1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知p级数发散.发散,机动目录上页下页返回结束因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛,由比较审敛法知p级数收敛.时,2)若机动目录上页下页返回结束调和级数与p级数是两个常用的比较级数.若存在对一切机动目录上页下页返回结束证明级数发散.证:因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例2.机动目录上页下页返回结束定理3.

(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当

l=

0

(3)当

l=∞

证:据极限定义,设两正项级数满足(1)当0<l<∞时,机动目录上页下页返回结束由定理

2可知同时收敛或同时发散;(3)当l=∞时,即由定理2可知,若发散,(1)当0<l<∞时,(2)当l=

0时,由定理2知收敛,若机动目录上页下页返回结束是两个正项级数,(1)当时,两个级数同时收敛或发散;特别取可得如下结论:对正项级数(2)当且收敛时,(3)当且发散时,也收敛;也发散.机动目录上页下页返回结束的敛散性.～例3.

判别级数的敛散性.解:

根据比较审敛法的极限形式知例4.判别级数解:根据比较审敛法的极限形式知～机动目录上页下页返回结束定理4

.比值审敛法(D’alembert判别法)设为正项级数,且则(1)当(2)当证:(1)收敛,时,级数收敛;或时,级数发散.由比较审敛法可知机动目录上页下页返回结束因此所以级数发散.时(2)当说明:

当时,级数可能收敛也可能发散.例如,

p–级数但级数收敛;级数发散.从而机动目录上页下页返回结束例5.

讨论级数的敛散性.解:

根据定理4可知:级数收敛;级数发散;机动目录上页下页返回结束二、交错级数及其审敛法

则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理6

.(Leibnitz

判别法)若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和其余项满足机动目录上页下页返回结束证:

是单调递增有界数列,又故级数收敛于S,且故机动目录上页下页返回结束收敛收敛用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛机动目录上页下页返回结束三、绝对收敛与条件收敛

定义:

对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级收敛,数为条件收敛.均为绝对收敛.例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛.机动目录上页下页返回结束定理7.

绝对收敛的级数一定收敛.证:设根据比较审敛法显然收敛,收敛也收敛且收敛,令机动目录上页下页返回结束例7.证明下列级数绝对收敛:证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.机动目录上页下页返回结束(2)令因此收敛,绝对收敛.机动目录上页下页返回结束内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数审敛法必要条件不满足发散满足比值审敛法收敛发散不定比较审敛法用它法判别部分和极限机动目录上页下页返回结束3.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛机动目录上页下页返回结束思考与练习设正项级数收敛,能否推出收敛?提示:由比较判敛法可知收敛.注意:反之不成立.例如,收敛,发散.机动目录上页下页返回结束备用题1.判别级数的敛散性:解:

(1)发散,故原级数发散.不是p–级数(2)发散,故原级数发散.机动目录上页下页返回结束2.

则级数(A)发散;(B)绝对收敛;(C)条件收敛;(D)收敛性根据条件不能确定.分析:∴(B)错;又C机动目录上页下页返回结束第三节一、函数项级数的概念

二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算幂级数机动目录上页下页返回结束

一、函数项级数的概念设为定义在区间I上的函数项级数.对若常数项级数敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域

;若常数项级数为定义在区间I上的函数,称收敛,发散,所有为其收为其发散点,发散点的全体称为其发散域

.机动目录上页下页返回结束为级数的和函数

,并写成若用令余项则在收敛域上有表示函数项级数前n

项的和,即在收敛域上,函数项级数的和是

x

的函数称它机动目录上页下页返回结束例如,

等比级数它的收敛域是它的发散域是或写作又如,

级数级数发散;所以级数的收敛域仅为有和函数机动目录上页下页返回结束二、幂级数及其收敛性

形如的函数项级数称为幂级数,其中数列下面着重讨论例如,幂级数为幂级数的系数

.即是此种情形.的情形,即称机动目录上页下页返回结束发散发散收敛收敛发散定理1.(Abel定理)

若幂级数则对满足不等式的一切x

幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式证:

设收敛,则必有于是存在常数M>0,使阿贝尔目录上页下页返回结束当时,收敛,故原幂级数绝对收敛.也收敛,反之,若当时该幂级数发散,下面用反证法证之.假设有一点满足不等式所以若当满足且使级数收敛,面的证明可知,级数在点故假设不真.的x,原幂级数也发散.

时幂级数发散,则对一切则由前也应收敛,与所设矛盾,证毕机动目录上页下页返回结束定理2.

若的系数满足证:1)若

≠0,则根据比值审敛法可知:当原级数收敛;当原级数发散.即时,1)当

≠0时,2)当

＝0时,3)当

＝∞时,即时,则机动目录上页下页返回结束2)若则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3)若则对除x=0以外的一切x原级发散,对任意

x原级数因此因此的收敛半径为说明:据此定理因此级数的收敛半径机动目录上页下页返回结束幂级数在(－∞,+∞)收敛;由Abel定理可以看出,中心的区间.用±R

表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为则R=0时,幂级数仅在x=0收敛;R=

时,幂级数在(－R,R)收敛;(－R,R)加上收敛的端点称为收敛域.R称为收敛半径，在[－R,R]可能收敛也可能发散.外发散;在(－R,R)称为收敛区间.发散发散收敛收敛发散机动目录上页下页返回结束对端点

x=－1,

的收敛半径及收敛域.解:对端点x=1,级数为交错级数收敛;

级数为发散.故收敛域为例1.求幂级数

机动目录上页下页返回结束例2.求下列幂级数的收敛域:解:(1)所以收敛域为(2)所以级数仅在x=0处收敛.规定:0!=1机动目录上页下页返回结束例3.的收敛半径.解:

级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.时级数收敛时级数发散故收敛半径为故直接由机动目录上页下页返回结束例4.的收敛域.解:

令级数变为当t=2

时,级数为此级数发散;当t=–2时,级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为即机动目录上页下页返回结束三、幂级数的运算定理3.

设幂级数及的收敛半径分别为令则有:其中以上结论可用部分和的极限证明.机动目录上页下页返回结束说明:两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多.例如,设它们的收敛半径均为但是其收敛半径只是机动目录上页下页返回结束定理4

若幂级数的收敛半径(证明见第六节)则其和函在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同:注:

逐项积分时,运算前后端点处的敛散性不变.机动目录上页下页返回结束解:

由例2可知级数的收敛半径R＝+∞.例5.则故有故得的和函数.因此得设机动目录上页下页返回结束例6.

的和函数解:

易求出幂级数的收敛半径为1,x＝±1时级数发散,机动目录上页下页返回结束例7.

求级数的和函数解:

易求出幂级数的收敛半径为1,及收敛,机动目录上页下页返回结束因此由和函数的连续性得:而及机动目录上页下页返回结束例8.解:

设则机动目录上页下页返回结束而故机动目录上页下页返回结束内容小结1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,2.幂级数的性质两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与也可通过换元化为标准型再求.乘法运算.机动目录上页下页返回结束2)在收敛区间内幂级数的和函数连续;3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.思考与练习1.

已知处条件收敛,问该级数收敛半径是多少?答:根据Abel定理可知,级数在收敛,时发散.故收敛半径为机动目录上页下页返回结束2.

在幂级数中,n

为奇数n

为偶数能否确定它的收敛半径不存在?答:

不能.

因为当时级数收敛,时级数发散,说明:

可以证明比值判别法成立根值判别法成立机动目录上页下页返回结束阿贝尔(1802–1829)挪威数学家,近代数学发展的先驱者.他在22岁时就解决了用根式解5次方程的不可能性问题,他还研究了更广的一并称之为阿贝尔群.在级数研究中,他得到了一些判敛准则及幂级数求和定理.论的奠基人之一,他的一系列工作为椭圆函数研究开拓了道路.数学家们工作150年.类代数方程,他是椭圆函数C.埃尔米特曾说:阿贝尔留下的思想可供后人发现这是一类交换群,备用题

求极限其中解:

令作幂级数设其和为易知其收敛半径为1,则机动目录上页下页返回结束第四节两类问题:在收敛域内和函数求和展开本节内容:一、泰勒(Taylor)级数

二、函数展开成幂级数函数展开成幂级数机动目录上页下页返回结束

一、泰勒(Taylor)级数

其中(

在

x

与x0

之间)称为拉格朗日余项

.则在若函数的某邻域内具有n+1阶导数,此式称为f(x)的n

阶泰勒公式,该邻域内有:机动目录上页下页返回结束为f(x)

的泰勒级数.则称当x0=0

时,泰勒级数又称为麦克劳林级数

.1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为f(x)?待解决的问题:若函数的某邻域内具有任意阶导数,机动目录上页下页返回结束定理1

.各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足:证明:令设函数f(x)在点x0的某一邻域内具有机动目录上页下页返回结束定理2.若f(x)能展成x

的幂级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.证:

设f(x)所展成的幂级数为则显然结论成立.机动目录上页下页返回结束二、函数展开成幂级数

1.直接展开法由泰勒级数理论可知,第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值;第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;第三步判别在收敛区间(－R,R)内是否为骤如下:展开方法直接展开法—利用泰勒公式间接展开法—利用已知其级数展开式0.的函数展开机动目录上页下页返回结束例1.

将函数展开成x

的幂级数.解:

其收敛半径为对任何有限数

x,其余项满足故(

在0与x之间)故得级数

机动目录上页下页返回结束例2.

将展开成x

的幂级数.解:

得级数:其收敛半径为对任何有限数

x,其余项满足机动目录上页下页返回结束类似可推出:机动目录上页下页返回结束例3.

将函数展开成x

的幂级数,其中m为任意常数.解:

易求出于是得级数由于级数在开区间(－1,1)内收敛.因此对任意常数m,机动目录上页下页返回结束推导则推导目录上页下页返回结束为避免研究余项,设此级数的和函数为称为二项展开式

.说明：(1)在x＝±1

处的收敛性与m

有关.(2)当m为正整数时,级数为x

的m

次多项式,上式就是代数学中的二项式定理.机动目录上页下页返回结束由此得对应的二项展开式分别为机动目录上页下页返回结束2.间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例4.

将函数展开成x

的幂级数.解:

因为把x

换成,得将所给函数展开成幂级数.机动目录上页下页返回结束例5.

将函数展开成x

的幂级数.解:从0到x

积分,得定义且连续,区间为利用此题可得上式右端的幂级数在x

＝1

收敛,所以展开式对x

＝1也是成立的,于是收敛机动目录上页下页返回结束例6.

将展成解:

的幂级数.机动目录上页下页返回结束例7.

将展成x－1的幂级数.解:

机动目录上页下页返回结束内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法—利用泰勒公式;(2)间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开2.常用函数的幂级数展开式式的函数.机动目录上页下页返回结束当m=–1时机动目录上页下页返回结束思考与练习1.函数处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级数”有何不同?提示:

后者必需证明前者无此要求.2.如何求的幂级数?提示:机动目录上页下页返回结束例3附注备用题1.将下列函数展开成x

的幂级数解:x＝±1时,此级数条件收敛,因此机动目录上页下页返回结束2.

将在x=0处展为幂级数.解:因此机动目录上页下页返回结束第五节本节通过实例，介绍幂级数展开式在近似计算中的应用。函数幂级数展开式的应用机动目录上页下页返回结束

例1.

计算的近似值,精确到解:

机动目录上页下页返回结束例2.

计算的近似值,使准确到解:

已知故令得于是有机动目录上页下页返回结束在上述展开式中取前四项,机动目录上页下页返回结束说明:在展开式中,令得具此递推公式可求出任意正整数的对数.如(n为自然数),机动目录上页下页返回结束例3.

利用求误差.解:

先把角度化为弧度(弧度)误差不超过的近似值,并估计机动目录上页下页返回结束(取

例4.

计算积分的近似值,精确到解:机动目录上页下页返回结束则n

应满足则所求积分近似值为欲使截断误差机动目录上页下页返回结束例5.

计算积分的近似值,精确到解:

由于故所给积分不是广义积分.若定义被积函数在

x=0处的值为1,则它在积分区间上连续,且有幂级数展开式:机动目录上页下页返回结束第六节一、三角级数及三角函数系的正交性

机动目录上页下页返回结束二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数

傅里叶级数一、三角级数及三角函数系的正交性称函数项级数为三角级数.机动目录上页下页返回结束下面来介绍三角函数系的正交性定理1.

组成三角级数的函数系证:同理可证:正交,上的积分等于0.即其中任意两个不同的函数之积在机动目录上页下页返回结束上的积分不等于0.且有但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在机动目录上页下页返回结束二、函数展开成傅里叶级数定理2.

设f(x)是周期为2

的周期函数,且右端级数可逐项积分,则有证:

由定理条件,①②对①在逐项积分,得机动目录上页下页返回结束(利用正交性)类似地,用sinkx

乘①式两边,再逐项积分可得机动目录上页下页返回结束叶系数为系数的三角级数①称为的傅里叶系数;由公式②确定的①②以的傅里的傅里叶级数

.称为函数

傅里叶目录上页下页返回结束定理3(收敛定理,展开定理)设

f(x)是周期为2

的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛,且有

x

为间断点其中(证明略

)为f(x)

的傅里叶系数

.

x

为连续点注意:函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.简介目录上页下页返回结束例1.

设

f(x)是周期为2

的周期函数,它在上的表达式为解:

先求傅里叶系数将f(x)展成傅里叶级数.机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束1)

根据收敛定理可知,时,级数收敛于2)傅氏级数的部分和逼近说明:f(x)的情况见右图.机动目录上页下页返回结束例2.上的表达式为将f(x)展成傅里叶级数.解:

设

f(x)是周期为2

的周期函数,它在机动目录上页下页返回结束说明:

当时,级数收敛于机动目录上页下页返回结束周期延拓傅里叶展开上的傅里叶级数定义在[–

,]上的函数f(x)的傅氏级数展开法其它机动目录上页下页返回结束例3.

将函数级数.则解:

将f(x)延拓成以展成傅里叶2

为周期的函数F(x),机动目录上页下页返回结束利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当x=0时,f(0)=0,得说明:机动目录上页下页返回结束设已知又机动目录上页下页返回结束三、正弦级数和余弦级数1.周期为2

的奇、偶函数的傅里叶级数定理4.

对周期为2

的奇函数f(x),其傅里叶级数为周期为2

的偶函数f(x),其傅里叶级数为余弦级数,它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为机动目录上页下页返回结束例4.

设的表达式为f(x)＝x,将f(x)展成傅里叶级数.是周期为2

的周期函数,它在解:

若不计周期为2

的奇函数,因此机动目录上页下页返回结束n＝1根据收敛定理可得f(x)的正弦级数:级数的部分和n＝2n＝3n＝4逼近f(x)的情况见右图.n＝5机动目录上页下页返回结束例5.将周期函数展成傅里叶级数,其中E为正常数.解:是周期为2

的周期偶函数,因此机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束2.在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数周期延拓F(x)f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数f(x)在[0,]上展成机动目录上页下页返回结束例6.

将函数分别展成正弦级数与余弦级数.解:

先求正弦级数.去掉端点,将f(x)作奇周期延拓,机动目录上页下页返回结束注意:在端点x=0,

,级数的和为0,与给定函数机动目录上页下页返回结束因此得f(x)=x+1的值不同.再求余弦级数.将则有作偶周期延拓,机动目录上页下页返回结束说明:

令

x=0

可得即机动目录上页下页返回结束内容小结1.周期为2

的函数的傅里叶级数及收敛定理其中注意:

若为间断点,则级数收敛于机动目录上页下页返回结束2.周期为2

的奇、偶函数的傅里叶级数

奇函数正弦级数

偶函数余弦级数3.在[0,]上函数的傅里叶展开法

作奇周期延拓,展开为正弦级数

作偶周期延拓,展开为余弦级数1.

在[0,]上的函数的傅里叶展开法唯一吗?答:

不唯一,延拓方式不同级数就不同.机动目录上页下页返回结束思考与练习处收敛于2.则它的傅里叶级数在在处收敛于

.提示:设周期函数在一个周期内的表达式为机动目录上页下页返回结束

,3.

设又设求当的表达式.解:

由题设可知应对作奇延拓:由周期性:为周期的正弦级数展开式的和函数,定义域机动目录上页下页返回结束4.

写出函数傅氏级数的和函数.答案:定理3目录上页下页返回结束备用题1.叶级数展式为则其中系提示:利用“偶倍奇零”(93考研)机动目录上页下页返回结束的傅里傅里叶(1768–1830)法国数学家.他的著作《热的解析理论》(1822)是数学史上一部经典性书中系统的运用了三角级数和三角积分,他的学生将它们命名为傅里叶级数和傅里叶积分.

最卓越的工具.以后以傅里叶著作为基础发展起来的文献,他深信数学是解决实际问题傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展都产生了深远的影响.狄利克雷(1805–1859)德国数学家.对数论,数学分析和数学物理有突出的贡献,是解析数论他是最早提倡严格化方法的数学家.函数f(x)的傅里叶级数收敛的第一个充分条件;了改变绝对收敛级数中项的顺序不影响级数的和,举例说明条件收敛级数不具有这样的性质.他的主要的创始人之一,并论文都收在《狄利克雷论文集(1889一1897)中.1829年他得到了给定证明第七节一般周期的函数的傅里叶级数机动目录上页下页返回结束

周期为2l函数f(x)周期为2

函数F(z)变量代换将F(z)作傅氏展开f(x)的傅氏展开式设周期为2l

的周期函数f(x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为(在f(x)的连续点处)其中定理.机动目录上页下页返回结束证明:

令,则令则所以且它满足收敛定理条件,将它展成傅里叶级数:(在F(z)的连续点处)变成是以2

为周期的周期函数,机动目录上页下页返回结束其中令(在f(x)的连续点处)证毕机动目录上页下页返回结束说明:其中(在f(x)的连续点处)如果

f(x)

为偶函数,则有(在f(x)的连续点处)其中注:无论哪种情况,在f(x)的间断点x处,傅里叶级数收敛于如果

f(x)为奇函数,则有机动目录上页下页返回结束例1.

交流电压经半波整流后负压消失,试求半波整流函数的解:

这个半波整流函数,它在傅里叶级数.上的表达式为的周期是机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束n>1

时机动目录上页下页返回结束由于半波整流函数f(t)直流部分说明:交流部分由收收敛定理可得2k

次谐波的振幅为

k越大振幅越小,因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近f(x)了.上述级数可分解为直流部分与交流部分的和.机动目录上页下页返回结束例2.

把展开成(1)正弦级数;(2)余弦级数.解:(1)将f(x)作奇周期延拓,则有在x=2k

处级数收敛于何值?机动目录上页下页返回结束(2)将作偶周期延拓,则有机动目录上页下页返回结束说明:

此式对也成立,由此还可导出据此有机动目录上页下页返回结束当函数定义在任意有限区间上时,方法1令即在上展成傅里叶级数周期延拓将在代入展开式上的傅里叶级数其傅里叶展开方法:机动目录上页下页返回结束方法2令在上展成正弦或余弦级数奇或偶式周期延拓将代入展开式在即上的正弦或余弦级数机动目录上页下页返回结束例3.

将函数展成傅里叶级数.解:

令设将F(z)延拓成周期为10的周期函数,理条件.由于F(z)是奇函数,故则它满足收敛定机动目录上页下页返回结束为正弦级数.内容小结1.周期为2l的函数的傅里叶级数展开公式(x

间断点)其中当f(x)为奇函数时,(偶)(余弦)2.在任意有限区间上函数的傅里叶展开法变换延拓机动目录上页下页返回结束思考与练习1.将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形?答:

易看出奇偶性及间断点,2.计算傅里叶系数时哪些系数要单独算?答:

用系数公式计算如分母中出现因子n－k从而便于计算系数和写出收敛域.必须单独计算.习题课目录上页下页返回结束备用题期的傅立叶级数,并由此求级数解:为偶函数,因

f(x)偶延拓后在展开成以2为周的和.故得机动目录上页下页返回结束得故机动目录上页下页返回结束习题课级数的收敛、求和与展开机动目录上页下页返回结束三、幂级数和函数的求法四、函数的幂级数和付式级数展开法一、数项级数的审敛法二、求幂级数收敛域的方法

求和展开(在收敛域内进行)基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.为傅立叶级数.为傅氏系数)时,时为数项级数;时为幂级数;机动目录上页下页返回结束一、数项级数的审敛法1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.正项级数审敛法必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限机动目录上页下页返回结束3.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:若且则交错级数收敛,概念:且余项若收敛,称绝对收敛若发散,称条件收敛机动目录上页下页返回结束例1.

若级数均收敛