高等数学（经济类）第5版课件：函数的连续性

一、函数连续的概念二、连续函数的运算性质三、初等函数的连续性四、函数的间断点及其分类

函数的连续性

一、函数连续的概念0.函数的增量(改变量)1．函数在某点连续的定义则(3)10函数在点连续必须具备下列条件:(2)极限存在；(1)在点即有定义,存在；注20函数在某点连续是局部性概念．例1讨论处的连续性．解因为从而在处不连续．例2讨论处的连续性．解因为故在处不连续．因为故在处不连续．解因为例3设处连续，求常数由在处连续得，故2．左连续与右连续的定义定理13．函数在区间内连续的定义连续函数的图形是一条连续而不断开的曲线．注

二、连续函数的运算性质定理2（连续函数的和、差、积、商的连续性）（反函数的连续性）

【简言之，单调连续函数必有单调连续的反函数.】定理3（复合函数的连续性）

（极限号与函数号换序定理）

定理4定理5例4求下列极限：一般地，则三、初等函数的连续性定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的．注10定义区间──包含在定义域内的区间──定义域中除去＂孤立点＂的部分．20基本初等函数的定义域中没有孤立点，故30定理6表明：初等函数的连续区间就是其定义区间．40定理6还提供了求极限的一个简单而又重要的方法：基本初等函数在其定义域内都是连续的．四、函数的间断点及其分类1．间断点的定义注2.间断点的分类:第一类间断点:及均存在,第二类间断点:及中至少一个不存在,若称为可去间断点.若称为跳跃间断点.则称若其中至少有一个为为无穷间断点.若其中至少有一个振荡,则称为振荡间断点.第一类间断点跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyx可去型oyxoyx.例5解为函数的跳跃间断点,属于第一类．例6解为函数的可去间断点,属于第一类．注意只要改变或者补充可去间断点处函数的定义,即可使其变为连续点.例7解为函数的无穷间断点,属于第二类．例8解且当时函数值在－1与1之间变动无限多次．为函数的振荡间断点,属于第二类．例9解（1）为初等函数，其定义域为是跳跃间断点，属于第一类．例10解（1）为初等函数，其定义域为一、有界性二、最值性三、介值性四、零点存在性闭区间上连续函数的性质〇、预备知识1．函数的最值定义12．函数的零点定义2注一、有界性在闭区间上连续的函数必在上有界．定理1（有界性定理）若区间不是闭区间或区间内有间断点,则结论不一定成立．注二、最值性在闭区间上连续的函数必在上取得它的最大值和最小值．定理2（最值性定理）若不是闭区间或闭区间内有间断点,则结论不一定成立．注三、介值性定理3（介值定理）MCmabyx四、零点存在性定理4（零点定理）例1证令则在上连续，且由零点定理得：至少存在一点使得即方程至少有一个小于1的正根．例2证由零点定理,则在上连续，且至少存在一点使得上连续,且恒为正,例3

设在对任意的必存在一点证使令使故由零点定理知,存在即当时,取或,则有证明:小结则在上连续，且思考题1下述命题是否正确？思考题1解答不正确.例如，函数

任给一张面积为A的纸片(如图),证明必可将它一刀剪为面积相等的两片.提示:建立坐标系如图.则面积函数因故由介值定理可知:

思考题2在上连续．则证明：使提示:令则易证

设至少存在一点习题课思考题3在上连续，且在上连续，且备用题

至少有一个不超证证明令且根据零点定理,原命题得证.内至少存在一点在开区间显然过4的正根.

思考题1思考题1解答且（夹逼准则）但反之不成立.反例:但思考题2思考题2解答一个函数的间断点是否只有是有限个？不一定．

狄利克雷函数在