高等数学（经济类）第5版课件：导数与微分

微积分学的创始人:德国数学家Leibniz微分学导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)导数与微分英国数学家Newton

第一节

导数的概念一、引例二、导数的定义三、由定义求导数举例四、导数的几何意义五、可导与连续的关系

一、引例1.变速直线运动的瞬时速度设质点运动的位置函数为则在内的平均速度为而在时刻的瞬时速度为2.切线的斜率切线——割线的极限位置播放如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.设则割线MN的斜率为切线MT的斜率为二、导数的定义定义11.函数在某点处导数的定义注2．左导数与右导数的定义定义2注20左导数与右导数统称为单侧导数．3．导函数的定义定义3注10（＊＊）式称为导函数的定义式．20导数与导函数的关系：30

在不至于引起混淆的场合，导函数通常简称为导数．三、按定义求导数举例例1按定义求函数的导数．解解一般地例如,例2按定义求函数的导数．例3设按定义求．解例4解例5设求解例6设求解四、导数的几何意义注法线方程为切线方程为30

解切线方程为法线方程为即即五、可导与连续的关系【简言之，可导一定连续.】证定理注连续不一定可导，不连续一定不可导．例8解（１）连续性在x=０处连续．（２）可导性在x=０处不可导．例9解（１）连续性函数y

在x=０处不连续．（２）可导性但函数y在x=０处不可导．由（1）知，2.切线的斜率切线——割线的极限位置2.切线的斜率切线——割线的极限位置2.切线的斜率切线——割线的极限位置2.切线的斜率切线——割线的极限位置2.切线的斜率切线——割线的极限位置2.切线的斜率切线——割线的极限位置2.切线的斜率切线——割线的极限位置2.切线的斜率切线——割线的极限位置2.切线的斜率切线——割线的极限位置2.切线的斜率切线——割线的极限位置思考与练习1.函数在某点处的导数区别:是函数,是数值;联系:注意:有什么区别与联系?？与导函数

2.设存在,则3.已知则4.

若时,恒有问是否在可导?解:由题设由夹逼准则故在可导,且

5.

设,问a取何值时,在都存在,并求出解:故时此时在都存在,显然该函数在x=0连续.

备用题

解:因为1.设存在,且求所以

在处连续,且存在，证明:在处可导.证：因为存在，则有又在处连续,所以即在处可导.2.设故

牛顿(1642–1727)伟大的英国数学家,物理学家,天文学家和自然科学家.他在数学上的卓越贡献是创立了微积分.1665年他提出正流数(微分)术,次年又提出反流数(积分)术，并于1671年完成《流数术与无穷级数》一书(1736年出版).他还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等.

莱布尼兹(1646–1716)德国数学家,哲学家.他和牛顿同为微积分的创始人,他在《学艺》杂志上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿.他还设计了作乘法的计算机，系统地阐述二进制计数法，并把它与中国的八卦联系起来.

一、基本初等函数的导数公式二、函数的和、差、积、商的求导法则三、反函数的求导法则四、复合函数的求导法则五、分段函数的求导法第二节求导法则与基本导数公式

一、基本初等函数的导数公式注三角函数与反三角函数的导数公式的符号记忆法：正“＋”，余“－”二、函数的和、差、积、商的求导法则定理1设函数都可导，则注解解例1求．设例2求设例3求设解例4求．设解例5求．设解例6求设解三、反函数的求导法则定理2【简言之，反函数的导数等于直接函数导数的倒数.】例7证证明：是的反函数，内单调、可导，内有四、复合函数的求导法则定理3【简言之，因变量对自变量的导数等于因变量对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数】则设注解例8设求可分解为解例9设求解例10设求解例11设求解例12设求解解例14设求例13设求解例16设求其中为可导函数,例15设求解五、分段函数的求导法分段点处按定义求导，在分段区间内部按导数公式与运算法则求导．

例17设求当时，解当时，解例18设求当时，当时，当时，综上得：思考题设求思考题解答⑥①②③④⑤二、高阶导数的求法第三节一、高阶导数的概念高阶导数

一、高阶导数的概念（一）定义（二）记号一阶，二阶，三阶，四阶，，ｎ阶二、高阶导数的求法例1解（一）逐次求导归纳法（直接法）设例2解设特别地，例3解同理可得设例4解设1.高阶导数的运算法则:【莱布尼兹（Leibniz）公式】（二）公式法（间接法）

运用高阶导数的运算法则及常用的高阶导数公式2．常用的高阶导数公式特别地，例5解设例6解设例7解设例8解设解例9设解解例10设其中存在，求例11设其中存在，求解例12试从导出：思考题设连续，且，求.思考题解答不一定存在,故用定义求解:

设求其中f二阶可导.备用题

隐函数及由参数方程

所确定的函数的导数

相关变化率一、隐函数的求导方法二、幂指函数及“乘积型”复杂函数的求导方法三、由参数方程所确定的函数的求导法则第四节

一、隐函数的求导方法方程两边对自变量x求导，得到关于所求导数的等式，从中出解,即得所求导数．解解得例1设方程两边对求导，得解解得例2设方程两边对求导，得解例3设方程两边对求导，得方程(1)两边对求导，得将二、幂指函数及“乘积型”复杂函数的

求导方法例4设解一等式两边取对数得方程两边对求导，得（对数求导法）解二（指数求导法）例4设例5设解等式两边取对数得方程两边对求导，得三、由参数方程确定的函数的求导法则若则解例6设解例7设方程两边对x求导,得再求导,得②当时,故由①得①由方程确定,求设思考题1思考题1解答再将代入②得方程组两边同时对t求导,得思考题2,求设思考题2解答练习1.求螺线在对应于的点处的切线方程.解:化为参数方程当时对应点斜率∴切线方程为

求其反函数的导数.解:方法1方法2等式两边同时对求导2.设

3.设求提示:分别用对数微分法求答案:

第五节

函数的微分

○、引例

函数增量的近似值问题一、微分的定义二、可导与可微的关系

三、微分的几何意义四、基本微分公式与微分的运算法则

五、微分的求法

○、引例

函数增量的近似值问题实例:正方形金属薄片受热后面积的增量的计算.∵正方形面积Δx的线性函数，是ΔS的主要部分．一、微分的定义定义注二、可导与可微的关系定理证(1)必要性从而【简言之，可导可微】(2)充分性由函数极限与无穷小的关系得,∴函数30

注10

且当时，三、微分的几何意义MNT）PQ例1解例2解四、基本微分公式与微分的运算法则1.基本微分公式2.微分的四则运算法则3．复合函数的微分法则u是自变量u是中间变量注五、求微分的方法方法一直接法

利用微分的公式与法则．方法二间接法

利用微分与导数的关系：例3解法二设解法一例4解设例5解设例6解在下列等式的括号中填入适当的函数,使等式成立.六、微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则:得近似等式:

1.函数值与函数增量的近似计算特别当很小时,常用近似公式:很小)证明:令得

的近似值.解设取则例7求

的近似值.解例8计算

例9有一批半径为1cm的球,为了提高球面的光洁度,解已知球体体积为镀铜体积为V在时体积的增量因此每只球需用铜约为(g)用铜多少克.估计一下,每只球需要镀上一层铜,厚度定为0.01cm,

2.误差估计某量的精确值为A,其近似值为a,称为a

的绝对误差称为a

的相对误差若称为测量

A

的绝对误差限称为测量

A

的相对误差限

误差传递公式:已知测量误差限为按公式计算y值时的误差故y的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得x,

例10

设测得圆钢截面的直径

测量D的

绝对误差限欲利用公式圆钢截面积,解计算A

的绝对误差限约为

A

的相对误差限约为试估计面积的误差.计算

(mm)思考题设函数的图形如下,试在图中标出点处的及并说明其正负.思考题解答第七节曲线的弯曲程度与切线的转角有关与曲线的弧长有关

主要内容:一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径平面曲线的曲率

一、弧微分设在(a,b)内有连续导数,其图形为

AB,弧长

则弧长微分公式为或几何意义:若曲线由参数方程表示:

二、曲率及其计算公式在光滑弧上自点M开始取弧段,其长为对应切线定义弧段上的平均曲率点M处的曲率注意:直线上任意点处的曲率为0!

转角为例1.

求半径为R的圆上任意点处的曲率.解:如图所示,可见:R愈小,则K愈大,圆弧弯曲得愈厉害;R愈大,则K愈小,圆弧弯曲得愈小.

有曲率近似计算公式故曲率计算公式为又曲率K的计算公式二阶可导,设曲线弧则由

说明:(1)若曲线由参数方程给出,则(2)若曲线方程为则

例2.

我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,处的曲率.点击图片任意处播放\暂停说明:铁路转弯时为保证行车平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点

且

l<<R.

其中R是圆弧弯道的半径,l是缓和曲线的长度,离心力必须连续变化,因此铁道的曲率应连续变化.例2.

我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,且

l<<R.

处的曲率.其中R是圆弧弯道的半径,l是缓和曲线的长度,求此缓和曲线在其两个端点

解:显然例3.

求椭圆在何处曲率最大?解:故曲率为K最大最小

求驻点:设从而K取最大值.这说明椭圆在点处曲率

计算驻点处的函数值:最大.三、曲率圆与曲率半径设M为曲线C上任一点,在点在曲线把以D为中心,R为半径的圆叫做曲线在点M处的曲率圆(密切圆),R叫做曲率半径,D叫做曲率中心.在点M处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点D使

设曲线方程为且求曲线上点M

处的曲率半径及曲率中心设点M处的曲率圆方程为故曲率半径公式为满足方程组的坐标公式.

由此可得曲率中心公式(注意与异号)当点M(x,y)沿曲线移动时,的轨迹G称为曲线C的渐屈线,相应的曲率中心曲率中心公式可看成渐曲线C称为曲线G的渐伸线.

屈线的参数方程(参数为x).点击图中任意点动画开始或暂停例4.设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适?解:设椭圆方程为由例3可知,椭圆在处曲率最大,即曲率半径最小,且为显然,砂轮半径不超过时,才不会产生过量磨损,或有的地方磨不到的问题.例3(仍为摆线)例5.

求摆线的渐屈线方程.解:代入曲率中心公式,得摆线摆线半径为a的圆周沿直线无滑动地滚动时,点击图中任意点动画开始或暂停其上定点M的轨迹即为摆线.参数的几何意义摆线的渐屈线点击图中任意点动画开始或暂停

内容小结1.弧长微分或2.曲率公式3.曲率圆曲率半径曲率中心

思考与练习1.曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?答:有公切线;凹向一致;曲率相同.2.求双曲线的曲率半径

R,并分析何处R

最小?解:则利用

作业第八节P1754；5；7；8；9三、一般迭代法(补充)

第八节可求精确根无法求精确根求近似根两种情形(有时计算很繁)本节内容:一、根的隔离与二分法二、牛顿切线法及其变形方程的近似解

一、根的隔离与二分法(1)作图法1.求隔根区间的一般方法

(2)逐步收索法由图可见只有一个实根可转化为以定步长h一步步向右搜索,若搜索过程也可从b开始,取步长h<0.2.二分法取中点对新的隔根区间重复以上步骤,反复进行,得则误差满足

例1.

用二分法求方程的近似实根时,要使误差不超过至少应对分区间多少次?解:设故该方程只有一个实根

,欲使必需即可见只要对分区间9次,即可得满足要求的实根近似值(计算结果见“高等数学”(上册)P177～178)

二、牛顿切线法及其变形有如下四种情况:

牛顿切线法的基本思想:程的近似根.记纵坐标与同号的端点为用切线近似代替曲线弧求方在此点作切线,其方程为令y=0得它与x轴的交点其中再在点作切线,可得近似根如此继续下去,可得求近似根的迭代公式:称为牛顿迭代公式

牛顿法的误差估计:由微分中值定理得则得说明:用牛顿法时,若过纵坐标与异号的端点作切线,则切线与x轴焦点的横坐标未必在

牛顿法的变形:(1)简化牛顿法若用一常数代替即用平行则得简化牛顿迭代公式.线代替切线,得优点:因而节省计算量.缺点:逼近根的速度慢一些.

(2)割线法为避免求导运算,用割线代替切线,例如用差商代替从而得迭代公式:(双点割线法)特点:逼近根的速度快于简化牛顿法,但慢于牛顿法.说明:若将上式中则为单点割线法,逼近根的速度与简化牛顿法相当.

例2.用切线法求方程的近似解,使误差不超过0.01.解:由草图可见方程有唯一的正实根,且

得而再求因此得满足精度要求的近似解

三.一般迭代法(补充)在隔根区按递推公式则

即为原方程的根.①①称为迭代格式,初值.否则称为发散.

例3.

用迭代法求方程解法1将方程变形为迭代格式为发散!解法2将方程变形为迭代格式为迭代收敛,1.32472为计算精度范围内的所求根.

定理.(证明略)迭代法的敛散性与迭代函数的特性有关.

可以证明下述定理:内容小结1.隔根方法作图法二分法2.求近似根的方法二分法牛顿切线法简化牛顿法割线法一般迭代法思考与练习比较求方程近似根的方法之间的关系及优缺点.……习题课

作业(习题3-8)P1801;3二、导数应用习题课一、微分中值定理及其应用

中值定理及导数的应用

拉格朗日中值定理一、微分中值定理及其应用1.微分中值定理及其相互关系罗尔定理柯西中值定理泰勒中值定理

2.微分中值定理的主要应用(1)研究函数或导数的性态(2)证明恒等式或不等式(3)证明有关中值问题的结论

3.有关中值问题的解题方法利用逆向思维,设辅助函数.一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及到含中值的两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数.多用罗尔定理,可考虑用柯西中值定理.必须多次应用中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,(5)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理.

例1.

设函数在内可导,且证明在内有界.证:取点再取异于的点对为端点的区间上用拉氏中值定理,得(定数)可见对任意即得所证.

例2.

设在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在证:问题转化为证设辅助函数显然在[0,1]上满足罗尔定理条件,故至使即有少存在一点

例3.且试证存在证:欲证因f(x)在[a,b]上满足拉氏中值定理条件,故有将①代入②,化简得故有①②即要证

例4.

设实数满足下述等式证明方程在(0,1)内至少有一个实根.证:令则可设且由罗尔定理知存在一点使即

例5.

设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且分析:所给条件可写为(03考研)试证必存在想到找一点c,使证:因f(x)在[0,3]上连续,所以在[0,2]上连续,且在[0,2]上有最大值M与最小值m,故由介值定理,至少存在一点由罗尔定理知,必存在例6.

设函数在上二阶可导,且证明证:由泰勒公式得两式相减得

二、导数应用1.研究函数的性态:增减,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率2.解决最值问题目标函数的建立与简化最值的判别问题3.其他应用:求不定式极限;几何应用;相关变化率;证明不等式;研究方程实根等.4.补充定理(见)

设函数在上具有n阶导数,且则当时证:令则利用在处的n－1阶泰勒公式得因此时定理.

的连续性及导函数例7.填空题(1)设函数其导数图形如图所示,

单调减区间为

;极小值点为

;极大值点为

.提示:的正负作f(x)的示意图.单调增区间为

;

.在区间

上是凸弧;拐点为提示:的正负作f(x)的示意图.形在区间

上是凹弧;则函数f(x)的图(2)

设函数的图形如图所示,

例8.

证明在上单调增加.证:令在[x,

x+1]上利用拉氏中值定理,

故当x>0时,从而在上单调增.得例9.

设在上可导,且证明f(x)至多只有一个零点.

证:设则故在上连续单调递增,从而至多只有一个零点.又因因此也至多只有一个零点.思考:若题中改为其它不变时,如何设辅助函数?

例10.

求数列的最大项.证:设用对数求导法得令得因为在只有唯一的极大点因此在处也取最大值.又因中的最大项.极大值

列表判别:例11.证明证:设,则故时,单调增加,从而即思考:

证明时,如何设辅助函数更好?

提示:例12.设且在上存在,且单调递减,证明对一切有证:设则所以当令得即所证不等式成立.

例13.

证:只要证

利用一阶泰勒公式,得故原不等式成立.例14.证明当x>0时,证:令则法1由在处的二阶泰勒公式,得故所证不等式成立.与1之间)

法2列表判别:即

法3利用极值第二判别法.故也是最小值,因此当时即

例15.求解法1利用中值定理求极限原式