高等数学（经济类）第5版课件：定积分及其应用

积分学不定积分定积分定积分及其应用

第一节一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的性质

定积分的概念及性质

一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线轴，以及两直线所围成,求其面积A.

矩形面积梯形面积及x解决步骤:1)

分割在区间[a,b]中任意插入n–1个分点用直线将曲边梯形分割成n个小曲边梯形;2)

近似在第i个窄曲边梯形作以为底,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得

上任取3)求和4)取极限令则曲边梯形面积

2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程s.解决步骤:1)分割将它分成在每个小段上物体2)近似得已知速度

n个小段经过的路程为3)求和4)取极限上述两个问题的共性:解决问题的方法步骤相同:“分割,近似,求和,取极限”所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限

二、定积分定义(P225)任一种分法任取总趋于确定的极限I,则称此极在区间上的定积分,即也称f(x)在[a,b]上可积.记作

限I为函数积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即

定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和

定理1.定理2.且只有有限个间断点可积的充分条件:(证明略)例1.

利用定义计算定积分解:将[0,1]n等分,分点为取

在可积注注[注]

利用得两端分别相加,得即例2.

用定积分表示下列极限:解:

说明:

根据定积分定义可得如下近似计算方法:将[a,b]分成n等份:(左矩形公式)(右矩形公式)(梯形公式)为了提高精度,还可建立更好的求积公式,例如辛普森

公式,复化求积公式等,并有现成的数学软件可供调用.三、定积分的性质(设所列定积分都存在)(k为常数)证:=右端

证:当时,因在上可积,所以在分割区间时,可以永远取c为分点,于是

当a,b,c的相对位置任意时,例如则有

6.若在[a,b]上则证:推论1.若在[a,b]上则

推论2.证:即7.

设则

例3.

试证:证:设则在上,有即故即

8.积分中值定理则至少存在一点使证:则由性质7可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.性质7说明:可把故它是有限个数的平均值概念的推广.

积分中值定理对因例4.

计算从0秒到T秒这段时间内自由落体的平均速度.解:已知自由落体速度为故所求平均速度

内容小结1.定积分的定义—乘积和式的极限2.定积分的性质3.积分中值定理

矩形公式梯形公式连续函数在区间上的平均值公式近似计算思考与练习1.用定积分表示下述极限:解:或

思考:如何用定积分表示下述极限提示:极限为0!

2.P233题33.P233题8(2),(4)题8(4)解:设则即

作业

第二节二、积分上限的函数及其导数三、牛顿–莱布尼兹公式一、引例第二节

微积分的基本公式

一、引例在变速直线运动中,已知位置函数与速度函数之间有关系:物体在时间间隔内经过的路程为这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.

二、积分上限的函数及其导数则变上限函数证:则有

定理1.

若说明:1)定理1证明了连续函数的原函数是存在的.2)变限积分求导:同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.

例1.

求解:原式说明例2.确定常数a,b,c的值,使解:原式=

c≠0,故又由～,得例3.

证明在内为单调递增函数.证:只要证

三、牛顿–莱布尼兹公式(牛顿-莱布尼兹公式)

证:根据定理1,故因此得记作定理2.函数,则一个例4.计算解:例5.计算正弦曲线的面积.解:

例6.

汽车以每小时36

km的速度行驶,速停车,解:设开始刹车时刻为则此时刻汽车速度刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,即得故在这段时间内汽车所走的距离为刹车,问从开始刹到某处需要减设汽车以等加速度

车到停车走了多少距离?内容小结则有1.微积分基本公式积分中值定理微分中值定理牛顿–莱布尼兹公式2.变限积分求导公式公式作业第三节备用题解：1.设求定积分为常数,设,则故应用积分法定此常数.

2.求解：的递推公式(n为正整数).由于因此所以其中

二、定积分的分部积分法第三节不定积分

一、定积分的换元法换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法定积分的换元法和分部积分法

一、定积分的换元法

定理1.设函数单值函数满足:1)2)在上证:所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.是的原函数,因此有则

则说明:1)当

<

,即区间换为定理1仍成立.2)必需注意换元必换限,原函数中的变量不必代回.3)换元公式也可反过来使用,即或配元配元不换限

例1.

计算解:令则∴原式=

且例2.

计算解:令则∴原式=

且例3.证:(1)若(2)若偶倍奇零

二、定积分的分部积分法

定理2.

则证:

例4.计算解:原式=

例5.

证明证:令

n为偶数

n为奇数则令则

由此得递推公式于是而故所证结论成立.

内容小结基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限配元不换限边积边代限

思考与练习1.提示:令则2.

设解法1解法2对已知等式两边求导,思考:若改题为提示:两边求导,得

得3.

设求解:(分部积分)

作业习题课备用题1.证明证：是以

为周期的函数.是以

为周期的周期函数.

解：2.右端试证分部积分积分再次分部积分=左端

二、无界函数的反常积分第四节常义积分积分限有限被积函数有界推广一、无穷限的反常积分

反常积分(广义积分)反常积分

一、无穷限的反常积分引例.曲线和直线及x轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为

定义1.设若存在,则称此极限为f(x)的无穷限反常积分,记作这时称反常积分收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分发散.类似地,若则定义

则定义(c为任意取定的常数)只要有一个极限不存在,就称发散.无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.并非不定型,说明:上述定义中若出现

它表明该反常积分发散.引入记号则有类似牛–莱公式的计算表达式:

例1.

计算反常积分解:

思考:分析:原积分发散!注意:对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.例2.

证明第一类p积分证:当p=1时有当p≠1时有当p>1时收敛;

p≤1时发散.因此,当p>1时,反常积分收敛,其值为当p≤1时,反常积分发散.

例3.

计算反常积分解:

二、无界函数的反常积分引例:曲线所围成的开口曲边梯形与x轴,y轴和其含义可理解为

面积A可记作直线的定义2.设而在点a的右邻域存在,这时称反常积分收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分发散.类似地,若而在b的左邻域内无界,若极限数f(x)在[a,b]上的反常积分,记作则定义

则称此极限为函内无界,若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类说明:而在点c的无界函数的积分又称作第二类反常积分,无界点常称邻域内无界,为瑕点(奇点).例如,

间断点,而不是反常积分.则本质上是常义积分,则定义注意:若瑕点的计算表达式:则也有类似牛–莱公式的若

b为瑕点,则若a为瑕点,则若a,b都为瑕点,则则可相消吗?

下述解法是否正确:,∴积分收敛例4.

计算反常积分解:

显然瑕点为

a,所以原式

例5.

讨论反常积分的收敛性.所以反常积分发散.解:例6.证明反常积分证:当q=1时,当q<1时收敛;q≥1时发散.当q≠1时所以当

q<1时,该广义积分收敛,其值为当

q

≥1

时,该广义积分发散.

例7.解：求的无穷间断点,故I为反常积分.

内容小结1.反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限2.两个重要的反常积分

说明:(1)

有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转化.例如,(2)当一题同时含两类反常积分时,

应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.

(3)

有时需考虑主值意义下的反常积分.其定义为P256题1(1),(2),(7),(8)

常积分收敛.注意:主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反思考与练习第五节提示:P256题2求其最大值.作业备用题

试证,并求其值.解:令

二、无界函数反常积分的审敛法反常积分无穷限的反常积分无界函数的反常积分一、无穷限反常积分的审敛法

反常积分的审敛法函数

一、无穷限反常积分的审敛法定理1.若函数

证:根据极限收敛准则知存在,定理2.

(比较审敛原理)且对充,则

证:不失一般性,因此单调递增有上界函数,

说明:已知得下列比较审敛法.极限存在,定理3.(比较审敛法1)

例1.

判别反常积分解:的敛散性.

由比较审敛法1可知原积分收敛.思考题:讨论反常积分的敛散性.提示:当x≥1时,利用可知原积分发散.定理4.(极限审敛法1)

则有:1)当2)当证:根据极限定义,对取定的当x充分大时,必有,即满足当

可取必有即注意:此极限的大小刻画了例2.

判别反常积分的敛散性.解:

根据极限审敛法1,该积分收敛.例3.判别反常积分的敛散性.

解:根据极限审敛法1,该积分发散.定理5.

证：则而定义.设反常积分

则称绝对收敛;则称条件收敛.例4.判断反常积分的敛散性.解:根据比较审敛原理知故由定理5知所给积分收敛(绝对收敛).无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分.二、无界函数反常积分的审敛法

由定义例如因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数的反常积分中来.定理6.(比较审敛法2)定理3瑕点,有有利用有类似定理3与定理4的如下审敛法.使对一切充分接近a的x(x>a).定理7.(极限审敛法2)定理4则有:1)当2)当例5.判别反常积分解:利用洛必达法则得根据极限审敛法2,所给积分发散.例6.判定椭圆积分定理4的敛散性.解:由于根据极限审敛法2,椭圆积分收敛.类似定理5,有下列结论:

例7.

判别反常积分的敛散性.解:称为绝对收敛.故对充分小从而据比较审敛法2,所给积分绝对收敛.则反常积分三、函数1.定义

下面证明这个特殊函数在内收敛.令

综上所述,2.性质(1)递推公式

证:(分部积分)注意到:(2)

证:(3)余元公式:(证明略)(4)

得应用中常见的积分这表明左端的积分可用函数来计算.例如,内容小结1.两类反常积分的比较审敛法和极限审敛法.2.若在同一积分式中出现两类反常积分,习题课可通过分项使每一项只含一种类型的反常积分,只有各项都收敛时,才可保证给定的积分收敛.3.函数的定义及性质.思考与练习P263题1(1),(2),(6),(7)P264题5(1),(2)作业P2631(3),(4),(5),(8)2;3第五节定积分的应用

定积分的微元法一、什么问题可以用定积分解决?二、如何应用定积分解决问题?

表示为一、什么问题可以用定积分解决?

1)所求量U是与区间[a,b]上的某分布f(x)2)U对区间[a,b]

具有可加性,即可通过“分割,取近似,求和,取极限”定积分定义

有关的一个整体量;二、如何应用定积分解决问题?第一步利用“化整为零,以常代变”求出局部微分表达式第二步利用“积零为整,无限累加”求出整体量的积分表达式这种分析方法成为微元法元素的几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳等量的近似值精确值第二节

定积分在几何学上的应用

一、平面图形的面积设曲线与直及x轴所则

围曲边梯形面积为A,右下图所示图形面积为线例1.

计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积.解:由得交点

例2.

计算抛物线与直线围图形的面积.解:由得交点所为简便计算,选取y作积分变量,则有

例3.计算曲线所围图形的面积A。解:由得由于上下边界曲线形成交叉，所以面积需分块计算二、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为

上连续,特别,当考虑连续曲线段绕x轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有

例4.

计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:则(利用对称性)

例5.

解:，x轴围成图形，求该图形绕

x轴、y轴旋转一周后立体体积例6.

一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成

角,解:如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x轴的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.

思考:可否选择y作积分变量?此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?提示:

定积分在经济学上的应用

1.已知产量Q的变化率，求总产量常取，且，t1到t2间隔内的产量为2.已知成本函数的边际成本，求总成本其中称为固定成本3.已知收益函数的边际收益，求总收益例1.解:求从t=2到t=4这两小时的产量。（单位/小时）设某产品在t时刻总产量的变化率为

设产量函数为，则是的一个原函数（单位）例2.（1）总成本函数和总收益函数；解:(1)

设某产品的边际成本为万元/台，其中x为产量，固定成本万元，边际收益万元/台，求：（2）获得最大利润时的产量；（3）从最大利润时的产量又生产了4台，总利润的变化

(2)当时，解得的产量利润最大，即，解得（台）所以生产6台产品时利润最大．(3)（万元）（万元）如果生产10台产品，则利润从最大利润32万元下降到8万元，即利润下降了24万元习题课一、与定积分概念有关的问题的解法

二、有关定积分计算和证明的方法定积分及其相关问题

一、与定积分概念有关的问题的解法1.用定积分概念与性质求极限2.用定积分性质估值3.与变限积分有关的问题

例1.求解:因为时,所以利用夹逼准则得因为依赖于且1)思考例1下列做法对吗?利用积分中值定理原式不对!

说明:2)此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项.如,P265题4解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：已知利用夹逼准则可知(考研98)

例2.求

思考:提示:由上题

故练习:

1.求极限解：原式2.

求极限提示：原式左边=右边

例3.估计下列积分值解:因为∴即

例4.

证明证:令则令得故

例5.设在上是单调递减的连续函数，试证都有不等式证明：显然时结论成立.(用积分中值定理)当时,故所给不等式成立.

明对于任何例6.解：且由方程确定y是x的函数,求方程两端对x求导,得令x=1,得再对y求导,得

故例7.求可微函数f(x)使满足解:等式两边对x求导,得不妨设f(x)≠0,则

注意f(0)=0,得

例8.

求多项式f(x)

使它满足方程解:

令则代入原方程得两边求导:可见f(x)应为二次多项式,设代入①

式比较同次幂系数,得故①

再求导:二、有关定积分计算和证明的方法1.熟练运用定积分计算的常用公式和方法2.注意特殊形式定积分的计算3.利用各种积分技巧计算定积分4.有关定积分命题的证明方法思考:下列作法是否正确?

例9.

求解:令则原式

例10.

求解:

例11.

选择一个常数c,使解:令则因为被积函数为奇函数,故选择c使即可使原式为0.

例