高中数学第二章平面向量221向量加法运算及其几何意义教案省公开课一等奖新课获奖课件

2.2平面向量线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义1/482/481.向量加法(1)定义:求___________运算,叫做向量加法.(2)法则:按照_______法则或___________法则进行.(3)要求:对于零向量与任意向量a,我们要求a+0=____=a.(4)结论:|a+b|___|a|+|b|.2.向量加法运算律(1)交换律:a+b=____.(2)结合律:(a+b)+c=________.两个向量和三角形平行四边形0+a≤b+aa+(b+c)3/481.判一判(正确打“√”,错误打“×”)(1)两个向量相加,所得结果有可能是一个数量.

(

)(2)两个向量相加就是两个向量模相加.

(

)(3)向量加法平行四边形法则适合任何两个向量相加.(

)4/482.做一做(请把正确答案写在横线上)(1)矩形ABCD中,=

.(2)若a与b同向,则|a+b|=

.(3)=

.5/48知识点1向量加法1.向量和及其物理背景两向量和仍是一个向量.向量加法就是求两个向量和运算,是物理学中位移、力合成等在数学运算中抽象概括.2.三角形法则和平行四边形法则三角形法则平行四边形法则物理模型位移合成力合成使用条件任意两个非零向量任意两个不共线向量简记首尾相连,一直连线共起点,为邻边,平行四边形共起点对角线6/483.对||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|成立说明(1)当a,b有一个为零向量时,不等式显然成立.(2)当a,b不共线时,作=a,=b,则a+b=,如图①所表示,依据三角形边长关系,有||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|.(3)当a,b非零且同向时,作=a,=b,则a+b=,如图②所表示,此时|a+b|=|a|+|b|.7/48(4)当a,b非零且反向时,若|a|>|b|.作=a,=b,则a+b=,如图③所表示,此时|a+b|=|a|-|b|.同理可证|a|<|b|时,|a+b|=|b|-|a|；|a|=|b|,|a+b|=0=|a|-|b|.综上分析可知||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.8/48【知识拓展】向量求和多边形法则(1)已知n个向量，依次首尾相接，则由起始向量起点指向末尾向量终点向量即为这n个向量和，这称为向量求和多边形法则.即(2)首尾顺次相接若干向量求和，若组成一个封闭图形，则它们和为0.9/48【思索】(1)在使用三角形法则和平行四边形法则时应注意什么?提醒:在使用三角形法则时应注意“首尾连接”;在使用平行四边形法则时应注意两向量起点相同.(2)当包括多个向量相加时,普通利用向量哪个法则求和?提醒:当包括多个向量相加时,普通利用三角形法则求和.10/48【即时练】1.化简等于(

)2.如图,正六边形ABCDEF中,=

.11/48【解析】1.选B.2.依据正六边形性质,我们易得答案:12/48知识点2向量加法运算律1.向量加法交换律在图(1)中平行四边形ABCD中,=a,=b,则

=a+b,=b+a,故a+b=b+a.即向量加法满足交换律.13/48当向量a,b最少有一个为零向量时,交换律显然成立,当a,b为非零向量且共线时,(1)当a,b同向时,向量a+b与a同向,且|a+b|=|a|+|b|;向量b+a与b同向,且|b+a|=|b|+|a|,故a+b=b+a.(2)当a,b反向时,不妨设|a|>|b|,a+b与a同向,且|a+b|=|a|-|b|;b+a与a同向,且|b+a|=|a|-|b|,故a+b=b+a.14/482.向量加法结合律在图(2)中,=a+b,=b+c,所以==(a+b)+c,=a+(b+c),从而(a+b)+c=a+(b+c).即向量加法满足结合律.15/483.向量加法运算律推广向量加法交换律和结合律对多个向量依然成立,恰当地使用运算律能够实现简化运算目标.如在进行多个向量加法运算时,能够按照任意次序和任意组合进行.如(a+b)+(c+d)=(a+d)+(b+c).16/48【微思索】(1)向量加法交换律中向量b能够是零向量吗?提醒:能够.若b=0,则a+0=0+a=a.(2)试举例说明向量加法运算律是怎样简化运算?提醒:用交换律、结合律能够将多个向量相加转化为首尾相接形式,实现简化运算.如17/48【即时练】1.化简后等于(

)2.在平行四边形ABCD中,=

.【解析】1.选B.因为2.答案:18/48【题型示范】类型一向量加法及运算律【典例1】(1)设a=b是任一非零向量,则在以下结论中,①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|;⑤|a+b|=|a|+|b|.其中正确序号为

.19/48(2)如图,①②已知向量a,b,c,求作向量a+b或a+b+c.20/48【解题探究】1.题(1)中在判断向量a与向量b关系时应先对向量a怎样处理?2.题(2)①中两向量相加可用哪种方法进行?②中向量a与向量b有何关系?21/48【探究提醒】1.先化简向量a,再依据向量平行、向量加法及|a+b|与|a|+|b|关系解答.2.①中两向量相加可用三角形法则或平行四边形法则进行.②中向量a与向量b是共线向量.22/48【自主解答】(1)因为=0,所以a=0,所以0∥b,①正确;0+b=b,③正确;|0+b|=|b|+|0|,⑤正确.答案:①③⑤23/48(2)①方法一:在平面内任意取一点O,作=a,=b,则=a+b(如图1).方法二:在平面内任意取一点O,以OA,OB为邻边作▱OACB,且=a,=b,连接OC,则=a+b(如图2).24/48②在平面内任意取一点O(如图3),作=a,=b,=c,则

=a+b+c.25/48【延伸探究】若在题(1)序号中添加上“⑥|a|<|b|”,则正确序号应为

.【解析】因为所以a=0,所以0∥b,①正确;0+b=b,③正确;|0+b|=|b|+|0|,⑤正确.又因为|a|=0,而b是任一非零向量,即|b|>0,故⑥正确.答案:①③⑤⑥26/48【方法技巧】向量加法运算律意义和应用标准(1)意义:向量加法运算律为向量加法提供了变形依据,实现恰当利用向量加法法则运算目标.实际上,因为向量加法满足交换律和结合律,故多个向量加法运算能够按照任意次序、任意组合来进行.(2)应用标准:利用代数方法经过向量加法交换律,使各向量“首尾相连”,经过向量加法结合律调整向量相加次序.27/48【变式训练】1.以下结论正确是(

)A.假如非零向量a,b方向相反或相同,那么a+b方向必与a,b之一方向相同B.若=0,则A,B,C为三角形三个顶点C.设a≠0,若a∥(a+b),则a∥bD.若|a+b|=|a|-|b|,则b=0【解题指南】对于选项B,要考虑三点是否共线,三点共线则构不成三角形.28/48【解析】选C.A错误,因为a+b有可能为0,若a+b为0,则方向是任意,能够与a,b方向都不相同;B错误,=0,则A,B,C三点能够共线,无法组成三角形;C正确,a≠0,当b=0时,显然有a∥b;当b≠0时,若a,b不共线,则a+b与a方向既不相同也不相反,与a∥(a+b)不符;D错误,若|a+b|=|a|-|b|,则有可能a,b反向,且|a|>|b|,b≠0.29/482.已知梯形ABCD,AD∥BC,O为对角线交点,则=

.【解析】答案:30/48【赔偿训练】如图,在平行四边形ABCD中,(1)=

;(2)

=

;(3)=

;31/48【解析】(1)(2)(3)答案:(1)

(2)

(3)32/48类型二向量加法实际应用【典例2】(1)若a表示向东走8km,b表示向北走8km,则|a+b|=

km,a+b方向是

.(2)一航船以5km/h速度向垂直于对岸方向行驶,航船实际航行方向与水流方向成30°角,求水流速度和船实际航行速度.33/48【解题探究】1.题(1)中长度及方向可借助什么来求?2.题(2)中求水流速度及船实际航行速度可用向量加法什么法则?【探究提醒】1.借助直角三角形求解.2.用加法平行四边形法则.34/48【自主解答】(1)设=a,=b,则

=a+b.又因为||=8,||=8,所以||=|a+b|=8.又因为∠AOC=45°,所以a+b方向是北偏东45°.答案:8北偏东45°35/48(2)如图所表示,表示水流速度,表示船垂直于对岸方向行驶速度,表示船实际航行速度,∠AOC=30°,||=5.因为四边形OACB为矩形,所以故水流速度为5km/h,船实际航行速度为10km/h.36/48【方法技巧】应用向量处理平面几何和物理学问题基本步骤(1)表示:用向量表示相关量,将所要解答问题转化为向量问题.(2)运算:应用向量加法平行四边形法则和三角形法则,将相关向量进行运算,解答向量问题.(3)还原:依据向量运算结果,结合向量共线、相等等概念回答原问题.37/48【变式训练】作用在同一物体上两个力,|F1|=60N,|F2|=80N,当它们夹角为90°时,则这两个力协力为

N.【解题指南】求这两个力协力就是求向量F1+F2.因为以F1和F2为邻边作平行四边形是矩形,由此可利用勾股定理求矩形对角线长,即协力大小.38/48【解析】如图所表示,表示力F1,表示力F2,以OA,OB为邻边作▱OACB,则是F1和F2协力.在△OAC中,||=60,||=||=80且OA⊥AC,则||==100(N),即协力大小为100N.答案:10039/48【赔偿训练】1.一艘船从A点出发以v1速度向垂直于对岸方向行驶,同时河水流速为v2,船实际航行速度大小为4km/h,方向与水流间夹角是60°,求v1和v2大小.【解析】由题意,得|v1|=4×sin60°=2(km/h),|v2|=4×cos60°=2(km/h).40/482.如图所表示,在平行四边形ABCD对角线BD延长线和反向延长线上取点F,E,使BE=DF.求证:四边形AECF是平行四边形.41/48【证实】因为四边形ABCD是平行四边形,所以