2025年中考数学一轮知识梳理考前突破01规律探究（3大必考题型）60题（原卷版）

考前突破01规律探究（3大必考题型）60题

题型一：数式规律探究

题型二：图形规律探究

题型三：点坐标的规律探究

题型一：数式规律探究

【中考母题学方法】

1．（2024·山东日照·中考真题）在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，

在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字．现有一列数：2,4，进行第1次构造，得到

2,8,6,10,4

新的一列数：2,6,4，第2次构造后，得到一列数：，…，第n次构造后得到一列数：2,x1,x2,x3,,xk,4，

记an2x1x2x3xk4．某小组经过讨论得出如下结论，错误的是（）

an

A．a384B．为偶数C．an13an6D．k2n1

3

2．（2024·宁夏·中考真题）观察下列等式：

第1个：122220

第2个：433321

第3个：944422

第4个：1655523

按照以上规律，第n个等式为．

3．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记ai,j为数表中第i行第j列位置的

数字，如a1,24，a3,28，a5,422．若am,n2024，则m，n．

【中考模拟即学即练】

n

4．（2025·山东临沂·一模）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了ab（n为非负整数）展

开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．

0

ab1

1

abab

2

aba22abb2

3

aba33a2b3ab2b3

4

aba44a3b6a2b24ab3b4

5

aba55a4b10a3b210a2b35ab4b5

……

1

11

121

1331

14641

15101051

……

2024

则ab展开式中所有项的系数和是．（结果用指数幂表示）

5．（2024·重庆江津·二模）一个四位自然数n，如果满足各个数位上的数字互不相同，它的千位数字与个位

n

数字之差为2，百位数字与十位数字之差为2，则称这个数n为“双喜数”．对于一个“双喜数”n，记F(n)．例

11

6314

n6314，因为642，312，所以6314是“双喜数”，F(6314)574．则F(8426)；

11

F(m)

若一个四位自然数m是“双喜数”，且是整数，则满足条件的m的最大值为．

12

6．（2024·湖北黄冈·模拟预测）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图

n

表给出了ab展开式的系数规律．

0

1…………ab1

1

11…………abab

2

121aba22abb2

3

1331aba33a2b3ab2b3

当代数式x39x227x27的值为8时，则x的值为．

△△

7．（2024·山东滨州·三模）如图，在RtA1OB1中，OA1OB11，A1OB190，以RtA1OB1的斜边A1B1为

直角边作等腰直角三角形A2A1B1，再以Rt△A2A1B1的斜边A2B1为直角边作等腰直角三角形△A2B1B2，…同样

△△△△△

的作法，作下去可以依次得到一组等腰直角三角形A1OB1，A2B1B2，A3B2B3，A4B3B4，…，AnBn1Bn，

则第n个等腰直角三角形△AnBn1Bn的面积为．

8．（2024·重庆铜梁·一模）在中国文化中，“6”被视为完美的数字，因为它寓意和谐、顺遂和圆满，因此，“66”

可以被解读为双倍顺遂或更加完美．一个四位自然数Mabcd，若各个数位上的数字均不为0．且满足

|ab−cd|66．则称这个四位数M为“双顺数”．例如：对于9226，∵922666，∴9226是“双顺数”；

对于2689，∵26896366，∴2689不是“双顺数”．则最大的“双顺数”是；如果将一个“双

顺数”Mabcd的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换后得到四位数Mcdab，并且规定：

MMFM

FfM．若是整数，则符合条件的M的最小值是．

1017

1111

a1，a，a，a，，a

．（湖南岳阳模拟预测）已知1213141n1，则

92024··234n

a1a2a3an1

a1a2a3…an．

10．（2023·辽宁锦州·三模）设VABC的面积为1，如图①，将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于

点O，ABO的面积记为S1；如图②，将边BC、AC分别3等分，BE1、AD1相交于点O，ABO的面积

记为S2；……，依此类推，则S2023．

题型二：图形规律探究

【中考母题学方法】

11．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个

图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图

中三角形的个数是（）

A．2022B．2023C．2024D．2025

12．（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正

方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（）

A．90B．91C．92D．93

13．（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若OA1，则OG（）

125512564323

A．B．C．D．

64642727

14．（2024·青海·中考真题）如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第（7）个图案中有个火

柴棒．

15．（2024·西藏·中考真题）如图是由若干个大小相同的“”组成的一组有规律的图案，其中第1个图案用了

2个“”，第2个图案用了6个“”，第3个图案用了12个“”，第4个图案用了20个“”，……，依照此

规律，第n个图案中“”的个数为（用含n的代数式表示）．

16．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续

摆下去，第个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍．

【中考模拟即学即练】

17．（2024·浙江嘉兴·一模）为美化市容，某广场要在人行雨道上用大小相同的灰、白两色的广场砖铺设图

案，设计人员画出的一些备选图案如图所示，图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12

块；以此类推；若所选的图中灰砖有64块，则白砖有（）块

A．28B．30C．34D．36

28．（2025·湖南娄底·一模）观察图形，若有六边形2024个，则需火柴棍根．

19．（2025·山西长治·模拟预测）如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的“<>”组成的，第1个图案中

有3个“”，第2个图案中有9个“”，第3个图案中有18个“”……按此规律，第n个图

案中有个“”．（用含n的代数式表示）

题型三：点坐标的规律探究

【中考母题学方法】

20．（2023·山东烟台·中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以

点P为位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6,，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，

其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P3,0,A12,1,A21,0，A32,1，则顶点A100的坐标为（）

A．31.34B．31,34C．32,35D．32,0

21．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数yx33x23x1的图象，发现它

关于点中心对称．若点A10.1,y1，A20.2,y2，A30.3,y3，……，A191.9,y19，A202,y20都在函数

1,0

图象上，这20个点的横坐标从开始依次增加，则y1y2y3y19y20的值是（）

0.10.1

A．1B．0.729C．0D．1

22．（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若OA1，则OG（）

125512564323

A．B．C．D．

64642727

23．（2023·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y3x3与x轴交于点A1，以OA1

为边作正方形A1B1C1O点C1在y轴上，延长C1B1交直线l于点A2，以C1A2为边作正方形A2B2C2C1，点C2在y

轴上，以同样的方式依次作正方形A3B3C3C2，…，正方形A2023B2023C2023C2022，则点B2023的横坐标是．

24．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，OAOB4，

连接AB，过点O作OA1AB于点A1，过点A1作A1B1x轴于点B1；过点B1作B1A2AB于点A2，过点A2作

A2B2x轴于点B2；过点B2作B2A3AB于点A3，过点A3作A3B3x轴于点B3；…；按照如此规律操作下

去，则点A2023的坐标为．

k

25．（2024·山东青岛·中考真题）如图，点A,A,A,,A,A为反比例函数yk0图象上的点，其横

123nn1x

L

坐标依次为1,2,3,,n,n1．过点A1,A2,A3,,An作x轴的垂线，垂足分别为点H1,H2,H3,,Hn；过点A2作

△

A2B1A1H1于点B1，过点A3作A3B2A2H2于点B2，…，过点An1作An1BnAnHn于点Bn．记A1B1A2的面

△

积为S1,A2B2A3的面积为S2,,△AnBnAn1的面积为Sn．

(1)当k2时，点B1的坐标为______，S1S2______，S1S2S3______，S1S2S3Sn______

（用含n的代数式表示）；

(2)当k3时，S1S2S3Sn______（用含n的代数式表示）．

【中考模拟即学即练】

26．（2024·河北石家庄·二模）如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1

次它从原点运动到点，第2次运动到点1,1，第3次运动到点…按这样的规律，经过第2024次运

动后，蚂蚁的坐标是（1,0）2,1

A．1011,1010B．1011,1011C．1012,1011D．1012,1012

27．（2024·山东威海·二模）如图，矩形OABC为台球桌面示意图．小球起始位置在3，0处，沿图中所示的

方向击球，小球的运动轨迹如图所示，当小球第2024次碰到球桌边时，小球的位置在（）

A．0，3B．1，4C．5，0D．8，3

28．（2024·新疆喀什·二模）如图，正方形ABCD的顶点A(0,1)，B(1,0)，延长DC交x轴于点B1，作正方形

DB1C1D1，延长D1C1交x轴于点B2，作正方形D1B2C2D2，…，按照这样的规律，点D2024的纵坐标为（）

A．220251B．21012C．22024D．22025

29．（2024·河南商丘·二模）在如图所示的平面直角坐标系中，有一个由等边三角形ABC和以AB为直径的

半圆组成的“冰淇淋”形图案，且点A，B在x轴上，点C在y轴上，AB4，过点A作ADAC交半圆于

点D，将该“冰淇淋”形图案绕点C逆时针旋转，每次旋转45，则第98次旋转结束时，点D的坐标是（）

A．23，2B．33，123

C．1，3D．33，123

30．（2024·山东济宁·二模）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA，OC分别在

x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，

照此规律作下去，则点B2024的坐标为（）

A．21012,0B．21012,21012C．22024,22024D．22024,0

31．（2024·河南洛阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一

个小正方形组成的“赵爽弦图”，正方形ABCD的中心与原点O重合，AB∥y轴，正方形ABCD的面积为5，

正方形EFGH的面积为1，将CDG绕点O顺时针旋转，每次旋转90，则第2024次旋转结束时，点G的

坐标为（）

355535535535

A．,B．,C．,D．,

101055551010

32．（2024·四川达州·二模）如图，在平面直角坐标系中，等边VAOB，点A的坐标为(1,0)，每一次将VAOB

△

绕着点O顺时针方向旋转60，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到A1OB1，第二次旋转后得

△

到A2OB2，…，依次类推，则点A2024的坐标为（）

A．22024,0B．22023,0C．22024,220243D．22023,220233

33．（2024·甘肃武威·三模）如图，点A(2,0)，B(0,2)，将扇形AOB沿x轴正方向做无滑动的滚动，在滚动

过程中点O的对应点依次记为点O1，点O2，点O3，则O10的坐标是（）

A．(164,0)B．(144,2)

C．(143,2)D．(123,0)

34．（2024·河南漯河·二模）如图，弹性小球从点(0,2)出发，沿箭头所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC

的边时就会反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时对应点的坐标为(1,0)，第2次

碰到矩形的边时对应点的坐标为(3,4)……则第100次碰到矩形的边时对应点的坐标为（）

A．B．5,0C．5,4D．6,2

1,4

35．（2024·河南南阳·三模）如图，点A11,1，点A1向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点A2；

点A2向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点A3；点A3向上平移4个单位，再向右平移8个单位，

得到点A4；…按这个规律平移得到点A100，则点A100的坐标为（）

A．21001,2100B．299,2100

C．21001,299D．2991,2100

36．（2024·江苏盐城·三模）如图，平面直角坐标系中，A1A2A3，A3A4A5，A5A6A7，都是斜边在x轴上的等腰

直角三角形，点A（12，0），A（21，1），A（30，0），；则根据图示规律点A2025的坐标为（）

A．1012，0B．1014，0C．2，1012D．1014，0

37．（2024·山东泰安·二模）含60角的菱形A1B1C1B2，A2B2C2B3，A3B3C3B4，……，按如图所示的方式放置

在平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3，……，和点B1，B2，B3，B4，……，分别在直线ykx和x轴上．已

知B1(2,0)，B2(4,0)，根据所给图形，可以依次求出点A1，A2，A3，…，则图中点A2024的坐标是（）

A．322022,322023B．322023,322023

C．322024,322024D．322024,322025

38．（2024·河南周口·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，AOC120，点B

的坐标为(6,0)，点P在菱形OABC的边上，从点O出发以每秒2个单位长度的速度，沿ABCOA

的路线作循环运动，则第2024秒时，点P的坐标为（）

A．(3,23)B．(4,23)C．(3,23)D．(4,23)

△L

39．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，△A1A2A3，A3A4A5，A5A6A7，都是斜边

△11

在x轴上，斜边长分别为1，2，3，…的等腰直角三角形，若A1A2A3的顶点坐标分别为A10,0，A2,，

22

A31,0，则依图中所示规律，点A2024的坐标为．

40．（2024·四川内江·一模）如图，直线l:y3x，点A1坐标为(3,0)．过点A1作x轴的垂线交直线l于点

，以原点为圆心，长为半径画弧交x轴负半轴于点，记的长为；再过点作x轴的垂线交

B1OOB1A2B1A2c1A2

直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A3，记的长为c2,，以此类推．那

B2A3

么c2018的长为．

41．（2024·河南信阳·三模）将半径为1、圆心角为的扇形纸片AOB按如图所示的位置放于平面直角坐标

60°

系中，现将扇形纸片AOB沿x轴正半轴向右作无滑动的连续滚动，点A依次落在x轴上的点A1,A2,A3，…

的位置上，则点A2024的横坐标为．

△△△△

42．（2024·四川内江·二模）如图，A1A2A3,A4A5A6,A7A8A9,A3n2A3n1A3n（n为正整数）均为等边三

角形，它们的边长依次是2，4，6，…，2n，顶点A3,A6,A9,A3n均在y轴上，点O是所有等边三角形的中

心，点A2024的坐标为．

43．（2024·四川德阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，OAOB4，连

接，过点O作OA1AB于点A1，过点A1作A1B1x轴于点B1；过点B1作B1A2AB于点A2，过点A2作

𝐴

A2B2x轴于点B2；过点B2作B2A3AB于点A3，过点A3作A3B3x轴于点B3；…；按照如此规律操作下

去，则点A2024的坐标为．

44．（2024·山东东营·模拟预测）含60角的菱形A1B1C1B2，A2B2C2B3，A3B3C3B4，…，按如图所示的方式放

，，，

置在平面直角坐标系xOy中，点A1A2A3…，和点B1，B2，B3，B4，…，分别在直线ykx和x轴上．已

，，，

知B120B240，则点A2024的坐标是

45．（2024·山东枣庄·二模）在平面直角坐标系中，直线l:yx3与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形

，，、，，、

A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBnCnCn1，使得点A1A2A3在直线l上，点C1C2C3在y

轴正半轴上，则点B2024的横坐标是．

46．（2024·山东德州·二模）如图，在平而直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图

中“→”方向排列，第1个点的坐标为1，0，第2个点的坐标为2，0，第3个点的坐标为2，1……根据这个规

律，第2024个点的坐标为．

47．（2024·山东泰安·二模）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如

，1,2，，1,2，，1,3，，……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是．

0,10,22,30,3

48．（2024·山东东营·二模）在直角坐标系中，点A1从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标

依次为：A21,0，A31,1，A41,1，A51,1，A62,1，A72,2.，则A2024的坐标为．

△

49．（2024·山东泰安·二模）如图，在平面直角坐标系中，将ABO沿x轴向右滚动到AB1C1的位置，再到

VA1B1C2的位置依次进行下去，若已知点A4，0，B0，3，AB5则C2024的坐标为．

50．（2024·山东淄博·二模）如图，四边形OA1B1Q1，B1A2B2Q2，B2A3B3Q3，B3A4B4Q4，…，Bn1AnBnQn都是

正方形，对角线OB1，B1B2，B2B3，B3B4，…，Bn1Bn都在x轴上（n是整数，且n1），点Q1，Q2，Q3，

k

Q，…，Qn在反比例函数yx0的图象上．若已知正方形OA1B1Q1的面积为2，则点Q2024的坐标

4x

为．

51．（2024·山东泰安·二模）如图，在直角坐标系中，等腰直角三角形A1B1O,A2B2B1,A3B3B2,,AnBnBn1按如

图所示的方式放置，其中点A1,A2,A3,,An均在一次函数ykxb的图象上，点B1,B2,B3,,Bn均在x轴上．若

点B1的坐标为，点B2的坐标为3,0，则点A2024的坐标为．

1,0

52．（2024·广东珠海·三模）如图，在平面直角坐标系xOy内，动点M第1次从点M03,2运动到M12,0，

第2次运动到M21,1，第3次运动到M30,3，第4次运动到M41,2，第5次运动到M52,1，第6

次运动到M63,2，第7次运动到M74,0……依此规律，第2024次运动到M2024的坐标是．

53．（2024·江苏盐城·模拟预测）在平面直角坐标系中，VAOB为等边三角形，点A的坐标为．把VAOB

按如图所示的方式放置，并将VAOB进行变换：第一次变换将VAOB绕着原点O顺时针旋转16,0，同时边长

△△

扩大为VAOB边长的2倍，得到A1OB1；第二次旋转将A1OB1绕着原点O顺时针旋转60，同时边长扩大

△△

为A1OB1边长的2倍，得到A2OB2，…．依次类推，得到△A2023OB2023，则点A2023的坐标

为．

54．（2024·甘肃酒泉·三模）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第