2025年中考数学一轮复习专题14 解直角三角形 知识点梳理及专项练习（含解析）

专题14解直角三角形1.锐角三角函数的定义如图,在△ABC中,∠C=90°.(1)锐角A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦,记为sinA,即sinA=.(2)锐角A的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦,记为cosA,即cosA=.(3)锐角A的对边与邻边的比叫作∠A的正切,记为tanA,即tanA=.2.一些特殊角的三角函数值α三角函数0°30°45°60°90°sinαcosαtanα3.各锐角三角函数之间的关系(1)互余关系:sinA=,cosA=.(2)推导关系：sin²A+cos²A=tanA=.4.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三个和两个.由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有其他元素的过程叫作解直角三角形.解直角三角形的理论依据:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.(1)三边之间的关系：.(2)锐角之间的关系：.(3)边角之间的关系：sinA=,cosA=,tanA=;sinB=,cosB=,tanB=.5.了解测量等实际问题中的概念(1)方位角从某个参照点看物体，视线与正北(或正南)方向射线的夹角称为.(2)仰角与俯角视线与水平线所成的角中，视线在的叫作仰角，在的叫作俯角.如图1，仰角是，俯角是.(3)坡度与坡角坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫作或，一般用i表示；坡角α是坡面与水平线的夹角.如图2，AB的坡度iAB=,∠α叫,tanα=i=实战演练1.tan45°的值等于()A.2B.1C.222.如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是()A.12sinα米B.12cosα米C.12sinα米3.如图,AD是△ABC的高.若BD=2CD=6,tanC=2,则边AB的长为()A.32C.374.图1是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC.若AB=BC=1,∠AOB=α,则OC²的值为()A.1sin2C.1cos25.如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他作了如下操作：(1)在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE=α;(2)量得测角仪的高度CD=a；(3)量得测角仪到旗杆的水平距离DB=b.利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为()A.a+btanαB.a+bsinαC.a+D.a+6.如图,沿AB方向架桥修路,为加快施工进度，在直线AB上湖的另一边的D处同时施工.取∠ABC=150°,BC=1600m,∠BCD=105°,则C,D两点的距离是m.7.如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°,C点的俯角β为58°,BC为两座建筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度CD为6m，则甲建筑物的高度AB为m.(sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60,结果保留整数)8.如图，海中有一个小岛A.一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上;航行12nmile到达C点,这时测得小岛A在北偏东30°方向上.小岛A到航线BC的距离是nmile(39.一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为米.10.2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动.如图,当张角∠AOB=150°时,顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10cm,此时用眼舒适度不太理想.小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角∠A'OB=108°时(点A′是A的对应点)，用眼舒适度较为理想.求此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长.(结果精确到1cm；参考数据：sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.08)11.湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援.位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援.计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上.已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且在C的正南方向900米处.(1)求湖岸A与码头C的距离(结果精确到1米，参考数据：3(2)救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分.在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船?请说明理由.(接送游客上下船的时间忽略不计) 12.每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习.如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩(最长可伸至20m)，且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时,底部B到EF的距离BD为9m.(1)若∠ABD=53°,求此时云梯AB的长；(2)如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处?请说明理由.(参考数据：sin53°≈0.8,cos53°≈0.6,tan53°≈1.3)13.知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足53°≤α≤72°.(参考数据：sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33,sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.08,sin66°≈;0.91,cos66°≈0.41,tan66°≈2.25)如图，现有一架长4m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上.(1)当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A与地面距离的最大值；(2)当梯子底端B距离墙面1.64m时,计算∠ABO等于多少度?并判断此时人是否能安全使用这架梯子? 14.一座吊桥的钢索立柱AD两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示.小明和小亮想用测量知识测较长钢索AB的长度.他们测得∠ABD为30°,由于B、D两点间的距离不易测得，通过探究和测量,发现∠ACD恰好为45°,点B与点C之间的距离约为16m.已知点B、C、D共线,AD⊥BD.求钢索AB的长度.(结果保留根号)15.拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定,高AB为50cm,连杆BC长度为70cm,手臂CD长度为60cm.点B,C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内.(1)转动连杆BC,手臂CD,使∠ABC=143°,CD∥l,如图2,求手臂端点D离操作台l的高度DE的长(精确到1cm,参考数据：sin53°≈0.8,cos53°≈0.6);(2)物品在操作台l上，距离底座A端110cm的点M处,转动连杆BC,手臂CD，手臂端点D能否碰到点M?请说明理由. 压轴预测1.如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,若AD:CD=4:3,则tanB的值为()A.35B.C.34D.2.某公园有一座古塔，古塔前有一个斜坡CD,坡角∠DCE=42°,斜坡高DE=1.8米，DQ是平行于水平地面BC的一个平台.小华想利用所学知识测量古塔的高度AB，她在平台的点G处水平放置一平面镜，她沿着GQ方向移动，当移动到点N时，刚好在镜面中看到古塔顶端点A的像，这时，测得小华眼睛与地面的距离MN=1.5米,GN=2米,BC=16米,DG=8米,已知AB⊥BC,MN⊥DQ,根据题中提供的相关信息，古塔的高度AB约为(参考数据：sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90)()A.19.5米B.19.7米C.21.3米D.22.1米3.如图,C岛在A岛的北偏东45°方向,在B岛的北偏西25°方向.(1)直接写出∠ACB的度数是;(2)测量发现∠BAC=20°,A岛与C岛之间的距离AC=20海里,求A岛与B岛之间的距离.(结果精确到0.1海里)(参考数据：sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36)4.某地为了让山顶通电，需要从山脚点B开始接驳电线，经过中转站D，再连通到山顶点A处,测得山顶A的高度AC为300米，从山脚B到山顶A的水平距离BC是500米,斜面BD的坡度i=1:2(指DF与BF的比),从点D看向点A的仰角为45°.(1)斜面AD的坡度i=;(2)求电线AD+BD的长度(结果保留根号).参考答案1.22.3.24.边角1(2)互余(3)5.(1)方位角(2)水平线上方水平线下方∠AOB∠AOC(3)坡度坡比hl坡角hl1.B【解析】本题考查特殊角的三角函数值.tan45°=1,故选B.2.A【解析】本题考查解直角三角形的实际应用.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,所以sinα=3.D【解析】本题考查解直角三角形.∵BD=2CD=6,∴CD=3.∵tanC=2,AD是△ABC的高,∴ADCD=2,∴AD=6.在Rt△ABD中,.4.A【解析】本题考查三角函数的应用、勾股定理.由题意得sinα=ABOB=1OB,则5.A【解析】本题考查三角函数的实际应用.过点C作CF⊥AB于点F,由题意得CF=DB=b,∵tan∠ACF=AF,∴AF=tan∠ACF×CF=btana,∴AB=AF+FB=AF+CD=a+btanα,故选A.6.8002【解析】本题考查解直角三角形.如图，过点C作CE⊥BD于点E.∵∠ABC=150°,∠BCD=105°,∴∠DBC=30°,∠ADC=180°−30°−105°=45°.∵BC=16(127.16【解析】本题考查解直角三角形的实际应用.如图，过点D作DH⊥AB于点H,易知四边形BCDH为矩形,则DH=BC,BH=CD=6m.由平行线的性质可知∠ADH=α=45°,∠ACB=β=58°.在Rt△ADH中,设AH=xm,则DH=xm,所以BC=xm,AB=AH+BH=(x+6)m.在Rt△ABC中,tan∠ACB=tan58°=ABBC 8.10.4【解析】本题考查解直角三角形的实际应用.作AD⊥BC于点D,则∠ABC=30°,∠ACD=60°,∠BAC=30°.设CD=a,在Rt△ACD中,AD=3a,AC=BC=2a=12,∴a=6,AD=69.102【解析】本题考查解直角三角形的应用.设上升的高度为x米，∵上山直道的坡度为1：7，∴水平距离为7x米，由勾股定理得x²+7x²=100²,解得x₁=10210.19cm先在Rt△AOC中,求出AO的长,再在Rt△A'OD中,利用锐角三角函数即可求出A'D的长.解：由题意可知，在Rt△AOC中,∠AOC=180°−150°=30°,AC=10cm,∴AO=2AC=20cm.在Rt△A'OD中,∠A∴A11.(1)1559米(2)能,理由略(1)过点A作AD⊥CB,交CB的延长线于点D,根据题意可得∠CAB，∠BAD的度数，再由平行线的性质及等腰三角形的判定可得AB，BD的长，进而得CD的长，结合锐角三角函数的定义即可求出答案；(2)分别求出快艇和救援船5分钟内行驶的路程和以及实际行驶的路程和，进行比较即可得解.解:(1)如图,过点A作AD⊥CB,交CB的延长线于点D,则∠ADC=90°.由题意得∠NAC=30°,∠NAB=60°.∴∠CAB=30°,∠BAD=30°.∵NA∥CB,∴∠C=∠NAC=30°.∴AB=BC=900.∴BD=450.∴CD=900+450=1350.∵在Rt△ACD中.cos∴AC=答:湖岸A与码头C的距离约为1559米.(2)在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船.理由如下：快艇和救援船5分钟一共可行驶的路程为5×150+5×400=2750,快艇和救援船实际行驶的路程和为1559+900=2459.∵2750>2459,∴在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船.12.(1)15m(2)能,理由略(1)在Rt△ABD中，利用锐角三角函数即可求解；(2)结合已知条件先求出AD的长，再利用勾股定理求出AB的长，比较大小即可作出判断.解:(1)在Rt△ABD中,∠ABD=53°,BD=9,∴AB=答：此时云梯AB的长为15m.(2)∵AE=19,BC=2,∴AD=19-2=17.在Rt△ABD中,BD=9,∴AB=∵∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能够伸到险情处.13.(1)3.8米(2)∠ABO=66°,能(1)根据α的取值范围，确定AO取最大值时所对应α的值，在Rt△AOB中，由正弦的定义即可求解；(2)在Rt△AOB中,由余弦的定义求出cos∠ABO,再结合已知条件求出∠ABO，即可判断.解：153°≤α≤72°,在Rt△AOB中,sin∴AO=ABsin∠ABO=4sin72°=4×0.95=3.8,所以梯子顶端A与地面的距离的最大值3.8米.(2)在Rt△AOB中.coscos∠ABO=1.64÷4=0.41,cos66°≈0.41,∴∠ABO=66°.∵53°≤α≤72°,∴人能安全使用这架梯子.14.设AD=x，根据三角函数构造关于AD的方程，解方程进而求得AB.解:解法一:在△ADC中,设AD=x.∵AD⊥BD,∠ACD=45°,∴CD=AD=x.在△ADB中,AD⊥BD,∠ABD=30°,∴AD=BDtan30°,即x=解之，得x=8∴AB=2AD=16∴钢索AB的长度约为(16解法二:在△ADB中,设AB=x.∵AD⊥BD,∠ABD=30°,∴BD=AB∴CD=BD−BC=在△ADC中,AD⊥BD,∠ACD=45°,∴AD=CD,即x解之，得x=16∴钢索AB的长度约为(1615.(1)106cm(2)能,理由略(1)作CP⊥AE于点P,BQ⊥CP于点Q,由CQ+PQ计算CP得到DE即可；(2)根据题意画出图形，根据图形运用勾股定理求解AD，从而即可判断.解:(1)过点C作CP⊥AE于点P,过点B作BQ⊥CP于点Q,如图1,∵∠ABC=143°,∴∠CBQ=53°,∴在Rt△