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文档简介
专题13图形的变换
1.图形的平移
(1)定义:在平面内,将一个图形移动一定的,这样的图形的运动叫作平移.
(2)性质:新图形的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是,连接各组对应点的
线段且.
(3)平移图形的作图依据:;;
.因此在平移作图时,应依照指定的、画图,采用“以局部带整体”的平移方法,即通过几个
平移后的,得到平移的图形.
2.轴对称
(1)如果一个图形沿一条直线对折,对折后的两部分能,那么这个图形就是,这条直线就是
它的.
(2)如果一个图形沿一条直线折叠,如果它能与另一个图形,那么这两个图形成,这条直线是
,折叠后重合的对应点就是.
(3)如果两个图形关于对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的.
3.旋转
(1)把一个图形的图形变换叫作旋转,叫作旋转中心,叫作旋转角.
(2)图形的旋转由、和所决定.其中①在旋转过程中保持不动;②旋转
分为时针和时针;③旋转一般小于360°.
(3)旋转的特征:图形中每一点都绕着旋转了的角度,对应点到旋转中心的相等,对应
相等,对应相等,图形的都没有发生变化,也就是旋转前后的两个图形为.
(4)旋转作图的依据:相等,对应点到旋转中心的相等.旋转作图时,在确定了后,依据
指定的和画图,具体操作时往往通过旋转后的位置,得到旋转后的图形.
4.中心对称
(1)把一个图形绕着某一个点旋转°,如果旋转后的图形能够与原来的图形,那么这个图形叫作
图形,这个点就是它的.
(2)把一个图形绕着某一个点旋转°,如果它能够与另一个图形,那么就说这两个图形关于这个
点成,这个点叫作.这两个图形中的对应点叫作关于中心的.
(3)关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过,而且被对称中心所.关于中心对称的两
个图形是图形.识别一个图形是否是中心对称图形,其依据是中心对称图形的定义,看其绕后是否与
其本身重合.若重合,则说明是中心对称图形;反之,则不是.
5.位似
(1)如果两个图形不仅是相似图形,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的两个图形叫作,这点叫
作,也就是说这两个图形关于这点,它们的相似比又称.
(2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于.
(3)在平面直角坐标系中,如果是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等
于或.
实战演练
1.图中的图形为轴对称图形,该图形的对称轴的条数为()
A.1B.2
C.3D.5
2.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
3.如图,将△ABC折叠,使AC边落在AB边上,展开后得到折痕l,则l是△ABC的()
A.中线B.中位线
C.高线D.角平分线
4.如图,△ABC与△DEF位似,点O是它们的位似中心,且相似比为1:2,则△ABC与△DEF的周长
之比是()
A.1:2
B.1:4
C.1:3
D.1:9
5.如图,在△ABC中,AB=AC,若M是BC边上任意一点,将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN,点M
的对应点为点N,连接MN,则下列结论一定正确的是()
A.AB=AN
B.AB∥NC
C.∠AMN=∠ACN
D.MN⊥AC
6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,使点B的对应点E恰好落在
边AC上,点A的对应点为D,延长DE交AB于点F,则下列结论一定正确的是()
A.AC=DEB.BC=EF
C.∠AEF=∠DD.AB⊥DF
7.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A,B的坐标分别是A(0,2),B(2,--1),平移△ABC得到△A'B'C',若点
A的对应点A'的坐标为(--1,0),则点B的对应点B'的坐标是.
8.如图,△ABC中,点D为边BC的中点,连接AD,将△ADC沿直线AD翻折至△ABC所在平
面内,得△ADC',连接CC',分别与边AB交于点E,与AD交于点O.若AE=BE,BC'=2,则AD的长为.
9.如图,将周长为8的△ABC沿BC边向右平移2个单位,得到△DEF,则四边形ABFD的周长为.
10.如图,△ABC的顶点坐标分别为A(-2,3),B(-3,0),C(-1,-1).将△ABC平移后得到△A'B'C',且点A的对应点是A'
(2,3),点B、C的对应点分别是B'、C'.
(1)点A、A'之间的距离是;
(2)请在图中画出△A'B'C'.
11.图1、图2均是4×4的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点.其中点A,B,C均在格点上.请在给定
的网格中按要求画四边形.
(1)在图1中,找一格点D,使以点A,B,C,D为顶点的四边形是轴对称图形.
(2)在图2中,找一格点E,使以点A,B,C,E为顶点的四边形是中心对称图形.
12.在矩形ABCD中,E为DC边上一点,把△ADE沿AE翻折,使点D恰好落在BC边上的点F.
(1)求证:△ABF∽△FCE;
(2)若AB=2,AD=4,求EC的长.
3
压轴预测
1.如图,在平面直角坐标系中,A(0,1),B(-1,0),C(1,0),请确定一点D,使得以点A,B,C,D为顶点的四边形
是轴对称图形但不是中心对称图形,则点D的坐标可能是()
A.(0,-1)
B.(2,1)
C.(0,-2)
D.(-1,1)
2.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=12,AC=13.现将纸片进行折叠,使得顶点B落在AC边上,对应点为D,
折痕为AE.则BE的长为()
A.2.4B.2.5
C.2.8D.3
3.如图是一张矩形纸片ABCD,点E在AB边上,把△ADE沿直线DE折叠,使点A落在BC边上的点F处.
点G在BC边上,把△CDG沿直线DG折叠,使点C恰好落在线段DF上的点H处,∠EDG=°.
若则
3𝐶
𝐵+𝐶=2��,𝐶=¯.
4.图1、图2均为7×6的正方形网格,点A,B,C在格点上.
(1)在图1中确定格点D,并画出以A,B,C,D为顶点的四边形,使其为轴对称图形.(画一个即可)
(2)在图2中确定格点E,并画出以A,B,C,E为顶点的四边形,使其为中心对称图形.(画一个即可)
5.在4×4的方格中,选择6个小方格涂上阴影,请仔细观察图1中的六个图案的对称性,按要求回答.
(1)请在六个图案中,选出三个具有相同对称性的图案.
选出的三个图案是(填写序号);它们都是图形(填写“中心对称”或“轴对称”);
(2)请在图2中,将1个小方格涂上阴影,使整个4×4的方格也具有(1)中所选图案相同的对称性.
6.如图,△ABC的三个顶点坐标分别是A(0,3),B(1,0),C(3,1).
(1)以原点O为位似中心,在y轴左侧画出△A₁B₁C₁,使得△A₁B₁C₁与△ABC的位似比为2:1;
(2)△ABC的内部一点M的坐标为(a,b),则点M在△A₁B₁C₁中的对应点M1的坐标是多少?
7.如图,△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,5).
(1)以O为旋转中心,将△ABC逆时针旋转90°得到△A₁B₁C₁;
(2)将△ABC平移,使平移后点B,C的对应点B2,C2分别在y轴和x轴上,画出平移后的△A₂B₂C₂;
(3)借助网格,利用无刻度直尺画出△A₂B₂C₂的中线C2D2.
参考答案
1.(1)沿某一方向距离
(2)对应点相等平行(或在同一直线上)
(3)平移不改变图形的大小和形状对应角相等对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等方向距离关
键点位置
2.(1)重合轴对称图形对称轴
(2)重合轴对称对称轴对称点
(3)某直线垂直平分线
3.(1)绕某一点O转动一个角度点O转动的角
(2)旋转中心旋转方向旋转角度旋转中心方向顺逆角度
(3)旋转中心相同距离夹角线段形状与大小全等图形
(4)旋转角距离旋转中心旋转方向旋转角度几个关键点
4.(1)180重合中心对称对称中心
(2)180重合中心对称对称中心对称点
(3)对称中心平分全等某一点旋转180°
5.(1)位似图形位似中心位似位似比
(2)位似比
(3)位似变换k-k
1.D【解析】本题考查轴对称图形的对称轴条数.如图,作出该图形的对称轴,其条数为5,故选D.
2.B
3.D【解析】本题考查轴对称的性质.由折叠知折痕平分∠BAC,故选D.
4.A【解析】本题考查位似的性质.△ABC与△DEF的周长之比与位似比相等,即为1:2,故选A.
5.C
6.D【解析】本题考查图形旋转的性质.由旋转的性质得AC=DC,BC=EC,∠A=∠D,又∠AEF=∠DEC,∴∠A
FE=∠DCE=90°,∴AB⊥DF,∴一定正确的是D选项,故选D.
7.(1,-3)【解析】本题考查平移的性质.因为点A从(0,2)平移至A'(-1,0),所以△ABC先向下平移2个单位长
度,再向左平移1个单位长度,所以点B(2,-1)平移后的对应点B'的坐标为(1,-3).
8.3【解析】本题考查翻折的性质、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质.由翻折的性质可知△DC
A≌△DC'A,OC=OC',∠COD=∠C'OD=90°,所以O为CC'的中点.因为D为BC的中点,所以OD是△BCC'的中位线,
所以OD=BC',OD∥BC',所以∠COD=因为AE=BE,BC'=2,所以OD=1.在△EC'B和△EOA中,
1'
2∠���=90°.
所以△EC'B≌△EOA(AAS),所以.所以AO=2,所以AD=AO+OD=2+1=3.
'
��=𝐴,
9.12【解析】本题考查图形的平移.∵平移的距离为2个单位长度,∴AD=CF=2.又∵AC=DF,∴四边形ABFD的
周长为8+2+2=12.
10.(1)4(2)图略
解:(1)4.
(2)如图,△A'B'C'即为所求作.
11.(1)略(2)略
(1)以AC为对称轴,作点B的对称点D,则四边形ABCD即为所求;或以BC的垂直平分线为对称轴,作点A
的对称点D,则四边形ABCD即为所求;或以AC的垂直平分线为对称轴,作点B的对称点D,则四边形AB
CD即为所求;(2)以AC为对角线或以AC为边作平行四边形即可.
解:答案不唯一,以下答案供参考:
评分说明:(1)未标注点D,E或标注错误,但所画图形正确不扣分.
(2)作图痕迹是虚线不扣分.
(3)点的位置正确但没画四边形共扣1分.
(4)第(1)问和第(2)问只画对一个给3分.
12.(1)略
23
3
(1)根据两角对2应相等的两个三角形相似即可证明;
(2)设CE=x,由△ABF∽△FCE,可得∠CFE=∠BAF=30°,进而得EF=2x,由此即可求解.
解:(1)由题意得∠AFE=∠D=90°,
∴∠AFB+∠EFC=90°.
又∵∠EFC+∠FEC=90°,
∴∠AFB=∠FEC.
又∵∠B=∠C,
∴△ABF∽△FCE.
∴2AF∵=4�且�=∠2BA3F,=�3�0°=.2,
又∵△ABF∽△FCE,
∴∠CFE=∠BAF=30°.
设CE=x,
则EF=2x,
∴�+2�=𝐶=��=23,
23
压∴轴��预=测3.
1.C【解析】本题考查中心对称图形和轴对称图形.分别在坐标系中描出选项中的各点,观察所得的图形,可
知点(0,-2)与A,B,C三点构成的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形,故选C.
2.A【解析】本题考查折叠的性质、勾股定理的应用.∵∠B=90°,AC=13,AB=12,∴BC=√AC²-AB²=5.设BE=x.
由折叠的性质,可得AD=AB=12,DE=BE=x,∠ADE=∠B=90°,∴CD=AC-AD=13-12=1,EC=BC-BE=5-x.在Rt△DEC中,
DE²,即(解得x=2.4,∴BE=2.4,故选A.
��²3=.45𝐶【²+解析】本题5考−查�矩²=形1的²性+质�²、,轴对称的性质、锐角三角函数.在矩形ABCD中,∠ADC=90°,由折叠
2
5
可知,∠ADE=∠EDH,∠HDG=∠GDC,∴∠EDH+
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