2025年中考数学几何模型综合训练专题39最值模型之几何转化法求最值模型（全等、相似、中位线、对角线性质等）（学生版）

专题39最值模型之几何转化法求最值模型（全等、相似、中位线、对角线性质等）几何中最值问题是中考的常见题型，变幻无穷，试题设计新颖，形式活泼，涵盖知识面广，综合性强。在各地中考数学试卷中，几何最值问题也是重难点内容，在中考数学试卷中通常出现在压轴题的位置。本专题我们所讲的几何转化法求几何最值是对前面八类几何最值模型的一个补充。虽然我们前面讲的几何最值模型涵盖了大部分的最值问题，但也有部分几何最值无法很好的解决。鉴于此我们补充几类几何转化法（主要利用全等、相似、或其他的几何性质（如：中位线、对角线、特殊的边角关系等）转化），希望对大家有所帮助！TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.几何转化模型-全等转化法 1模型2.几何转化模型-相似转化法 3模型3.几何转化模型-中位线转化法 4模型4.几何转化模型-（特殊）平行四边形对角线转化法 5模型5.几何转化模型-其他性质转化法 6 8模型1.几何转化模型-全等转化法条件：OA=OB，OA’=OB'，∠AOB=∠A'OB'；结论：，。该类转化法求最值的模型，三角形OAB和OA’B’在图形中很难同时出现，需要我们通过辅助线构造出手拉手型的全等模型，从而将所求线段进行转化。例1．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在矩形中，，，P是边上一动点，连接，把线段绕点D逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为．例2．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为x轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点P为的中点，连接，则的长的最小值为．例3.（2024·四川内江·二模）如图，在中，，，P是的中点，若点D在直线上运动，连接，以为腰，向的右侧作等腰直角三角形，连接，则在点D的运动过程中，线段的最小值为．例4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，点是的中点，以为直角边向作等腰，连接，当取得最大值时，的面积为．模型2.几何转化模型-相似转化法条件：OB=kOA，B'O=kOA’，∠AOB=∠A'OB'；结论：，。该类转化法求最值的模型，三角形OAB和OA’B’在图形中很难同时出现，需要我们通过辅助线构造出手拉手型的相似模型，从而将所求线段进行转化。例1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在四边形中，，则对角线的最小值为．例2．（2024上·浙江宁波·九年级校联考期中）如图，的直径长为16，点是半径的中点，过点作交于点，．点在上运动，点在线段上，且．则的最大能是．例3．（23-24八年级下·云南曲靖·期中）如图，在矩形中，，，与交于点O，分别过点C，D作，的平行线相交于点F，点G是的中点，点P是四边形边上的动点，则的最小值是（）A． B． C． D．模型3.几何转化模型-中位线转化法三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。条件：如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E，结论：（1）DE//BC且，（2）△ADE∽△ABC。证明：如图1，过点C作交延长于点F，∴，∵是的中位线，∴，∴，∴，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，∴，，∴，；∵，∴，，∴△ADE∽△ABC。例1．（2024·山东德州·二模）如图，在平行四边形中，，，，点M、N分别是边、上的动点（不与A、B、C重合），点E、F分别为、的中点，连接，则的最小值为（

）A． B．3 C．4 D．例2．（2024·广东肇庆·一模）如图，点在以为直径的半圆上，是半圆上不与点重合的动点．连接，是的中点，过点作于点．若，则的最大值是．例3．（2023·四川成都·一模）已知矩形中，，点E、F分别是边的中点，点P为边上动点，过点P作与平行的直线交于点G，连接，点M是中点，连接，则的最小值＝．模型4.几何转化模型-（特殊）平行四边形对角线转化法该模型主要运用（特殊）平行四边形对角线的性质（如：平行四边形对角线互相平分、矩形的对角线相等）来将不易求得的某些线段转化为能易求的线段进行求解。例1．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）如图，在矩形中，，，为线段上一动点，于点，于点，则的最小值为．例2．（23-24九年级上·广东茂名·期末）如图，P是的斜边（不与点A、C重合）上一动点，分别作于点M，于点N，O是的中点，若，，当点P在上运动时，的最小值是．例3．（2024·河南周口·一模）如图，中，，，，点P为上一个动点，以为邻边构造平行四边形，连接，则的最小值为（

）A． B． C． D．模型5.几何转化模型-其他性质转化法图1图2如图1，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，则BC=AC.如图2，等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，则BC=AC.例1．（23-24九年级上·广西柳州·期末）如图，正方形，边长，对角线、相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与、交于、两点，当三角板绕点O旋转时，线段的最小值为（）A．1 B．2 C． D．例2．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，，P为边上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转至，则线段的最小值为（

）

A． B． C． D．例3．（2024·江苏无锡·三模）如图，在四边形中，，对角线、交于点O，且．若，则的最小值为（

）A．16 B．4 C．9 D．2例4．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形中，，，点E、F分别是、边上的两个动点，连接，，若平分，则的最大值为（结果保留根号）1．（23-24九年级上·山西临汾·期中）如图，在中，，，点D，E分别是边上的动点，连结，F，M分别是的中点，则的最小值为（）

A．12 B．10 C．9.6 D．4.82．（2023·浙江杭州·二模）如图，点为的内心，，，点，分别为，上的点，且．甲、乙两人有如下判断：甲：：乙：当时，的周长有最小值．则下列说法正确的的是（）A．只有甲正确B．只有乙正确C．甲、乙都正确D．甲、乙都错误3．（23-24八年级下·广东江门·期中）如图，已知正方形的边长为4，点是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①且；②；③一定是等腰三角形；④四边形的周长为；⑤的最小值为；⑥．其中结论正确的是（

）A．①③④⑤ B．②③④⑥ C．①④⑤⑥ D．①②⑤⑥4．（2024·江苏扬州·三模）如图，正方形边长为4，以为圆心，为半径画弧，为弧上动点，连，取中点，连，则最小值为．5．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，若中，，，，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为（

）A．1 B．3 C．3 D．6．（2023九年级下·安徽·专题练习）如图，在中，，，现以为边在的下方作正方形并连接，则的最大值为（）

A． B．6 C． D．7．（23-24八年级下·辽宁阜新·期中）如图，边长为20的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接，则在点M运动的过程中，线段长度的最小值是（

）A．3 B．10 C．5 D．68．（2023·广东湛江·二模）如图，在上有顶点C和动点P，位于直径的两侧，过点C作的垂线与的延长线交于点Q．已知的直径为10，，则最大值为（）A．5 B． C． D．9．（23-24九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，在矩形中，，，与交于点，分别过点，作，的平行线相交于点，点是的中点，点是四边形边上的动点，则的最小值是（

）A． B． C． D．10．（2023·浙江绍兴·模拟预测）如图，在中，已知为平面上一点，且为上一点，且，则的最小值为．

11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，连接，，，是边上一动点，连接，以为边向左侧作等边，连接，则的最小值是．12．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，P是的高上一个动点，以B点为旋转中心把线段逆时针旋转得到，连接，则的最小值是．13．（2023·内蒙古呼和浩特·一模）如图在菱形中，为对角线与BD的交点，点为边AB上的任一点（不与、重合），过点分别作，，、为垂足，则可以判断四边形的形状为．若菱形的边长为，，则的最小值为．（用含的式子表示）14．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，中，，，P是边上的一个动点，以为对角线作平行四边形，则的最小值为．

15．（2024·山东泰安·二模）小明学习了四边形后，对有特殊性质的四边形的探究产生了兴趣，发现了这样一类特殊的四边形：两条对角线互相垂直的四边形，叫做垂美四边形，如图：已知四边形中，，垂足为，对角线，，设，则的最小值等于．16．（2024·江苏徐州·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标是，点B的坐标是，长为2的线段CD在y轴上移动，则的最小值是．

17．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，菱形的边长为4，，点E在线段上，以为边在左侧构造菱形，使G在的延长线上，连接，分别取的中点H，O，连接，则；当点E在边上运动（不含A，D）时，的最小值为．18．（2024·山东济南·二模）在菱形中，为菱形内部一点，且，连接，点F为中点，连接，点G是中点，连接，则的最大值为．19．（2023·辽宁铁岭·模拟预测）如图，与是等边三角形，连接，取的中点，连接，将绕点顺时针旋转．若，则在旋转过程中，则线段的最大值为．20．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，在边长为的正方形中，点，分别是边，上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是．21．（23-24九年级上·贵州遵义·期末）如图，正方形，边长，对角线相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与交于E、F两点，当三角板绕点O旋转时，线段的最小值为．23．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，点B、M、C三点在同一直线上，四边形是菱形，是边长为4的等边三角形，把绕点M逆时针旋转，当（即）与交于一点E，（即）同时与交于一点F时，点E、F和点A构成，则的周长的最小值是．24．（23-24八年级下·广东深圳·期中）（1）发现：如图1，点A为线段外一动点，且．填空：线段的长最大值为(用含a，b的式子表示)（2）应用：点A为线段外一动点，且，如图2所示，分别以为边，作等边三角形和等边三角形，连接．①求证：；②直接写出线段长的最大值．（3）拓展：如图3，已知，点D是平面内的一点，，连接，将绕点D逆时针旋